Λύσεις των θεμάτων του Διαγωνίσματος Μηχανικης ΙΙ (29/8/2001) (3), (4), όπου, (5),, (6), (9), όπου,

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Λύσεις των θεμάτων του Διαγωνίσματος Μηχανικης ΙΙ (29/8/2001) (3), (4), όπου, (5),, (6), (9), όπου,"

Τίμων Βενιζέλος
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Λύσεις των θεμάτων του Διαγωνίσματος Μηχανικης ΙΙ (9/8/1) Θέμα 1: (1), (), (3), (4), όπου, (5),, (6), (7), (8), (9), όπου, (1), (11) ενέργεια [ ], όλες οι συνιστώσες της στροφορμής [ ], (1), (13), (κυματ εξίσωση) (14) Το διαγράφει έναν ορθό κώνο με άξονα το, διατηρώντας τη γωνία μεταξύ των δύο ανυσμάτων σταθερή Η περιστροφή του γίνεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα (15) Θέμα : (α) Αν υπάρχει συνεχής ματαχηματισμός των χωρικών συντεταγμένων ενός συστήματος, που αφήνει αναλλοίωτη τη Λαγκρανζιανή του συστήματος, τότε υπάρχει μια αντίστοιχη διατηρούμενη ποσότητα, η (β) Αν η L μένει αναλλοίωτη, τότε η τετράγωνη παρένθεση πρέπει να είναι ταυτοτικά μηδέν Αν επιπλέον χρησιμοποιήσουμε τις εξισώσεις Euler-Lagrange,, προκύπτει ότι Επομένως η τελευταία ποσότητα είναι διατηρούμενη

2 (γ) Σε μετασχηματισμούς της μορφής (μετάθεση), οι ταχύτητες δεν αλλάζουν, αλλά ούτε και οι αποστάσεις μεταξύ δύο οιωνδήποτε σωματιδίων Συνεπώς η Λαγκρανζιανή παραμένει αναλλοίωτη Το ίδιο συμβαίνει και για μετασχηματισμούς της μορφής (στροφή), οι ταχύτητες δεν αλλάζουν κατά μέτρο, αλλά ούτε και το μέτρο των αποστάσεων μεταξύ δύο οιωνδήποτε σωματιδίων αφού οι θέσεις αυτών γυρίζουν κατά την ίδια γωνία Η διατηρήσιμη ποσότητα στην περίπτωση αυτή είναι η Από τη στιγμή που το είναι τυχαίο διάνυσμα διατηρούνται όλες οι συνιστώσες της στροφορμής του συστήματος ( ) 1 kr, όπου η απόσταση Θέμα 3: (α) L = 1 m(r θ 1 + z ) + m(r θ 1 + z ) μεταξύ των σωματιδίων Δηλαδή επανέλθουμε στις κυλινδρικές συντεταγμένες ( έχουμε [( ) + ( sinθ 1 sinθ ) ] + ( z 1 z ) = r = R cosθ 1 cosθ Αν ) θα R [ cos(θ 1 θ )] + ( z 1 z ) θ = 4R sin 1 θ + ( z 1 z ) (β) Κατ αρχήν είναι διαισθητικά προφανές ότι η αντιδιαμετρική θέση των σωματιδίων αποτελεί κατάσταση ισορροπίας (μπορεί εύκολα να δειχθεί με Νευτώνειο σχεδιασμό δυνάμεων) Μπορούμε όμως να το δείξουμε πιο αυστηρά δοκιμάζοντας την στις εξισώσεις κίνησης Euler-Lagrange Είναι προφανές ότι οι παραπάνω σχέσεις ικανοποιούνται αυτόματα από την αντιδιαμετρική λύση Γραμμικοποιώντας στη συνέχεια τη Λαγκρανζιανή γύρω από τη λύση ισορροπίας,, θα έχουμε L = 1 m ( R θ 1 + θ 1 ε + ε ) + z 1 + z 1 ε + [ ε 1 1 ] 1 k 4R (1 ε 8 ) +ε 1

