Chaoso teorija ĮVADAS LORENZ O SISTEMA Paprastos Lorez o sistemos savybės. Faziio tūrio susispaudimas. Rimties taškai ir jų stabilumas. Keistasis atraktorius, ekspoetiė artimų trajektorijų divergecija. Liapoovo rodiklis, progozės trukmė. KITOS TREČIOSIOS EILĖS CHAOTINĖS SISTEMOS Rössler io ir Dufig o sistemos. Elekrtoiiai chaoso geeratoriai. PUANKARĖ ATVAIZDAI Puakarė atvaizdo idėja. Lorezo sistemos Puakarė atvaizdas. Heo o atvaizdas. Fraktalai ir jų dimesija, Kataro aibė. Keistųjų atraktorių atsiradimo mechaizmas. Kepėjo atvaizdas.
Chaoso teorija MAKSIMUMŲ PASIKARTOJIMO ATVAIZDAI Lorezo ir Rössler io sistemos maksimumų atvaizdai. PIRMOSIOS EILĖS ATVAIZDAI Atvaizdų rimties taškai ir stabilumas. Pjūklo daties atvaizdas. Atvaizdų Liapuovo rodikliai. Logistiis atvaizdas. Periodo dvigubiimosi bifurkacijos. Feigebaumo dėsis ir jo uiversalumas. Reormalizacijos teorija. CHAOSO TEORIJOS TAIKYMAI Chaotiių sigalų aalizė. Faziės erdvės rekostrukcija, Takeso teorema. Koreliaciė dimesija. Chaoso sichroizacija ir jos paaudojimas progozei bei saugiesiems ryšiams. Chaoso valdymas.
DINAMINIS CHAOSAS DISIPATYVIOSIOS SISTEMOS KONSEVATYVIOSIOS SISTEMOS PERIODO DVIGUBINIMO BIFURKACIJOS TORO SKILIMO KLASIKINĖS SISTEMOS KVANTINĖS SISTEMOS INTERMITENCI CHAOTINĖS BŪSENOS SIGNALŲ TYRIMAS PROGNOZĖ CHAOSO SINCHRONIZAVIMAS CHAOSO VALDYMAS LIAPUNOVO EKSPONENTĖS ENTROPIJA ATRAKTORIAUS DIMENSIJA SAUGŪS RYŠIAI APIBENDRINTOJI SINCHRONIZACIJA
Lorez o sistema & y& z& s ( y ) r y y bz z Z 45 4 35 3 25 2 5-2 5-5- -5 X 5 5 2-2 - Y 2 y z 2 - -2 3 2 - -2-3 5 4 3 2 5 5 2 25 5 5 2 25 5 5 2 25 t s b 8 / 3 r 28
Eksperimitiės sistemos, aprašomos Lorez o lygtimis. Beard o estabilumas g T 3. Vieamodis lazeris kaupiimas T 2 2. Skysčio kovekcija žiede 4. Chaotiis vades ratas V
Paprastos Lorez o sistemos savybės ( y ) & s s > y& r y z r > z& y bz b > Netiesiškumas: z, y Simetrija: Sistema ivariatiė keitiiui (, y) (, y) jeigu { ( t), y( t), z( t) } tai { ( t), y( t), z( t) } sprediys, taip pat spr. Faziio tūrio susispaudimas: V ( ) V ( t) r j ( ) V ( t) t Disipatyvioji sistema! r j ( t)
f r &r r f r ( ) S ( t + dt) r V () t S( t) ( r f r )dt ( ) ( ) ( r r ( ) ( ) + dt V t f ) ( ) dtds f ds V t S V& V t + dt V dt r div f dv V { t S r r ds V r div f dv & s( y ) div f [ s( y ) ] + [ r y z] + [ y bz] y& z& r y y bz z r div f r s b < y ( t) V ( ) ep[ ( s + b) t] V + z V & ( s + + b)v V ( t) t
Lorez o sistemos rimties taškai O : b r s s A z b z δ δ & y r s s y δ δ δ δ & & σ s ( ) s r stabilus mazgas z y < r balas z y > r ( ) bt z z ep δ δ ( ) bz y z y r y s y ( ) r z 2 bz ( ),, O : ( ) ( ) ( ),, r r b r b : + C ( ) ( ) ( ),, r r b r b : C Liearizavimas: A δ δ &r b y z r s s A
Lorez o sistemos rimties taškai C + ; C : < r < r H A ± λ stabilus mazgas-spiralė s r m b( r ) ( ) b b r s Charakterigoji lygtis: ( A Iλ) det ( s + b + ) λ 2 + ( r + s) bλ + 2bs( ) 3 + r Re λ ( ) 2 s + b + ω + 2bs( r ) + ( + ) 3 ω r s bω ( s + b + 3) s r H s b 2 ω ( s)b H r H + λ iω r > r H estabilus mazgas-spiralė
Bifurkaciė diagrama Nestabili periodiė orbita O + C? C r r r H r Kaip atrodys asimptotiis sistemos elgesys, kai r > r H? r > r H Kai sistemoje ėra stabilių rimties taškų ir stabilių periodiių orbitų, o faziis tūris ekspoetiškai mažėja ir virsta uliu, kai! t
Skaitmeiiai rezultatai s b 8 / 3 r H 24. 74 r 28 > r H Trajektorijos asimptotiškai artėja prie sudėtigos kofigūracijos uliio tūrio geometriio objekto. Tas objektas vadiamas keistuoju atraktoriu. Tai yra fraktalas, kurio dimesija yra trupmeiė. Šiuo atveju dimesija d 2. 5
Diamiių sistemų atraktorių klasifikavimas stabilus mazgas stabili spiralė stabilus ribiis ciklas d d d ekspoetiis gesimas gęstatys virpesiai autovirpesiai t t t
toras Keistasis atraktorius d 2 2 <d <3 kvaziperiodiiai virpesiai chaotiiai virpesiai t t S ω ω 2 ω ω 2 m S ω diskretiis spektras! ω tolydiis spektras!
