Γενικά Για Τη Βελτιστοποίηση Η βελτιστοποίηση µπορεί να χωριστεί σε δύο µεγάλες κατηγορίες: α) την Βελτιστοποίηση Τοπολογίας (Topological Optimization) και β) την Βελτιστοποίηση Σχεδίασης (Design Optimization). Στο µάθηµα θα ασχοληθούµε µε την Βελτιστοποίηση Σχεδίασης Σε αυτή την κατηγορία το Ansys παρέχει δύο µεθόδους βελτιστοποίησης. 1. Τη µέθοδο Subproblem Approximation (προσέγγισης υπό προβλήµατος) που είναι µία βελτιωµένη µέθοδος µηδενικής τάξης (zero-order) που µπορεί ικανοποιητικά να εφαρµοστεί στα πιο πολλά µηχανολογικά προβλήµατα και 2. Τη µέθοδο First Order (Πρώτης Τάξης) που είναι µια µέθοδος που βασίζεται στη σχεδιαστική ακρίβεια του µοντέλου και χρησιµοποιείται σε προβλήµατα που απαιτούν υψηλή ακρίβεια. Και για τις δύο παραπάνω µεθόδους το ANSYS εκτελεί µια σειρά από αναλυτικούς υπολογιστικούς κύκλους τροποποίησης του µοντέλου. Πρώτα, δηµιουργείται ένα αρχικό µοντέλο, παραµετρικά δοσµένο, το οποίο επιλύεται και τα αποτελέσµατα συγκρίνονται µε δεδοµένα κριτήρια ώστε το µοντέλο να τροποποιηθεί ανάλογα. Η διαδικασία αυτή επαναλαµβάνεται έως ότου ικανοποιούνται όλοι οι περιορισµοί, εάν δεν ικανοποιούνται από το πρώτο βήµα, και µειωθεί όσο το δυνατό η συνάρτηση κόστους. 1. Βελτιστοποίηση σχεδίασης στο ANSYS: Μέθοδοι και Εργαλεία Η Βελτιστοποίηση Σχεδίασης είναι µια διαδικασία που επιδιώκει να καθορίσει το Βέλτιστο Σχέδιο. Με τον όρο "Βέλτιστο Σχέδιο" εννοούµε το σχέδιο που καλύπτει όλες τις δεδοµένες απαιτήσεις αλλά µε την ελάχιστη δαπάνη συγκεκριµένων πόρων όπως το βάρος, η επιφάνεια, ο όγκος, η πίεση, το κόστος, κ.λ.π. Με άλλα λόγια, το βέλτιστο σχέδιο είναι, συνήθως, αυτό που είναι κατά το δυνατόν αποτελεσµατικότερο. Ουσιαστικά κάθε πτυχή του σχεδίου µπορεί να βελτιστοποιηθεί: οι διαστάσεις (όπως το πάχος), η µορφή (όπως οι ακτίνες καµπυλότητας), η τοποθέτηση των υποστηρίξεων, το κόστος της επεξεργασίας, η φυσική συχνότητα, οι ιδιότητες υλικών, κ.ά. Πραγµατικά, οποιοδήποτε στοιχείο του ANSYS µπορεί να εκφραστεί µε τη µορφή παραµέτρων µπορεί να υποβληθεί σε Βελτιστοποίηση Σχεδίασης. 1.2 Μέθοδος Subproblem Approximation H µέθοδος αυτή είναι µια βελτιωµένη µέθοδος µηδενικής τάξης (zero order) που χρησιµοποιεί µόνο τις τιµές των εξαρτηµένων µεταβλητών (state variables) και την αντικειµενική συνάρτηση αλλά όχι τις παραγώγους αυτών. Οι εξαρτηµένες µεταβλητές, αρχικά αντικαθιστούνται από προσεγγίσεις του τύπου ελάχιστων τετραγώνων και το περιορισµένο πρόβληµα ελαχιστοποίησης µετατρέπεται σε µη περιορισµένο µε τη χρήση συναρτήσεων ποινής. Η ελαχιστοποίηση εκτελείται σε κάθε επανάληψη στην