1 ΕΡΓΟ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΙΣΧΥΣ Η ενέργεια είναι από εκείνες τις έννοιες που δύσκολα ορίζονται στη Φυσική. Ένα σώμα μπορεί να έχει, να παίρνει ή να δίνει ενέργεια. Η ίδια η ενέργεια μπορεί να μετατρέπεται από μια μορφή σε μια άλλη: κινητική, δυναμική, ηλεκτρική, χημική, πυρηνική κ.ο.κ. Είναι ευκολότερο να αντιληφθούμε αυτήν την έννοια μέσα από τον τρόπο που τη χρησιμοποιούμε στη γλώσσα της Φυσικής, παρά να μας δοθεί μέσα από έναν ορισμό. Η σημαντικότερη ιδιότητα της ενέργειας (όπως και άλλων μεγεθών στη Φυσική) είναι ότι διατηρείται. Αυτό σημαίνει ότι μπορεί να μεταβιβαστεί από ένα σώμα σε ένα άλλο, να περάσει από τη μια μορφή στην άλλη, αλλά δεν καταστρέφεται ούτε δημιουργείται από το τίποτα. Με άλλα λόγια, ισχύει η λεγόμενη Αρχή Διατήρησης της Ενέργειας (Α.Δ.Ε.). του: Κινητική ενέργεια είναι η ενέργεια που έχει ένα σώμα εξ αιτίας της κίνησής Όπου m είναι η μάζα του σώματος και υ η ταχύτητά του. ΕΡΓΟ ΔΥΝΑΜΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ: Εάν το σημείο εφαρμογής μιας δύναμης μετατοπίζεται κατά, και η γωνία που σχηματίζει η δύναμη με τη μετατόπιση είναι θ, τότε η ποσότητα ονομάζεται έργο της. F θ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ: x Το έργο είναι μονόμετρο μέγεθος και έχει μονάδες SI Nm=J (Joule), δηλαδή την ίδια μονάδα μέτρησης με την ενέργεια.
2 Προσέξτε ότι δε μιλάμε γενικώς για «έργο» αλλά για «έργο δύναμης». Το έργο δεν είναι «ορφανό» ούτε ανήκει στο σώμα που δέχεται τη δύναμη. Έργο χωρίς δύναμη δεν μπορεί να υπάρξει. Αντιθέτως, όπως θα δούμε παρακάτω, κάθε δύναμη δεν παράγει απαραίτητα έργο. Το έργο μιας δύναμης είναι ανεξάρτητο από το εάν ασκούνται άλλες δυνάμεις στο σώμα. Δεν είναι επίσης απαραίτητο η δύναμη που μας απασχολεί να είναι και η αιτία της μετατόπισης που παρατηρούμε. Θα μπορούσε δηλαδή η δύναμη να έχει κατεύθυνση προς τα αριστερά και το σώμα να μετατοπίζεται προς τα δεξιά λόγω αδράνειας ή εξ αιτίας άλλων δυνάμεων. Με δεδομένο ότι, θα έχουμε. Επομένως το έργο μπορεί να παίρνει τιμές θετικές, αρνητικές ή μηδέν. Καθώς γνωρίζουμε, το αίτιο αλλαγής της ταχύτητας των σωμάτων (άρα και της κινητικής τους ενέργειας) είναι η δύναμη. Στην περίπτωση που ένα σώμα δέχεται μια μόνο δύναμη, ομόρροπη της ταχύτητάς (άρα και της μετατόπισης) του, το σώμα επιταχύνεται και επομένως η κινητική του ενέργεια αυξάνεται (με άλλα λόγια, για τη μεταβολή της κινητικής υ του ενέργειας ισχύει ΔΚ>0). Η F επιπλέον ενέργεια που αποκτά το σώμα πρέπει από κάπου να προέρχεται. Συγκεκριμένα, προέρχεται από εκείνον που ασκεί τη δύναμη στο σώμα. Στην περίπτωση αυτή ισχύει W>0 και λέμε ότι η δύναμη παράγει έργο. Εάν η ασκούμενη δύναμη ήταν αντίρροπη της ταχύτητας (και της μετατόπισης, η κίνηση θα ήταν επιβραδυνόμενη και θα είχαμε μείωση της κινητικής ενέργειας (ΔΚ<0). Μεταβιβάζεται υ δηλαδή ενέργεια από το σώμα προς το F περιβάλλον του. Σε αυτήν την περίπτωση ισχύει W<0 και λέμε ότι η δύναμη καταναλώνει έργο. Το έργο της τριβής ολίσθησης έχει πάντα το ίδιο πρόσημο. Ποιο; Εκτοξεύουμε ένα σώμα με αρχική ταχύτητα υ 0 επάνω σε οριζόντιο επίπεδο. Το σώμα επιβραδύνεται λόγω τριβής μέχρι να σταματήσει. Τι απέγινε η αρχική κινητική ενέργεια που του δώσαμε;
