Ρητή Μέθοδος Υπολογισµού Οµοιόµορφου Βάθους σε Ανοικτούς Αγωγούς Τραπεζοειδούς ιατοµής

Ολοκληρωµένη ιαχείριση Υδατικών Πόρων 9 Ρητή Μέθοδος Υπολογισµού Οµοιόµορφου Βάθους σε Ανοικτούς Αγωγούς Τραπεζοειδούς ιατοµής Γ. Α. ΤΕΡΖΙ ΗΣ Οµότιµος Καθηγητής Α.Π.Θ. Περίληψη Η εργασία αυτή παρουσιάζει µία ρητή µέθοδο υπολογισµού του οµοιόµορφου βάθους ροής σε ανοικτούς αγωγούς τραπεζοειδούς διατοµής, χρησιµοποιώντας αυστηρή µαθηµατική και αριθµητική ανάλυση της ισχύουσας, έντονα µη γραµµικής, εξίσωσης. Οι τελικές εξισώσεις, που προκύπτουν και εφαρµόζονται εδώ για τον αριθµητικό υπολογισµό του οµοιόµορφου βάθους, είναι ρητές συναρτήσεις µιάς αδιάστατης παραµέτρου Ν, η οποία µπορεί να υπολογιστεί από τα δεδοµένα του προβλήµατος. Η µέθοδος αυτή ισχύει για µεγάλο εύρος της παραµέτρου Ν>0, έχει µέγιστο σφάλµα µικρότερο του 0.00006 και ο υπολογισµός του οµοιόµορφου βάθους σε απλά πρακτικά προβλήµατα µπορεί να γίνει και µε αριθµοµηχανή χειρός. stract This paper presets a eplicit ethd t calculate the ral depth f trapezidal pe chael uifr flw, usig rigrus atheatical ad uerical aalsis f the gverig strgl liear equati. The resultig equatis are eplicit fuctis f e diesial paraeter N, which ca e cputed fr the prle s data. This ethd is valid ver a large rage f paraeter N>0, has aiu errr less tha 0.00006 ad the calculati f ral depth i practical prles ca e perfred eve had calculatr.. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η οµοιόµορφη ροή στους ανοικτούς αγωγούς είναι µία ιδανική κατάσταση ροής στην οποία η µέση ταχύτητα µονοδιάστατης κίνησης δε µεταβάλλεται µε το χρόνο ούτε µε την απόσταση και τη διεύθυνση. Εξαιτίας της ελεύθερης επιφάνειας του νερού η οµοιόµορφη ροή συνεπάγεται σταθερότητα στην υγρή διατοµή και στο βάθος ροής, το οποίο ονοµάζεται και οµοιόµορφο ή κανονικό βάθος (ral depth. Το οµοιόµορφο βάθος εξαρτάται από την παροχή, την κλίση πυθµένα, την τραχύτητα και τα γεωµετρικά χαρακτηριστικά του αγωγού, καθώς και από ένα συντελεστή C του συστήµατος µονάδων. Ο υπολογισµός του οµοιόµορφου βάθους είναι απαραίτητος για το σχεδιασµό και τη διαστασιολόγηση των ανοικτών αγωγών, καθώς και για την ανάλυση τόσο της οµοιόµορφης όσο και της ανοµοιόµορφης ροής. Η πιό συνηθισµένη και ευρύτερα χρησιµοποιούµενη εξίσωση, που περιγράφει την οµοιόµορφη ροή στους ανοικτούς αγωγούς, προκύπτει από το συνδυασµό των εξισώσεων συνέχειας και Maig και είναι: C Q V R C όπου Qπαροχή (³/s, Vµέση ταχύτητα (/s, εµβαδό υγρής διατοµής (², Rυδραυλική ακτίνα (, Pπερίµετρος υγρής διατοµής (, καταµήκος κλίση πυθµένα και συντελεστής τριβής κατά Maig, µε C στο µετρικό και C.46 στο βρετανικό σύστηµα µονάδων. Η Εξ. ( µπορεί να γραφεί µε την αδιάστατη