ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα : ΑΝΑΛΟΓΟΨΗΦΙΑΚΗ ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ 1

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

Σκοποί ενότητας Με την ολοκλήρωση αυτής της ενότητας, θα είστε σε θέση: Να κατανοήσετε την περιγραφή της A/D μετατροπής και της δειγματοληψίας των αναλογικών σημάτων. 4

Περιεχόμενα ενότητας 1. Εισαγωγικές γνώσεις 2. Λόγοι χρήσης των ψηφιακών συστημάτων 3. Τυπικό σύστημα ψηφιακής επεξεργασίας σημάτων 4. A/D Μετατροπή σήματος 5. Ιδανικός A/D Μετατροπέας 6. Μετατροπή Ψηφιακού Σήματος σε Αναλογικό 7. Δειγματοληψία 8. Κβαντισμός 9. Θεώρημα δειγματοληψίας 10. Φάσμα συχνοτήτων 11. Χαρακτηριστικές συναρτήσεις ανακατασκευής 12. Aσκήσεις εξάσκησης 13. Aσκήσεις για λύση 5

Εισαγωγικές γνώσεις (1) Ένα σήμα μεταφέρει πληροφορίες για τα χαρακτηριστικά ενός συστήματος. Στόχος της επεξεργασίας ενός σήματος είναι η αναζήτηση αυτών των πληροφοριών. Η δυνατότητα ψηφιακής πραγματοποίησης των σύγχρονων συστημάτων επεξεργασίας σημάτων επέτρεψε την παρακολούθηση της γενικής τάσης ελάττωσης του κόστους και του μεγέθους καθώς και αύξηση της αξιοπιστίας που εκδηλώνουν όλα τα ψηφιακά συστήματα.

Εισαγωγικές γνώσεις (2) Γενικά η ψηφιακή επεξεργασία σημάτων έχει τους στόχους: Βελτίωση της ποιότητας του σήματος. Αποχωρισμό μη επιθυμητής συνιστώσας. Συμπίεση του σήματος. Πρόγνωση. Αναζήτηση περιοδικοτήτων. Αναγνώριση της κατάστασης ενός συστήματος. Εφόσον το σήμα μεταφέρει μεταβολές κάποιου φυσικού μεγέθους, μπορεί από μαθηματικής άποψης να θεωρηθεί σαν μια συνάρτηση. Θα υποθέσουμε ότι τα σήματα μας δεν είναι παρά μια ακολουθία αριθμών στη μνήμη ενός Η/Υ.

Πλεονεκτήματα της Ψηφιακής έναντι της Αναλογικής Επεξεργασίας Ένα προγραμματιζόμενο ψηφιακό σύστημα επιτρέπει την ευκολία αλλαγής των λειτουργιών της ψηφιακής επεξεργασίας σήματος τροποποιώντας απλά το πρόγραμμα. Η μέθοδος της ψηφιακής επεξεργασίας σήματος επιτρέπει την εφαρμογή περισσότερο εξεζητημένων αλγορίθμων επεξεργασίας σήματος. Είναι συνήθως πολύ δύσκολο να γίνουν ακριβείς μαθηματικές πράξεις σε ένα σήμα αναλογικής μορφής. Σε μερικές περιπτώσεις η ψηφιακή επεξεργασία σήματος έχει μικρότερο κόστος από την αναλογική.

Λόγοι χρήσης των ψηφιακών συστημάτων (1) Οι λόγοι για τους οποίους χρησιμοποιούνται σήμερα τα ψηφιακά συστήματα οφείλονται: στην αξιοπιστία που εξασφαλίζεται κατά τη μετάδοση και αναπαραγωγή στη δυνατότητα επεξεργασίας και αποθήκευσης του σήματος Η αναπαράσταση της πληροφορίας με τη βοήθεια δύο τάσεων, 0 και 5 Volts ή 10 και +10 Volts, έχει ως αποτέλεσμα να μην αλλάζει η μεταδιδόμενη πληροφορία, ακόμη και αν το σήμα εξασθενίσει ή παραμορφωθεί.