Artimų trajektorijų ekspoetiė divergecija & y& s ( y ) r y z& y bz l r δ z r () t r δ () t r () t + ( t) δ r λ δ ep ( λt) α λ tgα.9 - Liapuovo rodiklis t Jeigu Liapiovo rodiklis teigiamas, tai turime chaosą!
Progozės trukmė δ ( t) δ ep( λt) δ t δ a t t prog δ -pradiių sąlygų matavimo tikslumas a - leistia progozės paklaida δ ( t ) prog a δ ( λt ) ep prog a t prog a l λ δ 3 Pavyzdys: Tarkime, kad a, δ. Kiek pailgės ~ progozės 7 trukmė, jeigu matavimo tikslumą pagerisime iki δ? ~ t t prog prog l a l a ~ lδ lδ l l l l 7 3 Bet kokios pastagos geriti matavimo tikslumą yra beprasmiškos! 6 2 3
Kitos trečiosios eilės chaotiės sistemos Rioslerio sistema & y& z& y z + b+ a y z ( c) z 2 y - -5 5 - z y - - 2 5 5 2 5 5 2 5 5 2 t a.2 b.2 c 5.7 Rioslerio sistema modeliuoja chemię reakciją
Elektroiiai chaoso geeratoriai Yra sukostruota daugybė elektroiių chaoso geeratorių. Jie audojami eksperimetiiuose chaoso tyrimuose. Tai labai patogūs eksperimetiiai objektai įvairioms teoriėms idėjoms patikriti. Čia pateiktas vieas labai paprastas chaoso geeratorius, sukurtas mūsų grupėje (A. Tamaševičius, G. Mykolaitis, V. Pyragas, K. Pyragas, Europea Joural of Physiscs, 24) specialiai didaktiiams tikslams. L mh, C F, C*5F, RkΩ, R R 2 kω, R 2 kω kr 2 /R +, R 2.. kω V b 2 V, I V b /R ma (R >>R, ρ) C C dv * LdI dv C L C* dt dt dt I L ( k I, ) RI + I L L I V D. C V C*, Diodo voltamperiė charakteristika: I D ( V ) I [ep( ev k ) ] f D S D BT V * D V C
Z Elektroiiai chaoso geeratoriai Bedimesiiai kitamieji ir parametrai: V V C T, y ρi V T L, z V C* V T, t θ, τ V T k B e T, ρ L C, τ LC, a ( k R ), ρ b ρi V T, c ρi V T S, ε C * C & y& ε z& y ay b + z y c(ep z ) 2-2 -4-6 5-5 -8-6 -4-2 X 2 4 6-6 -2-4 Y 6 4 2 y z 5 5 2 25 5-5 5 5 2-5 - 5 5 2 25 t a.4 b 3 c 4 ε.3 9
Neautoomiė Dufigo svyruoklė && γ & dv d + a siωt 2 4 ( ) / 2 / 4 V + V y a siωt - t 5 2 & y& y γ y + 3 + asiωt -2
Dufigo svyruoklė γ.25 ω a.4 Stroboskopiis faziis portretas
Puakarė atvaizdai y z cost ( y ) +, + Puakarė pjūvis z (, y ) & y& z& f g h (, y, z) (, y, z) (, y, z) z cost y + + ψ ϕ (, y ) (, y ) Trečiosios eilės diferecialiių lygčių sistemą galima trasformuoti į atrosios eilės skirtumiių lygčių sistemą!
Loreco sistemos Puakarė atvaizdas s b 8 / 3 r 28 & y& z& s ( y ) r y y bz z z 3 y + + ψ ϕ (, y ) (, y ) y 3 2 - -2-3 -2-2 Nagriėjat diferecialiių lygčių Puakarė atvaizdus, paprastai epavyksta surasti aaliziių fukcijų ψ ir ϕ išraiškų. Tačiau trajektorijos susikirtimo taškus su Puakarė pjūviu esuku ustatyti skaitmeiškai, tiesiogiai itegruojat diferecialies lygtis.
Atrosios eilės diskretiiai atvaizdai Kadagi yra trečiosios eilės diamiių sistemų, aprašomų diferecialiėmis lygtimis, ir atrosios eilės diskretiių Puakarė atvaizdų atitiktis & f (, y, z) + ψ (, y ) y& g(, y, z) y+ ϕ(, y ) z& h, y, z ( ) tai orėdami išsiaiškiti diferecialiių lygčių keistųjų atraktorių savybes galime agriėti paprasteses diamies sistemas atrosios eilės diskretiius atvaizdus. Pasirikus tam tikras dešiiųjų pusių fukcijas ψ ir ϕ galima teigti, kad jos atitiks tam tikras diferecialiių lygčių fukcijas f, g ir h. Toliau paagriėsime dviejų atrosios eilės atvaizdų sistemas Heoo atvaizdą ir Kepėjo atvaizdą.
Heoo atvaizdas y 2 + a. 4 + + b y a b.3 Atraktorius yra fraktalas!
Paprastas fraktalo pavyzdys Katoro aibė: Išmestos atkarpos 3 9 9 Išmestų atkarpų ilgis: 3 2 / 3 9 4 3 2 3 27 4 9 2 3 + + + + + + L L L Katoro aibės ilgis lygus uliui! Kaip charakterizuoti tokių objektų dimesiją?