προσεγγισµένη, ποινικοποιηµένη συνάρτηση που ονοµάζεται «υπό πρόβληµα» (subproblem) έως ότου να επιτευχθεί η σύγκλιση ή ο αριθµός των προκαθορισµένων επαναλήψεων. Στην παρούσα µέθοδο κάθε επανάληψη (iteration) αντιστοιχεί σε ένα πλήρη βρόχο ανάλυσης. Με δεδοµένο ότι η µέθοδος βασίζεται σε προσεγγίσεις της αντικειµενικής συνάρτησης και των εξαρτηµένων µεταβλητών, είναι απαραίτητο ένα συγκεκριµένο πλήθος από δεδοµένα µε τη µορφή των σχεδιαστικών συνόλων. Αυτά τα προκαταρτικά δεδοµένα µπορούν να δηµιουργηθούν απ ευθείας από το χρήστη χρησιµοποιώντας άλλες µεθόδους και εργαλεία βελτιστοποίησης. Αν δεν γίνει αυτό η µέθοδος Subproblem θα δηµιουργήσει αυτόµατα κάποια τυχαία σχεδιαστικά σύνολα για να τα χρησιµοποιήσει στη συνέχεια. - 1 - A Guide to Ansys Optimization
1.3 Μέθοδος First Order Η συγκεκριµένη µέθοδος βελτιστοποίησης κάνει χρήση των πληροφοριών από τις παραγώγους των παραµέτρων. Το περιορισµένο πρόβληµα µετατρέπεται σε µη περιορισµένο µέσω συναρτήσεων ποινής. Η αντικειµενική συνάρτηση και οι συναρτήσεις ποινής παραγωγίζονται οδηγώντας σε µια συγκεκριµένη κατεύθυνση αναζήτησης στο χώρο των πιθανών σχεδίων. Αναζητήσεις µε τη µέθοδο µεγίστων κλίσεων και συζυγών κλίσεων εκτελούνται σε κάθε επανάληψη (iteration) έως ότου το πρόγραµµα οδηγηθεί σε σύγκληση. Κάθε επανάληψη αποτελείται από υπό επαναλήψεις που περιλαµβάνουν υπολογισµούς για τις παραγώγους και τις κατευθύνσεις αναζήτησης. Με άλλα λόγια µια επανάληψη της µεθόδου βελτιστοποίησης first order αποτελείται από πολλούς βρόχους ανάλυσης Συγκρινόµενη µε την µέθοδο subproblem approximation, η µέθοδος αυτή είναι πιο απαιτητική σε υπολογιστική ισχύ και πιο ακριβής. Εκτός από τις δύο διαθέσιµες τεχνικές βελτιστοποίησης, το πρόγραµµα ANSYS προσφέρει ένα σύνολο στρατηγικών εργαλείων που µπορούν να χρησιµοποιηθούν για να ενισχύσουν την αποδοτικότητα της διαδικασίας σχεδίου. Τα εργαλεία βελτιστοποίησης είναι τεχνικές που χρησιµοποιούνται για να µετρηθεί και να κατανοηθεί το πεδίο ορισµού του προβλήµατος (design space). εδοµένου ότι η ελαχιστοποίηση δεν είναι απαραίτητο να είναι ο τελικός στόχος χρήσης τους δεν απαιτείται η αντικειµενική συνάρτηση. Παρόλα αυτά οι µεταβλητές σχεδίασης (design variables) πρέπει να οριστούν. Μια σύντοµη περιγραφή των εργαλείων ακολουθεί: Single Loop Run: Αυτό το εργαλείο πραγµατοποιεί ένα βρόχο και δίνει µια λύση πεπερασµένων στοιχείων κάθε φορά. Επίσης µε αυτό το εργαλείο µπορούν να δοκιµαστούν πιθανά σενάρια ("what if" studies) χρησιµοποιώντας σειρές single loop runs, ορίζοντας διαφορετικές τιµές µεταβλητών σχεδιασµού σε κάθε βρόχο. Random