µορφή: C όπου πλάτος πυθµένα υγρής διατοµής και Κ είναι ο αδιάστατος παράγοντας υγρής διατοµής [], ο οποίος είναι συνάρτηση µόνον του αδιάστατου οµοιόµορφου βάθους / για κάθε σταθερή συγκεκριµένη διατοµή ή και της κλίσης πρανών για τη γενική τραπεζοειδή διατοµή. Στην περίπτωση της τραπεζοειδούς διατοµής µε κλίση πρανών οριζόντιο προς κατακόρυφο, η Εξ. ( γίνεται: C Η Εξ. ( χρησιµοποιήθηκε αρχικά από τους Kig [] και Kig και Brater [] και αργότερα από άλλους ερευνητές [4] για την κατασκευή πινάκων για διάφορες τιµές του 0.0, 0., 0., 0.7,.0,.,.0,.,.0, 4.0 και του αδιάστατου βάθους 0.0 ( ο /.0, µε τις οποίες P Q R K P [( + / ( / ] + + ( / Q K [ ] ( ( (

40 υπολογίστηκαν ρητά οι τιµές του Κ. Στους πίνακες των Kig και Brater [] χρησιµοποιείται ως αδιάστατος παράγοντας υγρής διατοµής Κ C ο Κ.46Κ του βρετανικού συστήµατος µονάδων. Οι πίνακες αυτοί µπορούν να χρησιµοποιηθούν αντιστρόφως για τον υπολογισµό του ( ο / για δεδοµένες τιµές του Κ και του και συνήθως χρειάζεται να χρησιµοποιηθεί διπλή γραµµική παρεµβολή. Επειδή η Εξ. ( είναι µη γραµµική, οι παρεµβολές αυτές εισάγουν σηµαντικά σφάλµατα. Επίσης, η Εξ. ( (ή και οι πίνακες των Kig και Brater [] χρησιµοποιήθηκαν για την κατασκευή νοµογραφηµάτων σε λογαριθµικές κλίµακες από διάφορους ερευνητές-συγγραφείς [, - 9]. Οπωσδήποτε και τα νοµογραφήµατα αυτά εισάγουν σηµαντικά σφάλµατα και µάλιστα ακόµη µεγαλύτερα από ότι µε τους πίνακες γιατί, εκτός από αυτά των διπλών παρεµβολών στην ανάγνωση των λογαριθµικών κλιµάκων, υπάρχουν και σφάλµατα, που υπεισέρχονται από την παραµόρφωση κατά τη φωτοτυπική αναπαραγωγή τους. Προσπάθειες εξαγωγής απλών ρητών εξισώσεων, µε διάφορους τρόπους εφαρµογής της µεθόδου των ελαχίστων τετραγώνων ή άλλης στατιστικής τεχνικής για την προσαρµογή σε καµπύλη διάφορων εµπειρικών τιµών [0, ], είχαν περιορισµένο εύρος ισχύος και σηµαντικά σφάλµατα ακρίβειας ακόµη και για τις συνθήκες εφαρµογής τους. Τα τελευταία χρόνια χρησιµοποιούνται διάφορες µέθοδοι αριθµητικής ανάλυσης, µε διαφορετικό ρυθµό σύγκλισης και βαθµό ακρίβειας, οι οποίες εφαρµόζονται στις προαναφερθείσες µορφές των µη γραµµικών Εξ. (, ( και ( µε κατάλληλο προγραµµατισµό και χρήση Η/Υ και συνήθως απαιτούν πολλές επαναλήψεις στους υπολογισµούς [6, 7]. Στην εργασία αυτή παρουσιάζεται συνοπτικά µία νέα ρητή µέθοδος υπολογισµού του οµοιόµορφου βάθους σε ανοικτούς αγωγούς τραπεζοειδούς διατοµής, η οποία βασίζεται σε αυστηρή µαθηµατική και αριθµητική ανάλυση της αρχικής µη γραµµικής Εξ. (, ύστερα από το µετασχηµατισµό της σε αδιάστατη µορφή µε πιό κατάλληλες αδιάστατες µεταβλητές και παραµέτρους. Οι τελικές δύο εξισώσεις υπολογισµών, που προκύπτουν και χρησιµοποιούνται εδώ, είναι ρητές