Διάλεξη 3. Δειγματοληψία και Ανακατασκευή Σημάτων. Δειγματοληψία και Ανακατασκευή Σημάτων. (Κεφ & 4.6,4.8)

Transcript

1 University of Cyprus Biomedical Imaging & Applied Optics Διάλεξη 3 Δειγματοληψία και Ανακατασκευή (Κεφ & 4.6,4.8) Περιοδική δειγματοληψία (periodic sampling) Περίοδος (sampling period) T Συχνότητα (sampling frequency) f s = 1/T Ω s = 2π/T Ηδειγματοληψίαδενείναι αναστρέψιμη Υπό ορισμένες συνθήκες μπορούμε να ανακτήσουμε το σήμα 2 1

2 Μαθηματική αναπαράσταση Ψηφιοποίηση σε δύο στάδια 1. Διαμόρφωση με σειρά από κρουστικές συναρτήσεις (impulse train modulation) 2. Μετατροπή σε διακριτή σειρά (sequence) Δενέχεισχέσημετηνπραγματική διαδικασία ή κύκλωμα Χρήσιμη στη κατανόηση των εννοιών 3 Δειγματοληψία στο χώρο της συχνότητας Φάσμα Χ s (συνεχές σήμα) Ο F{ } του x s (t) είναι μια περιοδική επανάληψη του F{ } του x c (t) 4 2

3 5 Ανάκτηση του φάσματος Ιδανικό βαθυπερατό (low-pass) φίλτρο Απολαβή (gain) Τ Συχνότητα αποκοπής (cutoff frequency) Ω c για 6 3

4 Παραμόρφωση (distortion) του σήματος Αλλοίωση ή αναδίπλωση (aliasing) Δεν μπορούμε να διαχωρίσουμε το φάσμα 7 Αλλοίωση ή αναδίπλωση (aliasing) Παράδειγμα Χωρίς αναδίπλωση Με αναδίπλωση 8 4

5 Θεώρημα του Nyquist (Nyquist Sampling Theorem) Ένα σήμα x c (t) με περιορισμένο φάσμα (bandlimited) Μπορεί να καθοριστεί μοναδικά (uniquely) από τα δείγματα του Αν Συχνότητα Nyquist: Ρυθμός (rate) Nyqyist: 9 Μετασχηματισμός Fourier του x[n] F{xs(t)} συνεχούς χρόνου F{x[ν]} διακριτού χρόνου άρα μια και 10 5

6 Μετασχηματισμός Fourier του x[n] μια και έχουμε Ανηγμένη (scaled) κλίμακα συχνότητας, ω = ΩΤ Η συχνότητα Ω = Ω s γίνεται ω = 2π Το σήμα x s (t) είναι συνεχούς χρόνου και άρα συνεχίζει να έχει περίοδο Τ μεταξύ των δειγμάτων. Ο χρόνος μεταξύ των δειγμάτων του x[n] είναι πάντα 1 11 Ανακατασκευή σημάτων Δυνατή όταν Πριν Σήμα με περιορισμένο φάσμα Αρκετά ψηλή συχνότητα Μετά Γνωστή περίοδος Μέθοδος 1. Μετατροπή σε σειρά από κρουστικές συναρτήσεις (impulse train) 2. Παρεμβολή (interpolation) για μετατροπή σε συνεχή χρόνο βαθυπερατό φίλτρο συνεχούς χρόνου 12 6

7 Ανακατασκευή σημάτων Μέθοδος 1. Μετατροπή σε σειρά από κρουστικές συναρτήσεις (impulse train) 2. Παρεμβολή (interpolation) για μετατροπή σε συνεχή χρόνο βαθυπερατό φίλτρο συνεχούς χρόνου 13 Ανακατασκευή σημάτων Μέθοδος 1. Μετατροπή σε σειρά από κρουστικές συναρτήσεις (impulse train) 2. Παρεμβολή (interpolation) για μετατροπή σε συνεχή χρόνο βαθυπερατό φίλτρο συνεχούς χρόνου 14 7

8 Εφαρμογές 15 Αλλαγή της συχνότητας Μείωση της f s (downsampling) Γνωρίζουμε ότι 16 8

