Παρουσίαση της έκδοσης 6 για Windows 98 (η οποία λειτουργεί και σε άλλες νεότερες εκδόσεις των Windows, όπως τα Windows ME, ΧΡ κ.λ.π.).

Η LINDO (Linear Interactive and Discrete Optimizer) ανήκει στην κατηγορία λογισµικού που χρησιµοποιείται για την επίλυση προβληµάτων Γραµµικού Προγραµµατισµού. Το λογισµικό αυτό είναι από τα δηµοφιλέστερα του είδους, διακρίνεται δε για την ευκολία στον χειρισµό του. Η µόνη απαίτηση από τον χρήστη είναι η εισαγωγή του προτύπου, ενώ η πληθώρα των λειτουργιών του είναι ως επί το πλείστον αυτοµατοποιηµένη. Η LINDO κυκλοφορεί σε διάφορες εκδόσεις, ανάλογα µε τον αριθµό των µεταβλητών και των περιορισµών που µπορεί να χειριστεί, αλλά και το περιβάλλον εργασίας (MS-DOS, Windows κ.λ.π.) στο οποίο λειτουργεί. Έκδοση της LINDO κυκλοφορεί και δωρεάν. Eπίσης, υπάρχει έκδοση της LINDO ως επέκταση του Microsoft Excel (το λογισµικό What s Βest ). Η LINDO µπορεί να επιλύσει εκτός από προβλήµατα Γραµµικού Προγραµµατισµού, προβλήµατα Ακέραιου (integer), όπως και Τετραγωνικού (quadratic) Προγραµµατισµού µε τους κατάλληλους αλγόριθµους. Για περισσότερες πληροφορίες ο χρήστης µπορεί να ανατρέξει στην επίσηµη διεύθυνση της LINDO στο διαδίκτυο, www.lindo.com. Σκοπός κεφαλαίου Παρουσίαση της έκδοσης 6 για Windows 98 (η οποία λειτουργεί και σε άλλες νεότερες εκδόσεις των Windows, όπως τα Windows ME, ΧΡ κ.λ.π.). Σηµείωση: Το πρόγραµµα LINDO αποκαλείται σε αυτό το κείµενο «Η LINDO» λόγω ακουστικής του ονόµατος αυτού. 1. Κλήση του Προγράµµατος Γενική Περιγραφή Η νεότερη έκδοση της LINDO για Windows µπορεί να κληθεί από το µενού «Έναρξη» (Start) των Windows ή από τη Συντόµευση (Shortcut) στην επιφάνεια εργασίας (Desktop). Με την κλήση του προγράµµατος εµφανίζεται η αρχική οθόνη αυτού µε το πλαίσιο διαλόγου όπου περιέχονται πληροφορίες για τη LINDO (Εικόνα Λ.1): 234

Εικόνα Λ.1: Aρχικό παράθυρο διαλόγου της LINDO. Σε αυτό το πλαίσιο διαλόγου εµφανίζονται πληροφορίες, όπως η έκδοση του προγράµµατος, πληροφορίες για την εταιρεία που το έχει κατασκευάσει, οι µέγιστες δυνατότητες της παρούσας έκδοσης (αριθµός περιορισµών, µεταβλητών, ακέραιων µεταβλητών κ.λ.π.), η άδεια χρήσης κ.λ.π. Πιέζοντας µε το ποντίκι το εικονίδιο «ΟΚ» το πρόγραµµα ξεκινά. 1.1. Εισαγωγή του Προτύπου Ας θεωρήσουµε το παρακάτω πρότυπο το οποίο χρησιµοποιήθηκε για επίλυση µε τον Solver του Microsoft Excel («Παράδειγµα Κεραµοσκεπών»): Μεγιστοποίηση: x1 + x2 +x3 Υπό τους περιορισµούς: 47x 1 + 48x 2 + 53x 3 < 100.000 x +x <1.500 x1 + 2 3 x 1+ x2 47 48 300 < x < 800 300 < x < 600 300 < x < 700 1 2 3 >30.000 235

Αφού κλείσει η αρχική οθόνη του προγράµµατος, εµφανίζεται η κεντρική οθόνη αυτού. Αυτή περιλαµβάνει την µπάρα του κεντρικού µενού, αντίστοιχα εικονίδια και το παράθυρο εισαγωγής του προτύπου (παράθυρο εργασίας), όπως φαίνεται στην Εικόνα Λ.2: Εικόνα Λ.2: Κεντρική οθόνη της LINDO. Στην κεντρική αυτή οθόνη εισάγεται το πρότυπο και πραγµατοποιείται ο χειρισµός του προγράµµατος. Η γενική µορφή εισαγωγής του προτύπου είναι η παρακάτω: Max (ή Μin} {εξίσωση προς βελτιστοποίηση} s.t. ή subject to {περιορισµός 1} {περιορισµός 2}...... END {προαιρετικές εντολές} 236

Στην Εικόνα Λ.3 φαίνεται η µορφή του παραδείγµατος στο περιβάλλον της LINDO: Εικόνα Λ.3: Παράθυρο εργασίας της LINDO όπου φαίνεται το πρότυπο του παραδείγµατος Κεραµοσκεπών. Για την εισαγωγή ενός προβλήµατος της LINDO, πρέπει να ακολουθούνται οι ακόλουθοι κανόνες: Κάθε πρότυπο που εισάγεται ξεκινά µε την έκφραση Μax ή Μin π.χ. Μax x1+ x2+ x3 (το αν είναι κεφαλαία ή όχι δεν έχει σηµασία). Οι µεταβλητές που χρησιµοποιούνται (π.χ. x1, x2 κ.λ.π.), µπορούν να αποτελούνται το πολύ από οκτώ (8) χαρακτήρες, ο δε πρώτος χαρακτήρας πρέπει να είναι γράµµα. Ένας περιορισµός στο πρότυπο µπορεί να λάβει κάποια ονοµασία, αρκεί αυτή να προηγείται του περιορισµού και να τελειώνει µε µια παρένθεση «)», π.χ. για έναν περιορισµό που λέγεται X1Bound, η σύνταξη θα ήταν: X1Ubound) x 1< 800. Ένα παράδειγµα φαίνεται στην παρακάτω Εικόνα Λ.4. 237

