parmenides5 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ Αοουθί συάρτηση με πεδίο ορισμού το σύοο Ν*, τω θετιώ έριω ( πάτ Î Ν* Έστω οουθί ( : ΟΡΟΙ πρώτος όρος της οουθίς δεύτερος όρος της οουθίς 3 τρίτος όρος της οουθίς 4 τέτρτος όρος της οουθίς 0 ειοστός όρος της οουθίς 57 57ος όρος της οουθίς -οστος / γειός όρος της οουθίς -οστος όρος της οουθίς 3+5 (3+5 ος όρος της οουθίς *** Μι οουθί δε έχει τεευτίο όρο! *** Ές ριθμός δε έχει ποτέ δείτη! ( το 3 δε σημίει τίποτ *** Ατιθιστώ τη τιμή του δείτη άθε φορά π.χ. = 3 + 4-5 = 3 + 4-5 = 3 + 4-5 3 = 3 3 + 4 3-5 0 = 3 0 + 4 0-5 + = 3 (+ + 4 + -5 = 3 ( + 4-5 3+ = 3 (3+ + 4 3+ -5 *** Γειά : + + 3+ 3 + +β +β με, β Î R ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΠΡΩΤΩΝ ΟΡΩΝ S = S = + S = + + 3 + 4 + + -3 + - + - + S 3 = + + 3 S 35 = + + 3 + 4 + + 3 + 33 + 34 + 35 S 57 = + + 3 + 4 + + 54 + 55 + 56 + 57 S = + + 3 + 4 + + - + + + + + - + - + S 3+ = + + + - + + + + + - + + + + + 3- + 3 + 3+ ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙ ΤΟΥ S = S ( άθροισμ εός πρώτου όρου = πρώτος όρος = S - S -, > ( δε ορίζετι το S ο *** S = + + 3 + 4 + + -3 + - + - + S = S - + S - = + + 3 + 4 + + -3 + - + - = S - S - π.χ. 3 = S 3 S, 59 = S 59 S 58, + = S + S, = S S -
parmenides5 ΕΥΡΕΣΗ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΔΙΑΔΟΧΙΚΩΝ ΟΡΩΝ + + + + + +3 + + -3 + - + - + = ;, > + + + + + +3 + + -3 + - + - + = S - S - ( = + + 3 + + - + - + + + + + - + - - - 3 - - - - - π.χ. 50 + 5 + + 7 + 73 = S 73 - S 49 9 + 30 + + 08 + 09 = S 09 - S 8 5 + 6 + + 33 + 34 = S 34 - S 4 + + + + - + = S - S - ΣΥΝΟΠΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΡΟΟΔΩΝ Α.Π Γ.Π. ΟΡΙΣΜΟΣ + = + ω + - = ω + = + = ΜΟΡΦΗ -ΟΣΤΟΥ ΟΡΟΥ = + (- ω = - ΣΧΕΣΗ ΔΙΑΔΟΧΙΚΩΝ ΟΡΩΝ S + γ β = ( ( ω = + S = + ( ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΠΡΩΤΩΝ ΟΡΩΝ S β a = γ,, = =
parmenides5 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ (Α.Π Î Ν* ΟΡΙΣΜΟΣ Με όγι : Μι οουθί ( έγετι Α.Π. άθε όρος της προύπτει πό το προηγούμεο του με πρόσθεση του ίδιου πάτ ριθμού. Το ριθμό υτό το έμε διφορά ( ω της προόδου. ω Î Με σχέσεις : οουθί ( είι Α.Π. ι μόο + = + ω + - = ω ( 50-49 = 49-48 = 48-47 = = 8 7 = 7 6 = = 3 = (= ω Πως γωρίζω μι Α.