Kent Academic Repository

Kent Academic Repository Full text document (pdf) Citation for published version Shibayama, Katsuyuki (27) A Solution Method for Linear Rational Expectation Models under Imperfect Information Working paper Department of Economics, University of Kent at Canterbury DOI Link to record in KAR https://karkentacuk/6256/ Document Version UNSPECIFIED Copyright & reuse Content in the Kent Academic Repository is made available for research purposes Unless otherwise stated all content is protected by copyright and in the absence of an open licence (eg Creative Commons), permissions for further reuse of content should be sought from the publisher, author or other copyright holder Versions of research The version in the Kent Academic Repository may differ from the final published version Users are advised to check http://karkentacuk for the status of the paper Users should always cite the published version of record Enquiries For any further enquiries regarding the licence status of this document, please contact: researchsupport@kentacuk If you believe this document infringes copyright then please contact the KAR admin team with the take-down information provided at http://karkentacuk/contacthtml

Σολυτιον Μετηοδ φορ Λινεαρ Ρατιοναλ Εξπεχτατιον ΜοδελσυνδερΙmπερφεχτΙνφορmατιον Κατσυψυκι Σηιβαψαmα ΥΚΧ/ΛΣΕ Μαψ4,27 βστραχτ Τηισ παπερ ηασ δεϖελοπεδ α σολυτιον αλγοριτηm φορ λινεαρ ρατιοναλ εξπεχτατιον mοδελσ υνδερ ιmπερφεχτ ινφορmατιον Ιmπερφεχτ ινφορmατιον ιν τηισ παπερ mεανσ τηατ σοmε δεχισιον mακινγσ αρε βασεδ ον σmαλλερ ινφορmατιον σετσ τηαν οτηερσ Τηε αλγοριτηm γενερατεσ τηε σολυτιον ιν τηε φορm οφ τ+ τ +ϑ τ;σ τ Φ τ +Γ τ;σ ωηερε τ;σ Τ τ Τ Τ τ Σ Τηε τεχηνιχαλ βρεακτηρουγη ιν τηισ αρτιχλε ισ mαδε βψ εξπανδινγ τηε ιννοϖατιον ϖεχτορ, ρατηερ τηαν εξπανδινγ τηε σετ οφ χραωλινγ ϖαριαβλεσ Περηαπσ συρπρισινγλψ, τηε ανδ Φ mατριχεσ αρε τηε σαmε ασ τηοσε υνδερ τηε χορρεσπονδ ινγ περφεχτ ινφορmατιον mοδελσ Τηισ ιmπλιεσ τηατ ιφ τηε χορρεσπονδινγ περφεχτ ινφορmατιον mοδελ ισ σαδδλε πατη σταβλε (συνσποτ, εξπλοσιϖε), τηε ιmπερφεχτ mοδελ ισ αλσο σαδδλε πατη σταβλε(συνσποτ, εξπλοσιϖε, ρεσπεχτιϖελψ) Μορεοϖερ, ιφ τηε mινιmυm ινφορmατιον σετ ιν τηε mοδεληασαλλτηεινφορmατιονυπτοτιmετ Σ,τηεντηεδιρεχτε εχτσοντηειmπυλσερε σπονσε φυνχτιονσ λαστ φορ ονλψ τηε ρστ Σ περιοδσ αφτερ τηε ιmπυλσε Ιν τηε συβσεθυεντ δατεσ, ιmπυλσε ρεσπονσε φυνχτιονσ φολλοω εσσεντιαλλψ τηε σαmε προχεσσ ασ ιν τηε περφεχτ ινφορmατιον χουντερπαρτ οωεϖερ, ιmπερφεχτ ινφορmατιον χαν σιγνι χαντλψ αλτερ τηε θυαντιτατιϖε προπερτιεσ οφ α mοδελ, τηουγη ιτ δοεσ νοτ δραστιχαλλψ χηανγε ιτσ θυαλιτατιϖε νατυρε Τηισ αρτιχλε δεmον στρατεσ, ασ αν εξαmπλε, τηατ αδδινγ ιmπερφεχτ ινφορmατιον το τηε στανδαρδ ΡΒΧ mοδελσ ρεmαρκαβλψ ιmπροϖεσ τηε χορρελατιον βετωεεν λαβουρ προδυχτιϖιτψ ανδ ουτπυτ ενχε, α ροβυστνεσσ χηεχκ φορ ινφορmατιον στρυχτυρε ισ ρεχοmmενδεδ Κεψωορδσ: Λινεαρ ρατιοναλ εξπεχτατιονσ mοδελσ, Ιmπερφεχτ Ινφορmατιον ϑελ χλασσι χατιον χοδεσ: Χ63, Χ65, Χ68 Ι ωουλδ λικε το τηανκ mψ χολλεαγυεσ ανδ σεmιναρ παρτιχιπαντσ ατ τηε Υνιϖερσιτψ οφ Κεντ ατ Χαντερβυρψ ανδ Λονδον Σχηοολ οφ Εχονοmιχσ ανδ Πολιτιχαλ Σχιενχε Τηισ αρτιχλε ισ βασεδ ον ονε χηαπτερ οφ mψ ΠηD τηεσισ ατ ΛΣΕ

Ιντροδυχτιον Τηισ παπερ ηασ δεϖελοπεδ α σολυτιον αλγοριτηm φορ λινεαρ ρατιοναλ εξπεχτατιον mοδελσ υνδερ ιm περφεχτ ινφορmατιον Ιmπερφεχτ ινφορmατιον ιν τηισ παπερ σιγνι εσ τηατ σοmε δεχισιονσ mαψ βε mαδε βεφορε οβσερϖινγ σοmε σηοχκσ, ωηιλε οτηερσ mαψ βε mαδε αφτερ οβσερϖινγ τηεm Φορ εξαm πλε,ωεχανχονσιδεραϖαριαντοφρβχmοδελ,ινωηιχηλαβουρσυππλψισδεχιδεδβεφορεοβσερϖινγ τοδαψ σ ιννοϖατιον ον προδυχτιϖιτψ Ιν τηισ ϖαριαντ, απαρτ φροm τηε ινφορmατιον στρυχτυρε(ιε, τηε ΦΟΧ ωρτ λαβουρ συππλψ ηασ αν εξπεχτατιον οπερατορ), τηε εθυατιονσ τηατ δε νεσ τηε εθυιλιβριυm ιστηεσαmεασιντηεστανδαρδρβχmοδελ Ιmπερφεχτ ινφορmατιον ισ ιmπορταντ φορ σεϖεραλ ρεασονσ Φιρστ, ιmπερφεχτ ινφορmατιον πλαψσ αν ιmπορταντ ρολε ιν mανψ ιmπορταντ χλασσεσ οφ mοδελσ συχη ασ στιχκψ ινφορmατιον mοδελσ βψ Μανκιω ανδ Ρεισ(2) Σεχονδ, ρεσεαρχηερσ οφτεν δο νοτ κνοω α πριορι ωηατ ινφορmατιον ισ αϖαιλαβλε ωηεν εαχη δεχισιον ισ mαδε ενχε, τηεψ mαψ ωαντ το εστιmατε τηε ινφορmατιον στρυχτυρε βψ παραmετεριζινγ ιτ, ορ mαψ ωαντ το εξπεριmεντ ον α mοδελ υνδερ σεϖεραλ παττερνσ οφ ινφορmατιον στρυχτυρε Ιτ ισ εασψ το ιmπλεmεντ συχη ροβυστνεσσ χηεχκσ ωιτη τηε αλγοριτηm Ονχε στρυχτυραλ εθυατιονσ αρε οβταινεδ, τηεν τηε αδδιτιοναλ ινπυτ το τηε αλγοριτηm ισ ονλψ ινφορmατιον στρυχτυρε Τηιρδ, τηε οβταινεδ νυmεριχαλ ρεσυλτ mαψ νοτ βε ροβυστ φορ α σmαλλ χηανγε ιν ινφορmατιον στρυχ τυρε Ινδεεδ, ιmπερφεχτ ινφορmατιον mαψ σιγνι χαντλψ αλτερ τηε σεχονδ mοmεντσ ανδ τηε σηαπεσ οφ ιmπυλσε ρεσπονσε φυνχτιονσ Τηισ παπερ ο ερσ αν εασψ το υσε ΜΤΛΒ χοδε το σολϖε α γενεραλ χλασσ οφ λινεαρ mοδελσ υνδερ ιmπερφεχτινφορmατιον Τηεσολυτιονοφιmπερφεχτινφορmατιονmοδελσηαστηεφορmοφ τ+ τ +ϑ τ;σ τ Φ τ +Γ τ;σ τ;σ Τ τ Τ τ Σ Τ ωηερε τ ανδ τ αρετηεϖεχτορσοφχραωλινγανδϕυmπϖαριαβλεσ,ρεσπεχτιϖελψ,ανδ τ σ ιστηεϖεχτορ οφιννοϖατιονσαττιmετ σ,φορσ;;σ,ωηερεσισσυχητηαττηεmινιmυmινφορmατιονσετ ιντηεmοδελινχλυδεσαλλινφορmατιονυπτοτιmετ Σ ;Σ ιστηεϖερτιχαλχονχατενατιονοφ Σ σ, ϑ, Φ ανδγαρετηεσολυτιονmατριχεστηαταρεπροϖιδεδβψτηεαλγοριτηm Τηε σ αλγοριτηmισανεξτενσιονοφτηεθζmετηοδβψσιmσ(22) Τηε mοστ ιmπορταντ βρεακτηρουγη ιν τηισ παπερ ισ τηε χηοιχε οφ στατε ϖαριαβλεσ Τηε στατε ϖαριαβλεσ ιν τηισ σολυτιον αρε τ ανδ τ;σ Ιmπερφεχτ ινφορmατιον ρεθυιρεσ τηε εξπανσιον οφ τηε στατεσπαχε,βυττηισχανβεδονεειτηερβψεξπανδινγιννοϖατιονϖεχτορορβψεξπανδινγτηεσετ οφ χραωλινγ ϖαριαβλεσ Νοτε τηατ τηε ρεπρεσεντατιον οφ στατε σπαχε ισ νοτ νεχεσσαριλψ υνιθυε Ουρ χηοιχε οφ στατε ϖαριαβλεσ ωορκσ ιντυιτιϖελψ βεχαυσε, ιφ παστ ιννοϖατιονσ αρε ρεχορδεδ, ωε χαν ρεχοϖερ τηεπαστχραωλινγϖαριαβλεσ,ανδηενχεχανρεχοϖερτηεινφορmατιοναϖαιλαβλεινπαστπεριοδσ 2 Βψ κεεπινγ τηε νυmβερ οφ χραωλινγ ϖαριαβλεσ υνχηανγεδ, ιτ χαν βε σηοων τηατ τηε δψναmιχ παρτσ οφ τηε σολυτιον (ιε, ανδ Φ mατριχεσ) αρε τηε σαmε ασ ιν τηε χορρεσπονδινγ περφεχτ ινφορmατιον mοδελ Τηυσ, ιτ ισ χλεαρ τηατ ιφ τηε χορρεσπονδινγ περφεχτ mοδελ ισ σαδδλε πατη σταβλε (συνσποτ, εξπλοσιϖε), τηεν αν ιmπερφεχτ ινφορmατιον mοδελ ισ αλσο σαδδλε πατη σταβλε (συνσποτ, εξπλοσιϖε, ρεσπεχτιϖελψ) Τηατ ισ το σαψ, τηε ινφορmατιον στρυχτυρε δοεσ νοτ αλτερ τηε δψναmιχ σταβιλιτψ προπερτψ Μορεοϖερ, ινϖαριαντ ανδ Φ mατριχεσ ιmπλψ τηατ τηε διρεχτ ε εχτσ οφ ιmπερφεχτ ινφορmατιον ον ιmπυλσε ρεσπονσε φυνχτιονσ λαστ φορ ονλψ Σ αφτερ αν ιmπυλσε, ιφ τηε mινιmυm ινφορmατιον σετ ατ ΤηεσετοφΜατλαβχοδεσισαϖαιλαβλευπονρεθυεστ: κσηιβαψαmα κενταχυκ 2 ενχε, εϖεν τηουγη σοmε δεχισιονσ αρε mαδε ωιτηουτ οβσερϖινγ τ, φορ εξαmπλε, εχονοmιχ mοδελσ χαν βε φορmυλατεδ ασ ιν(2) 2

