MEΡΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗΣ ΟΠΤΙΚΗΣ

MEΡΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗΣ ΟΠΤΙΚΗΣ Δ. Χατζηδημητρίου Βιβλιογραφία: Introduction to Optics, Pedrotti et al., 006, 3 rd edition, εκδ. Benjamin Cummings Optics and Photonics, An Introduction F. G. Smith & T.A. King, εκδ. J. Wiley & Sons, Ltd, 000 Optics, του E. Hecht, εκδ. Addison Wesley, 00 Astrophysical Techniques, 5 η έκδοση C.R. Kitchin, εκδ. CRC Press, 008. Εισαγωγικά Όταν οι διαστάσεις των διαφόρων οπτικών στοιχείων είναι πολύ μεγαλύτερες από το μήκος κύματος του φωτός μπορούμε να αγνοήσουμε την κυματική φύση του φωτός. Αυτή η προσέγγιση αποτελεί την Γεωμετρική Οπτική: lim{ φυσική οπτικ ή} = { γεωμετρική οπτικ ή} λ 0 Μέσα στα πλαίσια της προσέγγισης της γεωμετρικής οπτικής το φως θεωρείται ότι διαδίδεται με ευθείες γραμμές, τις ακτίνες. Όταν μια φωτεινή ακτίνα διέρχεται μέσα από ένα οπτικό σύστημα αποτελούμενο από διαδοχικά ομοιογενή μέσα, τότε ο οπτικός δρόμος είναι μια ακολουθία από ευθύγραμμα τμήματα. Οι νόμοι της γεωμετρικής οπτικής που περιγράφουν την αλλαγή διεύθυνσης των ακτινών, είναι οι γνωστοί νόμοι της ανάκλασης και της διάθλασης, που αποτυπώνονται στο σχήμα.. Σχήμα. Σχηματική αναπαράσταση ανάκλασης και διάθλασης

. Αρχή Huygens Η αρχή αυτή δεν είναι τίποτε άλλο παρά ένα μοντέλο που ορίζει ότι κάθε σημείο ενός κυματικού μετώπου μπορεί να θεωρηθεί ότι είναι πηγή εκπομπής δευτερογενών κυμάτων. Σε κάποια μελλοντική χρονική στιγμή, η νέα θέση του κυματικού μετώπου είναι μια επιφάνεια που εφάπτεται στα δευτερογενή αυτά κύματα. Σχήμα. Αρχή του Huygens (i) Ο νόμος της ανάκλασης με την αρχή του Huygens Σχήμα.3 Ανάκλαση χρησιμοποιώντας την αρχή του Huygens (ii) Ο νόμος της διάθλασης με την αρχή του Huygens

Σχήμα.4 Διάθλαση χρησιμοποιώντας την αρχή του Huygens. Αρχή Fermat (+ Ήρων ο Αλεξανδρεύς) Ορίζει ότι το φως καλύπτει την απόσταση που χωρίζει δύο σημεία έτσι ώστε να ελαχιστοποιείται ο απαιτούμενος χρόνος. Μία πιο γενική και ορθότερη διατύπωση της αρχής του Fermat (ή αρχής ελαχίστου χρόνου) θυμίζει την αρχή του Hamilton στη μηχανική και χρησιμοποιεί λογισμό μεταβολών. Αναδιατυπώνουμε την αρχή του Fermat ως εξής: Μια φωτεινή ακτίνα που διαδίδεται από το σημείο Α στο σημείο Β ακολουθεί οπτική διαδρομή που είναι «στάσιμη» σε σχέση με μεταβολές αυτής της διαδρομής (δηλ. αποτελεί ακρότατο, όχι υποχρεωτικά ελάχιστο). Ο νόμος της διάθλασης με την αρχή τουfermat Σχήμα.4 Νόμος της διάθλασης χρησιμοποιώντας την αρχή του Fermat

h + x b + ( a x) tab = + ni nt t x ( a x) = 0 + = 0 x n h + x n b + ( a x) i sinθi sinθt = ntsinθi = nisinθt n n i t t Αν υποθέσουμε ότι έχουμε μια διαστρωμάτωση διαφορετικών ομοιογενών μέσων, με διαφορετικό δείκτη διάθλασης το καθένα, τότε ο χρόνος μετάβασης από το Α στο Β, δηλ. ο οπτικός δρόμος, θα είναι s s s t s ns m m m AB = + +... + = i / υi = i i υ υ υ m i= c i= (.) Προφανώς, στην περίπτωση ενός μη ομοιογενούς μέσου, θα έχουμε B t = n() s ds c A.3 Αρχή αντιστρεψιμότητας Όταν αντιστραφεί η πορεία μιας οπτικής ακτίνας, αυτή θα ακολουθήσει ακριβώς την ίδια διαδρομή, αλλά αντίστροφα (διότι το αποτέλεσμα της εφαρμογής της αρχής του Fermat δεν εξαρτάται από τη σειρά με την οποία εμφανίζονται τα σημεία Α και Β).. Διάθλαση από επίπεδα κάτοπτρα Έστω ακτίνα () (σχήμα.α) που ξεκινά από το σημείο S και προσπίπτει υπό γωνία θ σε μια επίπεδη διαχωριστική επιφάνεια μεταξύ δύο διαφανών μέσων που χαρακτηρίζονται από δείκτες διάθλασης n και n. Έστω θ η γωνία διάθλασης. Σύμφωνα με το νόμο του Snell, έχουμε nsinθ = nsinθ, οπότε αν n > n, η ακτίνα θα διαθλασθεί απομακρυνόμενη από την κάθετο, ενώ το αντίθετο θα συμβεί αν n > n. Αυτό ισχύει για τις ακτίνες () και () του σχήματος. Για την ακτίνα (3) για την οποία θ =0, ο νόμος του Snell απαιτεί να διέλθει στο δεύτερο μέσο χωρίς αλλαγή κατεύθυνσης.