9 Αλλαγή της συχνότητας Μείωση της f s (downsampling) Μ αντίγραφα του φάσματος Συχνότητα ανηγμένη (scaled) επί Μ Αποδεκατισμός (decimation) Αναδίπλωση (aliasing); Ω = 4Ω s N 17 Αλλαγή της συχνότητας Μείωση της f s (downsampling) Για να αποφευχθεί η αναδίπλωση (aliasing) X( e jω ) = 0, ω ω 2π και 2π 2 ωn or MωN π M N M =

10 Αλλαγή της συχνότητας Αύξηση της f s (upsampling) Συχνότητα ανηγμένη (scaled) δια L Ακολουθεί βαθυπερατό (lowpass) φίλτρο για αν αποφευχθεί αλλοίωση του σήματος 19 Αλλαγή της συχνότητας Αύξηση της f s (upsampling) Παράδειγμα Παρεμβολή (interpolation) 20 10

11 Αλλαγή της συχνότητας Αλλαγή της f s με μη-ακέραιο αριθμό 21 Ψηφιοποίηση αναλογικών σημάτων Αντι-αναδιπλωτικά φίλτρα H aa 1, ( jω ) = 0, π Ω<Ω c < T Ω>Ω c Πραγματικά φίλτρα δεν είναι τέλεια Χρήση ψηλής f s (oversampling) και αποδεκατισμό (decimation) 22 11

12 Ψηφιοποίηση αναλογικών σημάτων Αντι-αναδιπλωτικά φίλτρα 23 Ψηφιοποίηση αναλογικών σημάτων Αναλογο-Ψηφιακή μετατροπή (analog-to-digital conversion ADC): 1. Διατήρηση τιμής (sample and hold) 2. ΑΨΜ (ADC) 1. Διατήρηση τιμής (sample and hold) x () t = x[ n] h ( t nt) o n= 1, 0 < t < T ho () t = 0, otherwise o x () t = h ()* t x ( nt ) δ ( t nt ) o o a n= 24 12

13 Ψηφιοποίηση αναλογικών σημάτων 2. ΑΨΜ (ADC) xˆ[ n] = Q( x[ n]) Κβαντοποίηση (quantization) Η ψηφιακή έξοδος μπορεί να αλλάξει ανάλογα με το πρόβλημα - <x a <+ ήx a > 0 Κλπ Βήμα κβαντοποίησης (quantization step) 2Xm Xm Δ= = B+ 1 B 2 2 2X m είναι το εύρος ψηφιοποίησης (digitization range) B είναι ο αριθμός των δυαδικών ψηφίων (bits) 25 Ψηφιοποίηση αναλογικών σημάτων Σφάλμα κβαντοποίησης (quantization error) en [ ] = xn ˆ[ ] xn [ ] Για Δ Δ Xm < x[ n] < Xm 2 2 Δ Δ < en [ ] < (rounding) 2 2 Δ < en [ ] < 0 (truncation) Διαφορετικά Δ en [ ] > or Δ 2 Σφάλμα (σχήμα d) Τυχαία διαδικασία Ασυσχέτιστη (uncorrelated) με το σήμα Ομοιόμορφη κατανομή Δ xn [ ] > X m 2 Δ Δ Xm < x[ n] < Xm

14 Ψηφιοποίηση αναλογικών σημάτων Ισχύς (power) σφάλματος κβαντοποίησης Δ / σ = ede e Δ Δ/2 2 2B 2 2 Δ 2 X m σ = = e Λόγος Σήματος-Θορύβου (signal to noise ratio SNR) 2 2B 2 σ 12 2 σ X x x m SNR = 10log = 10log = 6.02B log 2 2 σ X e m σ x X m SNR 20log σ x To SNR αυξάνεται 6dB για κάθε επιπρόσθετο ψηφίο Το πλάτος του σήματος (σ x ) είναι της τάξης του εύρους X m (γιατί όχι μεγαλύτερο;) 27 Παραγωγή αναλογικών σημάτων από ψηφιακά Ψηφιο-Αναλογική μετατροπή (digital-to-analog conversion DAC): DA m B o n= x () t = X xˆ [ n] h ( t nt) 1, 0 < t < T ho () t = 0, otherwise e () t = e[ n] h ( t nt) o n= o Μπορούμε επιπλέον να αντισταθμίσουμε (compensate) για τη διαφορά με την ιδανική παρεμβολή (interpolation) [ π t nt T] sin ( ) / xˆ () ˆ r t = x[ n] π ( t nt)/ T n= 28 14