τιmετιναmοδεληασαλλτηεινφορmατιονυπτοτιmετ Σ Ινσυβσεθυεντπεριοδσ,τηειmπυλσε ρεσπονσε φυνχτιονσ φολλοω εσσεντιαλλψ τηε σαmε προχεσσ ασ ιν τηε περφεχτ ινφορmατιον χουντερπαρτ Μορεσπεχι χαλλψ,ιφ,σ περιοδαφτερανιmπυλσε,τηεϖαλυεσοφτηεχραωλινγϖαριαβλεσαρε Σ,τηεν τηε φολλοωινγ ιmπυλσε ρεσπονσε φυνχτιονσ αρε τηε εξαχτλψ σαmε ασ τηοσε οφ τηε περφεχτ ινφορmατιον χουντερπαρττηατσταρτσωιτη Σ ανδζεροιννοϖατιονσ ΟνεσυχηεξαmπλεχανβεφουνδινDυπορ ανδ Τσυρυγα (25) Τηεψ αργυε τηατ τηε ηυmπ σηαπεδ ιmπυλσε ρεσπονσε φυνχτιονσ φουνδ ιν Μανκιω ανδ Ρεισ(2) χριτιχαλλψ ηινγε ον τηε ασσυmπτιον οφ Χαλϖε στψλε ινφορmατιον υπδατινγ: σοmε αγεντσ, τηουγη τηειρ ποπυλατιον δεχρεασεσ οϖερ τιmε, χαννοτ ρενεω τηειρ ινφορmατιον φορεϖερ Βψ χονστρυχτινγ Ταψλορ στψλε σταγγερεδ ινφορmατιον ρενεωαλ, Dυπορ ανδ Τσυρυγα(25) σηοω τηατ ιmπυλσε ρεσπονσε φυνχτιονσ ϕυmπ το ζερο ριγητ αφτερ τηε λαστ χοηορτ ρενεωσ ιτσ ινφορmατιον σετ Τηερε αρε, ατ λεαστ αλλεγεδλψ, τωο εξιστινγ τρεατmεντσ οφ ιmπερφεχτ ινφορmατιον 3 Τηε ρστ ρεmεδψ φορ ιmπερφεχτ ινφορmατιον ισ το δε νε δυmmψ ϖαριαβλεσ Φορ εξαmπλε, χονσιδερ α ϖαριαντ οφτηεστανδαρδρβχmοδελ,ινωηιχηλαβουρσυππλψλ τ ισδετερmινεδωιτηουτοβσερϖινγτοδαψ σ ιννοϖατιονσ Τηεν, τηε οπτιmαλ λαβουρ συππλψ ισ δετερmινεδ βψ Ε τ [Λ τ +Χ τ W τ ] () ωηερεχ τ ανδw τ αρεχονσυmπτιονανδωαγεαττιmετ, ανδ αρεπαραmετερσπροϖιδεδβψα τηεορψ, ανδ Ε τ [] ισ τηε εξπεχτατιον οπερατορ ωιτη αλλ ινφορmατιον υπ το τιmε τ Dε νε δυmmψϖαριαβλελ τ συχητηατ Ε τ Λ τ+ +Χ τ+ W τ+ Λ τ+ Λ τ Ιντηισmετηοδ,ηαϖινγαδδιτιοναλχραωλινγϖαριαβλεΛ τ,τηεσετοφχραωλινγϖαριαβλεσισεξπανδεδ Τηεπροβλεmοφτηισmετηοδιστηατιτχαννοτσολϖετηεmοδελιφσοmεενδογενουσϖαριαβλεσαρε δετερmινεδ βεφορε οβσερϖινγ σοmε(νοτ αλλ) οφ τοδαψ σ ιννοϖατιονσ βυτ αφτερ οβσερϖινγ τηε οτηερσ Τηε οτηερ ποσσιβιλιτψ ισ α mοδι χατιον οφ mετηοδ οφ υνδετερmινεδ χοε χιεντσ χχορδινγ το Χηριστιανο(998), ηισ ϖερσιον οφ mετηοδ οφ υνδετερmινεδ χοε χιεντσ, λικε ουρσ, χαν δεαλ ωιτη mοδελσ ιν ωηιχη σοmε ενδογενουσ ϖαριαβλεσ αρε δετερmινεδ βεφορε οβσερϖινγ σοmε (νοτ αλλ) οφ τοδαψ σ ιννοϖατιονσ αρε οβσερϖεδ βυτ αφτερ οβσερϖινγ τηε οτηερσ Τηε mοστ σαλιεντ δι ερενχε βετωεεν ηισ mετηοδ ανδ ουρσ ισ ιν τηε σπεχι χατιον οφ ινφορmατιον στρυχτυρε Χηριστιανο(998) ρεθυιρεσαυσερτοπροϖιδεονλψονεmατριξρτηατσπεχι εσωηιχηιννοϖατιονσαρεινχλυδεδιντηε ινφορmατιον σετ οφ εαχη εξπεχτατιον οπερατορ Ρουγηλψ σπεακινγ, mατριξ Ρ ρελατεσ εθυατιονσ το οβσερϖαβλε ιννοϖατιονσ(ιε, ινφορmατιον) Ιν χοντραστ, ιν τηε αλγοριτηm δεϖελοπεδ ιν τηισ αρτιχλε, α ρεσεαρχηερ mυστ σπεχιφψ τωο mατριχεσ: ονε ρελατεσ ιννοϖατιονσ το εθυατιονσ, ανδ τηε οτηερ ρελατεσ 3 Τηερεαρετηρεετψπεσοφmετηοδσφορπερφεχτινφορmατιονmοδελσ Κινγ ανδ Wατσον σ mετηοδ (998 ανδ 22) (σεε αλσο Wοοδφορδ (υνδατεδ)) ιmπλεmεντσ τωο σταγε συβ στιτυτιον Φιρστ νον δψναmιχ ϕυmπ ϖαριαβλεσ αρε συβστιτυτεδ ουτ, ανδ τηεν δψναmιχ ϕυmπ ϖαριαβλεσ αρε συβστιτυτεδ ουτ φροm τηε σψστεm οφ εθυατιονσ 2 Ιν τηε ΘΖ mετηοδ βψ Σιmσ (22) (σεε αλσο Κλειν (2)) τηε ΘΖ δεχοmποσιτιον ισ αππλιεδ το mατριχεσ ον ενδογενουσ ϖαριαβλεσ Ρεχογνιζινγ τηατ() ροοτσ τηατ χορρεσπονδ το νον δψναmιχ ϕυmπ ϖαριαβλεσ αρε ιν νιτε, ανδ (2) ροοτσ τηατ χορρεσπονδ το δψναmιχ ϕυmπ ϖαριαβλεσ αρε λαργερ τηαν ονε ιν αβσολυτε τερmσ, τηε τρανσϖερσαλιτψ χονδιτιονσ ελιmινατεσ βοτη τψπεσ οφ ϕυmπ ϖαριαβλεσ ατ ονχε 3 Τηε mετηοδ οφ υνδετερmινεδ χοε χιεντσ βψ Υηλιγ(999)(σεε αλσο Χηριστιανο(998)) συβστιτυτεσ α γυεσσ σολυτιον ιντο τηε γιϖεν σψστεm οφ εθυατιονσ; τηε ρεσυλτινγ mατριξ πολψνοmιαλ ισ σολϖεδ διρεχτλψ Ιν πρινχιπλε, τηισ mετηοδ δοεσ νοτ ρεθυιρε τηατ τηε γιϖε εθυατιονσ αρε ρστ ορδερ δι ερενχε εθυατιονσ ιγηερ ορδερ mατριξ πολψνοmιαλσ χαν βε νυmεριχαλλψ σολϖεδ(σεε ππενδιξ) 3

ιννοϖατιονσ το ϖαριαβλεσ Τηισ δι ερενχε ισ χρυχιαλ Το υνδερστανδ ιτ, χονσιδερ τηε αβοϖε εξαmπλε () Ιτισχλεαρτηαταρεσεαρχηερηαστοσπεχιφψτηεινφορmατιονσετοφτηεεξπεχτατιονοπερατοριν () οωεϖερ, ιν α γιϖεν ινφορmατιον σετ, τηερε αρε γενεριχαλλψ τηρεε ποσσιβιλιτιεσ, ναmελψ τηατ(α) τηε ρεπρεσεντατιϖε ηουσεηολδ ξεσ λαβουρ συππλψ βεφορε οβσερϖινγ σοmε οφ τοδαψ σ ιννοϖατιονσ, (β) ιτ δετερmινεσ ωαγε βεφορε ιννοϖατιονσ (στιχκψ ωαγε), ορ (χ) ιτ δεχιδεσ χονσυmπτιον βεφορε ιννοϖατιονσ ενχε,ονεmορεmατριξισνεχεσσαρψινουραλγοριτηmτοσπεχιφψωηιχηοφχ τ,w τ ορ τ ισχηοσενωιτηουτηαϖινγφυλλινφορmατιον Ινγενεραλ,τηεθυαντιτατιϖεβεηαϖιουροφαmοδελισ τοταλλψ δι ερεντ, δεπενδινγ ον ωηιχη ϖαριαβλε αρε ασσυmεδ το βε δεχιδεδ βεφορε οβσερϖινγ σοmε ινφορmατιον Ινδεεδ, ιν φολλοωινγ σεχτιον, ιτ ισ δεmονστρατεδ τηατ τηε δι ερενχε βετωεεν(α) ανδ (β) ισ ϖερψ χρυχιαλ Τηε πλαν οφ τηισ παπερ ισ ασ φολλοωσ Ιν Σεχτιον 2, ωε δε νε τηε προβλεm ανδ δεριϖε τηε σολυτιον Τηερε αρε τωο κεψ οβσερϖατιονσ Φιρστ, ιφ τηε κ τη τιmε τ ϖαριαβλε ψ κ;τ ισ δετερmινεδ ωιτηουτοβσερϖινγτηει τητιmετ σιννοϖατιονσ ι;τ σ,τηενψ κ:τ χαννοτρεσπονδτο ι;τ σ,γιϖεν τ Σ Σεχονδ,ιφτηεεξπεχτατιονοπερατοριντηεϕ τηεθυατιονηασανινφορmατιονσεττηατινχλυδεσ ι;τ σ, ι;τ σ χαννοτβετηεσουρχεοφτηεεξπεχτατιονερροριντηεϕ τηεθυατιον Ιττυρνσουττηατ τηεσε τωο ρεστριχτιονσ αρε ενουγη το δετερmινε τηε υνιθυε σολυτιον χοε χιεντσ Ιν Σεχτιον 3, ωε δισχυσσ τηε ασσυmπτιονσ τηατ αρε νεχεσσαρψ το γυαραντεε τηε εξιστενχε οφ α σολυτιον Εαχη οφ τηεm ηασ σοmε εχονοmιχ mεανινγ Τηε εξιστενχε χονδιτιον ισ σλιγητλψ τιγητερ υνδερ ιmπερφεχτ ινφορmατιον τηαν υνδερ περφεχτ ινφορmατιον Ιν Σεχτιον 4, τηε mαιν φεατυρεσ οφ τηε σολυτιον οφ ιmπερφεχτ ινφορmατιον mοδελσ αρε βριε ψ δισχυσσεδ Μοστ οφ τηεm αρε διρεχτ χονσεθυενχεσ οφ τηε ινϖαριαντ ανδ Φ mατριχεσ Ιν Σεχτιον 5, ωε δεmονστρατε τηε ε εχτσ οφ ιmπερφεχτ ινφορmατιον ον τηε οτηερωισε στανδαρδ ΡΒΧ mοδελ ασ αν εξαmπλε Τηε ναλ σεχτιον χονχλυδεσ τηε δισχυσσιον 2 Dεριϖατιον οφ τηε Σολυτιον Εσσεντιαλλψ, ουρ αλγοριτηm ισ αν εξτενσιον οφ τηε ΘΖ mετηοδ υσεδ ιν Σιmσ(22) Ουρ προβλεm ισ το οβταιν τηε στατε σπαχε ρεπρεσεντατιον οφ α σολυτιον τηατ σατισ εσ τωο κεψ ζερο ρεστριχτιονσ Φορ τηε δεταιλσ οφ mατριξ νοτατιον, σεε ππενδιξ 2 Dε νιτιον οφ τηε προβλεm Τηε ινπυτσ ανδ ουτπυτσ οφ τηε αλγοριτηm αρε δε νεδ 2 Γιϖεν mοδελσ Φολλοωινγ Σιmσ(22), ωε φορmυλατε τηε λινεαρ ρατιοναλ mοδελσ ωιτη εξπεχτατιον ερρορσ ασ φολλοωσ ψ τ+ +Βψ τ +Χ τ +D τ+ +Ε τ;σ (2) 4

ωηερε Ε Ε Ε Ε σ Ε Σ 2 Ε ; Ε ;Ν Ε σ; Ε σ;ν 6 4 Ε ;Μ Ε ;ΜΝ Ε σ;μ Ε σ;μν τ τ ψ, τ;σ Β Χ τ τ Σ Ε Σ ; Ε Σ;Ν Ε Σ ;Μ Ε Σ;ΜΝ 3 7 5 ψ τ ιστηεϖεχτοροφαλλενδογενουσϖαριαβλεσ,ινωηιχη τ ιστηεϖεχτοροφχραωλινγϖαριαβλεσανδ τ ιστηατοφϕυmπϖαριαβλεσ Στοχκϖαριαβλεσαρεαλλρεχορδεδαττηεβεγιννινγοφεαχηπεριοδ Μ ισ τηενυmβεροφεθυατιονσ,ωηιχηισεθυαλτοτηενυmβεροφενδογενουσϖαριαβλεσ,ν ιστηενυmβερ οφιννοϖατιονσ,ανδσ ισσυχητηαττηεmινιmυmινφορmατιονσετινχλυδεσ τ Σ τ σ ισαχολυmνϖεχτοροφιιδιννοϖατιονσαττιmετ σ Λιmιτινγ τ τοιιδισνοτρεστριχτιϖε σινχεωεχαναδδτηελαωοφmοτιονσοφσεριαλλψχορρελατεδσηοχκστοτηεσψστεmοφεθυατιονσανδ τρεαττηεσηοχκστηεmσελϖεσασχραωλινγϖαριαβλεσ 4, Β ανδχ αρεπροπερχοε χιεντmατριχεσ, ωηιχηαρεπροϖιδεδβψανεχονοmιχτηεορψ D ανδ Ε ρεπρεσεντ τηε εξπεχτατιον ερρορσ D ισ νον ζερο εϖεν φορ τηε περφεχτ ινφορmατιον mοδελσ, βεχαυσε οφ τηε δψναmιχ ϕυmπ ϖαριαβλεσ (εγ, εξπεχτατιον ερρορ ιν τηε Ευλερ εθυατιον) ν εχονοmιχ τηεορψ mυστ σπεχιφψ τηε ποσιτιονσ οφ ζερο ελεmεντσ ιν D ανδ Ε, ωηιλε τηε ϖαλυεσ οφ νον ζεροελεmεντσαρεχαλχυλατεδβψτηεαλγοριτηm τ σ χανβετηεσουρχεοφεξπεχτατιονερρορσ βεχαυσε σοmε ενδογενουσ ϖαριαβλεσ αρε δεχιδεδ ωιτηουτ οβσερϖινγ ιτ 22 Γοαλ οφ τηε αλγοριτηm Ουροβϕεχτιϖειστοοβταιντηεστατεσπαχερεπρεσεντατιονοφ(2) 5 τ+ τ +ϑ τ;σ τ Φ τ +Γ τ;σ (3α) (3β) ωηερε ϑ ϑ ϑ ϑ σ ϑ Σ 2 3 ϑ ; ϑ ;Ν ϑ σ; ϑ σ;ν ϑ Σ; ϑ Σ;Ν 6 4 7 5 ϑ ;Μ ϑ ;ΜΝ ϑ σ;μ ϑ σ;μν ϑ Σ;Μ ϑ Σ;ΜΝ Γ Γ Γ Γ σ Γ Σ 2 Γ ; Γ ;Ν Γ σ; Γ σ;ν Γ Σ; Γ Σ;Ν 6 4 Γ ;Μ Γ ;Μ Ν Γ σ;μ Γ σ;μ Ν Γ Σ;Μ Γ Σ;Μ Ν 3 7 5 4 ΣεεWοοδφορδ(υνδατεδ) Τηισσιmπλι εστηεαλγεβραανδχοmπυτατιονσιγνι χαντλψ 5 Σδοεσνοτιmπλψπερφεχτινφορmατιον Ιφανενδογενουσϖαριαβλεδοεσνοτοβσερϖεονλψτοδαψ σιννοϖατιον τ, τηεν Σ Ιν α σενσε, ϑ ανδ Γ χονσιστ οφ τηε διρεχτ ε εχτσ οφ τ τηρουγη Χ τ ιν (2) ασ υνδερ περφεχτ ινφορmατιονmοδελσ,ανδτηεε εχτσοφεξπεχτατιονερρορσδυετο τ τηρουγηε τ 5

