ΕΠΙΠΕΔΗ ΚΑΜΠΥΛΟΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ-ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ-ΣΧΕΤΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ

ΕΠΙΠΕΔΗ ΚΑΜΠΥΛΟΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ-ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ-ΣΧΕΤΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ ΠΑΡΑΔΟΧΕΣ 1) Ο χώρος, όπως τον αντιλαμβανόμαστε, έχει τρεις διαστάσεις που συμβολίζονται με τρεις διευύνσεις κάετες μεταξύ τους. 2) To μαηματικό μοντέλο που χρησιμοποιεί ο Newton για τον χώρο είναι το μοντέλο της Ευκλείδιας Γεωμετρίας.Το 5 ο αξίωμα του Ευκλείδη ισχυρίζεται ότι «από δοσμένο σημείο διέρχεται μόνο μια ευεία παράλληλη πρός μία άλλη ευεία».με αυτό το αξίωμα μπορούμε να μεταφέρουμε μια ευεία σε οποιοδήποτε άλλο σημείο διατηρώντας την διευυνσή της μέσω μίας παράλληλης μετάεσης. Ετσι σε κάε σημείο, οποιαδήποτε κατεύυνση ορίζεται μονοσήμαντα απο μία ευεία που διέρχεται από το σημείο, γεγονός που μας επιτρέπει να εωρήσουμε τις ευείες «φορείς» των διανυσμάτων και να παραστήσουμε τα διανύσματα με προσανατολισμένα ευύγραμμα τμήματα μήκους ίδιου με το μέγεός τους.επιπλέον μπορούμε να μεταφέρουμε παράλληλα κάε διάνυσμα από ένα σημείο σε οποιοδήποτε άλλο αρκεί να μεταφέρουμε παράλληλα την ευεία φορέα του. Η παράλληλη μετάεση μας επιτρέπει να ορίσουμε με τρόπο γεωμετρικό το άροισμα + (καώς και την διαφορά τους)δύο διανυσμάτων που εφαρμόζονται στο ίδιο σημείο (ή και διανυσμάτων που δεν εφαρμόζονται στο ίδιο σημείο αρκεί το άροισμα αυτό να έχει φυσικό νόημα) 3) O Νεύτων δίδασκε ότι όλα όσα συμβαίνουν στο Σύμπαν πραγματοποιούνται στον κενό χώρο, που περιέχει όλα τα σώματα και όλες τις διαδικασίες. Το χώρο

αυτόν μπορούμε να τον φαντασούμε σαν ένα τεράστιο εργαστήριο του οποίου οι τοίχοι, η οροφή και το δάπεδο εκτείνονται ως το άπειρο, αυτό το "απόλυτο", απεριόριστο κενό που ο Νεύτων αποκαλούσε "απόλυτο χώρο". Στις Αρχές γράφει: «Ο απόλυτος χώρος με τη δική του φύση, χωρίς αναφορά σε οτιδήποτε εξωτερικό, παραμένει πάντοτε όμοιος και αμετακίνητος». Στη νευτώνεια φυσική, ο χρόνος είναι μια ροή διάρκειας που περιλαμβάνει όλες ανεξαιρέτως τις διαδικασίες. Είναι ο "ποταμός του χρόνου", του οποίου η ροή δεν επηρεάζεται από τίποτα: O Άλμπερτ Αϊνστάιν έδωσε την παρακάτω, πολύ διαφωτιστική, περιγραφή των νευτώνειων εννοιών: «Η ιδέα της ανεξάρτητης ύπαρξης του χώρου και του χρόνου μπορεί να εκφρασεί ως εξής: εάν η ύλη εξαφανιζόταν, α παρέμεναν μόνον ο χώρος και ο χρόνος (ένα είδος σκηνής από την οποία έχουν αποχωρήσει τα φυσικά φαινόμενα)». Η κίνηση σύμφωνα με τον Newton λοιπόν γίνεται σε σχέση με τον απόλυτο χώρο και χρόνο 4) Ο Γάλλος φυσικός και Μαηματικός Descartes(Καρτέσιος) χρησιμοποίησε σύστημα συντεταγμένων για την περιγραφή των σημείων του χώρου με αριμούς.αυτό επέτρεε την σύνδεση ανάμεσα στις τότε κυρίαρχες γεωμετρικές μεόδους και στις «αριμητικές» για τις οποίες επικράτησε ο όρος «αναλυτικές».ετσι γεωμετρικά αντικείμενα μπορούν να περιγραφούν με αναλυτικά μέσα(πχ η ευεία περιγράφεται από μία πρωτοβάμια εξίσωση) αλλά και μαηματικά αντικείμενα δέχονται γεωμετρική ερμηνεία( Πχ σε μία συνάρτηση =f(x) αντιστοιχεί η γραφική της παράσταση δηλ μία καμπύλη στο επίπεδο) 5)Ενα σύστημα αναφοράς αποτελείται από Α) Ενα σημείο Ο του Ευκλείδιου χώρου το οποίο είναι η αρχή του συστήματος αναφοράς Β) Ενα σύνολο γραμμικών ανεξάρτητων διανυσμάτων στο σημείο Ο

