ΧΡΟΝΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ. Για την επίλυση χρονομεταβαλλόμενων προβλημάτων η διακριτοποίηση στο χώρο γίνεται με πεπερασμένα στοιχεία και είναι της μορφής:

Transcript

1 ΧΡΟΝΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ Για την επίλυση χρονομεταβαλλόμενων προβλημάτων η διακριτοποίηση στο χώρο γίνεται με πεπερασμένα στοιχεία και είναι της μορφής: (,)(,)()() h 1 u x t u x t u t x (1) e Η διαφορά με τα tatic προβλήματα είναι ότι οι συντελεστές u στους κόμβους του πλέγματος μεταβάλλονται με τον χρόνο. Δηλαδή η εξίσωση (1) αναπαριστά την χωρική προσέγγιση της μεταβλητής u για δεδομένη χρονική στιγμή t. Η χρήση της εξίσωσης (1) δικαιολογείται απόλυτα όταν η λύση μπορεί να χωριστεί σε γινόμενο συναρτήσεων στο χώρο και το χρόνο: u( x,)()() t T t X x Ακόμη όμως και σε περιπτώσεις που αυτό δεν συμβαίνει, η εξίσωση (1) μπορεί να αποτελέσει μια καλή προσέγγιση της u εφόσον χρησιμοποιείται μικρό χρονικό βήμα. Χρονική προσέγγιση: Το σύστημα των διαφορικών εξισώσεων προσεγγίζεται στον χρόνο χρησιμοποιώντας πεπερασμένες διαφορές για τις χρονικές παραγώγους. Με τον τρόπο αυτό το σύστημα των διαφορικών εξισώσεων μετατρέπεται σε σύστημα αλγεβρικών εξισώσεων.

2 Όλες οι χρονικές προσεγγίσεις αναζητούν τη λύση για τα στην χρονική στιγμή χρησιμοποιώντας τις τιμές των στις προηγούμενες χρονικές στιγμέςt,... u Επομένως, τελικά η άγνωστη μεταβλητή προσεγγίζεται με μια σχέση της μορφής: u t 1 t 1 (,)(,)()(), h 0,1,... 1 u x t u x t u t x (2) Έστω η Μ.Δ.Ε. : u u c 1 a f ( x,) t t x x (3) Εφαρμόζοντας την Galerki μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων προκύπτει η ασθενής μορφή της Μ.Δ.Ε : d e e x b xb x e e d b i ()() x cii dx a dx u i fdx i xb QB i xa QA a xa xa 1 dt 1 dx dx (4) QA a, QB a dx xx a dx xx b

3 Η εξίσωση (4) είναι της μορφής: M u K u F (5) όπου : u 0 u( x, t 0) η αρχική συνθήκη e e xb xb x e e d d b i M c1 dx, K a dx,()() F fdx x Q x Q x a xa dx dx xa i i i i i i b B i a A Με την διαδικασία αυτή ολοκληρώνεται η χωρική ολοκλήρωση και απομένει η χρονική. Η πιο συνηθισμένη μέθοδος για την διακριτοποίηση στο χρόνο είναι μέσω ενός συντελεστή θ ο οποίος εισάγει έναν σταθμισμένο μέσο όρο της χρονικής παραγώγου σε δυο διαδοχικές χρονικές στιγμές. Δηλαδή: dt dt u u 1 t u (1) 0 1 u 1 u u t (1) u u 1 1 (6) 0, Ρητό σχήμα Ο(Δt) 1/ 2, Crak-Nicolo Ο(Δt 2 ) 1, Πλήρως άρρητό σχήμα Ο(Δt)

4 Η εξίσωση (5) ισχύει για κάθε χρονική στιγμή: M u K u F M u F K u M u K u F M u F K u (7) (8) Από την (6) προκύπτει: x[ M ] (6) t[ M ](1)[ u ] t [ ] M u M u u 1 (7) 1 (8) t F K u t(1) F K u [ ] M u u [ M ] t K u [ M ](1)(1) t K u t F t F 1 1 (9) γνωστή λύση από επίλυση στην προηγούμενη χρονική στιγμή 0 : [ M ] u [ M ]) t K u t F 1 ΡΗΤΟ ΣΧΗΜΑ M t K u M u tf 1: [ ] [ ] 1 1 ΠΛΗΡΩΣ ΑΡΡΗΤΟ ΣΧΗΜΑ