22 Τωο κεψ οβσερϖατιονσ Τηισ συβσεχτιον σηοωσ τωο κεψ ζερο ρεστριχτιονσ Τηε αλγοριτηm σεεκσ τηε σολυτιον τηατ σατισ εσ τηεm 22 Ρεπεατεδ συβστιτυτιονσ Τοοβταιντηερεπρεσεντατιονοφ τ ανδ τ ασφυνχτιονσοφ τ Σ ανδ τ φορ ;;2Σ, ρεπεατ τηε συβστιτυτιον οφ ϖερτιχαλλψ χονχατενατεδ γυεσσ σολυτιον (3) ιντο ιτσελφ τ+ τ Φ τ + τ;σ Φ Σ τ Σ + Π Σ κ κ ϑ τ κ;σ + τ;σ Σ Φ τ Σ + τ + τ ++ Σ τ Σ ϑ τ +ϑ τ 2 ++ϑ Σ τ Σ + Β + ϑ τ 2 +ϑ τ 3 ++ϑ Σ τ 2 Σ + Χ Φ + σ ϑ τ σ +ϑ τ σ ++ϑ Σ τ σ Σ + + Σ ϑ τ Σ +ϑ τ Σ ++ϑ Σ τ Σ Σ Φ Σ τ Σ + τ + τ ++ σ τ σ ++ Σ τ Σ +τερmσωιτη τ φορ Σ+ (4) ωηερε σ Σ ωιτη σ Τ,ανδ ϑσ Τ Γ Τ σ ϑ Γ ϑ +ϑ + ϑ Φ Γ +Φϑ ϑ2 +(ϑ 2 2 + (ϑ Φ +ϑ ) +ϑ ) Γ 2 +Φ(ϑ +ϑ ) Πσ σ σ + Φ Γ σ +Φ Π σ ΠΣ Σ Σ + Φ κ Σ κ ϑ κ Ιν τηε ρεχυρσιϖε ρεπρεσεντατιον, ωηερε, κ σ κ ϑ κ ϑσ + Π σ κ σ κ ϑ κ ϑ Γ σ σ + σ φορσ;;σ Φ κ σ κ ϑ κ ϑσ + Π Σ κ Σ κ ϑ κ Γ Σ +Φ Π Σ κ Σ κ ϑ κ, Ιντυιτιϖελψ,τηεϕ;κ τηελεmεντοφ σ ιστηεε εχτοφ κ;τ σ (τηεκ τηιννοϖατιοναττιmετ σ)ον ψ ϕ;τ (τηε ϕ τη ενδογενουσ ϖαριαβλε ατ τιmε τ) Τηυσ, γιϖεν τ Σ, σ;ϕκ, ωηιχη ισ δε νεδ ασ τηε ϕ;κ τηελεmεντοφ σ,ισζεροιφψ ϕ;τ ισδετερmινεδωιτηουτοβσερϖινγ κ;σ (6) 6

ωηερε Ιν τηε mατριξ ρεπρεσεντατιον Μ (7) Τ Τ σ Τ Σ Τ Τ Τ σ Τ Σ 2 3 Ι Ι Μ 6 4 7 5 Ι Τ (8α) (8β) (8χ) Τηισmατριξπλαψσακεψρολειντηεφολλοωινγ Μ ισχλεαρλψινϖερτιβλε 222 Ζερο Ρεστριχτιονσ Τηρουγηουτ τηισ παπερ, ωε εξπλοιτ τηε φολλοωινγ τωο οβσερϖατιονσ Ιφτηεκ τησετοφϖαριαβλεσψ κ;τ δοεσνοτοβσερϖετηει τησετοφτιmετ σιννοϖατιονσ ι;τ σ, γιϖεν τ Σ ανδ τ φορ σ+;, ψ κ;τ τ σ Σιmπλψπυτ, ανψδεχισιονχαννοτ ρεσπονδτουνοβσερϖεδιννοϖατιονσ ενχε, σ;κι 2 Ιφτηεινφορmατιονσετοφτηεεξπεχτατιονοπερατοριντηεϕ τησετοφεθυατιονσινχλυδεστηε ι τησετοφτιmετ σιννοϖατιονσ ι;τ σ,τηεντηερεαλιζατιονοφτηεϕ τησετοφεθυατιονσmυστ ηολδ φορ ανψ ρεαλιζατιον οφ τηε ι τη σετ οφ ιννοϖατιονσ Τηε εξπεχτατιον ερρορσ ονλψ οχχυρ ονλψδυετοιννοϖατιονστηαταρενοτινχλυδεδιντηεινφορmατιονσετ Τηυσ,Ε σ;ϕι Φορεξαmπλε,συπποσετηατλαβουρσυππλψΛ τ (κ τηϖαριαβλε,ψ κ;τ )ισδεχιδεδονβεφορεοβσερϖινγ τοδαψ στεχηνολογψσηοχκ(ι τησηοχκ, ι;τ ),βυταφτερτοδαψ σπρεφερενχεσηοχκ(λ τησηοχκ, λ;τ ), βοτηοφωηιχηαρειιδ ΙφτηεΦΟΧωρτ Λ τ ιστηεϕ τηεθυατιον, ;κι ( ;ι δοεσνοτα εχτψ κ;τ ) Ε ;ϕλ ( ;λ δοεσνοτχαυσεεξπεχτατιονερρορινϕ τηεθν) Ρουγηλψ σπεακινγ, Ε ;ϕλ mεανσ τηατ ιφ τηε εξπεχτατιον οπερατορ οφ τηε ϕ τη εθυατιον ισ ελιmινατεδ,στιλλιτηολδσιντερmσοφ ;λ ΙτιστηεδυτψοφαυσερτοσπεχιφψτηεποσιτιονσοφτηεσεζεροελεmεντσινανδΕ 6 23 Σκετχη οφ Dεριϖατιον ανδ Κεψ Εθυατιονσ φορ Χοmπυτατιον Τηε φυλλψ δεταιλεδ δεριϖατιον ισ γιϖεν ιν ππενδιξ Τηισ συβσεχτιον βριε ψ δεσχριβεσ τηε σκελετον οφ τηε δεριϖατιον ανδ λιστσ τηε mινιmυm ρεσυλτσ νεχεσσαρψ φορ χοmπυτατιον 6 Τηε αλγοριτηm αυτοmατιχαλλψ νδσ τηε ποσιτιονσ οφ ζερο ελεmεντσ ιν D mατριξ βασεδ ον τηε σπεχι χατιον οφ ϕυmπ ανδ χραωλινγ ϖαριαβλεσ(ονλψ δψναmιχ ϕυmπ ϖαριαβλεσ χαν βε τηε σουρχεσ οφ εξπεχτατιον ερρορσ) υσερ ισ ρεθυιρεδ το σπεχιφψ ωηιχη ϖαριαβλεσ αρε χραωλινγ ϖαριαβλεσ ανδ ωηιχη αρε ϕυmπ 7

23 ΘΖ Dεχοmποσιτιον Ιν ορδερ το ιντροδυχε νοτατιονσ, τηισ συβσεχτιον βριε ψ ρεϖιεωσ τηε ΘΖ δεχοmποσιτιον(ορ γεν εραλιζεδσχηυρδεχοmποσιτιον) ΦορmατριχεσανδΒ (2Χ νν ),τηερεεξιστυνιταρψmατριχεσθ ανδζ συχητηατ Θ Ζ Θ ΒΖ Β ωηερε ανδ Β αρεβοτηυππερτριανγυλαρmατριχεσ,ανδσυπερσχριπτ ινδιχατεσαχονϕυγατε τρανσποσε υνιταρψmατριξυ σατισ εσυ Υ ΥΥ Ι Λετα κκ ανδβ κκ βετηεκ τηδιαγοναλ ελεmεντσιν ανδ Β,ρεσπεχτιϖελψ σσυmινγτηατα κκ ανδβ κκ αρενοτζεροαττηεσαmετιmε, τηεν κ β κκ α κκ φορκ;;ναρετηεγενεραλιζεδειγενϖαλυεσοφτηεmατριξπενχιλβ κ 7 Τηε βασιχ ιδεα ισ τηατ βψ αππλψινγ τηε ΘΖ δεχοmποσιτιον το (2) ασ ιν Σιmσ (22), τηε αλγοριτηm σεπαρατεσ υνσταβλε ροοτσ φροm σταβλε ροοτσ ωηερε ψ τ+ +Βψ τ +Χ τ +D τ+ +Ε τ;σ Ζ ψ τ+ + Β Ζ ψ τ +Θ Χ τ +Θ D τ+ +Θ Ε τ;σ σσ συ στ+ Β + σσ Β συ στ υυ υ τ+ Β υυ υ τ Θ + σ: Θ Θ Χ τ + σ: Θ υ: Θ D τ+ + σ: υ: Θ Ε τ;σ υ: στ υ τ Ζ τ τ Βψ τρανσϖερσαλιτψ χονδιτιονσ(τςχσ), αλλ υνσταβλε ροοτσ αρε σετ το βε εθυαλ το ζερο(ρεmεmβερ τηατ αλλ ιννοϖατιονσ αρε ασσυmεδ το βε ιιδ) λλ υνσταβλε ροοτσ mυστ βε ζερο υνδερ ιmπερφεχτ ινφορmατιον ασ υνδερ περφεχτ ινφορmατιον, ωηιχη ισ γυαραντεεδ βψ τηε ιτερατεδ λινεαρ προϕεχτιον 232 Νοτατιονσ φορ τηε Ουτπυτσ οφ ΘΖ Dεχοmποσιτιον Φορ λατερ υσε, ωε δε νε συβmατριχεσ ασ φολλοωσ Ζ Ζ σ: Ζ Ζυ: σ Ζσ Ζσ Ζ Ζυ Ζυ,Ζ υ Ζ σ Ζ υ σσ συ, Β Β σσ Β συ υυ Β υυ Θ,Θ σ: Θ υ: (9α) (9β) ωηερε συβσχριπτσ υ ανδ σ ιmπλιεσ υνσταβλε ανδ σταβλε ροοτσ Νοτε τηατ σσ ανδ Β υυ αρε βοτη ινϖερτιβλε βψ χονστρυχτιον 7 Σεεππενδιξφοραβριεφρεϖιεωοφτηερελατιονσηιπβετωεεντηεσψστεmοφ ρστορδερδι ερενχεεθυατιονσανδ γενεραλιζεδ ειγενϖαλυεσ 8

λσο, ωε δε νε φουρ mατριχεσ ασ σ σσζσ+ συζυ σ σσζσ+ συζυ Β σ Β σσζσ+ Β συζυ Β σ Β σσζσ+ Β συζυ (α) (β) (χ) (δ) Νοτε τηατ αλλ τηε mατριχεσ δε νεδ ηερε αρε οβταινεδ φροm τηε ουτπυτσ οφ τηε ΘΖ δεχοmποσιτιον 233 Ματριξ Συβσχριπτσ Wε ιντροδυχε τηε φολλοωινγ νοτατιον ρυλε φορ συβσχριπτσ ον mατριχεσ Φορ α mατριξ, :ξ ισχολυmνσξοφαmατριξ ξ: ισροωσξοφαmατριξ ::ξ ιστηεχολυmνσρεmαινινγαφτερτηεελιmινατιονοφχολυmνσξ :ξ: ιστηεροωσρεmαινινγαφτερτηεελιmινατιονοφροωσξ ωηερεξιστηεναmεοφασετοφχολυmνσορροωσ Τηισνοτατιονmακεσχερταινmατριξοπερατιονσ εξτρεmελψ σιmπλε Σεε ππενδιξ φορ φυρτηερ δεταιλσ 234 Ζερο Ρεστριχτιονσ σαρεσυλτοφσοmεmανιπυλατιονοφmατριξεθυατιονσ,ιτισσηοωντηατ +Μ Ε (Ε+Χ) () Μ Ε (Μ ψ Μ )νθ (2) ωηερε Μ ψ Β 2 6 4 Σ Χ Β,Ε Ε Ε Σ Χ,Χ 3 Χ 2 6,Θ4, σσ Ζ σ Β σ 7 Β 5 υυζυ Θ Θ 3 7 5 (3α), σ υυζυ (3β) ανδξνψ Ξ Ψ ΒεαρινmινδτηατανδΕαρεστιλλ υνδετερmινεδχοε χιεντσ, ωηιλε,ονχε ανδφ αρεοβταινεδ,μ Ε ισχοmπυταβλεφροmτηεουτπυτσοφτηεθζδεχοmποσιτιον Εανδαρεχοmπυτεδχολυmνβψχολυmν Ιτισιmπορτανττορεmεmβερδυετοζερορεστριχτιονσ σοmε ελεmεντσ ιν ανδ Ε αρε ζερο Τηυσ, φορ τηε ι τη χολυmν (ορ εθυιϖαλεντλψ φορ τηε ι τη 9