(βάση του χώρου ),στην περιπτωσή μας μόνο δύο τα 1(O), 2(O) (επίπεδη κίνηση) Γ) Ενα πεδίο τοπικών διανυσμάτων 1(P), 2(P) σε κάε σημείο Ρ του ευκλείδιου χώρου που προκύπτει από την παράλληλη μετάεση των διανυσμάτων 1(O), 2(O) σε όλα τα σημεία το οποίο χρησιμεύει για την «αναλυτική» περιγραφή των τοπικών διανυσμάτων σε κάε σημείο Ρ καώς και την «αναλυτική» περιγραφή των διανυσματικών πεδίων. Παραγωγο του συστήματος αναφοράς στον Ευκλείδιο χώρο είναι ένα αντίστοιχο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων. x 1(O) Ο 2(O) Σε καμπύλους χώρους τα δύο συστήματα δεν προκύπτουν το ένα από το άλλο. i ) Καρτεσιανό Σύστημα Συντεταγμένων Η έση του σημείου προκύπτει από το σημείο τομής δύο ευειών

Θα χρησιμοποιήσουμε το πρώτο σύστημα όπου οι άξονες είναι κάετοι μεταξύ τους και α ορίσουμε τα μοναδιαία διανύσματα, στις διευύνσεις αυτών των αξόνων ώστε να μπορούμε να γράφουμε «αναλυτικά» ένα οποιοδήποτε διάνυσμα. ii) Πολικό Σύστημα Συντεταγμένων Η έση του σημείου προκύπτει από το σημείο τομής κύκλου - ευείας Θα ορίσουμε τα μοναδιαία διανύσματα, το πρώτο στην διεύυνση της ευείας που ενώνει το υλικό σημείο με την αρχή Ο και το άλλο κάετο σε αυτό ώστε να μπορούμε να γράφουμε «αναλυτικά» ένα οποιοδήποτε διάνυσμα..η διεύυνση των μοναδιαίων διανυσμάτων αυτών αλλάζει εάν αλλάξει και η έση του σημείου σε αντίεση με την διεύυνση των μοναδιαίων στο ορογώνιο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων.

ΛΙΓΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ(ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ) ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΓΙΑ ΑΡΓΟΤΕΡΑ. 1)ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΛΛΑΓΗ ΚΑΤΑ ΤΗΝ ΣΤΡΟΦΗ ΜΟΝΑΔΙΑΙΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Εστω ότι το ι, μοναδιαία διάνυσματα και έστω ότι κάποια στιγμή αργότερα το έχει αλλάξει διεύυνση όπως στο σχήμα με τον κύκλο.η διανυσματική αλλαγή κατά την απειροστή στροφή του τότε έχει την φορά του (κόκκινο διάνυσμα d )και μέτρο =.d= d αφού ( υμηείτε την σχέση ds= R d που δίνει το στοιχειώδες μήκος ενός τόξου για να δείτε πώς βγήκε η τελευταία σχέση) Αρα και σκεφτόμενοι όμοια d Αρα και 2) EΞΩΤΕΡΙΚΑ ΓΙΝΟΜΕΝΑ ΤΟΥ (Γωνιακή ταχύτητα) ΜΕ TA MONAΔΙΑΙΑ, ΚΑΙ ΣΧΕΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΕ ΤΟΥΣ ΠΑΡΑΠΑΝΩ ΡΥΘΜΟΥΣ. Είναι ω ι=ω. (Δείτε το 3D σχήμα) Είναι (Δείτε το 3D σχήμα) άρα άρα = ΣΧΗΜΑ 3D z χ

ΕΠΙΠΕΔΗ ΚΑΜΠΥΛΟΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ΚΑΙ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. Σε όλα τα επόμενα που α γραφούν, στο παρασκήνιο υπάρχει πάντα ο απόλυτος χώρος και ο απόλυτος χρόνος του Newton. Β Α + Α Δs o ΣΧΗΜΑ 1 Εστω ένα υλικό σημείο που εκτελεί καμπυλόγραμμη επίπεδη κίνηση.η τροχιά του είναι αυτή που φαίνεται στο σχήμα (με μπλέ χρώμα).κάποια χρονική στιγμή το υλικό σημείο βρίσκεται στο Α.Το διάνυσμα έσης του από μία αυαίρετα εκλεγμένη αρχή Ο συμβολίζεται με. To υλικό σημείο κίνειται σε χρόνο Δt απο την έση Α στην έση Α και το διάνυσμα έσης του αλλάζει κατά Δ.Aυτή η διανυσματική αλλαγή του διανύσματος έσης λέγεται μετατόπιση και είναι ανεξάρτητη από την εκλογή του σημείου Ο. Το πραγματικο μήκος που διανύει το κινητό είναι το μονόμετρο μήκος Δs. Οταν ο χρόνος μικραίνει, το Α πλησιάζει το Α και το Δs μπορεί να γραφεί σαν το διαφορικό ds που στο όριο Δt 0 είναι ίσο με το μέτρο του.

