Εὐκλείδεια Γεωµετρία Φθινοπωρινὸ Εξάµηνο 2010 Καθηγητὴς Ν.Γ. Τζανάκης Μάθηµα 14 22-11-2010 Συνοπτικὴ περιγραφή Πρόταση τῆς έσµης Εὐθειῶν. Εστω ὅτι τὰ σηµεῖα, καὶ, εἶναι τέτοια ὥστε οἱ εὐθεῖες και εἶναι παράλληλες καὶ οἱ εὐθεῖες, τέµνονται σὲ κάποιο σηµεῖο. ( ύο περιπτώσεις ϐλ. σχήµατα 1 καὶ 2). Εστω X σηµεῖο τῆς καὶ Y σηµεῖο τῆς, τέτοια ὥστε X/X = Y /Y. Τότε, ἡ εὐθεία XY διέρχεται διὰ τοῦ. Στὰ σχήµατα X 1 2 X 3 X Y Y Y 1 2 3 Σχῆµα 1: έσµη εὐθειῶν - πρώτη περίπτωση X X X 1 2 3 Y Y Y 3 2 1 Σχῆµα 2: έσµη εὐθειῶν - δεύτερη περίπτωση 1 καὶ 2 ἔχουν σχεδιαστεῖ τρεῖς διαφορετικὲς ϑέσεις X 1,X 2,X 3 τοῦ X ποὺ ἀντιστοιχοῦν στὶς 1
τρεῖς δυνατὲς σχετικὲς ϑέσεις τοῦ X ὡς πρὸς τὰ, καὶ οἱ ἀντίστοιχες ϑέσεις Y 1,Y 2,Y 3 τοῦ Y. Παρατηρῆστε ὅτι στὴν πρόταση αὐτὴ ἐµφανίζονται προσανατολισµένοι λόγοι: Γενικά, ἂν,, εἶναι σηµεῖα ἐπ εὐθείας, µὲ, ὁ προσανατολισµένος λόγος / ὁρίζεται ὡς ἑξῆς: / = { + ἂν ἀνήκει στὸ εὐθύγραµµο τµῆµα ἂν εἶναι ἐκτὸς τοῦ εὐθυγράµµου τµήµατος Παραδείγµατα. (1) Γιὰ δύο διαφορετικὰ σηµεῖα,, εἶναι / = 1. (2) Αν M εἶναι τὸ µέσο τοὺ εὐθυγράµµου τµήµατος, τότε M/M = 1, ἐνῶ δὲν ὑπάρχει σηµεῖο N ἐπὶ τῆς εὐθείας µὲ τὴν ἰδιότητα N/N = 1. (3) Αν G εἶναι τὸ κέντρο ϐάρους τριγώνου καὶ M εἶναι τὸ µέσο τῆς, τότε G/GM = 2. (4) Εστω τρίγωνο καὶ D,D οἱ πόδες τῆς ἐσωτερικῆς καὶ τὴς ἐξωτερικῆς διχοτόµου, ποὺ ἀντιστοιχοῦν στὴν κορυφὴ. Ἀπὸ τὰ ϑεωρήµατα τῆς διχοτόµου ξέροµε ὅτι D/D = / καὶ D /D = /. ιατυπωµένες αὐτὲς οἱ σχέσεις µὲ προσανατολισµένους λόγους, ἔχουν ὡς ἑξῆς: D/D = (/) καὶ D /D = +(/). Η ἀπόδειξη, ἂν καὶ ἁπλῆ, συζητήθηκε λεπτοµερῶς στὸ µάθηµα. Βασικὴ ἰδέα εἶναι ὅτι, ἀντὶ νὰ ἀποδειχθεῖ ὅτι ἡ εὐθεία XY διέρχεται διὰ τοῦ, ϕέροµε τὴν X καὶ ἀποδεικνύοµε ὅτι τὸ σηµεῖο τοµῆς της µὲ τὴν εὐθεία, ἔστω Z, συµπίπτει µὲ τὸ Y. Καὰ αὐτό, διότι, µὲ τὴ ϐοήθεια ὁµοίων τριγώνων ἀποδεικνύεται