Σχήμα. Διάθλαση σε επίπεδη επιφάνεια που διαχωρίζει δυο διαφορετικά διαφανή μέσα. Παρατηρούμε ότι προεκτείνοντας τις διαθλαθείσες ακτίνες, δεν μπορούμε να ορίσουμε ένα κοινό σημείο τομής με την (3), δηλ. δεν υπάρχει «φανταστικό» σημείο, δηλ. είδωλο, από το οποίο να φαίνεται να αναδύονται οι διαθλαθείσες ακτίνες. Αν όμως η γωνία είναι πρόσπτωσης είναι μικρή (βλ. σχήμα.β) ένα αρκετά καλό είδωλο μπορεί να σχηματισθεί. Σε αυτή την προσέγγιση, στην οποία θεωρούμε μόνο παραξονικές ακτίνες, έτσι ώστε να σχηματιστεί είδωλο, ισχύει sinθ tanθ θ (σε rad), oπότε ο νόμος του Snell μπορεί να γραφεί ntanθ n tanθ. Έτσι, από το σχήμα.β προκύπτει ότι: x x n = n, δηλαδή, το είδωλο είναι σε κάθετη απόσταση s κάτω από την επιφάνεια, s s n και s = s (.) n όπου s η απόσταση του αντικειμένου από την διαχωριστική επιφάνεια (έτσι, αντικείμενα που βρίσκονται κάτω από την επιφάνεια του νερού φαίνονται να είναι πλησιέστερα προς την επιφάνεια όταν τα βλέπουμε περίπου κάθετα από πάνω). 3. Απεικόνιση με οπτικό σύστημα Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα οπτικό σύστημα (σχ. 3.) το οποίο περιλαμβάνει έναν οποιοδήποτε αριθμό από ανακλαστικές ή/και διαθλαστικές επιφάνειες οποιασδήποτε

καμπυλότητας, που μπορούν να αλλάξουν την διέθυνση των ακτίνων που προέρχονται από το αντικείμενο Ο. Θα υποθέσουμε ότι τα διάφορα υλικά του οπτικού συστήματος είναι ισότροπα και ομοιογενή και ότι επομένως χαρακτηρίζονται από ένα συγκεκριμένο δείκτη διάθλασης το καθένα. Oι ακτίνες αποκλίνουν, βαίνοντας ακτινικά προς όλες τις κατεθύνσεις, ξεκινώντας από το αντικείμενο Ο δηλ. στην «περιοχή πραγματικών αντικειμένων», που προηγείται της πρώτης ανακλώσας ή περιθλώσας επιφάνειας. Η οικογένεια των σφαιρικών επιφανειών που είναι κάθετες στις ακτίνες είναι τα κυματικά μέτωπα. Τα σημεία ενός κυματικού μετώπου ισαπέχουν χρονικά από την πηγή. Στην «περιοχή πραγματικών αντικειμένων» οι ακτίνες είναι αποκλίνουσες και τα κυματικά μέτωπα «διαστέλλονται». Περιοχή πραγματικού αντικειμένου Περιοχή πραγματικού ειδώλου Οπτικό Σύστημα Σχήμα 3. Σχηματισμός ειδώλου από ένα οπτικό σύστημα Ας υποθέσουμε τώρα ότι το οπτικό σύστημα επανακατευθύνει τις ακτίνες έτσι ώστε, εξερχόμενες αυτές από το οπτικό σύστημα να εισέλθουν στην «περιοχή πραγματικών ειδώλων» συγκλίνοντας προς ένα σημείο, το είδωλο Ι (τα αντίστοιχα κυματικά μέτωπα «συστέλλονται»). Σύμφωνα με την αρχή του Fermat, μπορούμε να πούμε ότι εφόσον η κάθε μια από τις ακτίνες αυτές ξεκινά από το ίδιο σημείο Ο και καταλήγει στο ίδιο σημείο Ι, θα πρέπει να αντιστοιχούν σε ίσους χρόνους διέλευσης, γι αυτό και λέγονται ισόχρονες. Επιπλέον, σύμφωνα με την αρχή της αντιστρεψιμότητας, εάν το Ι είναι το αντικείμενο, τότε κάθε μια από τις ακτίνες θα ακολουθήσει ακριβώς την αντίστροφη πορεία και θα σχηματιστεί είδωλο στο σημείο Ο. Τα σημεία Ο και Ι ονομάζονται συζυγή σημεία για το οπτικό σύστημα. Σε ένα ιδανικό οπτικό σύστημα, όλες οι ακτίνες που προέρχονται από το Ο και περνούν μέσα από το οπτικό σύστημα, και μόνο αυτές, θα εστιαστούν στο Ι. Για να απεικονίσουμε ένα πραγματικό αντικείμενο, θα πρέπει αυτή η απαίτηση να ικανοποιείται για κάθε σημείο του αντικειμένου και για το συζυγές του. Μη ιδανική απεικόνιση μπορεί να συμβεί στη πράξη εξαιτίας: (i) σκέδασης του φωτός (ii) «σφαλμάτων» (aberration) (iii) περίθλασης (i) Κάποιες ακτίνες από το Ο δεν φτάνουν στο Ι λόγω απωλειών από ανάκλαση πάνω σε διαθλώσες επιφάνειες, λόγω διάχυτης ανάκλασης από ανακλαστικές

(ii) (iii) επιφάνειες, και λόγω σκέδασης από ανομοιογένειες στα διαφανή μέσα. Η απώλεια ακτίνων από αυτές τις αιτίες συνεπάγεται απλά την ελάττωση της φωτεινότητας του ειδώλου. Όμως, υπάρχουν και ακτίνες που λόγω σκέδασης καταλήγουν στο σημείο Ι, έχοντας ξεκινήσει από μη συζυγή σημεία (του αντικειμένου), κι έτσι προκαλούν υποβάθμιση της ποιότητας του ειδώλου. Όταν το ίδιο το οπτικό σύστημα δεν μπορεί να επιτύχει αντιστοιχία - μεταξύ ακτίνων του αντικειμένου και του ειδώλου, τότε μιλάμε για «σφάλματα» του οπτικού συστήματος. Για την περίπτωση αυτή θα μιλήσουμε αργότερα. Τέλος, όλα τα οπτικά συστήματα δέχονται μόνο ένα μέρος του κυματικού μετώπου που αναδύεται από το αντικείμενο. Έτσι το είδωλο δεν μπορεί να είναι απόλυτα σαφές, ακόμα και αν δεν υπάρχει κανένα άλλο σφάλμα απεικόνισης. Σε αυτή την περίπτωση λέμε ότι η απεικόνιση είναι στο περιθλαστικό όριο ( diffraction limited ), και το οπτικό σύστημα λέγεται σύστημα περιθλαστικού ορίου (diffraction limited optics). Προφανώς πρόκειται για φαινόμενο που σχετίζεται με την κυματική φύση του φωτός, και δεν λαμβάνεται υπόψη στην προσέγγιση της γεωμετρικής οπτικής. Ανακλαστικές ή διαθλαστικές επιφάνειες που σχηματίξουν τέλεια είδωλα, ονομάζονται καρτεσιανές επιφάνειες. Στην περίπτωση της ανάκλασης τέτοιες επιφάνειες είναι κωνικές τομές, όπως φαίνεται στο σχήμα 3.. Σχήμα 3. Καρτεσιανές ανακλαστικές επιφάνειες. Στα σχήματα φαίνονται τα συζυγή σημεία Ο (αντικείμενο) και Ι (είδωλο).