Hausdorfo dimesija tiriamas objektas ε N( ) d ε ε ε Koks yra mažiausias dydžio kvadratukų skaičius N, kuriais galima uždegti tiriamą objektą? ε d - objekto dimesija L N L / ε d 2 N S / ε d 2 S
Katoro aibės dimesija ε / 3 / 9 / 27 4 / 3 N 2 4 8 4 2 d k k l N / lε l 2 / l 3 l 2 / l 3 < Katoro aibės dimesija yra trupmeiė!
Keistųjų atraktorių susidarymo mechaizmas Mes jau žiome, kad sudėtigas diamiių sistemų elgesys yra sąlygotas keistojo atraktoriaus atsiradimu. Tai yra mes žiome kas atsirada diamiėje sistemoje chaotiio elgesio atveju, tačiau ežiome kodėl tai atsirada. Kaip galima geometriškai įsivaizduoti fraktaliio atraktoriaus atsiradimą? Kas sąlygoje epaprastą jautrumą pradiėms sąlygoms? Kaip gali artimos trajektorijos ekspoetiškai tolti viea uo kitos ir pasilikti ribotoje faziės erdvės dalyje? Pagridiis keistojo atraktoriaus susidarymo mechaizmas yra sąlygotas pakartotiiu faziio tūrio TAMPYMU ir LANKSTYMU. Diamiėje sistemoje keistasis atraktorius atsirada tuomet, kai faziis tūris yra suspaudžiamas viea kryptimi (atspidi disipaciją) ir sulekiamas kita kryptimi (atitika etiesiškumą ir sąlygoja jautrumą pradiėms sąlygoms).
Paprastas fraktalo gamiimo pavyzdys: tešlos pyragaičiui ruošimas Kai kuriems, turbūt, patiems teko gamiti fraktalus, jeigu kepėte sluoksiuotus pyragaičius, pavyzdžiui cruissat us. tešla lygiimas ir tempimas operacijos kartojimas lakstymas Kartojat šias operacijas gausime vieą į kitą įdėtų pasagų aibę. Šiame procese akivaizdžiai matome jautrumą pradiėms sąlygoms. Tarkime, kad mes pradžioje uspalviame mažą tešlos dalį maisto dažais. Tai atitika artimų pradiių sąlygų pasirikimą. Tuomet po daugelio iteracijų tie dažai tolygiai išsimaišys po visą tešlą.
Kepėjo atvaizdas Operacijas, paašias į tas, kurios buvo atliekamos su tešla, galima užrašyti paprastu matematiiu modeliu atrosios eilės atvaizdu: ( y ), + + ( 2, ay ) ( 2, + 2) ay kartojimas, /2, kai kai 2 < 2 a/2 koservatyviė sistema (plotas ekita) a</2 disipaciė sistema (plotas mažėja) a suspaudimas ir ištempimas perpjovimas ir gražiimas į kvadratą 2 Šis atvaizdas geeruoja fraktaliį keistąjį atraktorių! Daugelį jo savybių galima ištirti aaliziškai.
z& Maksimumų pasikartojimo atvaizdai Diamiio kitamojo maksimumų atvaizdo idėja priklauso Lorecui. Pirma kartą šią idėją jis pritaikė savo (Loreco) sistemai. & y& s ( y ) r y y bz z z z z m+ m t Maksimumų atvaizdas yra beveik viematis! ( ) Turit z m+ f z m priklausomybę ir žiat m-ojo maksimumo vertę galime esukiai progozuoti m+-ojo maksimumo vertę. z m+ z m
Rössler io sistemos maksimumų atvaizdas & y& z& y + z a y b+ z ( c) m m+ t Maksimumų atvaizdas taip pat beveik viematis! m+ Daugelį trečiosios eilės chaotiių sistemų galima apytiksliai aprašyti egrįžtamais pirmosios eilės atvaizdais m+ f ( m ). Negrįžtamieji atvaizdai yra tokie, kurių atvirkštiė trasformacija f yra evieareikšmė. m ( ) m+ m
Pirmosios eilės atvaizdai Pirmosios eilės atvaizdai yra įdomūs tuo, kad jie atitika paprasčiausias diamies sistemas, kuriose gali atsirasti chaotiis elgesys. f ( ) m+ m m+ si m m+ cos m m+ m+ m m+ m+ m voratiklis m m
Atvaizdų rimties taškai ir jų stabilumas m+ m Rimties taškai: f f ( ) m+ m ( ) f Liearizavimas: -uokrypis m m m+ m+ f m ( ) + ( ) ( ) ( + + ) m f f m + L ( ) ( ) ( 2 f + f + o ) m+ m m m+ f ( ) m m+ m+ + µ ( ) µ f -Flokė daugiklis m m m m µ µ < - stabilumo sąlyga < µ < f ( ) m < µ < m m+ m+ µ < m µ > m
Pjūklo daties atvaizdas 2 { } m+ m { K} -trupmeiė skaičiaus dalis { } Pavyzdžiui: 3.2456. 2456 m+ Alteratyvus žymėjimas: 2 m+ m ( mod) /2 m m+ Šiam atvaizdui galima griežtai įrodyti chaotiio elgesio egzistavimą. Šis pavyzdys yra puiki iliustracija to, kaip sudėtigas elgesys gali atsirasti parastoje griežtai determiuotoje diamiėje sistemoje. /2 m
m Pjūklo daties atvaizdas ( { 2 }) m+ m Sistemos diamikai suprasti patogu audoti dvejetaię skaičių sistemą. Dvejetaiėje sistemoje skaičiaus daugiimas iš 2 atitika kablelio postūmį per vieą poziciją į dešię (Berulio postūmį). Pavyzdžiui:... 2... 2 2 + 2 + 2 + 2 + 2 2 + 2 + 2 2 3 + 2 + 2 3 4 + 2 + 2 4 5 +... +...... Trupmeiė dalis: {...}..., tad { 2... }... Taigi šio atvaizdo operacija atitika dvejetaiio skaičiaus kablelio postūmį per vieą poziciją į dešię ir sveikosios dalies ubraukimą. (. ). (. ) k.5 d dvejetaiė sistema dešimtaiė sistema Jeigu pradiė sąlyga yra racioalusis skaičius, tai egzistuoja baigtiis periodas: periodas d dešiioji itervalo pusė... }}} dkdkkd dkdkkd dkdkkd k kairioji itervalo pusė Iteracijos metu faziio taško šokiėjimas iš kairės į dešię itervalo pusę periodiškai kartosis! Tai atitika periodię sistemos trajektoriją.
