Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός Κεφάλαιο Β.08: Υπερβολικές Συναρτήσεις Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Β.08: Υπερβολικές Συναρτήσεις
Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Πατρών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Β.08: Υπερβολικές Συναρτήσεις
Πίνακας Περιεχομένων B.08 Υπερβολικές Συναρτήσεις... 5 8. Ορισμοί... 5 8.. Το υπερβολικό ημίτονο... 5 8.. Παρατήρηση... 5 8..3 Υπερβολικό συνημίτονο... 6 8..4 Παράγωγοι... 6 8..5 Αρτιότητα... 6 8..6 Παρατήρηση... 6 8..7 Οι άλλες Υπερβολικές Συναρτήσεις... 7 8..8 Οι Παράγωγοι... 7 8..9 Γραφικές Παραστάσεις και πεδία Ορισμού τιμών.... 7 8..0 Αρτιότητα... 8 8. Μελέτη των υπερβολικών συναρτήσεων... 8 8.. Υπερβολικό Ημίτονο... 8 8.. Υπερβολικό συνημίτονο... 8 8..3 Υπερβολική εφαπτομένη... 8 8.3 Ασκήσεις... 9 8.3. Ασκηση... 9 8.3. Ασκηση... 9 8.3.3 Ασκηση... 9 8.3.4 Ασκηση... 9 8.3.5 Ασκηση... 9 8.3.6 Ασκηση... 0 8.3.7 Ασκηση... 0 8.3.8 Ασκηση... 0 8.3.9 Ασκηση... 0 8.3.0 Ασκηση... Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Β.08: Υπερβολικές Συναρτήσεις 3
8.4 Αντίστροφες Υπερβολικές Συναρτήσεις... 8.4. Οι αντίστροφες υπερβολικές συναρτήσεις... 8.4. Παράδειγμα... 8.4.3 Οι παράγωγοι... 8.4.4 Ασκηση... 3 8.4.5 Ασκηση... 3 Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Β.08: Υπερβολικές Συναρτήσεις 4
B.08 Υπερβολικές Συναρτήσεις Οι υπερβολικές συναρτήσεις είναι συνδυασμοί εκθετικών συναρτήσεων που ικανοποιούν ταυτότητες που ομοιάζουν πολύ με αυτές των τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Είναι συναρτήσεις ιδιαίτερα χρήσιμες στην ανάλυση γενικά και ιδιαίτερα στην επίλυση ολοκληρωμάτων και διαφορικών εξισώσεων. 8. Ορισμοί Ορίζουμε δύο συναρτήσεις που ονομάζονται υπερβολικό ημίτονο και υπερβολικό συνημίτονο, που συμβολίζονται με sinh και cosh, αντίστοιχα, ως εξής: sinh cosh e e e e 8.. Το υπερβολικό ημίτονο Η γραφική παράσταση είναι Το πεδίο ορισμού της sinh είναι, ενώ, το πεδίο τιμών, είναι, στην πραγματικότητα,, καθ' όσον sinh όταν. 8.. Παρατήρηση :Η συνάρτηση υπερβολικό ημίτονο i. στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω στο διάστημα (-,0), γιατί y''<0. ii. στρέφει τα κοίλα προς τα άνω στο διάστημα (0,), γιατί y''>0. Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Β.08: Υπερβολικές Συναρτήσεις 5
iii. iv. Το σημείο (0, sinh0)=(0,0) είναι το μοναδικό σημείο καμπής. Η κλίση στην αρχή των αξόνων είναι cosh0=. 8..3 Υπερβολικό συνημίτονο Η γραφική παράσταση του υπερβολικού συνημιτόνου είναι Με ορισμού το, και πεδίο τιμών το [,) 8..4 Παράγωγοι ΟΙ παράγωγοι των συναρτήσεων αυτών μπορούν εύκολα να υπολογισθούν και είναι d d e e e e sinh d d cosh Και d d e e e e cosh d d sinh 8..5 Αρτιότητα Εύκολα διαπιστώνουμε ότι ισχύει sinh sinh cosh cosh 8..6 Παρατήρηση Οι συνήθεις τριγωνομετρικές συναρτήσεις sint και cost ονομάζονται κυκλικές συναρτήσεις γιατί τα σημεία (,y)=(cost, sint) κείνται στον κύκλο y. Οι συναρτήσεις sinht και cosht ονομάζονται υπερβολικές συναρτήσεις γιατί τα σημεία (,y) =(sinht, cosht) κείνται σε έναν κλάδο της υπερβολής y γιατί, για κάθε t ισχύει η ταυτότητα cosh t sinh t. Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Β.08: Υπερβολικές Συναρτήσεις 6