Ταχύτητα: Ορίζουμε την ταχύτητα σαν = Δ 0 Δ Δ = Οταν Δt 0 τότε το Δ μπορεί να γραφεί σαν d και η διεύυνση του τείνει να γίνει εφαπτόμενη στην τροχιά του υλικού σημείου στην έση Α.Αρα και η ταχύτητα είναι εφαπτόμενη της τροχιάς στο εωρούμενο σημείο. Το μέτρο της ταχύτητας είναι = Β Παρακάτω φαίνεται η ταχύτητα του υλικού σημείου σε δύο έσει ς Α, Β (ΣΧΗΜΑ 2) της τροχιάς του και στο επόμενο σχήμα (ΣΧΗΜΑ 3)η διανυσματική μεταβολή της ταχύτητας Δ από την έση Α στην έση Β ΣΧΗΜΑ 2 Α ΣΧΗΜΑ 3 Β Επιτάχυνση : Ορίζουμε την επιτάχυνση σαν Δ α= Δ 0 = Δ Oσο το Δt 0 τότε το Δυ μπορεί να γραφεί σαν d και η διεύυνση του δεν είναι γενικά όυτε εφαπτόμενη όυτε κάετη στην τροχιά άρα το ίδιο και η επιτάχυνση α (ΣΧΗΜΑ 4) Α ΣΧΗΜΑ 4 Tα παραπάνω είναι μια γεωμετρική ερμηνεία των παραγώγων του διανύσματος έσης δηλ της ταχύτητας και της επιτάχυνσης και ισχύουν για κάε σύστημα συντεταγμένων

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ Παρακάτω φαίνεται ξανά η τροχιά του υλικού σημείου καώς και η ταχυτητά του και η επιταχυνσή του στο σημείο Α βάση αυτών που είπαμε παραπάνω. 1) ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ Α o x x ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΕΣ ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ Ένα οποιοδήποτε διάνυσμα μπορεί να γραφτεί ως γραμμικός συνδυασμός 2 γραμμικά ανεξάρτητων διανυσμάτων. Στην περίπτωση των δύο διαστάσεων, είναι βολικό να ορίσουμε τα ορομοναδιαία διανύσματα, τα οποία έχουν διεύυνση κατά τη ετική φορά των αξόνων x, y. Έχοντας ορίσει την προηγούμενη βάση, μπορούμε να γράουμε το διάνυσμα έσης ενός σημείου με συντεταγμένες (x,y) στο επίπεδο με τον εξής τρόπο: =x.. Τα μοναδιαία διανύσματα σε ορογώνιες καρτεσιανές συντεταγμένες έχουν σταερή διεύυνση. Παραγωγίζοντας την παραπάνω σχέση έχουμε = (x.. ) και αφού τα διανύσματα δεν αλλάζουν διεύυνση με τον χρόνο έχουμε (στα επόμενα τα μοναδιαία διανύσματα α αλλάζουν με τον χρόνο άρα α έχουν χρονική παράγωγο) = x.ι. = x.. και ακολουόντας την ίδια διαδικασία (δηλ παραγωγίζοντας την ταχύτητα) έχουμε α=α x. α.

2) KAΘΕΤΕΣ ΚΑΙ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΙΚΕΣ ΣΥΝΙΣΤΩΣΕΣ ΣΤΗΝ ΤΡΟΧΙΑ Θεωρούμε εφαπτόμενο κύκλο στο σημείο Α της καμπύλης όπου βρίσκεται το υλικό σημείο. Αυτός ο εφαπτόμενος κύκλος προσεγγίζει καλύτερα την καμπύλη στο σημείο αυτό, και η πρώτη και δεύτερη παραγωγός του είναι ίδια με αυτή της καμπύλης στο σημείο αυτό.ο εφαπτόμενος αυτός κύκλος βρίσκεται στο κοίλο τμήμα της καμπύλης.το κέντρο και η ακτίνα αυτού του κύκλου ορίζουν το κέντρο καμπυλότητας Κ και την ακτίνα καμπυλότητας ρ. Θεωρουμε ένα συστημα συντεταγμένων όπου οι δύο αξονές του είναι ο ένας εφαπτόμενος στην τροχιά, και ο άλλος κάετος στον πρώτο, εφοδιασμένους με τα μοναδιαία διανύσματα και όπως φαίνεται στο σχήμα(πράσινοι άξονες). Παρατηρείστε ότι η διεύυνση των μοναδιαίων διανυσμάτων εξαρτάται από την έση που βρίσκεται το υλικό σημείο. Αυτό το σύστημα είναι συνδεδεμένο με τον εφαπτόμενο κύκλο στο σημείο που βρίσκεται το υλικό σημείο Α και το ακολουεί στην κίνησή του στην καμπύλη τροχιά. Καως το υλικό σημείο κινείται η έση του κέντρου καμπυλότητας Κ και η ακτίνα καμπυλότητας ρ γενικά αλλάζει. Απο όσα έχουν αναφερεί μέχρι τώρα γνωρίζουμε ότι όταν Δt 0 τότε η μεταβολή του διανύσματος έσης Δ μπορεί να γραφεί σαν d και η διεύυνση του τείνει να γίνει εφαπτόμενη στην τροχιά του υλικού σημείου στην έση Α όπως στο σχήμα που ακολουεί. K ρ d A r A Ο

Η ταχύτητα στό σημείο Α είναι = και έχει την διεύυνση του διανύσματος κ d ρ Β Α Το μέτρο της ταχύτητας από όσα έχουν αναφερεί αρχικά είναι = όπου εδώ ds=ρ.d Άρα =ρ. (1) H διανυσματική μεταβολή της ταχύτητας d από την έση Α στην Β σε αυτό το σύστημα αξόνων μπορεί να γραφεί σαν d =(d )e+(d )n (2) δηλ σαν άροισμα δύο συνιστωσών μίας στη διεύυνση του διανύσματός και μια στην διεύυνση του διανύσματος όπως στο σχήμα που ακολουεί.

