ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β. Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις

Μαρτάκης Μάρτης Μαθηµατικός του 1 ου ΓΕΛ Ρόδου 1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις 1. σε ορθογώνιο τρίγωνο µε 30 ο, η απέναντι 30 ο κάθετη είναι το µισό της υποτείνουσας α και αντίστροφα. α. σε ορθογώνιο τρίγωνο η διάµεσος στην α υποτείνουσα είναι το µισό της υποτείνουσας α α Α. Β Γ εγγεγραµµένη γωνία Α σε ηµικύκλιο ΒΓ είναι ορθή 3. εγγεγραµµένες γωνίες σε ίσα ή στο ίδιο τόξο είναι ίσες 4. σε αµβλυγώνιο τρίγωνο τα δύο ύψη είναι έξω από το τρίγωνο 5. για τις πλευρές α, β, γ ενός τριγώνου πρέπει να ισχύει: α < β + γ όπου α η µεγαλύτερη πλευρά. 6. σε ένα τρίγωνο, απέναντι από µεγαλύτερη γωνία βρίσκεται και µεγαλύτερη πλευρά και αντίστροφα α γ β γ 7. ιδιότητες αναλογιών: αδ = βγ = και β = αγ = β δ α α 1. ΕΙ ΟΣ ΤΡΙΓΩΝΟΥ Ελέγχω το τετράγωνο της µεγαλύτερης πλευράς µε το άθροισµα των τετραγώνων των άλλων δύο. και: αν είναι µεγαλύτερο τότε είναι αµβλυγώνιο, αν είναι µικρότερο είναι οξυγώνιο. Π.χ. αν α=5 β=7, γ=4 έχω: β =49>α +γ =41 άρα αµβλυγώνιο στη Β.. ΠΡΟΒΟΛΗ ΠΛΕΥΡΑΣ ΣΕ ΑΛΛΗ ΠΛΕΥΡΑ Υπολογίζω από Γ.Π.Θ. το τετράγωνο της τρίτης πλευράς προσέχοντας αν η απέναντί της γωνία είναι αµβλεία ή οξεία. Π.χ. αν α=5 β=7, γ=4 για την προβολή χ της α πάνω στη β έχω: Γ<90 ο άρα: γ = α + β - βχ άρα χ= (αν είχα Γ>90 ο θα ήταν: γ = α + β + βχ ) 3. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΙΑΜΕΣΟΥ ή ΤΗΣ ΠΡΟΒΟΛΗΣ ΤΗΣ ΣΕ ΠΛΕΥΡΑ ΤΟΥ ΤΡΙΓ. Από το 1 ο και ο θεώρ. διαµέσων: α + β = µ α + α / και α - β = γχ 4. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΓΩΝΙΑΣ Από το νόµο των συνηµιτόνων : α = β + γ - βγσυνα βγηµα Από τον τύπο του εµβαδού: ( ΑΒΓ ) =

Μαρτάκης Μάρτης Μαθηµατικός του 1 ου ΓΕΛ Ρόδου 5. ΤΥΠΟΙ ΕΜΒΑ ΟΥ Ε ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΑΒΓ α υ β υ α β γ υγ E= = = β γ ηµ α γ ηµ α β ηµ E= Α = Β = Γ α + β + γ E= τ( τ α)( τ β)( τ γ) ( οπου τ = ) E α β γ 4R = (R η ακτίνα του περιγεγραµµένου κύκλου) Ε = τ ρ ( ρ η ακτίνα του εγγεγραµµένου κύκλου Οι παραπάνω τύποι αποτελούν ένα σύστηµα εξισώσεων από το οποίο αν ξέρω ορισµένα στοιχεία µπορώ να βρίσκω τα υπόλοιπα. 3 εµβαδόν ισόπλευρου πλευράς α: Ε = α 4 6. Σε ένα τρίγωνο κάθε διάµεσος το χωρίζει σε δύο ισεµβαδικά αλλά όχι απαραίτητα ίσα τρίγωνα.

