ΠΡΑΚΤΙΚΑ. Επιμέλεια Πρακτικών. Θ. Παραγιού, Δ. Καραντάνος, Α.Φιλίππου

ΠΡΑΚΤΙΚΑ 9 ο ΜΑΘΗΤΙΚΟ ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 8 10 Μαρτίου 013 Αγρός ΟΡΓΑΝΩΣΗ 30 Χρόνια Προσφοράς και Δημιουργίας στη Μαθηματική Επιστήμη και Παιδεία της Κύπρου 1983 013 Σε συνεργασία με: Υπουργείο Παιδείας και Πολιτισμού Τμήμα Επιστημών της Αγωγής, Πανεπιστήμιο Κύπρου Τμήμα Μαθηματικών και Στατιστικής, Πανεπιστήμιο Κύπρου Επιθεώρηση Μαθηματικών Σύνδεσμο Μαθηματικών Κύπρου Ίδρυμα Θαλής Επιμέλεια Πρακτικών Θ. Παραγιού, Δ. Καραντάνος, Α.Φιλίππου ISBN: 978-9963-713-08-0 (ηλεκτρονική μορφή) ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 36, Γραφείο 10, Στρόβολος 003 Λευκωσία, Κύπρος Τηλ. 378101, Φαξ: 3791, cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy

15 ο Παγκύπριο Συνέδριο Μαθηματικής Επιστήμης και Παιδείας 9 ο Παγκύπριο Μαθητικό Συνέδριο για τα Μαθηματικά Οργάνωση Γενικός Συντονιστής Συνεδρίου: Γρηγόρης Μακρίδης, Πρόεδρος ΚΥ.Μ.Ε. και Προϊστάμενος ΥΕΔΣ Πανεπιστημίου Κύπρου Επιστημονικός Υπεύθυνος Συνεδρίου Αθανάσιος Γαγάτσης, Αντιπρόεδρος ΚΥ.Μ.Ε. και Αντιπρύτανης Ακαδημαϊκών Υποθέσεων Πανεπιστημίου Κύπρου Συντονιστής Συμποσίου Μαθηματικής Παιδείας Πρωτοβάθμιας Εκπαίδευσης: Αθανάσιος Γαγάτσης, Αντιπρόεδρος ΚΥ.Μ.Ε. και Αντιπρύτανης Ακαδημαϊκών Υποθέσεων Πανεπιστημίου Κύπρου Συντονιστής Συμποσίου Μαθηματικής Παιδείας Δευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης: Ανδρέας Φιλίππου, Γενικός Γραμματέας ΚΥ.Μ.Ε. και καθηγητής Μαθηματικών Μέσης Εκπαίδευσης Συντονιστές Μαθητικού Συνεδρίου: Θεόκλητος Παραγιού, Ταμίας ΚΥ.Μ.Ε. και καθηγητής Μαθηματικών Μέσης Εκπαίδευσης Δημήτρης Καραντάνος, Οργανωτικός Γραμματέας ΚΥ.Μ.Ε. και καθηγητής Μαθηματικών Μέσης Εκπαίδευσης (ii)

Μέλη Οργανωτικής Επιτροπής Κωνσταντίνος Χρίστου, Τμήμα Επιστημών της Αγωγής, Πανεπιστήμιο Κύπρου Κωνσταντίνος Παπαγιάννης, Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Σάββας Αντωνίου, Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Μάριος Ευσταθίου, Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Σωτήρης Λοϊζιάς, Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Ανδρέας Σκοτεινός, Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Σάββας Τιμοθέου, Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Ανδρέας Σαββίδης, Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Αναστασία Ηρακλέους-Θεοδώρου, Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Χαράλαμπος Καττιμέρης, Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Δώρα Συμεού, Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Γρηγόρης Γρηγορίου, Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Ιωάννου Ιωάννης, Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Κυριάκος Κωνσταντινίδης, Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Κωνσταντίνος Κουμής, Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Νικόλας Γιασουμής, Σύνδεσμος Μαθηματικών Κύπρου Γιώργος Μυλωνάς, Σύνδεσμος Μαθηματικών Κύπρου Ολυμπία Ορφανίδου, Σύνδεσμος Μαθηματικών Κύπρου Πέτρος Πέτρου, Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Παντελής Ζαμπυρίνης, Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Τάνια Παναγιώτου, Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Τα ενυπόγραφα άρθρα εκφράζουν τις απόψεις και μόνον των αρθογράφων και δεν απηχούν απαραίτητα τις απόψεις του εκδότη. (iii)

ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το 16o Παγκύπριο Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας και Επιστήμης και το 10 ο Παγκύπριο Μαθητικό Συνέδριο για τα Μαθηματικά οργανώνεται στην πιο δύσκολη περίοδο που διανύει η χώρα μας σε σχέση με την οικονομία. Οι προκλήσεις και η αξία της εκπαίδευσης δημιουργούν σύγχυση, πολλοί επιστήμονες είναι άνεργοι ενώ ταυτόχρονα δεν φαίνεται προοπτική για ποιες είναι οι σωστές επιλογές. Τα μαθηματικά ως η βασίλισσα των επιστημών καλούνται να δώσουν λύσεις και η λύση είναι απλή και μία. Οι γερές βάσεις στα μαθηματικά θα βοηθήσουν τους νέους μας ώστε να μπορούν να αποκτούν διαθεματικές γνώσεις και να αναπτύσσουν δεξιότητες χρήσιμες για κάθε είδος εργασία, μέσα στο άγνωστο μέλλον. Τα συνέδρια όπως το Παγκύπριο Συνέδριο στα Μαθηματικά επικοινωνούν τα μαθηματικά με τρόπο χρήσιμο προς όλους, μαθητές, εκπαιδευτικούς, ερευνητές. Η παράλληλη διοργάνωση με το Παγκύπριο Μαθητικό Συνέδριο δίνει διαφορετική διάσταση σε όλο το περιβάλλον του Συνεδρίου. Ελπίζουμε ότι μέσα από το Παγκύπριο Συνέδριο θα αναπτυχθούν συνεργασίες και θα δημιουργηθούν νέες ιδέες για νέες καινοτομίες στο τομέα της μαθηματικής επιστήμης και παιδείας. Ευχαριστούμε τους συνεργάτες μας στο συνέδριο αυτό όπως το Υπουργείο Παιδείας και Πολιτισμούς (Γενική Διεύθυνση, Διεύθυνση Μέσης Εκπαίδευσης, Γενική Επιθεώρηση), τη Σχολή Κοινωνικών Επιστημών και Επιστημών της Αγωγής του Πανεπιστημίου Κύπρου, το Τμήμα Μαθηματικών και Στατιστικής του Πανεπιστημίου Κύπρου, το Σύνδεσμο Μαθηματικών Κύπρου και την Κυπριακή Αστροναυτική Εταιρεία. Ιδιαίτερες ευχαριστίες στη Γενική Διευθύντρια του Υπουργείου Παιδείας και Πολιτισμού, κα Αίγλη Παντελάκη, που έθεσε το Συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας και Επιστήμης υπό την αιγίδα της. Εκ μέρους του Διοικητικού Συμβουλίου της Κυπριακής Μαθηματικής Εταιρείας εκφράζω ευχαριστίες σε όλους όσους βοήθησαν στην οργάνωση των Συνεδρίου. Δρ Γρηγόρης Μακρίδης Πρόεδρος Κυπριακής Μαθηματικής Εταιρείας Πρόεδρος Ιδρύματος ΘΑΛΗΣ (iv)

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. ΤΟ ΙΣΟΠΕΡΙΜΕΤΡΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΣΤΗΝ ΚΑΘΗΜΕΡΙΝΗ ΖΩΗ 1 Τσαγγαρίδου Μαρία, Ξενοφώντος Μαριλίζα, Γεωργίου Δέσπω, Γιαλλούρη Ειρήνη, Χρυσοστόμου Νικολέττα, Κωστάππη Αγγελική.. ΑΠΟ ΤΟ ΠΑΙΧΝΙΔΙ ΤΑ 15 ΠΟΤΗΡΙΑ ΣΤΗΝ ΒΕΛΤΙΣΤΗ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗ OMG13 Γιώργος Βούζας, Οδυσσέας Ζαχαριάδης, Κίμων Καπετανάκης, Γιώργος Μακράκης, Πέτρος Νομικός, Τζώρτζης Παναγόπουλος, Χρήστος Παπαδημούλης, Δανάη Πετροπούλου, Βασιλική Πουλά, Ιωάννα Σαραντοπούλου και Κίμων Τρούκης 3. BOX CHECKING EXPERIMENT Γιώργος Τζακωνιάτης και Αλέξης Καφαντάρης 7 15 4. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΑΡΑΔΟΞΑ Μικαέλλα Αθανασίου, Ειρήνη Αυξεντίου, Γιοβάννα Γιάνιτς, Ελένη Τζίκα 5 5. ΑΠΕΙΡΟ Αννα Ευριπιδου, Τζιουρρου Χριστινα- 33 6. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΒΑΣΕΙ ΝΟΜΟΥ Χαριτίνη Συλλούρη, Θεόκλειτος Κλείτου, Μάριος Ζαντής, Χαράλαμπος Χατζηπαναγή, Ελπινίκη Χρυσοστόμου, Μάριος Χριστοδουλίδης, Αντρέας Αψερός, Ιάκωβος Φιλοθέου 7. ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ ΚΑΙ ΜΟΥΣΙΚΗ Άντρη-Παναγιώτα Προκοπίου, Ελένη Ζέμπασιη, Ελένη Χατζηαδάμου, Πουλχερία Ρούσου, 8. ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΙΑΤΡΙΚΗ Βασιλειάδου Γαλάτεια, Λαμπούρη Οδύσσεια, Τρικούπη Παναγιώτα, 39 49 55 (vi)

(vii)

ΤΟ ΙΣΟΠΕΡΙΜΕΤΡΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΣΤΗΝ ΚΑΘΗΜΕΡΙΝΗ ΖΩΗ Τσαγγαρίδου Μαρία, Ξενοφώντος Μαριλίζα, Γεωργίου Δέσπω, Γιαλλούρη Ειρήνη, Χρυσοστόμου Νικολέττα, Κωστάππη Αγγελική. Συντονιστές Καθηγήτριες Mαθηματικών: Ευτυχίου Μαρία, Παναγιώτου Ειρήνη Ελληνική Σχολή ΠΑΣΚΑΛ Λευκωσίας. ΠΕΡΙΛΗΨΗ Συμφώνα με το ισοπεριμετρικό θεώρημα από όλες τις καμπύλες του επιπέδου που έχουν το ίδιο μήκος, αυτή που περικλείει χωρίο με το μέγιστο δυνατό εμβαδόν είναι ο κύκλος. Η εργασία αυτή σαν στόχο έχει την παρουσίαση μερικών από τις εφαρμογές του ισοπεριμετρικού θεωρήματος στην καθημερινή ζωή. Η εφαρμογή αυτού του θεωρήματος παρατηρείται σε πολλές πτυχές της καθημερινότητάς μας που πολλές φορές δεν γίνεται αντιληπτή. ΤΟ ΙΣΟΠΕΡΙΜΕΤΡΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Το ισοπεριμετρικό θεώρημα είναι, σύμφωνα με τους ειδικούς, το αρχαιότερο ίσως πρόβλημα μεγιστοποίησης, που με απλά λόγια λέει το εξής: Από όλες τις καμπύλες του επιπέδου που έχουν το ίδιο μήκος, αυτή που περικλείει χωρίο με το μέγιστο δυνατό εμβαδόν είναι ο κύκλος. Η παράδοση συνδέει το πρόβλημα αυτό με το μύθο της Διδούς, της πριγκίπισσας της Καρχηδόνας, που τοποθετείται περίπου στον 9 ο αιώνα π.χ. Ο ΜΥΘΟΣ ΤΗΣ ΠΡΙΓΚΙΠΙΣΣΑΣ ΔΙΔΟΥΣ Η Διδώ ήταν κόρη του βασιλιά της Τύρου Βήλου και σύζυγος του Ακέρβαντα, τον οποίο σκότωσε ο αδελφός της Πυγμαλίωνας θέλοντας να εκμεταλλευτεί την περιουσία του. Μετά το θάνατο του άνδρα της μαζί με πιστούς ανθρώπους ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ 1

της, έφυγε προς τα δυτικά και φθάνει στην Αφρική, στον κόλπο της σημερινής Τύνιδας. Ήρθε σε διαπραγματεύσεις με τον βασιλιά της Νουμιδίας Ιάρβα για την απόκτηση μιας έκτασης προκειμένου να εγκατασταθεί στην περιοχή. Ζητούσε από τον Ιάρβα τόση έκταση, όση θα μπορούσε να κυκλωθεί από τη δορά ενός βοδιού. Οι όροι έγιναν δεκτοί και η συμφωνία έκλεισε. Η πονηρή Διδώ έκοψε το δέρμα σε πολύ λεπτές λωρίδες, τις έδεσε μεταξύ τους και κατάφερε έτσι να περιλάβει ένα τεράστιο κομμάτι γης, όπου εκεί έκτισε το φρούριο Βύρσα και μέσα σ' αυτό την πόλη Καρχηδόνα. Ζήτησε φαινομενικά μία μικρή έκταση και απέκτησε μία τεράστια! ΤΟ ΙΣΟΠΕΡΙΜΕΤΡΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΣΤΗΝ ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Οι βασικοί τρόποι επίλυσης του ισοπεριµετρικού προβλήµατος είχαν σκιαγραφηθεί από τους αρχαίους χρόνους. Ο Ζηνόδωρος αποδεικνύει µε µεγάλη, για τα δεδοµένα της εποχής του, αυστηρότητα την εξής πρόταση: Αν υπάρχει ένα ν-γωνο του επιπέδου το οποίο έχει το µέγιστο εµβαδόν µεταξύ όλων των ν-γώνων µε δοθείσα περίµετρο, τότε αυτό πρέπει να έχει ίσες πλευρές και ίσες γωνίες. Το επίπεδο ν-γωνο µε το µέγιστο εµβαδόν θα το ονοµάζουµε µέγιστο ν-γωνο. Ένα µέγιστο ν-γωνο (εάν υπάρχει) πρέπει να είναι κανονικό. Το θεώρηµα αυτό προκύπτει από τα εξής λήµµατα: Λήµµα 1. Ένα µέγιστο ν-γωνο πρέπει να έχει ίσες πλευρές. Λήµµα. Ένα µέγιστο ν-γωνο πρέπει να έχει ίσες γωνίες. Ο Ζηνόδωρος ήταν ο πρώτος γεωμέτρης του Αρχαίου ελληνικού Πολιτισμού ο οποίος ανάπτυξε τις ισοπεριμετρικές ιδιότητες στο έργο του Περί ισομέτρων σχημάτων. 10ο ΜΑΘΗΤΙΚΟ ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Στο έργο του αυτό έδειξε: Δύο κανονικά πολύγωνα με ίσες περιμέτρους, μεγαλύτερο εμβαδόν έχει εκείνο με τις περισσότερες γωνίες. Αν ένας κύκλος κι ένα κανονικό πολύγωνο έχουν ίσες περιμέτρους, τότε μεγαλύτερο εμβαδόν έχει ο κύκλος. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΙΣΟΠΕΡΙΜΕΤΡΙΚΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ (Α) ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ Το ενδιαφέρον και η προσπάθεια αυτή του γεωμέτρη Ζηνόδωρου ήταν μόνο για θεωρητική ευχαρίστηση; Ή είχαν κάποια σχέση και με την τότε Καθημερινή Ζωή; Οι Αρχαίοι Έλληνες γαιοκτήμονες είχαν τη συνήθεια να μετρούν τα οικόπεδα και τα χωράφια με την περίμετρό τους. Κι αυτό δημιουργούσε απάτες και προβλήματα. Στην Αρχαία Ελλάδα, όπως και στους άλλους πολιτισμούς της αρχαιότητας, οι άνθρωποι κατασκεύαζαν πηγάδια. Δεν αποκλείεται κάποιοι να σκέφτηκαν να χρησιμοποιούν τα λιγότερα τούβλα και να πετυχαίνουν τη μεγαλύτερη διατομή. (Β) ΣΤΗ ΦΥΣΗ Μέλισσες και ισοπεριμετρία Μία από τις εφαρμογές του ισοπεριμετρικού θεωρήματος στη φύση που είναι αξιοθαύμαστη, είναι η επαναλαμβανόμενη μορφή των κελιών στις κυψέλες των μελισσών. Έχει παρατηρηθεί ότι οι μέλισσες λειτουργώντας ενστικτωδώς κατασκευάζουν εξαγωνικά κελιά στις κηρήθρες τους. Αλλά πού οφείλεται αυτή η έμμονα επαναλαμβανόμενη μορφή των κελιών; Εάν το σχήμα των κελιών ήταν κυκλικό, οκτάγωνο ή πεντάγωνο τότε δε θα γέμιζε όλος ο διαθέσιμος χώρος, καθώς οι γωνίες που ενώνονται θα πρέπει να έχουν άθροισμα 360 μοίρες, και έτσι θα υπήρχαν κενά και θα έπρεπε τα τοιχώματα να ήταν διπλά ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ 3

