ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΣΕ Γ.Ο.Ι. ΧΩΡΟΥΣ ΝΟΜΟΣ COULOMB 1. [ Νόμος Coulomb και πεδίο βαρύτητας ] Συγκρίνατε το μέγεθος της δύναμης Coulomb και της δύναμης της βαρύτητας που εξασκούνται ανάμεσα στο πρωτόνιο και στο ηλεκτρόνιο ενός ατόμου υδρογόνου.. [ Δύναμη Coulomb ] Να βρεθεί η απόκλιση θ από την κατακόρυφο δύο ελαφρών συρματιδίων μήκους a, που από το ένα άκρο τους αναρτώνται από το σημείο Κ, ενώ στο άλλο άκρο τους κρέμεται σωματίδιο με μάζα m και φορτίο Q. Αριθμητική εφαρμογή για : Q = 0.615 μc, a = 0cm, m = 15 μgr, g = 9.81 m/sec. a m,q K θ m,q 3. [ Δύναμη Coulomb ] Να βρεθεί η απόκλιση θ από την κατακόρυφο τριών ελαφρών συρματιδίων μήκους a, που από το ένα άκρο τους αναρτώνται από το σημείο Κ, ενώ στο άλλο άκρο τους κρέμεται σωματίδιο με μάζα m και φορτίο Q. ΠΕΔΙΟ ΑΠΟ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΦΟΡΤΙΩΝ ΕΠΑΛΛΗΛΙΑ 4. [ Γραμμικό φορτίο σε περιφέρεια κύκλου: Επαλληλία ] Φορτίο Q είναι διανεμημένο ομοιόμορφα πάνω σε περιφέρεια κύκλου ακτίνας a. Να υπολογιστεί η κατανομή της γραμμικής πυκνότητας φορτίου ρ l της περιφέρειας. Επίσης, να υπολογιστεί η πεδιακή ένταση E και το δυναμικό φ των σημείων Ρ(z) του άξονα Οz, αν Οz είναι ο άξονας που περνά από το κέντρο του κύκλου και είναι κάθετος στο επίπεδό του. Αριθμητική εφαρμογή για : Q = 60 nc, a = 0.4 m, Ρ(z=1m). 5. [ Επιφανειακό φορτίο σε επιφάνεια κύκλου: Επαλληλία Όριο ] Φορτίο Q είναι διανεμημένο ομοιόμορφα πάνω στην επιφάνεια κύκλου ακτίνας a. Να υπολογιστεί η κατανομή της επιφανειακής πυκνότητας φορτίου ρ s του κύκλου. Επίσης, να υπολογιστεί η πεδιακή ένταση E και το δυναμικό φ των σημείων P(z) του άξονα Oz, αν Oz είναι ο άξονας που περνά από το κέντρο του κύκλου και είναι κάθετος στο επίπεδό του. Αριθμητική εφαρμογή για : Q = 0.3 μc, a = 0.6 m, P(z=0.6m). - 1 - Παπαγιαννάκης Αντώνης
6. [ Γραμμικό φορτίο σε ευθύγραμμο τμήμα: Επαλληλία - Κυλινδρική συμμετρία ] Φορτίο Q είναι διανεμημένο ομοιόμορφα πάνω σε ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ συνολικού μήκους. Να υπο- A λογιστεί η κατανομή της γραμμικής πυκνότητας φορτίου ρ l του ευθύγραμμου τμήματος. Να υπολογιστεί η πεδιακή ένταση E και το δυναμικό φ των σημείων που βρίσκονται στο μεσοκάθετο επίπεδο του ευθύγραμμου τμήματος. Αριθμητική εφαρμογή για : = 0.5 m, q l = 5 nc/m, Ρ(x=0.5m). / / B O Ρ(ρ) ρ 7. [ Γραμμικό φορτίο σε ευθύγραμμο τμήμα: Επαλληλία - Συμμετρία ως προς επίπεδο ] Γραμμικό φορτίο διανεμημένο ομοιόμορφα πάνω σε ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ μήκους έχει γραμμική πυκνότητα q l. Ζητείται η πεδιακή ένταση E και το δυναμικό φ των σημείων Ρ(x) του άξονα Οx πάνω στον οποίο βρίσκεται η γραμμική πηγή. 8. [ Γραμμικό φορτίο σε ευθύγραμμο τμήμα: Επαλληλία ] Να καθοριστεί το δυναμικό σ ένα τυχόν σημείο του χώρου, που προέρχεται από το πεδίο που δημιουργεί ομοιόμορφα φορτισμένη γραμμική πηγή με πεπερασμένο μήκος. 