εξισώσεις µίας παραµέτρου Ν, η οποία υπολογίζεται από τα δεδοµένα του προβλήµατος. Η ακρίβεια υπολογισµού του οµοιόµορφου βάθους µε αυτές τις εξισώσεις είναι της τάξης του 0 - και ισχύουν για όλες τις πρακτικές τιµές του Ν>0 ή του ( />0. Υδραυλική, Υδραυλικά Έργα, Περιβαλλοντική Υδραυλική βάθος, η γενική Εξ. ( για το µετρικό σύστηµα µονάδων γίνεται: Εισάγοντας το αδιάστατο οµοιόµορφο βάθος, /, για >0 και >0, στην Εξ. (4 και εκτελώντας τις σχετικές αλγεβρικές πράξεις, ή Q [( + ] ( + + ( + ( + + + όπου Ν είναι αδιάστατη παράµετρος οµοιόµορφης ροής σε τραπεζοειδή αγωγό και δίνεται από τη σχέση: N ( + Οι Εξ. ( και (6 είναι δύο αδιάστατες µορφές της αρχικής Εξ. (4, είναι ισότιµες µεταξύ τους και δεν έχουν αναλυτική κλειστή λύση ως προς γιατί είναι έντονα µη γραµµικές. Συνεπώς, αυτές οι εξισώσεις µπορούν να λυθούν µόνον κατά προσέγγιση µε τη µέθοδο δοκιµής και σφάλµατος ή καλύτερα µε κατάλληλες αριθµητικές µεθόδους και χρήση Η/Υ. Εφαρµόζοντας την αριθµητική µέθοδο Newt ή Newt-Raphs [] στην Εξ. (6, 0. + N + + 0. Q Q 0 Q N ( 4 ( ( 6 0. ( + ( 7. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ.. Τραπεζοειδείς αγωγοί Χρησιµοποιώντας τις εξισώσεις συνέχειας και Maig για σταθερή οµοιόµορφη ροή και τις εκφράσεις και συµβολισµούς των γεωµετρικών χαρακτηριστικών της τραπεζοειδούς διατοµής µε πλάτος πυθµένα, κλίση πρανών ( κατακόρυφο: οριζόντιο και οµοιόµορφο + + N + 0.N f f ( '( + + + + (

Ολοκληρωµένη ιαχείριση Υδατικών Πόρων 4 όπου 0,,,, Εκτελώντας τις σχετικές αλγεβρικές πράξεις στην Εξ. (, όπου + 0. ( + 0.N και η παράµετρος Ν υπολογίζεται από την Εξ. (7 και τα δεδοµένα του προβλήµατος. Η επαναληπτική Εξ. (9 συγκλίνει πολύ γρήγορα στην πραγµατική θετική λύση της Εξ. (6 µε δύο έως τέσσερις επαναλήψεις, αρκεί η επιλογή της αρχικής τιµής να είναι πολύ κοντά σε αυτή την πραγµατική λύση. Μία πολύ καλή προσέγγιση της αρχικής τιµής µπορεί να γίνει µε τη χρησιµοποίηση της αριθµητικής µεθόδου των διαδοχικών προσεγγίσεων, [,, 4] στην Εξ. (6, θεωρώντας τον τρίτο όρο της ως σταθερό προσωρινά και λύνοντας τη δευτεροβάθµια εξίσωση ως προς. Ύστερα από ορισµένες λογικές παραδοχές στις σχέσεις µεταξύ και Ν, προκύπτει τελικά η ρητή εξίσωση: + + N + N ( 9 ( 0 όπου Ν υπολογίζεται από τα δεδοµένα του προβλήµατος και την Εξ. (7 και λαµβάνεται από την Εξ. ( µε τη βοήθεια µίας από τις Εξ. (a,, c. Οι Εξ. (, (a,, c, ( και (4 αποτελούν τη νέα ρητή µέθοδο υπολογισµού του οµοιόµορφου βάθους µε την παρακάτω πορεία: α Από τα δεδοµένα του προβλήµατος και την Εξ. (7 υπολογίζεται η τιµή της παραµέτρου Ν. β Σύµφωνα µε την τιµή αυτή της Ν επιλέγεται µία από τις Εξ. ( και υπολογίζεται ο εκθέτης ν. γ Από την Εξ. ( και τις υπολογισθείσες τιµές των