Π. ΑΡΚΕΙ ΟΙ ΔΙΑΔΟΧΙΚΟΙ ΟΡΟΙ ΝΑ ΔΙΑΦΕΡΟΥΝ ΚΑΤΑ ΣΤΑΘΕΡΟ ΑΡΙΘΜΟ [ω= - ] π.χ. 5, 8,,, 363 ( διφέρου τά 3 [ω =8-5 = 3] 30, 5, 0,, -35 ( διφέρου τά -5 [ω =5-30 = -5] Πως ποδειύω ότι μι οουθί είι μι Α.Π. ΕΙΔΗ Α.Π. ΑΡΚΕΙ + - = ΣΤΑΘΕΡΟ (ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΟ ΤΟΥ, ΑΡΙΘΜΟΣ ( ω =ΣΤΑΘΕΡΟ π.χ. = 3 + 5 + - = 3 ( + + 5 (3 + 5 = 3 + 3 + 5 3 5 = = 3 3 + 5 5 + 3 = 3 η οουθί είι Α.Π. με διφορά ω = 3 Γησίως ύξουσ ω > 0 ( π.χ. 3, 6, 9,, 5,. Στθερή ω = 0 ( π.χ. 3, 3, 3, 3, 3,. Γησίως φθίουσ ω < 0 ( π.χ. 3, 0, -3, -6, -9,. ΜΟΡΦΗ -ΟΣΤΟΥ ΟΡΟΥ Α.Π. = + (- ω Διότι π.χ. = + ω = 3 = + ω = + ω 4 = + 3ω 3 = + ω = + (- ω 5 = + 4ω 4 = 3 + ω... ( - σχέσεις 50 = + 49ω - = - + ω 37 = + 36ω = - + ω ( προσθέτω τά μέη μ+ = + μ ω = + (- ω, Î Ν* 3+4 = + ( 3 +3 ω *** Ότ προσθέτω τά μέη ισότητες που έχου ετέρωθε τους ίδιους όρους υτοί διγράφοτι
parmenides5 4 ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΔΙΑΔΟΧΙΚΩΝ ΟΡΩΝ Α.Π. ΠΕΡΙΤΤΟΥ ΠΛΗΘΟΥΣ :, x-4ω, x-3ω, x-ω, x-ω, x, x+ω, x+ω, x+3ω, x+4ω, ο μεσίος όρος διφορά = ω π.χ. 3 διδοχιοί όροι είι οι : x-ω, x, x+ω 5 διδοχιοί όροι είι οι : x-ω, x-ω, x, x+ω, x+ω ΑΡΤΙΟΥ ΠΛΗΘΟΥΣ :, x-7, x-7, x-5, x-3, x-, x+, x+3, x+5, x+7, μεσίοι όροι διφορά : ω= π.χ. 4 διδοχιοί όροι είι οι : x-3, x-, x+, x+3 6 διδοχιοί όροι είι οι : x-5, x-3, x-, x+, x+3, x+5 Χρησιμεύου ότ δίοτι σχέσεις που ιοποιού όροι συμμετριοί ως προς τους μεσίους όρους π.χ. Άθροισμ 3 διδοχιώ όρω Α.Π. είι 30. Ποιός είι ο μεσίος όρος ; Έστω x-ω, x, x+ω οι ζητούμεοι ριθμοί (x-ω + x + (x+ω = 30 3x = 30 x = 0, ο μεσίος όρος Σχόιο : η τριάδ όρω Α.Π. με άθροισμ 30 δε είι μοδιή, ά υπάρχου άπειρες, όες όμως περιέχου το 0 σ μεσίο όρο ΣΧΕΣΗ ΔΙΑΔΟΧΙΚΩΝ ΟΡΩΝ Α.Π., β, γ διδοχιοί όροι Α.Π. ( β- = γ- (= ω + γ β = Ο ριθμός που προύπτει προσθέτοτς ριθμούς ι διιρώτς με το πήθος τους ( έγετι ριθμητιός μέσος τους Ο ριθμός + β έγετι ριθμητιός μέσος τω, β + β + γ Ο ριθμός 3 έγετι ριθμητιός μέσος τω, β, γ Ο ριθμός + β + γ + δ 4 έγετι ριθμητιός μέσος τω, β, γ, δ (.ο.. π.χ. ο ριθμητιός μέσος τω 0 ι -5 είι ο -,5 ο ριθμητιός μέσος τω 30 ι 3 είι ο 3 ο ριθμητιός μέσος τω -4 ι -6 είι ο -0 ο ριθμητιός μέσος τω 30, -0 ι 50 είι ο 30