5 ΑΚΡΙΒΕΙΑ ΚΑΙ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ Η σχέση: u 1 t u u (1) u 1 αποτελεί προσέγγιση της χρονικής παραγώγου και κατά συνέπεια σε κάθε χρονικό βήμα εισάγει κάποιο σφάλμα στον υπολογισμό της λύσης u 1. Όταν επιλύεται ένα χρονομεταβαλλόμενο πρόβλημα η λύση την χρονική στιγμή t 1 εξαρτάται από τη λύση στην προηγούμενη χρονική στιγμή t. Επομένως, όταν εισάγεται ένα σφάλμα μπορεί αυτό να αθροίζεται συνεχώς και να μεγαλώνει με τον χρόνο. Όταν το σφάλμα αυξάνει συνεχώς χωρίς όριο Όταν το σφάλμα είναι περιορισμένο ΑΣΤΑΘΕΣ ΣΧΗΜΑ ΕΥΣΤΑΘΕΣ ΣΧΗΜΑ Όταν το σφάλμα 0 καθώς Δt 0 ΣΥΝΕΠΕΣ ΣΧΗΜΑ

6 Η ακρίβεια του αριθμητικού σχήματος δείχνει πόσο κοντά είναι η υπολογιστική (προσεγγιστική) λύση με την ακριβή λύση, ενώ η ευστάθεια δείχνει το κατά πόσο η υπολογιστική λύση είναι περιορισμένη με το πέρασμα του χρόνου. Η ακρίβεια του σχήματος είναι ουσιαστικά ο ρυθμός (ταχύτητα) σύγκλισης της υπολογιστικής λύσης, δηλαδή δίνει πληροφορία για το πόσο γρήγορα η υπολογιστική λύση συγκλίνει στην πραγματική. Το χρονικό βήμα είναι προφανές ότι επηρεάζει και την ακρίβεια αλλά και την ευστάθεια ενός συγκεκριμένου σχήματος. Υπάρχουν περιπτώσεις που ένα σχήμα είναι ευσταθές υπό όρους, δηλαδή μόνο όταν ικανοποιούνται ορισμένα κριτήρια για το χρονικό βήμα. Όταν λύνουμε προσεγγιστικά μια εξίσωση αναμένουμε ότι καθώς πυκνώνουμε χρονικά και χωρικά η υπολογιστική λύση να συγκλίνει στην πραγματική.

7 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΧΡΟΝΟΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΟΥ 1D ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΜΕ FEM ΟΝΟΜΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ implicit oe Δήλωση μεταβλητών και παραμέτρων Δήλωση δυναμικών πινάκων Άνοιγμα αρχείου δεδομένων Δημιουργία αρχείων για αποτελέσματα Υπολογισμός κόμβων και αριθμού εξισώσεων Ορισμός δυναμικών πινάκων Κατασκευή πίνακα συνεκτικότητας Κατασκευή πλέγματος Ορισμός αρχικής συνθήκης Για κάθε χρονικό βήμα: Κάλεσμα υπορουτίνας 1 για δημιουργία συνολικού πίνακα A με FEM Κάλεσμα υπορουτίνας 2 για δημιουργία δεξιού πίνακα στήλης B με FEM Κάλεσμα υπορουτίνας 3 για επιβολή οριακών συνθηκώ Κάλεσμα υπορουτίνας 4 για επίλυση συνολικού συστήματος ΑΧ=Β Εξαγωγή αποτελεσμάτων σε πίνακες και αρχεία Pot-proceig της λύσης (αν χρειάζεται) Εξαγωγή αποτελεσμάτων σε αρχεία Τέλος για χρονικό βήμα Format Cotai Εσωτερικές Υπορουτίνες ΤΕΛΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