Τα ανωτέρω φαίνονται στο σχήμα 8..7 Οι άλλες Υπερβολικές Συναρτήσεις Οι συναρτήσεις υπερβολική εφαπτομένη, συνεφαπτομένη, τέμνουσα και συντέμνουσα ορίζονται ως εξής:. tanh sinh cosh e e e e. coth cosh sinh e e e e sec h cosh e e 3. csc sinh e e 4. 8..8 Οι Παράγωγοι Οι παράγωγοι των ανωτέρω συναρτήσεων υπολογίζονται εύκολα και είναι. d tanh sec h d cosh. d d coth csc h sinh 3. d h h d sec sec tanh 4. d d csch csch coth 8..9 Γραφικές Παραστάσεις και πεδία Ορισμού τιμών. Πεδίο ορισμού, Πεδίο τιμών, Πεδίο ορισμού,0 0, Πεδίο τιμών,, Πεδίο ορισμού,0 0, Πεδίο τιμών, 0 0, Πεδίο ορισμού, Πεδίο τιμών 0, Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Β.08: Υπερβολικές Συναρτήσεις 7
8..0 Αρτιότητα Εύκολα διαπιστώνουμε ότι: tanh tanh coth coth csch csch sech sech 8. Μελέτη των υπερβολικών συναρτήσεων 8.. Υπερβολικό Ημίτονο Η συνάρτηση υπερβολικό ημίτονο είναι περιττή και επομένως θα είναι συμμετρική ως προς την αρχή των αξόνων. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y=sinh: v. στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω στο διάστημα (-,0), γιατί y''<0. vi. vii. viii. στρέφει τα κοίλα προς τα άνω στο διάστημα (0,), γιατί y''>0. Το σημείο (0, sinh0)=(0,0) είναι το μοναδικό σημείο καμπής. Η κλίση στην αρχή των αξόνων είναι cosh0=. 8.. Υπερβολικό συνημίτονο Στην γραφική παράσταση της συνάρτησης υπερβολικό συνημίτονο παρατηρούμε: i. είναι φθίνουσα στο (-,0] ii. αύξουσα στο [0,). iii. το σημείο (0,cosh0)=(0,) είναι τοπικό και απόλυτο ελάχιστο. Δεν υπάρχουν άλλες ακρότατες τιμές. Επί πλέον η συνάρτηση cosh είναι άρτια συνάρτηση. 8..3 Υπερβολική εφαπτομένη Στη γραφική παράσταση της y tanh που φαίνεται στο σχήμα παρατηρούμε ότι: i. έχουμε περιττή συνάρτηση. ii. ότι οι γραμμές y και y είναι οριζόντιες ασύμπτωτοι. iii. στο διάστημα,0 η y tanh στρέφει τα κοίλα προς τα άνω ενώ στο διάστημα 0, προς τα κάτω. iv. το σημείο 0,tanh0 0,0 είναι σημείο καμπής και η Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Β.08: Υπερβολικές Συναρτήσεις 8
κλίση στην αρχή είναι cosh 0 sec 0 8.3 Ασκήσεις 8.3. Ασκηση Να υπολογισθούν οι τιμές των παραστάσεων. sinh0. sinh 3. sinh ln 4 4. cosh ln 5. tanh ln 6. sec h 7. coth ln 4 8. csc h ln 8.3. Ασκηση Να μελετηθεί η συνάρτηση coth 8.3.3 Ασκηση Να δειχθούν οι σχέσεις. cosh t sinh t. tanh sech 8.3.4 Ασκηση Να δειχθούν οι σχέσεις.. 3. 4. sinh t s cosh t cosh s cosh t sinh s cosh t s cosh t cosh s sinh t sinh s tanh coth t t s s tanh t tanh s tanh t tanh t cotht coth s coth s coth t 8.3.5 Ασκηση Να δειχθούν οι σχέσεις:. sinh t sinh t cosh t. sinh coth tanh 3. cosh t cosh t sinh t 4. cosht sinh 5. cosht cosh 6. cosh coth coth tanh tanh 7. tanh tanh tanh Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Β.08: Υπερβολικές Συναρτήσεις 9
8.3.6 Ασκηση Να δειχθούν οι σχέσεις cosh cosh sinh cosh sinh cosh tanh tanh cosh sinh sinh cosh cosh cosh 8.3.7 Ασκηση Να δειχθούν οι σχέσεις.. 3. 4. 5. t s t s sinht sinh s sinh cosh t s t s cosh t cosh s cosh cosh t s t s cosh t cosh s sinh sinh cosh sinh e cosh sinh e 8.3.8 Ασκηση Να δειχθούν οι σχέσεις. sinh coth tanh sec h. 8.3.9 Ασκηση sinh coth csc h cosh Να δειχθεί ότι n cosh sinh cosh n sinh n Ασκηση Να δειχθούν οι σχέσεις μεταξύ υπερβολικών συναρτήσεων sinh u cosh u tanh u coth u sec h u csc h u sinh u u u u u u u u cosh u u u u u u u u tanh u u u u u u u u coth u u u u u u u u sec h u u u u u u u u Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Β.08: Υπερβολικές Συναρτήσεις 0