με συνέπεια τη σπατάλη χρόνου αλλά και υλικού. Τα μόνα κανονικά πολύγωνα των οποίων οι γωνίες είναι διαιρέτες του 360 είναι: Το ισόπλευρο τρίγωνο (γωνία : 60 ο ) το τετράγωνο (γωνία : 90 ο ) και το κανονικό εξάγωνο (γωνία : 10 ο ) Παρ όλα αυτά επιλέγουν το κανονικό εξάγωνο γιατί έχει τα περισσότερα πλεονεκτήματα σε σχέση με τα άλλα δυο σχήματα. Το κανονικό εξάγωνο είναι αυτό που έχει τη μεγαλύτερη επιφάνεια σε σχέση με την περίμετρό του. Αναλυτικότερα, αν πάρουμε ένα ισόπλευρο τρίγωνο, ένα τετράγωνο και ένα κανονικό εξάγωνο, τα οποία έχουν την ίδια περίμετρο, τότε το κανονικό εξάγωνο είναι αυτό που έχει τη μεγαλύτερη επιφάνεια. Για παράδειγμα, αν η περίμετρος και των τριών σχημάτων είναι 4m ισχύουν τα παρακάτω: Τύπος υπολογισμού του εμβαδού τριγώνου Ε = α 3,όπου α είναι η πλευρά του τριγώνου. 4 Άρα αν η περίμετρος είναι 4 m τότε η πλευρά είναι α = 8 m και το εμβαδόν του είναι : Ε = 7, m Τύπος υπολογισμού του εμβαδού τετραγώνου Ε = α, όπου α είναι η πλευρά του τετραγώνου. Άρα αν η περίμετρος είναι 4 m τότε η πλευρά είναι α = 6 m και το εμβαδόν του είναι : Ε = 36 m Τύπος υπολογισμού του εμβαδού εξαγώνου Ε = 3α 3, όπου α είναι η πλευρά του εξαγώνου. 4 10ο ΜΑΘΗΤΙΚΟ ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Άρα αν η περίμετρος είναι 4 m τότε η πλευρά είναι α = 4 m και το εμβαδόν του είναι : Ε = 40,8 m Παρατηρούμε, λοιπόν, ότι παρά τους μικροσκοπικούς τους εγκεφάλους οι μέλισσες είναι ικανές για εντυπωσιακά κατορθώματα στη συμπεριφορά τους. (Γ) ΣΤΗΝ ΚΑΘΗΜΕΡΙΝΗ ΖΩΗ Σε μια συνέντευξη για πρόσληψη στην IBM Ερώτηση: Γιατί τα φρεάτια που βρίσκονται στους δρόμους των πόλεων έχουν, κατά κανόνα, κυκλικά σκέπαστρα; Απάντηση: Αν το σκέπαστρο ήταν ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ή τετράγωνο, τότε θα κινδύνευε να πέσει μέσα στο φρεάτιο, π.χ. στις περιπτώσεις που θα τοποθετηθεί κατακόρυφα και κατά τη διαγώνιο του ανοίγματος. Όταν είναι κυκλικά τα σκέπαστρα, τότε δεν υπάρχει αυτός ο κίνδυνος, δεν μπορούν να πέσουν μέσα στο άνοιγμα. Η σκέψη αυτή φαίνεται, διαισθητικά τουλάχιστον, σωστή. Αλλά και η εμπειρία, την επιβεβαιώνει. ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ 5

(Δ) ΣΤΙΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ Τα τελευταία χρόνια, εκτός από τα Θεωρητικά Μαθηματικά, το ενδιαφέρον για το ισοπεριμετρικό θεώρημα αναπτύχθηκε σε διάφορους τομείς και εφαρμόζεται στη Φυσική, την Αρχιτεκτονική και σε άλλες επιστήμες. London city hall Porta fira tower ΕΠΙΛΟΓΟΣ Το ισοπεριμετρικό πρόβλημα είναι, σύμφωνα με τους ειδικούς, το αρχαιότερο πρόβλημα μεγιστοποίησης, που με απλά λόγια λέει το εξής: Από όλες τις καμπύλες του επιπέδου που έχουν το ίδιο μήκος, αυτή που περικλείει χωρίο με το μέγιστο δυνατό εμβαδόν είναι ο κύκλος. To θεώρημα αυτό, έχει εφαρμοστεί από την αρχαιότητα σε πολλούς τομείς. Είναι αξιοθαύμαστο το ότι εξακολουθεί να εφαρμόζεται και στη σημερινή ζωή, τόσο από διάφορες επιστήμες, όσο και από την ίδια τη φύση. Είναι εμφανές, λοιπόν, ότι το ισοπεριμετρικό θεώρημα ξεπέρασε τα πηγάδια και τους σωλήνες, και βρήκε έδαφος στις σύγχρονες αρχιτεκτονικές κατασκευές καθώς και σε μοντέρνες εφαρμογές. 6 10ο ΜΑΘΗΤΙΚΟ ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΑΠΟ ΤΟ ΠΑΙΧΝΙΔΙ ΤΑ 15 ΠΟΤΗΡΙΑ ΣΤΗΝ ΒΕΛΤΙΣΤΗ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗ OMG13 Γιώργος Βούζας, Οδυσσέας Ζαχαριάδης, Κίμων Καπετανάκης, Γιώργος Μακράκης, Πέτρος Νομικός, Τζώρτζης Παναγόπουλος, Χρήστος Παπαδημούλης, Δανάη Πετροπούλου, Βασιλική Πουλά, Ιωάννα Σαραντοπούλου και Κίμων Τρούκης Συντονιστές: Δρ Κωστής Ανδριόπουλος, Στέλλα Κίτσου, MSc Όμιλος Μαθηματικών Γυμνασίου, Σχολή Μωραΐτη, Ψυχικό, GR-1545, Αθήνα, Ελλάδα ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στόχος τής εργασίας είναι η εύρεση της βέλτιστης στρατηγικής τού παιχνιδιού Τα 15 ποτήρια, η γενίκευσή του, και η διατύπωση του ψευδοκώδικα OMG13. Στα 15 ποτήρια, δύο παίκτες, που παίζουν εναλλάξ, επιτρέπεται να πάρουν 1 ή ή 3 ποτήρια τη φορά από ένα σύνολο 15 ποτηριών που βρίσκονται μπροστά τους. Ο παίκτης που θα αναγκαστεί να πάρει το τελευταίο ποτήρι χάνει. Η γενίκευση του παιχνιδιού αφορά στην περίπτωση τυχαίου αριθμού ποτηριών. Ο ψευδοκώδικας OMG13 αποτελεί την βέλτιστη στρατηγική των ν ποτηριών ο οποίος θα οδηγήσει στη κατασκευή μιας εφαρμογής (alet) με όνομα OMG13. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Τα «15 ΠΟΤΗΡΙΑ» είναι ένα πρωτότυπο παιχνίδι με πολύ απλούς και κατανοητούς κανόνες: Υπάρχουν 15 ποτήρια και δύο παίκτες που παίζουν εναλλάξ. Ο κάθε παίκτης μπορεί να πάρει κάθε φορά 1 ή ή 3 ποτήρια. Νικητής είναι αυτός που αφήνει τον αντίπαλο του με το τελευταίο ποτήρι. Aρκούν όμως αυτοί οι κανόνες για να οδηγήσουν τον παίκτη στη νίκη; Ας υποθέσουμε ότι δύο παίκτες Α και Β παίζουν με τους ακόλουθους τρόπους: ΠΑΡΤΙΔΑ 1 Παίκτης Α: παίρνει 3 ποτήρια (απομένουν 1). Παίκτης Β: παίρνει ποτήρια (απομένουν 10). ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ 7

Α: παίρνει (απομένουν 8). Β: παίρνει 1 (απομένουν 7). Α: παίρνει 3 (απομένουν 4). Β: παίρνει 3 (έμεινε 1). Α: έχασε. ΠΑΡΤΙΔΑ Παίκτης Β: παίρνει 3 ποτήρια (απομένουν 1). Παίκτης Α: παίρνει 3 ποτήρια (απομένουν 9). Β: παίρνει 1 (απομένουν 8). Α: παίρνει (απομένουν 6). Β: παίρνει 1 (απομένουν 5). Α: παίρνει 1 (απομένουν 4). Β: παίρνει 3 (έμεινε 1). Α: έχασε. Όπως φαίνεται στις παραπάνω παρτίδες, οι δύο παίκτες παίζουν σύμφωνα με τους κανόνες. Παρόλα αυτά όμως, ο παίκτης Α έχασε και τις δύο φορές. Τι πρέπει λοιπόν να κάνει ο παίκτης Α, για να νικάει πάντα; Σίγουρα θα ακολουθήσουν αρκετές παρτίδες μέχρι τη στιγμή που θα πετύχει τη νίκη του ο παίκτης Α. Τα ερωτήματα που πρέπει να απαντήσει θα είναι: 1. Έχει σημασία η σειρά που θα παίξει;. Είναι τυχαία η πρώτη κίνηση που θα κάνει; 3. Υπάρχουν κινήσεις που θα του εξασφαλίσουν ένα βέβαιο «Ματ» του αντίπαλου παίκτη; Η ΒΕΛΤΙΣΤΗ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗ Οι πρώτες παρατηρήσεις σε παρτίδες παιχνιδιού μεταξύ των μελών του Ομίλου Μαθηματικών έδειξαν ότι σε κάθε πιθανό «φινάλε» προκύπτει το πρόβλημα των 5 ποτηριών. Δηλαδή, μόλις ένας παίκτης καταφέρει (με κάποιον μαγικό, για την ώρα, τρόπο) να αφήσει 5 ποτήρια στο ταμπλό, τότε ο αντίπαλος δεν μπορεί παρά να χάσει. Και αυτό γιατί αν πάρει 1 ποτήρι, ο πρώτος παίκτης θα πάρει 3 (αφήνοντας με αυτόν τον τρόπο το τελευταίο ποτήρι), αν πάρει ποτήρια, ο πρώτος παίκτης θα πάρει και αυτός, ενώ αν πάρει 3 ποτήρια ο πρώτος παίκτης θα πάρει 1. Συνεπώς, δεν μένει παρά να προσπαθήσει κάποιος παίκτης να οδηγήσει την παρτίδα σε εκείνο το σημείο που έπειτα από μια κίνησή του θα καταφέρει να αφήσει στο ταμπλό του παιχνιδιού 5 ποτήρια (οδηγώντας τον αντίπαλό του στο παραπάνω φινάλε). Αυτή η σκέψη οδηγεί στην μέθοδο της προς τα πίσω επαγωγής που αποτελεί μια διαδικασία επίλυσης προβλημάτων και είναι πολύ σημαντική στην Θεωρία Παιγνίων [1]. 8 10ο ΜΑΘΗΤΙΚΟ ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Πώς όμως θα το καταφέρει αυτό; Ήδη βλέπουμε πως ο παίκτης έχει αρχίσει να σκέφτεται και να προσπαθεί να μην αφήσει το παιχνίδι στην τύχη. Μάλιστα προσπαθεί να αναπτύξει ενός είδους στρατηγική. Με την λέξη στρατηγική εννοούμε το σύνολο των ενεργειών σχετικά με το ποιες κινήσεις πρέπει να κάνει ο παίκτης έχοντας πάντα υπόψη του όλες τις κινήσεις του αντιπάλου. Πριν οδηγηθούμε στα 15 ποτήρια, ας δούμε τι συμβαίνει με τον ελάχιστο αριθμό ποτηριών, το 1 ΠΟΤΗΡΙ. Για να κερδίσει ο παίκτης Α με ένα ποτήρι, θα πρέπει να παίξει ος, έτσι ώστε ο Β, που θα παίξει πρώτος, θα έχει μπροστά του 1 ποτήρι και έτσι λοιπόν θα χάσει. Στην περίπτωση των ΠΟΤΗΡΙΩΝ, ο Α για να νικήσει, θα πρέπει να παίξει 1 ος και να πάρει το 1 από τα δύο ποτήρια. Στην περίπτωση των 3 ΠΟΤΗΡΙΩΝ, ο Α για να νικήσει, θα πρέπει να παίξει 1 ος και να πάρει από τα τρία ποτήρια. Στην περίπτωση των 4 ΠΟΤΗΡΙΩΝ, ο Α για να νικήσει, θα πρέπει να παίξει 1 ος και να πάρει 3 από τα τέσσερα ποτήρια. Και τώρα φτάνουμε στην περίπτωση των 5 ΠΟΤΗΡΙΩΝ: Ο παίκτης Α για να νικήσει θα πρέπει να παραχωρήσει τη θέση του στον Β, δηλαδή να παίξει ος. Οπότε ο Β ή θα πάρει 1 ή ή 3 ποτήρια. Αν ο Β πάρει 1, ο Α θα πάρει 3 Αν ο Β πάρει, ο Α θα πάρει Ονομάζουμε αυτή την Αν ο Β πάρει 3, ο Α θα πάρει 1 παρένθεση «Βήμα» Η επόμενη περίπτωση είναι αυτή των 6 ΠΟΤΗΡΙΩΝ. Εδώ, για να κερδίσει ο Α θα πρέπει να παίξει 1 ος και να πάρει 1 για να αφήσει τον Β με πέντε ποτήρια. Οπότε ξαναγυρνάμε στην περίπτωση των 5 ΠΟΤΗΡΙΩΝ, όπου ό,τι και να πάρει ο Β, θα χάσει. Συμπεραίνουμε λοιπόν από τις παραπάνω περιπτώσεις, ότι οι κινήσεις που πρέπει να κάνει ο Α για να νικήσει δεν είναι τυχαίες αλλά ακολουθούν μια στρατηγική. Ας δούμε λοιπόν, λίγο πιο προσεκτικά τις περιπτώσεις των ποτηριών με περισσότερα ποτήρια, έτσι ώστε να νικάει ο Παίκτης Α. Ας υποθέσουμε ότι ν είναι ο αριθμός των ποτηριών. ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ 9

Οι παραπάνω περιπτώσεις, καθώς και μερικές ακόμα, συνοψίζονται στον ακόλουθο πίνακα Τα ν ποτήρια Νικητής Στρατηγική ν=1 ος παίκτης Ο 1 ος παίκτης αναγκαστικά θα χάσει ν= 1 ος παίκτης Πάρε 1 ποτήρι ν=3 1 ος παίκτης Πάρε ποτήρια ν=4 1 ος παίκτης Πάρε 3 ποτήρια ν=5 ος παίκτης Ότι και αν πάρει ο 1 ος παίκτης, έστω χ ποτήρια (όπου χ=1,,3), ο ος έχει στρατηγική νίκης παίρνοντας 4-χ ν=6 1 ος παίκτης Πάρε 1 ποτήρι και δες ν=5 ν=7 1 ος παίκτης Πάρε ποτήρια και δες ν=5 ν=8 1 ος παίκτης Πάρε 3 ποτήρια και δες ν=5 ν=9 ος παίκτης Ότι και αν πάρει ο 1 ος παίκτης, έστω χ ποτήρια, ο ος έχει στρατηγική νίκης παίζοντας 1 ος για ν=9-χ ν=10 1 ος παίκτης Πάρε 1 ποτήρι και δες ν=9 ν=11 1 ος παίκτης Πάρε ποτήρια και δες ν=9 ν=1 1 ος παίκτης Πάρε 3 ποτήρια και δες ν=9 ν=13 ος παίκτης Ότι και αν πάρει ο 1 ος παίκτης, έστω χ ποτήρια, ο ος έχει στρατηγική νίκης παίζοντας 1 ος για ν=13-χ ν=14 1 ος παίκτης Πάρε 1 ποτήρι και δες ν=13 ν=15 1 ος παίκτης Πάρε ποτήρια και δες ν=13 Παρατηρούμε δηλαδή πως υπάρχει μια αναδρομικότητα στις λύσεις του προβλήματος των ν ποτηριών. Κάθε περίπτωση ανάγεται στις προηγούμενες και μάλιστα με βασικούς ενδιάμεσους σταθμούς τις περιπτώσεις ν=1, 5, 9, 13, 17, 1, 5,.... Πώς περιγράφονται όμως αυτοί οι αριθμοί; Και γιατί μας ενδιαφέρουν τόσο πολύ; Ο λόγος είναι απλός: Για όλα αυτά τα ν (δηλαδή για ν=1, 5, 9, 13, 17, 1, κ.ο.κ.) πρέπει να παίξουμε οι! Σε όλες τις άλλες περιπτώσεις έχουμε στρατηγική νίκης παίζοντας 1 οι! Όπως παρατηρούμε από τον παραπάνω πίνακα, κάθε αριθμός απέχει απ τον προηγούμενο του κατά 4. Συνεπώς θα παίζω ος κάθε φορά που το πλήθος των ποτηριών είναι της μορφής 4κ+1. Με άλλα λόγια καταλήγουμε στην ακόλουθη σχέση: (όπου κ= 0, 1,, 3, 4, 5 ). ν = 4 κ + 1 10 10ο ΜΑΘΗΤΙΚΟ ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Όπως είπαμε πιο πριν, το ν είναι το σύνολο των ποτηριών. Το 4 είναι η «απόσταση» από το ένα Βήμα στο άλλο (για παράδειγμα από το 5-9, από το 9-13, από το 13-17 κ.ο.κ.). Το κ δηλώνει το πόσες φορές ο κάθε παίκτης θα ακολουθήσει το «Βήμα». Ο ΨΕΥΔΟΚΩΔΙΚΑΣ OMG13 H βέλτιστη στρατηγική και η γενίκευσή της για τυχαίο αριθμό ποτηριών μας οδηγεί στην κατασκευή ενός αλγόριθμου τον οποίο ονομάσαμε ΟΜG13. Αν λοιπόν ο παίκτης κληθεί να παίξει μια παρτίδα με ν ποτήρια τότε πρέπει να ακολουθήσει τα παρακάτω βήματα Διαίρεσε το ν με το 4. Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης του ν με το 4 είναι 0, τότε Παίξε πρώτος και πάρε 3 ποτήρια. Βήμα: Αν ο αντίπαλος πάρει 1 ποτήρι, τότε εσύ πάρε 3. Αν ο αντίπαλος πάρει ποτήρια, τότε εσύ πάρε. Αν ο αντίπαλος πάρει 3 ποτήρια, τότε εσύ πάρε 1. Κάνε πάλι ότι σου λέει το Βήμα μέχρι να αφήσεις ένα ποτήρι στο ταμπλό. Τότε είσαι ο Νικητής. Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης του ν με το 4 είναι 1, τότε Δώσε ευγενικά την σειρά σου στον αντίπαλο να παίξει πρώτος. Αν αυτός δεχθεί και παίξει πρώτος τότε εσύ συνέχισε ως εξής: Βήμα: Αν ο αντίπαλος πάρει 1 ποτήρι, τότε εσύ πάρε 3. Αν ο αντίπαλος πάρει ποτήρια, τότε εσύ πάρε. Αν ο αντίπαλος πάρει 3 ποτήρια, τότε εσύ πάρε 1. Κάνε πάλι ότι σου λέει το Βήμα μέχρι να αφήσεις ένα ποτήρι στο ταμπλό. Τότε είσαι ο Νικητής. Αν αυτός τώρα επιμείνει να παίξει δεύτερος, τότε Βήμα 1: Παίξε πρώτος και πάρε 1 ποτήρι. Αν ο αντίπαλος πάρει 3 ποτήρια, τότε έπαιξε βέλτιστα, οπότε πήγαινε πάλι στο Βήμα 1. Αν ο αντίπαλος πάρει ποτήρια, τότε έπαιξε λάθος, οπότε πάρε 1 ποτήρι και Βήμα: o Αν πάρει 1 ποτήρι, τότε εσύ πάρε 3. ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ 11