Ν και ν υπολογίζεται η αρχική τιµή του αδιάστατου βάθους. δ Από τις Εξ. ( και (4 και τις παραπάνω τιµές των N και υπολογίζεται η τιµή του αδιάστατου βάθους. ε Τέλος, από τον ορισµό /, υπολογίζεται το οµοιόµορφο βάθος, το οποίο µπορεί να έχει µέγιστο επί τοις σφάλµα µικρότερο του 0-4. Να σηµειωθεί ότι οι Εξ. (a,, c µε τα όριά τους, υπολογίστηκαν για την τιµή και τις Εξ. (, (7 και ( µε άγνωστο το ν, χρησιµοποιώντας τη µέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων στη σχέση: να+βlν. Οι εξισώσεις αυτές µπορούν να χρησιµοποιηθούν και για τις άλλες τιµές του >0, όπως π.χ. 0.,.0,.,.0,.,.0,., µε ανάλογη προσαρµογή των ορίων ισχύος τους. Εξυπακούεται ότι, όσο αποµακρύνεται η τιµή του από την τιµή.0 της εξαγωγής των εξισώσεων (a,, c τόσο µειώνεται η ακρίβεια προσέγγισης της τιµής των / ή /. 0. + 0. + N + + + 4N v (.. Ορθογωνικοί Αγωγοί Στην περίπτωση των ανοικτών αγωγών ορθογωνικής διατοµής έχουµε 0 και >0 και η Εξ.(4 γίνεται: όπου Ν υπολογίζεται από την Εξ. (7 και ο εκθέτης ν λαµβάνει τις τιµές: ν, για Ν 0.06 και ν0. για Ν 6. ν+0.0476lν, για 0.06 Ν. (a ( ή Q ( ( + ( + ( ν7+0.0069lν, για. Ν 6. Για 0 οι Εξ. (9 και (0 γίνονται: (c ( + Q N ( 6 ( + 0. N + N 0.N ( όπου και N Q ( 7 + + ( 4 Οι Εξ. ( και (6 ισχύουν για ορθογωνικούς αγωγούς και είναι πεπλεγµένες µη γραµµικές ως προς ή.

4 Εφαρµόζοντας την αριθµητική µέθοδο Newt- Raphs και τη µέθοδο των διαδοχικών προσεγγίσεων[,, 4] στην Εξ.(6 λαµβάνονται τελικά οι ρητές εξισώσεις: α Για τον υπολογισµό της αρχικής τιµής του αδιάστατου οµοιόµορφου βάθους Υ ο : Υ ο Ν ο (+Ν ο ν ( όπου Ν ο υπολογίζεται από τα δεδοµένα του προβλήµατος και την Εξ. (7 και ο εκθέτης ν υπολογίζεται από τις σχέσεις: ν, για Ν<0.04 (9a Υδραυλική, Υδραυλικά Έργα, Περιβαλλοντική Υδραυλική ν+0.0476lν49704 γ Από την Εξ.( και τις παραπάνω τιµές των Ν και ν 0.9774 δ Από τις Εξ.( και (4 και τις παραπάνω τιµές των Ν +.06 + O.6 ( + 0. N + N 0.N 0.6046 ν+0.06lν ο, για 0.04 Ν 0. ν0.64+0.074lν ο, για 0. Ν.66 (9 (9c β Για τον υπολογισµό του αδιάστατου οµοιόµορφου βάθους Υ ο /: 0 090 ( 0.6046, N ( +. ( + 0. ( 0 όπου Υ ο είναι η τιµή, που προέκυψε από την Εξ. (. Οι Εξ. (, (9 και (0 υπολογίζουν το οµοοιόµορφο βάθος των ορθογωνικών αγωγών µε µέγιστο επί τοις σφάλµα µικρότερο του 0 -.. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ ΠΡΑΚΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Πρόβληµα. [7, p.9, 46-4]. Να υπολογιστεί το οµοιόµορφο βάθος σε τραπεζοειδή αγωγό, ο οποίος έχει πλάτος πυθµένα 0, κλίση πρανών, παροχή Q0 /s, κλίση πυθµένα 0.00 και συντελεστή τριβής Maig 0.0. ( ίνεται η ακριβής τιµή.0909 για σύγκριση. N 0. ( + Q 0. ( + 0.0 0 0. 7609 0 0 0.00 β Από την Εξ.