Νόμοι της κίνησης ΙΙΙ

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Νόμοι της κίνησης ΙΙΙ"

Φωτεινή Καραμανλής
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Νόμοι της κίνησης ΙΙΙ Φυσικές κλίμακες και αδιαστατοποίηση Ασυμπτωτικές λύσεις και ποιοτική ανάλυση Ακριβείς λύσεις και οι ιδιότητές τους Παράδειγμα 1 Κατακόρυφη πτώση σώματος στο πεδίο βαρύτητας με αντίσταση ανάλογη της ταχύτητας. Εξίσωση κίνησης du g bu, b μία σταθερή, u dt Διαστάσεις του b: kg [ g] [ b][ u] kg [ b] [ b] s s s Ευρεση κλιμάκων χρόνου, μήκους και ταχύτητας στο πρόβλημα αυτό Οι κλίμακες που παράγονται από τις σταθερές παραμέτρους ενός προβλήματος είναι οι φυσικές του μονάδες, δηλαδή καθορίζουν τις έννοιες μεγάλο και μικρό. Ανάλογα με το πρόβλημα, οι κλίμακες μπορεί να δίνουν το μέγεθος χαρακτηριστικών ποσοτήτων όπως της μέγιστης ή της ελάχιστης τιμής ενός μεγέθους. Κλίμακα χρόνου: b kg 1 [ ] κλίμακα χρόνου kg s s b Κλίμακα ταχύτητας: [ g] [ b][ u] κλίμακα ταχύτητας g b Κλίμακα μήκους:

2 g κλίμακα μήκους κλίμακα ταχύτητας κλίμακα χρόνου b b b g Μία άλλη κλίμακα μήκους φτιάχνεται χρησιμοποιώντας την αρχική ταχύτητα u : u /b Το ακριβές νόημα των ποσοτήτων αυτών θα γίνει ξεκάθαρο μόλις καταλάβουμε λίγο περισσότερο τι συμβαίνει σε αυτό το φυσικό σύστημα. Αδιαστατοποίηση Μετατρέποντας τις εξισώσεις κίνησης σε αδιάστατες, μετασχηματίζουμε το αρχικό πρόβλημα που αντιστοιχεί σε άπειρες διαφορετικές φυσικές κατάστασεις (εξαιτίας των διαφορετικών τιμών, αλλά ακόμα και της φυσικής ερμηνείας, που μπορεί να έχουν οι διαστατικές σταθερές της εξίσωσης κίνησης) σε ένα μοναδικό μαθηματικό πρόβλημα. Η ανάλυση αυτού του προβλήματος δίνει την ενιαία συμπεριφορά όλων αυτών των διαφορετικών φυσικών καταστάσεων. Από πρακτική άποψη, η δύναμη της αδιαστατοποιήσης φαίνεται καθαρά όταν είμαστε υποχρεωμένοι να λύσουμε αριθμητικά κάποιες αλγεβρικές ή διαφορικές εξισώσεις: Αν δουλεύουμε με διαστατικές ποσότητες θα φαίνεται σαν να έχουμε να λύσουμε ένα διαφορετικό πρόβλημα για κάθε διαφορετική επιλογή των τιμών των σταθερών. Αν δουλεύουμε με αδιάστατες ποσότητες θα έχουμε να λύσουμε ένα μόνο πρόβλημα. Η εξίσωση κίνησης περιέχει τις μεταβλητές u, t. Θα ορίσουμε αδιάστατη ταχύτητα U και αδιάστατο χρόνο T με βάση τις πιο πάνω κλίμακες: g u U, t T b b οπότε η εξίσωση κίνησης γίνεται du dt Ασυμπτωτική λύση Γενικά οι εξισώσεις κίνησης ενός συστήματος δεν μπορούν να λυθούν ακριβώς. Προτού επιχειρήσουμε να λύσουμε τις εξισώσεις με αριθμητικές μεθόδους προσπαθούμε να βγάλουμε απο αυτές όσο περισσότερη αναλυτική πληροφορία μπορούμε Ίσως η πιο χαρακτηριστική πληροφορία που μας ενδιαφέρει σε ένα πρόβλημα κίνησης είναι τι κάνει το σύστημα σε μεγάλους χρόνους.