Λόγοι χρήσης των ψηφιακών συστημάτων (2) Αυτό συμβαίνει επειδή τα ψηφιακά συστήματα είναι κατασκευασμένα για να διακρίνουν μεταξύ τους δύο διαφορετικές τιμές τάσης, οι οποίες αντιστοιχίζονται εκ των υστέρων στις λογικές καταστάσεις 0 και 1. Η μετάδοση και αναπαραγωγή του σήματος σε δυαδική μορφή εξασφαλίζει τη δυνατότητα της επεξεργασίας του σήματος, ακόμη και σε πραγματικό χρόνο (real time processing). Το αποτέλεσμα είναι σημαντικές βελτιώσεις στην ποιότητα του σήματος. Ως επακόλουθο, τα ψηφιακά συστήματα επικρατούν σήμερα σε όλες τις μορφές μετάδοσης πληροφορίας, καθώς εξασφαλίζουν ανώτερη ποιότητα με σχετικά χαμηλό κόστος υλοποίησης.

Τυπικό σύστημα ψηφιακής επεξεργασίας σημάτων Τα στάδια της ψηφιακής επεξεργασίας είναι: H ψηφιοποίηση του αναλογικού σήματος δηλαδή η μετατροπή του σε μία σειρά από δεδομένα. Η επεξεργασία του από τον υπολογιστή. Η μετατροπή του σήματος εξόδου του υπολογιστή σε αναλογική μορφή.

A/D Μετατροπή σήματος Κάθε διακριτή τιμή xq(n) αναπαρίσταται από μία b-bit δυαδική ακολουθία.

Μετατροπή Αναλογικού Σήματος σε Ψηφιακό Μετατροπέας Αναλογικού Σήματος σε Ψηφιακό Analog to Digital Converter (ADC) Δέχεται ως είσοδο αναλογικό σήμα Παράγει ως έξοδο ένα ψηφιακό σήμα

Μετατροπή αναλογικού σήματος σε ψηφιακό (1) Η μετατροπή αναλογικού σήματος σε ψηφιακό (A/D conversion) είναι η πλέον σημαντική διεργασία σε ένα ψηφιακό σύστημα που διασυνδέεται με τον πραγματικό κόσμο. Τα διάφορα φυσικά μεγέθη (πίεση, θερμοκρασία, τάση, απόσταση κλπ) μεταβάλλονται με αναλογικό τρόπο. Κατά συνέπεια, η μετατροπή τους σε τάση μέσω κάποιου αισθητηρίου δημιουργεί ένα αναλογικό σήμα τάσης, το οποίο για να εισαχθεί σε κάποιο ψηφιακό σύστημα επεξεργασίας πρέπει να κωδικοποιηθεί κατάλληλα. Το κύκλωμα που χρησιμοποιούμε γι αυτήν την κωδικοποίηση το αποκαλούμε μετατροπέα Α/D (A/D converter).

Μετατροπή αναλογικού σήματος σε ψηφιακό (2) Ένας μετατροπέας A/D έχει κατ αρχήν μία απλή ή διαφορική είσοδο, στην οποία τοποθετείται η αναλογική τάση που θέλουμε να μετατρέψουμε σε ψηφιακή και έναν αριθμό από ακροδέκτες εξόδου που θα οδηγηθούν σε κατάλληλες λογικές καταστάσεις 0 ή 1 μετά τη μετατροπή. Σε πρακτικά κυκλώματα ο ελάχιστος αριθμός των δυαδικών ψηφίων από τα οποία αποτελείται η ψηφιακή λέξη μετά την μετατροπή είναι οκτώ, οπότε λέμε ότι το σύστημα είναι οκτάμπιτο και μπορεί να διακρίνει συνολικά 256 στάθμες.

Μετατροπή αναλογικού σήματος σε ψηφιακό (3) Αντίστοιχα, μπορεί να έχουμε μετατροπείς Α/D 10 bits (οπότε οι στάθμες είναι 1024), 12 bits (4096 στάθμες), των 16 bits, (65536 στάθμες) κ.ο.κ. Οι τιμές αυτές είναι ενδεικτικές, διότι δεν αποκλείεται να συναντήσουμε μετατροπείς με διάφορες αναλύσεις, αν και πρακτικά τα 24 bits θεωρούνται αρκετά για να μας δώσουν εξαιρετικά καλή διακριτική ικανότητα, σχεδόν σε κάθε εφαρμογή.