parmenides5 5 ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΠΡΩΤΩΝ ΟΡΩΝ Α.Π. S S = + ( ( ( ω = + π.χ. 50 50 + +... + = ( + 78 78 = ( 77 + ω + +... + = ( + 09 09 = ( 08 + ω + +... + = ( 50 + = 50 ( + 49ω 78 78 09 09 ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ ΟΡΩΝ Α.Π. Δίοτι οι ριθμοί, β ( β. Πρεμβάουμε ( βάζουμε ριθμούς άμεσ τους (οι οποίοι έγοτι ι ριθμητιοί εδιάμεσοι τω, β έτσι ώστε ποτεού όοι οι ριθμοί μζί διδοχιούς όρους Α.Π. Ν υποογιστού οι πρπάω ριθμοί. ΕΠΙΛΥΣΗ Εστω x, x, x 3,..., x οι ριθμοί που πρεμβάουμε, τότε θ έχουμε τη Α.Π. :, x, x, x 3,..., x, β (,, 3, 4,, +, + τίστοιχ β + = + ( + ω β= + ( + ω ω = ( η διφορά της Α.Π. + ο τεευτίος πρεμβόμεος όρος x = + = β ω ο πρώτος πρεμβόμεος όρος x = = + ω π.χ. Ν βρεθού οι ριθμητιοί εδιάμεσοι τω ριθμώ 5 ι 50, έτσι ώστε ο τεευτίος πό τους ριθμούς είι τριπάσιος πό το δεύτερο τους. Εστω x, x, x 3,..., x οι ριθμοί που πρεμβάουμε, έτσι ώστε οι ριθμοί 5, x, x, x 3,..., x, 50 είι διδοχιοί όροι Α.Π. με διφορά ω. τρόπος x = 3 x 50 ω = 3 ( 5 + ω ω = 5 50 = 5 + ( + ω 50 = 5 + ( + 5 = 8 β τρόπος x = 3 x + = 3 3 5 + ω = 3 ( 5 + ω 50 = 5 + ( + ω (, ω = (8, 5 οι ζητούμεοι ριθμοί είι οι 0, 5, 0, 5, 30, 35, 40, 45 Σχόιο : δε γωρίζουμε η πρόοδος είι ύξουσ ή φθίουσ, ποιός όρος προηγείτι, το 5 ή το 50 τίστοιχ, ά σίγουρ περιέχει υτούς τους 8 ριθμούς
parmenides5 6 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ (Γ.Π Î Ν* ΟΡΙΣΜΟΣ Με όγι : Μι οουθί ( έγετι Α.Π. άθε όρος της προύπτει πό το προηγούμεο του με ποπσισμό του ίδιου πάτ μη μηδειού Με σχέσεις : ΠΡΟΣΟΧΗ : ριθμού. Το ριθμό το έμε όγο ( της προόδου. Î οουθί ( είι Γ.Π. ι μόο + = + = ( 50 = 49 = 48 =... = 8 = 7 =... = 3 = ( = 49 48 47 7 6 Δεχόμστε ότι 0, 0 0, γι άθε Î Ν* Πως γωρίζω μι Γ.Π. π.χ. ΑΡΚΕΙ ΟΙ ΔΙΑΔΟΧΙΚΟΙ ΟΡΟΙ ΝΑ ΔΙΑΦΕΡΟΥΝ ΚΑΤΑ ΣΤΑΘΕΡΟ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΟ 5 5 5 5 5,,,,,... 4 8 6 ( διφέρου τά 7 7 7 7 7,,,,,... ( διφέρου τά 3 9 7 8 = 5 = = 5 7 3 3 = = 7 3 Πως ποδειύω ότι μι οουθί είι μι Γ.Π. ΕΙΔΗ Γ.Π. + ΑΡΚΕΙ = ΣΤΑΘΕΡΟ (ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΟ ΤΟΥ, ΑΡΙΘΜΟΣ ( =ΣΤΑΘΕΡΟ π.χ. = 3 + 3 3 ( + + 3 3 3 + = = = = η οουθί είι Γ.Π. με όγο = 3 ι πρώτο όρο = 3 = 3 Διτηρεί στθερό πρόσημο >0 Γησίως ύξουσ > ( π.χ. 5, 0, 0, 40, 80,... Στθερή = ( π.χ. 5, 5, 5, 5, 5,...