o Αν πάρει ποτήρια, τότε εσύ πάρε. o Αν πάρει 3 ποτήρια, τότε εσύ πάρε 1. Κάνε πάλι ότι σου λέει το Βήμα μέχρι να αφήσεις 1 ποτήρι στο ταμπλό και να κερδίσεις. Αν ο αντίπαλος πάρει 1 ποτήρι, τότε έπαιξε λάθος, οπότε πάρε ποτήρια και Βήμα: o Αν πάρει 1 ποτήρι, τότε εσύ πάρε 3. o Αν πάρει ποτήρια, τότε εσύ πάρε. o Αν πάρει 3 ποτήρια, τότε εσύ πάρε 1. Κάνε πάλι ότι σου λέει το Βήμα μέχρι να αφήσεις 1 ποτήρι στο ταμπλό και να κερδίσεις. Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης του ν με το 4 είναι, τότε Παίξε πρώτος και πάρε 1 ποτήρι. Βήμα: Αν ο αντίπαλος πάρει 1 ποτήρι, τότε εσύ πάρε 3. Αν ο αντίπαλος πάρει ποτήρια, τότε εσύ πάρε. Αν ο αντίπαλος πάρει 3 ποτήρια, τότε εσύ πάρε 1. Κάνε πάλι ότι σου λέει το Βήμα μέχρι να αφήσεις ένα ποτήρι στο ταμπλό. Τότε είσαι ο Νικητής. Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης του ν με το 4 είναι 3, τότε Παίξε πρώτος και πάρε ποτήρια. Βήμα: Αν ο αντίπαλος πάρει 1 ποτήρι, τότε εσύ πάρε 3. Αν ο αντίπαλος πάρει ποτήρια, τότε εσύ πάρε. Αν ο αντίπαλος πάρει 3 ποτήρια, τότε εσύ πάρε 1. Κάνε πάλι ότι σου λέει το Βήμα μέχρι να αφήσεις ένα ποτήρι στο ταμπλό. Τότε είσαι ο Νικητής. Αν τώρα το υπόλοιπο της διαίρεσης του ν με το 4 δεν είναι 1 και ο αντίπαλος δεν επιθυμεί να παίξει δεύτερος (γιατί εμείς θέλουμε να παίξουμε 1 οι και να έχουμε στρατηγική νίκης όπως περιγράψαμε πιο πάνω), τότε τι θα κάνουμε; Προφανώς θα δούμε την κίνηση του αντιπάλου. Κάθε φορά που παίζει σωστά, εμείς θα παίρνουμε 1 ποτήρι για να μην επιταγχύνουμε την ήττα μας... Μόλις κάνει κάποιο λάθος, εμείς θα πρέπει να το εκμεταλλευτούμε και να παίξουμε βέλτιστα όπως περιγράφηκε πιο πάνω στο σημείο όπου το υπόλοιπο είναι 1 και ο αντίπαλος επιμείνει να παίξει δεύτερος. Η ΕΦΑΡΜΟΓΗ (alet) OMG13 1 10ο ΜΑΘΗΤΙΚΟ ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Η βέλτιστη στρατηγική και η δημιουργία του ψευδοκώδικα OMG13 οδήγησε στη δημιουργία της εφαρμογής (alet) OMG13 την οποία ο χρήστης μπορεί να «κατεβάσει» στον υπολογιστή του []. Το παιχνίδι, που είναι συμβατό με όλους τους υπολογιστές με Microsoft Windows, παίζεται από δύο παίκτες. Το όνομα OMG13 βγήκε από τα αρχικά του Ομίλου Μαθηματικών Γυμνασίου, ενώ το 13 από τις κινήσεις του κάθε παίκτη. O παίκτης έχει τη δυνατότητα να επιλέξει αν θα παίξει εναντίον του υπολογιστή ή εναντίον κάποιου άλλου παίκτη. Οι παίκτες στη συνέχεια αφού διαβάσουν τις οδηγίες που υπάρχουν «κλικάροντας» το κατάλληλο εικονίδιο «Οδηγίες» μπορούν να επιλέξουν το πλήθος των ποτηριών και να παίξουν εναλλάξ. Η σειρά που θα παίξουν οι παίκτες καθορίζεται από τους ίδιους με μια αυτόματη ερώτηση προς τους ίδιους «Παίκτη Α, θέλεις να παίξεις πρώτος;» και ανάλογα «κλικάρει» ο παίκτης την επιθυμητή απάντηση. Στη συνέχεια οι παίκτες μπορούν να πάρουν 1,, ή 3 ποτήρια μέχρι να αφήσουν τον αντίπαλο με 1 μόνο ποτήρι. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Συμπερασματικά τα «15 ποτήρια» είναι ένα παιχνίδι που δεν βασίζεται στην τύχη αλλά αποκλειστικά στη μαθηματική σκέψη που οδηγεί σε μια συγκεκριμένη στρατηγική. Με αυτό το παιχνίδι αποκαλύπτεται και μια άλλη πλευρά των μαθηματικών: Τα μαθηματικά δεν είναι ένα δύσκολο σχολικό μάθημα όπως πιστεύουν αρκετοί, που προϋποθέτει την επίλυση τεράστιων αλγεβρικών εξισώσεων και αριθμητικών παραστάσεων. Τα μαθηματικά βρίσκονται παντού στην καθημερινότητά μας, ακόμη και εκεί που δεν το φανταζόμαστε. Είναι τρόπος σκέψης, απλή λογική, ένα παιχνίδι με το μυαλό. Τα μαθηματικά είναι μια πανέμορφη επιστήμη που μαγεύει και συναρπάζει όλους όσους ασχολούνται με αυτή και ουσιαστικά ένα παιχνίδι όπως αυτό που εμπνευστήκαμε να σας παρουσιάσουμε. Έτσι παράλληλα με τα μαθηματικά του σχολείου, μέσα από ένα διαδραστικό παιχνίδι, βρέθηκε η βέλτιστη στρατηγική. Στη συνέχεια η στρατηγική αυτή κωδικοποιήθηκε και δημιουργήθηκε η εφαρμογή ΟΜG13. Η εργασία αυτή που απλά έθιξε (δύσκολα) θέματα θεωρίας παιγνίων και επιλογής αποφάσεων που άλλα παιδιά φτάνουν στο Πανεπιστήμιο για να γνωρίσουν ήταν για μικρότερους μαθητές μια ευχάριστη διαδικασία ανακάλυψης του κόσμου των μαθηματικών. Και όλα αυτά μέσα από μια σπαζοκεφαλιά που στην αρχή τα μαθηματικά δεν ήταν εμφανή. Τέτοιες εργασίες δεν πρέπει να σταματήσουν εδώ. Είναι απαραίτητο να γίνουν και άλλες που να προκαλούν μαθητές να εμπλακούν σε τέτοιου είδους σπαζοκεφαλιές. Θα είναι σίγουρα μια θετική εξέλιξη για εμάς και για τους συμμαθητές μας. ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ 13

ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Ευχαριστούμε τον Νίκο Παπαχρήστου για την υλοποίηση της εφαρμογής OMG13 σε περιβάλλον Windows και τους συμμαθητές μας Κώστα Μισαηλίδη, Θεανώ Ξηρουχάκη και Σοφοκλή Στρόμπολα για την βοήθειά τους κατά την διάρκεια των συζητήσεων μας το τετράμηνο 01-013 στα πλαίσια του Ομίλου Μαθηματικών Γυμνασίου της Σχολής Μωραΐτη. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ [1] Ανδριόπουλος Κ (013) Η αξία της μεθόδου τής προς τα πίσω επαγωγής (backward induction method) Πρακτικά του 15 ου Παγκύπριου Συνεδρίου Μαθηματικής Παιδείας, Αγρός, Κύπρος [] (Alet) OMG13, download: htt://www.moraitis-school.com/school/omilosmath Σύλληψη, Λογική παιχνιδιού: Όμιλος Μαθηματικών Γυμνασίου, Σχολή Μωραΐτη, Προγραμματισμός εφαρμογής: Νίκος Παπαχρήστου (htt://ai.uom.gr/nikaa/) 14 10ο ΜΑΘΗΤΙΚΟ ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

BOX CHECKING EXPERIMENT Γιώργος Τζακωνιάτης και Αλέξης Καφαντάρης Συντονιστής: Δρ Κωστής Ανδριόπουλος Σχολή Μωραΐτη, Ψυχικό, GR-1545, Αθήνα, Ελλάδα ΠΕΡΙΛΗΨΗ n ατόμων. Οι επιλογές που έχει κάθε Το παίγνιο που ερευνούμε είναι ένα παίγνιο παίκτης είναι να τικάρει ή να μην τικάρει ένα κουτάκι που έχει μπροστά του. Το κέρδος κάθε παίκτη εξαρτάται από τις ενέργειες του συνόλου των παικτών. Αν η πλειοψηφία των παικτών τικάρει το κουτάκι, τότε όσοι παίκτες επέλεξαν να τικάρουν χάνουν έναν βαθμό. Αν όμως η πλειοψηφία δεν τικάρει, τότε αυτομάτως όσοι τίκαραν κερδίζουν έναν βαθμό. Όσοι επιλέξουν να μην τικάρουν, τότε, ανεξάρτητα από τις επιλογές των υπολοίπων, ούτε χάνουν ούτε κερδίζουν βαθμό. Σε αυτήν την εργασία εξετάζουμε το παίγνιο τόσο θεωρητικά (από μαθηματικής, παιγνιοθεωρητικής άποψης) όσο και πειραματικά (σχολιάζοντας παράλληλα την σημασία των ψυχολογικών κοινωνικών παραγόντων). ΕΙΣΑΓΩΓΗ Το 003 ο John Allen Paulos πρωτοπαρουσίασε ένα ενδιαφέρον παίγνιο [1] το οποίο ονομάζουμε Box-Checking Exeriment. Το παίγνιο παίζεται από n παίκτες. Δίνεται ένα χαρτί σε όλους τους παίκτες με ένα κουτάκι σχεδιασμένο και τους δίνεται επίσης η επιλογή να το τικάρουν ή να το αφήσουν κενό. Αν ο παίκτης το αφήσει κενό, τότε δεν θα κερδίσει αλλά ούτε θα χάσει κάτι. Αν όμως το τικάρει, τότε η ωφέλειά του θα εξαρτηθεί από τις ενέργειες των υπόλοιπων παικτών. Εφόσον έχουν τικάρει το πολύ οι μισοί, ο παίκτης που τίκαρε θα έχει όφελος +1, ενώ αν το τικάρουν πάνω από τους μισούς παίκτες συνολικά, θα έχει απώλεια 1. Το όφελος και η απώλεια αναφέρονται σε έναν βαθμό αξιολόγησης, π.χ. σε έναν «βαθμό» γραπτής ή προφορικής εξέτασης. Σε αυτήν την εργασία, διερευνούμε αυτό το παίγνιο από κάθε δυνατή πλευρά. Εντοπίζουμε το σημείο ισορροπίας του για, 3, 4 και 5 παίκτες και εικάζουμε την βέλτιστη στρατηγική ενός τυχαίου παίκτη, η οποία εξαρτάται από το σύνολο των παικτών. Εκτός από το θεωρητικό κομμάτι, παρουσιάζουμε και άμεσα αποτελέσματα, αφού εκτελέσαμε το πείραμα σε διάφορα τμήματα Γυμνασίου και Λυκείου. ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ 15

Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΠΑΙΚΤΩΝ Η πρώτη περίπτωση που θα εξετάσουμε είναι η περίπτωση δύο παικτών. Αυτή είναι βεβαίως και η απλούστερη περίπτωση. Δύο παίκτες έχουν μπροστά τους ένα κουτάκι το οποίο είτε θα τικάρουν είτε θα το αφήσουν κενό. Αν και οι δύο το τικάρουν, θα χάσουν από μία μονάδα ωφέλειας. Όποιος το αφήσει κενό δεν διεκδικεί κάποια μονάδα ωφέλειας, ενώ αν κάποιος το τικάρει και ο αντίπαλός του το αφήσει κενό, τότε αυτός που το τίκαρε θα κερδίσει έναν βαθμό. Ο διπίνακας που συνοψίζει όλα τα παραπάνω είναι ο ακόλουθος: -1, -1 1, 0 0, 1 0, 0 Υπάρχουν δύο τύποι στρατηγικής. Πρώτα θα εξετάσουμε τις ισορροπίες Nash σε καθαρές στρατηγικές, δηλαδή κάθε παίκτης πρέπει να επιλέξει αν θα τικάρει ή αν δεν θα τικάρει το κουτάκι. Ο παίκτης γραμμή θα σκεφτεί ως εξής: Αν ο παίκτης στήλη τικάρει, τότε εγώ θα πρέπει να το αφήσω κενό ( 0 1), ενώ αν δεν τικάρει, εγώ θα πρέπει να το τικάρω ( Το ίδιο ισχύει και για τον παίκτη στήλη. Συνεπώς υπάρχουν δύο ισορροπίες Nash: (τικάρω, δεν τικάρω) και (δεν τικάρω, τικάρω). Αφού υπάρχουν δύο ισορροπίες, οι παίκτες δεν μπορούν να καθορίσουν ποια θα επικρατήσει, και οι δύο είναι εξίσου πιθανές να πραγματοποιηθούν. Οπότε ποιά θα είναι η κατάληξη του παιγνίου; Ο δεύτερος τύπος στρατηγικής είναι η ισορροπία Nash σε μεικτές στρατηγικές. Η επιλογή μεικτής στρατηγικής ισοδυναμεί με το να επιλέξει κάποιος τυχαία μεταξύ (συγκεκριμένων) καθαρών στρατηγικών (π.χ. ο παίκτης επιλέγει να τικάρει με πιθανότητα και να μην τικάρει με πιθανότητα ). Με άλλα λόγια, η μεικτή στρατηγική Nash ορίζεται ως μια σαφώς προσδιορισμένη κατανομή πιθανότητας (δηλαδή μια μεταβλητή που παίρνει τιμές: ). 0 1 1 1 0 ). Έτσι, στην περίπτωση όπου κανένας από τους δύο παίκτες δεν έχει λόγο να επιλέξει μία από τις καθαρές στρατηγικές του, όταν δηλαδή οι παίκτες είναι αδιάφοροι μεταξύ των δύο στρατηγικών που έχουν στην διάθεσή τους, τότε οι παίκτες φαίνεται πως θα επιλέγουν στην «τύχη». Για να είναι συνεπής η τυχαία επιλογή των πιθανοτήτων, οι πιθανότητες πρέπει να είναι τέτοιες ώστε η προσδοκώμενη ωφέλεια (exected utility) από κάθε καθαρή στρατηγική να είναι σταθερή []. Ένας τυχαίος παίκτης δηλαδή μπορεί να αναμένει ωφέλεια με πιθανότητα 1 με πιθανότητα και ωφέλεια 1 16 10ο ΜΑΘΗΤΙΚΟ ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