εὔκολα ὅτι Z/Z = X/X. Ἀλλὰ τότε, λόγῳ τῆς ὑποθέσεως Y /Y = X/X, ἔχοµε καὶ Y /Y = Z/Z, ἀπ ὅπου Y = Z (δεῖτε καὶ τὸ λῆµµα τοῦ 13 ου µαθήµατος). Εφαρµογὴ 1 η. Εστω D τραπέζιο µὲ ϐάσεις καὶ D, M καὶ N τὰ µέσα τῶν ϐάσεων, τὸ σηµεῖο τοµῆς τῶν µὴ παραλλήλων πλευρῶν καὶ T τὸ σηµεὶο τοµῆς τῶν διαγωνίων. Επιπλέον, M, N,, T εἶναι ἁρµονικὴ τετράδα σηµείων. Ἀπόδειξη. Ἀναφερόµαστε στὸ σχῆµα 3. Παραβλέποµε τὸ T καὶ ἐφαρµόζοµε τὴν πρό- M T D N Σχῆµα 3: έσµη εὐθειῶν - Εφαρµογὴ 1 η ταση τῆς δέσµης εὐθειῶν µὲ τὰ,,d,,,m,n στὴ ϑέση τῶν,,,,,x,y τῆς πρότασης. Στὴ ϑέση τῶν λόγων X/X καὶ Y /Y τῆς πρότασης ἔχοµε, κατὰ συνέπεια, M/M καὶ ND/N, ἀντιστοίχως. Οµως, καὶ οἱ δύο αὐτοὶ λόγοι εἶναι 1, ἄρα ἡ πρόταση µὰς ὁδηγεῖ στὸ συµπέρασµα ὅτι ἡ εὐθεία MN διέρχεται διὰ τοῦ. 2
Στὴ συνέχεια, παραβλέποµ τὸ καὶ καὶ ἐφαρµόζοµε τὴν πρόταση τῆς δέσµης εὐθειῶν µὲ τὰ,,,d,t,m,n στὴ ϑέση τῶν,,,,,x,y τῆς πρότασης. Τώρα, στὴ ϑέση τῶν λόγων X/X καὶ Y /Y τῆς πρότασης ἔχοµε τοὺς λόγους M/M καὶ N/ND. Καὶ πάλι, καθ ἕνας ἀπὸ αὐτοὺς τοὺς λόγους ἰσοῦται µὲ 1, ἄρα, ἡ πρόταση συνεπάγεται ὅτι ἡ εὐθεία MN διέρχεται διὰ τοῦ T. Συνεπῶς, ἡ MN διέρχεται διὰ τῶν καὶ T, δηλαδή, τὰ M,N,,T εἶναι συνευθειακά. Τώρα παρατηροῦµε ὅτι τὸ M εἶναι ἐντὸς τοῦ εὐθυγράµµου τµήµατος καὶ τὸ N ἐκτός. Γιὰ τὴν ἁρµονικότητα τῆς τετράδας M,N,,T ἀρκεῖ νὰ ἀποδείξοµε ὅτι M/MT = N/NT ;η, ἰσοδύναµα, M/N = TM/TN. Εχοµε M/N = M/DN = (2M)/(2DN) = /D. Ἀπὸ τὴν ὁµοιότητα τῶν τριγώνων TM καὶ TN ἔχοµε TM/TN = M/N = (2M)/(2N) = /D, καὶ αὐτὸ ὁλοκληρώνει τὴν ἀπόδειξη. Εφαρµογὴ 2 η. ίδονται δύο εὐθεῖες m,n, ποὺ τέµνονται ἔξω ἀπὸ τὸ χαρτὶ σχεδίασης, καὶ ἕνα σηµεῖο P. Νὰ σχεδιασθεῖ ἡ εὐθεία, ποὺ ὁρίζεται ἀπὸ τὸ P καὶ ἀπὸ τὸ (ἀπρόσιτο) σηµεῖο τοµῆς τῶν δύο εὐθειῶν. Ἀπόδειξη. (Σχῆµα 4). Φέροµε τυχαία εὐθεία διὰ τοῦ P, ἡ ὁποία τέµνει τὶς m καὶ n, Q P m n Σχῆµα 4: έσµη