Ιδανικός A/D Μετατροπέας (1) Το παρακάτω Σχήμα παρουσιάζει τη σχηματική αναπαράσταση του μετατροπέα A/D. Bout είναι η ψηφιακή λέξη εξόδου που προκύπτει από το συνδυασμό της τάσης εισόδου Vin και της τάσης αναφοράς Vref. Η ψηφιακή λέξη εξόδου προκύπτει από τη σύγκριση της τάσης εισόδου σε σχέση με την τάση αναφοράς.

Ιδανικός A/D Μετατροπέας (2)

Μετατροπή Ψηφιακού Σήματος σε Αναλογικό (1) Μετατροπέας Ψηφιακού Σήματος σε Αναλογικό Digital to Analog Converter (DAC) Δέχεται ως είσοδο ψηφιακό σήμα Παράγει ως έξοδο αναλογικό σήμα

Μετατροπή Ψηφιακού Σήματος σε Αναλογικό (2) Ένα κύκλωμα που λαμβάνει μια ψηφιακή είσοδο και τη μετατρέπει σε αναλογική τάση ή ρεύμα, ονομάζεται μετατροπέας ψηφιακού σήματος σε αναλογικό (D/A converter ή DAC). Σε ένα τέτοιο σύστημα κάθε ψηφιακή είσοδος αντιστοιχεί σε μία ορισμένη αναλογική έξοδο, σύμφωνα με έναν πίνακα λειτουργίας

Μετατροπή Ψηφιακού Σήματος σε Αναλογικό (3)

Σταδία αναλογοψηφιακής α) Δειγματοληψία: Η μετατροπή του αναλογικού σήματος σε διακριτό παίρνοντας δείγματα του συνεχούς σήματος σε καθορισμένα χρονικά διαστήματα. Αν xα(t) είναι η είσοδος σε ένα δειγματολήπτη,η έξοδος είναι xα(nt)=x(n) όπου Τ είναι η περίοδος δειγματοληψίας. μετατροπής (1)

Δειγματοληψία

Δειγματοληψία στο χρόνο και τη συχνότητα (1)

Δειγματοληψία στο χρόνο και τη Τα διαδοχικά σήματα φαίνονται στην αριστερή στήλη του σχήματος. Στη δεξιά στήλη εμφανίζονται τα αντίστοιχα συχνοτικά περιεχόμενα (φάσματα) των σημάτων αυτών. Το φάσμα X(f) του σήματος x(t) είναι συγκεντρωμένο (ή περιορισμένο) γύρω από το μηδέν (dc). Επομένως έχουμε ένα σήμα περιορισμένης ζώνης. συχνότητα (2)

Δειγματοληψία στο χρόνο και τη Το φάσμα P(f) της περιοδικής απειροσειράς p(t) των συναρτήσεων δ, είναι επίσης μία περιοδική απειροσειρά συναρτήσεων δ στη συχνότητα, με περίοδο επανάληψης ίση με την συχνότητα δειγματοληψίας Fs=1/Ts. Αυτό σημαίνει ότι όσο πιο πυκνή είναι η συνάρτηση p(t) τόσο αραιώνει η P(f) και το αντίθετο. συχνότητα (3)

Δειγματοληψία στο χρόνο και τη Tο φάσμα X (f) του σήματος x (t) προκύπτει από τη συνέλιξη των φασμάτων X(f) και P(f). Το γεγονός αυτό είναι αποτέλεσμα βασικής ιδιότητας του μετασχηματισμού Fourier,σύμφωνα με την οποία πολλαπλασιασμός δύο σημάτων σημείο προς σημείο στο χρόνο, σημαίνει συνέλιξη των φασμάτων τους στην περιοχή συχνοτήτων και το αντίστροφο. Έτσι το φάσμα X (f) είναι μια περιοδική επανάληψη του φάσματος X(f), με περίοδο ίση με τη συχνότητα δειγματοληψίας Fs. συχνότητα (4)

Δειγματοληψία στο χρόνο και τη συχνότητα (5) Συμπερασματικά, τo δειγματοληπτημένο σήμα x (t) έχει επιπλέον συχνοτικό περιεχόμενο σε σχέση με το αρχικό αναλογικό σήμα x(t), το οποίο θεωρητικά επεκτείνεται στο άπειρο. Οι καινούργιες ζώνες συχνοτήτων καλούνται εικόνες (images) της βασικής ζώνης. 28