Pjūklo daties atvaizdas { 2 } Jeigu pradiė sąlyga yra iracioalusis skaičius, tai jokio periodo ėra: periodo ėra... Taigi pradiės sąlygos, išreiškiamos racioaliaisiais skaičiais, atitika periodies sistemos trajektorijas, o iracioaliaisiais eperiodies. Skaičių teorijoje įrodoma, kad [, ] itervale iracioaliųjų skaičių yra daugiau, egu racioaliųjų. Racioalieji skaičiai sudaro suskaičiuojamą aibę (kiekvieam galima priskirti atūrii skaičių), o iracioalieji esuskaičiuojamą. Tad atsitiktiai pasirikdami pradię sąlygą [, ] itervale mes, kaip taisyklė, užtaikysime at iracioalaus skaičiaus ir turėsime eperiodiį elgesį. ( ) m+ m Kaip įrodyti, kad sistema gali elgtis chaotiškai, pagal atsitiktiių skaičių dėsį? Pradiėje sąlygoje yra užkoduota visa tolimesė sistemos evoliucija. Pasirikime pradię sąlygą pagal tokį algoritmą: mėtykime moetą ir rašykime, kai iškreta piigas (p) ir, kai herbas (h). phphhpphppph... dkdkkddkdddk Startuojat iš tokios pradiės sąlygos turėsime lygiai tokį patį faziio taško šokiėjimą tarp kairės (k) ir dešiės (d) [,] itervalo pusių, kaip kaitaliojasi piigo ir herbo pusės mėtat moetą. Turime chaosą determiuotoje sistemoje!
Pjūklo daties atvaizdas { 2 } Jautrumas pradiėms sąlygoms ( ) m+ m Pasiaudodami šiuo modeliu galime geriau suprasti chaotiių sistemų jautrumą pradiėms sąlygoms. Pasirikime dvi artimas pradies sąlygas, kurios išreiškiamos dviem skaičiais iki septito žeklo po kablelio sutampačiais skaitmeimis:....... Tuomet aišku, kad esat šioms pradiėms sąlygoms septyias iteracijas šios dvi sistemos trajektorijos liks artimos. Jos kartu bus kairėje arba dešiėje [,] itervalo pusėje. Po to jų judėjimas taps visiškai ekoreliuotas.
Atvaizdų Liapuovo rodikliai δ λ, + δ δ δ e λ f ( ) m+ m - dvi artimos prad. sąlygos, λ - Liapuovo rodiklis ( + ) f ( ) f δ ( ) f ( f ( f ( L f ( ) L) )) f 4243 δ l δ l l f ( + δ ) f ( ) ( f )( ) δ λ i ( f )( ) f ( ) Pavyzdys: ( 2 f ) ( ) f f ( ) l λ > λ < f i f λ lim i i ( ( )) ( f ( )) f ( ) f ( ) f ( ) ( ) i l f ( i ) l - reiškia chaosą i f -gradiės taisyklė ( ) - atitika stabilų rimties tašką, arba periodiį ciklą i
Pavyzdys: pjūklo daties atvaizdo Liapuovo rodiklis 2 { } m+ m m+ λ lim i l f ( ) i /2 m f ( ) 2,,,2, K i i i l f ( ) l 2 i λ l 2 λ > - tai patvirtia chaoso egzistavimą pjūklo daties atvaizde!
Logistiis atvaizdas ( ) f ( ) m + am m a/4 m+ /2 m
Logistiio atvaizdo rimties taškai ir stabilumas Rimties taškai: f ( ) ( a ), / Stabilumas: f a 2 ( ) ( ) : µ f ( ) a estabilus, kai a > / a : µ f a ( ) a( 2/ a) estabilus, kai a > 3 m+ a > 3 < a < 3 a a < m Kas bus, kai? a >3
Periodo 2 ciklas ir jo stabilumas q f 2 ( ) m q m+ p m+2 p m ( p) q, f ( q) p f a+ ± p, q ( a3)( a+ ) 2a ( f ( p) ) p f m µ ( ( )) 2 f f ( ) m f m ( f ( p) ) f ( p) f ( q) f ( p) m+ 2 f Ciklo stabilumo sąlyga: µ < 3 < a < + 6
Periodo dvigubiimosi bifurkacijos Aaliziškai apskaičiuota bifurkaciės diagramos dalis: Skaitmeiis rezultatas 3 a 2 3.449... a 3 3.5449 3.5644...... 4 a 3.5699 M... 3 + 6 a Feigebaumo dėsis: a a lim δ a a lim + 3 a + a 2 2 a3 δ - uiversali Feigebamo kostata a a 4.669K
Feigebaumo scearijaus ir bifurkaciės diagramos uiversalumas Logistiis atvaizdas Siuso atvaizdas m + am ( m ) m + a si m Siuso atvaizdui galioja Feeigebaumo dėsis su ta pačia uiversale Feigebaumo kostata δ 4.669. Be to chaotiėje srityje periodiių lagų išsidėstymas abejuose atvaizduose yra ekvivaletus.
