Κεφάλαιο 5. Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας

Κεφάλαιο 5 Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. 5 Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας. Στο Κεφάλαιο αυτό περιέχονται: 5.1 Γωνία διεύθυνσης. 5. Πρώτο θεμελιώδες πρόβλημα. 5.3 εύτερο θεμελιώδες πρόβλημα. 5.4 Τρίτο θεμελιώδες πρόβλημα. 5.5 Παραδείγματα. 5.1 Γωνία διεύθυνσης. Γωνία διεύθυνσης ευθυγράμμου τμήματος Α προς Β, ορίζεται σαν η γωνία που διαγράφεται με αρχή παράλληλο προς τον θετικό ημιάξονα Ψ, που ταυτίζεται με την διεύθυνση του βορρά, με κέντρο περιστροφής το σημείο Α και κίνηση δεξιόστροφη (φορά δεικτών ωρολογίου), μέχρι να ταυτιστεί για πρώτη φορά, με τη διεύθυνση ΑΒ. Αν ο άξονας των Ψ έχει τη διεύθυνση του Βορρά και όχι τυχαία, τότε η γωνία λέγεται και αζιμούθιο της ευθείας.

Σχ. 5.1 Γωνία διεύθυνσης. Κάθε γωνία διεύθυνσης πληρεί τη διπλή ανισοτική σχέση (π.χ. σε βαθμούς) 0g γωνία διεύθυνσης < 400g Η γωνία διεύθυνσης Β προς Α, υπολογίζεται αν στη γωνία διεύθυνσης Α προς Β προστεθούν 00g. Επομένως θα ισχύουν πάντοτε οι παρακάτω σχέσεις λαμβάνοντας υπόψη τον προαναφερόμενο περιορισμό. G G 00 ( 400) και G G 00 ( 400) εάν το άθροισμα των δύο πρώτων όρων είναι μεγαλύτερο από 400 τότε αφαιρούνται 400g για να ισχύει η προαναφερόμενη διπλή ανισοτική σχέση. Παρακάτω θα αναφερθούν τα τρία θεμελιώδη προβλήματα χωρίς να αναφερθούν οι αποδείξεις που αποτελούν απλά μαθηματικά.

5. Πρώτο Θεμελιώδες πρόβλημα. Το πρώτο θεμελιώδες πρόβλημα μετατρέπει τις πολικές συντεαγμένες σε ορθογώνιες ή καρτεσιανές συντεταγμένες. Όταν είναι γνωστές οι ορθογώνιες συντεταγμένες ενός σημείου Α δηλαδή Χ Α, Ψ Α, και οι πολικές συντεταγμένες ενός σημείου, ως προς το πρώτο δηλαδή την γωνία διεύθυνσης G Α-Β και το οριζόντιο μήκος S τότε υπολογίζονται οι ορθογώνιες συντεταγμένες του δευτέρου σημείου δηλαδή τις Χ Β, Ψ Β. εδομένα : X,, G, S Αποτελέσματα : X, Σχ. 5. 1 ο Θεμελιώδες πρόβλημα. Τύποι : X X S * sin G : S * cosg

5.3 εύτερο θεμελιώδες πρόβλημα. Με την εφαρμογή του δευτέρου θεμελιώδους προβλήματος, όταν είναι γνωστές οι ορθογώνιες συντεταγμένες δύο σημείων δηλαδή Χ Α, Ψ Α και Χ Β, Ψ Β, υπολογίζεται η μεταξύ τους απόσταση S και η γωνία διεύθυνσης G. Σχ. 5.3 ο Θεμελιώδες πρόβλημα.