Στάδια αναλογοψηφιακής μετατροπής (2)

Κώδικας σε MATLAB Fs = 100; % Sampling frequency t = (1:100)/Fs; % Παίρνουμε δείγματα από το σήμα % κάθε Ts = 1/Fs secs % t = [1/Fs, 2/Fs, 3/Fs,., 100/Fs] s = sin(2*pi*t*5); % αναλογικό σήμα με συχνότητα f= % 5Hz,αφού t=n/fs, για n ακέραιο, % είναι ένα sampled sin με ψηφ. % συχνότητα f_dig = f/fs = 5/100=0.05 % ή 2π0.05 = 0.01π plot(t,s,'ko-');

Γραφική παράσταση του sin(2*pi*t*5)

Στάδια αναλογοψηφιακής μετατροπής (3) β) Κβαντοποίηση: Η μετατροπή ενός διακριτού σήματος του οποίου η εξαρτημένη μεταβλητή παίρνει συνεχείς τιμές, σε ένα διακριτό σήμα του οποίου η εξαρτημένη μεταβλητή παίρνει διακριτές τιμές xq(n). Η διαφορά μεταξύ xα(n) και xq(n) λέγεται σφάλμα κβαντοποίησης. =>> eq(n)= xq(n)-x(n)

Κβαντισμός Βασική παράμετρος της φάσης αυτής είναι το μέγεθος του δείγματος (sampling size), με επακόλουθο όσα περισσότερα bits χρησιμοποιούνται τόσο μεγαλύτερη ακρίβεια περιγραφής. Για παράδειγμα, αν έχουμε 8 bit, τότε μπορούν χρησιμοποιηθούν 2^8=256 διαφορετικές τιμές, ενώ για 16 bit μπορούν να χρησιμοποιηθούν 2^16=65.536 διαφορετικές τιμές, άρα μεγαλύτερη πιστότητα και ακρίβεια.

Υλοποίηση κβαντισμού

Γραφική αναπαράσταση κβαντισμού

Στο παρακάτω σχήμα γίνεται σύγκριση του πραγματικού αναλογικού σήματος με το κβαντισμένο και φαίνεται το σφάλμα κβάντισης. Σφάλμα κβάντισης (1)

Σφάλμα κβάντισης (2)

Διαδικασία Ψηφιοποίησης Ηχητικού σήματος

Αναπαράσταση ψηφιακών σημάτων: Το δυαδικό σύστημα

Το δυαδικό σύστημα (1)

Το δυαδικό σύστημα (2)

Η έννοια της δυναμικής περιοχής στην πράξη

Δειγματοληψία και ανασύσταση ημιτονοειδών σημάτων Δειγματοληψία (sampling) είναι η τεχνική της λήψης τιμών του σήματος μερικές επιλεγμένες χρονικές στιγμές. Στην περίπτωση της ομοιόμορφης δειγματοληψίας (uniform sampling) οι χρονικές στιγμές είναι ισαπέχουσες και η απόσταση μεταξύ τους λέγεται περίοδος δειγματοληψίας Ts. Από τη διαδικασία της δειγματοληψίας απαιτούμε να χάνουμε τη λιγότερη δυνατή πληροφορία από το σήμα συνεχούς χρόνου.

Θεώρημα δειγματοληψίας (1) Για ένα σήμα συνεχούς χρόνου x(t) με μέγιστη συχνότητα fmax πρέπει να ισχύει:

Θεώρημα δειγματοληψίας (2) Ο μη σεβασμός του θεωρήματος της δειγματοληψίας με επιλογή συχνοτήτων fs που δεν ακολουθούν το θεώρημα του Shannon έχει πρακτικές συνέπειες στην εξαγωγή του αρχικού φάσματος του σήματος και εκφράζεται με τον όρο αναδίπλωση ή επικάλυψη (Aliasing, Folding) του φάσματος.

Δειγματοληψία

Θεώρημα δειγματοληψίας (3) Η συχνότητα δειγματοληψίας (sampling frequency), δηλώνει το πόσες φορές το δευτερόλεπτο παίρνουμε δείγματα από το αναλογικό σήμα, το οποίο μετριέται σε χιλιάδες κύκλους ανά δευτερόλεπτο η KHz. Όσο μεγαλύτερη είναι η συχνότητα ψηφιοποίησης τόσο καλύτερη ποιότητα αναπαραγωγής έχουμε άλλα ταυτόχρονα, με ριζική αύξηση του χώρου αποθήκευσης.