Liapuovo rodiklio priklausomybė uo parametro Logistiis atvaizdas Elektroiis chaoso geeratorius m + am ( m ) f ( m ) & y y& ay z b 3 c 4 9 ε z& b + y c(ep z ) ε.3 λ lim l f (i ) i..8.6.4.2. 2.8 3. 3.2 3.4 3.6 3.8 4. 3. 3.2 3.4 3.6 3.8 4. a λ λ -2-4 2.8 a
Feigebaumo scearijaus pavyzdžiai Rioslerio sistema & y z y& + a y z& b+ z ( c) a.2 b.2 c 2.5 c 3. 5 p Varvatis čiaupas p- čiaupo pralaidumas p2 p 3 p 3 y -3-3 3 c 4 c 5 mikrofoas Galioja Feigebaumo dėsis: p p + p p 4.6
Bifurkaciės diagramos sudėtigumas m + am ( m )
Feigebaumo reormalizacijos teorija Feigebaumas parodė, kad jo dėsis galioja bet kuriam pirmosios eilės atvaizdui, jeigu jo maksimumą lakališkai galima aproksimuoti kvadratię parabole. Feigebaumo idėja remiasi bifurkaciio medžio struktūros atsikartojimu. Savo išvedžiojimuose jis paaudojo reormalizacijos grupės matematiį aparatą, kuris buvo išplėtotas faziių virsmų teorijoje. m Iš tikrųjų egzistuoja dvi Feigebaumo kostatos: δ ir α. d d 2 f(,r) m r r- bifurkacijos parametras m - maksimumo padėtis lim δ r + r r 4.669 K R r r 2 r 3 R R 2 r lim d d + α 2.529 K
m f(,r ) Feigebaumo reormalizacijos teorija R m q p d f 2 (,R ) m d 2 R R 2 R : R : f 2 r R k d k parametro r vertė, kai 2 k ciklo orbita yra superstabili. atstumas uo atvaizdo maksimumo iki artimiausio superstabilios orbitos taško. Superstabili orbita, pagal apibrėžimą,turi uliį Flokė daugiklį, µ. Pavzydys: f(,r) r 2 ( ) ( ) 2 * * * * f,r R µ ( f ) *, f 2 R * m, q f ( p, R ), p f ( q, R )- 2 ciklas µ ( 2 p)( 2q) p m 2 (, R ) R R R
Feigebaumo reormalizacijos teorija Šie piešiiai paašūs!!! f(,r ) f 2 (,R ) m m Norėdami sutapatiti šiuos du piešiius koordiačių pradžia perkeliame į raudoą tašką ir atliekame mastelio trasformaciją: f(,r ) f 2 (,R ) α f 2, R α iteracija mast. tr.: α-2.5 f α 2 (, R ) α f R,
Feigebaumo reormalizacijos teorija Taigi gavome paašumo trasformaciją: f α 2 (, R ) α f R, Aalogiškai galima parodyti, kad arba f f 2 f 4, R α f, R 2 α α 2 α 2 4 (, R ) α f R Bedruoju atveju:, 2 ( R ) f ( 2, α ) α 2, R Feigebaumas skaitmeiškai parodė, kad egzistuoja riba: lim α f α ( 2 ), R g ( ) g ( ) - uiversali fukcija, turiti superstatbilų rimties tašką. Ši ribiė fukcija egzistuoja tik tuomet, jeigu teisigai pariktas α 2.529... g ( ) g ( ) α Uiversali reiškia, kad (beveik) epriklauso uo pradiio f: priklauso tik uo f savybių ties, es tik ši iformacija išlieka argumete riboje. Kitas uiversalias fukcijas galima gauti pakeitus pradię (starto) fukciją: g k g k ( ) (, R ) f ( ) f, ( ) f ( 2 limα ) R k α, R + k - uiversali fukcija, turiti superstatbilų 2 k ciklą.
Feigebaumo reormalizacijos teorija Įdomiausia ir svarbiausia iš uiversalių fukcijų yra ribiė fukcija g k ( ) ( ) g Startuojat uo (ties chaoso riba) gauame: Dabar atliekat mastelio trasformaciją ereikia keisti parametro r!!! Ribiiai fukcijai gauame fukcioalię lygtį: g R k g R f, α 2 (, R ) α f R ( ) g( ) α 2 ( ) αg Šioje lygtyje ėra f!!! Fukcija g išreiškiama per g. Iš šios lygties galima vieareikšmiškai ustatyti g() ir α. Krašties sąlygos: ma sąlyga g g ( ) g( ) Parametras α išreiškiamas per g(): 2 4 ( ) + c + c + K 2 4 pasirik. laisvai ( ) ( g( ) ) αg( ) α g() g αg Fukcioaliės lygties spredimas: c2.5276, c4 α 2.529.48, K Feigebaumo teorija taip pat paaiškia ir δ kostatos vertę. Tačiau tai sudėtigesė teorijos dalis ir čia jos epateiksime.
Taikymai Chaotiių sigalų aalizė () t Juoda dėžė Stebėtojas Įrašytas sigalas t Ar galima iš įrašyto sigalo ustatyti kas yra juodoje dėžėje?