d A Η επιτάχυνση τότε προκύπτει από την (2 ) διαιρώντας με dt άρα α=αn+αe Θα βρούμε τώρα τις εκφράσεις του αn και του αe Η ταχύτητα σε αυτό το σύστημα συντεταγμένων γράφεται =. όπου ( =ρ. από την (1) Παραγωγίζουμε την ταχύτητα,μόνο που σε αυτήν την περίπτωση το μοναδιαίο διάνυσμα έχει παράγωγο γιατί αλλάζει η κατεύυνσή του.(θα δείξουμε σε λίγο πώς βρίσκεται η παράγωγος αυτού του διανύσματος) Άρα έχουμε

=.. (2) Όπου είναι η αλλαγή του μέτρου της ταχύτητας στην διεύυνση του διανύσματος. Στην πιό γενική περίπτωση το είναι = (ρ. ) = ρ. ρ. 2 2 (3) Τώρα α βρούμε την μεταβολή d : Κατά την μετάβαση του υλικού σημείου από το Α στο Β το διάνυσμα αλλάζει κατεύυνση όπως στο παρακάτω σχήμα, η διανυσματική αυτή μεταβολή d φαίνεται στο σχήμα. H κατεύυνσή της είναι κατά την διεύυνση του διανύσματος ενώ το μέτρο της είναι =.d=d (αφού.=1) άρα =. και η (2) γίνεται α=.. (4) (το κομμάτι αυτό δείχνει την μεταβολή της κατεύυνσης της ταχύτητας ) d Αν η ακτίνα καμπυλότητας ρ είναι συνεχώς σταερή δηλ ρ=r=σταερό (Κυκλική κίνηση) τότε εισάγοντας τους συμβολισμούς =ω και 2 2 = ω γων η (1) γίνεται =ω. και από την (3) έχουμε =αγων.r (αφού ό όρος γράφεται α=αγων.. ω 2.. ρ. =0 όταν ρ=r=σταερό) και ω 2. άρα η (4)

ΠΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ Α (d ) + (d ) r d Α o Αναπαράσταση διανύσματος σε ΠΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ Στα μαηματικά, το πολικό σύστημα συντεταγμένων είναι ένα δισδιάστατο σύστημα συντεταγμένων στο οποίο η έση οποιουδήποτε σημείου σε ένα επίπεδο καορίζεται από την απόσταση του σημείου αυτού από ένα αυαίρετα επιλεγμένο σημείο αναφοράς και τη γωνία από μία αυαίρετα επιλεγμένη κατεύυνση.η απόσταση ενός σημείου από το αυαίρετα επιλεγμένο σημείο αναφοράς ονομάζεται ακτινική συντεταγμένη ή απλώς ακτίνα και συμβολίζεται συνήως με το λατινικό r (από την αγγλική λέξη radius, «ακτίνα»), ενώ η γωνία που σχηματίζει η ακτίνα του σημείου με μία αυαίρετα επιλεγμένη διεύυνση ονομάζεται γωνιακή συντεταγμένη ή αζιμούιο και συμβολίζεται συνήως με το ελληνικό πεζό γράμμα. Τα διανύσματα βάσης και στις πολικές συντεταγμένες είναι ορομοναδιαία (δηλαδή έχουν μέτρο μονάδα και είναι κάετα μεταξύ τους). Επιπροσέτως, τα διανύσματα αυτά δεν είναι σταερά, δηλαδή η φορά τους μεταβάλλεται από σημείο σε σημείο σε αντίεση με τα μοναδιαία διανύσματα και των καρτεσιανών συντεταγμένων τα οποία είναι σταερά παντού στο επίπεδο.

Θεωρούμε ένα συστημα συντεταγμένων όπου οι δύο αξονές του είναι ο ένας στην διεύυνση του διανύσματος έσης, στο εωρούμενο σημείο που βρίσκεται το κινητό, εδώ το σημείο Α, και ο άλλος κάετος σε αυτόν (πράσινες ευείες), εφοδιασμένους με τα μοναδιαία διανύσματα και όπως φαίνεται στο σχήμα. Αυτό το σύστημα είναι συνδεδεμένο με το υλικό σημείο και το ακολουεί στην κίνησή του στην καμπύλη τροχιά. Η διανυσματική μεταβολή του διανύσματος έσης dr σε αυτό το σύστημα συντεταγμένων μπορεί να γραφεί σαν d =(d )r+(d ) (δες προηγούμενο σχήμα) και η ταχύτητα προκύπτει εάν διαιρέσουμε με dt την παραπάνω σχέση.αρα = r+ =. +. όπου το μέτρο του (1) μας δείχνει πόσο γρήγορα μεγάλωσε το μήκος του διανύσματος έσης. Eνώ εάν σκεφτούμε βλέποντας το παραπάνω σχήμα ότι το μέτρο της διανυσματικής μεταβολής κατα την διεύυνση του διανύσματος είναι =. και διαιρώντας με dt προκύπτει ότι =. (2) Παρακάτω φαίνεται η ταχύτητα και οι συνιστώσες της στο σημείο Α Α r o

Στο επόμενο σχήμα φαίνεται η αλλαγή της ταχύτητας από το σημείο Α στο σημείο Β καώς και οι συνιστώσες της ταχύτητας στις διευύνσεις και. (Το σχήμα έχει μεγευνεί και δεν φαίνεται η αρχή 0) Β r Α r Οι συνιστώσες r και αλλάζουν καώς το υλικό σημείο κινείται από το Α στο Β.Θα δείξουμε γεωμετρικά αυτές τις αλλαγές για μία απειροστή μετατόπιση του υλικoύ σημείου και στην συνέχεια α υπολογίσουμε την επιτάχυνση σε αυτό το σύστημα συντεταγμένων.