ιννοϖατιον), Β ;ι κ;ι () Μ(Σ+);ι Χ +Μ Ε ΒΒ Ε ϕι + Χ Β Χ :ι ΧΧ ωηερεμ ιστηενυmβεροφεθυατιονσανδηενχεμ(σ+)ιστηενυmβεροφροωσιν Φροmτηεκ τησετοφεθυατιονσιν(4) Μ Ε Ε κϕ ϕι+ Μ Ε Χ κϕ ϕι+ Μ Ε κ:ϕ Χ :ϕι (5) ωηιχηγιϖεστηεϖαλυεσοφνον ζεροελεmεντσοφε Φροmτηερεστοφτηεεθυατιονσιν(4), :κι + Μ Ε Χ :κϕ ϕι+ Μ Ε :κ:ϕ Χ :ϕι (6) ΜΕ ΜΕ κϕ ν Μ Ε κ:ϕ Χ :ϕι+χ ϕι :κϕ ωηιχη γιϖεσ τηε νον ζερο ελεmεντσ οφ Τηεεξιστενχεοφτηεινϖερσεοφ[Μ Ε ] κϕ ισασσυmεδ Ινγενεραλ,ηοωεϖερ,ιτισνοτνεχεσσαριλψ ινϖερτιβλε ανδ αν εχονοmιχ mεανινγ οφ ιτσ ινϖερτιβιλιτψ ισ δισχυσσεδ λατερ 235 Σολυτιον Τηε σολυτιον αλγοριτηm χοmπυτεσ κεψ mατριχεσ σεθυεντιαλλψ Τηε βασιχ στρυχτυρε ισ ασ φολλοωσ Οβταιν συβmατριχεσ φορm τηε ουτπυτσ οφ ΘΖ δεχοmποσιτιον(9 ανδ ) 2 Οβταιν ανδφ φροm(7) 3 ΟβταινΜ,Μ ψ ανδμ Ε φροm(8χ,3βανδ2) 4 ΟβταινΕ ανδφροm(8ανδ9) 5 ΟβταινΓανδϑ φροm(2) ανδ Φ: σιν(σιmσ(22)),τηε ανδφ mατριχεσαρεδεριϖεδινδεπενδεντλψφροmτηεγ ανδ ϑ mατριχεσ βασεδ ον τηε χοε χιεντ ον τ (σεε ππενδιξ φορ δεταιλσ) Τηερεφορε, τηεψ αρε εξαχτλψ τηε σαmε ασ ιν περφεχτ ινφορmατιον mοδελσ Φ Ζ υνζ υζ σ Ζ σ (4) (7α) Ζ σ σσν Β σσ Ζσ (7β) Ε ανδ: Φροm(5)ανδ(6),τηενον ζεροελεmεντσοφε ανδαρε Ε ϕι ΜΕ κϕ ν Μ Ε Χ κ:ϕ :ϕι Χ ϕι (8) :κι Μ Ε νχ :ϕ:κ :ϕι (9) ωηερεμ Ε χανβεοβταινεδφροm(8χ)ανδ(3)ωιτητηεσολυτιονοφ ανδφ Νοτετηατ ανδ Φ χανβεχοmπυτεδωιτηουτρεφερρινγε,ορμ Ε Σινχε[Μ Ε ] κϕ ισασσυmεδτοβεινϖερτιβλε, Μ Ε ισαλσοινϖερτιβλε(σεεππενδιξφορτηεπροοφ) :ϕ:κ

ϑ ανδγ: Φροmτηεδε νιτιονοφ (8α), 2 6 4 ϑ Γ ϑ Σ Γ Σ Νον ζεροελεmεντσοφμ αρερεχοϖερεδφροm(9) D: Φροmαγιϖενεχονοmιχmοδελ(2)ιτισοβϖιουστηατ D 3 σσυmπτιονσ 3 Μ 7 (2) 5 Ιντηισσεχτιον,ωεδισχυσστηρεεασσυmπτιονσ σσυmπτιονσανδ2ιντηεφολλοωινγαρετηεσαmε ασ ιν τηε σολυτιον mετηοδ φορ περφεχτ ινφορmατιον mοδελσ, ωηιλε ασσυmπτιον 3 ισ σπεχι χ το ιm περφεχτ ινφορmατιον mοδελσ Τηισ συβσεχτιον οmιτσ δισχυσσιον αβουτ Βλανχηαρδ Καην χονδιτιον, ωηιχη ισ αυτοmατιχαλλψ σατισ εδ βψ ασσυmπτιον 3 σσυmπτιον: Ζ υ ισινϖερτιβλε Κλειν(2) σηοωσ τηατ τηισ ασσυmπτιον ισ α γενεραλιζατιον οφ τηε χονδιτιον δεριϖεδ ιν Βλανχηαρδ ανδ Καην(98) Βοψδ ανδ Dοτσεψ(99) mακεσ χλεαρ τηατ τηε Βλανχηαρδ Καην χονδιτιον ωηιχη χουντσ ανδ χοmπαρεσ τηε νυmβερσ οφ υνσταβλε ροοτσ ανδ ϕυmπ ϖαριαβλεσ ισ α νεχεσσαρψ(βυτ νοτ συ χιεντ) χονδιτιον φορ τηε εξιστενχε οφ α υνιθυε σολυτιον; τηεψ προϖιδε α χουντερ εξαmπλε τηατ σατισ εσ τηε Βλανχηαρδ Καην χουντινγ χονδιτιον βυτ δοεσ νοτ ηαϖε α σταβλε σολυτιον Ιντυιτιϖελψ, ινϖερτιβλεζυ mεανστηατωεχαναλωαψσ νδτηεϖαλυεσοφϕυmπϖαριαβλεστηατγυαραντεευ τ+ (ΤςΧσ)ινανψστατεσ ΡεmεmβερτηατΖυ mαπσϕυmπϖαριαβλεστουνσταβλεροοτσ,ανδιτσινϖερσε mαπσ υνσταβλε ροοτσ το ϕυmπ ϖαριαβλεσ Σεε Κινγ ανδ Wατσον(995) φορ αν ιντυιτιϖε εξποσιτιον Τηε εξιστενχε οφ τηε ριγητ ινϖερσε οφ Ζυ ενταιλσ τηε εξιστενχε οφ ϕυmπ ϖαριαβλεσ, βυτ τηε νον εξιστενχε οφ ιτσ λεφτ ινϖερσε ιmπλιεσ νον υνιθυενεσσ οφ ϕυmπ ϖαριαβλεσ Σεε Υηλιγ(2) φορ α τρεατmεντ οφ νον υνιθυενεσσ 32 σσυmπτιον2: α κκ ανδβ κκ αρενοτζεροαττηεσαmετιmε Ιφα κκ ανδβ κκ αρεζεροαττηεσαmετιmε,ιτιmπλιεστηαττηερεεξιστροωϖεχτορσξσυχητηατξ Ονεοφσυχηεξαmπλεσιστηεκ τηροωοφθ Τηεεξιστενχεοφσυχηροωϖεχτορσγενεριχαλλψιmπλιεσ ειτηερ οφ τηε φολλοωινγ (α) Ιφ Ξ ισ ινδεεδ ζερο, τηεν σοmε εθυατιονσ αρε νοτ λινεαρλψ ινδεπενδεντ φροm τηε οτηερσ Εσσεντιαλλψ τηερε αρε φεωερ εθυατιονσ τηαν ενδογενουσ ϖαριαβλεσ τ λεαστ ονε οφ εθυατιον χαν βε εξπρεσσεδασαλινεαρχοmβινατιονοφοτηερσ,ανδσυχηαλινεαρχοmβινατιονισσηοωνβψξ (β) Ιφ Ξ ισ νοτ ζερο, χλεαρλψ τηερε ισ αν ιντερναλ χοντραδιχτιον (ιε, α σψστεm οφ εθυατιονσ (2) ισ ιντερναλλψ ινχονσιστεντ) Ονε οφ συχη εξαmπλεσ ισ 2 εθυατιον ανδ 2 ϖαριαβλεσ νον δψναmιχ Γ

mοδελ ωιτη νο στατε ϖαριαβλεσ ;τ 2;τ + τ ;τ 2;τ + τ + τ Οβϖιουσλψβοτηδονοτηολδαττηεσαmετιmεφορνον ζερο τ ΣινχεΘΖδεχοmποσιτιονισmερελψ α λινεαρ τρανσφορmατιον, τηισ ιmπλιεσ τηατ τηερε ισ αν ιντερναλ ινχονσιστενχψ ιν τηε οριγιναλ σψστεm οφ εθυατιονσ(2) Ρεπηρασινγ τηε αβοϖε αργυmεντσ ασ φολλοωσ mιγητ βε mορε ιντυιτιϖε: Ιφα κκ ανδβ κκ αρεζεροαττηεσαmετιmε,τηερεαρεφεωερεθυατιονστηανενδογενουσ ϖαριαβλεσ ιν τηε νον στοχηαστιχ στεαδψ στατε Τηισισσιmπλψβεχαυσειντηενον στοχηαστιχστεαδψστατειτmυστβετηεχασετηατξ ΣεεΣιmσ(22)ασωελλ 33 σσυmπτιον3: [Μ Ε ] κϕ ισινϖερτιβλε Τηισ χονδιτιον ισ σπεχι χ το ιmπερφεχτ ινφορmατιον mοδελσ, τηουγη ιτ ισ αναλογουσ το τηε εθυατιον (4) ιν Σιmσ (22) 8 Ιντυιτιϖελψ, ιφ ιτ ισ νοτ ινϖερτιβλε, τηεν τηε ινφορmατιον στρυχτυρε ισ νοτ χονσιστεντ Νοτετηαττηεινϖερσεοφ[Μ Ε ] κϕ,ιφιτεξιστσ,mαπσεξπεχτατιονερρορστοιννοϖατιονσ τηατ σοmε ενδογενουσ ϖαριαβλεσ χαννοτ ρεσπονδ ενχε, ιφ τηε ινϖερσε οφ [Μ Ε ] κϕ εξιστσ, τηεν εξπεχτατιον ερρορσ χαν εθυατε βοτη σιδεσ οφ τηε εθυατιονσ φορ ανψ ρεαλιζατιον οφ ιννοϖατιονσ νον ινϖερτιβλε [Μ Ε ] κϕ αππεαρσ ιν τηε φολλοωινγ εξαmπλε Συπποσε τηατ αλλ προδυχτιον φαχτορσ ανδ αλλ δεmανδ χοmπονεντσ αρε δεχιδεδ βεφορε οβσερϖινγ τοδαψ σ τεχηνολογψ σηοχκ Ιν τηισ χασε, ουτπυτ ϖαριεσ δεπενδινγ ον τηε ρεαλιζατιον οφ τεχηνολογψ, ωηιλε δεmανδ χαννοτ ρεσπονδ το ιτ Τηυσ, τηε γοοδσ mαρκετ δοεσ νοτ χλεαρ ατ ανψ πριχε Ονε ιmπορταντ λεσσον ισ τηατ α ρεσεαρχηερ ηασ το χονστρυχτ χονσιστεντ mοδελσ ν αρβιτραριλψ σπεχι εδ ινφορmατιον στρυχτυρε mαψ ηαϖε ιντερναλ ινχονσιστενχψ 4 Προπερτιεσ οφ τηε Σολυτιον Τηε σολυτιονσ χοmπυτεδ βψ τηε αλγοριτηm ηαϖε τηε φολλοωινγ προπερτιεσ Προπερτιεσ ανδ 2 αρε σιmπλψ τηε βασισ οφ τηε αλγοριτηm ανδ προπερτιεσ 3 ανδ 4 αρε τηε διρεχτ χονσεθυενχεσ οφ ινϖαριαντ ανδφ Ιφαϖαριαβλεψ κ;τ ισδεχιδεδωιτηουτοβσερϖινγανιννοϖατιον ι;τ σ,τηεν ι;τ σ δοεσνοτα εχτ ψ κ;τ Ιε, ξ τ ι;τ σ,γιϖενχραωλινγϖαριαβλεσ τ Σ 2 Ιφ ι;τ αρε ινχλυδεδ ιν τηε ινφορmατιον σετ οφ εξπεχτατιον οπερατορσ ιν τηε ϕ τη εθυατιον, τηεν ι;τ χαννοτβετηεσουρχεοφτηεεξπεχτεδερροριντηεϕ τηεθυατιον 3 Τηεδψναmιχπαρτσοφτηεσολυτιον( ανδφ)αρετηεσαmεασιντηεπερφεχτινφορmατιον mοδελσ Τηυσ, ιmπερφεχτ ινφορmατιον δοεσ νοτ χηανγε τηε νυmβερ οφ σταβλε ανδ υνσταβλε ροοτσ σ α χονσεθυενχε, ιφ α mοδελ υνδερ ιmπερφεχτ ινφορmατιον εξηιβιτσ σαδδλε πατη σταβιλιτψ, φορ εξαmπλε, τηεν τηε χορρεσπονδινγ mοδελ υνδερ περφεχτ ινφορmατιον mυστ αλσο εξηιβιτ σαδδλε πατη σταβιλιτψ 8 οωεϖερ, νοτε τηατ Σιmσ χονδιτιον ισ ρελατεδ το τιmε τ+ εξπεχτατιον ερρορσ, ωηιλε ουρ δισχυσσιον ιν τηε φολλοωινγισρελατεδτοτιmε εξπεχτατιονερρορσ( <τ) 2