Design Generation: Πολλαπλοί βρόχοι πραγµατοποιούνται, µε τυχαίες τιµές µεταβλητών σχεδίασης σε κάθε βρόχο. Μπορεί να οριστεί ο µέγιστος αριθµός πραγµατοποιούµενων και εφικτών βρόχων (feasible loops). Αυτό το εργαλείο είναι χρήσιµο για τη συνολική συµπεριφορά του σχεδιαστικού χώρου (design space) και για τη δηµιουργία συνόλου εφικτών λύσεων για περαιτέρω βελτιστοποίηση. Sweep Generation: Με το εργαλείο αυτό δηµιουργούνται σύνολα µεταβλητών σχεδιασµού, εκκινώντας από ένα σύνολο σχεδιασµού αναφοράς. Πιο συγκεκριµένα µεταβάλει την τιµή µιας µεταβλητής σχεδιασµού κάθε φορά σε όλο το πεδίο ορισµού της µεταβάλλοντάς την κατά µια σταθερά κάθε φορά. Factorial Evaluation: Αυτό είναι ένα στατιστικό εργαλείο που χρησιµοποιείται για να δηµιουργηθούν ακραίοι συνδυασµοί τιµών µεταβλητών σχεδιασµού. Αυτή η τεχνική σχετίζεται µε την τεχνολογία που είναι γνωστή ως design of experiment που χρησιµοποιεί πλήρη fractional factorial ανάλυση σε δύο επίπεδα. Gradient Evaluation: Σε ένα σύνολο µεταβλητών σχεδιασµού, το εργαλείο αυτό υπολογίζει τις παραγώγους της αντικειµενικής συνάρτησης και των εξαρτηµένων µεταβλητών ως προς τις µεταβλητές σχεδίασης. Using this tool, you can investigate local design sensitivities. User-supplied Design Tool: An external routine (USEROP) can be used to bypass the ANSYS logic. Ένα ιδιαίτερα σηµαντικό στοιχείο του ANSYS είναι ότι µπορεί ο χρήστης να ενσωµατώσει τη µέθοδό του ή ένα συγκεκριµένο εργαλείο χρησιµοποιώντας τη ρουτίνα USEROP - 2 - A Guide to Ansys Optimization
1.4 Παρατηρήσεις Για Τις Μεθόδους Subproblem Approximation Και First Order Η µέθοδος Subproblem Approximation µπορεί ικανοποιητικά να εφαρµοστεί στα πιο πολλά µηχανολογικά προβλήµατα και να οδηγήσει σε ικανοποιητικό αποτέλεσµα ενώ η first order µέθοδος είναι πιο ακριβής και ταυτόχρονα πιο χρονοβόρα και µε µεγαλύτερες απαιτήσεις σε υπολογιστική ισχύ. Παρόλα αυτά η υψηλή ακρίβεια δεν εγγυάται πάντα και το καλύτερο αποτέλεσµα. Τα σηµεία που πρέπει να προσεχθούν είναι : Subproblem Approximation Λόγω της χρήσης προσεγγίσεων για τις εξαρτηµένες µεταβλητές και την αντικειµενική συνάρτηση η ποιότητα του βέλτιστου σχεδίου εξαρτάται άµεσα από την ποιότητά τους. Η µέθοδος subproblem approximation είναι πολύ πιθανό να οδηγήσει σε τοπικό και όχι σε ολικό ελάχιστο και σηµαντικό ρόλο παίζει το αρχικό σηµείο που ξεκινά η βελτιστοποίηση. First Order Η µέθοδος first order υπάρχει περίπτωση να συγκλίνει σε µοντέλο που παραβιάζει τους περιορισµούς. Σε αυτή τη περίπτωση ή έχει βρει τοπικό ελάχιστο ή δεν υπάρχει πραγµατοποιήσιµο σετ. Η µέθοδος first order