9. [ Επιφανειακό φορτίο σε κύλινδρο: Επαλληλία - Κυλινδρική συμμετρία ] Δίνεται κύλινδρος με ακτίνα βάσης R και ύψος h, που φέρει ηλεκτρικό φορτίο κατανεμημένο ομοιόμορφα στην παράπλευρη επιφάνειά του. Να μελετηθεί το πεδίο, που δημιουργείται κατά μήκος του άξονα του κυλίνδρου. 10. [ Μη ομοιόμορφο γραμμικό φορτίο ] Ευθύγραμμο τμήμα μήκους φέρει διανεμημένο ηλεκτρικό φορτίο Q και βρίσκεται μέσα σε άπειρο ομογενή και ισότροπο χώρο. Η διανομή του φορτίου πάνω στο ευθύγραμμο τμήμα είναι τέτοια, ώστε ένα στοιχείο dz, που βρίσκεται σε απόσταση z από το μέσο του τμήματος, να έχει φορτίο dq = q z dz, όπου q 0 σταθερή ποσότητα. Ζητούνται : 0 α) Οι διαστάσεις της σταθεράς q 0 και η συνάρτηση Q = f(q 0, ). β) Το δυναμικό ως προς το άπειρο των σημείων του άξονα των y. γ) Το δυναμικό ως προς το άπειρο του σημείου Ρ(0, ) για αριθμητικές τιμές : Q = 3 μc, = 1.5 m, ε r = 3. - - Παπαγιαννάκης Αντώνης
11. [ Γραμμικό φορτίο σε ευθύγραμμα τμήματα: Επαλληλία ] Σε ομογενές και ισότροπο μέσο άπειρης έκτασης βρίσκονται δύο ευθύγραμμα τμήματα μηκους, που είναι διατεταγμένα πάνω στο επίπεδο Οxy, όπως φαίνεται στο σχήμα. Τα δύο ευθύγραμμα τμήματα είναι φορτισμένα ομοιόμορφα με διανεμημένα γραμμικά φορτία Q 1 = Q και Q = Q. Ζητείται η θέση του σημείου P(x=0,y), που έχει δυναμικό μηδέν ως προς το άπειρο. 1. [ Γραμμικό φορτίο σε ημιπεριφέρεια ] y P(0,y) Δίνεται φορτίο Q, διανεμημένο ομοιόμορφα πάνω σε ημιπεριφέρεια κύκλου ακτίνας R. Ζητείται η πεδιακή ένταση E και το δυναμικό φ του κέντρου Κ της ημιπεριφέρειας. Αριθμητική εφαρμογή για : Q = nc/m, R = 0 cm. x 13. [ Επιφανειακό φορτίο σε σφαίρα ] Στο πεδίο της σφαίρας, που δίνεται στο σχήμα σε τομή, να βρεθεί το ολικό της φορτίο καθώς και το δυναμικό και η πεδιακή ένταση στο τυχόν σημείο Μ του άξονα των x, αν η σφαίρα έχει επιφανειακό φορτίο με κατανομή α./ ρ s = q 0 cosθ β./ ρ s = q 0 cosθ R θ M x ΝΟΜΟΣ GAUSS ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ 14. [ Επιφανειακό φορτίο σε σφαίρα ] Να βρεθεί το πεδίο που οφείλεται σε επιφανειακή κατανομή φορτίων ρ s που είναι ομοιόμορφα διανεμημένη σε επιφάνεια σφαίρας ακτίνας R. 15. [ Χωρικό φορτίο σε σφαίρα ] Να βρεθεί το πεδίο που οφείλεται σε χωρική κατανομή φορτίων ρ V που είναι ομοιόμορφα διανεμημένη στον όγκο σφαίρας ακτίνας R. 16. [ Επιφανειακό φορτίο σε σφαιρικά κελύφη ] Δύο ομόκεντρα σφαιρικά κελύφη αμελητέου πάχους και ακτίνων R 1 και R αντίστοιχα φέρουν επιφανειακές κατανομές φορτίου q 1 και q. Να μελετηθεί το πεδίο που δημιουργείται σε όλο το χώρο. - 3 - Παπαγιαννάκης Αντώνης