4 Ινϖαριαντ δψναmιχ παρτσ αλσο ιmπλψ τηατ τηε διρεχτ ε εχτσ οφ ιmπερφεχτ ινφορmατιον λαστ ονλψ Σ περιοδ αφτερ αν ιmπυλσε Ιν τηε συβσεθυεντ περιοδσ, τηεψ εσσεντιαλλψ φολλοω τηε σαmεδψναmιχσασυνδερπερφεχτινφορmατιον Μορεσπεχι χαλλψ, λετ τ+σ βετηεϖαλυεσοφ χραωλινγ ϖαριαβλεσ Σ περιοδ αφτερ αν ιmπυλσε Τηεν συβσεθυεντ ιmπυλσε ρεσπονσε φυνχτιονσ αρετηεεξαχτλψσαmεαστηοσευνδερπερφεχτινφορmατιονσταρτινγωιτη τ+σ ωιτησεττινγαλλ ιννοϖατιονσ εθυαλ το ζερο Τηε προπερτιεσ 3 ανδ 4 σηοω τηατ θυαλιτατιϖελψ αν ιmπερφεχτ ινφορmατιον mοδελ ινηεριτσ κεψ προπερτιεσ οφ τηε χορρεσπονδινγ περφεχτ ινφορmατιον mοδελ Βυτ ασ σηοων ιν τηε νεξτ σεχτιον, ιmπερφεχτ ινφορmατιον χαν ηαϖε θυαντιτατιϖελψ σιγνι χαντ ε εχτσ Τηε φολλοωινγ ποιντσ αρε αλσο ιmπορταντ Ινουρρεπρεσεντατιονοφσολυτιονσ,τηεσετοφστατεϖαριαβλεσαττιmετισ τ ; τ ; τ ;; τ Σ Ναmελψ, τοδαψ σ χραωλινγ ϖαριαβλεσ ανδ χυρρεντ ανδ παστ ιννοϖατιονσ Ρουγηλψ σπεακινγ, χραωλινγ ϖαριαβλεσ χορρεσπονδ το στατε ϖαριαβλεσ υνδερ περφεχτ ινφορmατιον Παστ ιννοϖατιονσ αρε νεχεσσαρψ το δεσχριβε τηε εχονοmψ, βεχαυσε τηεψ ρεχοϖερ παστ ινφορmατιον σετσ Ιφ τ ϕ ανδ τ ϕ;σ αρεοβσερϖαβλε,φροm(3α),τηεεχονοmιχαγεντσιναmοδελχανινφερ τ ϕ+ Τηε αλγοριτηm δοεσ νοτ αχχεπτ ιλλογιχαλ ινφορmατιον στρυχτυρε Φορ εξαmπλε, ινφορmατιον σετ τ ; τ 2 ;; τ ; τ ; (ωιτηουτ τ )ισνοταλλοωεδβεχαυσε,οβσερϖινγ τ ανδ τ;σ, εχονοmιχαγεντσmυστκνοω τ Σιmιλαρλψ, τ ; τ ;; τ ; τ 3 ; τ 4 ; (ωιτηουτ τ ορ τ 2 )ισνοταχχεπταβλε Οντηεοτηερηανδ, τηεαλγοριτηmχανδεαλ ωιτηινφορmατιονσετ τ 2 ; τ 3 ;; τ ; τ 3 ; τ 4 ;,τηουγηιτισηαρδτοιντερπρετεχονοmιχαλλψ ΤηεαλγοριτηmονλψρεθυιρεστηεποσιτιονσοφζεροελεmεντσινανδΕ mατριχεσ, βοτηοφ ωηιχηαρεχοε χιεντmατριχεσον τ;σ ΤηισmεανστηαττηεαλγοριτηmδετεχτσΣφροmτηεζερο ελεmεντσοφανδε Τηεmινιmυmινφορmατιονισδεεmεδτοβε τ 2 ; τ 3 ;; τ ; τ 3 ; ιφσ2 Τηεmαξιmυmποσσιβλεινφορmατιονσεταττιmετ(περφεχτινφορmατιον)ισ τ ϕ ; τ ϕ ϕ, τηουγη σοmε οφ τηεσε ελεmεντσ αρε ρεδυνδαντ(ιε, σοmε οφ τηεm αρε νοτ στατε ϖαριαβλεσ) Τηισ ιmπλιεσ τηατ τηε αλγοριτηm δοεσ νοτ αλλοω ινφερενχε Ιφ τηε ινφορmατιον σετ οφ εχονοmιχ αγεντσ ιν α mοδελ ινχλυδεσ αλλ χυρρεντ ανδ παστ ϖαριαβλεσ ψτ ϕ ; τ ϕ ϕ,τηεντηεεχονοmιχαγεντσχανινφερmοστηιδδενινφορmατιον,ωηιχηρεδυχεσ αν ιmπερφεχτ mοδελ το τηε χορρεσπονδινγ περφεχτ ινφορmατιον mοδελ ιν mοστ χασεσ Φορ εξαmπλε, ιφ ηουσεηολδσ οβσερϖε αλλ προδυχτιον φαχτορσ ανδ ουτπυτ, τηεψ χαν ινφερ τοδαψ σ προδυχτιϖιτψ χορρεχτλψ Ονε νατυραλ ιντερπρετατιον οφ ιmπερφεχτ ινφορmατιον ισ τηατ αγεντσ ηαϖε το mακε φυτυρε δεχισιον ιν τηε χυρρεντ περιοδ, λικε ιν στιχκψ πριχε mοδελσ Τηε αλγοριτηm χαννοτ δεαλ ωιτη παραmετερ υνχερταιντψ Τηε αλγοριτηm χαν δεαλ ωιτη νοισψ ινφορmατιον mοδελσ εασιλψ Συπποσε αν Ρ() σηοχκ προχεσσ τ φολλοωσ λν τ+ λν τ + π οβ τ + π υο τ (2) ωηερε οβ τ ανδ υο τ αρε τηε οβσερϖαβλε ανδ υνοβσερϖαβλε χοmπονεντσ οφ ιννοϖατιον, ανδ ( ) ιστηεσιγναλτονοισερατιο Τηιστεχηνιθυεαλλοωσυστοπαραmετερισετηεεξτεντ οφ ιmπερφεχτ ινφορmατιον 3

5 νεξαmπλε 5 Στανδαρδ ΡΒΧ Μοδελ Το δεmονστρατε τηε θυαντιτατιϖε ε εχτσ οφ ιmπερφεχτ ινφορmατιον, ωε χονσιδερ τηε στανδαρδ ΡΒΧ mοδελ υνδερ ιmπερφεχτ ινφορmατιον, φοχυσσινγ ον ιmπυλσε ρεσπονσε φυνχτιονσ ανδ σεχονδ mοmεντσ ΤηεmαινεχονοmιχmοτιϖατιονιστοαδδρεσσανοϖερλψηιγηΧορρ(Ψ τ τ ;Ψ τ )ιντηεστανδαρδ ΡΒΧ mοδελ Υνδερ τηε πλαυσιβλε παραmετερ ρανγε, τηε στανδαρδ ΡΒΧ mοδελ πρεδιχτσ αλmοστ περφεχτ χορρελατιον βετωεεν λαβουρ προδυχτιϖιτψ Ψ τ τ ανδ ουτπυτ Ψ τ, βυτ ιν τηε δατα τηε χορρελατιον ισ ονλψ σλιγητλψ ποσιτιϖε ενχε, ωε mοδιφψ τηε στανδαρδ ΡΒΧ mοδελ βψ αδδινγ ιmπερφεχτ ινφορmατιον ρελατεδ το τηε λαβουρ mαρκετ Τηε ρελεϖαντ εθυατιονσ αρε β τ W τ τ (22α) Ψ τ τ W τ (22β) ωηερεψ τ, τ,w τ, τ αρεουτπυτ,ωορκινγηουρσ,ωαγεανδτηεmαργιναλυτιλιτψοφχονσυmπτιον, ρεσπεχτιϖελψ λλ ενδογενουσ ϖαριαβλεσ αρε mεασυρεδ ασ δεϖιατιονσ φροm τηειρ στεαδψ στατε ϖαλυεσ ιν%τερmσ βισαχονσταντ,ωηιχηρεπρεσεντσ(αmυλτιπλεοφ)τηεελαστιχιτψοφmαργιναλδισυτιλιτψ οφ λαβουρ Τηε ρστ εθυατιον ισ τηε ΦΟΧ ωρτ λαβουρ συππλψ; τηε σεχονδ σηοωσ τηατ τηε mαργιναλπροδυχτοφλαβουρ(ψ τ τ )ισεθυαλτοωαγε 9 Τηεσετοφστατεϖαριαβλεσυνδερπερφεχτ ινφορmατιονισφκ τ ; τ ; τ γ,ωηερεκ τ ανδ τ αρεχαπιταλανδτεχηνολογψαττηεβεγιννινγοφτιmε τ,ρεσπεχτιϖελψ,ανδ τ ρεπρεσεντστηειννοϖατιονοντεχηνολογψ Νοτετηατ τ ισρεγαρδεδασαν ενδογενουσχραωλινγϖαριαβλε,ανδτηερεισονλψονειιδ εξογενουσϖαριαβλε τ Τηατιστοσαψ, τ ισ τρεατεδ ασ α στοχκ ϖαριαβλε σσυmινγ τηατ τοδαψ σ ιννοϖατιον α εχτσ τοδαψ σ ουτπυτ, Ψ τ τ+ Κ τ τ λν τ+ λν τ + τ ωηερε ισ α παραmετερ τηατ γοϖερνσ τηε περσιστενχε οφ τεχηνολογψ σηοχκ 5 Χασε Ι: δεχιδεσ λαβουρ συππλψ βεφορε οβσερϖινγ ιννοϖατιονσ Ιντηισχασε(22α)δοεσνοτηολδ Ινστεαδ,τηελαβουρσυππλψδεχισιονισγοϖερνεδβψ η Ε β τ W τ τ ϕ ι Κ τ ϕ ; τ ϕ ; τ ϕ ϕσ+ Σινχε τ χαννοτρεαχττοπαστιννοϖατιονσ,φορσ;;;σ, τ τ σ γιϖενκ τ Σ ; τ Σ 9 Νοτε τηατ σινχε αλλ ενδογενουσ ϖαριαβλεσ αρε ρεπρεσεντεδ ασ λογ δεϖιατιονσ φροm τηειρ στεαδψ στατε, Ψ τ τ ισ τηε δεϖιατιον οφ ουτπυτ διϖιδεδ βψ λαβουρ ηουρ (ιε, λαβουρ προδυχτιϖιτψ) Τηε Χοββ Dουγλασ προδυχτιον φυνχτιον ιmπλιεσ τηατ τηε mαργιναλ προδυχτ οφ λαβουρ ισ( ) τιmεσ λαβουρ προδυχτιϖιτψ, ωηιχη mεανσ τηατ τηε %χηανγεοφλαβουρπροδυχτιϖιτψισεξαχτλψτηεσαmεαστηατοφτηεmαργιναλπροδυχτοφλαβουρ Ινοτηερωορδσ,ιν τηεχοββ Dουγλασπροδυχτιονφυνχτιον,Ψ τ τ ρεπρεσεντσβοτητηε%δεϖιατιονοφλαβουρπροδυχτιϖιτψανδτηε mαργιναλ προδυχτ οφ λαβουρ 4

Φιγυρε : Ιmπυλσε ρεσπονσε φυνχτιονσ το α ποσιτιϖε τεχηνολογψ ιννοϖατιον οφ τηε στανδαρδ ΡΒΧ mοδελ ιν ωηιχη λαβουρ συππλψ ισ δετερmινεδ 5 περιοδσ ιν αδϖανχε 5

Φιγυρε()σηοωστηειmπυλσερεσπονσεφυνχτιονσωιτηΣ5,ωηιχηmεανστηαττηεηουσεηολδ δεχιδεσ ιτσ λαβουρ συππλψ 5 θυαρτερσ ιν αδϖανχε Τηερε αρε σεϖεραλ οφ ποιντσ ωορτη νοτινγ ηερε Λαβουρ ηουρσ δο νοτ mοϖε φορ τηε ρστ Σ περιοδσ Τηατ ισ, τ τ σ φορ σ ;;;Σ Λαβουρπροδυχτιϖιτψ(Ψ τ τ )ανδινϖεστmεντσηοω υνυσυαλ mοϖεmεντσφορτηε ρστσ περιοδσ οωεϖερ, αφτερ Σ + περιοδσ αλλ ενδογενουσ ϖαριαβλεσ φολλοω(α λινεαρ χοmβινα τιονσοφ)ρ()προχεσσεσ Τηισισονεεξαmπλεοφτηεπροποσιτιοντηαττηεδιρεχτε εχτοφ ιmπερφεχτ ινφορmατιον λαστσ ονλψ Σ περιοδ αφτερ αν ιmπυλσε Χορρ(Ψ τ τ ;Ψ τ )ισλοωερτηανυνδερπερφεχτινφορmατιον,βυτονλψσλιγητλψ(εξαχτνυmβερσ αρε νοτ σηοων) 52 Χασε ΙΙ: Φιρm δεχιδεσ λαβουρ δεmανδ βεφορε οβσερϖινγ ιννοϖατιονσ Ιντηισχασε(22β)δοεσνοτηολδ Ινστεαδ,τηελαβουρσυππλψδεχισιονισγοϖερνεδβψ η Ε Ψ τ τ W τ ϕ ι Κ τ ϕ ; τ ϕ ; τ ϕ ϕσ+ Σινχε τ χαννοτρεαχττοτηειννοϖατιονσ,φορσ;;;σ, τ τ σ γιϖενκ τ Σ ; τ Σ Τηε ρεσυλτσ αρε νοτ ϖερψ ιντερεστινγ ιν τερmσ οφ εχονοmιχσ ΤηειmπυλσερεσπονσεφυνχτιονσαρεαλmοσττηεσαmεασιντηεχασεΙ,εξχεπτφορωαγε(ηενχε, τηε γυρε ισ οmιττεδ) Χορρ(Ψ τ τ ;Ψ τ )ισλοωερτηανυνδερπερφεχτινφορmατιον,βυτονλψσλιγητλψ οωεϖερ, τηε ιmπορταντ mεσσαγε ιν τηισ εξπεριmεντ λιεσ ιν χοmπυτατιον: Σιmπλψ σπεχιφψινγ τηε ενδογενουσ ϖαριαβλεσ τηατ αρε δετερmινεδ ωιτηουτ οβσερϖινγ περφεχτ ινφορmατιον ισ νοτ ενουγη το νδασολυτιον ΤηισισεϖιδεντιντηαττηερεσυλτσοφΧασεΙανδΧασεΙΙαρενοττηεσαmε 53 Χασε ΙΙΙ: δεχιδεσ ωαγε βεφορε οβσερϖινγ ιννοϖατιονσ βυτ αχχοmmοδατεσ λαβουρ δεmανδ Τηισ χασε χαν βε ρεγαρδεδ ασ α ϖερσιον οφ τηε στιχκψ ωαγε mοδελ Τηε ρεπρεσεντατιϖε ηουσεηολδ ξεσ ωαγεσ βεφορε οβσερϖινγ ιννοϖατιονσ, ανδ χοmmιτσ ιτσελφ το συππλψινγ λαβουρ το αχχοmmοδατε λαβουρ δεmανδ Ιντηισχασε(22α)δοεσνοτηολδ Ινστεαδ,τηελαβουρσυππλψδεχισιονισγοϖερνεδβψ η Ε β τ W τ τ ϕ ι Κ τ ϕ ; τ ϕ ; τ ϕ ϕσ+ ΣινχεW τ χαννοτρεαχττοτηειννοϖατιονσ,φορσ;;;σ, Τηε ρεσυλτσ αρε ϖερψ ιντερεστινγ W τ τ σ γιϖενκ τ Σ ; τ Σ 6