εὐθειῶν - Εφαρµογὴ 2 η ἔστω στὰ καὶ, ἀντιστοίχως. Στὴ συνέχεια ϕέροµε τυχαία ευθεία παράλληλη πρὸς τὴν, ἡ ὁποία τέµνει τὶς m καὶ n, ἔστω στὰ καὶ, ἀντιστοίχως. Προσδιορίζοµε σηµεῖο Q τοῦ εὐθυγράµµου τµήµατος, τέτοιο ὥστε Q /Q = P/P (ϐλ. Λῆµµα στὸ 13 ο µάθηµα). Εἶναι τώρα, Q /Q = (Q /Q ) = (P/P) = P/P, ἄρα, ἡ πρόταση τῆς δέσµης εὐθειῶν µᾶς ὁδηγεῖ στὸ συµπέρασµα ὅτι ἡ εὐθεία P Q διέρχεται διὰ τοὺ σηµείου τοµῆς τῶν Καποιες Ασκησεις 1. Οἱ πόδες τῶν ἐξωτερικῶν διχοτόµων ὁποιουδήποτε µὴ ἰσοσκελοῦς τριγώνου εἶναι σηµεῖα συνευθειακά. Σηµείωση: Υποθέτοµε ὅτι τὸ τρίγωνο δὲν εἶναι ἰσοσκελὲς, προκειµένου κάθε ἐξωτερικὴ διχοτόµος νὰ τέµνει τὴν ἀπέναντι πλευρά. Ἀπόδειξη. Στὸ σχῆµα 5 οἱ,, εἶναι ἐξωτερικὲς διχοτόµοι, ποὺ ἀντιστοιχοῦν στὶς κορυφὲς, καὶ, ἀντιστοίχως. Οἱ πόδες,, αὐτῶν τῶν διχοτόµων ϐρίσκονται, καὶ 3
Σχῆµα 5: Οἱ πόδες τῶν ἐξωτερικῶν διχοτόµων κεῖνται ἐπ εὐθείας οἱ τρεῖς, στὶς προεκτάσεις τῶν πλευρῶν τοῦ τριγώνου. Αρα, ἂν ἀποδείξοµε ὅτι = 1, (1) τότε, ϐάσει τοῦ ϑεωρήµατος τοῦ Μενελάου ϑὰ συµπεράνοµε ὅτι τὰ,, εἶναι συνευθειακά. Γιὰ τὴν ἀπόδειξη τῆς (1) ἐφαρµόζοµε τὸ ϑεώρηµα τῆς ἐξωτερικῆς διχοτόµου καὶ γιὰ τὶς τρεῖς ἐεξωτερικὲς διχοτόµους: =, =, =. Πολλαπλασιάζοντας κατὰ µέλη τὶς παραπάνω τρεῖς σχέσεις παίρνοµε τὴν (1). 2. Εξωτερικῶς τῆς πλευρᾶς τριγώνου κατασκευάζοµε τετράγωνο DE. Οἱ D καὶ E τέµνουν τὴν στὰ σηµεῖα D καὶ E, ἀντιστοίχως. Ἀπὸ τὰ D καὶ E ὑψώνοµε κάθετες ἐπὶ τὴν, ποὺ τέµνουν τὶς καὶ στὰ καὶ, ἀντιστοίχως. Ἀποδεῖξτε ὅτι τὸ τετράπλευρο D E εἶναι τετράγωνο. (Σχῆµα 6) E D E D Σχῆµα 6: Ασκηση 2 4
Ἀπόδειξη. ική σας! 3. ίδεται τρίγωνο. Νὰ κατασκευαστεῖ τετράγωνο P QRS, τέτοιο ὥστε, οἱ (διαδοχικὲς) κορυφὲς P,Q νὰ ϐρίσκονται ἐπὶ τῆς πλευρᾶς καὶ οἱ ἄλλες δύο κορυφὲς R,S νὰ ϐρίσκονται, ἀντιστοίχως, στὶς δύο ἄλλες πλευρὲς τοῦ τριγώνου. Ἀπόδειξη. Εφαρµογὴ τῆς ἀσκήσεως 2. 5