( και την παραπάνω τιµή της Ν N Συνεχίζοντας τη µέθοδο Newt-Raphs µε τις Εξ. (9 και (0 υπολογίζεται η τελική τιµή, 4 0.6049 από την οποία υπολογίζεται η ακριβής τιµή του οµοιόµορφου βάθους 4 /.0909. Συνεπώς το σφάλµα υπολογισµού της τιµής (και του είναι: 00.47 0 4 7 4 Πρόβληµα. [6, p.66]. ίνεται τραπεζοειδής αγωγός, µε πλάτος πυθµένα.04, κλίση πρανών.:, καταµήκος κλίση πυθµένα 0.006, συντελεστή τριβής Maig 0., παροχή Q7.079 /s. Να υπολογιστεί το οµοιόµορφο βάθος ο. ( ίνεται η ακριβής τιµή 4.906696 για σύγκριση. N 0. ( +.. 0. 7.079. 766.04.04 0.006 β Από την Εξ.(c και την παραπάνω τιµή της Ν ν7+0.0069lν909907 γ Από την Εξ.( και τις παραπάνω τιµές των Ν και ν

Ολοκληρωµένη ιαχείριση Υδατικών Πόρων 4.746909 + +.44697 δ Από τις Εξ.( και (4 και τις παραπάνω τιµές των Ν και + +.76964 O.6 ( + 0. N + N 0.N.9444 O.6 ( + 0. N + N 0.N.747644. 4949.7 (.9444. Συνεπώς το επί τοις σφάλµα είναι: Πρόβληµα. Να υπολογιστεί το οµοιόµορφο βάθος σε τραπεζοειδή αγωγό, ο οποίος έχει πλάτος πυθµένα., κλίση πρανών.7, κλίση πυθµένα 0.00, συντελεστή τριβής Maig 0.04, και παροχή Q /s. ( ίνεται η ακριβής τιµή.496 για σύγκριση. N β Από την Εξ.(c και την παραπάνω τιµή της Ν ν7+0.0069lν9000 γ Από την Εξ.( και τις παραπάνω τιµές των Ν και ν.969.9070 00.67 0 4 4 4 0. ( +.7.7 0.04. 0499.. δ Από τις Εξ.( και (4 και τις παραπάνω τιµές των Ν και 0.00 Συνεπώς το επί τοις σφάλµα είναι: Σηµείωση: Σε περίπτωση χρησιµοποίησης πινάκων [, 4] το πρόβληµα αυτό απαιτεί διπλή παρεµβολή ως προς Κ ή F N και ως προς. Πρόβληµα 4. ίνεται ορθογωνικός αγωγός, ο οποίος έχει πλάτος πυθµένα, καταµήκος κλίση πυθµένα 0.006, συντελεστή τριβής Maig 0.0. Να υπολογιστεί το οµοιόµορφο βάθος ροής για παροχή Q0 /s. ( ίνεται η ακριβής τιµή.779077 για σύγκριση. α Από την Εξ.(7 και τα δεδοµένα του προβλήµατος β Από την Εξ.(9 και την παραπάνω τιµή της Ν ν0.64+0.074lν 667 γ Από την Εξ.( και τις παραπάνω τιµές των Ν και ν N (+N ν 00. 0 Q N 0.0 0 0.006 97 (97[+(97] 667 6 δ Από την Εξ.(0 και τις παραπάνω τιµές των Ν ο και Υ

44 N ( +. ( + 0. 9706. 779077 Υδραυλική, Υδραυλικά Έργα, Περιβαλλοντική Υδραυλική. 747796 Συνεπώς το επί τοις σφάλµα είναι: Συνεπώς το επί τοις σφάλµα είναι: Πρόβληµα. [6, p.0]. H κύρια διώρυγα Kittitas του έργου aia των Η.Π.Α., που είναι κατασκευασµένη σε βραχώδη περιοχή, έχει πλάτος πυθµένα 4.7, κλίση πρανών 0., καταµήκος κλίση πυθµένα 0.00 και συντελεστή τριβής Maig 0.0. Να υπολογιστεί το οµοιόµορφο βάθος ροής για παροχή Q6.7 /s. ( ίνεται η ακριβής τιµή.7477974 για σύγκριση. υπολογίζεται : N β Η παραπάνω τιµή της Ν αντιστοιχεί στην τιµή Ν.466 για τις συνθήκες ισχύος των Εξ.(a,, c και άρα είναι στα όρια ισχύος της Εξ.(c. Συνεπώς από την Εξ.