parmenides5 7 Γησίως φθίουσ 0 < < ( π.χ. 5 5 5 5 5,,,,,... 4 8 6 Έχει εάξ πρόσημ <0 Είδος ( π.χ. 5, -0, -0, 40, -80,... Εάσσουσς ( π.χ. 5 5 5 5 5,,,,,... 3 9 7 8 ΜΟΡΦΗ -ΟΣΤΟΥ ΟΡΟΥ Γ.Π. = - Διότι π.χ. = = 3 = = 4 = 3 3 = = - 5 = 4 4 = 3... ( - σχέσεις 50 = 49 - = - 37 = 33 Ä = - ( ποπσιάζω τά μέη μ+ = μ = -, Î Ν* 3+4 = 3+3 ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΗ *** Ότ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ποπσιάζω ΟΡΩΝ τά Α.Π. μέη ισότητες που έχου ετέρωθε τους ίδιους όρους υτοί διγράφοτι ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΔΙΑΔΟΧΙΚΩΝ ΟΡΩΝ Γ.Π. ΠΕΡΙΤΤΟΥ ΠΛΗΘΟΥΣ :, x 3 4 5 5, x 4, x 3, x, x, x, x, x, x, x, x, ο μεσίος όρος όγος = ΑΡΤΙΟΥ ΠΛΗΘΟΥΣ : π.χ. 3 διδοχιοί όροι είι οι : x, x, x 5 διδοχιοί όροι είι οι : x, x, x, x, x > 0, 7 5 3 x 3 5 7, x, x, x, x, x, x, x μεσίοι όροι, όγος : = π.χ. 4 διδοχιοί όροι είι οι : x 3 3, x, x, x 6 διδοχιοί όροι είι οι : x 3 5 5, x 3, x, x, x, x
parmenides5 8 < 0, 7 5 3 x, x, x, x, x, x, x, x 3 5 7, μεσίοι όροι όγος : = - π.χ. 4 διδοχιοί όροι είι οι : x 3 3, x, x, x x 6 διδοχιοί όροι είι οι : 5, x 3, x, x, x, x 3 5 Χρησιμεύου ότ δίοτι σχέσεις που ιοποιού όροι συμμετριοί ως προς τους μεσίους όρους π.χ. Γιόμεο 6 διδοχιώ όρω Γ.Π. είι 64. Ποι μορφή έχου οι ριθμοί υτοί ; x 3 5 Γι >0, έστω 5, x 3, x, x, x, x οι ζητούμεοι ριθμοί με = x x x 5 3 3 5 = 64 x 6 = 6 x = ± x x x Θ είι οι : 5, 3,,,, 3 5 3 5,,,,, ή 5 3 Η περίπτωση < 0 πορρίπτετι, διότι 3 θετιοί ι 3 ρητιοί ριθμοί έχου ρητιό γιόμεο, φού γι <0 οι όροι της Γ.Π. έχου εάξ πρόσημ ΣΧΕΣΗ ΔΙΑΔΟΧΙΚΩΝ ΟΡΩΝ Γ.Π., β, γ διδοχιοί όροι Α.Π. γ β ( = ( = β β = Ο θετιός ριθμός που προύπτει ποπσιάζοτς ριθμούς ι πίροτς τη -ιοστη ρίζ του γιομέου τους έγετι γεωμετριός μέσος τω ριθμώ υτώ ( με τη προϋπόθεση ότι η υπόρριζη ποσότητ είι θετιή Ο ριθμός β έγετι γεωμετριός μέσος τω, β Ο ριθμός 3 βγ έγετι γεωμετριός μέσος τω, β, γ Ο ριθμός 4 βγδ έγετι γεωμετριός μέσος τω, β, γ, δ (.ο.. π.χ. ο γεωμετριός μέσος τω 7 ι 7 είι ο 7 ο γεωμετριός μέσος τω 90 ι 0 είι ο 30 ο γεωμετριός μέσος τω -6 ι - είι ο 6 ο γεωμετριός μέσος τω -30, -60 ι 50 είι ο 300 γ