Αλλαγή της συνιστώσας της ταχύτητας r : r Αναλύουμε σε δύο συνιστώσες την ( )r στην διεύυνση του και την ( ) στην διεύυνση του (όπως στο επόμενο σχήμα) r r r d r ΣΧΗΜΑ 1 Αλλαγή της συνιστώσας της ταχύτητας : Αναλυουμε σε δύο συνιστώσες την ( )r στην διεύυνση του την ( ) στην διεύυνση του (όπως στο επόμενο σχήμα) και r d ΣΧΗΜΑ 2

Eίναι = = Εχει την αρνητική διεύυνση του (από το σχήμα 2) = ( ). ( ). ( ). - ( ). (3) Είναι ( ) =.d (4) (Δές σχήμα 1) Και ( ) =.d (5) (Δές σχήμα 2) Διαιρούμε την (3) με dt = ( ). ( ). ( ). ( ). Όπου A) ( ) =λόγω της (1)= = 2 2 (στην κατεύυνση του ) αυτή η επιτάχυνση οφείλεται στην αλλαγή του μέτρου της συνιστώσας B) ( ) =λόγω της (4)=. =λόγω της (1)= (στην κατεύυνση του ) αυτή η επιτάχυνση οφείλεται στην αλλαγή της κατεύυνσης της συνιστώσας Γ) ( ) = λόγω της (2)= = (. ) =. 2 () 2. (στην κατεύυνση του ). αυτή η επιτάχυνση οφείλεται στην αλλαγή του μέτρου της συνιστώσας Δ) ( ) λόγω της (5)=. = λόγω της (2)=.. 2 (στην κατεύυνση του ). αυτή η επιτάχυνση οφείλεται στην αλλαγή της κατεύυνσης της συνιστώσας

Mαζεύουμε τους όρους στην διεύυνση του ( ). ( ). 2. Και τους όρους στην διεύυνση του ( ). ( ). +. 2 () 2. ). =. 2 () 2 2. ). Aρα α= 2 2. +. 2 () 2 2. ). Με αλλαγή του συμβολισμού όπως παρακάτω έχουμε = 2 2 () 2 και α=. +. 2.. ). Η πιό μαζεμένα α α α α r Εάν r=σταερό τότε καταλήγουμε στις ίδιες εξισώσεις με την κυκλική κίνηση που είχαμε βρεί προηγουμένως με τις κάετες και εφαπτομενικές συνιστώσες.

α=. +. ). Θα μπορούσαμε να βρούμε την ίδια σχέση παραγωγίζοντας την έκφραση της ταχύτητας =. +. μόνο που τα διανύσματα και α είχαν παράγωγο και α έπρεπε να την βρούμε (όπως κάναμε με την παράγωγο του διανύσματος στο προηγούμενο σύστημα συντεταγμένων) AΔΡΑΝΕΙΑΚΑ ΚΑΙ ΜΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΦΟΡΑΣ Παρακάτω υπάρχουν κάποια αποσπάσματα από βιβλία,που περιγράφουν με λόγια καλύτερα από αυτά που α μπορούσα να χρησιμοποιήσω εγώ,όσα πρόκειται να αποδειχούν στην συνέχεια. Θα συνιστούσα να διαβαστούν με προσοχή όσα έχουν υπογραμιστεί. «Ο Γαλιλαίος πρώτος αναφέρηκε στα αδρανειακά συστήματα αναφοράς δίνοντας την περιγραφή τους στους Διαλόγους του. Λίγο αργότερα, ο Νεύτωνας, στις ΜαηματικέςΑρχές της Φυσικής Φιλοσοφίας, έδωσε το χαρακτηρισμό τους με τον πρώτο νόμο και με τον δεύτερο νόμο έδωσε την εξίσωση που διέπει την κίνηση των σωμάτων όπως αυτή ισχύει στα αδρανειακά συστήματα αναφοράς. Η αλήεια είναι ότι στη φύση δεν υπάρχουν αδρανειακά συστήματα αναφοράς, αφού είναι αδύνατη η παντελής απομόνωση ενός σώματος από εξωτερικές επιδράσεις ώστε να διαπιστωεί η απόλυτη ισχύς του πρώτου νόμου. Αυτός άλλωστε είναι ο λόγος που τα αδρανειακά συστήματα αναφοράς εισάγονται αξιωματικά από την Γαλιλαϊκή Αρχή της Σχετικότητας. Εντούτοις, στην πράξη, μπορούμε να εκλάβουμε με εξαιρετική προσέγγιση ένα σύστημα αναφοράς ως αδρανειακό εφόσον η επιτάχυνσή του ως προς ένα εωρητικά αδρανειακό σύστημα αναφοράς είναι κατά πολύ μικρότερη από τις επιταχύνσεις των υπό εξέταση αντικειμένων. Ο παρατηρητής που βρίσκεται σε ένα οποιοδήποτε αδρανειακό σύστημα αναφοράςδηλώνει ότι αν σε ένα σώμα δεν ασκείται δύναμη τότε το αδρανειακό του κέντρο εκτελεί ευύγραμμη ομαλή κίνηση ή είναι ακίνητο. Όμως, ο παρατηρητής που βρίσκεται σε ένα μη αδρανειακό σύστημα αναφοράς διαφωνεί λέγοντας ότι η κίνηση αυτή δεν είναι ομαλή και επομένως κάποια δύναμη άγνωστης προέλευσης ασκείται στο σώμα. Τα μη αδρανειακά συστήματα αναφοράς δεν εκτελούν ευύγραμμη ομαλή κίνηση ως προς κάποιο αδρανειακό σύστημα αναφοράς και η εκτροπή τους από την αδρανειακή φυσική κατάσταση, που είναι η ευύγραμμη ομαλή κίνηση, προκαλεί την εμφάνιση των παράδοξων αυτών δυνάμεων που καλούνται αδρανειακές δυνάμεις. Δεν πρόκειται για πραγματικές δυνάμεις αφού δεν προέρχονται από την αλληλεπίδραση σωμάτων και αυτός είναι ο λόγος που ο αδρανειακός παρατηρητής αδυνατεί να ερμηνεύσει την προέλευσή τους. Εντούτοις, αντιλαμβάνεται τις συνέπειές τους και υφίσταται τις επιπτώσεις τους όταν το σύστημά του εγκαταλείει την ευύγραμμη ομαλή πορεία οπότε παύει να ανήκει στην κλάση των αδρανειακών συστημάτων αναφοράς» ΑΠΟΣΠΑΣΜΑ ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ, Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ Οι δύο πρώτοι νόµοι του Νεύτωνα ισχύουν µόνο όταν τα ϕαινόµενα παρατηρούνται µέσα σε µη επιταχυνόµενα συστήµατα αναφοράς. Τότε ένα σώµα µένει ακίνητο εάν δεν ασκείται καµία δύναµη. Ο εµελιώδης νόµος της κλασικής µηχανικής είναι F=m.α ή F=m.du/dt ή F=d 2 r/dt 2 Ως προς ποιο σύστηµα αναφοράς µετράµε τα µεγέη a,u, r ;