3 Φυσική άποψη: Αν U>1 η αντίσταση είναι πιο ισχυρή από τη βαρύτητα και μειώνει την ταχύτητα. Αν U<1 η βαρύτητα είναι πιο ισχυρή από τη αντίσταση και αυξάνει την ταχύτητα. Επομένως η ταχύτητα του σώματος θα πάει προς την τιμή U=1. Μαθηματική άποψη: Στο γράφημα της ταχύτητας, όταν το αρχικό U είναι πιο μεγάλο από το 1 η κλίση της καμπύλης είναι αρνητική επομένως δείχνει προς τη λύση U=1. Αλλά καθώς η λύση πλησιάζει προς το 1, η κλίση πλησιάζει στο, δηλαδή η λύση πηγαίνει προς σταθεροποίηση στην ασυμπτωτική λύση U=1. Αν αρχικά U>1, τότε η λύση πλησιάζει στο U=1 με θετική κλίση που μειώνεται συνέχεια. Με αυτό μάθαμε ότι αυτό που συμβαίνει στο πρόβλημα αυτό είναι η μετάβαση από μια οποιαδήποτε αρχική κατάσταση σε μία ασυμπτωτική σταθερή λύση (οριακή ταχύτητα). Επομένως η κλίμακα χρόνου /b είναι η κλίμακα χρόνου μετάβασης σε στην ασυμπτωτική λύση, g/b είναι η κλίμακα της οριακής ταχύτητας, και g/b είναι η κλίμακα των αποστάσεων που διανύει το σώμα κατά τη μετάβαση προς την ασυμπτωτική λύση, εκτός εάν η αρχική ταχύτητα u είναι πολύ μεγαλύτερη από την οριακή ταχύτητα g/b οπότε εισάγει μία πολύ μεγαλύτερη και επομένως σημαντικότερη κλίμακα αποστάσεων. Ακριβής λύση du 1 du ln(1 ) 1 du U dt 1 dt U T C dt U U Έστω αρχική συνθήκη U=U για Τ=: ln(1 U ) C (Η λύση παράγεται για U<1. Για U>1 ο λογάριθμος γράφεται ln(u-1) και η λύση που προκύπτει είναι ακριβώς ίδια). Επομένως η λύση γίνεται T ln(1 U) T ln(1 U ) ln T 1 U (1 U ) U 1 (1 U ) T Η ταχύτητα του σώματος πλησιάζει με εκθετικό τρόπο προς την ασυμπτωτική λύση U=1. Απλούστερη περίπτωση: U =, δηλαδή το σώμα ξεκινάει από ακινησία και επιταχύνεται από τη βαρύτητα. Η λύση γίνεται

4 U 1 T T=1 U=.63 T= U=.865 T=3 U=.95 T=4 U=.98 T=5 U=.993 T=6 U=.998 Μέσα σε λίγες μονάδες χρόνου (φυσικές μονάδες χρόνου για το δεδομένο πρόβλημα) η ταχύτητα έχει πλησιάσει αρκετά στην οριακή ταχύτητα. Επαναφέροντας τις διαστατικές ποσότητες g g u ( u) b b bt Η μετατόπιση υπολογίζεται ως t g g bt x udt t ( u )(1 ) b b b Σε μερικές μονάδες χρόνου /b, π.χ. t=6 /b, η μετατόπιση είναι της τάξης μεγέθους της κλίμακας μήκους που βγάλαμε νωρίτερα: g u g x~ 5 O( ) b b b εκτός εάν η αρχική ταχύτητα u είναι πολύ μεγαλύτερη από την κλίμακα της ταχύτητας g/b οπότε η αντίστοιχη κλίμακα μήκους υπερνικάει u xo b ( ) Όσο πιο μεγάλη είναι η αρχική ταχύτητα, τόσο πιο μεγάλη είναι η μετατόπιση που θα κάνει το σώμα μέχρι να φτάσει κοντά στην οριακή του ταχύτητα. Σε μεγάλους χρόνους η μετατόπιση είναι αυτή της ομαλής κίνησης με οριακή ταχύτητα: g x~ t b