εδομένα :,,, Αποτελέσματα : S, G Τύποι : S ( ) ( ) Για τον υπολογισμό της γωνίας διεύθυνσης υπολογίζεται στην αρχή η τιμή της βοηθητικής γωνίας α που είναι η εσωτερική γωνία ορθογωνίου τριγώνου. Η τιμή της γωνίας α αντιστοιχεί σε τιμή εφαπτομένης ίσης προς την απόλυτη τιμή της διαίρεσης χ / ψ (απέναντι προς την προσκείμενη) Οι πράξεις είναι αλγεβρικές δηλαδή πρέπει να ληφθούν υπόψη τα πρόσημα των Χ και Ψ, στη αφαίρεση Χ Β -Χ Α (αριθμητής) και Ψ Β -Ψ Α (παρανομαστής). Το τελικό αποτέλεσμα όμως της διαίρεσης χ / ψ θα είναι πάντοτε θετικός αριθμός εφόσον προκύπτει ως απόλυτη τιμή. Πρέπει όμως να καταγράφονται τα πρόσημα της αφαίρεσης Χ= Χ Β -Χ Α και Ψ= Ψ Β -Ψ Α, διότι θα χρησιμοποιηθούν για τον υπολογισμό της G. Η γωνία α μπορεί να πάρει μόνο θετικές τιμές από 0 έως 99,9999 βαθμούς, αφού είναι η εσωτερική γωνία τριγώνου και προκύπτει ως αποτέλεσμα της απόλυτης τιμής Χ / Ψ. tan a και προκύπτει η γωνία α, ως τόξο εφαπτομένης α. Στους υπολογιστές τσέπης για την τιμή της γωνίας α ανάλογα με τον τύπο του υπολογιστή πρέπει να πληκτρολογηθεί tan -1, INV- tan -1, nd - tan -1 κ.λ.π.. Προσοχή πρέπει να ρυθμιστεί ο υπολογιστής, ώστε να υπολογίζει τις γωνίες σε βαθμούς (Grad). Τα πρόσημα των Χ και Ψ δείχνουν τον προσανατολισμό της ευθείας ΑΒ, σύμφωνα με τον παρακάτω πίνακα. Φαίνεται ότι υπάρχουν 9 περιπτώσεις. Προσοχή χρειάζεται όταν κάποιος παράγοντας χ ή Ψ είναι μηδέν. Στην περίπτωση αυτή δεν χρειάζεται να πραγματοποιηθεί η διαίρεση Χ / Ψ, αλλά μέσα από τον πίνακα προκύπτει άμεσα η τιμή της γωνίας διεύθυνσης.

Πίνακας υπολογισμού της γωνίες διεύθυνσης. Χ>0 Χ<0 Χ=0 Ψ > 0 G = α Ψ = 0 G = 100 Ψ < 0 G = 00-α Ψ > 0 G = 400-α Ψ = 0 G = 300 Ψ < 0 G = 00+α Ψ > 0 G = 0 Ψ = 0 G = Απροσδιόριστο Ψ < 0 G = 00 5.4 Τρίτο θεμελιώδες πρόβλημα. Το τρίτο θεμελιώδες πρόβλημα χρησιμοποιείται όταν υπολογίζεται μία πολυγωνική όδευση, είναι γνωστή η γωνία διεύθυνσης της πρώτης πλευράς, έχουν μετρηθεί οι γωνίες θλάσης όλων των κορυφών της πολυγωνικής όδευσης και επιζητείται ο υπολογισμός της γωνίας διεύθυνσης οποιαδήποτε πλευράς. Πολυγωνική όδευση είναι η υλοποίηση στο έδαφος μιας πολύωνικής γραμμής και η εργασία αυτή εκτελείται όταν τα σταθερά σημεία που βρίσκουμε στο έδαφος απέχουν αρκετά από την περιοχή μέτρησης. Με αφετηρία τα σταθερά σημεία που υπάρχουν στο έδαφος χαράσσεται πολυγωνική μέσα από δρόμους, ώστε να προσεγγιστεί η περιοχή μελέτης. Μετρούνται δεξιόστροφα οι γωνίες θλάσεις (προηγούμενο προς το επόμενο σημείο) και τα μήκη της πολυγωνικής. Με το τρίτο θεμελιώδες πρόβλημα υπολογίζεται η γωνία διεύθυνσης οποιασδήποτε πλευράς είναι απαιτητή για την αποτύπωση της περιοχής.

Σχ. 5.4. Το 3 ο Θεμελιώδες πρόβλημα. εδομένα : G 01, β 1, β, β 3, β 4,..., β η-, β η-1 Αποτελέσματα : G (η-1)-η Γωνία θλάσης είναι η γωνία που σχηματίζεται από τη δεξιόστροφη περιστροφή της προηγούμενης πλευράς της κάθε γωνίας μέχρι να ταυτιστεί με την επόμενη πλευρά. Τύποι : G 1 = G 01 + β 1 +00g G 3 = G 1 + β +00g G 34 = G 3 + β 3 +00g... G (n-1)n = G (n-)(n-1) + β (n-1) +00g Προσθέτοντας κατά μέλη ( n 1) G (η-1)-η = G 01 + + (η-1) * 00 ( i) i1 Προκειμένου η ζητούμενη γωνία να έχει τιμή μεταξύ 0g και 400g, πρέπει να αφαιρεθούν ακέραια πολλαπλάσια περιφέρειας.