είναι πιο πιθανό να οδηγήσει σε τοπικό ελάχιστο. Αυτό συµβαίνει γιατί η µέθοδος αυτή ξεκινά από ένα αρχικό σηµείο και οδηγείται στο κοντινότερο του ελάχιστο. Η ανοχή στην αντικειµενική συνάρτηση καθορίζει τη διαφορά δυο τιµών της αντικειµενικής συνάρτησης για να µπορεί να οριστεί ένα νέο σετ. Αν η ανοχή αυτή είναι πολύ µικρή µπορεί να οδηγήσει σε µεγάλο αριθµό επαναλήψεων. Αν ο αριθµός των design variables είναι πολύ µεγάλος αυξάνει ο κίνδυνος να οδηγηθεί το πρόβληµα σε τοπικό και όχι σε ολικό ελάχιστο. Ένας τρόπος να µειωθεί ο συνολικός αριθµός των DVs είναι να εκφραστούν µερικές συναρτήσει άλλων. Βελτιστοποίηση Τοπολογίας Η Βελτιστοποίηση Τοπολογίας είναι ένα είδος βελτιστοποίησης "µορφής" που µερικές φορές καλείται και «βελτιστοποίηση γεωµετρίας». Ο σκοπός της Βελτιστοποίησης Τοπολογίας είναι να βρεθεί η καλύτερη χρήση του υλικού για ένα σώµα έτσι ώστε ένα αντικειµενικό κριτήριο (όπως η συνολική ακαµψία ή η φυσική συχνότητα) να παίρνει µια µέγιστη ή ελάχιστη τιµή υποκείµενη σε δεδοµένους περιορισµούς (όπως η µείωση όγκου). Αντίθετα από την παραδοσιακή βελτιστοποίηση, η Βελτιστοποίηση Τοπολογίας δεν απαιτεί ρητά να καθορίσουµε τις παραµέτρους βελτιστοποίησης (δηλαδή ανεξάρτητες µεταβλητές που βελτιστοποιούνται). Στην Βελτιστοποίηση Τοπολογίας ως παράµετρος βελτιστοποίησης χρησιµεύει η συνάρτηση κατανοµής του υλικού σε ένα σώµα. Αφού καθοριστεί το δοµικό πρόβληµα (ιδιότητες υλικών, πλέγµα πεπερασµένων στοιχείων, φορτία, κλπ.) και η αντικειµενική συνάρτηση (η συνάρτηση που ελαχιστοποιείται / µεγιστοποιείται), στη συνέχεια επιλέγονται οι εξαρτηµένες µεταβλητές (οι περιορισµένες εξαρτώµενες µεταβλητές) από ένα σύνολο προκαθορισµένων κριτηρίων. Ο στόχος της Βελτιστοποίησης Τοπολογίας η αντικειµενική συνάρτηση είναι να ελαχιστοποιήσει ή να µεγιστοποιήσει τα κριτήρια που επιλέγονται (ελαχιστοποιεί την ενέργεια της δοµικής ελαστικότητας, µεγιστοποιεί τη θεµελιώδη φυσική συχνότητα, - 3 - A Guide to Ansys Optimization
κλπ.) ικανοποιώντας τους περιορισµούς (µείωση όγκου, κλπ.). Αυτή η τεχνική χρησιµοποιεί τις µεταβλητές σχεδίου που είναι εσωτερικές ψευδο-πυκνότητες που αποδίδονται σε κάθε πεπερασµένο στοιχείο. Η τυποποιηµένη διατύπωση της Βελτιστοποίησης Τοπολογίας καθορίζει το πρόβληµα ως ελαχιστοποίηση της δοµικής ελαστικότητας ενώ ικανοποιείται ένας περιορισµός για τον όγκο της κατασκευής. Η ελαχιστοποίηση της δοµικής ελαστικότητας είναι ισοδύναµη µε τη µεγιστοποίηση της συνολικής δοµικής ακαµψίας. Παραδείγµατος χάριν, V = 60 σηµαίνει ότι 60 τοις εκατό του υλικού πρόκειται να αφαιρεθεί µε έναν τρόπο που να µεγιστοποιεί την ακαµψία, µε τη δεδοµένη διαµόρφωση φορτίων. 