Ιατρικά Ηλεκτρονικά. Δρ. Π. Ασβεστάς Εργαστήριο Επεξεργασίας Ιατρικού Σήματος & Εικόνας Τμήμα Τεχνολογίας Ιατρικών Οργάνων

Transcript

1 Ιατρικά Ηλεκτρονικά Δρ. Π. Ασβεστάς Εργαστήριο Επεξεργασίας Ιατρικού Σήματος & Εικόνας Τμήμα Τεχνολογίας Ιατρικών Οργάνων Χρήσιμοι Σύνδεσμοι Σημειώσεις μαθήματος: E mail: pasv@teiath.gr 2 1

2 ΑΝΑΛΟΓΙΚΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΑ ΣΗΜΑΤΑ Τα σήματα που έχουμε δει μέχρι τώρα είναι αναλογικά (analog), το οποίο σημαίνει ότι: Μπορούν να πάρουν οποιαδήποτε τιμή μεταξύ μίας μέγιστης και μίας ελάχιστης. Είναι γνωστή η τιμή τους οποιαδήποτε χρονική στιγμή. Αντίστοιχα, τα κυκλώματα που χρησιμοποιούν τέτοια σήματα (συγκριτές, ενισχυτές, φίλτρα κ.λπ.) ονομάζονται αναλογικά κυκλώματα (analog circuits). 3 ΑΝΑΛΟΓΙΚΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΑ ΣΗΜΑΤΑ Παράδειγμα αναλογικού σήματος V Χρόνος (s) 4 2

3 ΑΝΑΛΟΓΙΚΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΑ ΣΗΜΑΤΑ Υπάρχει μία άλλη κατηγορία σημάτων, τα οποία ονομάζονται ψηφιακά (digital), τα οποία έχουν τις ακόλουθες ιδιότητες: Μπορούν να λάβουν μόνο συγκεκριμένες διακριτές τιμές. Η τιμή τους είναι γνωστή σε συγκεκριμένες χρονικές στιγμές. Τα αντίστοιχα κυκλώματα (επεξεργαστές, καταχωρητές, μνήμες, μετρητές, flip flops κ.λπ.) ονομάζονται ψηφιακά κυκλώματα (digital circuits). 5 ΑΝΑΛΟΓΙΚΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΑ ΣΗΜΑΤΑ Παράδειγμα ψηφιακού σήματος Ψηφιακή τιμή Χρόνος (s) 6 3

4 ΑΝΑΛΟΓΙΚΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΑ ΣΗΜΑΤΑ Οι τιμές ενός ψηφιακού σήματος αναπαρίστανται από ένα πλήθος bits, το οποίο καθορίζει και το πλήθος των διαφορετικών σταθμών του σήματος. Για παράδειγμα, εάν χρησιμοποιούνται 3 bits για την αναπαράσταση των τιμών ενός ψηφιακού σήματος, τότε το σήμα αυτό μπορεί να έχει 8(2 ) διαφορετικές τιμές. Εάν χρησιμοποιηθούν 4bits, το πλήθος των διαφορετικών τιμών είναι 16 (2 ). Γενικά, ένα ψηφιακό σήμα του οποίου οι τιμές αναπαρίστανται από bits, μπορεί να έχει διαφορετικές τιμές. 7 Ένα ψηφιακό σήμα προκύπτει από ένα αναλογικό σήμα μέσω μίας διαδικασίας που ονομάζεται δειγματοληψία (sampling). Κατά τη διαδικασία αυτή, λαμβάνονται τιμές ενός αναλογικού σήματος σε τακτά χρονικά διαστήματα και οι τιμές αυτές μετατρέπονται σε μία σειρά από bits. Το κάθε πότε λαμβάνονται οι τιμές ενός αναλογικού σήματος ονομάζεται περίοδος δειγματοληψίας (sampling period) και συμβολίζεται με. Για παράδειγμα, εάν η δειγματοληψία ενός αναλογικού σήματος γίνεται ανά 10 μs, τότε η περίοδος δειγματοληψίας θα είναι 10 μs. 8 4

5 Πολλές φορές χρησιμοποιείται το αντίστροφο της περιόδου δειγματοληψίας ( ), το οποίοι ονομάζεται συχνότητα δειγματοληψίας (sampling frequency): 1 και μετριέται σε Hz. Η συχνότητα δειγματοληψίας στην ουσία δείχνει πόσα δείγματα λαμβάνονται από ένα αναλογικό σήμα ανά δευτερόλεπτο. Γι αυτό, πολλές φορές αντί για μονάδα μέτρησης Hz χρησιμοποιείται η μονάδα δείγματα/s (samples/s). 9 Για παράδειγμα, εάν ένα αναλογικό σήμα δειγματοληπτείται με περίοδο δειγματοληψίας 10 μs, τότε η συχνότητα δειγματοληψίας είναι μs 10 Hz, δηλαδή λαμβάνονται δείγματα του σήματος ανά δευτερόλεπτο. Υπάρχει ένα θεμελιώδες θεώρημα, το οποίο είναι γνωστό ως θεώρημα δειγματοληψίας ή θεώρημαnyquist Shannon, το οποίο διατυπώνεται ως ακολούθως: Εάν ένα αναλογικό σήμα περιλαμβάνει μία ή περισσότερες συχνότητες, τότε η συχνότητα δειγματοληψίας πρέπει να είναι τουλάχιστον διπλάσια από τη μέγιστη συχνότητα του σήματος. 10 5