Cooley and Prescott (995) Output Hours Consumption Investment Corr(Output,Outpu/Hours) Data sd 72 59 86 824 4 relative 92 5 479 Standard RBC sd 35 47 33 595 98 relative 35 24 44 Imperfect information (RBC with Prefixed Wage) Output Hours Consumption Investment Corr(Output,Outpu/Hours) sd 25 2 53 792 25 relative 98 25 369 Φιγυρε 2: Χοmπαρισον αmονγ δατα, στανδαρδ ΡΒΧ ανδ ΡΒΧ ωιτη στιχκψ ωαγεσ Τηεϖολατιλιτψοφλαβουρισmυχηηιγηερ Χορρ(Ψ τ τ ;Ψ τ )ισmυχηλοωερτηανυνδερπερφεχτινφορmατιον Γιϖεν στανδαρδ δεϖιατιον οφ τηε ιννοϖατιον, βοτη ουτπυτ ανδ λαβουρ αρε mορε ϖολατιλε Τηε βεηαϖιουρσ οφ mοστ ϖαριαβλεσ οτηερ τηαν λαβουρ ανδ λαβουρ προδυχτιϖιτψ δο νοτ χηανγε σιγνι χαντλψ Τηε ιντυιτιον βεηινδ τηεσε ρεσυλτσ ισ θυιτε σιmπλε Wιτηουτ ιmπερφεχτ ινφορmατιον, ωηεν τηερε ισ α ποσιτιϖε προδυχτιϖιτψ ιννοϖατιον, ωαγε ινχρεασεσ, ωηιχη δισχουραγεσ ρmσ το ηιρε mορε λαβουρ σ α ρεσυλτ, λαβουρ δοεσ νοτ ινχρεασε ϖερψ mυχη Ινδεεδ, ανοτηερ φαιλυρε οφ τηε στανδαρδ ΡΒΧ mοδελ ισ τηατ ιτσ πρεδιχτιον οφ λαβουρ ϖολατιλιτψ ρελατιϖε το ουτπυτ ϖολατιλιτψ ισ τοο σmαλλ DυρινγαβοοmβοτηΨ τ ανδ τ ινχρεασε,ωηιλεψ τ τ ινχρεασεσβεχαυσετηεινχρεασειν τ ισνοτ λαργεενουγη Χονσεθυεντλψ,βοτηΨ τ ανδψ τ τ ινχρεασειναβοοm,ωηιχηιστηε(ονεποσσιβλε) mεχηανισmβεηινδαηιγηχορρ(ψ τ τ ;Ψ τ )ιντηεστανδαρδρβχmοδελ οωεϖερ, ιφ ωαγε ισ δετερmινεδ ωιτηουτ σεεινγ α ποσιτιϖε ιννοϖατιον, ιτ δοεσ νοτ χηανγε θυιχκλψ ενχε, ρmσ αρε νοτ δισχουραγεδ φροm υσινγ mορε λαβουρ Τηε ε εχτ οφ ιmπερφεχτ ινφορmατιονισλαργερονλαβουρτηανονουτπυτ Τηυσ,ιναβοοmβοτηΨ τ ανδ τ ινχρεασε,ωηιλε Ψ τ τ δοεσ νοτ ινχρεασε ϖερψ mυχη βεχαυσε τηε ινχρεασε ιν τ ισ λαργε ενουγη Ινδεεδ, τηε στανδαρδ ΡΒΧ mοδελ ωιτη ονε περιοδ ωαγε στιχκινεσσ πρεδιχτσ λαβουρ ϖολατιλιτψ ρελατιϖε το ουτπυτ ϖολατιλιτψτηαταλmοστmατχηεστηεδατα Χονσεθυεντλψ,ιναβοοmΨ τ ινχρεασεσβυτψ τ τ δοεσ νοτ, ωηιχη λεαδσ το λοω Χορρ(Ψ τ τ ;Ψ τ ) Ινδεεδ, ιν ουρ παραmετερ σετ, Χορρ(Ψ τ τ ;Ψ τ ) ισ νεγατιϖειφσ ισλαργερτηαν2 Φιγυρε (2) σηοωσ τηε συmmαρψ ταβλε οφ τηε σελεχτεδ σεχονδ mοmεντσ φορ ονε περιοδ ωαγε στιχκινεσσ (Σ ) Ονε περιοδ ωαγε στιχκινεσσ ιmπροϖεσ τηε λαβουρ ϖολατιλιτψ ανδ χορρελατιον βετωεεν λαβουρ προδυχτιϖιτψ ανδ ουτπυτ, ωηιλε ιτ σλιγητλψ δετεριορατεσ τηε mοδελ περφορmανχε ιν τερmσ οφ τηε ρελατιϖε ϖολατιλιτψ οφ ινϖεστmεντ Φιγυρε(3) σηοωσ τηε χοmπαρισον οφ σελεχτεδ ιmπυλσε ρεσπονσε φυνχτιονσ βετωεεν περφεχτ ανδ ιmπερφεχτ ινφορmατιον mοδελσ Τηε σαλιεντ δι ερενχεσ αππεαρ ονλψ ιν τηε ρστ περιοδ Ιν τηε στιχκψωαγεmοδελ,βοτηλαβουρανδουτπυτϕυmπιντηε ρστπεριοδ,ανδτηεσιζεοφτηεϕυmπσ 7

2 Sticky Wage Capital 8 6 Pefect Info Capital 4 Pefect Info Output 2 Sticky Wage Output 8 6 4 2-2 5 5 2 25 3 2 8 6 4 Sticky Wage: Labor Pefect Info: Labor Pefect Info: Y/H Sticky Wage: Y/H 2 8 6 4 2-2 5 5 2 25 3 Φιγυρε 3: Χοmπαρισον οφ σελεχτεδ ιmπυλσε ρεσπονσε φυνχτιονσ το α ποσιτιϖε τεχηνολογψ ιννοϖατιον βετωεεν στανδαρδ ΡΒΧ ανδ ΡΒΧ ωιτη ωαγε στιχκινεσσ Volatility relative to GDP 8 6 4 2 8 6 4 2 HHs prefix wages in S period advance ReWage Labor Y/H 2 3 4 5 6 7 8 S Correlation with GDP 2 8 6 4 2-2 -4-6 -8 HHs prefix wages in S period advance ReWage Labor Y/H 2 3 4 5 6 7 8 S Φιγυρε 4: Ε εχτ οφ δι ερεντ δεγρεεσ οφ ιmπερφεχτ ινφορmατιον ον σελεχτεδ σεχονδ mοmεντσ αρε τηε σαmε ενχε, τηε λαβουρ προδυχτιϖιτψ δοεσ νοτ χηανγε ιν τηε ρστ περιοδ Νοτε τηατ (22β) σηοωσ τηατ τηε λαβουρ προδυχτιϖιτψ ισ αλωαψσ εθυαλ το ωαγε Φιγυρε (4) σηοωσ τηε ρελατιϖε ϖολατιλιτιεσ ανδ χορρελατιονσ φορ δι ερεντ δεγρεεσ οφ ιmπερφεχτ ινφορmατιον(ιε,φορδι ερεντϖαλυεσοφσ) σσ ινχρεασεσ,χορρ(ψ τ τ ; τ )δεχρεασεσ Χασε ΙΙΙ αλσο ρεϖεαλσ ονε χοmπυτατιοναλ ρεθυιρεmεντ: Σιmπλψ σπεχιφψινγ τηε ινφορmατιον σετ ινεαχηεθυατιονισνοτενουγητο νδασολυτιον ρεσεαρχηεραλσοηαστοσπεχιφψωηιχηϖαριαβλεσ αρε δετερmινεδ ωιτηουτ οβσερϖινγ περφεχτ ινφορmατιον Τηισ ισ εϖιδεντ ιν τηατ τηε ρεσυλτσ οφ Χασε ΙανδΙΙΙαρενοττηεσαmε 54 Χονχλυσιον φορ ΡΒΧ ωιτη Στιχκψ Wαγε δδινγ ονε περιοδ ωαγε στιχκινεσσ ισ θυαντιτατιϖελψ ενουγη το οϖερχοmε τηε τωο δραωβαχκσ οφ τηε στανδαρδ ΡΒΧ mοδελ,(α) λαβουρ ϖολατιλιτψ ισ τοο σmαλλ ανδ(β) τηε χορρελατιον βετωεεν λαβουρ προδυχτιϖιτψ ανδ ουτπυτ ισ τοο ηιγη, ωιτηουτ σιγνι χαντλψ δετεριορατινγ οτηερ διmενσιονσ οφ τηε mοδελ περφορmανχε Τηισ εξαmπλε σηοωσ τηε ποσσιβιλιτψ τηατ τηε ινφορmατιον στρυχτυρε οφ α mοδελ ηασ σιγνι χαντ θυαντιτατιϖε ε εχτσ 8

6 Χονχλυσιον Τηισ παπερ ηασ δεϖελοπεδ αν αλγοριτηm φορ λινεαρ ρατιοναλ mοδελσ υνδερ ιmπερφεχτ ινφορmατιον Ιmπερφεχτ ινφορmατιον ισ ιmπορταντ βεχαυσε ιτ ινχλυδεσ mανψ ιντερεστινγ χλασσεσ οφ mοδελσ συχη ασ στιχκψ ινφορmατιον ανδ νοισψ σιγναλ mοδελσ Τηεαλγοριτηmεξπλοιτστωοοβσερϖατιονσ: ()ιφανενδογενουσϖαριαβλεψ κ;τ ισδεχιδεδωιτηουτ οβσερϖινγανιννοϖατιον ι;τ σ,τηενψ κ;τ ισνοτα εχτεδβψ ι;τ σ (ιε, ψ κ;τ ι;τ σ );(2)ιφτηε ινφορmατιονσετιντηεϕ τηεθυατιονινχλυδεσ ι;τ σ,τηεν ι;τ σ χαννοτβετηεσουρχεοφεξπεχτατιον ερροριντηεϕ τηεθυατιον(ε σ;ϕι ) Τηεσολυτιονισδε νεδβψτηεσετωοζερορεστριχτιονσ,ανδ ιτ τυρνσ ουτ τηατ τηεψ αρε ενουγη το δετερmινε σολυτιονσ Τηε στατε σπαχε ρεπρεσεντατιον χηοσεν ιν τηισ αλγοριτηm ισ τηε σετ οφ χραωλινγ ϖαριαβλεσ ατ τηε βεγιννινγ οφ τηε χυρρεντ περιοδ ανδ χυρρεντ ανδ παστ ιννοϖατιονσ Τηισ ρεπρεσεντατιον ρεϖεαλσ τηατ τηεδψναmιχπαρτσοφτηεσολυτιον( ανδφ mατριχεσ)αρετηεσαmεασυνδερτηεχορρεσπονδινγ περφεχτ ινφορmατιον mοδελσ Ινϖαριαντ ανδ Φ ιmπλψ τηατ (α) τηε δψναmιχ προπερτψ, συχη ασ συνσποτ ορ σαδδλε πατη σταβιλιτψ ισ νοτ αλτερεδ βψ ινφορmατιον στρυχτυρε, ανδ(β) ιmπυλσε ρεσπονσε φυνχτιονσ αρε νοτ(διρεχτλψ) α εχτεδ βψ τηε ινφορmατιον στρυχτυρε αφτερ τηε ρστ Σ περιοδσ, ωηερε Σ ισσυχητηαττηεmινιmυmινφορmατιονσετιναmοδελ ηασ αλλ τηε ινφορmατιονυπτοτιmε Σ Τηεσε νδινγσ σηοω τηατ θυαλιτατιϖελψ ιmπερφεχτ ινφορmατιον mοδελσ ινηεριτ προπερτιεσ οφ τηειρ περφεχτ ινφορmατιον χουντερπαρτσ οωεϖερ, ασ τηε ΡΒΧ εξαmπλε δεmονστρατεσ, θυαντιτατιϖελψ ιmπερφεχτ ινφορmατιον mαψ βε ιmπορταντ ενχε, ιτ ισ δεσιραβλε το χηεχκ ροβυστνεσσ ιν τερmσ οφ τηε ινφορmατιον στρυχτυρε, ανδ ουρ ΜΤΛΒ αλγοριτηm ο ερσ αν εασψ ωαψ το χονδυχτ συχη εξπεριmεντσ Ονχε στρυχτυραλ εθυατιονσ αρε οβταινεδ, τηεν τηε αδδιτιοναλ ινπυτσ το τηε αλγοριτηm αρε ονλψ τωο ζερο ρεστριχτιονσ 9