3 Διαπιστώνουμε δηλαδή, ότι όταν έχουμε μεταβίβαση ενέργειας ανάμεσα σε δυο σώματα ή μετατροπή ενέργειας από μια μορφή σε μια άλλη, μεσολαβεί κάποια δύναμη. Το έργο της δύναμης εκφράζει το ποσό της ενέργειας που μεταφέρεται από το ένα σώμα στο άλλο ή το ποσό της ενέργειας που μετατρέπεται από τη μια μορφή στην άλλη. Το πρόσημο του έργου μας δείχνει εάν η ενέργεια μεταβιβάζεται προς το σώμα που δέχεται τη δύναμη (W>0) ή αφαιρείται από αυτό(w<0). Προσέξτε ότι: Τα σώματα μπορούν να έχουν, να παίρνουν ή να χάνουν ενέργεια. Ποτέ όμως δε λέμε ότι τα σώματα έχουν έργο, παίρνουν έργο κλπ. Το έργο το παράγουν ή το καταναλώνουν οι δυνάμεις που ασκούνται ανάμεσα σε σώματα. Δεν το «έχει» κανείς. Είναι κάτι που έχει νόημα μόνο κατά τη μεταβίβαση ή τη μετατροπή ενέργειας. Όταν ασκούμε δύναμη, καταβάλλουμε αντίστοιχη προσπάθεια και έχουμε σωστά την αίσθηση ότι χάνουμε ενέργεια. Αυτό δε σημαίνει ότι η ενέργεια που χάνουμε μεταβιβάζεται οπωσδήποτε στο σώμα που δέχεται τη δύναμη. Για να συμβαίνει αυτό, θα πρέπει η ασκούμενη δύναμη να παράγει έργο. Όσο δυνατά π.χ. και αν σπρώχνουμε έναν τοίχο, δεν του μεταβιβάζουμε ενέργεια. Αυτό συμβαίνει γιατί το σημείο εφαρμογής της ασκούμενης δύναμης παραμένει ακίνητο, επομένως το έργο της είναι μηδέν. Ο τοίχος θα έπαιρνε πραγματικά ενέργεια από εμάς εάν καταφέρναμε να τον μετακινήσουμε ή να τον παραμορφώσουμε, πράγμα απίθανο για συνηθισμένους ανθρώπους. Παρ όλα αυτά, μια επίμονη προσπάθεια θα επιφέρει αίσθηση κόπωσης, σημάδι του ότι χάνουμε ενέργεια. Τι γίνεται άραγε η ενέργεια αυτή; Σε ποια μορφή υπήρχε αρχικά και σε ποια μορφή καταλήγει; Μερικές περιπτώσεις υπολογισμού έργου ότι: Από την εξίσωση με την οποία ορίζεται το έργο, μπορεί κανείς να διαπιστώσει Εάν τότε W>0 Εάν τότε W<0 Εάν θ=90 0 τότε W=0. Δηλαδή μια δύναμη που είναι κάθετη στη μετατόπιση δεν παράγει ούτε καταναλώνει έργο. Εάν θ=0 (η δύναμη είναι ομόρροπη με τη μετατόπιση) τότε W=Fx Εάν θ=180 0 (η δύναμη είναι αντίρροπη της μετατόπισης) τότε W=-Fx
4 Έργο μεταβλητής δύναμης Οι παραπάνω υπολογισμοί ισχύουν με την προϋπόθεση ότι το μέτρο της δύναμης παραμένει σταθερό. Τι συμβαίνει όμως όταν το μέτρο της δύναμης μεταβάλλεται; Αυτή δεν είναι μια απίθανη περίπτωση. Θυμηθείτε π.