ΠΜΣ: «Επιστήµη και τεχνολογία υδάτινων πόρων»

ΠΜΣ: «Επιστήµη και τεχνολογία υδάτινων πόρων» ΜΑΘΗΜΑ: «ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΕΣ ΕΠΙΠΤΩΣΕΙΣ ΑΠΟ ΜΕΓΑΛΑ Υ ΡΑΥΛΙΚΑ ΕΡΓΑ» ΙΑΛΕΞΗ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΙΩΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥΣ» Γιάννης Μαντζιάρας ΙΣΤΟΡΙΚΑ Πρώτα µοντέλα Ζωγραφιές και γλυπτά (ανθρώπων και ζώων) (50.000-20.000 π.χ). Αρχαιότητα Μοντέλα για το σύµπαν (Πυθαγόρας, Αρίσταρχος κλπ). Κατασκευές οµοιωµάτων µικρής κλίµακας για µεγαλύτερα έργα. Αναγέννηση Μοντέλα για το σύµπαν (Κοπέρνικος, Γαλιλαίος, Τυχών Βράχε). Αργότερα (17ος - 20ος αιώνας) Μοντέλα για το σύµπαν και τη φύση καθώς και για µεγάλα τεχνικά έργα (Νεύτων, Dirac, Αϊνστάιν, κλπ). Εµφάνιση και εξέλιξη των υπολογιστών. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΙΩΜΑΤΑ (ΜΟΝΤΕΛΑ). 1 Ορισµοί. Ένα αντικείµενο (ας υποτεθεί Μ), είναι οµοίωµα (µοντέλο) ενός άλλου αντικειµένου (ας υποτεθεί 77), όταν πληρούνται οι παρακάτω συνθήκες: i. Υπάρχει µια οµάδα από παράγοντες του Μ, καθένας από τους οποίους αντιστοιχεί σε παράγοντα του Π. ii. Η σχέσεις µεταξύ των παραγόντων του Μ, είναι ανάλογες µε τις σχέσεις µεταξύ των αντίστοιχων παραγόντων του Π, για τουλάχιστον κάποιες διεργασίες. Παράδειγµα: Ας υποτεθεί µια µαθηµατική εξίσωση (ψ = 3χ 2 +10χ-2) Αποτελείται από: µια οµάδα από σύµβολα (µερικά από τα οποία αντιπροσωπεύουν κάποιες µεταβλητές (ποσότητες µε νούµερο και διαστάσεις). 1

- Τα υπόλοιπα αντιπροσωπεύουν κάποιες διεργασίες που συµβαίνουν µεταξύ αυτών των µεταβλητών (όπως π.χ. πρόσθεση, πολλαπλασιασµός, παραγώγιση, ολοκλήρωση κ.ά.). Εάν λοιπόν, αυτές οι µεταβλητές µπορούν να συσχετιστούν µε φυσικές οντότητες, για ένα δεδοµένο πραγµατικό σύστηµα και οι διεργασίες µεταξύ των µεταβλητών στη µαθηµατική εξίσωση, είναι ανάλογες µε αυτές των αντίστοιχων φυσικών οντοτήτων, τότε µπορεί να ειπωθεί ότι η µαθηµατική αυτή έκφραση είναι ένα µοντέλο του πραγµατικού συστήµατος. Οι συνθήκες ί και ίί: κάθε τι που εκπληρεί αυτές τις δύο ιδιότητες µπορεί να ονοµαστεί µοντέλο, ενώ κάθε τι που δεν εκπληρεί έστω και µία από αυτές, δεν µπορεί. εν σηµαίνει, ότι το µοντέλο Μ πρέπει να είναι ένα ακριβές αντίγραφο του αντικειµένου Π. Η συνθήκη ί, δεν απαιτεί κάθε µεταβλητή του Μ να αντιστοιχεί σε κάθε µεταβλητή του Π και αντίστροφα. Η συνθήκη ii, δεν απαιτεί ότι κάθε σχέση µεταξύ των µεταβλητών του Π, πρέπει ν' αντικατοπτρίζεται ακριβώς από µια ανάλογη σχέση µεταξύ των µεταβλητών του Μ. Είναι φανερό ότι τα δύο αντικείµενα δεν µπορούν ν' ανταποκρίνονται πλήρως το ένα στο άλλο µε κάθε λεπτοµέρεια, εκτός και αν είναι πανοµοιότυπα. Σ' αυτήν την περίπτωση όµως η έννοια του µοντέλου χάνει την χρησιµότητα του. 2. Κατηγοριοποίηση των µοντέλων. Ντετερµινιστικά ή Στοχαστικά. Υποκατηγορίες: Σταθερών ή υναµικών συνθηκών Μηχανιστικά ή Εµπειρικά 2.1 Ντετερµινιστικά: Στηρίζονται στην αρχή: «ίδια αιτία υπό τις ίδιες συνθήκες, προκαλεί το ίδιο αποτέλεσµα κάθε φορά». 2