Επομένως ο τύπος πρέπει να γραφεί Τελικός τύπος: ( n 1) G (η-1)-η = G 01 + i 1 + (η-1) * 00 Κ * 400 όπου Κ ακέραιος αριθμός, ώστε η παράσταση που θα προκύψει πριν τον όρο (Κ*400), να μειωθεί τόσες φορές, ώστε το αποτέλεσμα να βρίσκεται μεταξύ των τιμών 0 και 400 βαθμών. ( i) 5.5 Παραδείγματα. Παράδειγμα 1 ο. Γνωρίζουμε τις συντεταγμένες των σημείων Α με Χ Α =19,71, Ψ Α =0,5 και Β με Χ Β =181,37 και Ψ Β =53,63. Θα υπολογίσουμε την γωνία διεύθυνσης G. Θα εφαρμόσουμε το δεύτερο θεμελιώδες πρόβλημα: tan a 181.37 19.71 53.63 0.5 51.66 33.38 1.547633313 tan -1 1,547633313=63,480=α από στρογγυλοποίηση του 63,4795131, (για τις γωνίες αρκούν 3 δεκαδικά ψηφία). Τα πρόσημα Χ>0 και Ψ>0 άρα από τον πίνακα υπολογισμού της γωνίας διεύθυνσης έχουμε =α=63,480. G Προσοχή ο υπολογιστής να είναι ρυθμισμένος να υπολογίζει τους τριγωνομετρικούς αριθμούς σε βαθμούς (Grads)

Σχ. 5.5. Σχηματική παράσταση του 1 ου παραδείγματος. Παράδειγμα ο. Γνωρίζουμε τις συντεταγμένες των σημείων Α με Χ Α =84.03, Ψ Α =6.48 και Β με Χ Β =331.50 και Ψ Β =-1.63. Θα υπολογίσουμε την γωνία διεύθυνσης G και την απόσταση S ΑΒ. Θα εφαρμόσουμε το δεύτερο θεμελιώδες πρόβλημα: 331.50 84.03 47.47 tan a 1.63 6.48 39.11 1.13756073 tan -1 1,13756073=56.18=α από στρογγυλοποίηση του 56.1808148, (για τις γωνίες αρκούν 3 δεκαδικά ψηφία). Τα πρόσημα Χ>0 και Ψ<0 άρα από τον πίνακα υπολογισμού της γωνίας διεύθυνσης έχουμε G =00-α=00-56.18=143.87. Για την απόσταση θα εφαρμόσουμε επίσης το δεύτερο θεμελιώδες πρόβλημα με τον τύπο (το αποτέλεσμα είναι σε μέτρα). S ( ) ( ) 84.03331.50 6.48 1.63 από στρογγυλοποίηση του 65,49040388 (για τα μήκη αρκούν δεκαδικά ψηφία).

Σχ. 5.6. Σχηματική παράσταση του ου παραδείγματος. Παράδειγμα 3 ο. Γνωρίζουμε τις συντεταγμένες των σημείων Α με Χ Α =438,, Ψ Α =8,51 και Β με Χ Β =391,36 και Ψ Β =-11,3. Θα υπολογίσουμε την γωνία διεύθυνσης G. Θα εφαρμόσουμε το δεύτερο θεμελιώδες πρόβλημα: tan a 391.36 438. 11.3 8.51 46.86 39.83 1.17650016 tan -1 1,17650016=55,151=α από στρογγυλοποίηση του 55,15130364, (για τις γωνίες αρκούν 3 δεκαδικά ψηφία). Τα πρόσημα Χ<0 και Ψ<0 άρα από τον πίνακα υπολογισμού της γωνίας διεύθυνσης έχουμε =00+α=00+55,151=55,151. G

Σχ. 5.7. Σχηματική παράσταση του 3 ου παραδείγματος. Παράδειγμα 4 ο. Γνωρίζουμε την γωνία διεύθυνσης της ευθείας ΑΒ, G 143. 876 Θα υπολογίσουμε την γωνία διεύθυνσης G G Θα εφαρμόσουμε τον τύπο: G. 00( 400) 143.876 00( 400) 343.876 Το (-400) δεν το χρησιμοποιούμε διότι το άθροισμα G 00 δεν υπερβαίνει τους 400 βαθμούς. Σχ. 5.8. Σχηματική παράσταση του 4 ου παραδείγματος.