Υλοποίηση δειγματοληψίας (1) Η δειγματοληψία και η συγκράτηση είναι απαραίτητη σε ένα µετατροπέα A/D για να παράγει ένα αριθµό ο οποίος αναπαριστά πιστά το σήµα εισόδου κατά την στιγµή της δειγματοληψίας. Το κύκλωµα δειγματοληψίας και συγκράτησης είναι ένα αναλογικό κύκλωµα στο οποίο η τάση εισόδου που εφαρμόζεται, αποθηκεύεται σε έναν πυκνωτή µικρών απωλειών.

Υλοποίηση δειγματοληψίας (2)

Υλοποίηση δειγματοληψίας (3) Υπάρχουν δύο τρόποι λειτουργίας σε ένα κύκλωµα δειγµατοληψίας και συγκράτησης, ο πρώτος τρόπος λειτουργίας (tracking mode) όταν ο διακόπτης είναι κλειστός τότε εφαρµόζεται το σήµα εισόδου, και ο δεύτερος τρόπος λειτουργίας( hold mode) κατά τον οποίο ο διακόπτης είναι ανοιχτός. Κατά τον πρώτο τρόπο λειτουργίας έχουµε φόρτιση του πυκνωτή µε την τάση εισόδου, ενώ κατά τον δεύτερο τρόπο λειτουργίας έχουµε συγκράτηση της τάσης στον πυκνωτή για µια συγκεκριµένη χρονική περίοδο.

Πως επιλέγεται η συχνότητα δειγματοληψίας (1) Η επιλογή της fs είναι απλή υπόθεση όταν η fmax είναι γνωστή, δηλαδή όταν ο Fourier του σήματος x(t), Χ(jΩ)=0 για Ω 2πfmax. Αυτή η ιδιότητα συναντάται σπάνια σε πρακτικές εφαρμογές, όπου κατά κανόνα η fmax τείνει στο άπειρο. Το πρόβλημα επιλογής της fmax λύνεται με την παρεμβολή ενός low pass φίλτρου ώστε να αποκοπούν οι υψηλές συχνότητες πέραν ενός ορίου.

Πως επιλέγεται η συχνότητα δειγματοληψίας (2)

Πως επιλέγεται η συχνότητα δειγματοληψίας (3) Ένας τρόπος μαθηματικής επιλογής της fmax ενός σήματος είναι να υπολογιστεί η Ωmax που περιέχει το επιθυμητό ποσοστό της ενέργειας του σήματος, δηλαδή max X ( j ) d A X ( j ) d 0 0 Όπου Α είναι το ποσοστό της ολικής ενέργειας του σήματος.

Παράδειγμα Να υπολογιστεί η συχνότητα δειγματοληψίας του αναλογικού σήματος x(t) = e -t, t 0

Παράδειγμα - Λύση (1)

Παράδειγμα - Λύση (2)

Προβλήματα Δειγματοληψίας (1) Ο Η. Nyquist (1889-1976), πρώτος ανακάλυψε ότι η μέγιστη συχνότητα αναλογικού σήματος που μπορεί να αποδοθεί χωρίς αλλοίωση είναι το μισό της συχνότητας δειγματοληψίας. Συχνότητες μεγαλύτερες από τα μισά της συχνότητας ψηφιοποίησης εμφανίζονται λανθασμένες σαν χαμηλές συχνότητες, με επακόλουθο το φαινόμενο αυτού του ελλιπούς ρυθμού δειγματοληψίας να ονομάζεται αναδίπλωση (aliasing).

Προβλήματα Δειγματοληψίας (2) Έτσι για να μην εμφανιστούν συχνοτικά ειδώλια που θα παραμορφώσουν το σήμα μετά την δειγματοληψία οι ψηφιοποιητές φιλτράρουν όλες τις συχνότητες που είναι μεγαλύτερες από το μισό της συχνότητας δειγματοληψίας.