εδοµένα εισόδου σχετίζονται µε τα αποτελέσµατα εξόδου και τις παραµέτρους του µοντέλου µ' ένα συγκεκριµένο τρόπο ή ένα σύνολο συγκεκριµένων τρόπων, ώστε το αποτέλεσµα να είναι το ίδιο για τα ίδια δεδοµένα και συνθήκες κάθε φορά. Παράδειγµα: Εξίσωση ψ = κχ + λ, η οποία για συγκεκριµένες τιµές των κ, χ και λ, υπάρχει µόνο µια τιµή του ψ. Αν η εξίσωση ήταν εξίσωση κύκλου, τότε θα αντιστοιχούσαν δύο τιµές του ψ. Στα περιβαλλοντικά µοντέλα: συνήθως σύστηµα διαφορικών εξισώσεων. 2.2 Στοχαστικά ή Πιθανοκρατικά: Στηρίζονται στην αρχή της αβεβαιότητας και οι τεχνικές που χρησιµοποιούνται για να εκφραστεί το µοντέλο σε µαθηµατική µορφή, είναι οι στατιστικές τεχνικές. Τύπος «µαύρο κουτί»: Τα πιο συνηθισµένα. Ποσοτικοποιούν µια βασική σχέση αιτίας - αποτελέσµατος χωρίς να υπεισέρχονται στους επί µέρους παράγοντες που σχετίζονται µε το φαινόµενο, (τύπου «µαύρου κουτιού»). Τύπος «γκρι κουτί»: Στοχαστικά µαθηµατικά οµοιώµατα που ένα µέρος τους είναι ντετερµινιστικό. «Τεχνητά νευρωνικά δίκτυα» (Artificial Neural Networks): Ορίζονται ως: «µαζικά παράλληλα συνδεδεµένα δίκτυα αποτελούµενα από απλά στοιχεία και τις ιεραρχηµένες οργανώσεις - σχέσεις τους, τα οποία αλληλεπιδρούν µε τα αντικείµενα της πραγµατικής ζωής κατά τρόπο όµοιο µε αυτόν των βιολογικών νευρικών συστηµάτων». 3

Επιχειρήµατα των ερευνητών που ασχολούνται µε τα στοχαστικά µοντέλα είναι ότι: α) τα σύνθετα ντετερµινιστικά µοντέλα περιέχουν µεγάλο αριθµό παραµέτρων και συντελεστών => δύσκολος προσδιορισµός στην πράξη => πολλές φορές σηµαντικά σφάλµατα β) Πολλά ντετερµινιστικά µοντέλα, βασίζονται συνήθως σε µόνιµες και χρονικά σταθερές συνθήκες, όσον αφορά τις τιµές των παραµέτρων των συντελεστών, κάτι που σπάνια συµβαίνει στην πράξη. 2.3 Υποκατηγορίες: Σταθερών ή υναµικών συνθηκών «Σταθερών συνθηκών»: <=> δεν υπάρχουν µεταβολές των υπό παρακολούθηση µεταβλητών σε σχέση µε το χρόνο. => αναγωγή των πολύπλοκων διαφορικών εξισώσεων, σε αλγεβρικές που λύνονται πολύ πιο εύκολα, απλοποιώντας έτσι το οµοίωµα. εν καταδεικνύει τις διακυµάνσεις των χαρακτηριστικών στο χρόνο, που είναι και η πραγµατική κατάσταση. Αυτή τη δουλειά την κάνουν τα δυναµικά µοντέλα ή µοντέλα δυναµικών συνθηκών. «υναµικά οµοιώµατα»: <=> Προβλέπουν την διακύµανση της συµπεριφοράς ενός συστήµατος στο χρόνο. «Μηχανιστικά»: Κατάστρωση των εξισώσεων τους, βασίζεται σε θεωρητική επιστηµονική γνώση γύρω από τα φυσικά, χηµικά, ή βιολογικά φαινόµενα που λαµβάνουν χώρα στο σύστηµα => => ρίχνουν µια πιο διεισδυτική µατιά στην συµπεριφορά του συστήµατος. Είναι κυρίως ντετερµινιστικά. 4