17. [ Γραμμικό φορτίο σε άπειρη ευθεία ] Γραμμικό φορτίο με πυκνότητα q l είναι ομοιόμορφα διανεμημένο πάνω σε ευθεία άπειρου μήκους. Ζητείται η πεδιακή ένταση E στο σημείο Ρ, που απέχει απόσταση h από την ευθεία. Αριθμητική εφαρμογή για : q l = 5 nc/m, h = 0.6 m. 18. [ Επιφανειακό φορτίο σε άπειρο επίπεδο ] Επίπεδο άπειρης έκτασης είναι ομοιόμορφα φορτισμένο με επιφανειακό φορτίο q s. Να βρεθεί η πεδιακή ένταση E των σημείων του χώρου και να δειχτεί ότι η ένταση σε ένα σημείο Μ, που απέχει απόσταση h από το επίπεδο, οφείλεται κατά το ήμισυ στα φορτία του επιπέδου, που απέχουν από το σημείο Μ απόσταση μικρότερη από h. 19. [ Επιφανειακό φορτίο σε παράλληλες πλάκες ] Δίνονται δύο άπειρες παράλληλες πλάκες με ίσα και αντίθετα ηλεκτρικά φορτία. Να βρεθεί η ηλεκτρική πεδιακή ένταση E των σημείων του χώρου. Θεωρούμε, στην συνέχεια, ένα σημείο Α της μιας πλάκας και το απέναντί του σημείο Β επάνω στην άλλη πλάκα. Γύρω από το σημείο Β θεωρούμε νοητούς συγκεντρικούς δακτυλίους με κέντρο το Β και μεταβλητή ακτίνα, αλλά όλους με το ίδιο πλάτος Δr. Να βρεθεί ποιος από τους δακτυλίους εξασκεί τη μεγαλύτερη επίδραση στο σημείο Α. 0. [ Επιφανειακό φορτίο σε επίπεδο με οπή ] Επίπεδο άπειρης έκτασης φέρει επιφανειακή πυκνότητα φορτίου q s, εκτός από έναν κυκλικό δίσκο ακτίνας R, που είναι αφόρτιστος. Να βρεθεί η ένταση του πεδίου πάνω στον άξονα που διέρχεται από το κέντρο του δίσκου και είναι κάθετος στο επίπεδο. 1. [ Επιφανειακό φορτίο σε άπειρο κύλινδρο ] Να μελετηθεί το πεδίο που οφείλεται σε επιφανειακά φορτία κατανεμημένα ομοιόμορφα στην επιφάνεια κυλίνδρου κυκλικής διατομής και απείρου μήκους.. [ Χωρικό φορτίο σε άπειρο κύλινδρο ] Να μελετηθεί το πεδίο που οφείλεται σε χωρικά φορτία κατανεμημένα ομοιόμορφα στον όγκο κυλίνδρου κυκλικής διατομής και απείρου μήκους. 3. [ Χωρικό φορτίο σε κοίλη σφαίρα ] Δίνονται δύο διηλεκτρικές σφαίρες με ακτίνες R 1 και R τέτοιες, ώστε η δεύτερη να εφάπτεται εσωτερικά της πρώτης. Τα κέντρα και των δύο σφαιρών βρίσκονται στο επίπεδο xοy της πρώτης στην αρχή Ο(0,0,0) και της δεύτερης σε σημείο τέτοιο, ώστε η ευθεία, που ενώνει τα δύο κέντρα να σχηματίζει γωνία 45 με τους άξονες x και y. Στο τμήμα του όγκου της πρώτης σφαίρας, που δεν είναι κοινό με τη δεύτερη, υπάρχει ομοιόμορφη χωρική πυκνότητα φορτίου ρ V. Να βρεθεί η ένταση του πεδίου σε κάθε σημείο του χώρου έξω από τις σφαίρες. - 4 - Παπαγιαννάκης Αντώνης
4. [ Ακτινική εξάρτηση της διηλεκτρικής σταθεράς ] Το τμήμα του χώρου μεταξύ των ακτίνων R 1 και R έχει διηλεκτρική σταθερά ε(r) με ακτινική εξάρτηση. Να βρεθεί η σχέση που δίνει το πεδίο σε οποιοδήποτε σημείο του χώρου όταν οι πηγές του πεδίου (χωρικές, επιφανειακές, γραμμικές ή σημειακές) παρουσιάζουν την ίδια σφαιρική συμμετρία. Εφαρμογή για: r ε(r) ε = 0 1+ a 5. [ Νόμος Gauss: Συνολικό φορτίο ] Δίνεται η