Σε όλες αυτές τις περιπτώσεις μπορούμε να ανταλλάξουμε τις θέσεις αντικειμένου ειδώλου, σύμφωνα με την αρχή της αντιστρεψιμότητας. Στο σχήμα 3.b, το είδωλο είναι φανταστικό. Στο σχήμα 3.c λέμε ότι το είδωλο σχηματίζεται στο άπειρο. Σε κάθε μια από τις περιπτώσεις αυτές μπορεί να αποδειχθεί ότι η αρχή του Fermat, που απαιτεί ισόχρονες ακτίνες μεταξύ συζυγών σημείων, οδηγεί σε μια συνθήκη που είναι ταυτόσημη με τον γεωμετρικό ορισμό της αντίστοιχης κωνικής τομής. Καρτεσιανές επιφάνειες που δημιουργούν τέλεια απεικόνιση μέσω διάθλασης μπορεί να είναι πιο πολύπλοκες. Στο σχήμα 3.3, θέλουμε να βρούμε την εξίσωση της κατάλληλης διαθλώσας επιφάνειας έτσι ώστε το σημείο O να απεικoνίζεται στο σημείο Ι. Έστω P ένα οποιοδήποτε σημείο πάνω στη ζητούμενη επιφάνεια Σ. Απαιτούμε κάθε ακτίνα από το Ο, όπως η OPI αφού υποστεί διάθλαση να περνά από το Ι. Μια άλλη τέτοια ακτίνα είναι προφανώς η OVI. Σύμφωνα με την αρχή του Fermat, θα πρέπει οι δυο αυτές ακτίνες να είναι ισόχρονες. Ο χρόνος διάδοσης μιας ακτίνας μέσα σε ένα διαφανές μέσο πάχους x και με x nx δείκτη διάθλασης n είναι t = =. Από το σχήμα 3.3, προκύπτει ότι για να είναι ισόχρονες υ c οι δυο ακτίνες θα πρέπει Σχήμα 3.3 Καρτεσιανή διαθλώσα επιφάνεια, που απεικονίζει το σημειακό αντικείμενο Ο στο σημειακό αντικείμενο Ι. nd + nd = ns + ns = σταθ. o o I I o o I I ( ) / no( x + y ) + n i so + si x + y = σταθ. / (3.) Η σταθερά στην εξίσωση αυτή προκύπτει από το άθροισμα ns o o+ ns I I, για ένα δεδομένο οπτικό σύστημα. Η εξίσωση (3.) περιγράφει ένα καρτεσιανό ωοειδές εκ περιστροφής, που απεικονίζεται στο σχήμα 3.4.

Σχήμα 3.4 Καρτεσιανές διαθλαστικές επιφάνειες Στις περισσότερες περιπτώσεις το είδωλο σχηματίζεται στο ίδιο οπτικό μέσο όπου βρίσκεται και το αντικείμενο. Αυτό μπορεί να επιτευχθεί με ένα φακό (διόπτρα) που διαθλά τις φωτεινές ακτίνες δυο φορές (μια φορά από κάθε επιφάνεια), σχηματίζοντας ένα είδωλο έξω από τον φακό. Έτσι αποκτά ιδιαίτερο ενδιαφέρον να βρούμε την επιφάνεια εκείνη που καθιστά τις αντικειμενικές ακτίνες παράλληλες μετά από την πρώτη διάθλαση. Τέτοιες ακτίνες, διαθλώμενες από τη δεύτερη επιφάνεια. θα μπορέσουν να σχηματίσουν είδωλο (βλ. σχήμα 3.5). Ανάλογα με τις τιμές των δεικτών διάθλασης, η κατάλληλη διαθλώσα επιφάνεια είναι ένα υπερβολοειδές (για n i >n o ), ή ένα ελλειψοειδές (για n i <n o ). Στην πρώτη από αυτές τις δυο περιπτώσεις το αντικείμενο βρίσκεται στον αέρα. Ένας φακός με υπερβολοειδείς επιφάνειες λειτουργεί όπως φαίνεται στο σχήμα.... Σχήμα 3.5 Σχηματισμός τέλειου ειδώλου σημειακού αντικειμένου από φακό με υπερβολοειδείς επιφάνειες. Πρέπει όμως να σημειωθεί ότι η «τέλεια» απεικόνιση που επιτυγχάνεται με αυτόν τον τρόπο ισχύει μόνο για το αντικείμενο στο σημείο Ο, που είναι στην σωστή απόσταση από τον φακό και πάνω στον άξονα. Γι άλλα κοντινά σημεία, η απεικόνιση δεν είναι τέλεια. Όσο μεγαλύτερο είναι το αντικείμενο, τόσο πιο ατελής είναι η απεικόνιση. Επειδή ούτως ή άλλως η απεικόνιση δεν είναι τέλεια για εκτεταμένα αντικείμενα, και επειδή υπερβολοειδείς επιφάνειες είναι δύσκολο να κατασκευαστούν με ακρίβεια, οι περισσότερες οπτικές επιφάνειες είναι σφαιρικές, παρόλα τα σφαιρικά σφάλματα (spherical aberrations) που