χ. ότι όσο περισσότερο συμπιέζουμε ένα ελατήριο τόσο μεγαλύτερη γίνεται η δύναμη που μας ασκεί. Η τεχνική που θα χρησιμοποιήσουμε είναι αντίστοιχη με εκείνη που μας επιτρέπει να υπολογίσουμε τη μετατόπιση ενός σώματος που κινείται με μεταβλητή ταχύτητα. F F Ας υποθέσουμε ότι έχουμε μια δύναμη σταθερού μέτρου, ομόρροπη της μετατόπισης (θ=0 0 ). Στο διάγραμμα δύναμης - μετατόπισης σχηματίζεται ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο, με εμβαδόν, όσο είναι και το έργο της δύναμης F. Μπορεί να αποδειχτεί ότι σε κάθε περίπτωση που η δύναμη έχει τη διεύθυνση της W F μετατόπισης, το εμβαδόν στο διάγραμμα δύναμης μετατόπισης είναι ίσο με το έργο της δύναμης. Στην περίπτωση που η δύναμη x σχηματίζει γωνία θ με τη μετατόπιση, αναλύουμε τη δύναμη σε δυο συνιστώσες, μια παράλληλη στη μετατόπιση και μια κάθετη. Η κάθετη συνιστώσα δεν παράγει W F έργο, επομένως το συνολικό έργο της δύναμης είναι ίσο με το έργο που παράγει (ή x καταναλώνει) η παράλληλη συνιστώσα. ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΚΙΝΗΤΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ (Θ.Μ.Κ.Ε.) ή Θεώρημα Έργου- Ενέργειας. Μπορεί να αποδειχτεί ότι: Το αλγεβρικό άθροισμα των έργων όλων των δυνάμεων που ασκούνται σε ένα σώμα είναι ίσο με τη μεταβολή της κινητικής του ενέργειας. Ή, με τη μορφή εξίσωσης: Η παραπάνω πρόταση δεν αποτελεί έναν νέο φυσικό νόμο αλλά συμπέρασμα που βασίζεται σε ήδη γνωστούς νόμους. Γι αυτό άλλωστε ονομάζεται «θεώρημα». Συγκεκριμένα, βασίζεται στον 2 ο νόμο του Newton και τους ορισμούς του έργου και της κινητικής ενέργειας. Ας παρατηρήσουμε ότι στο βιβλίο μας υπάρχει επαλήθευση
5 και όχι απόδειξη της ισχύος του Θ.Μ.Κ.Ε., στην ειδική περίπτωση της ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης. Υπάρχει γενική απόδειξη του θεωρήματος αλλά δε γνωρίζουμε ακόμα τα μαθηματικά εργαλεία που μας είναι απαραίτητα για αυτό. Αυτό δεν έχει ιδιαίτερη σημασία. Σημασία έχει να γνωρίζουμε ότι το Θ.Μ.Κ.Ε. ισχύει σε κάθε περίπτωση. Όπως θα δούμε λύνοντας ασκήσεις, το «μυστικό» της χρήσης του θεωρήματος βρίσκεται στο δεύτερο μέλος, δηλαδή στον υπολογισμό των έργων. Εάν κανείς είναι σε θέση να υπολογίζει σωστά τα έργα των δυνάμεων, έχει στα χέρια του ένα πολύ ισχυρό εργαλείο. Το συμπέρασμα που εκφράζει το θεώρημα είναι εύλογο αν σκεφτούμε ότι το έργο κάθε δύναμης εκφράζει το ποσό της κινητικής ενέργειας που παίρνει ή χάνει το σώμα, ανάλογα με το εάν το έργο είναι αντίστοιχα θετικό ή αρνητικό. Εάν λοιπόν κανείς αθροίσει τα έργα όλων των δυνάμεων, θα βρει το συνολικό «κέρδος» του σώματος σε κινητική ενέργεια. Το πρώτο μέλος της εξίσωσης (Κ τελ Κ αρχ = ΔΚ) εκφράζει ακριβώς την αύξηση της κινητικής ενέργειας του σώματος (εάν ΔΚ<0 αυτό σημαίνει ότι η κινητική ενέργεια του σώματος μειώθηκε). Παρατήρηση: Ένα μεγάλο πλεονέκτημα του Θ.Μ.Κ.Ε. είναι ότι δεν περιέχει τον χρόνο (t). Μας επιτρέπει δηλαδή να υπολογίσουμε ταχύτητες και μετατοπίσεις χωρίς να είμαστε αναγκασμένοι να υπολογίσουμε επιταχύνσεις και να χρησιμοποιήσουμε εξισώσεις κίνησης και ταχύτητας. (Αυτό βεβαίως αποτελεί πλεονέκτημα με την προϋπόθεση ότι ο χρόνος και η επιτάχυνση δεν είναι ζητούμενα). Μας επιτρέπει επίσης να υπολογίσουμε ταχύτητα και μετατόπιση ακόμα και στην περίπτωση που ασκούνται στο σώμα μεταβλητές δυνάμεις και επομένως η κίνησή