οπότε η προσδοκώμενη ωφέλεια όταν επιλέξει να τικάρει θα είναι. Από την άλλη μεριά, η προσδοκώμενη ωφέλεια όταν επιλέξει να αφήσει το κουτάκι κενό είναι 0. Αυτό σημαίνει πως 1 ( 1) ( 1)(1 ) EU (τικάρω) = EU (δεν τικάρω) ( 1) ( 1)(1 ) 0 1 0 Έτσι, ο τυχαίος παίκτης καταλήγει να λύσει την εξίσωση μια πιθανότητα ( 0 1 1 0 ). Η λύση αυτής της εξίσωσης είναι η 1, όπου. εκφράζει Καταλήγουμε λοιπόν, πως το καλύτερο που μπορεί να κάνει ένας παίκτης (οποιοσδήποτε παίκτης μιας και το παίγνιο είναι συμμετρικό, δηλαδή ισχύουν τα ίδια πράγματα για κάθε παίκτη) είναι να τικάρει το κουτάκι με πιθανότητα ½ και να το αφήσει κενό με πιθανότητα ½. Οπότε η βέλτιστη στρατηγική του κάθε παίκτη είναι (½, ½) και το σημείο ισορροπίας ((½, ½), (½, ½)). Και ο απλούστερος τρόπος να βεβαιωθεί ο παίκτης πως πράγματι θα τικάρει το κουτάκι με πιθανότητα ½ είναι να ρίξει ένα νόμισμα! Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 3 ΠΑΙΚΤΩΝ Η δεύτερη περίπτωση που θα εξετάσουμε είναι η περίπτωση των τριών παικτών. Αυτή τη φορά, αν δύο ή τρεις παίκτες το τικάρουν θα χάσουν από μια μονάδα ωφέλειας. Όπως πάντα, όποιος το αφήσει κενό δεν διεκδικεί κάποια μονάδα ωφέλειας, ενώ αν μόνο ένας το τικάρει το κουτάκι, τότε αυτός θα κερδίσει έναν βαθμό. Ο διπίνακας που συνοψίζει όλα τα παραπάνω είναι ο ακόλουθος: ΠΑΙΚΤΗΣ 1-1, -1, -1-1, -1, 0-1, 0, -1 1, 0, 0 ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ 17

Υπάρχει και ένας αντίστοιχος διπίνακας για την περίπτωση που ο Παίκτης 1 δεν τικάρει το κουτάκι, αλλά όπως είδαμε και προηγουμένως, σε αυτήν την περίπτωση η προσδοκώμενη ωφέλειά του είναι 0. Συνεπώς τώρα έχουμε: ( 1) ( 1) (1 ) ( 1) (1 ) ( 1)(1 )(1 ) 0 1 0 4 1 0 16 8 8 1, 1, 4 8 4 1 Η λύση 1 απορρίπτεται διότι 0 1. Δεκτή είναι μόνο η λύση 1 Στην περίπτωση των τριών παικτών καταλήξαμε σε μια άρρητη πιθανότητα, πράγμα που δεν θα μπορούσαμε ποτέ να προβλέψουμε. Τώρα τα πράγματα είναι πολύ πιο δύσκολα διότι ένα νόμισμα δεν βοηθάει. Μάλιστα δεν υπάρχει εύκολος τρόπος να βεβαιωθεί ένας παίκτης πως θα τικάρει με τέτοια πιθανότητα παρά μόνο με την χρήση υπολογιστή! Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 4 ΠΑΙΚΤΩΝ Η τρίτη περίπτωση που θα εξετάσουμε είναι η περίπτωση των τεσσάρων παικτών. Οι τέσσερις παίκτες έχουν μπροστά τους ένα κουτάκι το οποίο είτε θα το τικάρουν είτε θα το αφήσουν κενό. Αν οι τρεις ή τέσσερις παίκτες το τικάρουν, τότε θα χάσουν από μια μονάδα ωφέλειας, ενώ αν ένας ή δύο παίκτες το τικάρουν τότε αυτοί θα κερδίσουν έναν βαθμό. Οι διπίνακες όπου συνοψίζονται όλα τα παραπάνω είναι οι ακόλουθοι:. -1,0,-1,-1 1, 0, 1, 0 1, 0, 0, 1 1, 0, 0, 0 ΠΑΙΚΤΗΣ 1 ΠΑΙΚΤΗΣ 18 10ο ΜΑΘΗΤΙΚΟ ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΠΑΙΚΤΗΣ 1 ΠΑΙΚΤΗΣ Υπάρχουν και δύο ακόμα διπίνακες για την περίπτωση που ο Παίκτης 1 δεν τικάρει το κουτάκι, αλλά όπως είδαμε και προηγουμένως, σε αυτήν την περίπτωση η προσδοκώμενη ωφέλειά του είναι 0. Συνεπώς έχουμε: 0 ) )(1 (1 ) (1 ) (1 ) )(1 )(1 1(1 ) )(1 (1 ) )(1 (1 ) (1 3 3 3 ) (1 ) (1 ) 1 ( 3 3 3 3 3 3 3 3 1 ) 1 ( 0 3 3 3 3 3 0 1 6 4 3 0 1) 1)( ( 0 ) 4 (4 1 Η μοναδική αποδεκτή λύση είναι 1. Οι άλλες δύο απορρίπτονται διότι 0 1. Βλέπουμε λοιπόν πως η βέλτιστη στρατηγική για παίκτες και για 4 παίκτες είναι ακριβώς η ίδια. -1,-1,-1,-1-1,-1,-1, 0-1,-1, 0, -1 1, 1, 0, 0 ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ 19

Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 5 ΠΑΙΚΤΩΝ Η τέταρτη και τελευταία περίπτωση που θα εξετάσουμε είναι η περίπτωση των πέντε παικτών. Δεν θα προχωρήσουμε στην μελέτη περισσότερων παικτών διότι ήδη οι υπολογισμοί γίνονται περίπλοκοι. Οι πέντε παίκτες έχουν μπροστά τους ένα κουτάκι το οποίο είτε θα το τικάρουν είτε θα το αφήσουν κενό. Αν τρεις ή τέσσερεις ή πέντε παίκτες το τικάρουν, τότε θα χάσουν από μια μονάδα ωφέλειας. Όπως πάντα, όποιος το αφήσει κενό δεν διεκδικεί κάποια μονάδα ωφέλειας, ενώ αν ένας ή δύο παίκτες το τικάρουν τότε θα κερδίσουν έναν βαθμό. Οι διπίνακες όπου συνοψίζονται όλα τα παραπάνω είναι οι ακόλουθοι: ΠΑΙΚΤΗΣ 1 ΠΑΙΚΤΗΣ ΠΑΙΚΤΗΣ 3-1,-1,-1,-1,-1-1,-1,-1,-1, 0-1,-1,-1, 0,-1-1,-1,-1, 0, 0 ΠΑΙΚΤΗΣ 1 ΠΑΙΚΤΗΣ ΠΑΙΚΤΗΣ 3-1, 0,-1,-1,-1-1, 0,-1,-1, 0-1, 0,-1, 0,-1 1, 0, 1, 0, 0 ΠΑΙΚΤΗΣ 1 ΠΑΙΚΤΗΣ ΠΑΙΚΤΗΣ 3 0 10ο ΜΑΘΗΤΙΚΟ ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

-1,-1, 0,-1,-1-1,-1, 0,-1, 0-1,-1, 0, 0,-1 1, 1, 0, 0, 0 ΠΑΙΚΤΗΣ ΠΑΙΚΤΗΣ 3 ΠΑΙΚΤΗΣ 1-1, 0, 0,-1,-1 1, 0, 0, 1, 0 1, 0, 0, 0, 1 1, 0, 0, 0, 0 Υπάρχουν και τέσσερις ακόμα διπίνακες που περιγράφουν τις περιπτώσεις όπου ο Παίκτης 1 δεν τικάρει το κουτάκι, αλλά όπως είδαμε σε όλα τα προηγούμενα, σε αυτήν την περίπτωση η προσδοκώμενη ωφέλειά του είναι 0. Συνεπώς τώρα έχουμε: 4 4 4 4 3 3 (1 ) 6 4 4 6 (1 ) (1 ) 1 3 6 4 4 (1 ) 4 1 3 (1 ) 1 3 4 4 0 4 1 4 6 4 3 4 0 6 4 16 1 1 0 Καταλήγουμε λοιπόν στην εξίσωση. Αυτή η εξίσωση έχει τέσσερις λύσεις, δύο μιγαδικές και μια αρνητική που όπως πάντα απορρίπτονται και την αποδεκτή (προσεγγιστική) λύση 0. 38578 [3]. (Η εξίσωση ήταν πολύ δύσκολο να την λύσουμε και χρησιμοποιήσαμε υπολογιστή για να βρούμε τις λύσεις της.) Με άλλα λόγια, ο παίκτης θα πρέπει να τικάρει το κουτάκι με πιθανότητα περίπου 38%. 3 ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ 1

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Κάνοντας τις πράξεις και λύνοντας τις εξισώσεις για τις μεμονωμένες περιπτώσεις, 3, 4 και 5 παικτών καταλήξαμε σε ορισμένα συμπεράσματα που μας βοηθούν να κατανοήσουμε σε βάθος το παίγνιο. Ξεκινώντας, βασικό είναι να γνωρίζουμε ότι αν παίζουν ν παίκτες, η εξίσωση που θα προκύψει για το προσδοκώμενο όφελος θα είναι (ν-1)-βαθμού. Αυτό οφείλεται βεβαίως και στην συμμετρία του συγκεκριμένου παιχνιδιού. Αξιοσημείωτο είναι ότι κάθε εξίσωση που περιγράφει την βέλτιστη στρατηγική για άρτιο πλήθος παικτών φαίνεται να έχει σαν έγκυρη λύση μόνο το ½. Εμείς το διαπιστώσαμε αυτό για και 4 παίκτες, όμως μπορούμε να εικάσουμε πως αυτό θα ισχύει για κάθε άρτιο πλήθος παικτών. Αντίθετα, οι εξισώσεις που περιγράφουν την βέλτιστη στρατηγική για περιττό πλήθος παικτών φαίνεται να έχουν σαν λύση άρρητο αριθμό και μάλιστα, όσο αυξάνονται οι παίκτες, αυτός ο αριθμός (η πιθανότητα δηλαδή) τείνει στο ½. Τα ακριβή μας αποτελέσματα για 3 και 5 παίκτες είναι: 3 παίκτες, ΠΕΙΡΑΜΑΤΑ 1 0.9 και 5 παίκτες, 0.38. Παρότι έχουμε δείξει πως η βέλτιστη στρατηγική για κάποιον παίκτη εξαρτάται από το πλήθος των παικτών που λαμβάνουν μέρος στο παίγνιο, δεν πρέπει να ξεχνάμε την ψυχολογία τους και το τίμημα της ήττας ή, αντίθετα, το όφελος από τη νίκη. Έχει παρατηρηθεί πως όσο μεγαλύτερο είναι το όφελος (άρα και η ζημία) τόσο πιο πολύ διστάζουν οι παίκτες να ρισκάρουν και να τικάρουν το κουτάκι. Αναφερόμαστε στην ψυχολογία διότι οι παίκτες ναι μεν δεν βρίσκονται στην άγνοια και ξέρουν όλες τις στρατηγικές, αλλά δεν παύουν να είναι άνθρωποι και να πράττουν σαν άνθρωποι. Χαρακτηριστικό παράδειγμα (εκτός των πειραμάτων που εμείς οι ίδιοι κάναμε σε παιδιά του Σχολείου μας) αποτελούν τα πειράματα του Paulos [1], όπου οι μαθητές στην αρχή τίκαραν λίγοι-λίγοι, ενώ αργότερα παρατηρήθηκε ότι ενώ σε έναν γύρο είχαμε την πλειοψηφία των τικ, στον επόμενο ακριβώς γύρο άρχισαν πάλι να τικάρουν λίγοι-λίγοι, μέχρι που το ποσοστό σταθεροποιήθηκε στο 40%. Αλλά πάντα αυτό το ποσοστό το συντελούσαν διαφορετικοί μαθητές. Πείραμα που έγινε σε όλες τις τάξεις της Α Λυκείου της Σχολής Μωραΐτη δείχνει πως μόνο σε ένα από τα 5 Τμήματα της Τάξης είχαν τικάρει πάνω από τους μισούς του Τμήματος. 10ο ΜΑΘΗΤΙΚΟ ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΤΜΗΜΑ Α1 0 8 Α 11 15 Α3 8 0 Α4 1 17 Α5 13 15 Επίσης, επαναλαμβανόμενα πειράματα σε μαθητές της Α Γυμνασίου έδειξαν πως στην πρώτη δοκιμασία, παιδιά που έχασαν έναν βαθμό (το κέρδος ή η ζημία ήταν ένας βαθμός πάνω ή κάτω στο διαγώνισμα που ακολουθούσε) στην δεύτερη δοκιμασία σκεφτήκαν την επιλογή τους πιο προσεκτικά και τα περισσότερα δεν ξανατίκαραν μιας και στην πρώτη δοκιμασία είχαν χάσει έναν βαθμό. Μάλιστα, ζητήσαμε από τους μαθητές να μας γράψουν κάποιες σκέψεις τους και ορισμένες μας εντυπωσίασαν: «Αν οι περισσότεροι σκεφτούν ότι θα χάσουν βαθμό, θα ήμουν από τους λίγους που θα τίκαραν. Γι αυτό το λόγο τίκαρα.» «Κάποιος μπορεί να σκεφτεί να μην τικάρει για να μην χάσει ένα βαθμό στα σίγουρα. Κάποιος άλλος όπως εγώ μπορεί να σκεφτεί ότι πολλοί πιθανόν να ακολούθησαν αυτήν την στρατηγική γι αυτό θα το ρίσκαρα.» Αξιοσημείωτο είναι επίσης ότι από δείγμα περίπου 300 παιδιών (με περίπου ίσο πλήθος αγοριών και κοριτσιών) το 70% των αγοριών τίκαρε σε αντίθεση με τα κορίτσια που τίκαραν μόνο σε ποσοστό 30%. ΕΠΙΛΟΓΟΣ Κλείνοντας, θα θέλαμε να αναφερθούμε σε κάποια πράγματα που μας έκαναν ιδιαίτερη εντύπωση. Η βέλτιστη στρατηγική του box-checking exeriment με 3 παίκτες είναι. Αυτός ο αριθμός είναι άρρητος, πράγμα καθόλου αναμενόμενο όταν διαισθητικά προσπαθούσαμε στην αρχή να απαντήσουμε στα ερωτήματα που προέκυπταν. Μάλιστα, η διαίσθησή μας έλεγε πως κάθε παίκτης θα έπρεπε να τικάρει το κουτάκι με πιθανότητα 1/3. Βέβαια, και το δεν αποτελεί κακή προσέγγιση της αλήθειας που είναι περίπου το 0.9. Εξετάζοντας την επόμενη περίπτωση με περιττό πλήθος παικτών, δηλαδή τους 5 παίκτες, διαισθητικά περιμέναμε η πιθανότητα να τικάρει ένας τυχαίος παίκτης το 1 / /5 0.4 1 / 0.9 1/3 0.33 κουτάκι να είναι. Πράγματι, η διαίσθησή μας έπεσε κοντά στην πραγματική τιμή που όπως αποδείξαμε παραπάνω είναι 0.38578. Υποψιαζόμαστε ότι και με παραπάνω από 5 παίκτες (με περιττό πάντα πλήθος παικτών) το ίδιο θα συμβαίνει. Μάλιστα, όσο αυξάνεται το πλήθος των παικτών, τόσο η βέλτιστη στρατηγική του να τικάρει ένας παίκτης το κουτάκι προσεγγίζει το 1/. ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ 3