3 Ο σταθερός όρος της δυναμικής ενέργειας μπορεί να παραλειφθεί δίχως αλλοίωση της φυσικής σημασίας της Λαγκρανζιανής (γ) Οι πίνακες κινητικής και δυναμικής ενέργειας του συστήματος είναι αντίστοιχα (με σειρά γραμμών-στηλών ) 1 και K = k R / Οι ιδιοσυχνότητες θα βρεθούν από την απαίτηση [ Το γεγονός ότι και οι δύο πινακες είναι διαχωρισμένοι σε δύο υποπίνακες x απλοποιεί τα πράγματα Μπορούμε να διαχωρίσουμε το πρόβλημα σε προβλήματα ένα που αφορά τις μεταβλητές και ένα που αφορά τις ] Είτε ακολουθώντας την απλοποιητική διαδικασία είτε χρησιμοποιώντας ολόκληρο τον 4x4 πίνακα παίρνουμε τις ακόλουθες ιδιοσυχνότητες: (διπλή ρίζα), Οι αντίστοιχοι κανονικοί τρόποι ταλάντωσης (τα ιδιοανύσματα της Mω i K ( )X (i) = ) είναι: (δ) Οι δύο πρώτοι τρόποι αφορούν αδιάφορη ισορροπία (τα δύο σωματίδια μετακινούνται το ίδιο στο z-άξονα παραμένοντας αντιδιαμετρικά, ή παραμένουν στο ίδιο z-επίπεδο αλλά περιστρέφονται κατά την ίδια γωνία παραμένοντας και πάλι αντιδιαμετρικά), ο τρίτος αφορά ευσταθή ισορροπία (τα σωματίδια κινούνται αντιπαράλληλα στον z-άξονα), ενώ τέλος ο τέταρτος τρόπος αντιστοιχεί σε ασταθή ισορροπία (τα σωματίδια στρέφονται αντίρροπα ώστε να πλησιάσουν) (ε) Προκειμένου να έχουμε ταλαντωτική κίνηση θα πρέπει να απουσιάζει η μοναδική ασταθής ιδιοκατάσταση Η πιο γενική λοιπόν αρχική συνθήκη είναι Δηλαδή οποιαδήποτε αρχική θέση και κίνηση αρκεί τα δύο σωματίδια να βρίσκονται σε διαφορά γωνίας π και να περιστρέφονται με την ίδια γωνιακή ταχύτητα (στ) Διατηρούνται η ενέργεια, η ορμή κατά τον z-άξονα, και η στροφορμή γύρω από τον z-άξονα Θέμα 4: (α) Υπάρχουν 3 τρόποι να αποδείξουμε ότι ένα ανυσματικό δυναμικό από το οποίο μπορεί να προκύψει ομογενές μαγνητικό πεδίο είναι το

4 (i) Τανυστικά: (ii) Με καρτεσιανές συντεταγμένες, θεωρώντας ότι ο άξονας z είναι παράλληλος με το μαγνητικό πεδίο: (iii) Διανυσματικά (πρέπει να προσέξει κανείς να μην διαταραχτεί η θέση του διαφορικού τελεστή σε σχέση με τα υπόλοιπα μεγέθη): Εφαρμόζοντας τη διανυσματική ταυτότητα, έχουμε A = 1 ( B r ) = 1 [( r ) B ( B ) r ] = 1 (3 B B z r ) = B L = 1 m ( r + r θ + z ) + qa u = 1 m r + r θ + ( z ) + q 1 Brˆ e θ ( r,rθ, z ) = (β) 1 m ( r + r θ + z ) + 1 qbr θ όπου η ανάλυση του ανυσματικού δυναμικού σε κυλινδρικές συντεταγμένες προκύπτει εύκολα από τον τρόπο (ii) παραπάνω (γ) Για τα δεδομένα της τροχιάς r=σταθ, dθ/dt=ω=σταθ, z=σταθ προκύπτει η ακόλουθη δράση: Παρατηρούμε ότι για να είναι η δράση ανεξάρτητη της ακτίνας r θα πρέπει η ποσότητα μέσα στην τελεύταια παρένθεση να είναι μηδενική ΈΈτσι αν, τότε S= (δ) S = dt 1 m ( r + r θ + z ) + 1 qbr θ = dt 1 m ( ε f + (r +εf ) (ω +ε g ) +ε h ) + 1 qb(r +εf ) (ω +ε g ) = +ε dt 1 m ( r fω + r ω g ) + 1 qb r fω + r ( g ) + O(ε ) Ο πρώτος όρος είναι μηδενικός όπως δείξαμε στο ερώτημα (γ) Χρησιμοποιώντας στη συνέχεια τη σχέση που ικανοποιεί η, ο όρος πρώτης τάξης ως προς ε ο οποίος πρέπει να είναι μηδενικός από την αρχή ελάχιστης δράσης, καταλήγουμε στο ότι η φυσική κίνηση πρέπει να δίνει

5 Η συνθήκη επαναφοράς στο ίδιο σημείο μετά από χρόνο Τ επιβάλλει ΈΈτσι μια φυσική κίνηση πρέπει να έχει σταθερή ακτίνα, σταθερή γωνιακή ταχύτητα, σταθερό z, και περίοδο ίση με (Υπάρχει και φυσική κίνηση με αλλαγή του z) (ε) Η τιμή της ακτίνας παραμένει απροσδιόριστη Για να υπολογιστεί θα πρέπει να γνωρίζουμε την αρχική ταχύτητα, οπότε

Σχετικά έγγραφα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στη Μηχανική ΙI 11 Ιουνίου 2012

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στη Μηχανική ΙI Ιουνίου 202 Απαντήστε και στα 4 Θέματα με σαφήνεια και απλότητα. Οι ολοκληρωμένες απαντήσεις στα ερωτήματα εκτιμώνται ιδιαιτέρως. Καλή σας επιτυχία.