Μαρτάκης Μάρτης Μαθηµατικός του 1 ου ΓΕΛ Ρόδου 3 Κ Α Ν Ο Ν Ι Κ Ο Π Ο Λ Υ Γ Ω Ν Ο ( ίσες πλευρές και ίσες γωνίες ).. Α ν φ ν Ο R Α 3 ω ν λ ν R α ν R λ ν λ ν / λ ν / Α 1 Μ Α Ο : κέντρο πολυγώνου : σηµείο τοµής των διχοτόµων των γωνιών και των µεσοκαθέτων των πλευρών R: ακτίνα πολυγώνου : απόσταση του Ο από τις κορυφές, κέντρο του εγγεγραµµένου και του περιγεγραµµένου κύκλου του πολυγώνου. α ν : απόστηµα πολυγώνου : η απόσταση του Ο από κάθε πλευρά λ ν : κάθε µία από τις ν ίσες πλευρές του πολυγώνου ω ν : κεντρική γωνία : ω ν = 360 ο /ν φ ν : γωνία πολυγώνου : φ ν + ω ν = 180 ο άρα φ ν =180 ο - 360 ν 0 Ρ ν : περίµετρος πολυγώνου : Ρ ν =νλ ν λα ν ν Ε ν : εµβαδόν πολυγώνου : Ε ν = ν (Α 1 ΟΑ ) = ν ή Ε ν = R ηµων * Ισχύει από Π.Θ. : λ ν + αν = R από τον οποίο υπολογίζω το α ν αν ξέρω το λ ν 4 Πλευρές και αποστήµατα κανονικών πολυγώνων ακτίνας R. τρίγωνο τετράγωνο εξάγωνο απόστηµα : α R 1 ν R R 3 πλευρά : λ ν R 3 R R 1

Μαρτάκης Μάρτης Μαθηµατικός του 1 ου ΓΕΛ Ρόδου 4 ΚΥΚΛΟΣ Μήκος κύκλου: L = πr = π δ (δ=r διάµετρος) R R Εµβαδόν κύκλου: Ε = πr = πδ 4 ΚΥΚΛΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ : ΟΑΒ Α R Μήκος τόξου: Ο µ ο R Β Εµβαδόν κ.τοµέα: R l = π µ ar ΑΒ 180 = R 1 π µ ( ΟΑΒ )= = ar 360 ( µ το µέτρο της γωνίας ΑΟΒ σε µοίρες και α το µέτρο της σε ακτίνια ) ΚΥΚΛΙΚΟ ΤΜΗΜΑ : ΑΓΒ Α A O Εµβαδόν κυκλ. τµήµ. = εµβαδόν τοµέα εµβαδόν τριγώνου δηλ. Ε κ. τµ.( ΑΓΒ Α) = ( ΟΑΒ) ( ΟΑΒ ) B Γ ΜΗΝΙΣΚΟΣ : ΑΓΒ Α Α Γ Εµβαδόν µηνίσκου = διαφορά κυκλικών τµηµάτων δηλ. Ε (ΑΓΒ Α) = Ε κ.τµ.(αγβα) Ε κ.τµ.(α ΒΑ) Β

Μαρτάκης Μάρτης Μαθηµατικός του 1 ου ΓΕΛ Ρόδου 5 ΘΕΩΡΙΑ (αποδείξεις) Κεφ. 9 1. Αν σε ορθ. τρίγωνο ΑΒΓ (Α=90 ο ) το Α ύψος, ν.δ.ο. Β i) ΑΒ = Β ΒΓ ii) ΑΒ + ΑΓ = ΒΓ iii) Α = Β Γ αποδείξεις Α Γ i) Έχω: ΑΒ = Β ΒΓ ΑΒ ΑΒ = Β ΒΓ AB B Γ = B AB άρα αρκεί ν.δ.