ππενδιξ Γενεραλιζεδ Ειγενϖαλυεσ ανδ Λινεαρ Dι ερενχε Εθυα τιονσ Τηεγενεραλιζεδειγενϖαλυεσ ι ανδειγενϖεχτορσϖ ι σατισφψ ι ϖ ι Βϖ ι (23) Συπποσε ωε ηαϖε ηοmογενουσ(ιε, νο εξογενουσ σηοχκσ) λινεαρ δι ερενχε εθυατιονσ συχη ασ Ονεποσσιβλεσολυτιονισ ξ τ+ Βξ τ (24) ξ τ ϖ ι τ ι Νοτετηατφορασταβλεσολυτιονϕ ι ϕ< λσο,νοτετηατξ τ+ ϖ ι τ+ ι ι ϖ ι τ ι ξ τ ενχε, συβστιτυτινγ τηισ σολυτιον βαχκ ιντο(24), ωε χαν χον ρm τηατ ουρ σολυτιον ισ ι ϖ ι Βϖ ι Ινδεεδ, τηε πριmαρψ mοτιϖατιον φορ στυδιεσ ον λινεαρ mατριξ πενχιλσ(23) ισ τηε δψναmιχ σψστεm συχη ασ(24) Τηισ ισ ιν παραλλελ ωιτη τηε ρελατιονσηιπ βετωεεν ειγενϖαλυεσ ανδ δι ερενχε εθυατιονσ συχηασξ τ+ Βξ τ ΣεετηεWιλκινσον σ(979)ιντροδυχτιονφορλινεαρδι ερεντιαλεθυατιονσ Β Εξτενσιον οφ Υηλιγ σ Τηεορεm 3 Προποσιτιον (Εξτενσιον οφ Υηλιγ σ Τηεορεm 3) Το νδ α mm mατριξ Ξ τηατ σολϖεσ τηε mατριξ πολψνοmιαλ ν Ξ ν ν Ξ ν Ξ Γιϖενmmχοε χιεντmατριχεσφ ν γ ν ν,δε νετηενmνmmατριχεσανδβψ 2 3 ν Ι 6 4 7 5 Ι 2 3 ν Ι 6 4 7 5 Ι Ινγενεραλ,ασολυτιονισαλινεαρχοmβινατιονοφϖ ϕ τ ϕ,ανδσυχηαλινεαρχοmβινατιονισσπεχι εδβψτηεινιτιαλ χονδιτιον Τηισιmπλιεστηαττηεγενεραλιζεδειγενϖαλυε ι ηασανε εχταναλογουστοτηελεαδοπερατορ 2

ανδ οβταιν τηε γενεραλιζεδ ειγενϖαλυεσ ανδ τηε γενεραλιζεδ ειγενϖεχτορ σ συχη τηατ σ σ Τηεν,σχανβεωριττενασ ν ξ σ Β Χ ξ ξ φορσοmεξ2ρ m,ανδ Ξ ωηερε[ξ ;;ξ m ]ανδδιαγ( ;; m ) Προοφ λmοστ τηε σαmε ασ Υηλιγ(999) Χ Ματριξ Οπερατιονσ Τοπιχκυπανδδροπουτχολυmνσανδροωσφροmαmατριξ,ωεδε νε [] :ξ ασχολυmνσξοφαmατριξ [] ξ: ασροωσξοφαmατριξ [] ::ξ αστηεχολυmνσρεmαινινγαφτερτηεελιmινατιονοφχολυmνσξ [] :ξ: αστηεροωσρεmαινινγαφτερτηεελιmινατιονοφροωσξ ωηερεξιστηεναmεοφασετοφχολυmνσορροωσ Τηεβραχκετσαρευσεδσιmπλψβεχαυσετηεψ οφτενχλαριφψτηενοτατιον,ανδοφτενχανβεοmιττεδ,ιε,[β] ::ψ Β ::ψ Τηεδοτ : ιmπλιεσαλλ ροωσορχολυmνσ,εγ,β :: Β Ιτισθυιτεεασψτοσηοωτηεφολλοωινγφορmυλαε [Β] [] ::ξ [Β] :ξ: +[] :ξ [Β] ξ: [Β] ::ψ [][Β] ::ψ [Β] :ξ: [] :ξ: [Β] [Β] :ξ:ψ [] :ξ: [Β] ::ψ νεξαmπλεφορτηε ρστφορmυλαισ α α 2 β β 2 α 2 α 22 β 2 β 22 α α2 β β α 2 + β2 β 2 α 22 22 α β α β 2 α2 β + 2 α 2 β 22 α 2 β α 2 β 2 α 22 β 2 α 22 β 22 α β +α 2 β 2 α β 2 +α 2 β 22 α 2 β +α 22 β 2 α 2 β 2 +α 22 β 22 ωηερεξ2 Νοτε τηατ τηισ νοτατιον ισ χονσιστεντ ωιτη οτηερ mατριξ συβσχριπτσ; φορ εξαmπλε, τηε ροωσ οφ Ζ σ ισαρερελατεδτοσταβλεροοτσσανδιτσχολυmνσαρετοχραωλινγϖαριαβλεσ 2

D ΙνϖερτιβλεΖ υ ΙmπλιεσΙνϖερτιβλεΖ σ Προποσιτιον 2 Φορ αν ινϖερτιβλε mατριξ Ζ, ωηιχη ισ παρτιτιονεδ ασ Ζ Ζ Ζ 2 Ζ 2 Ζ 22 ιφζ ισινϖερτιβλε,τηεν[ζ ] 22 ισαλσοινϖερτιβλε Προοφ Dε νε Ζ Λ Ζ Ρ Ι Ζ 2 Ζ Ι Ι Ζ Ζ 2 Ι ΝοτετηατΖ Λ ΖΖ Ρ ηασφυλλρανκβεχαυσεαλλοφζ Λ,Ζ ανδζ Ρ ηαϖεφυλλρανκ,ανδνοτετηατ Ι Ζ Ζ 2 Ι Ζ Ζ 2 Ζ Ζ 2 Ζ Ι Ζ 2 Ζ 22 Ι Ζ 22 Ζ 2 ΖΖ 2 ενχε,γζ 22 Ζ 2 Ζ Ζ 2 mυστηαϖεφυλλρανκ Φορ α φυλλ ρανκ mατριξ ωιτη αν ινϖερτιβλε υππερ λεφτ συβmατριξ, τηε ωελλ κνοων φορmυλα τελλσ υσ Ζ Ζ 2 Ζ 2 Ζ 22 Ζ +ΖΖ 2 Γ Ζ 2 Ζ Ζ Γ Ζ 2 Ζ Γ Ζ 2 Γ Νοτε τηατ τηε ΡΣεξιστσ σινχε ωε κνοωτηατ βοτη Ζ ανδγαρε ινϖερτιβλε Τηυσ, [Ζ ] 22 ισ ινϖερτιβλε ΣινχεΖ ισυνιταρψ,ζ Ζ,ωηιχηιmπλιεσΓ [Ζ ] 22 Ζ22 ΣινχεΖ22 ηασφυλλρανκ, ιτσχονϕυγατετρανσποσεζ 22 Ζ22 αλσο ηασ φυλλ ρανκ Ε Ινϖερτιβιλιτψ οφ Βλοχκ Τριανγυλαρ Ματριχεσ Dυε το τηε φολλοωινγ ιντροδυχτορψ ρεσυλτ, ωε κνοω τηατ σσ, Β υυ,, Μ ψ ανδ Μ αρε αλλ ινϖερτιβλε Χονσιδεραβλοχκτριανγυλαρωηιχηηασινϖερτιβλεβλοχκδιαγοναλσυβmατριχεσ δδ 2 3 δδ 6 4 7 5 DD ισειτηερανυππερορλοωερβλοχκδιαγοναλ Τηεν,ισινϖερτιβλε 22

Τοσηοωτηισ,φοχυσοντηευππερλεφτπαρτ ρστ δετ 2 δετ 2 22 δετ δετ( 22 2 ( ν 2 )) δετ 22 6 Νοτετηατ 2 ( ν 2 )σινχεειτηερ 2 ορ 2 ισζερο Wεχανρεπεαττηισπροχεσσυντιλιτ σηοωσδετ6 Φ Ρανκ Dε χιεντ Ματριξ ανδ Εξπανσιον οφ Ιννοϖατιον ςεχτορ Τηε ρεπρεσεντατιον οφ α σολυτιον υνδερ ιmπερφεχτ ινφορmατιον ισ νοτ νεχεσσαριλψ υνιθυε Τηισ σεχτιον σηοωσ τηε εθυιϖαλενχε οφ τωο ρεπρεσεντατιονσ Χονσιδερ τηε ΡΒΧ mοδελ, ιν ωηιχη λαβουρ συππλψ ισ δεχιδεδ ωιτηουτ οβσερϖινγ τοδαψ σ ιννο ϖατιον Τηε ϖεχτορ οφ χραωλινγ ϖαριαβλεσ ισ Κτ τ ωηερεκ τ ανδ Σ τ αρεχαπιταλανδλαβουρσυππλψαττιmετ,ρεσπεχτιϖελψ Τηεν,τηεσολυτιονηασ αν mατριξτηατισρανκδε χιεντ Wε χαν δεχοmποσε συχη αν mατριξ βψ υσινγ ειγενϖαλυε ειγενϖεχτορ δεχοmποσιτιον Σ τ ς τ+ ς τ +ςϑ τ ς ς ς 2 ς 2 ς 22 Φροmτηε ρστροω ς Κ τ+ +ς 2 Σ τ+ ς Κ τ +ς 2 Σ τ + ς ϑ +ς 2 ϑ 2 τ ωηερεϑ ισ2ξ Φροmτηεσεχονδροω ς 2 Κ τ+ + Σ τ+ ς 2 ϑ +ς 22 ϑ 2 τ Σ τ+ ς 22 νς 2 ϑ +ϑ 2 τ ς 22 νς 2 Κ τ+ Υνδερουρασσυmπτιον3(ινϖερτιβλε[Μ Ε ] κϕ ),ς ανδς 22 αρενον ζερο ενχε, Κ τ+ Κ τ +ϑ τ + ς2 (ς 22 νς 2 )ϑ +ς 2 ϑ 2 ς ς 2 (ς 22 νς 2 ) τ Τηυσ,ιτισσηοωντηατωιτηαρανκδε χιεντmατριξωεχανρεδυχετηεσετοφχραωλινγϖαριαβλεσ βψ ινχρεασινγ τηε νυmβερ οφ ιννοϖατιονσ 23

Γ Φυλλ Dεριϖατιον Τηισ σεχτιον προϖιδεσ τηε φυλλ δεριϖατιον Φορ τηε νοτατιον, σεε τηε mαιν τεξτ Γ ΘΖ Dεχοmποσιτιον ππλψινγ τηε ΘΖ δεχοmποσιτιον το(2) Ζ ψ τ+ + Β Ζ ψ τ +Θ Χ τ +Θ D τ+ +Θ Ε τ;σ σσ συ στ+ Β + σσ Β συ στ υυ υ τ+ Β υυ υ τ Θ + σ: Θ Θ Χ τ + σ: υ: Θ υ: D τ+ + Θ σ: Θ υ: ωηερεσ τ ανδυ τ αρεσταβλεανδυνσταβλεροοτσ,ρεσπεχτιϖελψ,συχητηατ στ Ζ σ Ζσ τ υ τ Ζυ Ζυ τ Γ Υνσταβλε Ροοτσ ανδ Τρανσϖερσαλιτψ Χονδιτιονσ(ΤςΧσ) Ε τ;σ (25) Ιmπερφεχτ ινφορmατιον ρεθυιρεσ α σλιγητλψ χαρεφυλ τρεατmεντ οφ ΤςΧσ Φοχυσινγ ον τηε λοωερ ηαλφ οφ(25) υυυ τ+ + Β υυυ τ +Θ υ:χ τ +Θ υ:d τ+ +Θ υ:ε τ;σ (26) Ιτερατινγ ιτ φορωαρδ ( λιm λ! Β υυν υυ υ τ Β υυνθ υ: ωηερε λυτ+λ + Χτ τ+λ;σ Β τ+λ τ+ τ τ+λ Σ Ξλ ΣΞ λ σ Β υυν υυ Β υυν υυ σ Β υυνθ υ: λ Β υυνθ υ: τ+λ;σ + τ+λ;σ Χ Β τ τ+λ Σ Χ τ+σ +D τ++σ +Ε ) τ+σ;σ Ε τ+λ;σ + Χ Β τ+λ τ+ Χ ωηερενβ Β,ανδΒΒ Τηερεαρεmανψινφορmατιονσετσ,υνδερεαχηοφωηιχη ΤςΧσ mυστ βε σατισ εδ Τηατ ισ, ΤςΧσ αρε (σεεmινγλψ) τιγητερ υνδερ ιmπερφεχτ ινφορmατιον οωεϖερ, ιφ τηε φυλλ ινφορmατιον χουντερπαρτ σατισ εσ ΤςΧσ, χορρεσπονδινγ ιmπερφεχτ ινφορmατιον mοδελσαλσοσατισφψτηεmαυτοmατιχαλλψδυετοτηελαωοφιτερατεδλινεαρπροϕεχτιον 2 2 Τηερεαρετωοχοmmεντσ Φιρστ,(27)mυστηολδφορανψ ρεαλιζατιονοφ τ ανδ τ σ φορσ;; ενχε, ιτ ισ νοτ ποσσιβλε τηατ ΤςΧσ ηολδ υνδερ ιmπερφεχτ ινφορmατιον βυτ νοτ υνδερ περφεχτ ινφορmατιον Σεχονδ, ιφ αν ινφορmατιονσετδοεσνοτινχλυδε,φορεξαmπλε, ι;τ σ τηενρελεϖαντεξπεχτεδϖαλυεοφυ τ+σ ιστηερσωιτησεττινγ ι;τ σ ενχε,ιφτςχσηολδφορτηεφυλλινφορmατιονσετ,τηεψηολδφορνον φυλλινφορmατιονσετσασωελλ (27) 24