5 Παράδειγμα Κατακόρυφη πτώση σώματος στο πεδίο βαρύτητας με αντίσταση ανάλογη του τετραγώνου της ταχύτητας. Εξίσωση κίνησης du g Du, D μία σταθερή, u dt Διαστάσεις του D: kg [ g] [ D][ u ] kg [ D] [ D] s s Ευρεση κλιμάκων χρόνου, μήκους και ταχύτητας στο πρόβλημα αυτό Εδώ θα εφαρμόσουμε μια πιο συστηματική διαδικασία. Κλίμακα χρόνου: Οι σταθερές παρέμετροι στο πρόβλημα είναι,g,d. Όλες οι κλίμακες στο πρόβλημα θα γράφονται ως εκφράσεις της μορφής α g β D γ για κάποιους εκθέτες α,β,γ. Έστω λοιπόν ότι [ g D ] s kg s 1 Χρησιμοποιώντας τις διαστάσεις των σταθερών,g,d αυτό συνεπάγεται ότι kg s επομένως kg kg s 1,, 1 δηλαδή,, Άρα η κλίμακα χρόνου του προβλήματος είναι

6 g D 1/ 1/ 1/ gd Κλίμακα ταχύτητας: Μπορεί να βρεθεί με τον ίδιο συστηματικό τρόπο, αν και είναι ευκολότερο να παρατηρήσουμε πάλι ότι [ g] [ D][ u ] επομένως η ποσότητα με μονάδες ταχύτητας που φτιάχνεται από τις σταθερές παραμέτρους του προβλήματος είναι g D Σημείωση: Ο προηγούμενος τρόπος εύρεσης του κλίμακας χρόνου του προβλήματος είναι συστηματικός και με γενική εφαρμογή. Ο γρηγορότερος τρόπος είναι να παρατηρήσουμε ότι, πρώτον, η κλίμακα ταχύτητας φτιάχνεται πολύ απλά και, δεύτερον, ότι η κλίμακα χρόνου μπορεί να προκύψει με βάση το απλό γεγονός [ταχύτητα] = [επιτάχυνση] [χρόνος] και ότι η κλίμακα της επιτάχυνσης είναι γνωστή: g. Άρα η κλίμακα χρόνου είναι g D g gd όπως έπρεπε. Αδιαστατοποίηση Ορίζουμε αδιάστατη ταχύτητα U και αδιάστατο χρόνο T με βάση τις πιο πάνω κλίμακες: g u U, t T D gd οπότε

7 g du du, dt dt D gd και η εξίσωση κίνησης γίνεται du dt. Ασυμπτωτική λύση Η ασυμπτωτική λύση είναι U=1, με τους ίδιους συλλογισμούς όπως στο προηγούμενο παράδειγμα. Ακριβής λύση du du du dt dt dt 1 U (1 U)(1 U) Ο παραγοντοποιημένος παρονομαστής αναλύεται κατά τα γνωστά από τα μαθηματικά του λυκείου στη μορφή (1 U)(1 U) Επομένως έχουμε ( ) du ln(1 ) ln(1 ) ln 1 1 dt U U T C T C U U Έστω αρχική συνθήκη U=U για Τ=: ln 1 U C (Η λύση παράγεται για U<1. Για U>1 ο λογάριθμος γράφεται ln(u-1) και η λύση που προκύπτει είναι ακριβώς ίδια). Επομένως η λύση γίνεται

8 ln ln T ln T T T T Πρέπει να λύσουμε ως προς U. Αν ονομάσουμε προσωρινά την ποσότητα έχουμε 1 1 U (1 U) U U 1 Επομένως παίρνουμε τελικά 1 U T ως α, U U U U T U T Η λύση αυτή γράφεται με διάφορους ωραίους τρόπους αν χρησιμοποιήσουμε τις συναρτήσεις του υπερβολικού ημιτόνου, συνημιτόνου και εφαπτομένης αλλά εδώ θα αρκεστούμε στην παραπάνω μορφή. Παρατηρούμε ότι όπως και στο προηγούμενο παράδειγμα η ταχύτητα του σώματος πλησιάζει με εκθετικό τρόπο προς την ασυμπτωτική λύση U=1.

Σχετικά έγγραφα

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς A. Μαθηματική Εισαγωγή Πράξεις με αριθμούς σε εκθετική μορφή Επίλυση βασικών μορφών εξισώσεων Συναρτήσεις Στοιχεία τριγωνομετρίας Διανύσματα Καστοριά,