Το έπαθλο που εξετάσαμε στα πειράματά μας ήταν πάντοτε ένας βαθμός σε διαγώνισμα στα Μαθηματικά. Σε αυτήν την περίπτωση το box-checking exeriment αποτελεί περισσότερο ένα ψυχολογικό παίγνιο παρά μια μαθηματική διαδικασία. Από την άλλη μεριά, το έπαθλο θα μπορούσε κάλλιστα να έχει οικονομικό χαρακτήρα, για παράδειγμα ένα ποσό σε ευρώ. Πάλι βέβαια η ψυχολογία θα έπαιζε τον πρώτο ρόλο μιας και η τακτική των παικτών θα επηρεαζόταν από την τάξη μεγέθους του χρηματικού ποσού. Οι παίκτες αντιδρούν με τελείως διαφορετικό τρόπο όταν πρόκειται να ρισκάρουν 1 ευρώ ή 10.000 ευρώ... Σε κάθε περίπτωση όμως, για να είναι σωστό ένα πείραμα θα πρέπει το έπαθλο να είναι έγκυρο και οι παίκτες να είναι βέβαιοι πως θα τους δοθεί ή θα τους ζητηθεί. ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Ευχαριστούμε τους συμμαθητές μας Γιάννη Μαγκανάρη και Τζόννυ Μαρινάκη για την βοήθειά τους στην ολοκλήρωση της (αρχικής) ομαδικής εργασίας μας στα πλαίσια του roject της Α Λυκείου το τετράμηνο 01-013. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ [1] Paulos John Allen (004) A Mathematician Plays the Market, Penguin Books, UK [] Βαρουφάκης Γιάνης (007) Θεωρία Παιγνίων, Gutenberg, Αθήνα [3] Ανδριόπουλος Κωστής (010) Μαθηματικές Μέθοδοι στα Μικροοικονομικά και Χρηματοοικονομικά, Διδακτορική Διατριβή, Πανεπιστήμιο Πατρών 4 10ο ΜΑΘΗΤΙΚΟ ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΑΡΑΔΟΞΑ Μικαέλλα Αθανασίου, Ειρήνη Αυξεντίου, Γιοβάννα Γιάνιτς, Ελένη Τζίκα Συντονίστριες Καθηγήτριες: Μαρία Κυριακού, Σταυρούλα Σταύρου Pascal English School Lefkosia ΠΕΡΙΛΗΨΗ Θα μπορούσαν να είναι γρίφοι. Όμως είναι προβλήματα που απασχόλησαν χρόνια την μαθηματική σκέψη. Οι δε απαντήσεις εκπληκτικές! Αναδεικνύεται έτσι η διασκεδαστική και ψυχαγωγική όψη των Μαθηματικών που μπορούν να γεμίσουν ευχάριστα τον ελεύθερό μας χρόνο. Στην εργασία μας αυτή θα αναφέρουμε κάποια, ιστορικά και μη, μαθηματικά παράδοξα που σχετίζονται με το άπειρο και τον ορισμό του συνόλου (Παράδοξο του Russell/Κουρέα, Παράδοξο του Αχιλλέα με την χελώνα, Παράδοξο της Διχοτομίας, το Ξενοδοχείο του Hilbert και το Παράδοξο του Galileo). ΕΙΣΑΓΩΓΗ Τι είναι το παράδοξο; Στη λογική παράδοξο ή παραδοξολογία λέγεται η πρόταση, τα λογικά συμπεράσματα της οποίας είναι λογικά απαράδεκτα δηλαδή αντίθετα στην κοινή λογική ή στις συνηθισμένες αντιλήψεις των ανθρώπων. Γνωστή από την αρχαιότητα είναι η ακόλουθη παραδοξολογία του Επιμενίδη: «Όλοι οι Κρητικοί είναι ψεύτες». Ο ίδιος ήταν Κρητικός, άρα λέει και αυτός ψέματα. Αν, όμως, λέει ψέματα ο Επιμενίδης, τότε δεν αληθεύει ο ισχυρισμός του για τους Κρητικούς άρα οι Κρητικοί δεν ψεύδονται. Αφού δεν ψεύδονται οι Κρητικοί, δεν λέει ψέματα και ο Επιμενίδης, άρα αληθεύει η ρήση του για τους Κρητικούς, ότι δηλαδή όλοι λένε ψέματα, οπότε και αυτός ψεύδεται. Έτσι συνεχίζεται επ άπειρον η παραδοξολογία. Η παραδοξολογία προέρχεται από το ότι διατυπώνεται αρχικά μια τυπικά δεκτή, αλλά πραγματικά απαράδεκτη γενίκευση, όπως π.χ. στο παράδοξο του Επιμενίδη ότι όλοι οι κάτοικοι μιας περιοχής ψεύδονται. Ανάλογη είναι η βάση και άλλων μαθηματικών παραδόξων όπως του Bertrand Russell, David Hilbert και του Ζήνωνα του Ελεάτη τα οποία θα παρουσιάσουμε στη συνέχεια. ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ 5

ΚΥΡΙΟ ΜΕΡΟΣ Το παράδοξο του κουρέα/παράδοξο του Russell O Bertrand Russell (187-1970) ήταν Βρετανός μαθηματικός, φιλόσοφος και κοινωνιολόγος, γνωστός για τα έργα του «Οι αρχές των Μαθηματικών» (1903) και το «Princiia Mathematica» (1910-1913). Γνωστό είναι και το παράδοξο που φέρει το όνομά του, σύμφωνα με το οποίο δεν υπάρχει καμιά πρόταση που να μην εμπεριέχει μία αντίφαση και δίνει ως παράδειγμα «το σύνολο όλων των συνόλων που δεν ανήκουν στον εαυτό τους». Το παράδοξο του Russell έχει να κάνει με τον ορισμό του συνόλου ο οποίος αναφέρεται σε άπειρο ή πεπερασμένο αριθμό στοιχείων, τα οποία ομαδοποιούνται με βάση ένα χαρακτηριστικό τους, το οποίο λειτουργεί και ως κριτήριο για το αν άλλα στοιχεία ανήκουν στην ίδια κατηγορία και αλλιώς εμφανίζεται με την ονομασία Παράδοξο του Κουρέα. Σύμφωνα με αυτό: «Σε ένα χωριό που όλοι οι άντρες είναι καθημερινά ξυρισμένοι, υπάρχει ένας μόνο κουρέας. Αυτός ξυρίζει όλους τους άντρες που δεν ξυρίζονται μόνοι τους. Τότε ποιος ξυρίζει τον κουρέα;» Αναλύοντας το πρόβλημα με τη βοήθεια της Θεωρίας των Συνόλων, είναι σαφές ότι στο χωριό υπάρχουν δύο σύνολα. Το σύνολο εκείνων που ξυρίζονται μόνοι τους και το σύνολο εκείνων που ξυρίζονται στον κουρέα. Ο κουρέας ξυρίζεται μόνος του; Αδύνατον, αφού ξυρίζει όλους τους άντρες που δεν ξυρίζονται μόνοι τους. Τον ξυρίζει κάποιος άλλος; Όχι, γιατί ο κουρέας ξυρίζει όλους όσοι δεν ξυρίζονται μόνοι τους. Βρισκόμαστε εδώ μπροστά σε ένα παράδοξο. Σύμφωνα με τον Russell, για να το ξεπεράσουμε πρέπει να διορθώσουμε τη δική μας λανθασμένη αντίληψη ότι για κάθε ιδιότητα πρέπει οπωσδήποτε να υπάρχει ένα σύνολο. Σ αυτή την περίπτωση δεν δημιουργείται κανένα ομοιογενές σύνολο. Τα παράδοξα του Ζήνωνα Ο Ζήνων ο Ελεάτης (5 ος αι. π.χ., περίπου 488-436π.Χ.), ήταν μαθητής του Παρμενίδη. Τα παράδοξα του Ζήνωνα (450π.Χ.), αναφέρονται σε μεταβολές (κίνηση) και αναδεικνύουν μια ασυμφωνία μεταξύ της εμπειρίας και της μαθηματικής της ερμηνείας της εποχής του. Όμως οι μεταβολές μελετώνται μαθηματικά από τον Απειροστικό Λογισμό τον οποίο ο Ζήνων αγνοούσε/δεν γνώριζε και έτσι κατέληξε σε παράδοξα. Χρειάστηκαν είκοσι-πέντε αιώνες για να μπορέσουν να επιλυθούν τα προβλήματα στη θεμελίωση του Απειροστικού Λογισμού, τα οποία ερμήνευαν και τα παράδοξα του Ζήνωνα. Ο Ζήνων δημιούργησε πιθανόν σαράντα παράδοξα αλλά είναι γνωστά μόνο τα εννέα. Το πιο φημισμένο είναι αυτό του Αχιλλέα και της χελώνας που τρέχουν σε ένα δρόμο ταχύτητας. Ο Ζήνωνας υποστήριξε ότι, ποτέ ο Αχιλλέας δεν θα καταφέρει να ξεπεράσει την προπορευόμενη χελώνα! Κάθε φορά που ο Αχιλλέας θα φτάνει στο σημείο που βρισκόταν πριν από λίγο η χελώνα, αυτή θα είχε προχωρήσει (έστω και) 6 10ο ΜΑΘΗΤΙΚΟ ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

λίγο πιο μπροστά. Έτσι αν και ο γοργοπόδαρος Αχιλλέας θα μειώνει συνεχώς την απόσταση απ την προπορευόμενη χελώνα, ποτέ δεν θα την ξεπεράσει. Παράδοξο που οδηγεί στον Απειροστικό Λογισμό. Στη συνέχεια θα αναλύσουμε το πρώτο από τα παράδοξα του Ζήνωνα, το Παράδοξο της Διχοτομίας που είναι ευκολότερα κατανοητό και περιέχει στοιχεία για την ερμηνεία όλων των άλλων. Αυτό έχει ως εξής: Α Β1 Β Β Αν ένα σώμα κινείται από το Α στο Β, τότε πριν φτάσει στο Β, περνάει από το μέσο, έστω Β1 του ΑΒ. Τώρα κινούμενο από το Β1 πρέπει πρώτα να φτάσει στο μέσο Β του Β1Β, και συνεχίζοντας την ίδια διαδικασία βλέπουμε ότι το σώμα πρέπει να κινηθεί δια μέσου ενός άπειρου αριθμού αποστάσεων, δηλαδή θα κινείται επ άπειρο, άρα δεν θα φτάνει ποτέ στο Β, αφού δεν υπάρχει τελευταίος όρος στην ακολουθία των σημείων, δηλαδή ουσιαστικά η κίνηση είναι μόνο φαινομενική και δεν συμβαίνει στην πραγματικότητα! Ήταν πράγματι παράδοξο κι όμως ο Ζήνων είχε δίκιο στην εποχή του. Ο Ζήνων ήταν ο πρώτος που αντιμετώπισε τις επ άπειρο διαδικασίες με βάση αποκλειστικά τη διαίσθηση. Οι Έλληνες Μαθηματικοί δεν μπόρεσαν να τα ερμηνεύσουν, και με πρότυπο την κρίση των αρρήτων, μετέφεραν τον προβληματισμό τους για τις επ άπειρο διαδικασίες στη Γεωμετρία. Η επαναφορά της κατάστασης στους αριθμούς έγινε κατά τον 17ο αιώνα, με τα περίφημα απειροστά του Leibnitz, τα αθεμελίωτα όρια του Newton, αλλά η τελική αυστηρή θεμελίωση των διαδικασιών του απείρου άρχισε με την μελέτη του αριθμητικού συστήματος που θα περιελάμβανε όλους τους αριθμούς της εποχής, τους ρητούς και τους άρρητους. Γιατί τα Μαθηματικά, πέρα από τα ορθά αποτελέσματα των μεθόδων τους, έχουν προαπαιτούμενο ότι οι μέθοδοι αυτές θα πρέπει να στηρίζονται σε λογικές βάσεις. Η διερεύνηση των λογικών βάσεων των μεθόδων του Απειροστικού Λογισμού μας οδήγησε στην έννοια που ονομάζουμε «μαθηματικό συνεχές». Η πορεία άρχισε τον 18 ο αιώνα με τον Euler, διευθετήθηκε κατά τα τέλη του 19 ου αιώνα από τους Cauchy, Bolzano, Dedekind, Peano κ.α. οπότε με το έργο κυρίως του Weierstrass (ε, δ μέθοδος) και το πρόγραμμά του, της «αριθμητικοποίησης της ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ 7

Ανάλυσης» έγινε δυνατή η θεμελίωση του συνόλου των πραγματικών αριθμών (IR) στην Ανάλυση. Ο Ζήνωνας δεν γνώριζε τον Απειροστικό Λογισμό και με τα Μαθηματικά της εποχής του κατέληξε σε παράδοξα. Όμως μας προετοίμασε για το τι είδους προβλήματα θα συναντούσαμε όταν θα μελετούσαμε μεταβολές του πραγματικού κόσμου. Χρειάστηκαν είκοσι πέντε αιώνες για να μπορέσουν να επιλυθούν τα προβλήματα στη θεμελίωση του Απειροστικού Λογισμού με τον ορισμό βασικών εννοιών της Ανάλυσης (όριο, ακολουθία, σειρά, συνέχεια, παραγωγισιμότητα κτλ.) και έτσι ακολούθως να ερμηνευθούν και τα παράδοξα του Ζήνωνα. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών IR ορίστηκε από ένα σύνολο 13 αξιωμάτων και χαρακτηρίζεται ως πλήρες (συνεχές, χωρίς κενά) διατεταγμένο σώμα. Το IR είναι το αριθμητικό πρότυπο του μαθηματικού συνεχούς και οι διαισθητικές μας αντιλήψεις για το χώρο, τη διάρκεια ή την κίνηση, αναπροσαρμόζονται με βάση το IR. Μια ισοδύναμη γεωμετρική εικόνα του παριστάνεται από μια μαθηματική ευθεία στην οποία οι πραγματικοί αριθμοί αντιστοιχίζονται αμφιμονοσήμαντα με τα σημεία της ευθείας. Το IR είναι το μαθηματικό μοντέλο του συνεχούς που περιγράφει τον χώρο και τον χρόνο κατά την διάρκεια μιας κίνησης. Η άπειρη διαίρεση του συνεχούς δεν μοιάζει σε τίποτα με την πεπερασμένη. Το σύνολο IR το θεωρούμε επ άπειρο διαιρετό αλλά δεν μπορούμε να φανταστούμε μια άπειρη διαίρεσή του. Με αυτή την έννοια η αρχαία ιδέα ότι η πραγματική άπειρη ακολουθία ½, ¾, ⅞, ποτέ δεν συγκλίνει σε κάποιον αριθμό αφού συνεχώς εμφανίζονται πραγματικά μεγέθη, θα πρέπει να αντικατασταθεί με τη νέα έννοια της ακολουθίας που θεμελιώνεται στο συνεχές, καταλήγοντας στη σύγκλιση στον αριθμό 1. Αυτό ακριβώς διέφευγε του Ζήνωνα, που την άπειρη διαίρεση την φανταζόταν ασυνεχώς, φτάνοντας σε παράδοξα. Αυτό το «οσοδήποτε κοντά» σήμερα δεν είναι αποτέλεσμα διαίσθησης και εποπτείας, αλλά αυστηρής θεμελίωσης που βασίζεται στην αρχή της συνέχειας. Είναι όριο μιας ακολουθίας δηλαδή ένα σημείο του συνεχούς. Σήμερα το όριο λ μιας ακολουθίας περιγράφεται με τους γνωστούς τύπους της ανάλυσης: το όριο της αν 0, n0 IN : n n0 an a n a n είναι το λ αν και μόνο όπου το είναι οσοδήποτε μικρός θετικός αριθμός, που περιγράφει το «οσοδήποτε κοντά». Αυτό συμβαίνει στο παράδοξο της Διχοτομίας. Η διαδοχή του Ζήνωνα για ΑΒ=1 είναι η συγκλίνουσα γεωμετρική σειρά ½ + ¼ + + 1/ n + που η ακολουθία των μερικών αθροισμάτων είναι η γνωστή μας ½, ¾, ⅞, με όριο το 1, άρα οι όροι της a (ακολουθία των n 8 10ο ΜΑΘΗΤΙΚΟ ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

μερικών αθροισμάτων) πέρα από ένα δείκτη n 0, συγκεντρώνονται όλο και πυκνότερα γύρω από το 1 τερματίζοντας οριακά, δηλαδή στην πράξη, την κίνηση στη διαδρομή του Ζήνωνα, στο σημείο Β που πλέον αντιστοιχεί στο όριο ακολουθίας. Από το σημείο αυτό ξεκινούν τα φιλοσοφικά συμπεράσματα του Ζήνωνα ότι δηλαδή με την παραδοχή της επ άπειρο διαίρεσης των μεγεθών, δεν υπάρχει κίνηση. Τα διαδοχικά σημεία της διαδρομής δεν τελείωναν ποτέ (ήταν άπειρα) και καθώς τα έβλεπε διακριτά, καθιστούσαν την άφιξη στο Β αδύνατη. Άρα δεν ισχύει η επ άπειρο διαίρεση των μεγεθών! Ο χώρος και ο χρόνος δεν ήταν επ άπειρο διαιρετά όπως έδειχναν οι αριθμοί. Αποτέλεσμα αυτής της κατάργησης της διακριτής και άπειρης διαδοχής, κατά τον ισχυρισμό του Ζήνωνα, είναι τελικά η άφιξη του κινητού στο Β (διαφορετικά συμβαίνει το παράδοξο να μην φτάνει στο Β, μέθοδος της εις άτοπον απαγωγής). Έτσι διαισθητικά ερμήνευσε αυτός την αρχή της συνέχειας. Κατάργησε την επ άπειρον διαίρεση των μεγεθών, επειδή δεν κατανοούσε τον «μηχανισμό» της. Ότι δηλαδή άπειρη διαδικασία σημαίνει όριο, και όριο σημαίνει συνεχές. Το Παράδοξο του Galileo Σύμφωνα με το παράδοξο του Γαλιλαίου οι φυσικοί αριθμοί είναι όσοι και τα τέλεια τετράγωνα. Στα μαθηματικά η αντιστοιχία 1-1 των στοιχείων ενός συνόλου με τα στοιχεία ενός άλλου οδηγεί στο συμπέρασμα ότι τα δυο σύνολα έχουν το ίδιο πλήθος στοιχείων. Στο πιο κάτω παράδειγμα τα δύο σύνολα των στηλών έχουν ίδιο πλήθος στοιχείων (πληθάριθμο) γιατί συμβαίνει μια τέτοια αντιστοιχία. 1 5 7 3 9 4 11 Συμβαίνει όμως το ίδιο όταν τα σύνολα έχουν άπειρο πλήθος στοιχείων; Ο Γαλιλαίος εφάρμοσε αυτό τον κανόνα αντιστοίχισης στους φυσικούς αριθμούς και τα τέλεια τετράγωνα. Τέλειο τετράγωνο λέγεται ο αριθμός που γράφεται ως τετράγωνο ενός φυσικού αριθμού (π.χ. 5= 5 ). Προσέξτε την παράδοξη αντιστοίχιση: 0 1 0 1 ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ 9