του δεν είναι ομαλά μεταβαλλόμενη. Το έργο του βάρους Έστω ότι ένα σώμα μάζας m μετακινείται κατακόρυφα κατά h. Ας υπολογίσουμε το έργο του βάρους στην περίπτωση α) που ανεβαίνει κατά h και β) στην περίπτωση που κατεβαίνει κατά h. Οι μετατοπίσεις στις δυο περιπτώσεις έχουν αντίθετες κατευθύνσεις και ίσα μέτρα, x α = x β = h. Στην πρώτη περίπτωση, δύναμη και μετατόπιση είναι αντίρροπες (θ x α B x β = 180 ο ) και έτσι W B = -Bh ή W B = -mgh. Δηλαδή όταν το σώμα ανεβαίνει, το βάρος του καταναλώνει έργο mgh. Στη δεύτερη περίπτωση, δύναμη και μετατόπιση είναι ομόρροπες (θ = 0) και έτσι W B = Bh ή W B = mgh. Δηλαδή όταν το σώμα κατεβαίνει, το βάρος του παράγει έργο mgh. Μπορεί να αποδειχτεί ότι τα παραπάνω συμπεράσματα ισχύουν ακόμα και εάν το σώμα δεν ακολουθεί κατακόρυφη τροχιά. Δηλαδή: το έργο του βάρους ενός σώματος που μετακινείται ανάμεσα σε δυο θέσεις που έχουν υψομετρική διαφορά h, είναι ίσο με mgh εάν το
6 σώμα μετακινείται από υψηλότερο σε χαμηλότερο σημείο, ή ίσο με mgh εάν μετακινείται από χαμηλότερο σε υψηλότερο σημείο. Β h Β Άσκηση: Να αποδείξετε ότι το έργο που παράγει το βάρος του σώματος κατά τη διαδρομή ΑΒ (W ΑΒ ) είναι ίσο με το έργο του βάρους κατά τη διαδρομή ΑΓ (W ΑΓ ). Α Β (Να θεωρήσετε γνωστή τη μάζα m του σώματος, την επιτάχυνση της βαρύτητας g και την υψομετρική διαφορά h του σημείου Α από τα σημεία Β και Γ.) Η ΑΡΧΗ ΔΙΑΤΗΡΗΣΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ (Α.Δ.Μ.Ε.) Ας υποθέσουμε ότι ένα σώμα αφήνεται (υ 0 =0) να πέσει ελεύθερα. Όταν θα έχει πέσει κατά h, το βάρος του, που είναι και η μόνη δύναμη που του ασκείται, θα έχει παράξει έργο W B = mgh. Επομένως, σύμφωνα με το Θ.Μ.Κ.Ε.: Γ Το ερώτημα είναι από πού προήλθε αυτό το ποσό ενέργειας που απέκτησε το σώμα. Αντίστοιχα, στην περίπτωση που εκτοξεύουμε ένα σώμα προς τα επάνω, είναι εύκολο να δείξουμε ότι εάν αυτό ανέβει κατά h, η κινητική του ενέργεια θα μειωθεί κατά mgh. Τότε το ερώτημα είναι τι απέγινε το ποσό κινητικής ενέργειας που έχασε το σώμα. Η απάντηση είναι ότι εκτός από την ενέργεια που έχει το σώμα εξ αιτίας της κίνησής του, έχει και ενέργεια λόγω της θέσης του. Η ενέργεια αυτή ονομάζεται
7 δυναμική ενέργεια. Στην πραγματικότητα πρόκειται για ενέργεια που οφείλεται στην αλληλεπίδραση του σώματος με τη Γη, δηλαδή στο βάρος του, και γι αυτό λέγεται βαρυτική δυναμική ενέργεια ή δυναμική ενέργεια λόγω βαρύτητας. Στα προβλήματα που θα μας απασχολήσουν, όπου τα σώματα κινούνται κοντά στην επιφάνεια της Γης, μπορούμε να ορίσουμε τη δυναμική ενέργεια ως εξής: U B = mgh Όπου h είναι το ύψος του σώματος, σε σχέση με το οριζόντιο επίπεδο όπου θεωρούμε τη δυναμική ενέργεια μηδενική. Προσέξτε ότι αυτό το επίπεδο είναι ζήτημα δικής μας, αυθαίρετης επιλογής. Το τοποθετούμε δηλαδή όπου μας βολεύει (συνήθως στη χαμηλότερη θέση από την οποία περνάει το σώμα κατά τη διάρκεια της κίνησής του). U B =0 h Παρατηρήσεις: Η δυναμική ενέργεια