ο. ΑΒΓ ΑΒ. ( για να έχω όµοια τρίγωνα αρκεί να έχουν δύο γωνίες ίσες ) τα τρίγωνα είναι ορθογώνια και έχουν τη B κοινή, άρα όµοια. ii) Ισχύει: ΑΒ = Β ΒΓ (1) όµοια έχω : ΑΓ = Γ ΒΓ () άρα (1)+() => ΑΒ + ΑΓ = Β ΒΓ + Γ ΒΓ=(Β + Γ) ΒΓ =ΒΓ ΒΓ =ΒΓ iii) Έχω: Α = Β Γ Α Α = Β Γ A Γ = Β A (1) άρα αρκεί ν.δ.ο. Α Γ ΑΒ. τα τρίγωνα είναι ορθογώνια και έχουν ˆ ˆ ΑΓ=Β διότι είναι οξείες γωνίες µε πλευρές κάθετες. Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: ΑΒ + ΑΓ = ΒΓ (1), τότε Α=90 ο ψ Στις πλευρές Οχ,Οψ µιας ορθής χοψ παίρνω τα τµήµατα Γ Ε ( Ο =ΑΒ και ΟΕ=ΑΓ ) (). Στο ορθ. Ο Ε έχω: Ο +ΟΕ = Ε () ΑΒ + ΑΓ = Ε (1) ΒΓ = Ε Α Β Ο χ Τελικά τα τρίγωνα ΑΒΓ και Ο Ε είναι ίσα ( τρείς πλευρές ίσες ) άρα Α=Ο= ˆ ˆ 90 0 3. Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ η γωνία Α είναι οξεία, ν.δ.ο. α = β + γ -β Α όπου Α η προβολή της γ πάνω στη β. Απόδειξη: Α 1 ο σχήµα ο σχήµα Α γ β γ β Β α Γ Β α Γ

Έχω: Μαρτάκης Μάρτης Μαθηµατικός του 1 ου ΓΕΛ Ρόδου 6. Β Γ. Β Α = = a ορϑ Β + Γ ορϑ ( γ Α ) + Γ (1) Στο 1 ο σχήµα η γωνία Γ είναι οξεία και έχω: Γ = β Α Στο ο σχήµα η Γ είναι αµβλεία και έχω: Γ = Α β. Όµως και στις δύο περιπτώσεις είναι : Γ = (β-α ) = (Α -β) = β +Α -βα. Άρα η (1) γίνεται: α = (γ Α ) + ( β +Α -β Α ) = γ + β -β Α Αν η Γ είναι ορθή τότε το ΑΒΓ είναι ορθογώνιο το ταυτίζεται µε το Γ, η Α µε τη β και η Β µε τη ΒΓ. Άρα θα έχω: α = γ + β -β Α = γ + β -β β = γ + β -β = γ - β σχέση η οποία ισχύει από το Π.Θ. στο ορθ. ΑΒΓ. 4. Αν δύο χορδές ΑΒ,Γ ή οι προεκτάσεις τους τέµνονται στο Ρ, ν.δ.ο. ΡΑ ΡΒ = ΡΓ Ρ 1 ο σχήµα ο σχήµα Α Β Α Ρ Γ Β Γ Ρ Θ.δ.ο. ΡΑ ΡΒ = ΡΓ Ρ ΡΑ Ρ = ΡΓ ΡΒ, αρκεί ν.δ.ο. ΡΑ ΡΒΓ. Τα τρίγωνα έχουν: 1 ο σχήµα: i) ˆ ˆ ΑΡ =ΒΡΓ σαν κατακορυφή ii) ˆ ˆ Α=Γ εγγεγραµµένες στο ίδιο τόξο Β ο σχήµα: i) ˆΡ κοινή ii) ˆ ˆ Α=Γ εγγεγραµµένες στο ίδιο τόξο Β 5. Αν από εξωτερικό σηµείο Ρ ενός κύκλου (Ο,R) φέρουµε το εφαπτόµενο τµήµα ΡΕ και τυχαία τέµνουσα ΡΑΒ, ν.δ.ο. ΡΑ ΡΒ = ΡΟ ΟΕ = ΡΕ Ε Αν η ΡΟ τέµνει τον κύκλο στα Γ, τότε από R γνωστό θεώρηµα έχω: R O R Γ Ρ ΡΑ ΡΒ = ΡΓ Ρ = (ΟΡ-R) (OP+R) A = OP R = ΡE (Π.Θ. στο ορθ. ΟΕΡ * ) Β ( * η ΡΕ εφαπτόµενη άρα η γωνία ΟΕΡ=90 ο )

