Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Τρίτη 27 Δεκεμβρίου 2016 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Transcript

1 ΑΠΟ 18/1/016 ΕΩΣ 05/01/017 η ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Τρίτη 7 Δεκεμβρίου 016 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α1. Αν ( xy, ) ένα διάνυσμα του καρτεσιανού επιπέδου, να αποδείξετε ότι το μέτρο του διανύσματος είναι x y. Μονάδες 10 Α. Τι ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο μη μηδενικών διανυσμάτων και. Α3. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράμμα κάθε πρότασης και δίπλα σε κάθε γράμμα τη λέξη Σωστό, για τη σωστή πρόταση, και τη λέξη Λάθος, για τη λανθασμένη. ΘΕΜΑ Β α. Για οποιαδήποτε διανύσματα και ισχύει ότι( ). β. Η ευθεία y 017 έχει συντελεστή διεύθυνσης ίσο με 0. γ. Αν ω είναι η γωνία που σχηματίζει η ευθεία ε με τον άξονα x x τότε 0. δ. Όλες οι ευθείες που διέρχονται από το σημείο Α(x 0, y 0 ) έχουν εξίσωση της μορφής y y ( x x ). 0 0 ε. Η εξίσωση y= x παριστάνει τις διχοτόμους των αξόνων. Θεωρούμε το διάνυσμα a a, a 1 καθώς και τα διανύσματα (4,3) και (7, 1). Μονάδες 15 το οποίο δεν είναι παράλληλο στον άξονα x x Β1. Να αποδείξετε ότι a 5. Β. Να βρείτε τη γωνία, Μονάδες 6. Μονάδες 6 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Ωρίωνας ΣΕΛΙΔΑ: 1 ΑΠΟ

2 ΑΠΟ 18/1/016 ΕΩΣ 05/01/017 η ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ Β3. Θεωρούμε το διάνυσμα v για το οποίο ισχύουν οι σχέσεις: ( v ) και ( ) v. Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος v. Μονάδες 6 Β4. Να αναλύσετε το διάνυσμα σε δύο κάθετες μεταξύ τους συνιστώσες, από τις οποίες η μία να είναι κάθετη στο διάνυσμα. Μονάδες 7 ΘΕΜΑ Γ Δίνονται τα σημεία Α (1, 4) και Β (- 1, - 6). Γ1. Να βρεθούν οι συντεταγμένες του μέσου Μ του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ. Γ. Να βρεθεί ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας ΑΒ Γ3. Να βρεθεί η εξίσωση της μεσοκαθέτου ευθείας του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ. Μονάδες 7 Γ4. Να βρεθεί το συμμετρικό του σημείου Γ(5, -), ως προς την ευθεία ΑΒ. Μονάδες 8 ΘΕΜΑ Δ Δίνονται τα σημεία Α (-6, 5) και Β (3, ) και Γ(λ-1, -3λ). Δ1. Να εξετάσετε για ποιες τιμές του πραγματικού αριθμού λ τα σημεία Α, Β και Γ είναι κορυφές τριγώνου. Δ. Να βρείτε για ποια τιμή του το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο στο Β. Δ3. Για λ= να βρείτε: i. Την εξίσωση του ύψους ΒΔ. ii. Την εξίσωση της διαμέσου ΓΜ. iii. Την εξίσωση της πλευράς ΑΒ και τις συντεταγμένες του σημείου Μ. Μονάδες 15 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Ωρίωνας ΣΕΛΙΔΑ: ΑΠΟ

3 ΑΠΟ 18/1/016 ΕΩΣ 05/01/016 η ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Τρίτη 7 Δεκεμβρίου 016 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α1. Θεωρία Α. Θεωρία Α3. α. Λάθος β. Σωστό γ. Λάθος δ. Λάθος ε. Σωστό ΘΕΜΑ Β Β1. Το a δεν είναι παράλληλο στον x x. Άρα a 1 0 a 1. Είναι a ( ) ( 1) a ( ) ( 1) a a ή 1. Όμως 1, οπότε 5. Β. Είναι 47 3 ( 1) 8 3 5, και 7 ( 1) Επομένως,. Άρα, Β3. Επειδή ( v ) θα είναι v με. Επομένως v και θα είναι v (4 7,3 ). Το διάνυσμα έχει συντεταγμένες (3 4,4 3) ( 1,1). Επειδή ( ) v θα είναι : ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Ωρίωνας ΣΕΛΙΔΑ: 1 ΑΠΟ 4

4 ΑΠΟ 18/1/016 ΕΩΣ 05/01/016 η ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ 1 ( ) v 0 1 (47 ) 1 (3 ) Άρα το διάνυσμα v θα έχει συντεταγμένες: v 4 7 ( ),3 ( ) 4,3, Β4. Έστω u και w οι ζητούμενες συνιστώσες με u a. Θα είναι u (3, 4 ). Αν w ( xy, ), θα είναι: Όμως uw οπότε 4 w w 0 3x 4y 0 x y. Άρα ,4 (4,3) 3 y y 3 y 4. Επομένως: 3 4 y 3 Από τη λύση του παραπάνω συστήματος βρίσκουμε Άρα 7 96 u, και 5 5 w 3 1, και 5 1 y. 5 4 w y, y 3. ΘΕΜΑ Γ Γ1. Αν Μ(γ, δ) το μέσο του ΑΒ τότε: 0 και 1. Άρα Μ(0, -1). 64 Γ. Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας ΑΒ είναι Γ3. Έστω (ε) η μεσοκάθετος της ευθείας ΑΒ με συντελεστή διεύθυνσης λ. Θα ισχύει οπότε. 5 Η ευθεία (ε) θα έχει εξίσωση: 1 1 y 1 ( x 0) y x Γ4. Παρατηρούμε ότι οι συντεταγμένες του Γ επαληθεύουν την εξίσωση της μεσοκαθέτου. Άρα το σημείο Γ ανήκει στη μεσοκάθετο του ΑΒ. Αν Γ (κ, λ) το συμμετρικό του Γ ως προς την ευθεία ΑΒ, τότε το Μ θα είναι το μέσο του ΓΓ. Επομένως: και 1 0. Άρα '( 5,0). ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Ωρίωνας ΣΕΛΙΔΑ: ΑΠΟ 4

5 ΑΠΟ 18/1/016 ΕΩΣ 05/01/016 η ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΘΕΜΑ Δ Δ1. Είναι (3 6, 5) (9, 3) και ( 4, 3 ). Τα σημεία Α, Β και Γ είναι συνευθειακά αν det( A, ) Άρα για να είναι τα σημεία Α, Β και Γ κορυφές τριγώνου πρέπει. Δ. Για να είναι το τρίγωνο ΑΒΓ ορθογώνιο στο Β πρέπει 0 9 ( 4) 3 ( 3 ) Δ3. i. Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας ΑΓ είναι 1. Επομένως η ευθεία ΒΔ που είναι κάθετη στην ευθεία ΑΓ θα έχει κλίση και εξίσωση y ( x 3) y x ιι. Το Μ μέσο του ΑΒ. Άρα, δηλαδή,. Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας ΜΓ θα είναι 3 3. Η ευθεία ΓΜ θα έχει εξίσωση: y 4 3( x 1) y 3x 1. ιιι. Η ευθεία ΑΒ θα έχει εξίσωση: y ( x 3) y ( x 3) y x ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Ωρίωνας ΣΕΛΙΔΑ: 3 ΑΠΟ 4

6 ΑΠΟ 18/1/016 ΕΩΣ 05/01/016 η ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Ωρίωνας ΣΕΛΙΔΑ: 4 ΑΠΟ 4