6 Μαθηματικά, το θεώρημα δειγματοληψίας εκφράζεται από τη σχέση: όπου είναι η μέγιστη συχνότητα που υπάρχει στο αναλογικό σήμα. Για παράδειγμα, έστω ένα ημιτονοειδές σήμα συχνότητας 1 khz. Το σήμα αυτό έχει μόνο μία συχνότητα (1 khz), οπότε για να προκύψει το αντίστοιχο ψηφιακό σήμα πρέπει να ληφθούν τουλάχιστον δείγματα του σήματος ανά δευτερόλεπτο. Άλλο παράδειγμα: εάν ένα σήμα έχει συχνότητες που φθάνουν τα 100 Ηz, τότε η συχνότητα δειγματοληψίας πρέπει να είναι τουλάχιστον 200 samples/s. 11 Παράδειγμα Έστω ότι γίνεται δειγματοληψία ενός αναλογικού σήματος, το οποίο έχει μέγιστη συχνότητα 20 khz. Ποια είναι η μεγαλύτερη επιτρεπτή τιμή της περιόδου δειγματοληψίας; Λύση Είναι 20 khz. Από το θεώρημα δειγματοληψίας, η συχνότητα δειγματοληψίας ( ) πρέπει να είναι διπλάσια από τη : 2 Καθώς 1/ πρέπει να είναι: 1 40kHz 1 25 μs Επομένως. η περίοδος δειγματοληψίας δεν πρέπει να υπερβαίνει τα 25 μs. 12 6

7 Παράδειγμα Έστω ότι γίνεται δειγματοληψία ενός αναλογικού σήματος με περίοδο δειγματοληψίας 100 μs, η οποία είναι σταθερή και δεν μπορεί να αλλάξει. Το αναλογικό σήμα έχει μέγιστη συχνότητα 8 khz. α) Μπορεί να γίνει επαρκώς η δειγματοληψία; β) Εάν όχι, προτείνεται πως μπορεί να επιτευχθεί αυτό. Λύση α) Εξετάζουμε εάν ικανοποιείται το θεώρημα δειγματοληψίας. Είναι μs δείγματα/δευτερόλεπτο. Είναι 8 khz. Επομένως, δεν ικανοποιείται η σχέση 2. β) Αφού δεν μπορεί να αλλάξει η συχνότητα δειγματοληψίας, αυτό που μπορεί να αλλάξει η μέγιστη συχνότητα το σήματος, ώστε να μην ξεπερνάει τα 5 khz. Αυτό μπορεί να επιτευχθεί με χρήση ενός απότομου βαθυπερατού φίλτρου με συχνότητα αποκοπής 5kHz. 13 Η τήρηση της σχέσης 2 εξασφαλίζει ότι το αρχικό αναλογικό σήμα μπορεί να ανακατασκευαστεί από τις ψηφιακές τιμές του. Διαφορετικά, παραβιάζοντας την παραπάνω σχέση σημαίνει ότι το αναλογικό σήμα δεν μπορεί πλέον να δημιουργηθεί από το αντίστοιχο ψηφιακό, λόγω ενός φαινομένου που ονομάζεται αναδίπλωση φάσματος (aliasing). Η εξήγηση αυτού του φαινομένου βασίζεται στην ιδιότητα ότι το φάσμα συχνοτήτων του ψηφιακού σήματος που δημιουργείται από τη δειγματοληψία ενός αναλογικού σήματος,, αποτελείται από πολλαπλά αντίγραφα του φάσματος του κεντραρισμένα σε πολλαπλάσια της συχνότητας δειγματοληψίας. 14 7

8 Συγκεκριμένα, έστω ότι το αναλογικό σήμα έχει συχνότητες από 0 Hz μέχρι μία μέγιστη συχνότητα, δηλαδή 0για 0, όπου είναι ο μετασχηματισμός Fourier του και συμβολίζει το μέτρο μιγαδικού. Λόγω ιδιοτήτων του μετασχηματισμού Fourier, το θα είναι συμμετρικό γύρω από το μηδέν δηλαδή για 0, δηλαδή θα είναι 0για. 15 Παράδειγμα φάσματος σήματος. Παρατηρήστε τη συμμετρία γύρω από το μηδέν.h είναι περίπου 200 Hz Hz 8

