Υπολογισµοί συντεταγµένων σηµείων

Transcript

1 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ: Π. Σαββαΐδης, Ι. Υφαντής, Κ. Λακάκης, ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ ΚΑΙ ΘΕΜΑΤΙΚΗΣ ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΑΣ ΓΙΑ ΤΟ ΤΜΗΜΑ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΩΝ Α. Π. Θ., Θεσσαλονίκη Ορισµοί Υπολογισµοί συντεταγµένων σηµείων Η θέση των σηµείων της γήινης επιφάνειας ορίζεται µε τις λεγόµενες γεωγραφικές συντεταγµένες, το γεωγραφικό µήκος λ και το γεωγραφικό πλάτος φ. Όταν όµως η περιοχή που πρόκειται ν'αποτυπωθεί είναι µικρή (ακτίνα µέχρι 10 km) και εφαρµόζονται οι µέθοδοι της Τοπογραφίας, όσα σηµεία µετρήθηκαν εκφράζονται µε τη βοήθεια επιπέδων ορθογωνίων συντεταγµένων. Στην περίπτωση αυτή ως επιφάνεια αναφοράς λαµβάνεται το επίπεδο. Για να καθορίσουµε τη θέση των οριζόντιων προβολών των διαφόρων σηµείων της γήινης επιφάνειας πάνω στο επίπεδο αναφοράς µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε είτε τις ορθογώνιες συντεταγµένες συνήθως είτε τις πολικές συντεταγµένες. Εάν χρησιµοποιήσουµε το σύστηµα των ορθογωνίων συντεταγµένων, Κάθε σηµείο του επιπέδου ορίζεται µε τις κάθετες αποστάσεις του Χ και Υ, που καλούνται συντεταγµένες, από δύο κάθετους µεταξύ τους κύριους άξονες x και y (σχ. 4.1) Σχ Το ορθογώνιο σύστηµα συντεταγµένων

2 Το σηµείο τοµής Ο των δύο κυρίων αξόνων ονοµάζεται σηµείο µηδέν των συντεταγµένων. Τα σηµεία Σ1 µέχρι Σ4 έχουν τις ίδιες αποστάσεις από τους κύριους άξονες, αλλά τα πρόσηµα ορίζουν τη θέση τους πάνω στο σύστηµα. Τα τετράγωνα που περικλείονται ανάµεσα στους κύριους άξονες Χ και Υ ονοµάζονται τεταρτηµόρια και αριθµούνται, σύµφωνα µε τη διεύθυνση των δεικτών του ωρολογίου, µε λατινικούς αριθµούς από Ι µέχρι ΙV. Η θέση ενός σηµείου Σ στο παραπάνω σύστηµα συντεταγµένων είναι δυνατό να οριστεί µε τις ορθογώνιες συντεταγµένες x και y, αλλά και µε τη γωνία α και την απόσταση S. Τα µεγέθη α και S ορίζουν τις λεγόµενες πολικές συντεταγµένες του σηµείου Σ. Η γωνία α µετράται πάντα από τον άξονα Υ σύµφωνα µε τη φορά των δεικτών του ρολογιού και ονοµάζεται γωνία διευθύνσεως. Αν ο άξονας των Υ έχει τη διεύθυνση του Βορρά, τότε η γωνία α ονοµάζεται αζιµούθιο. Τα σηµεία, ανά δύο ή περισσότερα, συνδέονται µεταξύ τους µε σχέσεις που προκύπτουν από τις συντεταγµένες τους. Τέτοιες σχέσεις περιγράφονται στα θεµελιώδη προβλήµατα της Τοπογραφίας: το πρώτο, το δεύτερο και το τρίτο Το πρώτο θεµελιώδες πρόβληµα της Τοπογραφίας Στο πρώτο θεµελιώδες πρόβληµα δίνονται: - Οι συντεταγµένες ενός σηµείου Α (ΧΑ,ΥΑ) - H γωνία διεύθυνσης α ΑΒ ως προς ένα άλλο σηµείο Β - Η απόσταση SΑΒ µεταξύ των δύο σηµείων Α και Β. Ζητούνται: - Οι συντεταγµένες (ΧΒ, ΥΒ) του σηµείου Β. Όπως φαίνεται στο σχήµα 4.2, οι συντεταγµένες του σηµείου Β δίνονται από τις σχέσεις που ισχύουν και για τα τέσσερα τεταρτηµόρια: XΒ = ΧΑ + x = ΧΑ + SΑΒ sin α ΑΒ YΒ = ΥΑ + y = ΥΑ + SΑΒ cos α ΑΒ Τέλος, οι γωνίες διέυθυνσης α ΑΒ και α ΒΑ συνδέονται µε τη σχέση α ΒΑ = α ΑΒ gon