συνάρτηση: q e V = 4πε r όπου r η ακτινική απόσταση από την αρχή και q και a σταθερές. Ποιες είναι οι πηγές του πεδίου που δημιουργούν μια τέτοια συνάρτηση δυναμικού; Ο χώρος θεωρείται ομογενής και ισότροπος. ar ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ ΚΑΙ ΠΕΔΙΟΥ 6. [ Συνάρτηση δυναμικού ] Δίνονται οι συναρτήσεις: V y ( ) ( 4 3 3 4) ( )( 1 x = A arctan V = B a a x+ ax x = B a+ x a x) Ζητούνται : α./ Οι διαστάσεις των σταθερών Α, Β, a έτσι, ώστε οι συναρτήσεις αυτές να δίνουν το δυναμικό των σημείων δύο ηλεκτρικών πεδίων. β./ Ποια από τις παραπάνω συναρτήσεις δεν είναι δυνατόν να είναι συνάρτηση δυναμικού ηλεκτροστατικού πεδίου και γιατί; γ./ Για το αποδεκτό πεδίο να βρεθούν : η μορφή των ισοδυναμικών επιφανειών και των δυναμικών γραμμών του. η ισοδυναμική επιφάνεια, που διέρχεται από το σημείο αναφοράς των δυναμικών. η πεδιακή ένταση σε κάθε σημείο του χώρου. η πυκνότητα των χωρικών φορτίων του πεδίου, αν υπάρχουν. 3 7. [ Συνάρτηση δυναμικού ] Μια άγνωστη επιφανειακή κατανομή φορτίων ρ s = ρ s (x,y) είναι κατανεμημένη πάνω στο επίπεδο xοy ενός τρισορθογώνιου συστήματος συντεταγμένων. Να βρεθεί ποια από τις παρακάτω συναρτήσεις παριστάνει το δυναμικό, που δημιουργεί η ρ στον χώρο για z > 0, αν είναι γνωστό ότι δεν υπάρχουν φορτία στον χώρο για z > 0 : - 5 - Παπαγιαννάκης Αντώνης
z φ1 = e cosh(x) z = φ e cos(x) arctan(y) z φ3 = e cos(x)sin(y) φ4 = sin(x)sin(y)sin(z) Για την αποδεκτή συνάρτηση δυναμικού να υπολογιστεί : α./ η ηλεκτρική πεδιακή ένταση E στο σημείο P(x,y,z) για z > 0. β./ η πυκνότητα ρ s = ρ s (x,y) Να δικαιολογηθεί γιατί οι παραπάνω σχέσεις δεν μπορούν να δίνουν το δυναμικό για z < 0. 8. [ Συνάρτηση ηλεκτρικής πεδιακής έντασης ] Ποια από τα παρακάτω διανύσματα μπορούν να περιγράψουν ένα ηλεκτροστατικό πεδίο;. E1 = ax y xˆ E = a cosθ rˆ sinθθˆ E3 = a[ yxˆ xyˆ] a E 4 = [(1+ cosφ)rˆ+ sinθφˆ] r Ποια είναι η χωρική πυκνότητα φορτίου, που δημιουργεί τα αποδεκτά από αυτά τα πεδία; ΦΟΡΤΙΑ ΕΠ' ΕΥΘΕΙΑΣ 9. [ Πεδίο δύο φορτίων ] Στο πεδίο, που σχηματίζεται από δύο άνισα φορτία Q 1 και Q, να βρεθεί το δυναμικό και η πεδιακή ένταση των σημείων του χώρου, καθώς και η μορφή των ισοδυναμικών επιφανειών. Ειδικότερα, εάν τα φορτία είναι ετερόσημα, να αποδειχτεί ότι υπάρχει μία σφαιρική επιφάνεια, που είναι ισοδυναμική και έχει το δυναμικό του απείρου. 30. [ Στοιχειώδες ηλεκτρικό δίπολο ] Να μελετηθεί το πεδίο στοιχειώδους ηλεκτρικού διπόλου. 31. [ Πεδίο τριών φορτίων ] Στα διαδοχικά σημεία Α, Β, Γ μιας ευθείας βρίσκονται φορτία Q 1 = 15 nc, Q = 1 nc και Q 3 = 0 nc, αντίστοιχα. Επίσης είναι ΑΒ = 9 cm και ΒΓ = 16 cm. Ζητούνται : α./ Να αποδειχτεί ότι στο πεδίο που δημιουργείται υπάρχουν δύο τεμνόμενες σφαίρες που αποτελούν μία ισοδυναμική επιφάνεια. Να βρεθεί το μέγεθος και το δυναμικό αυτών των σφαιρών. β./ Να αποδειχτεί ότι η γωνία, που τέμνονται οι σφαίρες, είναι ορθή. γ./ Να βρεθεί, χωρίς άλλες μαθηματικές πράξεις, ο γεωμετρικός τόπος των σημείων, όπου η πεδιακή ένταση είναι μηδέν, καθώς και η ακριβής θέση του. - 6 - Παπαγιαννάκης Αντώνης