Εικόνα Λ.4: Χρήση ονοµασιών σε µεταβλητές της LINDO (Παράδειγµα Κεραµοσκεπών). Η LINDO δέχεται µόνο τα σύµβολα πρόσθεσης «+», αφαίρεσης «-», ισότητας «=» και ανισότητας «<», «>». Τα σύµβολα ανισότητας «<», «>» περιλαµβάνουν και την περίπτωση της ισότητας (δηλαδή αντιπροσωπεύουν τα και ). Παρόλα αυτά ο χρήστης, εφόσον επιθυµεί κάτι τέτοιο, µπορεί να χρησιµοποιήσει συµβολισµούς όπως «<=» ή «>=». Σε µια αριθµητική παράσταση (περιορισµό, εξίσωση), η παρένθεση δεν λαµβάνεται υπ όψιν. Όλες οι πράξεις πραγµατοποιούνται από αριστερά προς τα δεξιά. Αν ο χρήστης επιθυµεί να προσθέσει σχόλια στο πρότυπο, µπορεί να τα εισάγει, αφού πρώτα εισάγει ένα θαυµαστικό («!») στην αρχή αυτών, όπως στην εικόνα Λ.5. Εικόνα Λ.5: Προσθήκη περιορισµών στο πρότυπο του Παραδείγµατος Κεραµοσκεπών. Γραµµή του προτύπου µπορεί να διασπαστεί εκτός από την περίπτωση συντελεστή και µεταβλητής που ακολουθεί, π.χ.: 238

Επιτρεπτό: Εικόνα Λ.6: Επιτρεπτή διάσπαση. Μη Επιτρεπτό: Εικόνα Λ7: Μη επιτρεπτή διάσπαση. Η LINDO δεν διαχωρίζει κεφαλαία από µικρά γράµµατα, πχ το χ1 είναι το ίδιο µε το Χ1 ως µεταβλητή. Στο δεξιό µέρος κάθε περιορισµού, επιτρέπεται να υπάρχουν µόνο αριθµητικές τιµές, π.χ.: Επιτρεπτό: 10x1+20x2<100 Μη επιτρεπτό: 10x1<100-20x2 Στο αριστερό µέρος ενός περιορισµού επιτρέπονται µόνο οι µεταβλητές και οι συντελεστές τους, π.χ.: Επιτρεπτό: 10x1+20x2<100 Μη επιτρεπτό: 10x1+20x2-100<0 239

Επιπλέον των περιορισµών µπορούν να προστεθούν µετά τη δήλωση END που τοποθετείται στο τέλος προαιρετικές εντολές που αφορούν το πρότυπο και τις µεταβλητές του. Οι εντολές αυτές είναι: Free => Καθορίζει το αν κάποια µεταβλητή δεν έχει κανένα όριο (urs) οπότε µπορεί να λάβει οποιαδήποτε πραγµατική τιµή, θετική ή αρνητική. GIN => Καθορίζει το αν κάποια µεταβλητή µπορεί να πάρει µόνο ακέραιες θετικές τιµές. ΙΝΤ => Καθορίζει το αν κάποια µεταβλητή µπορεί να πάρει µόνο τις τιµές 0 ή 1 (binary values). SLB, SUB => Καθορίζουν ένα απλό κάτω ή άνω όριο για µια µεταβλητή. QCP => Χρησιµοποιείται σε πρότυπα τετραγωνικού προγραµµατισµού για τον καθορισµό της αρχής των «πραγµατικών» µεταβλητών. TITLE => Καθορίζει τον τίτλο του προτύπου. Στην Εικόνα Λ.8 που ακολουθεί, φαίνεται η χρήση των SLB, SUB στο παράδειγµα των «κεραµοσκεπών», ώστε να καθοριστούν τα όρια των µεταβλητών: Εικόνα Λ.8: Χρήση των εντολών SUB,SLB στο πρότυπο του παραδείγµατος. 240

1.2. Λειτουργίες του Προγράµµατος Όλες οι λειτουργίες του προγράµµατος καλούνται είτε από το κύριο µενού είτε από το αντίστοιχο εικονίδιο αν είναι ενεργοποιηµένο. Η µπάρα του κύριου µενού και τα εικονίδια φαίνονται στην παρακάτω Εικόνα Λ.9: Εικόνα Λ9: Μπάρα κεντρικού µενού και εικονιδίων LINDO. Οι λειτουργίες αυτές αναλύονται στη συνέχεια. Όταν µια λειτουργία ενεργοποιείται και µε τη βοήθεια εικονίδιου ή / και πλήκτρου, αυτό επίσης αναφέρεται. 241

(α) Μενού File To µενού File περιέχει τις λειτουργίες που αφορούν το χειρισµό αρχείων της LINDO. Αναλυτικότερα: Εικόνα Λ.10: Μενού File. New (εικονίδιο, πλήκτρο F2): ηµιουργεί νέο, κενό παράθυρο εργασίας για την εισαγωγή προτύπου γραµµικού προγραµµατισµού. Open (εικονίδιο, πλήκτρο F3): Ανοίγει υπάρχον αρχείο της LINDO, το οποίο περιέχει πρότυπο γραµµικού προγραµµατισµού. Η εντολή ενεργοποιεί παράθυρο διαλόγου από το οποίο µπορεί να επιλεγεί το αρχείο, το οποίο µπορεί να έχει προέκταση (extension).ltx (αρχείο κειµένου LINDO),.lpk (αρχείο κειµένου LINDO συµπιεσµένο ώστε να καταλαµβάνει λιγότερο χώρο περίπτωση µεγάλων προτύπων) και.mps (συνήθης τύπος αρχείων προτύπων γραµµικού προγραµµατισµού που χρησιµοποιούν άλλα προγράµµατα). Όταν επιλεγεί το αρχείο, φορτώνεται στο παράθυρο εργασίας της LINDO για επεξεργασία και επίλυση. Αρχεία µε παραπάνω από 64.000 χαρακτήρες δεν µπορούν να επεξεργαστούν µέσα από το παράθυρο εργασίας της LINDO. Παρόλα αυτά, επειδή πρόκειται για αρχεία ASCII, άλλα προγράµµατα των Windows όπως το Wordpad µπορούν να χρησιµοποιηθούν για την επεξεργασία τέτοιων µεγάλων αρχείων. 242