(c και την προσαρµοσµένη τιµή της Ν ν7+0.0069lν 7+0.0069l(.466 744 γ Από την Εξ.( και τις παραπάνω τιµές των Ν και ν 0.6604 00 4.0 0 9 δ Από τις Εξ.( και (4 και τις παραπάνω τιµές των Ν και 0. Q ( + 0. 4077 + 0 0. ( + +.090464 N + N 0,N 0.74709 6 00.9 0 Μεγαλύτερη ακρίβεια λαµβάνεται αν χρησιµοποιηθεί η κανονική εξίσωση υπολογισµού του εκθέτη ν. Πράγµατι για 0. και για τις τιµές προκύπτει η εξίσωση: 0.097 Ν 47 ή 0.07 0. ( ν0.+0.00lν ( όπου Ν η πραγµατική τιµή του (Ν077. Χρησιµοποιώντας τις Εξ.( και (, οι αντίστοιχες τιµές των υπόλοιπων βηµάτων της λύσης του προβλήµατος θα είναι: β ν94409 γ 0.766464 δ Α ο.090746 0.7470 ε.7477977 και τελικά σφάλµα: 00. 0 7 4. ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ ΚΑΙ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ. Στην αδιαστατοποίηση της ισχύουσας Εξ.(4 στους τραπεζοειδείς ανοικτούς αγωγούς χρησιµοποιήθηκε η αδιάστατη µεταβλητή / και η προκύψασα αδιάστατη παράµετρος Ν της οµοιόµορφης ροής, η οποία είναι συνάρτηση των και και δίνεται από την Εξ.( ή τις Εξ.(6 και (7 ανάλογα µε τα δεδοµένα του προβλήµατος. Ενώ οι προηγούµενοι ερευνητές χρησιµοποίησαν την αδιάστατη µεταβλητή / και την προκύψασα αδιάστατη παράµετρο Κ, η οποία είναι συνάρτηση των και και δίνεται από την Εξ.(.

Ολοκληρωµένη ιαχείριση Υδατικών Πόρων 4 Συγκρίνοντας τις Εξ.( και (7 στο µετρικό σύστηµα µονάδων προκύπτει η σχέση: 0. ( K ( N + Η Εξ.( διευκολύνει στη σύγκριση των αποτελεσµάτων, που λαµβάνονται µόνο µε ρητές εξισώσεις της παρούσας µεθόδου και αυτών, που λαµβάνονται από τους πίνακες [, 4]. εδοµένου ότι οι πίνακες στογγυλεύουν τις τιµές του Κ στο δεύτερο [] ή στο τέταρτο [4] δεκαδικό ψηφίο η ακρίβεια των αποτελεσµάτων τους, ακόµη και χωρίς παρεµβολές, δε µπορεί να είναι καλύτερη του 0 -. Η αδιάστατη µεταβλητή / εµπεριέχει όλα τα γεωµετρικά χαρακτηριστικά της τραπεζοειδούς διατοµής, ενώ η µεταβλητή / έχει µόνον το πλάτος και κατά συνέπεια πρέπει να κατασκευάζονται χωριστοί πίνακες για κάθε τιµή.. Στην παρούσα εργασία χρησιµοποιήθηκε η µέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων µεταξύ των τιµών του εκθέτη ν και της παραµέτρου Ν για την εξαγωγή των Εξ.(a,, c σε διατοµές µε κλίση πρανών. Οι εξισώσεις αυτές µπορούν να χρησιµοποιηθούν και για τις άλλες τιµές του >0, όπως π.χ. 0., 0., 0.7,.0,.,.,.0,., µε ανάλογη προσαρµογή των ορίων ισχύος τους και τη χρήση προσαρµοσµένης τιµής Ν, όπως φαίνεται και στο παράδειγµα. Οπωσδήποτε όµως, µπορούν να εξαχθούν και αντίστοιχες εξισώσεις για κάθε τιµή, οι οποίες δίνουν και καλύτερες προσεγγίσεις. Παραδείγµατος χάρη, για την τιµή 0. ισχύουν οι παρακάτω εξισώσεις: ν7+0.07lν, για 0.00 Ν 0.09 ν0.+0.00lν, για 0.09 Ν 47 ν0.+0.06lν, για 47 Ν.00 ν0.