1. Εάν το σύστηµα αναφοράς είναι µη επιταχυνόµενο, τότε αυτή είναι η σχέση ορισµού της δύναµης F (πραγµατικές δυνάµεις δηλ δυνάμεις αλληλεπίδρασης σωμάτων βαρυτικέςηλεκτρικές) 2. Αντίστροφα, εάν γνωρίζουµε την πραγµατική (αληινή) δύναµη F( πραγματικές δυνάμεις είναι οι βαρυτικές ηλεκτρικές δυνάμεις και δεν α ασχολήούμε εδώ με ασενείς και ισχυρές πυρηνικές) και σε κάποιο σύστηµα αναφοράς ισχύει µε ακρίβεια ότι F = ma, τότε αυτό είναι ένα αδρανειακό σύστηµα αναφοράς Οι δυνάµεις (ϐαρυτικές, ηλεκτρικές) που έχουµε επικαλεστεί για να εξηγήσουµε την κίνηση των άστρων και των ηλεκτρονίων µείωνονται συνεχώς (και ανάλογα µε το τετράγωνο της απόστασης) όσο το σώµα αποµακρύνεται από τα γειτονικά του σώµατα. Εάν διαλέξουµε ένα µη αδρανειακό σύστηµα αναφοράς, ϕαίνονται να αναπτύσσονται δυνάµεις που δεν έχουν αυτην την ιδιότητα. Εµφανίζονται λοιπόν υποετικές δυνάµεις που υπάρχουν µόνο και µόνο επειδή το σύστηµα αναφοράς είναι επιταχυνόµενο. ΑΠΟΣΠΑΣΜΑ ΑΠΟ www.physics.ntua.gr/~farakos/mathimata...i/systimata_anaforas. ΣΧΕΤΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ : ΜΕΤΑΦΕΡΟΜΕΝΟΙ ΑΞΟΝΕΣ ΑΝΑΦΟΡΑΣ X χ A r A r A/B r B B Y O Θεωρούμε ένα αδρανειακό σύστημα αναφοράς ΧY με αρχή το σημείο Ο και την καμπυλόγραμμη κίνηση ενός υλικού σημείου Α σε σχέση με αυτό το σύστημα που έχει αρχή το σημείο Ο.Το Β είναι και αυτό ένα υλικό σημείο στο σύστημα αναφοράς ΧΨ το οποίο και αυτό κινείται (γενικά) καμπυλόγραμμα ( ως προς το αδρανειακό σύστημα ΧΨ. Θα παρατηρήσουμε την κίνηση του Α από ένα μεταφερόμενο ως προς το XΨ σύστημα αναφοράς συνδεδεμένο με το Β(γκρί πλαίσιο του σχήματος).το πλαίσιο αναφοράς αυτό α το ονομάσουμε χ. Το απόλυτο διάνυσμα έσης του σημείου Α (δηλ σε σχέση με το ΧΥ που εωρείται αδρανειακό) τότε μπορεί να γραφεί σαν A = A (1) Όπου είναι το απόλυτο διάνυσμα έσης του σημείου Β(δηλ σε σχέση με το αδρανειακό σύστημα ΧΥ ) και A το διάνυσμα έσης του Α σε σχέση με το Β