9 Έστω ότι κάνουμε δειγματοληψία του με συχνότητα, τότε αποδεικνύεται ότι το φάσμα συχνοτήτων του ψηφιακού σήματος που θα προκύψει θα είναι: 2 3 και θα είναι επίσης συμμετρικό γύρω από το μηδέν. Δηλαδή δημιουργούνται πολλαπλά αντίγραφα του αρχικού φάσματος κεντραρισμένα στις συχνότητες,2,3,4, 17 Δειγματοληψία με συχνότητα 3kHz. Πολλαπλά αντίγραφα του αρχικού φάσματος υπάρχουν στις συχνότητες 3kHz, 6kHz, 9kHz, Για οικονομία χώρου εμφανίζονται μόνο τα αντίγραφα στα 3 khz Φάσμα αρχικού σήματος Hz 9

10 Επομένως, εάν φιλτράρουμε το ψηφιακό σήμα με ένα βαθυπερατό φίλτρο με συχνότητα αποκοπής ελαφρώς μεγαλύτερη από 500 Hz θα κοπούν όλες οι συχνότητες μεγαλύτερες από 500 khz. Επομένως, θα προκύψει το φάσμα του αρχικού αναλογικού σήματος, δηλαδή θα προκύψει το ίδιο το αναλογικό σήμα. Όσο μικραίνει η συχνότητα δειγματοληψίας, τα αντίγραφα του φάσματος μετακινούνται πλησιέστερα προς το φάσμα του αρχικού σήματος. Αλλά και πάλι, το αρχικό φάσμα είναι διαχωρίσιμο από τα παράπλευρα φάσματα. 19 Δειγματοληψία με συχνότητα 1,5kHz. Πολλαπλά αντίγραφα του αρχικού φάσματος υπάρχουν στις συχνότητες 1,5kHz, 3kHz, 4,5kHz, Για οικονομία χώρου εμφανίζονται μόνο τα αντίγραφα στα 1,5 khz και 3 khz Φάσμα αρχικού σήματος Hz 10

11 Όταν η συχνότητα δειγματοληψίας γίνει διπλάσια της μέγιστης συχνότητας του σήματος, τα αντίγραφα του φάσματος θα εφάπτονται του αρχικού φάσματος. Πλέον, το αρχικό φάσμα είναι οριακά διαχωρίσιμο από τα παράπλευρα φάσματα. Εάν η συχνότητα δειγματοληψίας, γίνει μικρότερη από το διπλάσιο της μέγιστης συχνότητας του σήματος, πλέον τα παράπλευρα αντίγραφα μπαίνουν μέσα στο αρχικό φάσμα, παραμορφώνοντας το. Πλέον το αρχικό φάσμα δεν είναι διαχωρίσιμο από τα αντίγραφα. 21 Δειγματοληψία με συχνότητα 200 Hz. Πολλαπλά αντίγραφα του αρχικού φάσματος υπάρχουν στις συχνότητες 200 Hz, 400 Hz, 600 Hz, Για οικονομία χώρου εμφανίζονται μόνο τα αντίγραφα στα 400 khz και 600 khz Φάσμα αρχικού σήματος Hz 11

12 Αναλογικό σήμα εισόδου. Αρχικό αναλογικό σήμα (συχνότητα 1 khz) Φάσμα σήματος 23 Δειγματοληψία με 10kHz. Το αρχικό σήμα ανακατασκευάζεται πλήρως Σήμα από δειγματοληψία Βαθυπερατό φιλτράρισμα κίτρινου σήματος Φάσμα κίτρινου σήματος 24 12

13 Δειγματοληψία με 2,5 khz. Το αρχικό σήμα ανακατασκευάζεται πλήρως. Σήμα από δειγματοληψία Βαθυπερατό φιλτράρισμα κίτρινου σήματος Φάσμα κίτρινου σήματος 25 Δειγματοληψία με 1,9 khz. Το αρχικό σήμα δεν ανακατασκευάζεται πλήρως. Σήμα από δειγματοληψία Βαθυπερατό φιλτράρισμα κίτρινου σήματος Φάσμα κίτρινου σήματος 26 13