προκαλούνται (θα συζητηθούν αργότερα). Στα επόμενα θα επικεντρωθούμε στην περίπτωση σφαιρικών ανακλαστικών και διαθλαστικών επιφανειών, με ακτίνα καμπυλότητας R (προφανώς όταν το R 0 έχουμε επίπεδη επιφάνεια). 4. Ανάκλαση από σφαιρική επιφάνεια Τα σφαιρικά κάτοπτρα μπορεί να είναι είτε κοίλα είτε κυρτά ως προς το αντικείμενο Ο, ανάλογα με το αν το κέντρο καμπυλότητας, C, είναι στην ίδια πλευρά με το αντικείμενο ή όχι. Στο σχήμα 4. η επιφάνεια είναι κυρτή. Στο σχήμα απεικονίζονται δυο ακτίνες, εκ των οποίων η μια προσπίπτει κάθετα στην επιφάνεια στην κορυφή V και η άλλη προσπίπτει σε ένα τυχαίο σημείο P της επιφάνειας. Η πρώτη ανακλάται ακολουθώντας την αντίστροφη πορεία (πάνω στην ίδια ευθεία), ενώ η δεύτερη ανακλάται σύμφωνα με τον νόμο της ανάκλασης (από επίπεδο εφαπτόμενο στην επιφάνεια στο σημείο P). Οι δυο ανακλασθείσες ακτίνες αποκλίνουν καθώς απομακρύνονται από το κάτοπτρο. Η τομή των προεκτάσεων προς τα πίσω των δυο ακτίνων προσδιορίζει την θέση του ειδώλου I. Το είδωλο είναι φανταστικό, εφόσον βρίσκεται πίσω από το κάτοπτρο. Έστω s και s οι αποστάσεις του αντικειμένου και του ειδώλου από την κορυφή V, αντίστοιχα. Έστω, h, η κάθετη απόσταση από το σημείο P προς τον άξονα. Ζητούμε μια σχέση μεταξύ των s και s που να εξαρτάται μόνο από την ακτίνα καμπυλότητας R. Τέτοια σχέση μπορεί να βρεθεί μόνο σε πρώτη προσέγγιση, για μικρές γωνίες α και φ, αν δηλ. υποθέσουμε ότι sinφ φ και cosφ. Σχήμα 4. Ανάκλαση από σφαιρική επιφάνεια 3 5 φ φ sin φ = φ +... 3! 5! 4 φ φ cosφ = +...! 4!

Αυτή η προσέγγιση οδηγεί στη λεγόμενη Γκαουσιανή Οπτική ( Gaussian optics, ή, First order optics ). Από το σχήμα 4. προκύπτει ότι: θ=α+φ (ως εξωτερική γωνία του τριγώνου ΟPC), και θ=α+α (ως εξωτερική γωνία του τριγώνου ΟPI). Από τις δύο αυτές σχέσεις προκύπτει ότι α-α =-φ. Για μικρές γωνίες, μπορούμε να αντικαταστήσουμε τις γωνίες με τις εφαπτομένες τους, και από το σχήμα 4. έχουμε: h h h = = (4.) s s' R s s' R όπου αγνοήσαμε την απόσταση VQ, που είναι μικρή όταν η γωνία φ είναι μικρή. Αν η επιφάνεια είναι κοίλη (αντί κυρτής) τότε το κέντρο καμπυλότητας θα είναι στα αριστερά. Για συγκεκριμένες θέσεις του αντικειμένου Ο, είναι δυνατόν να βρούμε πραγματικό είδωλο, επίσης στα αριστερά του κατόπτρου. Στην περίπτωση αυτή, προκύπτει μια σχέση ανάλογη προς την (4.) αλλά με θετικούς μόνον όρους. Μπορούμε, εφαρμόζοντας συγκεκριμένες «συνθήκες προσήμων», να γράψουμε τη σχέση, s + s' = R (4.) που ισχύει για όλες τις περιπτώσεις. Οι συνθήκες προσήμων είναι οι εξής: (i) (ii) (iii) Η απόσταση του αντικειμένου Ο από την κορυφή V, s, είναι θετική όταν το O είναι στα αριστερά του V. Σε αυτή την περίπτωση λέμε ότι έχουμε πραγματικό αντικείμενο. Αν το Ο είναι στα δεξιά του V, τότε το s είναι αρνητικό, και το αντικείμενο φανταστικό. Η απόσταση του ειδώλου Ι από την κορυφή V, s, είναι θετική όταν το Ι είναι στα αριστερά του V. Σε αυτή την περίπτωση λέμε ότι έχουμε πραγματικό είδωλο. Αν το Ι είναι στα δεξιά του V, τότε το s είναι αρνητικό, και το είδωλο φανταστικό. Η ακτίνα καμπυλότητας R είναι θετική όταν το C είναι στα δεξιά του V, που αντιστοιχεί σε κυρτό κάτοπτρο, και αρνητική όταν το C είναι στα αριστερά του V, που αντιστοιχεί σε κοίλο κάτοπτρο. Στο όριο R, έχουμε επίπεδη επιφάνεια, και η εξίσωση (4.) δίνει s = s. Το αρνητικό πρόσημο σημαίνει φανταστικό είδωλο για πραγματικό αντικείμενο. Επίσης, είναι προφανές από την εξίσωση (4.) ότι μπορούμε να ανταλλάξουμε τις θέσεις των s και s, δηλ. των θέσεων αντικειμένου και ειδώλου, όπως πρέπει να ισχύει για συζυγή σημεία. Όταν το αντικείμενο είναι στο άπειρο, οι προσπίπτουσες ακτίνες είναι παράλληλες, και R s =, όπως φαίνεται στο σχήμα 4.(a) και 4.(b) για κοίλα (R<0) και κυρτά (R>0) κάτοπτρα, αντίστοιχα. Η απόσταση s του ειδώλου σε αυτή την περίπτωση ονομάζεται εστιακή απόσταση του κατόπτρου. Έτσι,