parmenides5 9 Σχόι :. Δε υπάρχει πάτ ο γεωμετριός μέσος δυο ή περισσοτέρω ριθμώ (φού πρέπει η υπόρριζη ποσότητ είι θετιή π.χ. οι ριθμοί, 9 έχου γεωμετριό μέσο το 3 ( = 9, οι ριθμοί -, -9 έχου γεωμετριό μέσο το 3 ( = ( ( 9, οι ριθμοί, -9 δε έχου γεωμετριό μέσο διότι ( 9 < 0 οι ριθμοί -, 9 δε έχου γεωμετριό μέσο διότι ( 9 < 0. Η έοι του γεωμετριού μέσου δυο ριθμώ είι εξάρτητη πό του γεωμετριού εδιμέσου τους, του ριθμού που βρίσετι άμεσ τους ώστε ποτεού οι 3 μζί διδοχιούς όρους Γ.Π. π.χ. έστω η Γ.Π.,, 4, 8, 6, ( = ο γεωμετριός μέσος τω ι 8 είι ο 4 που ήει στη Γ.Π. έστω η Γ.Π., -, 4,- 8, 6, ( = - ο γεωμετριός μέσος τω - ι -8 είι ο 4 που ήει στη Γ.Π. ο γεωμετριός μέσος τω 4 ι 6 είι ο 8 που δε ήει στη Γ.Π. ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΠΡΩΤΩΝ ΟΡΩΝ Γ.Π. S a, = =, π.χ. ( 50 +... + + = 50 a 78 +... + + = 78 a, ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ ΟΡΩΝ Γ.Π. Δίοτι οι ριθμοί, β ( β. Πρεμβάουμε ( βάζουμε ριθμούς άμεσ τους (οι οποίοι έγοτι ι γεωμετριοί εδιάμεσοι τω, β έτσι ώστε ποτεού όοι οι ριθμοί μζί διδοχιούς όρους Γ.Π. Ν υποογιστού οι πρπάω ριθμοί. ΕΠΙΛΥΣΗ Εστω x, x, x 3,..., x οι ριθμοί που πρεμβάουμε, τότε θ έχουμε τη Γ.Π. :, x, x, x 3,..., x, β (,, 3, 4,, +, + τίστοιχ ak a + + = β + = a ο τεευτίος πρεμβόμεος όρος k+ β + = ( υποογίζω το όγο της Γ.Π. x = a = a x= a = a ο πρώτος πρεμβόμεος όρος
parmenides5 0 ΕΥΡΕΣΗ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΠΡΩΤΩΝ ΟΡΩΝ ΠΡΟΟΔΟΥ ΜΟΝΟΥ Ή ΖΥΓΟΥ ΔΕΙΚΤΗ Μοού δείτη Ζυγού δείτη ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΠΡΩΤΩΝ ΟΡΩΝ + 3 + 5 + + - + + + 3 + 5 + + 59 + Α.Π. διφοράς ω + + ω + 4 3 + 3 ω 6 ( + 3 + 5 + + 7 + 37 37 ω 73 + ( + 3 + 5 + + 87 + 45 45 ω 89 + ( + 3 + 5 + + - + + 4 + 6 + + 60 + + ω 4 3 3 ω 6 + ( + 4 + 6 + + 70 37 37 ω + 74 + ( + 4 + 6 + + 88 45 45 ω + 90 + ( 3 ω Αιτιοόγηση : + 3 + 5 + + 59 + 6 = + ( + 4 + 6 + + 60 + 6 = + ( 3 ω 3 = 3 = Γ.