View (εικονίδιο, πλήκτρο F4): Στην περίπτωση µεγάλων προτύπων, η LINDO δίνει τη δυνατότητα προεπισκόπησης του προτύπου χωρίς να υπάρχει η δυνατότητα διόρθωσης αυτού µέσα από το περιβάλλον της. Για τον λόγο αυτόν χρησιµοποιείται η εντολή View. Το πρότυπο µπορεί παρόλα αυτά να επιλυθεί από τη LINDO. Save/Save as (εικονίδιο, πλήκτρο F5/F6): Χρησιµοποιείται για την αποθήκευση ενός προτύπου που έχει εισαχθεί στο περιβάλλον εργασίας της LINDO. Η εντολή Save χρησιµοποιείται για την αποθήκευση προτύπου µε προϋπάρχον όνοµα (το οποίο αν δεν υπάρχει, ζητείται η εισαγωγή του), ενώ η εντολή Save as χρησιµοποιείται για την αποθήκευση προτύπου µε νέο όνοµα. Όταν ζητείται νέο όνοµα, εµφανίζεται παράθυρο διαλόγου (Εικόνα Λ.11). Ο χρήστης έχει τη δυνατότητα αποθήκευσης του προτύπου σε συγκεκριµένο υποκατάλογο και µε τύπο αρχείου.ltx,,lpk ή.mps ανάλογα µε τις ανάγκες του. Εικόνα Λ.11: Παράθυρο διαλόγου Save As Close (πλήκτρο F7): Κλείνει το ενεργό παράθυρο εργασίας. Print (εικονίδιο, πλήκτρο F8): Εκτυπώνει το ενεργό παράθυρο εργασίας ή αναφοράς. Printer Setup (πλήκτρο F9): Εµφανίζει το παράθυρο αλλαγής παραµέτρων του εκτυπωτή (π.χ. τύπος σελίδας, ποιότητα εκτύπωσης κ.λ.π.) (Εικόνα Λ.12). 243

Εικόνα Λ.12: Παράθυρο διαλόγου αλλαγής παραµέτρων εκτυπωτή. Log Output (πλήκτρο F10): ηµιουργεί αρχείο στο οποίο καταγράφονται όλα τα αποτελέσµατα επίλυσης του τρέχοντος προτύπου γραµµικού προγραµµατισµού. Με την κλήση της εντολής εµφανίζεται παράθυρο διαλόγου (Εικόνα Λ.13) στο οποίο εισάγεται από τον χρήστη το όνοµα του αρχείο. Επίσης δίνεται η δυνατότητα ενεργοποίησης της επιλογής Echo to screen ώστε να µην εµφανίζονται αποτελέσµατα στην οθόνη ή της επιλογής Append output ώστε στο ίδιο αρχείο να αποθηκεύονται διαφορετικά διαδοχικά αποτελέσµατα µετά από αλλαγές του προτύπου (σε αντίθετη περίπτωση όλα τα προηγούµενα αποτελέσµατα που είχαν καταγραφεί στο αρχείο θα σβηστούν και θα παραµείνουν µόνο τα τελευταία αποτελέσµατα). 244

Εικόνα Λ.13: Παράθυρο διαλόγου για την εισαγωγή αρχείου καταγραφής. Take commands (πλήκτρο F11): Χρησιµοποιείται για την εισαγωγή εντολών ή οµάδων εντολών και προτύπων που έχουν δηµιουργηθεί µε την χρήση συµβολικής γλώσσας προγραµµατισµού του προγράµµατος LINGO (εξέλιξη της LINDO µε δυνατότητες επίλυσης άλλων προτύπων, π.χ. προτύπων µη γραµµικού προγραµµατισµού κ.λ.π.). Basis Save (πλήκτρο Shift+F2): Αποθηκεύει τη βέλτιση λύση του ενεργού προτύπου σε αρχείο µε επέκταση.pun (αρχεία που συνεργάζονται µε άλλα προγράµµατα που χειρίζονται πρότυπα γραµµικού προγραµµατισµού αυτά τα προγράµµατα συνήθως χρησιµοποιούν αρχεία µε επέκταση.mps), µε επέκταση.fbs (αρχεία LINDO) και επέκταση.sdb (αρχεία παλαιότερων εκδόσεων της LINDO, µικρότερης σηµασίας). Ο τρόπος και οι κανόνες σύνταξης τέτοιων αρχείων ξεφεύγουν από τους σκοπούς του κειµένου αυτού. Basis Read (πλήκτρο F12): ιαβάζει αρχεία που έχουν αποθηκευτεί µε την προηγούµενη εντολή όπως και το αντίστοιχο αρχείο του προτύπου το οποίο αφορά η βέλτιστη λύση. Title (πλήκτρο Shift+F3): Εµφανίζει σε νέο παράθυρο (παράθυρο αναφοράς) τον τίτλο του προτύπου που έχει εισαχθεί από τον χρήστη. Date (πλήκτρο Shift+F4): Εµφανίζει σε νέο παράθυρο (παράθυρο αναφοράς) την τρέχουσα ηµεροµηνία. Ellapsed time (πλήκτρο Shift+F5): Εµφανίζει σε νέο παράθυρο (παράθυρο αναφοράς) τον χρόνο που απαιτήθηκε για την εύρεση βέλτιστης λύσης του τρέχοντος προτύπου. Licence: Αφορά την άδεια χρήσης του προγράµµατος. Exit (πλήκτρο Shift+F6): Τερµατίζει την εκτέλεση της LINDO. Αν το ενεργό πρότυπο δεν έχει αποθηκευτεί µετά από αλλαγές σε αυτό, 245