f R { > 0 = < 0 Κοίλα κάτοπτρα Κυρτά κάτοπτρα (4.3) και η εξίσωση (4.) γράφεται s + s' = f (4.4) Στο σχήμα 4.(c) απεικονίζεται ο προσδιορισμός της εγκάρσιας μεγέθυνσης ενός αντικειμένου από κυρτό κάτοπτρο. Το αντικείμενο είναι εκτεταμένο με εγκάρσια διάσταση h o. Το είδωλο του άνω άκρου του αντικειμένου προσδιορίζεται από δυο ακτίνες με γνωστή συμπεριφορά. Η ακτίνα που προσπίπτει υπό γωνία θ i στην κορυφή του κατόπτρου θα ανακλαστεί με θ r =θ i. Η ακτίνα που περνά από το κέντρο καμπυλότητας C ανακλάται πάνω στην διεύθυνση της προσπίπτουσας ακτίνας. Το σημείο τομής των δύο ανακλώμενων ακτίνων βρίσκεται πίσω από το κάτοπτρο και καθορίζει τη θέση του ειδώλου. Επειδή θ r =θ i =α, θα ισχύει: ho hi = s s H κατακόρυφη μεγέθυνση του αντικειμένου θα είναι hi s m = = (4.5) h s o Επεκτείνοντας την συνθήκη προσήμων ώστε να συμπεριλάβει και την μεγέθυνση, θεωρούμε ότι η μεγέθυνση είναι θετική όταν το είδωλο είναι «ορθό» και αρνητική όταν το είδωλο είναι αντεστραμμένο. Για να προκύψει θετικό πρόσημο από την εξίσωση (4.5), δεδομένου ότι το s i είναι αρνητικό, θα πρέπει να την γράψουμε ως εξής: s m = (4.6) s Σχήμα 4. Θέση εστιών για κοίλα (a) και κυρτά (b) κάτοπτρα. Στο 4.(c) απεικονίζεται μία μέθοδος προσδιορισμού της μεγέθυνσης του αντικειμένου. Επομένως, από τη στιγμή που έχουμε τοποθετήσει τα σημεία C και F, μπορούμε να βρούμε το είδωλο που σχηματίζεται από ένα σφαιρικό κάτοπτρο, χρησιμοποιώντας γραφικές μεθόδους. Στο Σχήμα 4.3 φαίνονται μερικά τέτοια παραδείγματα.

Σχήμα 4.3 Διαγράμματα ακτινών για σφαιρικά κάτοπτρα (α) πραγματικό είδωλο, κοίλο κάτοπτρο, (β) φανταστικό είδωλο, κοίλο κάτοπτρο, (c) φανταστικό είδωλο, κυρτό κάτοπτρο. Παράδειγμα: Ένα αντικείμενο ύψους 3cm τοποθετείται σε απόσταση 0cm (α) από ένα κυρτό και (β) από ένα κοίλο κάτοπτρο, εστιακής απόστασης 0 cm το καθένα. Βρείτε τη θέση, το είδος και τη μεγέθυνση του ειδώλου (α) Κυρτό κάτοπτρο f = 0 cm, και s = + 0 cm f s ( 0)(0) + = s = = = 6.67cm s s' f s f (0) ( 0) s 6.67 m = = =+ 0.33 s 0 Δηλ. το είδωλο είναι φανταστικό (αφού το s είναι αρνητικό), 6.67 cm προς τα δεξιά της κορυφής του κατόπτρου. Επίσης, είναι ορθό (αφού η μεγέθυνση είναι θετική) και έχει το /3 του ύψους του αντικειμένου. (β) Κοίλο κάτοπτρο f = + 0 cm, και s = + 0 cm f (0)(0) s = s = =+ 0cm s f (0) (0) s 0 m = = = s 0 Δηλ. το είδωλο είναι πραγματικό, αντεστραμμένο, και ίσου ύψους με το αντικείμενο.

Συνθήκες προσήμων για κάτοπτρα (Απο Serway Τομ. 3) δηλ. για ανάκλαση από σφαιρική επιφάνεια 5. Διάθλαση από σφαιρική επιφάνεια Τα σφαιρικά κάτοπτρα μπορεί να είναι είτε κοίλα είτε κυρτά, ανάλογα με το αν το κέντρο καμπυλότητας είναι στην ίδια ή στην αντίθετη πλευρά της επιφάνειας σε σχέση με το αντικείμενο. 5. Διάθλαση από σφαιρική επιφάνεια Έστω η κοίλη σφαιρική επιφάνεια του Σχήματος 5., που διαχωρίζει δύο μέσα με δείκτες διάθλασης n και n, αντίστοιχα. Σχήμα 5. Διάθλαση σε σφαιρική επιφάνεια, με n > n

Στο σχήμα 5. απεικονίζονται δύο ακτίνες που ξεκινούν από το σημειακό αντικείμενο Ο. Η μία ακτίνα είναι αξονική (δηλαδή περνά από τo Ο και είναι κάθετη προς την επιφάνεια του κατόπτρου) και επομένως διαθλάται χωρίς να αλλάξει διεύθυνση. Η άλλη είναι μία τυχαία ακτίνα που προσπίπτει στην επιφάνεια σε σημείο P, και διαθλάται σύμφωνα με τον νόμο του Snell n sinθ = n sinθ (5.) Οι δύο διαθλώμενες ακτίνες μοιάζουν να ξεκινούν από το σημείο τομής τους, Ι (σημειακό είδωλο). Στο τρίγωνο CPO, η εξωτερική γωνία α=θ +φ. Στο τρίγωνο CPI, η εξωτερική γωνία α = θ +φ. Για παραξονικές ακτίνες, δηλαδή για ακτίνες που σχηματίζουν μικρή γωνία με τον άξονα, οι γωνίες θ και θ είναι μικρές, και επομένως η εξίσωση (5.) μπορεί να γραφεί κατά προσέγγιση ως εξής n (α φ)=n (α φ) (5.) Επιπλέον, οι γωνίες α, α και φ μπορούν να αντικατασταθούν από τις εφαπτομένες τους (για μικρές γωνίες) και η απόσταση QV μπορεί να θεωρηθεί αμελητέα (και πάλι γιά παραξονικές ακτίνες), οπότε, σύμφωνα με το Σχήμα 5., προκύπτει ότι h h h h n ( ) = n ( ) s R s R ή n n = s s Rn n (5.3) Συνθήκες προσήμων για διάθλαση από σφαιρική επιφάνεια (από Serway Τομ. 3) s s s s R R Χρησιμοποιώντας τις παραπάνω συνθήκες προσήμων, μπορούμε να γράψουμε την εξίσωση (5.3) ως εξής n n + n = n (5.4) s s R καθώς στην περίπτωση του Σχήματος 5., s>0, s <0 και R<0.