3 4 5 3 4 5 κ.ο.κ. Σύμφωνα με αυτήν κάθε φυσικός αριθμός αντιστοιχεί στο τετράγωνό του. Άρα όσοι είναι οι φυσικοί αριθμοί τόσα είναι και τα τέλεια τετράγωνα. Πως γίνεται αυτό αφού τα τέλεια τετράγωνα είναι υποσύνολο των φυσικών αριθμών; Πράγματι τα τέλεια τετράγωνα είναι 0, 1, 4, 9, 16, 5, 36, Οι φυσικοί αριθμοί είναι περισσότεροι. Για παράδειγμα ανάμεσα στο 1 και το 4 υπάρχουν ακόμη τρεις φυσικοί αριθμοί που δεν είναι τέλεια τετράγωνα. Το ξενοδοχείο του Hilbert Είναι μια καταπληκτική ιστορία που αποδίδεται στον εξέχοντα Γερμανό Μαθηματικό D. Hilbert (186-1943) και η οποία έγινε γνωστή μέσα από την περιγραφή του G. Gamow (1961) στο βιβλίο του με τίτλο: «One, Two, Three,..., Infinity: facts and seculations in science, Viking, Νέα Υόρκη (Barrow, 007)». Σύμφωνα με την ιστορία αυτή το ξενοδοχείο του Hilbert διαθέτει άπειρο αριθμό δωματίων. Αρχικά φτάνει στο ξενοδοχείο άπειρος αριθμός ατόμων οπότε και τακτοποιούνται το κάθε άτομο σε ξεχωριστό δωμάτιο. Ακολούθως στο ξενοδοχείο καταφθάνει ακόμη ένας επισκέπτης ελπίζοντας πως θα βρει δωμάτιο για να διαμείνει. Ευτυχώς ο διευθυντής του ξενοδοχείου μετά από σκέψη, ζήτησε από τον υπεύθυνο υποδοχής όπως βάλει τον νέο επισκέπτη στο δωμάτιο 1. Πώς το πέτυχε αυτό; Αυτό που έκανε ο υπεύθυνος υποδοχής, ήταν να ζητήσει από κάθε ένοικο να μετακομίσει στο αμέσως επόμενο προς τα δεξιά του δωμάτιο. Με λίγα λόγια ο ένοικος του δωματίου 1 να πάει στο δωμάτιο, ο ένοικος του δωματίου στο δωμάτιο 3,, ο ένοικος του δωματίου n στο δωμάτιο n+1. Έτσι το δωμάτιο 1 έμεινε άδειο. Την επόμενη μέρα στο ξενοδοχείο έφτασε πάλι άπειρος αριθμός επισκεπτών χωρίς όμως οι προηγούμενοι επισκέπτες να έχουν πρόθεση να εγκαταλείψουν το ξενοδοχείο. Με ποιον τρόπο μπορούμε να βοηθήσουμε τον υπεύθυνο, ώστε να εξυπηρετήσει τους πελάτες και να μην χάσει τη δουλειά του; Μπορούμε να του προτείνουμε να βάλει τον ένοικο του δωματίου 1 στο δωμάτιο, του δωματίου στο δωμάτιο 4, του δωματίου 3 στο δωμάτιο 6,.., του δωματίου n στο δωμάτιο n. Με αυτό 30 10ο ΜΑΘΗΤΙΚΟ ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

τον τρόπο ελευθερώνεται το απειροσύνολο των δωματίων με περιττό αριθμό με μια κίνηση και έτσι μπορούν να τακτοποιηθούν οι νέοι επισκέπτες. Αν συμβεί το ακραίο κάθε ημέρα να καταφθάνει στο ξενοδοχείο άπειρος αριθμός επισκεπτών χωρίς να φεύγουν οι προηγούμενοι πώς θα μπορούσαμε να τους εξυπηρετήσουμε; Θα μπορούσαμε να χρησιμοποιήσουμε τους πρώτους αριθμούς. Να βάλουμε τους πελάτες που φθάνουν την πρώτη μέρα στα δωμάτια με αριθμό, 4, 8, 16,, τους πελάτες που φθάνουν την δεύτερη μέρα στα δωμάτια με αριθμούς 3, 9, 7, 81,, τους πελάτες που θα φθάνουν την τρίτη μέρα στα δωμάτια με αριθμούς 5, 5, 15, 65,, τους πελάτες που φθάνουν την τέταρτη μέρα στα δωμάτια με αριθμούς 7, 49, 343, κ.ο.κ. Με αυτό τον τρόπο δεν θα τύχει να έχουμε δύο επισκέπτες στο ίδιο δωμάτιο, διότι αν πάρουμε δύο τυχαίους πρώτους αριθμούς, όλες οι δυνάμεις τους με εκθέτη φυσικό αριθμό είναι διαφορετικές μεταξύ τους. ΕΠΙΛΟΓΟΣ Μέσα από την εργασία μας προσπαθήσαμε να παρουσιάσουμε μερικά από τα πιο σημαντικά μαθηματικά παράδοξα καθώς και την επίδραση που είχαν στην εξέλιξη των Μαθηματικών. Οι Μαθηματικοί στην προσπάθειά τους να θεμελιώσουν αυστηρά λογικά τις επ άπειρο διαδικασίες, φτάσανε στην έννοια του συνεχούς με μαθηματικό μοντέλο το σύνολο των πραγματικών αριθμών ΙR. Είναι αυτό το συνεχές που ερμήνευσε όλα τα πολλά παράδοξα που εμφανίζονταν στην πορεία της εξέλιξης του Απειροστικού Λογισμού από τα απειροστά μέχρι την παράγωγο και τις σειρές, στα οποία τα παράδοξα ήταν μόνο η αρχή. Ο Ζήνωνας με τα παράδοξά του, στην πραγματικότητα έθεσε τα θεμέλια αυτού που σήμερα ονομάζεται Θεωρία Συνόλων, καθώς επίσης και τα όρια ισχύος της Μηχανικής (ιδιαίτερα της Κινηματικής) και του Απειροστικού Λογισμού. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Διαδίκτυο: 1. Αμαλία- Χριστίνα Ν. Μπαμιπίλη, Το μαθηματικό άπειρο, τα παράδοξα και ο νους. Μια διερεύνηση των διαδρόμων που ακολουθεί ο νους στην προσπάθεια προσέγγισης του απείρου. Διπλωματική Εργασία.. Μαθηματικά Παράδοξα, lisari.blogsto.com 3. Ο Θαυμαστός Κόσμος των Μαθηματικών, mathmosxos.blogsot.com ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ 31

4. Τα παράδοξα του Ζήνωνα και το Μαθηματικό Συνεχές, eranistis.net>home> ΠΑΙΔΕΙΑ> Εκπαίδευση thesecretrealtruth.blogsot.com. www.forums.gr >Blocks> Νέα Μηνύματα 3 10ο ΜΑΘΗΤΙΚΟ ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΑΠΕΙΡΟ Αννα Ευριπιδου, Τζιουρρου Χριστινα- Παγκυπριο Γυμνασιο ΠΕΡΙΛΗΨΗ Πολλοί από εμάς αναρωτηθήκαμε τι είναι το άπειρο και τις πλείστες φορές δεν πήραμε απάντηση. Απάντηση υπάρχει, κάπως δυσκολονόητη, αλλά ταυτόχρονα και απλή. Το άπειρο προκάλεσε από την αρχή διαφορές, αντινομίες.είναι μια έννοια η οποία εδώ και καιρό βασανίζει ακόμα και τα καλύτερα μυαλά. 1. ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΑΠΕΙΡΟ; Η λέξη άπειρο προέρχεται από το στερητικό πρόθεμα "α-" και τη λέξη "πέρας" που σημαίνει τέλος. Αναφέρεται σε διάφορες διαφορετικές έννοιες (που συνήθως συνδέονται με την έννοια του "χωρίς τέλος") που προκύπτουν στην φιλοσοφία, τα μαθηματικά και τη θεολογία. Στα Μαθηματικά το άπειρο χρησιμοποιείται συνήθως σε περιπτώσεις όπου αντιμετωπίζεται σαν να ήταν αριθμός. Αυτός ο αριθμός όμως αποτελεί ένα διαφορετικό είδος αριθμού από τους πραγματικούς αριθμούς. Το άπειρο συναντάτε στα όρια, τους αριθμούς άλεφ, τις τάξεις της θεωρίας συνόλων, τα Ντέντεκιντ-άπειρα σύνολα, το παράδοξο του Ράσελ, τη μη καθιερωμένη αριθμητική, τους υπέρπραγματικούς αριθμούς, την προβολική γεωμετρία, το εκτεταμένο σύστημα πραγματικών αριθμών και το απόλυτο άπειρο. Για την ακρίβεια ως άπειρο εκλαμβάνουμε συνήθως ένα μέγεθος που τείνει στο συν ή πλην άπειρο. ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ 33

. ΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Το συν άπειρο μπορεί να διανοηθεί ως ο μεγαλύτερος δυνατός αριθμός. Οι ιδιότητες του μεγέθους που τείνει στο συν ή πλην άπειρο με τις διάφορες πράξεις ορίζονται με βάση την κοινή λογική, όταν αυτό είναι εφικτό. Σε αυστηρή μαθηματική γλώσσα τα άπειρα μελετώνται με όρια, ενώ θεωρούνται προσεγγίσεις και όχι αριθμοί. Έτσι, ισχύουν οι εξής ιδιότητες: (θ είναι ένας οποιοσδήποτε θετικός πραγματικός αριθμός). Το άπειρο πρώτα απ όλα δεν είναι αριθμός. Πχ 0*άπειρο = απροσδιοριστία. Αν ήταν αριθμός θα ξέραμε ότι κάνει 0. Αυτή η κατάσταση το κάνει εξ ορισμού απροσδιόριστο ως σύμβολο Πιο κάτω παρατίθενται οι επιτρεπτές και μη επιτρεπτές πράξεις στα Μαθηματικά. ΕΠΙΤΡΕΠΤΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ: Πρόσθεση και αφαίρεση Πολλαπλασιασμός και διαίρεση Παρομοίως με τη διαίρεση (γιατί 1/θ=η, όπου η ένας άλλος θετικός πραγματικός αριθμός) Δύναμη, ρίζα και λογάριθμος: 34 10ο ΜΑΘΗΤΙΚΟ ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

, όπου ν φυσικός αριθμός Πράξεις με το μηδέν και το άπειρο: ΜΗ ΕΠΙΤΡΕΠΤΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ: ( )+( ), 0 ( ), 0 0,, 0, 0 0, 1 1 : είναι (1 0 ) άρα είναι 0 * άπειρο που είναι μή επιτρεπτή πράξη. Η έννοια του ορίου: (α/0) Στην τακτική (πραγματικός αριθμός) αριθμητικός, η έκφραση α/0 δεν έχει νόημα, καθώς δεν υπάρχει αριθμός που, πολλαπλασιάζεται με 0, δίνει μια (α 0), και έτσι διαίρεση με το μηδέν είναι απροσδιόριστη. Εφόσον οποιοσδήποτε αριθμός πολλαπλασιάζεται με το μηδέν είναι μηδέν, η έκφραση 0/0 δεν έχει ορισμένη αξία και ονομάζεται απροσδιόριστη μορφή. ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ 35

3. ΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ΣΤΑ ΑΡΧΑΙΑ ΧΡΟΝΙΑ... Στα αρχαία χρόνια υπάρχει αναφορά στο άπειρο. Επίκεντρο της φιλοσοφίας του Αναξίμανδρου είναι το άπειρον, ένα άπειρο όμως που πιθανώς προσλαβάνει δύο ερμηνείες: άπειρον α+πέρας = χωρίς τέλος άπειρον α+περάω =αδιαπέραστο Σε κάθε περίπτωση φαίνεται πως εννοούσε μια πρωταρχική αιτία δίχως όρια στον χώρο. Αυτό αποδεικνύεται και από πρόσφατη ανακάλυψη. Οι υπολογιστές υπολόγισαν πρόσφατα το π με μία ακρίβεια 5 τρισεκατομμύρια ψηφία, επιβεβαιώνοντας αυτό που οι Αρχαίοι Έλληνες έμαθαν: δεν υπάρχουν επαναλαμβανόμενα μοτίβα και δεν υπάρχει τέλος σε αυτά που βλέπουμε. Οι αριθμοί και τα διάφορα σύνολα τους προχωρούν ατέλειωτα. 4. ΑΠΕΙΡΟ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ. Υπάρχουν πολλές αναλογίες και μαθηματικές αρμονίες που ρυθμίζουν το σύμπαν, από το απειροστό ως το άπειρο, από τα ατομικά υποσωματίδια ως τους γαλαξίες. Αυτές οι αναλογικές σχέσεις, είναι καρπός μιας παγκόσμιας υπέρ-διάνοιας που λειτουργεί μέσα από τους αριθμούς. Το άπειρο ενυπάρχει στα πιο θεμελιώδη ερωτήματα σχετικά με την ύπαρξη: πώς θα ήταν αν ζούσαμε αιώνια, τι υπάρχει μετά τον θάνατο; Είναι ο χρόνος άπειρος; Τι υπήρξε πριν από το Σύμπαν και πού τελειώνει αυτό; Είναι σημαντικό να αναφέρουμε ότι στη σύγχρονη παγκόσμια φυσική απαγορεύεται να γίνεται λόγος για το άπειρο και απορρίπτεται οποιαδήποτε λύση έχει ως κατάληξη το άπειρο ή έχει οποιαδήποτε σχέση με αυτό. Ο Μπάροου μάς αποκαλύπτει δύο απειρίες : Το μαθηματικό άπειρο είναι μια νοητή επινόηση, στην ουσία ένα μαθηματικό τρικ: το αφαιρούμε και το προσθέτουμε, προκύπτει από τη διαίρεση ενός οποιουδήποτε αριθμού 36 10ο ΜΑΘΗΤΙΚΟ ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

με το μηδέν. Είναι το όριο στο οποίο θα μπορούσε να φτάσει κανείς, αν παραδείγματος χάρη κατέγραφε τους αριθμούς σε αύξουσα σειρά. Το φυσικό άπειρο εμφανίζεται μέσα στον δημιουργημένο κόσμο του δυνατού, όπως το εσωτερικό μιας μελανής οπής. Το άπειρα μεγάλο, στο Σύμπαν συνυπάρχει με το άπειρα μικρό στη φυσική στοιχειωδών σωματιδίων. Ένα Σύμπαν χωρίς όρια δεν είναι καθόλου το ίδιο μ ένα άπειρο Σύμπαν. Η απειρία του Σύμπαντος μπορεί να μην είναι μόνο χωρική, αλλά και χρονική: σε ένα άπειρο Σύμπαν κάθε τι που δεν υπάρχει καθόλου πιθανότητα να συμβεί, θα συμβαίνει απείρως συχνά. Επομένως θα υπάρχουν άπειροι πλανήτες Γη με άπειρα ακριβή αντίγραφα των κατοίκων της. Από υπολογιστικά μοντέλα και μυριάδες παρατηρήσεις των πλανητών, έχουν αποκαλύψει σημαντικά στοιχεία για τη συνεχή εξέλιξή του σύμπαντος. Πολλοί τώρα συμπεραίνουν ότι αυτά που μπορούμε να δούμε, τα αστέρια και τους γαλαξίες που απλώνονται στα όρια της παρατηρητικής ικανότητας μας, αντιπροσωπεύουν μόνο ένα μικρό κλάσμα από όλα αυτά που βρίσκονται εκεί έξω. Έτσι και οι αριθμοί. Ο Άϊνσταϊν είπε: «Μόνο δύο πράγματα είναι άπειρα: το σύμπαν και η ανθρώπινη βλακεία, και ως προς το σύμπαν διατηρώ κάποιες αμφιβολίες.» Όσο αστείο κι αν ακούγεται είναι σωστό. Το σύμπαν, αν όντως είναι έτσι όπως νομίζουμε τώρα, είναι "μεγάλο" και "μεγαλώνει" συνεχώς. Δεν είναι άπειρο, έχει όρια, απλά αυτά αυξάνονται συνέχεια. 5. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ: Συμπερασματικά, είναι γεγονός ότι πολλοί φοβούνται να ασχοληθούν με το άπειρο, λόγω του ότι αποτελεί μια δυσνόητη μαθηματική έννοια και επίσης, είναι δύσκολη η επεξεργασία του. Το άπειρο το ορίζουμε για να ικανοποιεί κάποια συγκεκριμένα αξιώματα. Δε μας νοιάζει πώς το αναπαριστούμε ή πως το καταγράφουμε για να το καταλάβουμε. Το άπειρο συνδυάζεται με πολλές επιστήμες, εκτός από τα Μαθηματικά, όπως η Φιλοσοφία, τα Θρησκευτικά, η Φυσική κτλ. Η μελέτη ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ 37