ζητείται από τον χρήστη να επιλέξει αν θα αποθηκευτεί ή όχι, µε τη βοήθεια παραθύρου διαλόγου. Αν ο χρήστης επιθυµεί να αποθηκεύσει τις εντολές, ακολουθείται η διαδικασία των εντολών Save/Save as και στη συνέχεια το πρόγραµµα τερµατίζεται. Σε άλλη περίπτωση το πρόγραµµα τερµατίζεται αµέσως. (β) Μενού Edit Το µενού αυτό αφορά λειτουργίες τροποποίησης και µεταφοράς στοιχείων στα παράθυρα εργασίας και αναφορών της LINDO (Εικόνα Λ.14). Αναλυτικότερα: Εικόνα Λ.14: Μενού Edit. Undo (πλήκτρο Ctrl+Z): Αναιρεί την τελευταία ενέργεια του χρήστη. Cut (εικονίδιο πλήκτρο Ctrl+X): Αποκόπτει επιλεγµένο κείµενο από παράθυρο εργασίας ή αναφοράς. Copy (εικονίδιο πλήκτρο Ctrl+C): Αντιγράφει επιλεγµένο κείµενο από παράθυρο εργασίας ή αναφοράς. Paste (εικονίδιο πλήκτρο Ctrl+V): Επικολλά επιλεγµένο κείµενο στο παράθυρο εργασίας. Clear (πλήκτρο Del): ιαγράφει το επιλεγµένο κείµενο (η διαγραφή δεν αναιρείται από την εντολή Undo). 246

Find/Replace (εικονίδιο πλήκτρο Ctrl+F): Χρησιµοποιείται για την εύρεση (και αντικατάσταση αν αυτό είναι επιθυµητό) κειµένου που εισάγεται σε παράθυρο διαλόγου, στο ενεργό παράθυρο εργασίας. Εικόνα Λ.15: Παράθυρο διαλόγου Find/Replace. Η επιλογή Match Case ενεργοποιείται εφόσον επιθυµεί ο χρήστης να διακρίνει επακριβώς κεφαλαία από µικρά γράµµατα. Ο χρήστης επίσης έχει τη δυνατότητα να αντικαταστήσει µαζικά το προς αναζήτηση /αντικατάσταση κείµενο επιλέγοντας Replace All στο παράθυρο διαλόγου. Options (πλήκτρο Alt+O): Η εντολή αυτή εµφανίζει παράθυρο διαλόγου (Eικόνα Λ.16) από το οποίο µπορούν να τροποποιηθούν παράµετροι λειτουργίας της LINDO: Εικόνα Λ.16: Παράθυρο διαλόγου Options. 247

Οι παράµετροι αφορούν την λειτουργία του αλγορίθµου επίλυσης προβληµάτων Ακέραιου Προγραµµατισµού (Integer Ρrogramming) τύπου Branch and Bound, παραµέτρους µορφοποίησης προτύπου και παρουσίασης αποτελεσµάτων στην οθόνη. Go To Line (πλήκτρο Ctrl + T): Χρησιµοποιείται για την µεταφορά σε συγκεκριµένη γραµµή του ενεργού παραθύρου εργασίας, στην αρχή ή το τέλος του, µέσω παραθύρου διαλόγου (Εικόνα Λ.17). Εικόνα Λ.17: Παράθυρο διαλόγου Λ.17. Paste Symbol (εικονίδιο, πλήκτρο Ctrl+P): Εµφανίζει παράθυρο διαλόγου (Εικόνα Λ.18) µέσω του οποίου εισάγονται στο ενεργό παράθυρο εργασίας, εντολές και σύµβολα που χρησιµοποιεί η LINDO. Αναλυτικότερα εµφανίζονται τρεις λίστες, µια για τις δεσµευµένες λέξεις και σύµβολα (reserved), µια για τις χρησιµοποιούµενες µεταβλητές (variables) και µια για τις σειρές που έχουν όνοµα (Rows). Εικόνα Λ.18: Παράθυρο διαλόγου Paste Symbols. 248

Με διπλό κλικ σε κάποια λέξη ή σύµβολο από κάθε µια από τις τρεις λίστες, αυτή εµφανίζεται στη γραµµή Paste Buffer κάτω από τις λίστες. Στη γραµµή αυτή µπορεί να προστεθεί επιπλέον κείµενο µε τη βοήθεια του πληκτρολογίου. Επιλέγοντας Clear, η γραµµή αυτή µπορεί να καθαριστεί ενώ επιλέγοντας Paste µπορεί να µεταφερθεί το περιεχόµενό της στο ενεργό παράθυρο εργασίας. Select All (πλήκτρο Ctrl+A): Επιλέγει όλο το περιεχόµενο του ενεργού παραθύρου εργασίας ή αναφοράς. Clear All (εικονίδιο ): Σβήνει όλο το περιεχόµενο του ενεργού παραθύρου εργασίας ή αναφοράς. Choose New Font: Εµφανίζει παράθυρο διαλόγου (Εικόνα Λ.19) από το οποίο µπορεί να αλλαχθεί ο τύπος, η διάσταση και τα χαρακτηριστικά της χρησιµοποιούµενης γραµµατοσειράς. Εικόνα Λ.19: Παράθυρο διαλόγου Choose New Font. (γ) Μενού Solve Στο µενού αυτό περιέχονται οι βασικές λειτουργίες επίλυσης των προτύπων (Eικόνα Λ.20). 249

Αναλυτικότερα: Εικόνα Λ.20: Μενού Solve. Solve (εικονίδιο, πλήκτρο Ctrl+S): Η εντολή αυτή επιλύει το πρότυπο που βρίσκεται στο ενεργό παράθυρο εργασίας. Πραγµατοποιείται η επίλυση οπότε εµφανίζεται παράθυρο διαλόγου (Εικόνα Λ.21) στο οποίο δίνονται γενικά στοιχεία για τη λύση του προτύπου (παράθυρο κατάστασης) και παράθυρο αναφοράς στο οποίο δίνεται η αναλυτική επίλυση του προτύπου (το ένα παράθυρο µπορεί να επικαλύπτει το άλλο). Στο παράθυρο κατάστασης φαίνεται η κατάσταση επίλυσης του προτύπου (Status), το οποίο µπορεί να έχει βέλτιστη λύση (Optimal), να είναι µη φραγµένο (Unbounded) ή να µην έχει βέλτιση λύση (Infeasible). Επίσης φαίνεται ο αριθµός των επαναλήψεων (Iterations), σε ποια επανάληψη υπήρξε αδυναµία εύρεσης βέλτιστης λύσης αν υπήρξε (Infeasibility), η βέλτιστη τιµή της αντικειµενικής συνάρτησης (Objective), στοιχεία επίλυσης αν το πρόβληµα αφορούσε ακέραιο προγραµµατισµό (Best IP, IP Bound, Branches) και ο χρόνος επίλυσης (Εlapsed Time). Επίσης, δίνεται η συχνότητα ανανέωσης του παραθύρου διαλόγου (Update Interval). Εικόνα Λ.21: Παράθυρο κατάστασης. 250