Η εξίσωση αυτή ισχύει και για κυρτές επιφάνειες, όπου R>0. Για επίπεδες επιφάνειες, για τις οποίες θέτουμε R, προκύπτει από την εξίσωση (5.4) ότι n s = ( )s n Η κατακόρυφη μεγέθυνση ενός εκτεταμένου αντικειμένου βρίσκεται εύκολα από το Σχήμα 5.. Ο νόμος του Snell απαιτεί, για μία ακτίνα που προσπίπτει στην κορυφή και για μικρές γωνίες, ότι n θ =n θ, ή, ισοδύναμα, χρησιμοποιώντας τις εφαπτομένες των γωνιών (για την προσέγγιση των παραξονικών ακτίνων), h n ( 0 h ) = n ( i ) s s Σχήμα 5. Προσδιορισμός της κατακόρυφης μεγέθυνσης, από σφαιρική διαθλαστική επιφάνεια Επομένως, η κατακόρυφη μεγέθυνση δίνεται από την σχέση m = h i n s = h 0 n s (5.5) όπου το αρνητικό πρόσημο υποδεικνύει ότι το είδωλο είναι αντεστραμμένο. Παράδειγμα Θα εξετάσουμε δύο παραδείγματα διάθλασης από σφαιρικές επιφάνειες, που φαίνονται στο Σχήμα 5.3. Στο (α), ένα πραγματικό αντικείμενο είναι τοποθετημένο σε αέρα, σε απόσταση 30 cm από την κυρτή σφαιρική διαχωριστική επιφάνεια ακτίνας καμπυλότητας 5 cm. Προς τα δεξιά της επιφάνειας, υπάρχει νερό (δείκτης διάθλασης.33). Ο δείκτης διάθλασης του αέρα λαμβάνεται ως στην περίπτωση αυτή. Πριν από την σχεδίαση αντιπροσωπευτικών ακτίνων θα υπολογίσουμε την απόσταση και την κατακόρυφη μεγέθυνση του ειδώλου, χρησιμοποιώντας τις εξισώσεις (5.4) και (5.5). Η εξ. (5.4) δίνει

.33.33 + = 30 s' 5 και συνεπώς, s =+40 cm. Το θετικό πρόσημο υποδεικνύει ότι το είδωλο είναι πραγματικό και επομένως βρίσκεται στα δεξιά της επιφάνειας. Η εξίσωση (5.5) δίνει ()( + 40) m = = (.33)( + 30) όπου το αρνητικό σημείο δείχνει ότι το είδωλο είναι αντεστραμμένο, και η μονάδα ότι το είδωλο έχει τις ίδιες διαστάσεις με το αντικείμενο. Στο Σχήμα 5.3(α) φαίνεται η θέση του ειδώλου, όπως και διάφορες αντιπροσωπευτικές ακτίνες. Στο παράδειγμα αυτό έχουμε υποθέσει ότι το μέσο στα δεξιά της σφαιρικής επιφάνειας εκτείνεται σε τέτοιο βάθος ώστε το είδωλο να σχηματίζεται μέσα στο μέσο αυτό χωρίς να υπόκειται σε νέα διάθλαση. Ας υποθέσουμε τώρα (Σχήμα 5.3β) ότι το δεύτερο μέσο έχει πάχος μόλις 0 cm, σχηματίζοντας έτσι ένα παχύ φακό, με μια δεύτερη διαχωριστική επιφάνεια, κοίλη αυτή τη φορά, αλλά ίδιας (κατ απόλυτη τιμή) καμπυλότητας με την πρώτη (R=5 cm). Η διάθλαση από την πρώτη επιφάνεια προφανώς δεν επηρεάζεται από την ύπαρξη της δεύτερης επιφάνειας. Επομένως, μέσα στον φακό, οι ακτίνες κατευθύνονται όπως προηγουμένως, για να σχηματίσουν είδωλο σε απόσταση s =40 cm από την πρώτη επιφάνεια. Αλλά, οι ακτίνες αυτές συναντούν την δεύτερη επιφάνεια και υπόκεινται σε δεύτερη διάθλαση εκεί, σχηματίζοντας τελικά διαφορετικό είδωλο, όπως φαίνεται στο σχήμα. Σχήμα 5. 3 Παράδειγμα διάθλασης από σφαιρικές επιφάνειες. (α) Διάθλαση από μία σφαιρική επιφάνεια. (β) Διάθλαση από παχύ φακό. Οι δείκτες και αναφέρονται στη διάθλαση στην πρώτη και δεύτερη επιφάνεια αντίστοιχα Εφόσον η σύγκλιση των ακτινών που προσπίπτουν στην δεύτερη επιφάνεια καθορίζεται από την θέση του πρώτου ειδώλου, η θέση του τελευταίου καθορίζει την απόσταση του αντικειμένου για την δεύτερη διάθλαση. Το πραγματικό είδωλο γιά την επιφάνεια () αποτελεί το φανταστικό αντικείμενο, όπως λέγεται, για την επιφάνεια (). Σύμφωνα με την παραδοχή προσήμων που κάναμε προηγουμένως, η απόσταση αυτού του φανταστικού