Μαρτάκης Μάρτης Μαθηµατικός του 1 ου ΓΕΛ Ρόδου 7 7. ύναµη σηµείου Ρ ως προς κύκλο (Ο, R) λέγεται η διαφορά: ΟΡ R και συµβολίζεται µε: Ρ (Ο, R) δηλ. Ρ (Ο, R) = ΟΡ R i) Αν το Ρ είναι εξωτερικό σηµείο του κύκλου τότε: Ρ (Ο, R) > 0 (διότι ΟΡ>R) ιι) Αν το Ρ είναι εσωτερικό σηµείο του κύκλου τότε: Ρ (Ο, R) < 0 (διότι ΟΡ>R) iii) Aν το Ρ είναι σηµείο του κύκλου τότε: Ρ (Ο, R) = 0 (διότι ΟΡ=R) Κεφ. 10 1. Ν.δ.ο. το εµβαδόν ενός ορθογωνίου µε πλευρές α,β ισούται µε: α β. Κ α Ζ β Η Έστω το ορθ. ΑΒΓ µε πλευρές α,β και εµβαδόν Ε. Προεκτείνω την ΑΒ κατά β και Α κατά α. Έτσι σχηµατίζεται το α α Ε α τετράγωνο ΑΙΗΚ µε πλευρά α+β, το τετράγωνο ΚΖΓ µε πλευρά α, Γ Θ το τετράγωνο ΓΘΙΒ µε πλευρά β και το ορθ. ΖΗΘΓ µε πλευρές α,β. β Ε β Α α Β β Ι Από το σχήµα έχω: (ΑΚΗΙ) = (ΑΒΓ ) + (Γ ΚΖ) + (ΓΖΗΘ) + (ΒΓΘΙ) δηλ. (α+β) = Ε + α + Ε + β α +αβ + β = Ε + α + Ε + β αβ = Ε Ε = αβ.. Ν.δ.ο. το εµβαδόν ενός παρ/µου ισούται µε το γινόµενο µιας πλευράς του επί το ύψος που αντιστοιχεί σαυτή. Α Έστω το παρ/µο ΑΒΓ και το ύψος ΑΕ, θ.δ.ο. (ΑΒΓ ) = ΒΓ ΑΕ Φέρνω το Ζ ΒΓ τότε ΑΒΕ = ΓΖ (ορθ., ΑΒ=Γ Β Ε Γ Ζ και Β ˆ ˆ 1 =Γ 1 εν.εκ.α.µ. ) άρα και (ΑΒΕ) = ( ΓΖ) (1) Από το σχήµα έχω: (ΑΒΓ ) = (ΑΒΕ) + (ΑΕΓ ) (1) = ( ΓΖ) + (ΑΕΓ ) = (ΑΕΖ ) = Α ΑΕ = ΒΓ ΑΕ 3. Ν.δ.ο. το εµβαδόν ενός τριγώνου ισούται µε το ηµιγινόµενο µιας πλευράς επί το αντίστοιχο ύψος Α Έστω το ΑΒΓ και το ύψος του ΑΗ,θ.δ.ο. (ΑΒΓ)= 1 ΒΓ ΑΗ Με τις πλευρές ΑΒ και ΒΓ σχηµατίζω το παρ/µο ΑΒΓ άρα έχω: Β Η Γ ΑΒΓ = ΑΓ άρα και (ΑΒΓ) = (ΒΓ )= ( ΑΒΓ ) ΒΓ ΑΕ =