3. [ Ηλεκτρική ροή πεδίου δύο φορτίων ] Στο σημείο Α(a,0,0) βρίσκεται κεντρικό φορτίο Q. Να βρεθεί το μέγεθος ενός άλλου κεντρικού φορτίου, που θα πρέπει να τοποθετηθεί στο σημείο Β( a,0,0), ώστε η ροή, που διέρχεται από τον κύκλο (x=0, y=0, z=a), να είναι ίση με Ν. ΟΡΙΑΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ 33. [ Πλάκες με διαφορετικές διηλεκτρικές σταθερές ] Δίνεται μία διάταξη από Ν παράλληλες διηλεκτρικές πλάκες με γνωστές διηλεκτρικές σταθερές ε i, i = 1,,,N. Η ηλεκτρική πεδιακή ένταση E 0 πάνω από την διάταξη είναι γνωστή. Να υπολογιστεί η ηλεκτρική πεδιακή ένταση μέσα σε κάθε πλάκα και κάτω από τη διάταξη των πλακών. 34. [ Οριακές συνθήκες ] Τρεις επίπεδες διηλεκτρικές ισοπαχείς πλάκες με σχετικές διηλεκτρικές σταθερές ε r =, 3 και 4, αντίστοιχα, τοποθετούνται η μία πάνω στην άλλη. Εάν το ηλεκτρικό πεδίο E στον αέρα σχηματίζει γωνία 30 με την κάθετο στην επίπεδη επιφάνεια της πλάκας με ε r =, να βρεθεί η γωνία που σχηματίζει το Ε σε σχέση με την κάθετο μέσα στις πλάκες. Να γίνει σχήμα που να δείχνει τον δρόμο που ακολουθούν οι δυναμικές γραμμές δια μέσου των πλακών. 35. [ Οριακές συνθήκες ] Το επίπεδο xοy ενός τρισορθογώνιου συστήματος συντεταγμένων αποτελεί την διαχωριστική επιφάνεια δύο μέσων (1) και (). Το μέσο (1) περιλαμβάνει τα σημεία του ημιχώρου για z < 0 και έχει διηλεκτρική σταθερά ε 1 = ε 0, ενώ το μέσο () περιλαμβάνει τα σημεία του ημιχώρου για z 0 και έχει διηλεκτρική σταθερά ε = ε 0. Η συνάρτηση του βαθμωτού ηλεκτρικού δυναμικού στα μέσα (1) και () έχει αντίστοιχα τις εκφράσεις: 1 ( ) ( ) φ (x,y,z) = k x y + 4az φ (x,y,z) = k x y + az όπου a και k σταθερές. Ζητούνται : α./ Οι διαστάσεις των σταθερών a και k β./ Η πυκνότητα των χωρικών και επιφανειακών φορτίων του συστήματος. - 7 - Παπαγιαννάκης Αντώνης
ΕΞΙΣΩΣΗ LAPLACE 36. [ Επιφάνεια με σταθερό δυναμικό ] Να μελετηθεί το πεδίο που δημιουργείται από άπειρη επιφάνεια με σταθερό δυναμικό. 37. [ Άπειρα επίπεδα με σταθερή διαφορά δυναμικού ] Να μελετηθεί το πεδίο που δημιουργείται από δύο παράλληλα επίπεδα που απέχουν απόσταση h και βρίσκονται σε διαφορά δυναμικού V. 38. [ Κυλινδρικό κέλυφος με σταθερό δυναμικό ] Να μελετηθεί το πεδίο που δημιουργείται από κυλινδρικό κέλυφος απείρου μήκους και κυκλικής διατομής ακτίνας R με σταθερό δυναμικό. 39. [ Σφαιρικό κέλυφος με σταθερό δυναμικό ] Να μελετηθεί το πεδίο που δημιουργείται από σφαιρικό κέλυφος ακτίνας R με σταθερό δυναμικό. - 8 - Παπαγιαννάκης Αντώνης