3 Σχ Η γεωµετρία του πρώτου θεµελιώδους προβλήµατος Tο δεύτερο θεµελιώδες πρόβληµα της Τοπογραφίας Στο δεύτερο θεµελιώδες πρόβληµα δίνονται: - Οι συντεταγµένες δύο σηµείων Α (XΑ,YΑ) και Β (XB,YB). Zητούνται: - Η απόσταση SAB µεταξύ των σηµείων Α και Β - Η γωνία διεύθυνσης α ΑΒ.

4 Σχ Η γεωµετρία του δευτέρου θεµελιώδους προβλήµατος Όπως φαίνεται στο σχήµα 4.3, ισχύει ΧB ΧA = x = SAB sin ααβ ΥΒ ΥA = y = SAB cos ααβ ιαιρώντας κατά µέλη τις παραπάνω σχέσεις, καταλήγουµε στη σχέση tan α = = Αυτή η σχέση δεν είναι τελείως σαφής και αυτό γιατί, προσδιορίζει µεν το µέγεθος της γωνίας αλλά δεν µας δίνει πληροφορίες για τη θέση των τεταρτηµορίων. Για το λόγο αυτό, χρησιµοποιούνται τα πρόσηµα των συντεταγµένων προβολών (σύµφωνα µε το σχήµα 4.3). Σηµειώνεται ότι α είναι η µικρότερη θετική γωνία που προκύπτει από την παραπάνω σχέση και για την απόλυτη τιµή της ισχύει 0 < α < 100 (βρίσκεται στο Ι τεταρτηµόριο). Την απόσταση SAB εύκολα την υπολογίζουµε µε το Πυθαγόρειο Θεώρηµα SAB= Tο τρίτο θεµελιώδες πρόβληµα της Τοπογραφίας Στο τρίτο θεµελιώδες πρόβληµα δίνονται: - Η τεθλασµένη γραµµή Σ0, Σ1, Σ2,..., Σn, Σn+1 - Η γωνία διεύθυνσης ασ0σ1 - Οι διαδοχικές γωνίες θλάσης θ1, θ2,..., θn. Ζητούνται: - Οι γωνίες διεύθυνσης των υπολοίπων πλευρών της τεθλασµένης αυτής γραµµής.

5 Σχ Η γεωµετρία του τρίτου θεµελιώδους προβλήµατος Από το σχήµα 4.4 προκύπτει εύκολα ότι ισχύουν οι σχέσεις: ασ1σ2 = ασ0σ1 + ω ω = 200 gon - φ φ = 400 gon - θ1 ασ1σ2 = ασ0σ1 + (200 gon - φ) = ασ0σ1 + [200 gon - (400 gon - θ1)]. Τελικά καταλήγουµε στη σχέση ασ1σ2 = ασ0σ1 + θ gon κ 400 gon. Το κ είναι µηδέν ή θετικός αριθµός που εκλέγεται κατάλληλα έτσι, ώστε η γωνία διεύθυνσης ασ1σ2 να λαµβάνει τιµή που να περιέχεται µεταξύ 0 gon και 400 gon. Με το ίδιο σκεπτικό, έχουµε για τα υπόλοιπα τµήµατα της τεθλασµένης γραµµής ασ2σ3 = ασ1σ2 + θ gon - κ 400 gon. ασ3σ4 = ασ2σ3 + θ gon - κ 400 gon ασnσn+1 = ασn-1σn + θn gon - κ 400 gon. Αν προσθέσουµε κατά µέλη τις παραπάνω σχέσεις καταλήγουµε στη σχέση ασnσn+1 = ασ0σ1 + [θ1 + θ θn] + n 200 gon - κ 400 gon. Χρησιµοποιώντας τη γενική αυτή σχέση µπορούµε να υπολογίσουµε τη γωνία διεύθυνσης οποιουδήποτε τµήµατος της δοθείσης τεθλασµένης γραµµής.