Μαρτάκης Μάρτης Μαθηµατικός του 1 ου ΓΕΛ Ρόδου 8 4. Ν.δ.ο. το εµβαδόν ενός τραπεζίου ισούται µε το γινόµενο του ηµιαθροίσµατος των βάσεών του επί το ύψος του. Α Β Έστω το τραπέζιο ΑΒΓ µε βάσεις ΑΒ και Γ και ύψος υ. Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΓ έχουν βάσεις τις ΑΒ και Γ και το υ υ ίδιο αντίστοιχο ύψος υ, άρα θα έχω: ΑΒ υ Γ υ ( ΑΒ+Γ ) Γ (ΑΒΓ ) = (ΑΒΓ) + (ΑΓ ) = + = υ 8. Αν σε δύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ είναι: Α=Α ή Α+Α =180 ο τότε για τα εµβαδά τους Ε και Ε ισχύει: Ε β γ = Ε β γ και στις δύο περιπτώσεις έχω: ηµα = ηµα άρα έχω: Κεφ 11 1 β γ ηµ Α Ε β γ = = Ε 1 β γ β γ ηµ Α 1. Να εγγράψετε σε κύκλο τετράγωνο και να υπολογίσετε την πλευρά του και το απόστηµά του σε συνάρτηση της ακτίνας R του κύκλου. Σε κύκλο (Ο, R) φέρνουµε δύο κάθετες διαµέτρους ΑΓ και Β R λ 4 άρα Α ˆΟΒ = Β ˆΟΓ = Γ ˆΟ = ˆΟΑ = 90 ο άρα και ΑΒ=ΒΓ=Γ = Α εποµένως Α Ο R Γ το ΑΒΓ είναι τετράγωνο µε πλευρά λ 4. Η Στο ορθ. ΓΟ έχω: λ 4 =R + R =R άρα λ 4 = R Β Επίσης αν ΟΗ ΒΓ τότε α 4 = ΟΗ=Γ / = λ 4 / = R. Να εγγράψετε σε κύκλο κανονικό εξάγωνο και να υπολογίσετε την πλευρά του και το απόστηµά του σε συνάρτηση της ακτίνας R του κύκλου. Ε Για την κεντρική του γωνία ω 6 έχω: ω 6 = ˆ ΑΟΒ =360 ο /6 =60 ο Άρα το ισοσκελές ΑΟΒ τελικά είναι ισόπλευρο µε πλευρά R Εποµένως λ 6 =ΑΒ=R,άρα για να εγγράψω το κανονικό εξάγωνο Ζ Ο Γ αρκεί να πάρω έξι διαδοχικά τόξα ΑΒ, ΒΓ, Γ, Ε, ΕΖ, ΖΑ που R R έχουν το καθένα χορδή R. Α λ 6 Β Για το απόστηµα α 6 έχω: λ6 R R 3R R 3 α6 + = R α6 + = R α6 = R α6 = α6 = 4 4 4 4

Μαρτάκης Μάρτης Μαθηµατικός του 1 ου ΓΕΛ Ρόδου 9 3. Να εγγράψετε σε κύκλο ισόπλευρο τρίγωνο και να υπολογίσετε την πλευρά του και το απόστηµά του σε συνάρτηση της ακτίνας R του κύκλου. Ε Χωρίζω τον κύκλο σε έξι ίσα τόξα ΑΒ= ΒΓ= Γ = Ε=ΕΖ=ΖΑ άρα το ΑΓΕ είναι ισόπλευρο τρίγωνο διότι 0 ΑΓ=ΓΕ=ΕΑ= 10. Ζ Ο Γ Η Α είναι διάµετρος διότι 0 ΑΓ = 180 το ΑΓ είναι ορθ. στη Γ Η και από Π.Θ. έχω: Άρα λ 3 = R 3 Α Β Για το απόστηµα α 3 =ΟΗ έχω: λ 3 =ΑΓ =Α -Γ =(R) -R = 3R Στο ΑΓ το Ο είναι µέσο της Α και ΟΗ//Γ ( κάθετες στην ΑΓ) άρα ΟΗ=Γ /=R/