Προβλήματα Δειγματοληψίας (3)

Προβλήματα Δειγματοληψίας (4) Κατά συνέπεια, το ηλεκτρονικό σήμα μετά το στάδιο της προενίσχυσης τροφοδοτείται σε ένα ιδανικό βαθυπερατό φίλτρο (low pass), με στόχο την αποκοπή των συχνοτήτων μεγαλύτερων από την μέγιστη συχνότητα δειγματοληψίας για αποφυγή του φαινομένου της αναδίπλωσης. Στη συνέχεια, κατά το στάδιο της δειγματοληψίας τροποποιείται το αναλογικό ηλεκτρικό σήμα της εισόδου σε δυαδικούς αριθμούς και αποθηκεύεται στη μνήμη του Η/Υ, με αποτέλεσμα να ολοκληρώνεται ο μετασχηματισμός από το αναλογικό (analog) στο ψηφιακό (digital).

Βασικό ερώτημα (1) Έστω ένα σήμα συνεχούς χρόνου x(t). Είναι δυνατόν το σήμα αυτό να αντιπροσωπευθεί από ένα μετρήσιμο σύνολο σημείων του χωρίς απώλεια πληροφορίας; Την απάντηση στο βασικό αυτό ερώτημα την δίνει το θεώρημα του Nyquist. Μία διαισθητική απάντηση διαγράφεται με τη βοήθεια του σχήματος.

Βασικό ερώτημα (2) Το σήμα του σχήματος (α) μεταβάλλεται αργά και μία γραμμική παρεμβολή των δειγμάτων του, λαμβανόμενα ανά sec, αναπαριστά ικανοποιητικά το σήμα. Όμως, η ίδια περίοδος δειγματοληψίας δεν φαίνεται να οδηγεί σε ικανοποιητικά αποτελέσματα στην περίπτωση του σήματος του Σχήματος (β) το οποίο μεταβάλλεται πιο γρήγορα. Στην περίπτωση αυτή, τα δείγματα θα πρέπει να λαμβάνονται πιο συχνά (μικρότερο Τs ) όπως για παράδειγμα στο Σχήμα (γ).

Φάσμα σήματος (1) Ένα μέτρο του πόσο γρήγορα μεταβάλλεται ένα σήμα αποτελεί η μέγιστη συχνότητα που είναι παρούσα στο φάσμα του σήματος. Φάσμα είναι η γραφική παράσταση των συνιστωσών που υπάρχουν σε ένα σήμα. Πληρέστερη πληροφόρηση ως προς τα χρονοχαρακτηριστικά ενός σήματος παρέχεται από το φάσμα συχνοτήτων (frequency spectrum) του.

Φάσμα συχνοτήτων

Παράδειγμα Περιγράψτε το φάσμα πλάτους και το φάσμα φάσης των ακόλουθων σημάτων: x(t)= 2συν2π50t y(t)=2ημ300t w(t)=2 συν(2π40t π/3) Σε όλα τα σήματα ο χρόνος t μετρείται σε sec.

Λύση

Φάσμα σήματος (2) Από τo φάσμα του σήματος, είναι δυνατόν να εξαχθούν χρήσιμα συμπεράσματα, όπως τα ακόλουθα: Σε ποια περιοχή συχνοτήτων βρίσκονται οι ημιτονικές συνιστώσες που συνθέτουν το σήμα στο σύνολο ή κατά το μεγαλύτερο μέρος του. Οι περιοχές συχνοτήτων οι οποίες μπορούν να αποκοπούν, ώστε να περιορισθεί η παρουσία του θορύβου στο ελάχιστο δυνατό επίπεδο, χωρίς να υποστεί σημαντική αλλοίωση η επιθυμητή πληροφορία του σήματος. Σε περίπτωση δειγματοληψίας και όχι συνεχούς καταγραφής του ολικού σήματος, η ελάχιστη δυνατή συχνότητα δειγματοληψίας που δεν εισάγει παράσιτες συνιστώσες σύμφωνα με το θεώρημα Nyquist.

Φάσμα σήματος (3) Θα πρέπει λοιπόν να υπάρχει μια σχέση που να συνδέει το εύρος ζώνης συχνοτήτων ενός σήματος με τη συχνότητα δειγματοληψίας F s= 1/T s για την ικανοποιητική αναπαράσταση του σήματος από τα δείγματά του. Η σχέση αυτή, γνωστή και ως συνθήκη του Nyquist, είναι καθολική για κάθε είδος δειγματοληψίας.