αντικειμένου πρέπει να έχει αρνητικό πρόσημο, όταν χρησιμοποιείται στις εξισώσεις (5.4) και (5.5). Έτσι για την δεύτερη διάθλαση έχουμε από την εξ. (5.4).33.33 + = 30 s ' 5 ή, ' s = + 9 cm. Η μεγέθυνση, σύμφωνα με την εξίσωση (5.5), είναι m = (.33)( + 9) = + ()( 30) 5 Δηλαδή, το ύψος του τελικού ειδώλου είναι τα /5 του ύψους του φανταστικού αντικειμένου, με τον ίδιο προσανατολισμό. Σε σχέση με το αρχικό αντικείμενο, το τελικό είδωλο είναι αντεστραμμένο, και με ύψος ίσο με τα /5 του ύψους του αρχικού αντικειμένου. Γενικά, όποτε παρεμβαίνουν μία σειρά από ανακλαστικές και διαθλαστικές επιφάνειες στην διαδρομή των ακτινών για την δημιουργία του τελικού ειδώλου, οι διάφορες ανακλάσεις και διαθλάσεις αναλύονται με την σειρά κατά την οποία το φως προσπίπτει σε αυτές. Η απόσταση του αντικειμένου για την ν-οστή διάθλαση/ανάκλαση, καθορίζεται από την απόσταση του ειδώλου της (ν-) διάθλασης/ανάκλασης. Εάν το είδωλο του βήματος ν- δεν σχηματίζεται στην πραγματικότητα, λειτουργεί σαν φανταστικό αντικείμενο για το βήμα ν. 5. Λεπτοί Φακοί Θα εφαρμόσουμε τώρα την προηγούμενη μέθοδο για να αποδείξουμε τον τύπο των λεπτών φακών (ή αλλιώς, τον τύπο των κατασκευαστών των φακών). Όπως και στο παράδειγμα του Σχήματος 5.3β, έχουμε δύο διαθλάσεις από δύο σφαιρικές επιφάνειες. Η απλοποίηση που κάνουμε είναι να θεωρήσουμε ότι το πάχος του φακού είναι αμελητέο σε σχέση με τις αποστάσεις του αντικειμένου και του ειδώλου. Η προσέγγιση αυτή είναι επαρκής για τις περισσότερες πρακτικές εφαρμογές. Στην πρώτη διαθλαστική επιφάνεια, ακτίνας R, n n + = s s n n R (5.6) και στην δεύτερη διαθλαστική επιφάνεια, ακτίνας R, n s + n s = n n R (5.7) Έχουμε υποθέσει ότι και οι δύο πλευρές του φακού έρχονται σε επαφή με το ίδιο μέσο, με δείκτη διάθλασης n. Τώρα, η απόσταση του δεύτερου αντικειμένου δίνεται από την σχέση s = t s (5.8) όπου t είναι το πάχος του φακού. Παρατηρούμε ότι η σχέση αυτή δίνει το σωστό πρόσημο για το s για περιπτώσεις όπως

εκείνη του Σχ. 5.3, αλλά και όταν το ενδιάμεσο είδωλο πέφτει μέσα στο φακό ή στα αριστερά του φακού. Στην προσέγγιση των λεπτών φακών, το t είναι αμελητέο, οπότε, s = s (5.9) Εάν αντικαταστήσουμε αυτή την τιμή του s στην εξίσωση (5.7) και αθροίσουμε τις εξισώσεις (5.6) και (5.7), οι όροι n /s απαλείφονται και προκύπτει ότι n n + s s = (n n)( ) R R Εφόσον s είναι η απόσταση του αρχικού αντικειμένου και s η τελική απόσταση του ειδώλου, μπορούμε να εγκαταλείψουμε τους δείκτες, οπότε, n n + = ( ) s s n R (5.0) R Ως εστιακή απόσταση, f, λεπτού φακού ορίζεται η απόσταση του ειδώλου, όταν το αντικείμενο βρίσκεται στο άπειρο, επομένως n n = ( ) f n R (5.) R Η εξίσωση (5.) αποτελεί τον τύπο των κατασκευαστών των φακών, που δίνει την τιμή της εστιακής απόστασης λεπτού φακού κατασκευασμένου από υλικό συγκεκριμένου δείκτη διάθλασης, με δεδομένες ακτίνες καμπυλότητας, που χρησιμοποιείται μέσα σε μέσο με δείκτη διάθλασης n. Στις περισσότερες περιπτώσεις το μέσο αυτό είναι ο αέρας, και υποθέτουμε n =, που είναι ο δείκτης διάθλασης για το κενό. Η εξίσωση λεπτών φακών, χρησιμοποιώντας τον ορισμό της εστιακής απόστασης, γίνεται + = (5.) s s f Η ανάλυση των κυματικών μετώπων, για επίπεδα κύματα (Σχήμα 5.4) δείχνει ότι ένας φακός παχύτερος στο μέσο από ότι στα άκρα του προκαλεί σύγκλιση, ενώ ένας φακός λεπτότερος στο μέσο προκαλεί απόκλιση της προσπίπτουσας παράλληλης φωτεινής δέσμης. Το τμήμα του κυματικού μετώπου που περνά από το παχύτερο μέρος του φακού καθυστερεί σε σχέση με τα άλλα τμήματα. Οι συγκλίνοντες φακοί χαρακτηρίζονται από θετικές εστιακές αποστάσεις, ενώ οι αποκλίνοντες φακοί από αρνητικές, όπως φαίνεται στο σχήμα 5.4, με τα είδωλα να είναι πραγματικά και φανταστικά, αντίστοιχα.

Σχήμα 5.4: Η επίδραση (α) ενός συγκλίνοντος φακού και (β) ενός αποκλίνοντος φακού σε επίπεδα κυματικά μέτωπα φωτός. Παραδείγματα διαγραμμάτων ακτινών για συγκλίνοντες και αποκλίνοντες φακούς δίνονται στο Σχήμα 5.5. Οι λεπτοί φακοί συμβολίζονται, συνήθως, σε διαγράμματα ακτινών με ένα κατακόρυφο ευθύγραμμο τμήμα με άκρα που υποδεικνύουν το γενικό σχήμα του φακού. Η ακτίνα () από την κορυφή του αντικειμένου είναι παράλληλη προς τον άξονα, προσπίπτει στον φακό και συγκλίνει περνώντας από την εστία του φακού στην περίπτωση του συγκλίνοντος φακού (5.5α) ή αποκλίνει σαν να προέρχεται από την εστία στην περίπτωση του αποκλίνοντος φακού (5.5β). Η ακτίνα () είναι αντίστροφη της πρώτης. Παρ όλο που οι δύο αυτές ακτίνες είναι αρκετές για την εύρεση της θέσης του ειδώλου, μπορούμε να σχεδιάσουμε και μία τρίτη ακτίνα, που να περνά από το κέντρο του φακού, χωρίς απόκλιση. Το μέσον του φακού λειτουργεί σαν μία παράλληλη πλάκα, που δεν αλλάζει την κατεύθυνση της ακτίνας, και επειδή είναι λεπτή, προκαλεί αμελητέα μετατόπισή της. Κατά τον σχεδιασμό των διαγραμμάτων των ακτινών παρατηρούμε ότι εκτός από την κεντρική ακτίνα, κάθε ακτίνα που διαθλάται από συγκλίνοντα φακό συγκλίνει προς τον άξονα, ενώ στην περίπτωση του αποκλίνοντα φακού αποκλίνει. Και στις δύο περιπτώσεις, οι γωνίες υπό τις οποίες φαίνονται το αντικείμενο και το είδωλο, είναι ίσες μεταξύ τους. Επομένως, και για το πραγματικό είδωλο του (α) και για το φανταστικό είδωλο του (β) έχουμε ότι h0 s hi =, ενώ η κατακόρυφη μεγέθυνση δίνεται από την σχέση s' h i s' m = =. h s 0