δεν ανήκει στο σώμα, αλλά στο σύστημα Γη-σώμα. Το σώμα από μόνο του δεν ασκεί δύναμη στον εαυτό του, άρα δεν υπάρχει έργο και ενεργειακή μετατροπή. Πρόκειται λοιπόν για ενέργεια που είναι αποτέλεσμα αλληλεπίδρασης. Υπάρχουν και άλλα είδη δυναμικής ενέργειας, όπως η ηλεκτροστατική δυναμική ενέργεια και η δυναμική ενέργεια ελατηρίου, ανάλογα με το είδος των δυνάμεων που ασκούνται στο σώμα. Δεν υπάρχει δυναμική ενέργεια για οποιοδήποτε είδος δύναμης. Δυναμική ενέργεια έχουμε μόνο όταν ασκούνται δυνάμεις των οποίων το έργο είναι ανεξάρτητο από τη διαδρομή που ακολουθούμε, όπως το βάρος. Αυτές είναι οι λεγόμενες συντηρητικές ή διατηρητικές δυνάμεις. Με βάση τα παραπάνω, όταν το σώμα πέφτει ελεύθερα κατά h, η δυναμική του ενέργεια μειώνεται κατά mgh, όσο δηλαδή αυξάνεται η κινητική του ενέργεια. Έχουμε δηλαδή μετατροπή δυναμικής ενέργειας σε κινητική. Αντίστοιχα, κατά την άνοδο έχουμε αύξηση της δυναμικής κατά mgh, όσο δηλαδή μειώνεται η κινητική. Μέρος δηλαδή της αρχικής κινητικής ενέργειας μετατρέπεται σε δυναμική. (Θα μπορούσε κανείς να πει ότι η κινητική που χάνει το σώμα «αποθηκεύεται» σε μορφή δυναμικής, που μπορεί ξανά να μετατραπεί σε κινητική όταν το σώμα αρχίσει ξανά να κατεβαίνει κ.ο.κ.). Επομένως, το άθροισμα κινητικής και δυναμικής ενέργειας διατηρείται σταθερό κατά τη διάρκεια αυτών των κινήσεων. Το άθροισμα αυτό, Ε = Κ + U
8 ονομάζεται μηχανική ενέργεια. Για δυο, οποιεσδήποτε, θέσεις του σώματος, θα ισχύει: Κ αρχ + U αρχ = Κ τελ + U τελ Οι παραπάνω εξισώσεις εκφράζουν τη λεγόμενη Αρχή Διατήρησης Μηχανικής Ενέργειας (Α.Δ.Μ.Ε.). Προσέξτε ότι: Η Α.Δ.Μ.Ε., σε αντίθεση με το Θ.Μ.Κ.Ε., δεν ισχύει πάντα. Ισχύει, τουλάχιστον στις περιπτώσεις που αφορούν την ύλη μας, με την προϋπόθεση ότι η μόνη δύναμη που παράγει (ή καταναλώνει) έργο είναι το βάρος ή οι συνιστώσες του. Μπορούμε δηλαδή να την εφαρμόσουμε κατά την ελεύθερη πτώση και την κατακόρυφη βολή ή στην κίνηση πάνω σε λείο κεκλιμένο επίπεδο χωρίς την επίδραση εξωτερικής δύναμης. Δεν μπορούμε να την εφαρμόσουμε εάν υπάρχει τριβή ολίσθησης ή αντίσταση του αέρα. Η Α.Δ.Μ.Ε. έχει το ίδιο πλεονέκτημα (ή μειονέκτημα) με το Θ.Μ.Κ.Ε.: δεν απαιτεί τον υπολογισμό χρόνου ή επιτάχυνσης. ΙΣΧΥΣ Εάν μια μηχανή παρέχει (ή καταναλώνει) ενέργεια W σε χρονικό διάστημα t, τότε η ποσότητα: ονομάζεται ισχύς (power) που παρέχει (ή καταναλώνει) η μηχανή. Η ισχύς είναι μέγεθος μονόμετρο και η μονάδα του στο S.I. είναι. Εναλλακτικά, χρησιμοποιείται και η μονάδα HP (horsepower, ίππος καμία σχέση με τους φορολογήσιμους ίππους των αυτοκινήτων) όπου 1HP = 745,7W. Αφού 1Watt σημαίνει 1Joule ανά 1second, καταλαβαίνουμε ότι εάν μια συσκευή έχει την ένδειξη «ισχύς κατανάλωσης 1200W» (αυτό συνήθως αναγράφεται «input 1200W»), η συσκευή καταναλώνει ενέργεια 1200J για κάθε δευτερόλεπτο λειτουργίας της. Η πληροφορία αυτή είναι σημαντική γιατί συνδέεται άμεσα με το κόστος λειτουργίας της συσκευής.