Μαρτάκης Μάρτης Μαθηµατικός του 1 ου ΓΕΛ Ρόδου 10 Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Π Ο Λ Υ Ω Ν Υ Μ Α Γενική µορφή πολυωνύµου: α ν χ ν + α ν-1 χ ν-1 + α ν- χ ν- + +α 1 χ + α 0, ν θετικός ακέραιος. Συντελεστές πολυωνύµου : α ν,α ν-1, α 1, α ο (µπορεί να είναι και παραµετρικοί ) Όροι πολυωνύµου : α ν χ ν, α ν-1 χ ν-1,, α 1 χ, α 0 Σταθερός όρος : α 0 (ό,τι δεν πολλαπλασιάζεται µε το χ ) Βαθµός πολυωνύµου : ν ( ο µεγαλύτερος εκθέτης του χ ) Σταθερό πολυώνυµο: P(χ) = c, ( c σταθερός αριθµός) είναι µηδενικού βαθµού αν c 0. Μηδενικό πολυώνυµο: (το µηδενικό είναι και σταθερό ) Ανηγµένη µορφή : Αριθµητική τιµή : Ρίζα πολυωνύµου : Ίσα πολυώνυµα : Πολυώνυµα σε γενική µορφή: Ρ(χ) = 0, για κάθε χ R. εν ορίζεται ο βαθµός του. η τελική µορφή που παίρνει το πολυώνυµο όταν γίνουν όλες οι δυνατές πράξεις. η τιµή που παίρνει το πολυώνυµο όταν αντικατασταθεί το χ µε έναν αριθµό ο αριθµός που το µηδενίζει όταν οι συντελεστές των οµοιόβαθµων όρων τους είναι ίσοι. 1 ου βαθµού : αχ+β, α 0. ου βαθµού : αχ +βχ+γ, α 0. 3 ου βαθµού : αχ 3 +βχ +γχ+δ, α 0 κ.ο.κ. Ταυτότητα διαίρεσης (Τ..) : (χ) = δ(χ) π(χ) + υ(χ) Όπου (χ) ο διαιρετέος, δ(χ) ο διαιρέτης, π(χ) το πηλίκο και υ(χ) το υπόλοιπο. Ο βαθµός του υ(χ), αν δεν είναι το µηδενικό πολυώνυµο, είναι µικρότερος από το βαθµό του δ(χ) και όχι απαραίτητα από το βαθµό του π(χ). Το υπόλοιπο της διαίρεσης Ρ(χ):(χ-ρ) είναι το υ=ρ(ρ) Αποδείξεις 1. Το υπόλοιπο της διαίρεσης Ρ(χ):(χ-ρ) είναι το υ=ρ(ρ) Από την Τ.. έχω : Ρ(χ)=(χ-ρ) π(χ)+υ για χ =ρ θα έχω: Ρ(ρ) = 0 π(ρ) + υ = υ. Το χ-ρ είναι παράγοντας του Ρ(χ) αν και µόνο αν το ρ είναι ρίζα του Ρ(χ) Ευθύ: Έστω ότι το χ-ρ είναι παράγοντας του Ρ(χ),τότε θα ισχύει: Ρ(χ) = (χ-ρ) π(χ) άρα Ρ(ρ)=0 π(ρ) = 0 δηλ. το ρ είναι ρίζα του Ρ(χ). Αντίστροφα: Έστω ότι το ρ είναι ρίζα του Ρ(χ) τότε: Ρ(ρ) = 0 δηλ. υ=0 όπου υ το υπόλοιπο της διαίρεσης Ρ(χ):(χ-ρ). Από την Τ.. έχω : Ρ(χ)=(χ-ρ) π(χ)+υ δηλ. Ρ(χ)=(χ-ρ) π(χ) από την οποία φαίνεται ότι το χ-ρ είναι παράγοντας του Ρ(χ).