Το παράθυρο αναφοράς περιέχει τα αποτελέσµατα της επίλυσης και θα αναλυθεί στη συνέχεια. Στη συνέχεια εµφανίζεται παράθυρο διαλόγου (Εικόνα Λ.22) το οποίο ζητά από τον χρήστη αν επιθυµεί ανάλυση ευαισθησίας (sensitivity analysis) στο πρότυπο. Εικόνα Λ.22: Παράθυρο διαλόγου για την πραγµατοποίηση ή όχι ανάλυσης ευαισθησίας. Αν ο χρήστης επιλέξει την πραγµατοποίηση ανάλυσης ευαισθησίας, εµφανίζεται παράθυρο µε τα αποτελέσµατα αυτής (αναλύεται στη συνέχεια), αλλιώς η επίλυση τερµατίζεται. Compile Model (πλήκτρο Ctrl+E): Η εντολή αυτή πραγµατοποιεί έλεγχο στη σύνταξη του προτύπου. Αν βρεθεί σφάλµα στο πρότυπο, η διαδικασία τερµατίζεται και ο κέρσορας τοποθετείται στη γραµµή του προτύπου όπου υπάρχει αυτό, στο παράθυρο εργασίας. Debug (πλήκτρο Ctrl+D): Eξετάζει αν το πρότυπο δεν έχει βέλτιστη λύση και είναι είτε µη φραγµένο, είναι αδύνατη η εύρεση βέλτιστης λύσης. Αν το πρότυπο είναι µη φραγµένο, εντοπίζονται περιορισµοί που αν δεν συµπεριληφθούν υπάρχει βέλτιστη λύση (SUFFICIENT SET (ROWS)) και περιορισµοί που δεν πρέπει να συµπεριληφθούν ώστε το πρότυπο να έχει βέλτιστη λύση. Αν το πρότυπο δεν δύναται να έχει βέλτιστη λύση, εντοπίζονται µεταβλητές που είναι υπαίτιες για την αδυναµία αυτή (SUFFICIENT SET (COLS)) και σύνολα µεταβλητών που πρέπει να ελεγχθούν ώστε να αντιµετωπιστεί η ανυπαρξία βέλτιστης λύσης (NECESSARY SET (COLS)). Pivot (πλήκτρο Ctrl+N): Αποδίδει σε παράθυρο αναφοράς (παράθυρο αναφοράς Tableau) τους ενδιάµεσους πίνακες (Tableau) της µεθόδου SIMPLEX που χρησιµοποιούνται για την επίλυση του προτύπου. Με τη βοήθεια παραθύρου διαλόγου (Εικόνα Λ.23) επιλέγεται αν οι µεταβλητές που θα εισέρχονται στη βάση (επιλογή Variable Selection ) και αυτές που θα εξέρχονται από αυτή (επιλογή Row Selection ) για την παραγωγή των νέων πινάκων SIMPLEX θα επιλέγονται από τη LINDO (επιλογή LINDO s ) ή από τον χρήστη (Επιλογή Use Mine ). Μετά την ολοκλήρωση της εντολής, όπως και στην εντολή Solve, εµφανίζεται παράθυρο κατάστασης (όπου εµφανίζεται η τρέχουσα κατάσταση όπως αριθµός επανάληψης, όχι βέλτιστη λύση κ.λ.π.), ενώ σε παράθυρο αναφοράς φαίνεται η αλλαγή στη βάση. 251

Εικόνα Λ.23: Παράθυρο διαλόγου εντολής Pivot. Preemptive Goal (πλήκτρο Ctrl+G): Χρησιµοποιείται για να οριστούν περισσότερες από µια αντικειµενικές συναρτήσεις στο πρότυπο και η σειρά προτεραιότητας αυτών. (δ) Μενού Reports Στο µενού περιέχονται οι εντολές που αποδίδουν τις διάφορες αναφορές που παράγει η LINDO σε παράθυρα για το πρότυπο που βρίσκεται στο ενεργό παράθυρο εργασίας (Εικόνα Λ.24). Αναλυτικότερα: Εικόνα Λ.24: Μενού Reports. Solution (εικονίδιο, πλήκτρο Alt+0): Εµφανίζει την αναφορά επίλυσης του προτύπου, που αποτελεί τµήµα των αποτελεσµάτων της διαδικασίας επίλυσης. Η αναφορά αυτή χωρίζεται σε τρία τµήµατα: (i)τιµές αντικειµενικής συνάρτησης: Βέλτιστη τιµή αντικειµενικής συνάρτησης (ή αδυναµία εύρεσης βέλτιστης λύσης ή µη φραγµένο πρότυπο) και βήµα του αλγόριθµου επίλυσης όπου ολοκληρώθηκε η διαδικασία επίλυσης. 252

(ii)τιµές µεταβλητών: Βέλτιστες τιµές µεταβλητών και οριακό (ή ευκαιριακό) κόστος (REDUCED COST) για κάθε µία από αυτές. (iii) Τιµές Περιορισµών: Τιµές τεχνητών µεταβλητών (SLACK VARIABLES) και δυαδικές τιµές (DUAL PRICES). Μέσω παραθύρου διαλόγου (Εικόνα Λ.25) είναι δυνατή η επιλογή της εµφάνισης µόνο των µη µηδενικών τιµών των αποτελεσµάτων. Εικόνα Λ.25: Παράθυρο διαλόγου για την επιλογή εµφάνισης όλων ή των µη µηδενικών τιµών της επίλυσης. Αντικειµενική Συνάρτηση Μεταβλητές Περιορισµοί Εικόνα Λ.26: Παράθυρο αναφοράς επίλυσης του Παραδείγµατος Κεραµοσκεπών. Για παράδειγµα, στην Εικόνα Λ.26 φαίνεται η επίλυση του παραδείγµατός µας. Η βέλτιστη τιµή της αντικειµενικής συνάρτησης είναι 1.500 µονάδες και προκύπτει για τιµές των µεταβλητών x 1 =300, x 2 =600 και x 3 =600. Για τον 1 ο περιορισµό (Row 2) το πλεόνασµα είναι 25.300, για τον 3 ο 0 (Row 4), για τον 4 ο (Row 5) 500 κ.λ.π. Αντίστοιχα 253