Faziės erdvės rekostrukcija Norit apskaičiuoti keistojo atarktorio charakteristikas reikia žioti trajektorijos elgesį visų diamiių kitamųjų faziėje erdvėje. Paprastai yra matuojamas tik vieas skaliariis kitamasis ( t), kuris yra visų diamiių kitamųjų fukcija, ( t) ϕ(, 2, ), L Ar galima žiat tik vieą diamiį kitamąjį rekostruoti trajektoriją daugiamatėje faziėje erdvėje? Uždelstųjų koordiačių metodas (Takeso teorema) t mτ ( ) O 2 Atraktoriai yra topologiškai ekvivaletūs! O ( t τ ) origialioji faziė erdvė ( t) rekostruota faziė erdvė
Koreliaciė dimesija Diamiių sistemų charakteristikos, tokios, kaip Liapuovo rodikliai, arba keistojo atraktoriaus dimesija yra ivariatiės koordiačių pokyčiui. Todėl jų vertes galima apskaičiuoti iš vieo eksperimetiio sigalo, audojat uždelstųjų koordiačių metodą. 983 m Grassberger ir Procaccia pasiūlė labai efektyvų algoritmą keistųjų atraktorių dimesijai apskaičiuoti. Idėja paremta koreliaciės dimesijos sąvoka. () t () t r t - eksperimete matuojamas skaliariis sigalas () { () t, ( t τ ),..., ( t ( m ) τ )} r r ( ) k t k ( t 2τ ) ε r k - vektoriaus vertės diskretiiais laiko mometais Nk ( t τ ) ( ) d ε ε - m-matis rekostruotas vektorius -taškų skaičius ε spidulio sferoje d - lokaliė (taškiė) dimesija Pavyzdys: taškai tolygiai pasiskirstę liijoje ε ( ) N ε ε d k
Koreliaciė dimesija ( ε ) Vidutiė atraktoriaus dimesija ustatoma vidurkiat pagal atraktoriaus taškus: C ( ε ) N ( ) k ε N k ( ε ) k N k - koreliaciis itegralas C ( ) d ε ε d - koreliaciė dimesija l C Kaip pasirikti teisigą rekostruotos erdvės dimesiją m? Reikia skaičiuoti d įvairioms vertėms m ir diditi m tol, kol d(m) ustos priklausyti uo m (įsisotis). Ta soties vertė ir bus tikroji atraktoriaus dimesija. α d tg α lε d m Atraktoriaus dimesija usako mažiausią laisvės laipsių skaičių (diferecialiių lygčių skaičių), kuriuo galima aprašyti stebimą chaotiį procesą.
Pavyzdys: koreliaciės dimesijos ustatymas iš Beardo estabilumo eksperimeto (Malraiso et al.,983) Baltas triukšmas d 2.8 - tai reiškia, kad eksperimetię sistemą galima sumodeliuoti trijų priklausomų diferecialiių lygčių sistema.
Pavyzdys: smegeų aktyvumo (EEG) dimesija miego metu (A. Babloyatz, J.M. Salazar, C. Nicolis, Phyz. Lett. A,, 52,983). Pacietas periodiškai tai užmiega, tai pabuda Miego stadijos: Rekostruoti EEG faziiai portretai, m2. emiegatis 2. Miegatį galima pažaditi mažiausiu triukšmu 3. Miegatį galima pažaditi tik stipriu triukšmu 4. Gilus miegas 5. Sapavimas (stebimas greitas akių judėjimas) 2 stadija d Koreliaciės dimesijos priklausomybė uo m 4 stadija sapavimas X baltas triukšmas - emiegatis -2 stadija + - 4 stadija -sapavimas m Baigtiė dimesija stebima 2 ir 4 miego stadijoj: d, d 4 2 5 4
Pavyzdys: EEG koreliaciė dimesija epilepsijos metu (H. Jig, M. Takigava, Biol. Ciber. 83, 39, 2) (A) - sveikas (B) - prasidedat priepuoliui (C) - priepuolio metu Delta: (.5 4 Hz) Theta: (4 8 Hz) Alpha: (8 3 Hz) Beta: (3 3 Hz) Gamma: (3 4 Hz) EEG: visas diaposoas Epilepsijos priepuolio metu stebimas žymus EEG dimesijos sumažėjimas visuose smegeų žievės taškuose.
Sichroizacija Istorija ir pavyzdžiai Elektroiių geeratorių sichroizacija G ω G 2 ω 2 Huyges 629-698 Dviejų švytuokliių laikrodžių sichroizacija (665 m.) G ω G 2 Taip galima pageriti galigo geeratoriaus spektrię liiją ω 2 ω S S 2 Origialus Huygeso piešiys ω ω ω ω
T J, s Sichroizacija biologiėse sistemose Jovabalių blyksėjimų sichroizavimas T L.77s T L.75s T L.77s T L.75s fazių skirtumai laikas, s T L išoriio šviesos šaltiio periodas Žmoių cirkadiių ritmų sichroizavimas valados šviesa-tamsa pastovus apšvietimas miegas budrumas
& y& z& s ( y ) r Chaotiių sistemų sichroizacija Dėl drugelio efekto dvi idetiškos chaotiės sistemos geeruoja skirtigus sigalus. Tačiau atitikamai sujugus sistemas galima jas sichroizuoti ir gauti idetiškus sigalus. Viepusiškai surištos Lorez o sistemos z& y y bz & y& s z ( y ) r y y bz y( t) z -K(y! - y) ryšio įjugimo mometas Chaotiių sistemų sichroizacijos reiškiį galima paaudoti progozei bei kriptografijos tikslams.
Sichroizacija ir chaoso progozė Paprastai progozės uždaviiuose tariama, kad progozuotojas yra pasyvus objektas jis tik stebi sistemą ir eįtakoja jos diamikos. Tačiau jeigu leisime progozuotojui trupučiuką įtakoti sistemą, tai toks aktyvus progozuotojas gali iš esmės pageriti savo progozę. K. Pyragas, Phys. Lett. A 8, 23 (993) Metodo idėja paremta sistemos esamos būseos sichroizavimu su praeitimi. 2 Etapas: chaotiė sistema sichroizuojama su įrašytu į atmitį sigalu. įėjimas p K(y a -y) Chaotiė sistema K atmitis išėjimas y a - + Jeigu sichroizacija įvyko, tai y Etapas: pasirekama tam tikra chaotiio sigalo atkarpa ir įrašoma į atmitį. įėjimas p Chaotiė sistema išėjimas y a atmitis y(t) y a (t) Veikiama ykstamai mažo trikdžio sistema atkartoja praeitą elgesį, kuris yra atmityje. Taigi sistemos elgesys tampa visiškai progozuojamas!