Μαρτάκης Μάρτης Μαθηµατικός του 1 ου ΓΕΛ Ρόδου 11 3. Αν µία πολυωνυµική εξίσωση µε ακέραιους συντελεστές, έχει ρίζα έναν ακέραιο αριθµό ρ 0, τότε ο αριθµός αυτός είναι διαιρέτης του σταθερού όρου. Έστω η πολυωνυµική εξίσωση α ν χ ν + α ν-1 χ ν-1 + α ν- χ ν- + +α 1 χ + α 0 = 0 και ρ 0 η ακέραιη ρίζα της. Τότε α ν ρ ν + α ν-1 ρ ν-1 + α ν- ρ ν- + +α 1 ρ + α 0 = 0 ( α ν ρ ν-1 + α ν-1 ρ ν- + α ν- ρ ν-3 + +α 1 )ρ + α 0 =0 κ ρ + α 0 = 0 ( όπου κ= α ν ρ ν-1 + α ν-1 ρ ν- + α ν- ρ ν-3 + +α 1 ακέραιος, σαν άθροισµα ακεραίων) άρα α 0 = -κρ. Η τελευταία ισότητα ακεραίων σηµαίνει ότι το ρ διαιρεί τον α 0 Ορισµοί Π Ρ Ο Ο Ο Ι Ακολουθία πραγµατικών αριθµών είναι µία αντιστοίχιση των φυσικών αριθµών στους πραγµατικούς αριθµούς ν-οστός ή γενικός όρος µιας ακολουθίας είναι ο αριθµός στον οποίο αντιστοιχεί ο φυσικός αριθµός ν και συµβολίζεται µε α ν Αριθµητική πρόοδος λέγεται µία ακολουθία,στην οποία κάθε όρος της προκύπτει από τον προηγούµενο του µε πρόσθεση πάντοτε του ίδιου αριθµού. Αριθµητικός µέσος των α, γ λέγεται ένας αριθµός β έτσι ώστε οι αριθµοί : α, β, γ να είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου, και ισχύει: τ ύ π ο ι Αριθµητική α + γ β = συνθήκη ορισµού α ν+1 = α ν +ω ή α ν+1 - α ν =ω α, β, γ διαδοχικοί όροι β = α+γ ν-οστός όρος άθροισµα των ν πρώτων όρων α ν = α 1 +(ν-1)ω ν ν Sν = ( a1 + aν ) = [ a1 + ( ν 1) ω] Αποδείξεις 1. Σε αρ. πρ. ν.δ.ο. α ν = α 1 +(ν-1)ω Σύµφωνα µε τον ορισµό της αριθµητικής πρ. έχουµε: α 1 =α 1 α = α 1 + ω α 3 = α + ω α 4 = α 3 + ω.. α ν-1 = α ν- + ω α ν = α ν-1 + ω α 1 + α + α 3 + +α ν-1 + α ν = α 1 +α 1 + α + α 3 + +α ν- +α ν-1 +(ν-1)ω και µετά τη διαγραφή έχουµε: α ν = α 1 +(ν-1)ω προσθέτουµε κατά µέλη τις ισότητες και έχουµε:

Μαρτάκης Μάρτης Μαθηµατικός του 1 ου ΓΕΛ Ρόδου 1 α + γ. Αν οι α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι σε Α.Π. ν.δ.ο. β = α + γ Αν ω η διαφορά της προόδου τότε έχουµε: β-α = ω και γ-β =ω άρα β-α = γ-β β = α + γ Αντίστροφα : αν β = τότε οι α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι σε Α.Π α + γ έχω : β = β=α+γ β-α = γ-β που σηµαίνει ότι οι α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι σε Α.