+0.009lν, για.00 Ν.006 ν-0.004lν, για.006 Ν 0 ν για Ν<0.0 και ν0. για Ν>0 (4a (4 (4c (4d (4e (4f Έτσι στο παράδειγµα αν χρησιµοποιηθεί η Εξ.( χωρίς προσαρµογή, το σφάλµα θα είναι. 0 -. Αν χρησιµοποιηθεί η Εξ. (c µε προσαρµογή, το σφάλµα θα είναι.9 0-6 και αν χρησιµοποιηθεί η κανονική Εξ. (4, το σφάλµα θα είναι. 0-7.. Οι ορθογωνικοί αγωγοί είναι µεν µερική περίπτωση των τραπεζοειδών διατοµών (0, οπωσδήποτε όµως, όπως και στη Γεωµετρία, αποτελούν ξεχωριστή κατηγορία, όπως φαίνεται και από τις Εξ.(6, (7, (, (9 και (0. Το παράδειγµα 4 δείχνει ότι, η λύση τους είναι ευκολότερη και ακριβέστερη µε σφάλµα ίσο µε 4.0 0-9. 4. Οι ρητές εξισώσεις (, ( a,, c και (, που αποτελούν βασικά την προτεινόµενη µέθοδο, είναι µεγάλης ακρίβειας, δεν απαιτούν υποχρεωτικά προγραµµατισµό και χρήση Η/Υ και µπορούν να χρησιµοποιηθούν εύκολα στη λύση πρακτικών προβληµάτων µόνο µε αριθµοµηχανή χεριού µε έξι ως εννέα µνήµες. Βασικά πλεονεκτήµατα της µεθόδου είναι ότι, έχει θεωρητική µαθηµατική βάση [,, 4], είναι σχετικά απλή, δεν απαιτεί κανένα νοµογράφηµα ή πίνακα και υπερέχει συντριπτικά έναντι των άλλων ρητών προσεγγιστικών µεθόδων [0, ]. Σε περίπτωση, που προγραµµατιστεί σε Η/Υ η σύγκλιση στην πραγµατική τιµή είναι ταχύτατη (δεύτερης τάξης και απαιτεί δύο έως τρεις επαναλήψεις. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ. Chw,V.T., (99. Ope-chael Hdraulics, McGraw-Hill, New r, 60.. Kig, H.W., (94. Had f Hdraulics, 4 th ed.,mcgraw- Hill B C., New r.. Kig, H.W., ad Brater, E.F. (96. Had f Hdraulics, th ed.,mcgraw-hill B C., New r. 4. Σακκάς, Ι.Γ., (9. Υπολογισµός Ανοµοιοµόρφου Ροής εις Ανοικτούς Αγωγούς, Ξάνθη, σελ.6.. Heders, F.M. (966. Ope-chael Flw, Macilla, New r,. 6. Frech, R.H., (9. Ope-chael Hdraulics, McGraw-Hill, New r, 70. 7. Chaudhr,M.H., (99. Ope-chael Flw, Pretice Hall, New Jerse, 4.. Τερζίδης, Γ.Α.,(997. Εφαρµοσµένη Υδραυλική, Ζήτη, Θεσσαλονίκη, σελ.4. 9. Baaea-Kpaei, K.,(00. Diesiless Curves fr Nraldepth Calculatis i Caal ectis, Jural f Irrig. ad Drai. Egieerig, 7(6, CE, 6-9. 0. waee, P.K., (994. Nral depth equatis fr irrigati caals. J. Irrig. d Drai. Egrg., CE, 9(, 400-409.. ttari, T., ad Frghi,.M., (99. Eplicit Frulae fr Estiati f Nral Depth i Chaels, Prc. 6 th Cgr. It. ss. Fr Hdr. Res.,, Thas Telfrd, Ld, 7-.. Μπαµπατζιµόπουλος, Χρ., (999. Αριθµητική Ανάλυση. Γιαχούδης-Γιαπούλης, Θεσσαλονίκη, σελ. 4.. tis, K.E., (97. Itrducti t Nuerical alsis. Jh Wile, New r, 7. 4. Tερζίδης, Γ.Α., (00,. Ρητή Μέθοδος Υπολογισµού του Κρίσιµου Βάθους σε Ανοικτούς Αγωγούς Τραπεζοειδούς ιατοµής, Υδροτεχνικά, Τόµος, Ε.Υ.Ε., Θεσ/νίκη, σελ. 0-. Γ.Α.Τερζίδης, Οµότιµος Καθηγητής, Τµήµα Γεωπονίας, Αριστοτέλειο Πανεπιστήµιο Θεσ/νίκης, Θεσ/νίκη 44, Τηλ/Fa 0 997, 99767.