2 ιάγραµµα Ροής Βελτιστοποίησης Με Το Ansys Όπως φαίνεται στο διάγραµµα ροής το αρχείο ανάλυσης (analysis file) είναι το αρχείο εισόδου που περιέχει µια πλήρη ανάλυση, δηλαδή τον προεπεξεργαστή, την επίλυση και τον µεταεπεξεργαστή. Το µοντέλο πρέπει να είναι παραµετρικά δοσµένο, χρησιµοποιώντας παραµέτρους που θα εκφράζουν τα δεδοµένα εισόδου και εξόδου που θα χρησιµοποιηθούν ως µεταβλητές σχεδίου, εξαρτηµένες µεταβλητές (design, state variables) και αντικειµενική συνάρτηση (objective function). Από αυτό το αρχείο δηµιουργείται αυτόµατα το αρχείο βρόχων (loop file) που θα χρησιµοποιηθεί από τον βελτιστοποιητή Σχήµα 1 ιάγραµµα Ροής (optimizer) για να πραγµατοποιηθεί η επαναληπτική διαδικασία. Ένας βρόχος (loop) είναι ουσιαστικά ένα πέρασµα µέσα από το αρχείο ανάλυσης (analysis file). Τα δεδοµένα εξόδου για κάθε σετ αποθηκεύονται και υπολογίζεται το βέλτιστο από τα υπάρχοντα σετ. Τα δεδοµένα εξόδου από την τελευταία επανάληψη αποθηκεύονται στο αρχείο *.OPO. Μια επανάληψη (iteration) είναι ένας ή περισσότεροι βρόχοι (loop) που θα οδηγήσουν σε ένα νέο µοντέλο. Το αρχείο *.OPT (optimization database) περιέχει όλα τα δεδοµένα από το περιβάλλον της βελτιστοποίησης δηλαδή τους ορισµούς των παραµέτρων, τις παραµέτρους και τα συσσωρευµένα µοντέλα που προέκυψαν από κάθε σετ. - 4 - A Guide to Ansys Optimization
ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Ι Ορολογία Βελτιστοποίησης Μεταβλητές Σχεδίου (Design Variables (DVs)): Ανεξάρτητες ποσότητες, που µεταβάλλονται για να επιτύχουν το Βέλτιστο Σχέδιο. Ορίζονται ανώτερα και κατώτερα όρια που χρησιµεύσουν ως «περιορισµοί» (constraints) στις µεταβλητές σχεδίου. Αυτά τα όρια καθορίζουν το εύρος της τιµής για την κάθε DV. Στο ANSYS µπορούν να καθοριστούν µέχρι 60 DVs. Εξαρτώµενες Μεταβλητές (State Variables(SVs)): Ποσότητες που περιορίζουν το σχέδιο. Είναι χαρακτηριστικά ποσότητες απόκρισης που είναι συνάρτηση των µεταβλητών σχεδίου. Μια εξαρτώµενη µεταβλητή µπορεί να έχει µέγιστο και ελάχιστο όριο, ή µόνο ένα όριο (single sided). Στο ANSYS µπορούν να καθοριστούν µέχρι 100 SVs. Αντικειµενική Συνάρτηση (Objective Function): Είναι η συνάρτηση που πρέπει να ελαχιστοποιηθεί. Πρέπει να είναι µια συνάρτηση των DVs (αλλαγή των τιµών των DVs οδηγεί σε αλλαγή στην τιµή της αντικειµενικής συνάρτησης). Στο ANSYS µπορεί να καθοριστούν µόνο µια αντικειµενική συνάρτηση. Μεταβλητές Βελτιστοποίησης (Optimization Variables): Συνολικά, οι DVs, οι SVs και η αντικειµενική συνάρτηση. Σε µια βελτιστοποίηση στο ANSYS, αυτές οι