9 Ρυθμός παραγωγής έργου Έστω ότι μια δύναμη μετατοπίζει το σημείο εφαρμογής της προς την κατεύθυνσή της με ταχύτητα μέτρου υ. Τότε: Δηλαδή ο ρυθμός με τον οποίο η δύναμη παρέχει ενέργεια (ισχύς) είναι: P=Fυ (Μπορεί να αποδειχτεί ότι η ίδια σχέση ισχύει και στην περίπτωση που η δύναμη δεν είναι σταθερή.) Στην περίπτωση που η δύναμη σχηματίζει γωνία θ με την ταχύτητα, ισχύει P=Fυσυνθ. Για την τριβή ολίσθησης π.χ. έχουμε P T =-Tυ. Ρυθμός μεταβολής κινητικής ενέργειας Εάν προσθέσουμε τα έργα όλων των δυνάμεων που ασκούνται σε ένα σώμα θα βρούμε, σύμφωνα με το Θ.Μ.Κ.Ε., τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας. Όμως το άθροισμα των έργων είναι ίσο με το έργο της συνισταμένης δύναμης, τουλάχιστον στις περιπτώσεις που εξετάζουμε φέτος. Έτσι: Δηλαδή ο ρυθμός μεταβολής κινητικής ενέργειας μπορεί να υπολογιστεί από τη σχέση: (Ισχύουν και εδώ οι παρατηρήσεις της προηγούμενης περίπτωσης εάν η συνισταμένη δύναμη δεν είναι σταθερή ή σχηματίζει γωνία θ με την ταχύτητα.) Ρυθμός μεταβολής δυναμικής ενέργειας Η δυναμική ενέργεια ενός σώματος που κινείται κατακόρυφα προς τα επάνω με ταχύτητα μέτρου υ, θα αυξάνεται. Υπολογίζοντας το ρυθμό μεταβολής της δυναμικής ενέργειας, έχουμε:
10 Επομένως ο ρυθμός που θέλουμε να υπολογίσουμε είναι: Στην περίπτωση όπου το σώμα κινείται προς τα κάτω, η δυναμική ενέργεια ελαττώνεται, επομένως ο ρυθμός μεταβολής της θα είναι αρνητικός, ίσος με mgυ. Ασκήσεις 1. Σώμα εκτοξεύεται κατακόρυφα προς τα επάνω από το έδαφος, με αρχική ταχύτητα υ 0 = 40m/s. Θεωρώντας αμελητέα την αντίσταση του αέρα, να υπολογίσετε α) το μέγιστο ύψος στο οποίο θα φτάσει το σώμα β) το μέτρο της ταχύτητάς του όταν θα φτάσει σε ύψος ίσο με το μισό του μέγιστου γ) σε ποιο ύψος η κινητική του ενέργεια θα είναι τριπλάσια από τη δυναμική και δ) με ποια ταχύτητα θα επιστρέψει στο έδαφος. Δίνεται 2. Σώμα μάζας m = 3kg είναι αρχικά ακίνητο στη θέση x=0, επάνω σε οριζόντιο επίπεδο με το οποίο παρουσιάζει συντελεστή τριβής ολίσθησης μ = 0,5. Κάποια στιγμή αρχίζει να ασκείται σε αυτό οριζόντια δύναμη, της οποίας το μέτρο δίνεται από τη σχέση F = 30-3x (S.I.). α) Να περιγράψετε την κίνηση του σώματος από τη θέση x=0 έως της θέση x=10m β) Να υπολογίσετε τη μέγιστη ταχύτητα που αποκτά το σώμα κατά την κίνησή του γ) Να υπολογίσετε το ρυθμό με τον οποίο η τριβή μετατρέπει την ενέργεια σε θερμική τη στιγμή που το σώμα βρίσκεται στη θέση x=5m δ) Να υπολογίσετε το συνολικό ποσό θερμικής ενέργειας που απελευθερώθηκε από τη θέση x=0 έως τη θέση x=10m. Δίνεται