To διάνυσμα έσης μπορεί να γραφεί σαν A/B =χ + όπου και τα μοναδιαία διανύσματα στο πλαίσιο αναφοράς χ Παραγωγίζοντας την παραπάνω σχέση και πέρνωντας υπόιν ότι τα μοναδιαία διανύσματα δεν αλλάζουν διεύυνση με τον χρόνο (στην επόμενη παράγραφο α φανεί ότι αυτά τα διανύσματα μπορεί να έχουν και χρονική παράγωγο) έχουμε ή (Ο συμβολισμός αυτός α μας χρειαστεί αργότερα) Όπου A και B οι απόλυτες ταχύτητες (δηλ οι ταχύτητες ώς προς το αδρανειακό σύστημα ΧΥ) και = η ταχύτητα του Α όπως μετράται από τον Β. Όπου = και πέρνωντας ξανά υπόιν ότι μοναδιαία διανύσματα δεν αλλάζουν διεύυνση με τον χρόνο παραγωγίζουμε ξανά την παραπάνω σχέση και έχουμε Όπου Οι όροι της απόλυτης ταχύτητας και της απόλυτης επιτάχυνσης μπορεί να έχουν εκφραστεί σε οποιοδήποτε σύστημα συντεταγμένων από αυτά που έχουμε μάει. Οι όροι της σχετικής ταχύτητας και της σχετικής επιτάχυνσης αφού βρεούν μπορούν στην συνέχεια να εκφραστούν στο κινούμενο πλαίσιο αναφοράς, σε οποιοδήποτε σύστημα συντεταγμένων από αυτά που έχουμε μάει. Εάν η απόλυτη ταχύτητα Β είναι σταερή τότε δηλ η σχετική επιτάχυνση του Α ως πρός το Β και η απόλυτη επιτάχυνση του Α είναι ίδιες. Άρα και οι δυνάμεις που α μετράνε οι παρατηρητές στα δύο πλαίσια α είναι οι πραγματικές. Γιατί τότε Όμως (πραγματικές δυνάμεις αφού είναι η επιτάχυνση του υλικού σημείου στο αδρανειακό σύστημα αναφοράς) άρα και (πραγματικές δυνάμεις)

Εάν η απόλυτη ταχύτητα Β δεν είναι σταερή (δηλ το πλαίσιο χ πάει να είναι αδρανειακό σύστημα αναφοράς) τότε.α A = -.α πραγματικές δυνάμεις λόγω αλληλεπίδρασης σωμάτων ) (όπου F οι Εξηγώντας την παραπάνω τελευταία σχέση μπορούμε να πούμε το εξής. Αν ο μη αδρανειακός παρατηρητής έλει να ακολουήσει τον 2 Νόμο του Newton στο δικό του μη αδρανειακό πλαίσιο και γράει το γινόμενο.α A σαν δύναμη, α πρέπει εκτός από τις πραγματικές δυνάμεις ( δηλ δυνάμεις μεταξύ αλληλεπίδρασης σωμάτων) που ασκούνται στο υλικό σημείο να εωρήσει και μία επιπλέον δύναμη -.α που δεν οφείλεται σε πραγματικές δυνάμεις αλλά στην επιτάχυνση του δικού του συστήματος αναφοράς σε σχέση με το αδρανειακό ΧΨ Άρα α ισχύει.α

ΣΧΕΤΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ : ΜΕΤΑΦΕΡΟΜΕΝΟΙ και ΠΕΡΙΣΤΡΕΦΟΜΕΝΟΙ ΑΞΟΝΕΣ ΑΝΑΦΟΡΑΣ X χ A r A r A/B r B B Y O Θα παρατηρήσουμε τώρα την κίνηση του Α από ένα μεταφερόμενο και περιστρεφόμενο ως προς το αδρανειακό XΨ, σύστημα αναφοράς συνδεδεμένο με το Β(γκρί πλαίσιο του σχήματος).η περιστροφή γίνεται με γωνιακή ταχύτητα ω= (που γενικά δεν είναι σταερή).η γωνιακή ταχύτητα μπορεί να γραφεί σαν διάνυσμα ω=ω. όπου το είναι το μοναδιαίο διάνυσμα κάετο στο επίπεδο της καμπυλόγραμμης κίνησης με φορά προς τα «έξω». Το διάνυσμα έσης του Α μπορεί τότε να γραφεί σαν Παραγωγίζουμε τώρα αυτήν την σχέση μόνο που σε αυτή την περίπτωση τα μοναδιαία διανύσματα έχουν παράγωγο γιατί αλλάζει η διεύυνσή τους και πρέπει να την βρούμε. (1) Οι απειροστές μεταβολές των διανυσμάτων και σχήμα φαίνονται στο παρακάτω

Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται μια απειροστή στροφή του συστήματος των συντεταγμένων χ κατά d και ο τρόπος που αλλάζουν τα μοναδιαία διανύσματα, χ ω χ d d Το d έχει την κατεύυνση του d =d. Το d έχει την κατεύυνση του - d =-d. (δες σχήμα) και μέτρο Ι I.d=d αφού Ι I=1 άρα (δες σχήμα) και μέτρο Ι I.d=d αφού Ι I=1 άρα Eίναι τότε και όμοια Θα χρησιμοποιήσουμε τώρα το εξωτερικό γινόμενο για να γράουμε τα παραπάνω αποτελέσματα. Είναι και (Θυμηείτε τον κανόνα του δεξιού χεριού και δείτε και το παρακάτω σχήμα) Aρα και ΣΧΗΜΑ 3D z χ