του, μας επιτρέπει να κατανοήσουμε καλύτερα τον κόσμο μας και ίσως να δώσουμε απαντήσεις σε μεγάλα ερωτήματα που βασανίζουν διαχρονικά τον άνθρωπο. 38 10ο ΜΑΘΗΤΙΚΟ ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΒΑΣΕΙ ΝΟΜΟΥ Χαριτίνη Συλλούρη, Θεόκλειτος Κλείτου, Μάριος Ζαντής, Χαράλαμπος Χατζηπαναγή Ελπινίκη Χρυσοστόμου, Μάριος Χριστοδουλίδης, Αντρέας Αψερός, Ιάκωβος Φιλοθέου Συντονιστές καθηγητές: Μιχάλης Γαβριηλίδης, Ελευθερία Περικλέους The Grammar School, Nicosia ΠΕΡΙΛΗΨΗ Είναι γεγονός πως στις μέρες μας η εγκληματικότητα και γενικότερα η παρανομία έχουν πάρει τεράστιες διαστάσεις. Με την πάροδο του χρόνου έχουν ανακαλυφτεί και χρησιμοποιηθεί αρκετοί τρόποι που δίνουν στην αστυνομία και στις διάφορες υπηρεσίες ανά το παγκόσμιο τη δυνατότητα εξιχνίασης διάφορων υποθέσεων. Στη πραγματικότητα, πίσω από κάθε μέθοδο που εφαρμόζεται, τα μαθηματικά διαδραματίζουν ένα από τους πρωταρχικούς ρόλους. Στόχος αυτής της εργασίας είναι να αποκτήσουμε μια εικόνα για τον τρόπο με τον οποίο τα μαθηματικά αξιοποιούνται σε αυτές τις μεθόδους. Η εργασία αυτή καταπιάνεται με μαθηματικούς τύπους που βοηθούν κυρίως στην εξιχνίαση διάφορων υποθέσεων όπως π.χ. η εκτίμηση των ωρών μετά το θάνατο ενός θύματος, η αναλογία ύψους και βάρους του υπόπτου με τη χρησιμοποίηση ενός αποτυπώματος του διασκελισμού του, ενώ η ταχύτητα ενός οχήματος μπορεί να υπολογιστεί με βάση τα σημάδια ολίσθησης. Επίσης η απόσταση από την οποία πυροβολήθηκε κάποιο θύμα εκτιμάται λαμβάνοντας υπόψη τη διαδρομή της σφαίρας στις εσωτερικές κοιλότητες του σώματος. Τέλος, χρησιμοποιώντας τη στατιστική και πιο συγκεκριμένα τη μέθοδο της τυπικής απόκλισης, ελέγχουμε την εγκυρότητα των αποτελεσμάτων μας. Η παρουσίαση και εφαρμογή όλων των μαθηματικών τύπων που σχετίζονται με τα όσα περιγράψαμε σε αυτή τη παράγραφο θα γίνει μέσα από αριθμητικά δεδομένα τα οποία δεν σχετίζονται με πραγματικές υποθέσεις. Ζώντας σε ένα κόσμο γεμάτο παραβατικότητα τα μαθηματικά μπορούν να μας βοηθήσουν να πάρουμε τις σωστές αποφάσεις και να μειώσουμε σημαντικά το δυσάρεστο αυτό φαινόμενο της παρανομίας. ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ 39

ΜΟΝΤΕΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ ΓΙΑ ΤΗ ΣΧΕΣΗ ΜΕΤΑΞΥ ΜΕΓΕΘΟΥΣ ΑΠΟΤΥΠΩΜΑΤΟΣ ΠΑΠΟΥΤΣΙΟΥ ΚΑΙ ΥΨΟΥΣ Ξεκινώντας την αναφορά μας στη συγκεκριμένη σχέση μεταξύ αποτυπώματος παπουτσιού και ύψους παραθέτουμε κάποιες σχετικές μετρήσεις που έχουν γίνει αναφορικά με τα δύο αυτά μεγέθη. ΥΨΟΣ (εκατοστά) 180 31 177 31 168 9 173 9,50 187 31 173 8 174 8 196 3 174 9 18 30 186 3 18 9 ΑΠΟΤΥΠΩΜΑ (εκατοστά) Θέλοντας να αποκτήσουμε μια εικόνα για τη σχέση που μπορούν να έχουν μεταξύ τους οι δύο μεταβλητές παραθέτουμε πιο κάτω μια γραφική παράσταση με τη μεταβλητή ύψος να αντιπροσωπεύεται από τον άξονα των τεταγμένων και τη μεταβλητή αποτύπωμα στον άξονα των τετμημένων. Από τη γραφική παράσταση γίνεται ξεκάθαρο πως τα δύο μεγέθη (ύψος και αποτύπωμα παπουτσιού) συνδέονται με μια γραμμική σχέση γεγονός που μας δίνει τη δυνατότητα χρησιμοποίησης γραμμικού μοντέλου. Η γραμμική σχέση μεταξύ των δύο μεταβλητών γίνεται ακόμα πιο ξεκάθαρη με τον υπολογισμό του συντελεστή συσχέτισης R. Ο συνελεστής συσχέτισης R ισούται με 0.93 τιμή που απέχει ελάχιστα από το 1 που είναι και η ένδειξη τέλειας θετικής γραμμικής συσχέτισης μεταξύ δύο μεταβλητών. 40 10ο ΜΑΘΗΤΙΚΟ ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Πριν εφαρμόσουμε το απλό μοντέλο γραμμικής παλινδρόμησης της μορφής x y b0 b1 x αναφέρουμε ότι σαν ανεξάρτητη μεταβλητή στο μοντέλο μας θα αναφέρεται το αποτύπωμα και σαν εξαρτημένη μεταβλητή y το ύψος. Τα αποτελέσματα που παίρνουμε από την εφαρμογή του γραμμικού μοντέλου συνοψίζονται στους πιο κάτω πίνακες. Model Summary Model R R Square Adjusted R Square Std. Error of the Estimate 1,93,85,837 3,14554 Πίνακας 1: Συντελεστής συσχέτισης, προσδιορισμού και τυπικό σφάλμα εκτίμησης με τη χρήση SPSS Model Summary and Parameter Estimates Equatio n Model Summary R Square Constant Parameter Estimates b1 Linear,85 15,498 5,364 Πίνακας : Οι παράμετροι του γραμμικού μοντέλου Στο πίνακα 1 παρουσιάζεται ο συντελεστής συσχέτισης R που αναφέραμε πιο πάνω (0.93) και επίσης μπορούμε να δούμε το συντελεστή προσδιορισμού (R Square) που δείχνει το ποσοστό της διακύμανσης της εξαρτημένης μεταβλητής που καταφέραμε να εξηγήσουμε με τη χρησιμοποίηση της ανεξάρτητης μεταβλητής. Ό συντελεστής προσδιορισμού κυμαίνεται από το 0 μέχρι το 1, με το 1 να αντιπροσωπεύει την άριστη εφαρμογή μοντέλου. Στη δική μας περίπτωση ο συντελεστής προσδιορισμού υπολογίστηκε ίσος με 0.85, μία τιμή εξαιρετικά καλή αν αναλογιστεί κανείς ότι χρησιμοποιήθηκε μόνο μία ανεξάρτητη μεταβλητή. Στο δεύτερο πίνακα παρουσιάζονται οι αριθμητικές τιμές των παραμέτρων του μοντέλου μας που παίρνει τη μορφή Με μια απλή εφαρμογή μπορούμε να παρατηρήσουμε τη χρησιμότητα του μοντέλου μας. Χρησιμοποιώντας μία τιμή για το αποτύπωμα του παπουτσιού από το πίνακα των δεδομένων μας παίρνουμε την αντίστοιχη εκτίμηση για το ύψος. y 15.498 5.364 (31) 181.78 y 15.498 5. 364x να ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ 41

Κλείνοντας αυτή την ενότητα είναι σημαντικό να κάνουμε μια αναφορά στο τυπικό σφάλμα της εκτίμησης που παρουσιάζεται στο πίνακα 1 και υπολογίστηκε ίσο με 3.15. Το τυπικό σφάλμα της εκτίμησης είναι ένα μέτρο διασποράς των παρατηρήσεων των δύο μεταβλητών γύρω από το εκτιμώμενο γραμμικό μοντέλο (ευθεία ελαχίστων τετραγώνων). Για παράδειγμα η πιο πάνω εκτίμηση όπου το ύψος του ατόμου υπολογίστηκε 181.78, ενδέχεται να περιέχει σφάλμα 3.15, δηλαδή το πραγματικό ύψος μπορεί να βρίσκεται στο διάστημα Εάν το τυπικό σφάλμα της εκτίμησης είναι μικρό τότε οι παρατηρούμενες και οι εκτιμούμενες τιμές δε διαφέρουν πολύ και η ευθεία παλινδρόμησης μας δίνει μια καλή περιγραφή της σχέσης μεταξύ της ανεξάρτητης και της εξαρτημένης μεταβλητής. Η τιμή 3.15 που υπολογίστηκε για το δικό μας μοντέλο κρίνεται αρκετά ικανοποιητική αν αναλογιστεί κανείς και το μικρό μέγεθος του δείγματος που είχαμε. Τέλος να αναφέρουμε ότι αυτό το μοντέλο διαμορφώθηκε μέσα από τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής 8-3 και επομένως για μεγέθη που δεν εμπίπτουν σε αυτό το εύρος θα μπορούσε να επαναληφθεί η ίδια διαδικασία που θα οδηγούσε σε διαφορετικό μοντέλο. ΣΧΕΣΗ ΥΨΟΥΣ ΒΑΡΟΥΣ (ΔΕΙΚΤΗΣ ΜΑΖΑΣ ΣΩΜΑΤΟΣ) Ο δεὶκτης μὰζας σὼματος είναι μια συμβατική μέθοδος ταξινόμησης βάρους σε σχέση με το ύψος ενός ατόμου. Στον πίνακα 3 πιο κάτω παραθέτουμε τη ταξινόμηση βάρους σύμφωνα με το δείκτη μάζας σώματος ΔΜΣ Ταξινόμηση Βάρους <0 Λιποβαρής 0-4,9 Κανονικός 5-9,9 Υπέρβαρος 30-40 Παχύσαρκος >40 Σοβαρά Παχύσαρκος Πίνακας 3: Ταξινόμηση Βάρους Για τον υπολογισμό του βάρους χρησιμοποιείται ο πιο κάτω τύπος Βάρος= ΔΜΣ x ύψος² 4 10ο ΜΑΘΗΤΙΚΟ ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Στον πίνακα 4 παρουσιάζονται διάφοροι υπολογισμοί βάρους ανάλογα με το ύψος και το δείκτη μάζας σώματος ΔΜΣ ΥΨΟΣ ΥΨΟΣ² ΒΑΡΟΣ 3 1,55,405 55,575 3 1,57,4649 56,697 4 1,55,405 57,6600 4 1,57,4649 59,1576 5 1,55,405 60,065 5 1,57,4649 61,65 3 1,55,405 76,8800 3 1,57,4649 78,8768 43 1,55,405 103,308 43 1,57,4649 105,991 Πίνακας 4: Υπολογισμός Βάρους ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ ΟΧΗΜΑΤΟΣ ΜΕ ΒΑΣΗ ΤΑ ΣΗΜΑΔΙΑ ΟΛΙΣΘΗΣΗΣ Τα σημάδια ολίσθησης χρησιμοποιούνται συχνά από εξειδικευμένους στην εγκληματολογία αστυνομικούς για να υπολογίσουν την ταχύτητα με την οποία έτρεχε ένα αυτοκίνητο αμέσως προτού σταματήσει. Αυτό γίνεται χρησιμοποιώντας τον παρακάτω τύπο: S 30 D f n Όπου το: S-ταχύτητα του αυτοκινήτου 30-ένας σταθερός αριθμός του τύπου D-η απόσταση του σημαδιού ολίσθησης μαζί με την απόσταση που καλύπτεται κατά τη διάρκεια του χρόνου αντίδρασης f- ο παράγοντας τριβής του δρόμου n- η αποδοτικότητα των φρένων σε ποσοστό ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ 43

Η απόσταση του σημαδιού ολίσθησης και η απόσταση που καλύφθηκε κατά τη διάρκεια του χρόνου αντίδρασης μπορούν να μετρηθούν σε πόδια. Ο παράγοντας τριβής του δρόμου είναι κάτι συγκεκριμένο για κάθε είδος δρόμου ο οποίος υπολογίζεται μέσα από διάφορες δοκιμές δηλαδή η τριβή είναι διαφορετική σε διαφορετικούς δρόμους με την ίδια ταχύτητα αυτοκινήτου. Για παράδειγμα, σε άσφαλτο, ο αριθμός υπολογίζεται να είναι γύρω στο 0.5-0.9, Η αποδοτικότητα των φρένων υπολογίζεται σε ποσοστό με βάση το πόση δύναμη πέδησης ασκεί ο καθένας από τους τέσσερις τροχούς για να σταματήσει το αυτοκίνητο. Για παράδειγμα, αν και οι τέσσερις τροχοί ασκούν την ίδια δύναμη πέδησης, τότε, η αποδοτικότητα των φρένων είναι στο 100%. Για αυτοκίνητα με κίνηση στους πίσω τροχούς, η δύναμη πέδησης υπολογίζεται γύρω στο 30% για κάθε μπροστινό τροχό και 0% για τον κάθε πισινό τροχό. Έχοντας λοιπόν και τα τρία ζητούμενα του τύπου, βρίσκουμε την ταχύτητα του αυτοκινήτου. Παράδειγμα: Αν υποθέσουμε ότι η απόσταση του σημαδιού ολίσθησης είναι 40 πόδια, ο παράγοντας τριβής του δρόμου (σε άσφαλτο) 0.5-0.9 και η αποδοτικότητα των φρένων 70% τότε: S 30 40 0.5 0.7 S = 0.5 μίλια την ώρα S 30 40 0.9 0.7 S = 7.5 μίλια την ώρα Επομένως η ταχύτητα του οχήματος κυμαίνεται μεταξύ των αποτελεσμάτων 0.5 και 7.5 μίλια την ώρα. Να σημειώσουμε ότι αν υπάρχουν περισσότερα από ένα σημάδια ολίσθησης, τότε η απόσταση θα είναι ο μέσος όρος της συνολικής απόστασης του αριθμού σημαδιών ολίσθησης. 44 10ο ΜΑΘΗΤΙΚΟ ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΤΗΣ ΩΡΑΣ ΘΑΝΑΤΟΥ ΜΕΣΩ ΤΗΣ ΘΕΡΜΟΚΡΑΣΙΑΣ ΣΩΜΑΤΟΣ Η ώρα θανάτου κρίνεται αναγκαία από τους ιατροδικαστές για πολλούς και διάφορους λόγους. Η ώρα θανάτου μπορεί να εκτιμηθεί με βάση τη θερμοκρασία του σώματος και του χώρου στον οποίο αυτό βρίσκεται. Ο νόμος ψύξης του Νεύτωνα δηλώνει ότι: «Ο ρυθμός απώλειας θερμότητας ενός σώματος είναι ανάλογος με τη διαφορά θερμοκρασίας μεταξύ του σώματος και του περιβάλλοντος χώρου». 'Όπου: dt dt = k(t(t) T a) dt dt είναι ο ρυθμός μεταβολής της θερμοκρασίας, k είναι μία σταθερά, εξαρτώμενη από τη θερμική αγωγιμότητα του σώματος, T(t) είναι η θερμοκρασία του σώματος κατά τον χρόνο t, T a είναι η θερμοκρασία περιβάλλοντος. Καθορίζοντας y(t) = T(t) T a = η διαφορά θερμοκρασίας μεταξύ του σώματος και του περιβάλλοντος στο χρόνο t. y o = T o T a = η αρχική διαφορά θερμοκρασίας μεταξύ του σώματος και του περιβάλλοντος (στο χρόνο 0). Έχουμε πλέον την εξίσωση: dy dt = ky η οποία μπορεί να λυθεί: y(t) = y o e kt ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ 45