csc h u u u u u u u u 8.3.0 Ασκηση Να υπολογισθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων. y sinh. y cosh 3. y sinh coth 3 4. y sinh 5. y cosh 4 6. y cosh cosh 7. y cosh 8. y ln tanh 9. y e csc h 0. y cosh cosh 3. y ln cosh. y cosh 3 3. y sinhln 4. y tanh 8.4 Αντίστροφες Υπερβολικές Συναρτήσεις Οι υπερβολικές συναρτήσεις δεν είναι περιοδικές. Εύκολα διαπιστώνουμε ότι από τις έξη συναρτήσεις οι τέσσερες είναι ουσιαστικά ένα-προς-ένα, υπερβολικό ημίτονο, υπερβολική εφαπτομένη, υπερβολική τέμνουσα και υπερβολική συντέμνουσα. Επομένως για αυτές υπάρχει η αντίστροφη συνάρτηση. Οι άλλες δύο, υπερβολικό συνημίτονο και υπερβολική τέμνουσα, γίνονται ένα προς ένα αν περιορίσουμε τα πεδία ορισμού στους θετικούς πραγματικούς. Τέλος, επειδή οι υπερβολικές συναρτήσεις ορίζονται ως συναρτήσεις των εκθετικών συναρτήσεων, μπορούμε να βρούμε για αυτές εκφράσεις συναρτήσει των λογαριθμικών συναρτήσεων. 8.4. Οι αντίστροφες υπερβολικές συναρτήσεις sinh ln, cosh ln, tanh ln, coth ln,, sec h ln, 0, Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Β.08: Υπερβολικές Συναρτήσεις
8.4. Παράδειγμα sec h ln, 0 0, Η ακριβής έκφραση για την συνάρτηση sinh προκύπτει από την λύση της y sinh e e ως προς. Πολλαπλασιάζοντας με e και αναδιατάσσοντας τους όρους έχουμε y e e e y e 0 που γράφεται e e y 0 και που έχει λύση y 4y 4 e y y επειδή η συνάρτηση e είναι θετική θεωρούμε μόνο την θετική ρίζα. Επομένως e y y και επομένως η sinh y δίδει sinh y ln y y. Με τον ίδιο τρόπο προκύπτουν και οι άλλες εκφράσεις. 8.4.3 Οι παράγωγοι Από την γενική έκφραση για την παράγωγο αντίστροφης συνάρτησης d f ( y ) dy f ( f y ) έχουμε ότι d sinh dy y d sinh cosh d με την βοήθεια της έκφρασης cosh sinh έχουμε ότι Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Β.08: Υπερβολικές Συναρτήσεις
d sinh y d cosh sinh y όπου θεωρούμε μόνο την θετική ρίζα γιατί το cosh είναι πάντα θετικό. Συνολικά d sinh d y y d cosh, d d tanh d d coth d 8.4.4 Ασκηση Να υπολογισθούν οι παράγωγοι 3. cosh. sinh 3. sinh 3 cos 4. cosh tan 5. tanh 6. coth 7. cosh sinh 8. sinh cosh 9. e sinh 0. e 3 cosh. sinh cos 3. cosh sin 8.4.5 Ασκηση Nά υπολογισθούν, αριθμητικά, με την βοήθεια των λογαρίθμων, οι τιμές των συναρτήσεων.. tanh 0.5. coth.3 3. sec h 0.3 4. csc h. Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Β.08: Υπερβολικές Συναρτήσεις 3
Σημειώματα Α) Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων Το υλικό της Μαθηματικής Ανάλυσης προέρχεται από τις σημειώσεις του Επίκουρου Καθηγητή κ. Γεωργίου Ν. Μπροδήμα για τις ανάγκες διδασκαλίας του ομώνυμου μαθήματος στο Τμήμα Φυσικής του Πανεπιστημίου Πατρών. Β) Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Πατρών, Γεώργιος Ν. Μπροδήμας. «Μαθηματική Ανάλυση. Ενότητα Β.08: Υπερβολικές Συναρτήσεις». Έκδοση:.0. Πάτρα 05. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: https://eclass.upatras.gr/courses /PHY9/ Γ) Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [] http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. Δ) Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφ όσον υπάρχει). Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Β.08: Υπερβολικές Συναρτήσεις 4