συµπεράσµατα µπορούν να προκύψουν από τις δυαδικές τιµές κ.λ.π. Άρα το βέλτιστο σύνολο των τ.µ. κεραµοσκεπής που είναι συµφέρον να κατασκευαστεί είναι 1.500 τ.µ., τα οποία θα καταµεριστούν σε 300 τ.µ. στον πρώτο εργολάβο, σε 600 τ.µ. στον δεύτερο εργολάβο και σε 600 τ.µ. στον τρίτο εργολάβο. Range (πλήκτρο Alt+2): Εµφανίζει την αναφορά της ανάλυσης ευαισθησίας στο πρότυπο (Εικόνα Λ.27). Η αναφορά αυτή περιέχει το δυνατό εύρος µεταβολής κάθε συντελεστή της αντικειµενικής συνάρτησης όπως και το δυνατό εύρος µεταβολής του δεξιού µέλους κάθε περιορισµού (rhs), ώστε η βέλτιστη τιµή της αντικειµενικής συνάρτησης να παραµένει η ίδια (ή αλλιώς να µην αλλάζει η βάση). Η αναφορά χωρίζεται σε δύο τµήµατα: i. Εύρος συντελεστών αντικειµενικής συνάρτησης, για το οποίο η βέλτιστη τιµή παραµένει αµετάβλητη. ii. Εύρος δεξιών µελών περιορισµών, για το οποίο η βέλτιστη τιµή παραµένει αµετάβλητη. Εικόνα Λ.27: Παράθυρο αναφοράς ανάλυσης ευαισθησίας. Λόγου χάρη, όπως φαίνεται και στην παραπάνω εικόνα, σε ό,τι αφορά τους συντελεστές των µεταβλητών στην αντικειµενική συνάρτηση του δοσµένου παραδείγµατος συνάγονται τα εξής: Ο συντελεστής της µεταβλητής x1 δεν µπορεί να αυξηθεί καθόλου, ενώ µπορεί να µειωθεί απεριόριστα. 254

Ο συντελεστής της µεταβλητής x2 δεν µπορεί να µειωθεί ούτε να αυξηθεί καθόλου. Ο συντελεστής της µεταβλητής x3 δεν µπορεί να µειωθεί καθόλου, ενώ µπορεί να αυξηθεί απεριόριστα. ηλαδή, ο πρώτος και ο δεύτερος εργολάβος δεν είναι αποδεκτό να αυξήσουν τις τιµές τους, ενώ ο τρίτος εργολάβος κάνει την καλύτερη προσφορά τιµής που ο ίδιος δύναται. Σε ό,τι αφορά τα δεξιά µέλη των περιορισµών: Στον 1 ο περιορισµό, η βέλτιστη λύση θα παραµείνει η ίδια για απεριόριστη αύξηση και για µείωση 25.300 µονάδων, δηλαδή το κονδύλι για την κατασκευή των κεραµοσκεπών µπορεί να µειωθεί κατά 25.300 µονάδες. Στον 2 ο περιορισµό η βέλτιστη λύση θα παραµείνει η ίδια για αύξηση 300 µονάδων και για µείωση 268.75 µονάδων. ηλαδή, αν η Ταξιαρχία αυξήσει µέχρι 300 τ.µ. διαθέσιµη συνολική επιφάνεια τ.µ. κεραµοσκεπής προς κατασκευή, θα επιτύχει την κατασκευή το πολύ 1500 τ.µ. κεραµοσκεπών ενώ για µείωση µέχρι 268.75 τ.µ., θα κατασκευαστεί το σύνολο των κεραµοσκεπών. Ανάλογα συµπεράσµατα µπορούν να προκύψουν και από τους υπόλοιπους περιορισµούς. Σηµείωση: Οι αναφορές της LINDO αποδίδουν σε κάθε περιορισµό ως αύξοντα αριθµό, αυτόν του προτύπου αυξηµένο κατά µία µονάδα, δηλαδή ο 1 ος περιορισµός έχει αύξοντα αριθµό 2 (Row 2), o ο 2 ος περιορισµός έχει αύξοντα αριθµό 3 (Row 3) κ.λ.π. Parametrics (πλήκτρο Alt+2). Με την χρήση αυτής της εντολής πραγµατοποιείται παραµετρική ανάλυση για τα δεξιά µέλη των περιορισµών του προτύπου. Με την κλήση της εντολής αυτής εµφανίζεται παράθυρο διαλόγου (Εικόνα Λ.28). Εκεί περιέχεται λίστα µε τους αύξοντες αριθµούς των περιορισµών (2,3,...), επιλογές εµφάνισης της παραµετρικής ανάλυσης σε γράφηµα 2 ή τριών διαστάσεων (Εικόνα Λ.29) ή σε αναφορά κειµένου (Εικόνα Λ.30) όπως και τµήµα για την εισαγωγή νέας τιµής του δεξιού µέλους του περιορισµού για την πραγµατοποίηση της παραµετρικής ανάλυσης. Ο χρήστης επιλέγει τον περιορισµό που επιθυµεί από τη λίστα µε κλικ σε αυτόν, εισάγει τη νέα τιµή του δεξιού µέλους αυτού και επιλέγει τη µέθοδο παρουσίασης (γράφηµα, αναφορά κ.λ.π.). Επιλέγοντας ΟΚ πραγµατοποιείται η παραµετρική ανάλυση και εµφανίζονται τα αποτελέσµατα. 255