14 Κυκλώματα που μετατρέπουν ψηφιακά σήματα σε αναλογικά σήματα ονομάζονται μετατροπείς ψηφιακού σήματος σε αναλογικό (digital to analog converters) και είναι γνωστά με το ακρωνύμιο DAC. Ένα κύκλωμα DAC δέχεται ως είσοδο bits,,,, (με τη μορφή τάσης) από κάποιο ψηφιακό σύστημα (π.χ. μικροεπεξεργαστής) και παράγει μία τάση εξόδου η οποία είναι ανάλογη της τιμής Με άλλα λόγια πρόκειται για ένα κύκλωμα εισόδων και μίας εξόδου. 27 Έστω 0,1,, 1 συμβολίζει μία ψηφιακή είσοδο. Κάθε είσοδος δέχεται μία τάση η οποία μπορεί να έχει μόνο δύο τιμές, ανάλογα με την τιμή που έχει το αντίστοιχο bit. Συνήθως, χρησιμοποιείται η τάση 0Vγιανααναπαραστήσει το λογικό 0 και μία θετική γιανααναπαραστήσειτο λογικό 1: 0 V, 0, 1 Η παραπάνω σχέση μπορεί να γραφτεί με πιο συμπαγή τρόπο ως: 0,1,,1 Στις περισσότερες περιπτώσεις, θεωρείται ότι 5 V

15 Η πιο δημοφιλής υλοποίηση ενός DAC περιλαμβάνει τη χρήση ενός δικτυώματος αντιστάσεων τύπου R 2R, όπως δείχνει η εικόνα. Ητάσηεξόδου( ) δίνεται από τον ακόλουθη σχέση: ΤοπιοαπλόκύκλωμαDAC τύπου R 2R περιλαμβάνει δύο εισόδους (2 bits), χωρίς αντιστάσεις, και τον τελεστικό ενισχυτή σε συνδεσμολογία απομονωτή (buffer). H τάση εξόδου στην περίπτωση αυτή δίνεται από τη σχέση: 2 4 Η απόδειξη της σχέσης γίνεται με χρήση της αρχής της επαλληλίας, όπως περιγράφεται στη συνέχεια

16 Αρχικά θεωρούμε ότι είναι 0 V (δηλαδή τη συνδέουμε στη γη αναφοράς) και υπολογίζουμε την έξοδο ( ) που οφείλεται μόνο στη. Το κύκλωμα γίνεται ισοδύναμα όπως φαίνεται στο σχηματικό αριστερά. Οι δύο αντιστάσεις 2 είναι συνδεδεμένες παράλληλα, σχηματίζοντας μία συνολική αντίσταση (σχηματικό δεξιά) Οι δύο αντιστάσεις είναι συνδεδεμένες σε σειρά, σχηματίζοντας μία συνολική αντίσταση 2. Οι δύο αντιστάσεις σχηματίζουν πλέον ένα διαιρέτη τάσης και καθώς είναι ίσες θα δίνουν τη μισή τάση στο σημείο Α: 2 Καθώς έχουμε συνδεσμολογία απομονωτή θα είναι:

17 Τώρα θεωρούμε ότι είναι 0 V(δηλαδή τη συνδέουμε στη γη αναφοράς) και υπολογίζουμε την έξοδο ( ) που οφείλεται μόνο στη (σχηματικό αριστερά). Το κύκλωμα μπορεί να απλοποιηθεί εφαρμόζοντας το θεώρημα Thevenin αριστερά του σημείου Β (σχηματικό δεξιά) Ισοδύναμη τάση Thevenin Ισοδύναμη αντίσταση Thevenin 2 33 Οι δύο αντιστάσεις είναι συνδεδεμένες σε σειρά, σχηματίζοντας μία συνολική αντίσταση 2. Οι δύο αντιστάσεις σχηματίζουν πλέον ένα διαιρέτη τάσης καικαθώςείναιίσεςθαδίνουντημισήτάσηστοσημείοα: 4 Καθώς έχουμε συνδεσμολογία απομονωτή θα είναι:

18 Η συνολική τάση εξόδου είναι το άθροισμα των δύο επιμέρους τάσεως εξόδου: Καθώς όμως και προκύπτει τελικά ότι: 2 4 δηλαδή αυτό που θέλαμε να αποδείξουμε. 35 Παράδειγμα Έστω ένα κύκλωμα DAC τύπου R 2R 4 bits με V. Ο τελεστικός ενισχυτής είναι σε συνδεσμολογία απομονωτή. Ποια τάση εξόδου θα παράγει το κύκλωμα όταν η είσοδος είναιοιψηφιακέςτιμές0, 1, 2, 4, 8, 15; Λύση Είναι Οόροςεντός της παρένθεσης είναι η ψηφιακή τιμή εισόδου, οπότε: 0,3125 V ΨηήΤιμή 36 18

19 Παράδειγμα Έστω ένα κύκλωμα DAC τύπου R 2R 4 bits με V. Ο τελεστικός ενισχυτής είναι σε συνδεσμολογία απομονωτή. Ποια τάση εξόδου θα παράγει το κύκλωμα όταν η είσοδος είναιοιψηφιακέςτιμές0, 1, 2, 4, 8, 15; Λύση Ψηφιακή Τιμή Εισόδου V , , ,5 8 2,5 15 4,