Παράδειγμα 5 ο. Γνωρίζουμε την γωνία διεύθυνσης της ευθείας ΑΒ, G 54. 441 Θα υπολογίσουμε την γωνία διεύθυνσης G Θα εφαρμόσουμε τον τύπο: G G. 00( 400) 54.441 00( 400) 54.441 ο (-400) το χρησιμοποιούμε διότι το άθροισμα G 00 υπερβαίνει τους 400 βαθμούς. Τ Σχ. 5.9. Σχηματική παράσταση του 5 ου παραδείγματος. Παράδειγμα 6 ο. Γνωρίζουμε τις συντεταγμένες των σημείων Α με Χ Α =138,55, Ψ Α =-37,49 και Β με Χ Β =14,18 και Ψ Β =-78,6, το μήκος S ΑΓ =6,36 m και το μήκος της καθέτου Γ στην ΑΒ, S Γ =45,00 m. Θα υπολογίσουμε τις συντεταγμένες των σημείων Γ και. Κατ αρχήν θα υπολογίσουμε την γωνία διεύθυνσης G. Θα εφαρμόσουμε το δεύτερο θεμελιώδες πρόβλημα: tan a 14.18 138.55 78.6 ( 37.49) 75.63 48.87 1.547575

tan -1 1,547575=63,478=α από στρογγυλοποίηση του 63,478434, (για τις γωνίες αρκούν 3 δεκαδικά ψηφία). Τα πρόσημα Χ>0 και Ψ>0 άρα από τον πίνακα υπολογισμού της γωνίας διεύθυνσης έχουμε =α=63,478. G Σχ. 5.10. Σχηματική παράσταση του 6 ου παραδείγματος. Κατόπιν θα υπολογίσουμε τις συντεταγμένες του σημείου Γ με την βοήθεια του πρώτου θεμελιώδους προβλήματος και γνωρίζοντας ότι : G G διότι το σημείο Γ βρίσκεται πάνω στην ευθεία ΑΒ. X X S S * sing 138,55 6,36*sin63.478138.55 5.38 190.93 * cosg 37,496,36*cos63.478 37.4933.84 93.65 Στην συνέχεια θα υπολογίσουμε την γωνία διεύθυνσης G : G G 100 G 100 63.478 100 163.478 Τέλος θα υπολογίσουμε τις συντεταγμένες του σημείου με την βοήθεια του πρώτου θεμελιώδους προβλήματος:

X X S S * sing 190,9 45,00*sin163.478190,9 4,4 15,34 * cosg 93,6545,00*cos163.478 93,6537,80 331,45 Παράδειγμα 7 ο. Γνωρίζουμε τις συντεταγμένες των σημείων Α με Χ Α =348,63, Ψ Α =-37,49 και Β με Χ Β =44,6 και Ψ Β =-78,6, το μήκος S ΑΓ =6,36 m και το μήκος της καθέτου Γ στην ΑΒ, S Γ =45,00 m. Θα υπολογίσουμε τις συντεταγμένες των σημείων Γ και. Σχ. 5.11. Σχηματική παράσταση του 7 ου παραδείγματος. Κατ αρχήν θα υπολογίσουμε την γωνία διεύθυνσης Θα εφαρμόσουμε το δεύτερο θεμελιώδες πρόβλημα: G. tan a 44.6 348.63 75.63 78.6 ( 37.49) 48.87 1.547575 tan -1 1,547575=63,478=α από στρογγυλοποίηση του 63,478434, (για τις γωνίες αρκούν 3 δεκαδικά ψηφία).

Τα πρόσημα Χ>0 και Ψ>0 άρα από τον πίνακα υπολογισμού της γωνίας διεύθυνσης έχουμε G =α=63,478. Κατόπιν θα υπολογίσουμε τις συντεταγμένες του σημείου Γ με την βοήθεια του πρώτου θεμελιώδους προβλήματος και γνωρίζοντας ότι : G G διότι το σημείο Γ βρίσκεται πάνω στην ευθεία ΑΒ. X X S S * sing 348.63 6,36*sin63.478 348.63 5.38 401.01 * cosg 37,496,36*cos63.478 37.4933.84 93.65 Στην συνέχεια θα υπολογίσουμε την γωνία διεύθυνσης G : G G 300 G 300 63.478 300 363.478 Τέλος θα υπολογίσουμε τις συντεταγμένες του σημείου με την βοήθεια του πρώτου θεμελιώδους προβλήματος: X X S S * sing 401.01 45,00*sin363.478 401.01 4.4 376.59 * cosg 93,6545,00*cos363.478 93,6537,80 55.85 Παράδειγμα 8 ο. Γνωρίζουμε τις συντεταγμένες των σημείων Α με Χ Α =65.3, Ψ Α =-315.0 και Β με Χ Β =700.86 και Ψ Β =-66.33, το μετρημένο μήκος S ΒΓ =45,00 m και η μετρημένη γωνία θλάσης β=76,37 (το ταχύμετρο κεντρώθηκε στο σημείο Β, μηδενίστηκε στο Α και μετρήθηκε η δεξιόστροφη γωνία στο Γ δηλαδή η ΑΒΓ). Θα υπολογίσουμε τις συντεταγμένες του σημείου Γ. Κατ αρχήν θα υπολογίσουμε την γωνία διεύθυνσης G. Θα εφαρμόσουμε το δεύτερο θεμελιώδες πρόβλημα: tan a 700.86 65.3 75.63 66.33 ( 315.0) 48.87 1.547575 tan -1 1,547575=63,478=α από στρογγυλοποίηση του 63,478434, (για τις γωνίες αρκούν 3 δεκαδικά ψηφία). Τα πρόσημα Χ>0 και Ψ>0 άρα από τον πίνακα υπολογισμού της γωνίας διεύθυνσης έχουμε =α=63,478. G