µεταβλητές αντιπροσωπεύονται από τις µεταβλητές που επιλέγονται από το χρήστη και αποκαλούνται παράµετροι. Σε κάθε µοντέλο πρέπει να προσδιοριστεί ποιες παράµετροι είναι DVs, ποιες είναι SVs, και ποια είναι η αντικειµενική συνάρτηση. Σύνολο Σχεδίου Ή Σχέδιο (Design Set Or Design): Ένα µοναδικό σύνολο τιµών παραµέτρων που αντιπροσωπεύουν µια δεδοµένη διαµόρφωση µοντέλου. Ένα σύνολο σχεδίου χαρακτηρίζεται από τις τιµές των µεταβλητών βελτιστοποίησης εντούτοις, όλες οι παράµετροι του µοντέλου (συµπεριλαµβανοµένων εκείνων που δεν προσδιορίζονται ως µεταβλητές βελτιστοποίησης) συµπεριλαµβάνονται στο σύνολο. Εφικτό Σχέδιο (Feasible Design): Ένα σχέδιο που ικανοποιεί όλους τους προκαθορισµένους περιορισµούς (των SVs και DVs). Εάν οποιοσδήποτε από τους περιορισµούς δεν ικανοποιείται, το σχέδιο θεωρείται µη εφικτό. Το καλύτερο σχέδιο είναι αυτό που ικανοποιεί όλους τους περιορισµούς και έχει την ελάχιστη τιµή αντικειµενικής συνάρτησης. (Εάν όλα τα σύνολα σχεδίου είναι µη εφικτά, το καλύτερο σύνολο σχεδίου είναι αυτό που είναι πιο κοντά στο εφικτό σχέδιο, ανεξάρτητα από την τιµή της αντικειµενικής συνάρτησής του.) Αρχείο Ανάλυσης (Analysis File): Το αρχείο εισαγωγής στο ANSYS που περιέχει µια πλήρη ακολουθία ανάλυσης (προεπεξεργασία, λύση και µεταεπεξεργασία). Το αρχείο πρέπει να περιέχει ένα παραµετρικά καθορισµένο µοντέλο, χρησιµοποιώντας τις παραµέτρους για να αντιπροσωπεύσει όλα τα δεδοµένα και τα αποτελέσµατα που χρησιµοποιούνται ως DVs, SVs και αντικειµενική συνάρτηση. Αρχείο Βρόχων (Loop File): Ένα αρχείο βελτιστοποίησης (Jobname.LOOP), δηµιουργείται αυτόµατα µέσω του Αρχείου Ανάλυσης. Ο βελτιστοποιητής χρησιµοποιεί το αρχείο βρόχων για να εκτελέσει τους βρόχους ανάλυσης. Βρόχος (Loop): Ένα ενιαίο πέρασµα µέσω του αρχείου ανάλυσης. Τα αποτελέσµατα για τον τελευταίο βρόχο αποθηκεύονται στο αρχείο Jobname.OPO. - 5 - A Guide to Ansys Optimization
Επανάληψη Βελτιστοποίησης (Optimization Iteration): Ένας ή περισσότεροι βρόχοι ανάλυσης που οδηγούν σε ένα νέο σύνολο σχεδίου. Χαρακτηριστικά, µια επανάληψη αντιστοιχεί σε έναν βρόχο εντούτοις, για την µέθοδο first order, µια επανάληψη αντιπροσωπεύει περισσότερους από έναν βρόχους. Βάση εδοµένων Βελτιστοποίησης (Optimization Database): Περιέχει το τρέχον περιβάλλον βελτιστοποίησης, το οποίο περιλαµβάνει ορισµούς των µεταβλητών σχεδίου, τις παραµέτρους, όλες τις προδιαγραφές βελτιστοποίησης, και τα όλα τα σύνολα σχεδίου. Αυτή η βάση δεδοµένων µπορεί να αποθηκευθεί (Jobname.OPT) ή να επαναληφθεί οποιαδήποτε στιγµή στο βελτιστοποιητή. - 6 - A Guide to Ansys Optimization