Εικόνα Λ.28: Παράθυρο διαλόγου επιλογής περιορισµού για παραµετρική ανάλυση. Εξετάζοντας λόγου χάρη το παράδειγµα των κεραµοσκεπών, αλλαγή του δεξιού µέλους στον 1 ο περιορισµό σε 50.000 (δηλαδή µείωση του προϋπολογισµού στο 50% του αρχικού), αλλάζει δραµατικά τη βέλτιστη τιµή της αντικειµενικής συνάρτησης προς µικρότερες τιµές τ.µ. επιφανείας. Η αλλαγή αυτή ξεκινά, όπως φαίνεται και από το διάγραµµα της Εικόνας Λ.29, σε προϋπολογισµό κάτω των 74.700 µονάδων, κάτι που επιβεβαιώνεται και από την ανάλυση ευαισθησίας. Εικόνα Λ.29: Παράθυρο γραφικής απεικόνισης παραµετρικής ανάλυσης για το Παράδειγµα Κεραµοσκεπών. 256

Εικόνα Λ.30: Παράθυρο αναφοράς της παραµετρικής ανάλυσης για το Παράδειγµα Κεραµοσκεπών. Στο παράθυρο αναφοράς παρουσιάζονται συνοπτικά πληροφορίες για τους πίνακες SIMPLEX που προέκυψαν ως αποτέλεσµα της παραµετρικής ανάλυσης (µεταβλητές που εισήλθαν στη βάση και εξήλθαν από αυτή, δυαδικές τιµές πριν από τον κάθε νέο πίνακα SIMPLEX, τιµές της αντικειµενικής συνάρτησης) για διάφορες τιµές του δεξιού µέλους του 1 ου περιορισµού από την αρχική τιµή των 100.000 µονάδων µέχρι τη νέα τιµή των 50.000 µονάδων. Statistics (πλήκτρο Alt+3): Με την εντολή αυτή αποδίδεται αναφορά µε χαρακτηριστικά του προτύπου (Εικόνα Λ.31). Εικόνα Λ.31: Παράθυρο αναφοράς των χαρακτηριστικών του προτύπου για το Παράδειγµα Κεραµοσκεπών. Στην 1 η γραµµή εµφανίζεται ο αριθµός γραµµών (ROWS= ), µεταβλητών (VARS= ), ακέραιων µεταβλητών (INTEGER VARS= ) (σε παρένθεση ο αριθµός των ακέραιων µεταβλητών που παίρνουν τιµές 0,1 ( =0/1) ) και ο αριθµός τετραγωνικών περιορισµών (αν πρόκειται για τέτοιο πρόβληµα) (QSP= ). Στη 2 η γραµµή εµφανίζεται ο αριθµός των µη µηδενικών συντελεστών του προτύπου (NONZEROS= ), των µη µηδενικών συντελεστών των περιορισµών του προτύπου (CONSTRAINT NONZ= ) (σε παρένθεση ο 257

αριθµός των συντελεστών που είναι ίσοι µε ±1 ( =+-1) ) και η πυκνότητα του προτύπου (DENSITY= ) που προκύπτει από τη σχέση: Πλήθος µη µηδενικών συντελεστών Πλήθος γραµµών ( Πλήθος στηλών + 1 ) Στην 3 η γραµµή εµφανίζεται η απόλυτη τιµή της µεγαλύτερης και της µικρότερης τιµής των παραµέτρων του προτύπου. Στην 4 η γραµµή εµφανίζεται το είδος βελτιστοποίησης (MAX, MIN), και το πλήθος των περιορισµών =,,. Στην 5 η γραµµή εµφανίζονται ο αριθµός στηλών του προτύπου µε έναν µόνο µη µηδενικό συντελεστή (SINGLE COLS= ) και ο αριθµός των πλεοναζόντων στηλών του προτύπου (REDUNDUNT COLS=...). Peruse (εικονίδιο, πλήκτρο Alt+4): Με την εντολή αυτή µπορεί ο χρήστης να εξετάσει αναλυτικότερα τη δοµή ή τη λύση ενός προτύπου, το οποίο έχει ήδη επιλυθεί. Με την κλήση της εντολής εµφανίζεται το παράθυρο διαλόγου της παρακάτω εικόνας: Επιλογή µεταβλητής/περιορισµού Επιλογή είδους αναφοράς Στοιχεία προς Εµφάνιση Επιλογή Χαρακτηριστικών Γραφήµατος Εισαγωγή φίλτρου Εικόνα Λ.32: Παράθυρο διαλόγου για την εντολή Peruse. Ο χρήστης έχει τη δυνατότητα να εξετάσει τις µεταβλητές (επιλογή Orientation=>Columns) ή τους περιορισµούς (επιλογή Orientation=>Rows). 258

Επίσης έχει τη δυνατότητα να επιλέξει τα προς εµφάνιση στοιχεία (επιλογές View Items), τα οποία είναι: Name (n): Όνοµα µεταβλητής /περιορισµού. Primal (p): Τιµή µεταβλητής /Περιθώρια τιµή του περιορισµού. Dual (d): Οριακό κόστος µεταβλητής / υαδική τιµή περιορισµού. Rim (r): Συντελεστής µεταβλητής στην αντικειµενική συνάρτηση /τιµή δεξιού µέλους περιορισµού. Upper Bound (u): Άνω όριο τιµής µεταβλητής / - Lower Bound (i): Κάτω όριο τιµής µεταβλητής / - Type (t): Τύπος µεταβλητής (πραγµατική, ακέραια, κ.λ.π.) / Τύπος περιορισµού (ανισότητα, ισότητα). Nonzeros (z): Πλήθος µη µηδενικών στοιχείων ανά στήλη / Πλήθος µη µηδενικών στοιχείων ανά γραµµή. Στην θέση εισαγωγής µε υπέρτιτλο Condition, µπορεί ο χρήστης να εισάγει κάποιο φίλτρο για τα παραπάνω, µε τη βοήθεια των συµβόλων στις παρενθέσεις που αναγράφονται δίπλα στα ονόµατα που προαναφέρθηκαν (π.χ. p για Primal, d για Dual κ.λ.π.). Λόγου χάρη, ένας περιορισµός θα ήταν p>0. Τα αποτελέσµατα της ανάλυσης µπορούν να δοθούν σε κείµενο (επιλογή Report Types => Text, Εικόνα Λ34), σε γράφηµα (επιλογή Report Types => Graph, Εικόνα Λ.33) ή και στα δύο. Επίσης είναι δυνατή η επιλογή του τύπου του γραφήµατος (επιλογή Graphics Format=>Area (περιοχή), Line (γραµµή), Point (σηµείο), Bar (ράβδοι), Pie (Πίτα)) και το αν αυτό θα είναι δυσδιάσταστο (επιλογή Graph Type=>2D) ή τρισδιάστατο (επιλογή Graph Type=>3D). Το κείµενο της αναφοράς µπορεί να τυπωθεί µε υπέρτιτλους σε κάθε στήλη (επιλογή Text Report Format => Include Headers), µε τα στοιχεία διαχωριζόµενα µε κόµµα (επιλογή Text Report Format => Comma Delimited). Παράδειγµα τέτοιου γραφήµατος όπου φαίνονται οι τιµές των µεταβλητών φαίνεται στην παρακάτω Eικόνα Λ.33: 259