Σχήμα 5.5: Διαγράμματα ακτινών για τον σχηματισμό ειδώλου (α) από συγκλίνοντα φακό και (β) από αποκλίνοντα φακό. Σύμφωνα με την παραδοχή προσήμων που έχουμε κάνει, πρέπει να προσθέσουμε ένα αρνητικό πρόσημο στην έκφραση αυτή. Στην περίπτωση (α), s>0, s >0 και m<0, επειδή το είδωλο είναι αντεστραμμένο. Στην περίπτωση (β), s>0, s <0 και m>0. Έτσι και στις δύο περιπτώσεις, s' m = (5.3) s Ένα ακόμα παράδειγμα διαγράμματος ακτινών για την περίπτωση συστήματος δύο φακών φαίνεται στο Σχήμα 5.6.

Σχήμα 5.6: (α) Σχηματισμός φανταστικού ειδώλου από σύστημα δύο φακών, ενός συγκλίνοντος () και ενός αποκλίνοντος (), (β) Σχηματισμός πραγματικού ειδώλου από σύστημα δύο συγκλινόντων φακών. Το ενδιάμεσο είδωλο RI παίζει τον ρόλο φανταστικού αντικειμένου VO για τον δεύτερο φακό. (RI=real image=πραγματικό είδωλο, VI=virtual image=φανταστικό είδωλο, RO=real object=πραγματικό αντικείμενο, VO=virtual object=φανταστικό αντικείμενο). Παράδειγμα Βρείτε και περιγράψτε τα ενδιάμεσα και τελικά είδωλα που προκύπτουν από το σύστημα φακών του σχήματος 5.6(α). Έστω ότι f =5 cm, f =5 cm και ότι η απόσταση μεταξύ των δύο φακών είναι 60 cm. Έστω ότι το αντικείμενο βρίσκεται σε απόσταση 5 cm από τον πρώτο φακό, όπως φαίνεται στο σχήμα. Λύση: Ο πρώτος φακός είναι συγκλίνων: f =+5 cm, s =+5 cm. s s f (5)(5) + = ή s = = = + 37.5cm s f s f 5 5 s' 37.5 m = = =. 5 s 5

Έτσι το πρώτο είδωλο είναι πραγματικό (εφόσον το s είναι θετικό), 37.5 cm προς τα δεξιά του πρώτου φακού, και είναι.5 φορά ψηλότερο από το αντικείμενο. Ο δεύτερος φακός είναι αποκλίνων: f = 5 cm. Εφόσον πραγματικές ακτίνες φεύγοντας από το πρώτο είδωλο αποκλίνουν, το είδωλο θα αποτελεί πραγματικό αντικείμενο για τον δεύτερο φακό, με s = 60 37.5 = +.5 cm, προς τα αριστερά του φακού. Τότε, s f s = s f (.5)( 5) = = (.5) ( 5) s' 9 m = = = + 0. 4 s.5 9cm Έτσι το τελικό είδωλο είναι φανταστικό (εφόσον το s είναι αρνητικό), 9 cm προς τα αριστερά του δεύτερου φακού, ορθό ως προς το δικό του αντικείμενο (εφόσον το m είναι θετικό), και 0.4 φορές μικρότερο. Η συνολική μεγέθυνση είναι m = mm = (.5)(0.4) = 0.6. Ετσι, το τελικό είδωλο είναι αντεστραμμένο σε σχέση με το αρχικό αντικείμενο, και έχει ύψος ίσο προς τα 6/0 του ύψους του. Όλα αυτά τα στοιχεία φαίνονται ποιοτικά στο σχήμα 5.6α. 5.3 Καμπυλότητα και διαθλαστική ισχύς Σε κάποιες εφαρμογές, όπως στην οπτομετρία χρησιμοποιείται μια διαφορετική προσέγγιση των λεπτών φακών, βασισμένη στις καμπυλότητες των κυματικών μετώπων. Στην εξίσωση των λεπτών φακών + =, το αντίστροφο της απόστασης s δεν είναι τίποτε s s f άλλο παρά η καμπυλότητα του σφαιρικού κυματικού μετώπου που προσπίπτει στον φακό, με κέντρο του (σφαιρικού κυματικού μετώπου) το αντικείμενο. Αντίστοιχα, το αντίστροφο της απόστασης s είναι η καμπυλότητα του σφαιρικού κυματικού μετώπου που προσπίπτει στον φακό, με κέντρο του (σφαιρικού κυματικού μετώπου) το είδωλο. Οι καμπυλότητες αυτές συμβολίζονται με V (vergence) και V αντίστοιχα. Έτσι, η εξίσωση των λεπτών φακών γίνεται: V + V = P (5.4) όπου το αντίστροφο της εστιακής απόστασης /f ονομάζεται (διαθλαστική) ισχύς του φακού. Τα V, V, P μετράται σε διόπτρες (D), όταν οι αντίστοιχες αποστάσεις μετρώνται σε μέτρα. Έτσι, η ισχύς ενός φακού εστιακής απόστασης 0cm είναι 5 διόπτρες.

Σχήμα 5.7 Αλλαγή της καμπυλότητας του κυματικού μετώπου λόγω διάθλασης από συγκλίνοντα (α) και αποκλίνοντα (β) φακό. Η έννοια της ισχύος του φακού, είναι ιδιαίτερα χρήσιμη στην περίπτωση συστήματος πολλών λεπτών φακών, εστιακών αποστάσεων f, f,,f n. H εστιακή απόσταση του συτήματος είναι = + +... + f f f f n ή, P = P + P + + P n Δηλ. απλώς αθροίζουμε τις ισχείς των φακών μεταξύ τους.