Όταν αναδιατάσσεται ισούται: T(t) = T a + (T o T a )e kt Όπου: T(t) είναι η θερμοκρασία του σώματος κατά τον χρόνο t, T a είναι η θερμοκρασία περιβάλλοντος, T o είναι η θερμοκρασία του σώματος στο χρόνο 0, t είναι ο χρόνος. Σε τέτοιες περιπτώσεις οι ιατροδικαστές μετρούν τη θερμοκρασία του σώματος και τη θερμοκρασία του περιβάλλοντος. Μετά από μία ώρα (ή οποιοδήποτε άλλο χρονικό διάστημα), η θερμοκρασία του σώματος μετριέται ξανά. Με αυτό τον τρόπο, είναι δυνατόν να υπολογιστεί η τιμή της σταθεράς k χρησιμοποιώντας την πιο πάνω διαφορική εξίσωση. Η σταθερά k στη συνέχεια θα χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό του χρόνου t, δηλαδή του χρόνο που μεσολάβησε από την ώρα της δολοφονίας. Για παράδειγμα: Θα θέλαμε να μάθουμε την ώρα θανάτου του θύματος. Γνωρίζουμε πως ο ερευνητής κατέφθασε στη σκηνή του εγκλήματος στις 07:48πμ, t λεπτά μετά το θάνατο του θύματος. Στις 07:48 πμ. (δηλαδή t ώρες μετά το θάνατο), η θερμοκρασία του σώματος μετρήθηκε να είναι 3.4 C. Μία ώρα αργότερα, t + 60 λεπτά, η θερμοκρασία του σώματος έπεσε στους 31.45 C. Οι σταθερές στην έρευνα μας είναι λοιπόν, T a = 5 C, και T 0 = 37 C. T(t) = 3.4 T(t + 60) = 31.45 T o = 37 T a = 5 Τ(t) = T a + (T o T a )e kt 31.45 = 5 + (3.4 5)e 60k 6.45 = 7.4e 60k ln 6.45 7.4 = 60k T(t) = T a + (T o T a )e kt 3.4 = 5 + (37 5)e kt 37 60 = e kt ln37 60 = t t = 11 k 46 10ο ΜΑΘΗΤΙΚΟ ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

k =.9 10 3 'Ωρα θανάτου 4:17πμ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΑΠΟΣΤΑΣΗΣ ΠΥΡΟΒΟΛΙΣΜΟΥ Η εκτίμηση της απόστασης, s, από το σημείο πυροβολισμού είναι ένα αρκετά σημαντικό στοιχείο για την εξιχνίαση ενός εγκλήματος. Τα μαθηματικά, καθώς και οι νόμοι της φυσικής, μπορούν να το κάνουν αυτό εφικτό. u y 0 u x u x u x x v y s Μετρώντας λοιπόν την απόσταση Δx, που διένυσε η σφαίρα στις εσωτερικές κοιλότητες του σώματος μπορεί αρχικά να υπολογιστεί η ταχύτητα της σφαίρας,v, με την οποία κτυπήθηκε ο στόχος. Χρησιμοποιώντας τo δεύτερο νόμο του Νεύτωνα, v f = v aδx όπου, Έτσι, v είναι η τελική ταχύτητα της σφαίρας, άρα ( v 0 ) f v είναι η ταχύτητα με την οποία κτυπήθηκε ο στόχος a είναι η επιτάχυνση της σφαίρας Δx είναι η απόσταση που διένυσε η σφαίρα, μετά που κτύπησε το στόχο f 0 v 0 v x t x όπου, t x είναι ο χρόνος πού χρειάστηκε η σφαίρα για να διανύσει την απόσταση Δx. Ο χρόνος αυτός μπορεί να εκτιμηθεί από τον τύπο της σφαίρας και το είδος του όπλου. Απλοποιώντας την εξίσωση, φτάνουμε στο αποτέλεσμα ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ 47

x v t x Χρησιμοποιώντας αυτή την τιμή, v, λοιπόν, μπορούμε να υπολογίσουμε την κάθετη παράμετρο της ταχύτητας,, v u x v y v y, όπου το u x είναι η οριζόντια παράμετρος ταχύτητας της σφαίρας, η οποία παραμένει σταθερή κατά τη διάρκεια της διαδρομής και μπορεί να εκτιμηθεί από το είδος του όπλου. Χρησιμοποιώντας και πάλι την εξίσωση της επιτάχυνσης, και λαμβάνοντας υπόψη το γεγονός ότι η μόνη δύναμη που ασκείται πάνω στη σφαίρα, κατά τη διάρκεια που βρίσκεται στον αέρα, είναι η βαρύτητα ( g 9.81m / s τη διάρκεια χρόνου που η σφαίρα βρισκόταν στον αέρα, ) τότε μπορούμε να υπολογίσουμε t air, v u 9. 81t y y της σφαίρας. air όπου το u y 0, που είναι η αρχική κάθετη παράμετρος ταχύτητας Έτσι, χρησιμοποιώντας την εξίσωση της ταχύτητας, u x s t air πυροβολήθηκε η σφαίρα. μπορούμε να υπολογίσουμε την απόσταση, s, από την οποία Για παράδειγμα, αν η σφαίρα χρειάστηκε 1 χιλιοστό του δευτερολέπτου για να καλύψει μια απόσταση 6 εκατοστών μέσα στο σώμα, και μετά από ανάλυση της σφαίρας εκτιμήθηκε ότι πυροβολήθηκε με ταχύτητα 118m/s, τότε χρησιμοποιώντας την πιο πάνω μέθοδο βρίσκουμε ότι η σφαίρα πυροβολήθηκε από απόσταση 6 μέτρων. Συνοψίζοντας λοιπόν, φτάνουμε στο συμπέρασμα πως τα μαθηματικά και οι διάφορες εφαρμογές τους είναι ένα πολύτιμο εργαλείο τόσο για την Αστυνομία, όσο και για τις διάφορες υπηρεσίες, στην προσπάθεια τους να αποτρέψουν το φαινόμενο της παρανομίας. Η σωστή χρήση των μαθηματικών λοιπόν μας υπόσχεται ένα καλύτερο και πιο ασφαλές αύριο. 48 10ο ΜΑΘΗΤΙΚΟ ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ ΚΑΙ ΜΟΥΣΙΚΗ Άντρη-Παναγιώτα Προκοπίου, Ελένη Ζέμπασιη, Ελένη Χατζηαδάμου, Πουλχερία Ρούσου, Συντονίστρια καθηγήτρια κα.λουκία Ματθαίου Λύκειο Παραλιμνίου ΠΕΡΙΛΗΨΗ Ένας αρχαίος Έλληνας αν άκουγε τη μουσική μας σήμερα, σίγουρα θα του ξένιζε αφού οι σύγχρονες κλίμακες θα ήταν παράφωνες γι αυτόν, επειδή έχουν πέσει θύμα του συγκερασμού. Οι αρχαίες κλίμακες βασίζονται στις φυσικές συμφωνίες όπως τις ανακάλυψε ο Πυθαγόρας τον 6ον αιώνα π.χ. Μελετώντας αυτή την τεράστια μεγάλη προσωπικότητα, Έλληνας φιλόσοφος, αρχιερέας των μαθηματικών, γεωμέτρης και μέγας της αριθμοθεωρίας, αντιλαμβανόμαστε τη μεγάλη κληρονομιά που μαζί με τους μαθητές του άφησε σε μας και σε όλη την ανθρωπότητα. Πρώτος διατύπωσε, επιστημονικά θεμελιωμένη τη θεωρία της μουσικής, θέτοντας τις βάσεις για τη μετέπειτα μουσική εξέλιξη ανατολής και δύσης. Κάποτε ο Πυθαγόρας περνώντας δίπλα από ένα σιδηρουργείο ακούει τα σφυριά να χτυπούν το σίδερο και να παράγουν μεταξύ τους, εκτός από συνδυασμούς ήχων και μια ποικιλόχρωμη αρμονία από αντηχήσεις. Για άλλους περαστικούς αυτό δεν σήμαινε κάτι, αλλά για το αδιαλείπτως ανοιχτό μυαλό και ευφυή νου του Πυθαγόρα, σήμανε ερευνητικός συναγερμός. Αυτή η τύχη ήταν η αφορμή για την γένεση της μουσικής επιστήμης (με την εισαγωγή των μαθηματικών στην αρμονία και τον ρυθμό των ήχων). Ανακάλυψε ότι οι απλοί αριθμητικοί λόγοι είναι υπεύθυνοι για την αρμονία στη μουσικής και... Εισαγωγή Yπάρχει ή δεν υπάρχει σχέση μεταξύ μαθηματικών και μουσικής; Από την αρχαιότητα οι δύο αυτές επιστήμες αλληλεπιδρούν μεταξύ τους φθάνοντας ως τις μέρες μας. Η ιδέα αυτής της σύνδεσης γεννήθηκε πριν από 6 ολόκληρους αιώνες στην αρχαία Ελλάδα από τον Πυθαγόρα, μαθηματικό και ιδρυτή της πυθαγόρειας σχολής σκέψης. Ποιος είναι όμως ο Πυθαγόρας; Ο Πυθαγόρας ήταν ένας σημαντικός φιλόσοφος, γεωμέτρης, θεωρητικός της μουσικής και ο κατεξοχήν θεμελιωτής των ελληνικών μαθηματικών. Εικάζεται πως γεννήθηκε γύρω στο 580 π.χ και πέθανε το 500 π.χ. Καταγόταν από τη Σάμο. Μάλλον ανήκε στην αριστοκρατική τάξη. Η πολιτική αυτής της τάξης, εναντιώθηκε στην τυραννίδα του Πολυκράτη, και τον ανάγκασαν να εκπατριστεί και να καταλήξει τελικά ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ 49

στον Κρότωνα της Κάτω Ιταλίας. Στο Κρότωνα της Ιταλίας έγινε ευπρόσδεκτος και επιβλήθηκε σαν μια επιστημονική αυθεντία. Ίδρυσε την Πυθαγόρεια Σχολή η οποία είχε τη μορφή ηθικοθρησκευτικής, επιστημονικής και πολιτικής κοινότητας. Το υπέρτατο δόγμα των Πυθαγορείων είναι ΑΡΙΘΜΩΝ ΕΙΝΑΙ ΤΗΝ ΟΥΣΙΑ ΠΑΝΤΩΝ. Πυθαγόρεια Σχολή Το σύμβολο της ήταν η πεντάλφα. Μεταξύ των μαθητών του επικρατούσε αυστηρή πειθαρχία. Η σχολή έμοιαζε με ιερατείο της οποίας κύριο χαρακτηριστικό εκτός από τους κανόνες της διατροφής, ήταν η λατρεία των αριθμών και η μελέτη της φιλοσοφίας των μαθηματικών ως βάση ηθική. ΔΟΜΗ ΤΗΣ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΑΣ ΣΧΟΛΗΣ Σύμφωνα με την παράδοση η διδασκαλία της σχολής αποτελείτο από τρεις διαφορετικές βαθμίδες: Σαν πρώτο βήμα οι υποψήφιοι περνούσαν μια σειρά δοκιμασιών μέχρι να γίνουν δεχτοί στη σχολή. Το επόμενο βήμα με την αποδοχή τους στη σχολή, ήταν η εκμάθηση της σιωπής. Για πέντε χρόνια έπρεπε να παραμείνουν σιωπηλοί. Να ακούν τις ομιλίες των διδασκαλιών χωρίς να έχουν δικαίωμα να δουν τον διδάσκαλο. Ήταν οι λεγόμενοι ακουσματικοί ή ακροατές. Έπρεπε να είναι εγκρατείς, με ισχυρό χαρακτήρα και να αναπτύσσουν στενή φιλία με τους άλλους μαθητές. Ο Πυθαγόρας υποστήριζε ότι: «φίλος εστίν άλλος εγώ» και «φιλίαν τ είναι εναρμόνιον ισότητα». Πριν το βραδινό τους ύπνο οι μαθητές έπρεπε να ελέγχουν όσα έγιναν ή δεν έγιναν κατά τη διάρκεια της μέρας που πέρασε. Στην τελευταία φάση μετά από τα πέντε επιτυχημένα χρόνια, οι μαθητές γίνονταν εκλεκτοί με το δικαίωμα να παρακολουθούν και να συζητούν με τον Πυθαγόρα. Τώρα λέγονται μαθηματικοί ή μαθητευόμενοι. Ασχολούνται με θέματα μάθησης για την κατανόηση της αλήθειας. Κάθε φορά που έμπαιναν στο σπίτι του, ζητούσε από αυτούς να αναρωτηθούν: Πού έσφαλα; Τι έκανα; Τι έπρεπε να κάνω και τι δεν έκανα; Μεταξύ των Πυθαγορείων επικρατούσε εντυπωσιακή μυστικοπάθεια. Αν κάποιος έκανε απόπειρα να μεταλαμπαδεύσει, στον έξω κόσμο, κάποια μαθηματική τους αποκάλυψη κινδύνευε με θάνατο. Λέγετε πώς όταν κατεδαφίστηκε το μεγάλο πιστεύω των Πυθαγορείων για τους ακέραιους με την ανακάλυψη των άρρητων αριθμών μέλος της ο Ίππασος το αποκάλυψε και τιμωρήθηκε με πνιγμό. Πυθαγόρας ο θεμελειωτής της θεωρίας της μουσικής Η μουσική είναι κραδασμοί που προέρχονται από το μήκος της χορδής. Όσο μικρότερο είναι το μήκος της χορδής τόσο ψηλότερη είναι η νότα. Μέχρι και στις μέρες μας, οι επιστήμονες πιστεύουν πως ο Πυθαγόρας μελέτησε τη σχέση μουσικής και αριθμών πάνω στο μονόχορδο. Το μονόχορδο ήταν περισσότερο πειραματικό όργανο. Ήταν ένας μονοδιάστατος χώρος στον οποίο ορίζονται διάφορα μήκη σε σχέσεις αριθμών. Αποτελείτο από μια τεντωμένη χορδή πάνω σε μια ξύλινη βάση κι ένα καβαλάρη. Με τη μετακίνηση του καβαλάρη διαιρούσε τη χορδή σε διάφορα μήκη, εκφράζοντας έτσι τις μαθηματικές σχέσεις των διαστημάτων της κλίμακας. Παρατήρησε ότι μόνο οι 50 10ο ΜΑΘΗΤΙΚΟ ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ακριβείς μαθηματικές σχέσεις έδιναν αρμονικούς ήχους. Κατασκεύασε μια μουσική κλίμακα με βάση τις αναλογίες του κύβου. Ο κύβος έχει 6 έδρες, 8 κορυφές και 1 ακμές. Οι αριθμοί 1 και 6 δίνουν την αναλογία /1 και το 8 είναι το αρμονικό μέσο των 6 και 1. Οι αριθμοί 1 και 8 δίνουν την αναλογία 3/(Δι οξείαν), ενώ οι αριθμοί 8 και 6 δίνουν την αναλογία 4/3(συλλαβή) Με τη χορδή «ανοιχτή» δηλαδή σε θέση που να μπορεί να ταλαντώνεται όλο το μήκος της (λόγος 1, συχνότητα 1), έκρουσε και άκουσε ένα μουσικό τόνο. Στη συνέχεια περιόρισε το μέρος της χορδής που ταλαντώνεται στο μισό της μήκος, και βρήκε ότι ο ήχος που ακούστηκε είναι η διαπασών, αυτό που σήμερα ονομάζουμε οκτάβα. Ανακαλύπτει ότι ο τόνος του ήχου επηρεάζεται από το μήκος της χορδής και μάλιστα όταν η αναλογία του μήκους είναι 1/ (συχνότητα /1) έχουμε τη διαφορά μιας οκτάβας. Έτσι ορίστηκαν τα άκρα της μουσικής κλίμακας. Οκτάβα Αριθμητικός λόγος της ογδόης: Διαπασών /1 Ανεβαίνοντας από την οκτάβα μία πέμπτη, παίρνουμε τον πέμπτο φθόγγο δηλ. τη νότα σολ. Διαπίστωσε έτσι ότι όταν δύο χορδές είναι σε σχέση 3/ τότε το διάστημα που σχηματίζουν οι νότες που παράγονται είναι μια 5 η καθαρή. Με αυτά τα διαστήματα, γνωρίζοντας κανείς ότι όταν προσθέτουμε διαστήματα πολλαπλασιάζουμε τους λόγους τους και αντίθετα όταν αφαιρούμε, τους διαιρούμε, γιατί δεν πρόκειται για ποσότητες αλλά για αναλογίες, μπορούμε να υπολογίσουμε τους λόγους όλων των διαστημάτων. [π.χ. με αφετηρία τη νότα ντο, η νότα σολ είναι 5η καθαρή πάνω, άρα έχει σχέση 3/. 3 4 = 1 3 Αριθμητικός λόγος της πέμπτης(3:, δι πέντε) Δι οξείαν 3/ Αριθμητικός λόγος της Τετάρτης(4:3,δια τεσσάρων) Συλλαβή 4/3 ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ 51