Εικόνα Λ.33: Γράφηµα που κατασκευάζεται από την εντολή Peruse. Υπέρτιτλος (Header) Comma Delimited Εικόνα Λ.34: Παράθυρο αναφοράς που εξάγεται από την εντολή Peruse για το παράδειγµα κεραµοσκεπών. Η εντολή PERUSE έχει τη δυνατότητα της εξέτασης στοιχείων του προτύπου παραστατικά µε τη βοήθεια γραφηµάτων και σε βάθος. Picture (πλήκτρο Alt+5): Με την εντολή αυτή εµφανίζεται το πρότυπο, που βρίσκεται στο ενεργό παράθυρο εργασίας, σε µορφή πίνακα. Στον πίνακα φαίνονται µόνο οι τιµές των µη µηδενικών παραµέτρων. Εµφανίζεται παράθυρο διαλόγου (Εικόνα Λ.35) από το οποίο ο χρήστης µπορεί να επιλέξει το αν θα εµφανιστεί σε παράθυρο γραφικών (Εικόνα Λ.36) ή σε παράθυρο αναφοράς υπό µορφή κειµένου (Εικόνα Λ.37) ή αν θα υπάρξει αναδιάταξη του πίνακα (permutation) ώστε οι µεταβλητές να τοποθετηθούν σε τριγωνική µορφή (lower triangular) κ.λ.π.: 260

Εικόνα Λ.35: Παράθυρο διαλόγου επιλογής τρόπου παρουσίασης προτύπου σε πίνακα. Εικόνα Λ.36: Γραφική απεικόνιση του προτύπου του Παραδείγµατος Κεραµοσκεπών σε πίνακα. 261

Εικόνα Λ.37: Aπεικόνιση σε παράθυρο αναφοράς (κείµενο) του προτύπου του παραδείγµατος Κεραµοσκεπών σε πίνακα. Basis Picture (πλήκτρο Alt+5): Εµφανίζει εικόνα της τρέχουσας βάσης της µεθόδου Simplex (Εικόνα Λ.38) χρησιµοποιώντας µόνο τα πρόσηµα των συντελεστών (µόνο συντελεστές µικρότεροι του 10 αν είναι ακέραιοι εµφανίζονται επακριβώς). Η τρέχουσα βάση έχει αναδιαταχθεί. Εικόνα Λ.38: Παράθυρο αναφοράς εντολής Basis Picture. Tableau (πλήκτρο Alt+7): Συνδυάζεται µε την εντολή Solution=>Pivot. Σε κάθε εκτέλεση της εντολής εµφανίζει τους ενδιάµεσους πίνακες (Tableu) του αλγόριθµου Simplex (Εικόνα Λ.39): 262

Εικόνα Λ.39: Παράθυρο αναφοράς ενδιάµεσου πίνακα SIMPLEX για το Παράδειγµα Κεραµοσκεπών. Formulation (πλήκτρο Αlt+8): Eµφανίζει όλο το πρότυπο του παραθύρου εργασίας ή τµήµα του. Με τη βοήθεια παραθύρου διαλόγου (Εικόνα Λ.40) επιλέγεται το τµήµα που θα εµφανιστεί σε παράθυρο αναφοράς (Εικόνα Λ.41). Επιλογή αρχικής και τελικής γραµµής προς εµφάνιση Εικόνα Λ.40: Παράθυρο διαλόγου επιλογής γραµµών προτύπου προς εµφάνιση της εντολής Formulation. 263

Εικόνα Λ.41: Παράθυρο αναφοράς όπου φαίνεται το πρότυπο του Παραδείγµατος Κεραµοσκεπών. Show Column (πλήκτρο Alt+9): Εµφανίζει πληροφορίες για κάθε µία από τις µεταβλητές του προτύπου, µέσω ενός παραθύρου διαλόγου (Εικόνα Λ.41), στο παράθυρο αναφοράς (Λ.42). Εικόνα Λ.40: Παράθυρο διαλόγου για την επιλογή µεταβλητής στην εντολή Show Column. 264

Εικόνα Λ.41: Παράθυρο αναφοράς µε πληροφορίες για µεταβλητή στην εντολή Show Column για το Παράδειγµα Κεραµοσκεπών. Positive Definite: Εντολή ελέγχου ύπαρξης λύσης σε πρότυπα τετραγωνικού προγραµµατισµού. (δ) Μενού Windows Περιέχει εντολές για την διάταξη των παραθύρων εργασίας και αναφορών της LINDO (Εικόνα Λ.42): Εικόνα Λ.42: Μενού Window. Open Command Window (πλήκτρο Alt+C): Εµφανίζει παράθυρο όπου µπορούν να δηµιουργηθούν οµάδες εντολών για τη λύση ενός προβλήµατος. Συνεργάζεται µε την εντολή File=>Take Commands και χρησιµοποιεί την συµβολική γλώσσα του προγράµµατος LINGO. Open Status Window: Εµφανίζει παράθυρο κατάστασης για το ενεργό πρότυπο. Send to Back (εικονίδιο, πλήκτρο Ctrl+B): Τοποθετεί το τρέχον ανοικτό παράθυρο εργασίας ή αναφοράς πίσω από όλα τα άλλα ανοικτά παράθυρα εργασίας ή αναφοράς. 265