Φάσμα σήματος (4) Το φάσμα του σήματος μετά από τη δειγματοληψία για διάφορες περιπτώσεις της συχνότητας δειγματοληψίας Παρατηρούμε ότι τελικά το φάσμα του σήματος μετά τη δειγματοληψία αποτελείται από μια άπειρη σειρά επαναλήψεων του φάσματος του αρχικού σήματος X(f) στις συχνότητες 0, ±fs, ±2fs, ±3fs,..., όπου fs είναι η συχνότητα δειγματοληψίας.

Περίπτωση όπου f s >2f max (1) Διαπιστώνουμε ότι το φάσμα του αρχικού σήματος περιέχεται αυτούσιο στο φάσμα του δειγματοληπτημένου και μπορεί να απομονωθεί εύκολα με την χρήση ενός βαθυπερατού φίλτρου χωρίς καμία αλλοίωση.

Το φάσμα του σήματος μετά από τη δειγματοληψία για διάφορες περιπτώσεις της συχνότητας δειγματοληψίας Φάσμα σήματος (5)

Το φάσμα του σήματος μετά από τη δειγματοληψία για διάφορες περιπτώσεις της συχνότητας δειγματοληψίας Φάσμα σήματος (6)

Περίπτωση όπου f s >2f max (2) Διαπιστώνουμε ότι τα φάσματα των διαφόρων συνιστωσών στις συχνότητες 0, ±fs, ±2fs,...επικαλύπτονται μεταξύ τους με αποτέλεσμα την αλλοίωση του φάσματος του αρχικού σήματος. Αυτό συμβαίνει διότι κατά την διαδικασία απομόνωσης του φάσματος του αρχικού σήματος με ένα φίλτρο, μέσα στο εύρος συχνοτήτων του αρχικού σήματος θα υπάρχουν και συχνότητες από μια γειτονική φασματική συνιστώσα.

Εύρος ζώνης του φάσματος συχνοτήτων ενός σήματος Εύρος ζώνης του φάσματος συχνοτήτων ενός σήματος, ονομάζεται η διαφορά της μεγαλύτερης συχνότητας μείον την μικρότερη συχνότητα του φάσματος συχνοτήτων του. Περιγράφεται μαθηματικά από την σχέση: BW = fmax-fmin (με BW συμβολίζεται το εύρος ζώνης και με f η συχνότητα). Έστω ένα χαμηλοπερατό σήμα x(t) με εύρος ζώνης, όπως φαίνεται στο σχήμα.

Ιδανική δειγματοληψία (1)

Ιδανική δειγματοληψία (2)

Φάσμα του δειγματοληπτημένου σήματος

Δειγματοληψία και ανασύσταση T s 1 F 2 W Εάν, ( s 2W ), τότε τα αντίγραφα του φάσματος του x(t) παρουσιάζουν επικαλύψεις και δεν είναι δυνατή η ανακατασκευή του αρχικού σήματος. Το φαινόμενο αυτό ονομάζεται ψεύδιση (aliasing) και είναι αποτέλεσμα της υποδειγματοληψίας. Αντίθετα, εάν, Fs 2W 2fmax, τότε δεν υπάρχει επικάλυψη φασμάτων και με τη χρήση κατάλληλων φίλτρων μπορούμε να ανακτήσουμε το αρχικό σήμα. F 2W 2f Η συχνότητα δειγματοληψίας s max είναι η ελάχιστη συχνότητα δειγματοληψίας για την αποφυγή της ψεύδισης και ονομάζεται συχνότητα ή ρυθμός δειγματοληψίας Nyquist.

Ανάκτηση σήματος (1) Πως γίνεται η ανάκτηση του αρχικού σήματος από το δειγματοληπτημένο σήμα; Για να ανακτηθεί το αρχικό σήμα x(t) από τα δείγματα, θα πρέπει το δειγματοληπτημένο σήμα να φιλτραριστεί από ένα χαμηλοπερατό φίλτρο όπως φαίνεται στο σχήμα με το οποίο αποκόπτονται τα αντίγραφα του X(F) και απομένει μόνο το αρχικό φάσμα ή ισοδύναμα στο πεδίο του χρόνου το αρχικό σήμα. Με αυτή την επιλογή, η έξοδος του φίλτρου είναι (στο πεδίο συχνοτήτων) όπως φαίνεται παρακάτω.