Π Ορισµοί ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ - ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ µ ν a a µ ν = όπου: α>0, µ ακέραιος και ν θετικός ακέραιος. H f(x) = α x ορίζεται στο R ( δηλ. έχει πεδίο ορισµού το R), όταν α>0. Αν α>1 είναι γν. αύξουσα, αν α<1 είναι γν. φθίνουσα και αν α=1 είναι σταθερή στο R, f(x)=1. Εκθετική συνάρτηση µε βάση το α είναι η f(x) = α x µε α>0 και α 1 πεδίο ορισµού : R σύνολο τιµών : (0,+ ). Σηµεία τοµής µε τους άξονες: τέµνει µόνο τον ψ ψ στο ( 0, 1) Μονοτονία: αν α>1 είναι γν. αύξουσα, αν α<1 είναι γν. φθίνουσα Ασύµπτωτες: αν α>1 είναι ο ηµιάξονας Οχ, αν α<1 είναι ο ηµιάξονας Οχ Γραφική παράσταση : Ο αριθµός e : ψ α>1 α<1 1 1 0 x 0 x 1 ν e= lim (1 + ),718 ν + ν Εκθετική συνάρτηση λέγεται η f(x) = e x ( όµοια µε την f(x) = α x µε α>1 ) Λογάριθµος του θ µε βάση το α όπου θ>0 και α>0 µεα 1, ονοµάζεται η µοναδική λύση της εξίσωσης α x =θ και συµβολίζεται µε log α θ δηλ. ισχύει η ισοδυναµία: εκαδικός λογάριθµος: logθ δηλ. όταν η βάση α=10. άρα log 10 θ = logθ Νεπέρειος λογάριθµος: lnθ δηλ. όταν η βάση α=e. άρα log e θ = lnθ Άµεσες συνέπειες του ορισµού του log α θ (θ>0 και α>0 µεα 1) log α α =1 log α α x = x a log a θ ψ α x =θ x = log α θ = θ log a 1 = 0 log10 =1 log10 x = x 10 logθ = θ λογ1 = 0

Μαρτάκης Μάρτης Μαθηµατικός του 1 ου ΓΕΛ Ρόδου 13 lne = 1 lne x = x e lnθ = θ ln1 = 0 Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΩΝ (θ, θ 1,θ >0 και α>0 µε α 1, κ R ) log α (θ 1 θ ) = log α θ 1 + log α θ log α (θ 1 /θ ) = log α θ 1 - log α θ log α θ κ = κ log α θ ( * ειδικά αν θ 0 τότε: log α θ κ = κ log α θ ) log log ν α α 1 θ = log ν α 1 logαθ θ = θ Λογαριθµική συνάρτηση είναι η f(x) = log α x µε α>0 και α 1 Πεδίο ορισµού: (0, + ) Σύνολο τιµών: R Σηµεία τοµής µε τους άξονες: τέµνει µόνο τον χ χ στο ( 1, 0) Συµµετρία: είναι συµµετρική µε την g(x) = α x ως προς τη διχοτόµο ψ=χ της γωνία χοψ. Μονοτονία: αν α>1 είναι γν. αύξουσα, αν α<1 είναι γν. φθίνουσα Ασύµπτωτες: αν α>1 είναι ο ηµιάξονας Οψ, αν α<1 είναι ο ηµιάξονας Οψ Γραφική παράσταση: ψ α>1 ψ α<1 0 1 χ 0 1 χ \ Αποδείξεις: 1. Αν θ 1,θ >0 και α>0 µε α 1,ν.δ.ο. log α (θ 1 θ ) = log α θ 1 + log α θ Απόδειξη: x1 x Έστω log α θ 1 = x 1 και log α θ = x (1), τότε από ορισµό έχουµε: α = θ καια = θ Εποµένως : απο ορισµο λογαριθµου 1 x1 x x1+ x α α = θ θ α = θ θ x + x = θ θ θ + θ = θ θ 1 1 1 α 1 α 1 α α 1 (1) log ( ) log log log ( )

Μαρτάκης Μάρτης Μαθηµατικός του 1 ου ΓΕΛ Ρόδου 14. Αν θ >0 και α>0 µε α 1, κ R ν.δ.ο. log α θ κ = κ log α θ Απόδειξη: Έστω log α θ = x (1) τότε : α x =θ άρα και (α x ) κ = θ κ α xκ = θ κ κx = log α θ κ ( από ορισµό λογαρίθµου) κ log α θ = log α θ κ ( από την (1) )