Π. όγου + a 6 a 74 a 90 a a 6 a 74 a 90 a 6 a 6 a Από το μέχρι το 6 περιέχοτι 6 συοιά ριθμοί. Οι μισοί ( 3 είι άρτιοι (ζυγοί, οι μισοί (3 είι περιττοί (μοοί. Σε Α.Π. οι ριθμοί, 3, 5,, 59, 6 είι 3 διδοχιοί όροι Α.Π. (β με πρώτο όρο β =, διάφορ ω = ω. 3 3 β + = ( 3 + ω Σε Γ.Π. οι ριθμοί, 3, 5,, 59, 6 είι 3 διδοχιοί όροι Γ.Π. (β με πρώτο όρο β =, όγο =. 3 3 6 ( ' ( Άρ + 3 + 5 + + 59 + 6 = S 3 = β a a = = Άρ + 3 + 5 + + 59 + 6 = S 3 = ( (3 ω Ομοίως οι ριθμούς, 3, 5,, 60, 6. είι 3 διδοχιοί όροι Α.Π. [Γ.Π.] (β με πρώτο όρο β =, διάφορ ω = ω [όγο = ].
parmenides5 ΕΥΡΕΣΗ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΠΡΩΤΩΝ ΟΡΩΝ ΠΡΟΟΔΟΥ ΜΕ ΕΝΑΛΛΑΞ ΠΡΟΣΗΜΑ δηδή της μορφής : - + 3-4 + 5 6 + + -3 - - + - - π.χ.. - + 3-4 + 5 6 + + 59-60 + 6 6 = = ( + 3 + 5 + + 59 + 6 - ( + 4 + 6 + + 60 + 6 = 3 3 ( ( + 3 ω 3.. + ω σε ΑΠ = 6 6 a.. a σε ΓΠ µε. - + 3-4 + 5 6 + 70 + 7 7 + 73 = = ( + 3 + 5 + + 7 + 73 - ( + 4 + 6 + + 70 + 7 = 37 36 ( ( + 37 ω 36.. + ω σε ΑΠ = 74 7 a.. a σε ΓΠ µε ΓΕΝΙΚΟΣ ΤΡΟΠΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΩΝ ΜΕ ΟΡΟΥΣ ΓΝΩΣΤΗΣ ΠΡΟΟΔΟΥ ( ΠΟΥ ΣΧΗΜΑΤΙΖΟΥΝ ΝΕΑ ΠΡΟΟΔΟ ( β πχ.. Σε Α.Π. με = 75 ι ω= -3 υποογιστεί το άθροισμ ΜΕΘΟΔΟΣ ΣΕ Α.Π. Α = 3 + 5 + 7 + + 77 + 79 3 = + (3- ω = 75 + (-3= 9 79 = + (79- ω = 75 + 78(-3= -59 5-3 = 5ω -3ω =ω = (-3 = - 6 Α = 9 + 3-3 - 9-47 - 53 Θεωρώ τη Α.Π. ( β με πρώτο όρο β = 3 = 9 ι διφορά ω = 5-3 = - 6 Α = β + β + β 3 + + β - + β ' = ( S = K β + β με β = - 53 [ρεί βρω το ] β + (- ω = - 53 9 +(- (-3 = - 53 = 8 Άρ 8 Α= ( β + β = ( 9 59 =... - Υποογίζω το πρώτο όρο, το τεευτίο όρο ι τη διφορά τω πρώτω όρω του θροίσμτος. - Ξγράφω το άθροισμ - Θεωρώ έ ριθμητιή πρόοδο ( β με πρώτο όρο το πρώτο όρο του θροίσμτος ι διφορά τη διφορά τω πρώτω όρω του θροίσμτος - Το ρχιό άθροισμ ισούτι με το άθροισμ τω όρω της οουθίς ( β πό το πρώτο όρο ( β μέχρι το τεευτίο ( β, δηδή τω πρώτω όρω της προόδου ( β - Υποογίζω το πήθος τω όρω πό το τύπο β = β + (- ω ι το ζητούμεο άθροισμ πό το τύπο ' S = S = ( β + β