Ανάκτηση σήματος (2) Στην πράξη η δειγματοληψία γίνεται σε ρυθμούς πολύ μεγαλύτερους της συχνότητας Nyquist αφήνοντας έτσι μια ζώνη προστασίας εύρους μεταξύ δύο διαδοχικών αντιγράφων του φάσματος, διευκολύνοντας με αυτόν τον τρόπο την υλοποίηση των φίλτρων ανακατασκευής.

Χαρακτηριστικές συναρτήσεις ανακατασκευής (1) Οι περισσότερες εφαρμογές στην πράξη απαιτούν επεξεργασία και ανακατασκευή σε πραγματικό χρόνο. Ορισμένες χαρακτηριστικές συναρτήσεις ανακατασκευής που χρησιμοποιούνται είναι:

Χαρακτηριστικές συναρτήσεις ανακατασκευής (2) Η πιο διαδεδομένη ανακατασκευή είναι η κλιμακωτή λόγω της μεγάλης της απλότητας. Το κύκλωμα που την υλοποιεί είναι ο D/A converter. Στο παρακάτω σχήμα παρουσιάζονται οι τρείς διαφορετικές μέθοδοι ανακατασκευής.

Χαρακτηριστικές συναρτήσεις ανακατασκευής (3) Στο παρακάτω Σχήμα απεικονίζονται τριγωνικές ανακατασκευές ημιτόνου με συχνότητα δειγματοληψίας fs και 2fs.

Χαρακτηριστικές συναρτήσεις ανακατασκευής (4) Ας μελετήσουμε την ποιότητα της ανακατασκευής της κλιμακωτής και της τριγωνικής μεθόδου.

Χαρακτηριστικές συναρτήσεις ανακατασκευής (5) Παρατηρούμε ότι η τριγωνική έχει σαφώς μικρότερους κυματισμούς από την κλιμακωτή επομένως δημιουργεί ασθενέστερες (σε ενέργεια) παρασιτικές συχνότητες. Αλλά αυτό το χαρακτηριστικό επιτυγχάνεται σε βάρος του κεντρικού λοβού που απέχει περισσότερο από την ιδανική συνάρτηση από ότι ο κεντρικός λοβός της κλιμακωτής ανακατασκευής με αποτέλεσμα να επιφέρει μεγαλύτερη αλλοίωση στις πραγματικές συχνότητες του σήματος.

Aσκήσεις εξάσκησης

Άσκηση 1 Έστω σήμα συνεχούς χρόνου x(t) Το σήμα δειγματίζεται (δειγματοληπτείται) με συχνότητα δειγματοληψίας (F s ) 10πλάσια της ελάχιστης συχνότητας δειγματοληψίας Nyquist. Να γραφεί η έκφραση του δειγματισμένου σήματος στο πεδίο του χρόνου.

Λύση της Άσκησης 1 (1)

Έστω σήμα συνεχούς χρόνου x(t) Άσκηση 2

Άσκηση 3 Δίνονται το αναλογικό σήμα: Δειγματοληπτείστε το παραπάνω σήμα, έτσι ώστε να έχουμε εννέα (9) δείγματα στο διάστημα [0,8]msec ( Υποθέστε το πρώτο δείγμα σε 0 sec και το ένατο σε 8 msec ). Ποιά η συχνότητα δειγματοληψίας και ποιές είναι οι ακριβείς τιμές των αντίστοιχων δειγμάτων;

Δίνεται το αναλογικό σήμα: Άσκηση 4

Άσκηση 5

Άσκηση 6

Aσκήσεις για λύση

Ασκήσεις 1 και 2

Άσκηση 3 Έστω σήμα συνεχούς χρόνου x(t) Έστω x(t)=20+15 cos (πt)+10 cos (2πt)+5cos (3πt), t σε msec α) Ποία η ελάχιστη δειγματοληπτική συχνότητα Nyquist, fs για αποφυγή του aliasing. β) Ποιό το σήμα xa(t) αν η δειγματοληψία γίνει στη fs/2.

Τέλος Ενότητας 114