Pavyzdys: elektroiio geeratoriaus dabarties ir praeities sichroizavimas A. Kittel, K. Pyragas, R. Richter, Phys. Lett. A 8, 23 (993) Eksperimetiė schema trikdžio įjugimo mometas sigalas iš atmities išėjimo sigalas sigalų skirtumas Metodas ereikalauja žiių apie tiriamos sistemos modelį ir gali būti taikomas įvairios prigimties diamiėms sistemoms, tame tarpe ir biologiėms. Šis metodas taip pat buvo eksperimetiškai realizuotas lazeriuose bei feromagetiio rezoaso sistemose.
Chaoso sichroizacija ir kriptografija iformaciis sigalas Chaotiis siųstuvas užkoduota iformacija Chaotiis imtuvas dekoduota iformacija [ ( t ) + i( t) ] & f τ Pavyzdys paremtas Mackey-Glasso sistema ( t) ( t ) i( t) - siųstuvas ( ) ( b u au u ) f + i( t) s τ + - siučiamas sigalas - iformaciis sigalas [ s() t ] & f - imtuvas & ( ) t ( t) s( t) ( τ ) i t -dekoduotas sigalas t ( t) ( t) i ( t) i( t) t t
i sigalai Rezultatai spektrai iformaciis sigalas s t ω siučiamas sigalas i t ω dekoduotas sigalas t ω
Chaoso valdymas Chaoso valdymo tikslas: paversti chaotiį judėjimą reguliariu (pavyzdžiui, periodiiu) audojat kiek galima mažeses trikdžio jėgas įėjimas Juoda dėžė išėjimas mažas trikdis Valdiklis
Pagridiės chaoso valdymo idėjos Chaotiės sistemos blogai progozuojamos, tačiau efektyviai valdomos, kadagi:. Jos labai jautrios mažiems išoriiams poveikiams. 2. Chaotiis judėjimas sudarytas iš begaliės aibės estabilių periodiių orbitų. Bet kurią iš jų galima stabilizuoti labai mažu trikdžiu ir paaikiti chaotiį judėjimą, paverčiat jį periodiiu. Pirma publikacija: E. Ott, C. Grebogi, J.A. Yorke (99) 4 Publikacijų diamika chaoso valdymo srityje 3 2 99 992 994 996 998 2 22 24 26 Bedras publikacijų skaičius 4
Valdymo mokslo istorija 763 m. Vatas patobulio T. Niukomeo garo mašią padidio jos galią 2 kartus. Jis užpatetavo savo išradimą tapo turtigas žmogus. Su šiuo išradimu siejama techiės revoliucijos pradžia. Vatas įvedė galios matavimo vieetą arklio galią. Vėliau jo garbiai buvo pavaditas kitas galios vieetas Vatas. James Watt (736-89) Vato garo mašia Pavaizduotas mechaizmas užmauamas at garo variklio ašies. Kai apsukų greitis padidėja, išcetriė jėga padidia atstumą tarp masių. Šis judėjimas perduodamas į garų padavimo skledę. Garų padavimas sumažiamas ir dėl to sumažėja apsukų greitis. TAIP PALAIKOMAS PASTOVUS APSUKŲ GREITIS Džeimso Vato automatiis greičio reguliatorius.
Šiuolaikiės valdymo teorijos pagridai Valdymas be grįžtamojo ryšio Valdymo jėga Įėjimas Valdoma sistema Išėjimas Pavyzdžiai: Automobilio su fiksuotai uspaustu akseleratoriumi judėjimo greitis kita Diktatūriės, totalitariės valstybės Valdymas be grįžtamojo ryšio dažiausiai būa eefektyvus ir reikalauja didelės valdymo jėgos
Šiuolaikiės valdymo teorijos pagridai Valdymas su grįžtamuoju ryšiu Įėjimas Valdoma sistema Valdiklis Išėjimas Pavyzdžiai: Autopilotas (automatiis pastovaus greičio palaikymas) Kodesioėrius (Automatiis pastovios temperatūros palaikymas) Automatiį temperatūros valdymo mechaizmą turi šiltakraujai gyvūai Demokratiis valdymas (grįžtamasis ryšys vykdomas per rikimus) Valdymas su grįžtamuoju ryšiu yra efektyvus ir paprastai ereikalauja didelės valdymo jėgos
Šiuolaikiės valdymo teorijos pagridai Šiuolaikiė automatiio valdymo teorija yra labai solidus mokslas su gaa sudėtiga matematika. Valdymo teorija plačiai taikoma įvairiose srityse. Tai pirmiausia roboto techika. Norbert Wieer (894-964) Kiberetikos pradiikas Labai daug valdymo teorijos rezultatų paaudota šiuolaikiiuose amų apyvokos prietaisuose: skalbimo mašioje, televizoriuje, CD grotuve, šaldytuve it t.t. Naujos idėjos valdymo teorijoje atsirado praeito amžiaus pabaigoje, kai susiformavo chaoso mokslas. Chaotiės sistemos yra ypatigai įdomūs valdymo teorijos objektai.