«Εµπειρικά»; Σε περίπτωση που οι µηχανισµοί που εµπλέκονται µπορεί να είναι είτε λίγο κατανοητοί, είτε και παντελώς άγνωστοι => => Χρησιµοποιούνται εµπειρικές σχέσεις-εξισώσεις για πολλά µέρη του µοντέλου. Παράδειγµα: Εξίσωση του BOD Εξίσωση Monod (ταχύτητα ανάπτυξης µ/ο) Μειονέκτηµα: εν µπορούν να επεκταθούν µε αξιοπιστία σε άλλα παρόµοια συστήµατα ή πέρα από τα όρια για τα οποία υπάρχουν δεδοµένα. 3 Χρήση των µοντέλων Χρήση για έρευνα και επέκταση της γνώσης. Χρήση στην πράξη για βοήθεια στον σχεδιασµό, κατασκευή ή λειτουργία πραγµατικών συστηµάτων. 4 Έλεγχος και απαιτούµενη ακρίβεια των οµοιωµάτων. Ο απαιτούµενος έλεγχος ενός οµοιώµατος, είναι: f (σκοπού για τον οποίο κατασκευάστηκε, υπάρχουσας γνώσης, καινούργιων νοητικών υποθέσεων που ποσοτικοποιούνται και περιγράφονται σ' αυτό). Παράδειγµα: 1) µοντέλα, που βασίζονται σε πολλαπλά ελεγµένες και καλά εδραιωµένες από καιρό αρχές => µόνο προσδιορισµός των παραµέτρων τους. 2) ερευνητικά µαθηµατικά οµοιώµατα, που περιέχουν πρωτίστως καινούργιες υποθέσεις και επιχειρήµατα => για την απόδειξη, ή µη, της ορθότητας των υποθέσεων 5

Απαιτούµενη ακρίβεια: ƒ (σκοπού κατάστρωσης του µοντέλου) Πρώιµα στάδια: απάντηση του τύπου «ναι» ή «όχι», για µια περιγραφή ενός φαινοµένου, µπορεί να θεωρείται επαρκής. Επόµενα στάδια: Επέκταση του µοντέλου για δυνατότητα πολυπλοκότερων απαντήσεων και προβλέψεων (Ανάλυση ευαισθησίας). 5 Μαθηµατική προσοµοίωση Η διαδικασία επίλυσης των εξισώσεων µε µαθηµατικές τεχνικές, ονοµάζεται µαθηµατική προσοµοίωση. ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΟΜΟΙΩΜΑΤΩΝ ΣΕ Υ ΑΤΙΝΟΥΣ ΑΠΟ ΕΚΤΕΣ 1. Ποιοτικά χαρακτηριστικά Ευτροφισµός 1.1 Περιοριστικοί παράγοντες: Κυριότερα στοιχεία κυττάρου (90-97% C, O, H, N) Άλλα (P, S, K, Ca, Mg, Fe..) (3-10%) Νόµος Von Liebig: Η ποσότητα της ζωντανής ύλης σ ένα δεδοµένο περιβάλλον, περιορίζεται από εκείνον από τους παραπάνω παράγοντες, που χαρακτηρίζεται από την µικρότερη διαθεσιµότητα, υπό την προϋπόθεση ότι δεν παρεµβαίνουν άλλοι παράγοντες αρνητικοί. 1.2 Φωτοσύνθεση: f (απαραίτητων στοιχείων, Ηλιακή ακτινοβολία) Ηλιακή ακτινοβολία f (βάθους, θολότητας) 1.3 Ευτροφισµός: Ορισµός: Ανάπτυξη αλγών και ανώτερων φυτικών οργανισµών, λόγω προσθήκης θρεπτικών στον αποδέκτη Συνέπειες ηµιουργία οσµών, χρώµατος, άσχηµης γεύσης, γλοιωδών επικαλύψεων, τοξικότητα, ραδιενέργεια, αποξυγόνωση) είκτες ευτροφίας: α) Συγκεντρώσεις θρεπτικών ουσιών β) ιαφάνεια (µέθοδος δίσκος Secchi) γ) Οξυγόνο δ) Χλωροφύλλη 6