H (1) τότε μπορεί να γραφεί ως εξής αναδιατάσσωντας τους όρους στην πρώτη παρένεση έχουμε όμως άρα Όπου Θα εξηγήσουμε κάε όρο της παραπάνω σχέσης και α δέιξουμε την διαφορά που έχει αυτή η σχέση με την προηγούμενη στους μεταφερόμενους άξονες. Χ χ A r A r A/B r B B Y O Εφαπτόμενη στην τροχιά που παρατηρείτε στο πλαίσιο χ Θεωρείστε έναν παρατηρητή ( πχ τον ευατό σας ) στο πλαίσιο αναφοράς χ o οποίος βρίσκεται στο σημείο Β, είναι συνδεδεμένος με αυτό το πλαίσιο και στρέφεται μαζί με αυτό με την ίδια γωνιακή ταχύτητα και παρατηρεί την κίνηση του υλικόυ σημείου Α. Αυτός ο παρατηρητής δεν α καταλάβαινε τότε ότι στρέφεται με γωνιακή ταχύτητα. Έστω ότι η τροχιά που α έβλεπε αυτός για το υλικό σημείο Α είναι αυτή που φαίνεται με σκούρα έντονη γραμμή πάνω στο γκρί πλαίσιο χ. Η σχετική ταχύτητα τότε έιναι εφαπτόμενη σε αυτή την τροχιά όπως στο παραπάνω σχήμα και δείχνεται με μπλέ διάνυσμα.

Θεωρείστε τώρα έναν παρατηρητή ( πχ πάλι τον ευατό σας ) στο πλαίσιο αναφοράς χ o οποίος βρίσκεται στο σημείο Β είναι συνδεδεμένος με αυτό το πλαίσιο αλλά δεν στρέφεται με αυτό και παρατηρεί το υλικό σημείο Α το οποίο ακολουεί την περιστροφή του πλαισίου χωρίς όμως να κινείται σε σχέση με αυτό(δείτε τώρα ότι η σκούρα έντονη γραμμή πάνω στο γκρί πλαίσιο δεν έχει σχηματιστεί). Αυτός ο παρατηρητής α καταλάβαινε τότε ότι το σημείο Α την συγκεκριμένη χρονική στιγμή που το παρατηρεί στρέφεται με γωνιακή ταχύτητα ω. Η ταχύτητα είναι κάετη στο διάνυσμα X Κάετη στο διάνυσμα χ A Κάετη στο διάνυσμα r A r A/B ω O r B B Y Οι δύο ταχύτητες φαίνονται στο παρακάτω σχήμα. Κάετη στο διάνυσμα X χ A Εφαπτόμενη στην τροχιά που παρατηρείτε στο πλαίσιο χ Κάετη στο διάνυσμα r A r A/B ω r B B Y O

Από την σχέση η ταχύτητα που παρατηρεί ο Β για την κίνηση του Α είναι Αρα η διαφορά μεταξύ( μεταφερόμενων) και( μεταφερόμενων αλλά και περιστρεφόμενων αξόνων) όσον αφορά την ταχύτητα είναι ό όρος Παραγωγίζουμε τώρα την εξίσωση της απόλυτης ταχύτητας και έχουμε Θα εξηγήσουμε κάε όρο ξεχωριστά Α) O όρος είναι η απόλυτη επιτάχυνση του Β Β) Ο όρος έχει την ίδια φορά με την ταχύτητα (εωρούμε ότι η γωνιακή ταχύτητα αυξάνεται ) και φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. X χ A r A r A/B ω r B B Y O Γ) Ο όρος ανάλυεται ώς εξής Eίναι = = u σχετικό

Aρα Γ i)o όρος είναι κάετος στην ταχύτητα (Δές επόμενο σχήμα) Γ ii )O όρος είναι κάετος στην ταχύτητα (Δές επόμενο σχήμα) X χ A ω r A r A/B r B B Y O Δ) O όρος αποτελείται τελικά από δύο όρους α σχετικό = = η επιτάχυνση δεν είναι γενικά όυτε εφαπτόμενη όυτε κάετη στην τροχιά όπως φαίνεται στο επόμενο σχήμα.

X χ A ω r A r A/B O r B B Y Συνήως η επιτάχυνση αναλύεται σε εφαπτομενική και κάετη στην τροχιά συνιστώσες και όπως στο σχήμα παρακάτω X χ A ω r A r A/B O r B B Y

Αρα η γενική σχέση που δίνει την απόλυτη επιτάχυνση είναι η επόμενη Α = Β A/B + ( A/B)+ 2 + σχετικη Ο όρος 2 λέγεται επιτάχυνση Coriollis δηλ αcoriollis=2 και είναι πάντοτε κάετος στην σχετική ταχύτητα Στο επόμενο σχήμα φαίνονται όλες οι επιταχύνσεις και όλες οι ταχύτητες ΕΚΤΟΣ από την Β και την B. X Tροχιά που βλέπει ο παρατηρητής στο περιστρεφόμενο σύστημα -χ χ σχ. σχ(εφαπτομενη) A A/B Περιστρεφόμενο σύστημα ( A/B) A/B ra/b σχ(κάετη) B ra coriollis=2 rb Αδρανειακό σύστημα Ψ

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ, Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ www.physics.ntua.gr/~farakos/mathimata...i/systimata_anaforas.pdf Δυναμική Meriam J.L (Ένα φοβερό βιβλίο το οποίο συνιστώ ανεπιφύλακτα)