Kosmiio aparato trajektorija Pirmas praktiis chaotiių trajektorijų paaudojimas Nepaprastą chaotiių sistemų jautrumą mažiems trikdžiams pirmą kartą paaudojo NASA. 985 mūsų Saulės sistemą aplakė kometa Giocobii Zeer. Labai mažomis kuro sąaudomis NASA ukreipė įją kosmiį aparatą tuomet skraidatį tarp Saulės ir Žemės vadiamąja Halo orbita. Halo orbita Saulė Žemė L Lagražo taškas
Nestabiliosios periodiės orbitos (Rioslerio atraktorius) & y z y& + a y z& b + z ( c) - y -
Uždelsto grįžtamojo ryšio valdymo metodas K. Pyragas, Phys. Lett. A 7, 42 (992) d y d r t d d t P r Q r (,y) + F(t) F(t) K{y(t-τ) -y(t)} r (,y) τ T - estabiliosios orbitos periodas F(t) CHAOTINĖ SISTEMA y(t) K{y(t-τ) -y(t)} + - y(t) y(t-τ) τ
UGRV metodo iliustracija (Rioslerio sistema) & y z y& + a y z& b + z + K{y(t-τ) -y(t)} ( c)
UGRV stabilizacijos mechaizmas p Paprastas pavyzdys: y + 4 (- ) - Kp, p - - p + p y 3/4 p Stabilizacija pasiekiama per papildomus laisvės laipsius, kuriuos įeša į sistemą uždelstasis grįžtamas ryšys! p Stabilumo sąlyga: - < K < -/2
Metodo eksperimetiės realizacijos Elektroiiai chaoso geerat. Pyragas, Tamaševičius (993) Gauthier et al. (994) Kittel et. al. (994) Celka (994) Socolar et al. (994) Mechaiės svyruoklės Hikihara, Kawagoshi (996) Christii et. al. (997) Lazeriai Belawski et al. (994) Lu, Yu, Harriso (998) Malūspario propelerio mečių valdymas Krodkievski, Faragher (2) Žigsiuojačio roboto eiseos valdymas Sugimoto, Osuka (22) Dujų išlydis Mausbach et al. (997) Pierre et al. (996) Chemiės reakcijos Parmaada et al. (999) Tsui, Joes (2) C. Beta et al. (23) Feromagetiis rezoasas Beer et al. (997) Skysčių turbulecija Lüthje et al. (2) Kardiologiės sistemos Hall et al. (997) Rappel et al. (999) Skučas et al. (2)
Cotrollig Chaos i a fast Diode Resoator D.J. Gauthier et al. (994)
Cotrollig Mageto-Elastic Beam System T. Hikihara ad T. Kawagoshi (995) V cosωt A M P em shaker LD sesor + - τ
Cotrollig Electrochemical Corrosio System P. Parmaada et al. (999)
Cotrol of Chaotic Taylor-Couette Flow O.Lüthje, S. Wolf, ad G. Pfister (2) Re 2π f (r o - r i ) r i /ν v z (,t) - output (aial velocity) f - cotrol parameter
Cotrollig chemical turbulece i the catalytic CO oidatio o a Pt() crystal surface C. Beta et al. (23) p CO ( t) [ I( t) I( )] p + µ t τ CO
Cotrol of Ioizatio Wave Chaos Th. Mausbach et al. (997) UGRV algoritmu kartais pavyksta stabilizuoti estabilias etiesies bagas. Tokioms sistemoms etgi galima supaprastiti UGRV algoritmą vėliimo liiją galima pakeisti erdviškai praskirtais kotaktais. Dėl dispersiio sąryšio laikiškoji delsa yra ekvivaleti erdviiam postūmiui. Pavyzdžiui, plokščiai i kωt bagai u, t Ae : ( ) ( ) (, t τ) u( λ t) u, λ ωτ/k - + λ D D 2 Nereikia vėliimo liijos!
Triušių izoliuotų prieširdžių valdymas M. Skučas, I. Grigaliūieė, V. Dzekauskas, R. Labrecas Kauo medicios uiversiteto Kardiologijos istitutas V T T + T + [sek] T t 2 3 4 5 2 2 5 2 T 3 Valdymo algoritmas: T T K( T T ) 2 8 9 6 2 4 5 7 K,5; Stimulo uюvлliimas ms D T, sa B 3. C E 2. A D.. 5 5 2 25 3 35 4 45 5 55 6 Periodo Nr
Metodo taikymo perspektyvos (teoriiai siūlymai) Skredačio palydovo orietacijos valdymas (attitude cotrol) (Alba P.M. Tsui, Atoia J. Joes, 999); Skęstačių laivų valdymas (Kuihiko Mitsubori, Kazuyuki Aihara, 22); Atomiių jėgų mikroskopo valdymas (Yamasue, 25); Parkisoo ligos gydimui (A. Pikovsky, P. Tass, 25); Ekoomiio chaoso valdymas: Holist, 2 kokuruojačių firmų ivesticijų valdymas; Wielad, 23 cetriio bako valdymas.
Galimi taikymai ekoomikos srityje Kokuruojačių firmų ivesticijų valdymas Holyst, Žebrowska, Urbaowicz, Eur. Phys. J, 53 (2) X firmos pardavimas -siais metais y Y firmos pardavimas -siais metais y + + Feichtegerio modelis: ( α ) ( β ) y + + ep + + ep a c b [ ( y )] [ c( y )] Uždelsto grįžtamojo ryšio valdymo arys + K yy ( y y ) m Pirmi ariai aprašo pardavimo mažėjimą (α, β <), kai ėra ivesticijų, o atrieji ariai aprašo pardavimo prieaugį dėl ivesticijų. X firma ivestuoja daugiau, kai ji turi praašumą prieš Y, o Y ivestuoja mažiau, kai turi praašumą prieš X. Be papildomo valdymo šis modelis aprašo chaotię abiejų firmų pardavimo diamiką.
Valdymo rezultatai Be valdymo (K yy ) abiejų firmų pardavimo diamika yra chaotiė. Valdymą atlieka tik viea firma Y, tačiau pardavimo chaosas paaikiamas abiejose firmose. Valdymas yra abipusiai audigas, es didia abiejų firmų vidutiį pardavimą. Valdymo rezultatai pasiekiami ykstamai mažomis ivesticijomis!!!