2. Ορθολογικά και εµπειρικά µοντέλα. 2.1 Ορθολογικά Μοντέλα: Συνίστανται από ένα σύστηµα διαφορικών εξισώσεων Για την κατάστρωσή τους απαιτείται: α) Καθορισµός της στοιχειοµετρίας (ποσότητες) π.χ. Α Υ Α/Β * Β β) Προσδιορισµός των κινητικών (ταχύτητες) π.χ. da/dt = -K * A γ) Χαρακτηρισµός του αποδέκτη (πλήρους µίξης ή όχι) και προσδιορισµός των υδροδυναµικών χαρακτηριστικών του. Αν όχι πλήρους µίξης τότε: - Αβαθής και µεγάλη έκταση δισδιάστατη επίλυση - Βαθύς και µεγάλη έκταση τρισδιάστατη επίλυση δ) Κατάστρωση εξισώσεων ισοζυγίου µάζας: dc/dt = Είσοδος - Έξοδος ± (βιολογικών ή φυσικοχηµικών µεταβολών) Παράγοντες που χρησιµοποιούνται συνήθως: α) Φυτοπλαγκτόν (χλωροφύλλη) β) Καταναλωτικοί µ/ο γ) Νεκρή οργανική ύλη δ) ιοξείδιο του άνθρακα ε) Ανόργανο άζωτο στ) Ανόργανος φωσφόρος ζ) Οργανικός άνθρακας η) Οργανικό άζωτο θ) Οργανικός φωσφόρος ι) Ηλιακή ακτινοβολία 2.2 Εµπειρικά Μοντέλα Συνήθως συσχέτιση µεταξύ εισαγωγής θρεπτικών (Ν, Ρ) και κάποιου δείκτη ευτροφίας. Γνωστά µοντέλα είναι τα Vollenweider µε συσχέτιση φόρτισης φωσφόρου για σκοπούς αναψυχής και όχι συσχέτιση µε δείκτη ευτροφίας. 3. Εφαρµογή ορθολογικού µοντέλου στη λίµνη Καστοριά. 3.1 Καθορισµός των πηγών ρύπανσης (κυρίως αζώτου, φωσφόρου): Σηµειακές πηγές α) Αστικά λύµατα β) Βιοµηχανικά λύµατα (γουναράδικα κλπ.) 7

Μη σηµειακές πηγές α) Γεωργικές δραστηριότητες (αρδευόµενες εκτάσεις) γ) ασώδεις εκτάσεις) β) Κτηνοτροφικές δραστηριότητες ε) Αστικές περιοχές στ) Ατµοσφαιρικές κατακρηµνίσεις ζ) Απορροφητικοί βόθροι 3.2 Εκτίµηση των ποσοτήτων εισροής στη λίµνη (ΕΤΟΣ 1983) 3.2.1 Ποσότητες που καταλήγουν στη λίµνη α) Από µη σηµειακές πηγές: Έτος Ν ΝΗ + 4 ΝΟ - 3 ΝΟ - 2 Οργ. Ν P ιαλυτός P Οργ. P 1983 252.28 108.636 74.36 4.924 20.36 14.72 8.096 6.624 Θεωρείται ότι το 55% του ολικού Ρ είναι µε διαλυµένη µορφή και το 45% είναι µε οργανική µορφή. β) Από σηµειακές πηγές: Έτος Ν ΝΗ + 4 ΝΟ - 3 ΝΟ - 2 Οργ. Ν P ιαλυτός P Οργ. P 1983 35.1 18.858 3.67 0 12.572 6.435 3.54 2.9 Θεωρείται ότι στα αστικά λύµατα (από βιβλιογραφία) το 60% είναι µε µορφή ΝΗ + 4 και το 40% είναι οργανικό Ν. Επίσης θεωρείται ότι τα (ΝΟ - 2) και τα (NO - 3) που προέρχονται από σηµειακές πηγές είναι 0. Τέλος θεωρείται ότι το 55% του ολικού (Ρ) είναι µε µορφή διαλυµένου (Ρ) και το 45% µε µορφή οργανικού (Ρ). 8

3.2.2 Συνολικές συγκεντρώσεις θρεπτικών α) Από µη σηµειακές πηγές: Έτος ΝΗ - 4 N0-3 N0-2 Οργ. Ν ιαλ. Ρ Οργαν. Ρ 1983 3.97 2.72 0.18 0.74 0.3 0.24 Ονοµασία που δίνεται στο µοντέλο ΝΟ 1 ΝΟ 3 NO 2 NΟ 4 PO 2 ΡΟ 1 α) Από σηµειακές πηγές: Έτος ΝΗ - 4 N0-3 N0-2 Οργ. Ν ιαλ. Ρ Οργαν. Ρ 1983 28,40 5,54 0 19 5,35 4.37 Ονοµασία που δίνεται στο µοντέλο ΝΟ 6 ΝΟ 8 NO 7 NΟ 5 PO 4 ΡΟ 3 9