parmenides5 πχ.. Σε Α.Π. με = 75 ι ω= -3 υποογιστεί το άθροισμ Β = 7 + + 7 + + 57 + 6 7 = + (7- ω = 75 + 6(-3= 57 6 = 6 + (6- ω =75 + 6(-3=-08-7 = ω -7ω =5ω = 5(-3 = - 5 Β = 57 + 4 + 7 + - 93-08 Θεωρώ τη Α.Π. ( β με πρώτο όρο β = 6 = 57 ι διφορά ω = - 7 = - 5 Β = β + β + β 3 + + β - + β ' = ( S = β + β με β = - 08 [ρεί βρω το ] β + (- ω = - 08 57 +(- (-5 = - 08 = Άρ 9 Β= ( β + β = ( 57 08 =... πχ. 3. Σε Γ.Π. με = 5 ι = υποογιστεί το άθροισμ Γ = 9 + + 5 + + 0 + 05 9 = 9- =5 8 = 5 8 96 = 05- =5 04 = 5 04 9 8 9 3 3 = = = = = 8 Γ = 5 8 + 8 5 8 + 8 5 8 + + 5 04 Θεωρώ τη Γ.Π. ( β με πρώτο όρο β = 9 = 5 8 ι όγο = = 8 Β = β + β + β 3 + + β - + β ' ( = S = β με β = 3 04 [ρεί βρω το ] β - = 5 04 5 8 8 - =5 04 8 3-3 = 04 3+5 = 8 04 3 = 99 = 33 Άρ Β= S ( 8 ' 8 9 ΜΕΘΟΔΟΣ ΣΕ Α.Π. - Υποογίζω το πρώτο όρο, το τεευτίο όρο ι τη διφορά τω πρώτω όρω του θροίσμτος. - Ξγράφω το άθροισμ - Θεωρώ έ ριθμητιή πρόοδο ( β με πρώτο όρο το πρώτο όρο του θροίσμτος ι διφορά τη διφορά τω πρώτω όρω του θροίσμτος - Το ρχιό άθροισμ ισούτι με το άθροισμ τω όρω της οουθίς ( β πό το πρώτο όρο ( β μέχρι το τεευτίο ( β, δηδή τω πρώτω όρω της οουθίς ( β - Υποογίζω το πήθος τω όρω πό το τύπο β = β + (- ω ι το ζητούμεο άθροισμ πό το τύπο ' S = S = ( β + β ΜΕΘΟΔΟΣ ΣΕ Γ.Π. με - Υποογίζω το πρώτο όρο, το τεευτίο όρο ι το όγο τω πρώτω όρω του θροίσμτος. - Ξγράφω το άθροισμ - Θεωρώ έ γεωμετριή πρόοδο ( β με πρώτο όρο το πρώτο όρο του θροίσμτος ι όγο το όγο τω πρώτω όρω του θροίσμτος - Το ρχιό άθροισμ ισούτι με το άθροισμ τω όρω της οουθίς ( β πό το πρώτο όρο ( β μέχρι το τεευτίο ( β, δηδή τω πρώτω όρω της προόδου ( β - Υποογίζω το πήθος τω όρω πό το τύπο β = β - ι το ζητούμεο άθροισμ πό το τύπο 33 = 5... parmenides5 @ 3/6/0 for mathematica.gr β = = 8 S S ' = = ( β