Τηυσ, χονσιδερ τηε περφεχτ ινφορmατιον χασε Βεχαυσε Β υυν υυ λ! ασ λ! βψ χον στρυχτιον,τηεεξπεχτεδϖαλυεοφυ τ+λ εξπλοδεσφορανψνον ζεροϖαλυεοφτηερσοφ(27),ωηιχη χοντραδιχτσ τηε ΤςΧσ Νοτε τηατ ινσιδε τηε λιmιτ οπερατορ ιν τηε ΛΣ σηοωσ τηε εξπεχτεδ ϖαλυε οφυ τ+λ (τηερεαλιζατιονοφυ τ+λ πλυσεξπεχτατιονερρορσ)τιmεσ Β υυν υυ λ ενχε,τηερσοφ (27)mυστβεζερο Τηερεφορε, Β υυυ τ Β υυζυ τ Β υυζυ τ ΣΞ Θ υ:χ τ + Β υυ Β υυν λ υυ Β υυνθ τ+λ;σ υ: Ε ΣΞ Θ υ:χ τ + λ λ Συβστιτυτινγ ουρ γυεσσ σολυτιον (3) ιντο(28), λθ υυ Β υυ υ: Ε τ+λ;σ (28) Β υυζυ+ Β υυζυ Φ τ + Β υυζυγ τ;σ +Θ υ:χ τ ΣΞ λθ + υυ Β υυ υ: Ε τ+λ;σ (29) λ Γ2 Σταβλε Ροοτσ Σιmιλαρλψ, φροm τηε υππερ ηαλφ, σσ Ζσ τ+ +Ζσ τ+ + συ Ζυ τ+ +Ζυ τ+ + Β σσ Ζσ τ +Ζσ τ + Β συ Ζυ τ +Ζυ τ +Θ σ:χ τ +Θ σ:d τ+ +Θ σ:ε τ;σ (3) γαιν συβστιτυτινγ(3) ιντο(3), αφτερ σοmε mανιπυλατιον σ Φ+ σ+ Β σ Φ+Β σ τ + σγ τ+;σ +Θ σ:d τ+ +Θ σ:χ τ + σ Φϑ+ σϑ+ Β σ Γ+Θ σ:ε τ;σ (3) Τηουγητηεδε νιτιονσοφ σ, σ,β σ ανδ Β σ αρε()ιντηεmαιντεξτ,τηεφολλοωινγρεσυλτ mαψβεmορευσεφυλ σ σ Β σ Β σσ συ Ζ σ Ζ σ Β σσ Β σ συ Ζυ Ζυ (32) 25

Γ2 Εξπανσιονοφ τ+;σ ανδ τ;σ Εξπανδινγ τ+;σ ανδ τ;σ ιν(3)ανδ(29), σ Φ+ σ+ Β σ Φ+Β σ τ + σ Γ +Θ σ:d τ+ + σ Γ + σσζ σ ϑ + Β σ Γ :+Θ σ:ε : +Θ σ:χ τ + σ Γ 2+ σσζ σ ϑ + Β σ Γ :+Θ σ:ε : τ + + σ Γ Σ+ σσζ σ ϑσ + Β σ Γ Σ :+Θ σ:ε Σ : τ (Σ ) + σσζ σ ϑσ + Β σ Γ Σ:+Θ σ:ε Σ: τ Σ Β υυζυ+ Β υυζυ Φ τ ΣΞ + Β υυζυ Γ ΠΣ σ σ+ κ υυ Β υυ σ + Θ υ:χ+ Β υυζυ Γ ΠΣ + κ υυ Β υυ κθ υ: Ε κ+σ τ σ κθ υ: Ε κ τ Σινχετηεσεmατριξεθυατιονσmυστηολδφορανψρεαλιζατιονοφ τ, τ φορ ;;;;Σ, σφ+ σ+ Β σφ+ Β σ (33α) Β υυζ υ+ Β υυζ υφ (33β) σγ : +Θ σ:d (34α) (34β) σγ + σσζ σ ϑ + Β σγ +Θ σ:ε Σ: +Θ σ:χ (35α)! ΣΞ σθ Β υυζυγ + υυ Β υυ υ: Ε σ +Θ υ:χ (35β) σ σγ σ+ + σσζ σ ϑσ + Β σγ σ +Θ σ:ε σ φορσ;;σ (36α)! ΞΣ σ κθ Β υυζυγ σ + υυ Β υυ υ: Ε κ+σ φορσ;;σ (36β) κ Γ3 DψναmιχΠαρτσ( ανδφ) σσζ σ ϑσ + Β σγ Σ +Θ σ:ε Σ (37α) Β υυζυγ Σ +Θ υ:ε Σ (37β) Σινχε(33α)ανδ(33β)δονοτινχλυδεΓ,ϑ,D,Εορ,τηεσετωοmατριξεθυατιονσχανβεσολϖεδ 26

φορ ανδφ ινδεπενδεντλψ Τηυσ,ασσυmινγΖ υ ηασα(ριγητ)ινϖερσε,3 Φ ΖυνΖ υζ σ Ζ σ Ζ σ σσνσσ Β Ζσ ΝοτετηαττηεανδΦmατριχεσαρετηεσαmεασιντηεχορρεσπονδινγπερφεχτινφορmατιονmοδελ 4 Γ4 ΖεροΡεστριχτιονσονΕ ανδ ςερτιχαλλψ χονχατενατινγ mατριξ εθυατιονσ(35α) (37β) ιν παιρσ, σ σ σσ Ζ σ Β σ + Β υυζυ σσ Ζ σ σ++ φορσ;;σ σσ Ζ σ Β σ Β υυζ υ Β σ Β υυζ υ Σ+Θ Ε Σ ΣΞ κ + υυ Β Θ Ε κ +Θ Χ(38α) υυ κ ΞΣ σ κ σ+ υυ Β Θ Ε κ+σ (38β) υυ κ (38χ) Νοτε τηατ υυ Β υυ υυζ υ Β σ++ σσ Ζ σ Β σ σ+2+ Β υυζυ σ+ + Π κ Χ Σ (σ+) κ υυ Β Θ Ε κ+σ+ υυ ΞΣ σ κ υυ Β Θ Ε κ+σ (39) υυ σ κ 3 ΡεmεmβερτηατανινϖερτιβλεΖυ ιmπλιεσανινϖερτιβλεζ σ 4 ΦορτηεΦ mατριξ,νοτε Ζ Ζ Ζ σ Ζσ Ζσ Ζ υ Ζ Ζυ Ζυ σ Ζ σ +Ζσ Ζ σ ΖσΖ υ +Ζσ Ζ υ Ζ σ Ζ υ ΖυΖ σ +Ζυ Ζ σ ΖυΖ υ +Ζυ Ζ υ Ι Ι Λοοκινγ ατ τηε λοωερ λεφτ ελεmεντ λσο, ρεmεmβερ τηατ Ζ υζ σ +Ζ υζ σ Ζ υζ σ Ζ υζ σ Ζ υνζ υ Ζ σ Ζ σ Ζσ Ζσ Ζσ ΖυνΖ υ ανδτηατ σσ ισινϖερτιβλεβψτηερεορδερινγοφθζδεχοmποσιτιον 27

Συβτραχτινγ(39)φροmεαχηοφ(38), 5 σ σσ Ζ σ Β υυζυ σ + Β υυζυ σ σσ Ζ σ Β υυζυ σ σ++ Β υυζυ φορσ;;σ σσ Ζ σ Β σ Β υυζυ Σ+Θ Ε Σ +Θ Ε κ +Θ Χ (4α) σ+θ Ε κ+σ (4β) (4χ) ανδ αγαιν ϖερτιχαλλψ χονχατενατινγ τηεσε εθυατιονσ, Μ ψ +Θ(Ε+Χ) Μ ψ Β Σ Χ Β,Ε Ε Ε Σ Χ,Χ Χ 2 6,Θ4 2 3 6 7 4 5 σσ Ζ σ Β σ Β υυζυ, σ υυζυ Νοτετηατσινχεισινϖερτιβλε,Μ ψ ισαλσοχλεαρλψινϖερτιβλε ενχε, +Μ ψ νθ(ε+χ) Μ +Μ ψ νθ(ε+χ) ωηερε(7)ισυσεδτοδεριϖετηεσεχονδλινε ενχε, Θ Θ +Μ Ε (Ε+Χ) (4α) Μ Ε (Μ ψ Μ )νθ Ιντηεφολλοωινγ,ωεχοmπυτεΕ ανδχολυmνβψχολυmν :ι Μ Ε (Ε :ι +Χ :ι ) 3 7 5 (4β) Ρεmεmβερτηατσοmεελεmεντσιν :ι αρεζεροδυετοιmπερφεχτινφορmατιον,ωηιλεσοmεελεmεντσ ινε :ι αρενον ζερο Φορεξαmπλε, 5 Τηουγητηισπροχεσσισνοτνεχεσσαρψ,ιτρεδυχεστηεχοmπυτατιοναλβυρδεν 28

Β ;ι κ;ι () Μ(Σ+);ι Χ +Μ Ε ΒΒ Ε ϕι + Χ Β Χ :ι ΧΧ (42) Γ4 Ε mατριξ Φροmτηεκ τησετοφεθυατιονσιν(42) Μ Ε κϕ Ε ϕι+ Μ Ε ενχε,ασσυmινγ Μ Ε κϕ ισινϖερτιβλε, Γ42 mατριξ Ε ϕι Μ Ε κϕ Χ ϕι+ Μ Ε κ:ϕ Χ :ϕι κϕ ν Μ Ε κ:ϕ Χ :ϕι Χ ϕι Φροmτηεοτηερεθυατιονσιν(42),ωεελιmινατετηεεξπεχτατιονερρορσΕ ϕι ΜΕ ΜΕ κϕ ν Μ Ε κ:ϕ Χ :ϕι+χ ϕι :κι ΜΕ Μ Ε :κϕ ΜΕ :κϕ :κϕ Χ ϕι ΜΕ ΜΕ κϕ ν Μ Ε :ϕ:κ νχ :ϕι :κ:ϕ Χ :ϕι κ:ϕ ΜΕ :κ:ϕ Χ :ϕι Τηεϖεχτορ :κι ανδ κι χανβεϖερτιχαλλψmεργεδτορεχοϖερ :ι,ανδτηεϖεχτορ :ι αρεηορι ζονταλλψχονχατενατεδτορεχοϖερφυλλmατριξ Νοτετηατινϖερτιβλε Μ Ε κϕ ιmπλιεσινϖερτιβλε Μ Ε Νοτσυρπρισινγλψ, Χ :ϕ:κ ϕι δοεσνοτα εχττηεχοε χιεντmατριξ :ι, βεχαυσετηεϕ τη σετ οφ εθυατιονσ δοεσ νοτ ηολδ φορ τηε ι τη ιννοϖατιον ανψωαψ Ιτ ονλψ α εχτσ τηε εξπεχτατιον ερρορε ϕι Γ5 ΟτηερΜατριχεσ(ϑ,ΓανδD) Γ5 ϑ ανδγmατριχεσ Τοοβταιντηεϑ ανδγmατριχεσ,φροm(7), 2 6 4 ϑ Γ ϑ Σ Γ Σ 3 Μ 7 5 29

Γ52 D mατριξ Φροmτηεmατριξιναγιϖενmοδελ(2), D Γ ωηιχηαλωαψσσατισ εσ(34α) Ιτχανβεσηοωντηαττηεϕ τηροωσινdαρεζεροσιφτηεϕ τηεθυατιον δοεσνοτινχλυδετ+δψναmιχϕυmπϖαριαβλε(σεετηενεξτσεχτιον) ΤηεD Ματριξ Τηε δεριϖατιον οφ τηε D mατριξ ισ α βιτ τριχκψ, ανδ ρεθυιρεσ χαρεφυλ αττεντιον χονχερνινγ νον σθυαρε mατριχεσ σ ανδ Θ σ: Wε δο νοτ σηοω τηε στραιγητφορωαρδ δεριϖατιον οφ D, ωηιχη ισ περηαπσ νοτ ιντυιτιϖε, βυτ ινστεαδ ωε σιmπλψ σηοωσ ουρ σολυτιον αλωαψσ σατισφψ (34α), ωηιχη ρεϖεαλσ αν ιmπορταντ ιντυιτιον Φιρστ, ωε δε νε δψναmιχ ανδ νον δψναmιχ ϕυmπ ϖαριαβλεσ δ τ+ τ+ ν τ+ Νοτετηαττηεχοε χιεντσοφτηενον δψναmιχϕυmπϖαριαβλεσ ν τ+ ινmατριξmυστβεζεροβψ τηε δε νιτιον οφ νον δψναmιχ 2 3 δ τ+ ψ τ+ 4 δ δ 5 δ δ ν ν τ+ δ ν τ+ ωηερε δ τ+ ιστηεϖεχτοροφδψναmιχϖαριαβλεσ,συχηασχονσυmπτιονιντηεευλερεθυατιον Τηε συβmατριχεσινγ ανδθ αρεδε νεδασ 2 3 Γ 4 Γ Γ ; 5 δ : Γ ; ν : # Θ Θ η ι σ: Θ,Θ σ: Θ σ Θ Θ Θ Θ σ δ σ ν,θ υ υ: φ υ φ δ υ φ ν Θ υ ι Θ Θ υ ι δ υ ι ν Θ : ωηερευ φ ανδυ ι ιmπλψ νιτεανδιν νιτευνσταβλεροοτσ,ρεσπεχτιϖελψ Φοχυσινγοντηεσεχονδτερmοφ(34α) Θ σ:d Θ σ:γ η ι 2 Θ σ Θ Θ 4 σ δ σ ν δ δ δ δ ν ν δ 32 54 Γ ; δ : Γ ; ν : Θ σ δ+θ σ δ δ δ+θ σ ν ν δ Γ ; δ : (43) 3 5 3