Σχ. 5.1. Σχηματική παράσταση του 8 ου παραδείγματος. Κατόπιν θα υπολογίσουμε την γωνία διεύθυνσης του τρίτου θεμελιώδους προβλήματος: G με την βοήθεια Τέλος θα υπολογίσουμε τις συντεταγμένες του σημείου Γ με την βοήθεια του πρώτου θεμελιώδους προβλήματος: X X S S * sing 700,86 45,00*sin139,805 700,86 36,49 737,35 * cosg 66,3345,00*cos139,805 66,336,34 9,67 Παράδειγμα 9 ο. Γνωρίζουμε τις συντεταγμένες των κορυφών οικοπέδου ΑΒΓ με συντεταγμένες Χ Α =961,7, Ψ Α =-305,35, Χ Β =1036,91, Ψ Β =-56,48, Χ Γ =1156,0, Ψ Γ =-34,46 και Χ =1009,08, Ψ =-356,17. Θα υπολογίσουμε το μήκος της πλευράς ΒΓ, το μήκος της διαγωνίου ΑΓ, την εσωτερική γωνία του οικοπέδου ΒΑ =α και την επίσης εσωτερική γωνία του οικοπέδου Α Γ=β.

Σχ. 5.13. Σχηματική παράσταση του 9 ου παραδείγματος. Για τον υπολογισμό του μήκους της πλευράς ΒΓ θα χρησιμοποιήσουμε το δεύτερο θεμελιώδες πρόβλημα: ( ) ( ) 1036,911156,0 56,4834,46 S Για τον υπολογισμό του μήκους της διαγωνίου ΑΓ θα χρησιμοποιήσουμε επίσης το δεύτερο θεμελιώδες πρόβλημα: S ( ) ( ) 961,71156,0 305,3534,46 Για τον υπολογισμό της εσωτερικής γωνίας του οικοπέδου ΒΑ =α θα υπολογίσουμε με την βοήθεια του δεύτερου θεμελιώδους προβλήματος τις γωνίες διεύθυνσης και : tan a 1036.91 961.7 75.64 56.48 ( 305.35) 48.87 1.54777984

tan -1 1,54777984=63,48=α από στρογγυλοποίηση του 63,486013, Τα πρόσημα Χ>0 και Ψ>0 άρα από τον πίνακα υπολογισμού της γωνίας διεύθυνσης έχουμε =α=63,48. tan a G 1009,08 961.7 47,81 0,940771349 356,17 ( 305.35) 50,8 tan -1 0,940771349=48,058=α από στρογγυλοποίηση του 48,05776036, Τα πρόσημα Χ>0 και Ψ<0 άρα από τον πίνακα υπολογισμού της γωνίας διεύθυνσης έχουμε G =00-α=00-48,058=151,94. Η εσωτερική γωνία του οικοπέδου ΒΑ =α είναι: G G 151,94 63,48 88, 46 Για τον υπολογισμό της εσωτερικής γωνίας του οικοπέδου Α Γ=β θα υπολογίσουμε με την βοήθεια του δεύτερου θεμελιώδους προβλήματος τις γωνίες διεύθυνσης και : Την γωνία διεύθυνσης υπολογίζουμε: G G 00( 400) 151,94 00( 400) 351,94 tan a 1156,0 1009,08 146,94 34,46 ( 356,17) 13,71 10,717749 tan -1 10,717749=94,077=α από στρογγυλοποίηση του 94,0776887, Τα πρόσημα Χ>0 και Ψ>0 άρα από τον πίνακα υπολογισμού της γωνίας διεύθυνσης έχουμε G =α=94,077. Η εσωτερική γωνία του οικοπέδου Α Γ=β είναι: 400 ( G G ) 400 (351,94 94,077) 14,135