Φίλτρα Kalman. Αναλυτικές μέθοδοι στη Γεωπληροφορική. ιατύπωση του βασικού προβλήματος. προβλήματος. μοντέλο. Πρωτεύων μοντέλο

Transcript

1 Φίλτρα Kalman Εξαγωγή των εξισώσεων τους με βάση το κριτήριο ελαχιστοποίησης της Μεθόδου των Ελαχίστων Τετραγώνων. Αναλυτικές Μέθοδοι στη Γεωπληροφορική Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα ΓΕΩΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ιατύπωση του βασικού προβλήματος Το φίλτρο Kalman διαφέρει από τα συνηθισμένα προβλήματα ΜΕΤ σε δύο χαρακτηριστικά: Το διάνυσμα των αγνώστων παραμέτρων (το διάνυσμα κατάστασης ενός δυναμικού συστήματος state vector) συνήθως αλλάζει με το χρόνο Κατά συνέπεια, οι αντίστοιχες παρατηρήσεις πρέπει να κατατάσσονται και να αναλύονται σύμφωνα με τις αντίστοιχες χρονικές στιγμές που αντιστοιχούν σε αυτές τις διαχρονικές αλλαγές Σε άλλες περιπτώσεις, δεν είναι αναγκαίο να υφίσταται φυσική μετακίνηση προκειμένου το διάνυσμα των αγνώστων παραμέτρων να αλλάζει, όχι κατ ανάγκη με το χρόνο αυτό δεν αλλάζει το βασικό πρόβλημα Πρωτεύων μοντέλο L 1, F 1 (X 1, L 1 )=0 Εντοπισμός από σταθμούς στην ξηρά, Χ t 1 ορυφορικός εντοπισμός, Χ t 1 Από το σύστημα πλοήγησης, υπολογισμός Χ 2 σε σχέση με Χ 1 ορυφορικός εντοπισμός, Χ t 2 Πρωτεύων μοντέλο L 2, F 2 (X 2, L 2 )=0 ευτερεύων μοντέλο G (X 1, X 2, Y m, t)=0 Χαρακτηριστικά του βασικού προβλήματος Και οι τέσσερεις προηγούμενες διαδικασίες μετρήσεων/εντοπισμών είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους Το πρόβλημα υπολογισμού του διανύσματος κατάστασης (θέση και ταχύτητα) της κίνησης του πλοίου, από το συνδυασμό των εκάστοτε διαθέσιμων μετρήσεων και πληροφοριών είναι πρακτικά ίδιο με τη διαδικασία εφαρμογής ενός Στατιστικές πληροφορίες υπολογίζονται με αυστηρά μαθηματικό τρόπο, μέσω του νόμου διάδοσης των σφαλμάτων, από τη μια χρονική στιγμή στην επόμενη και γενικά σε κάθε χρονική στιγμή, και Το διάνυσμα κατάστασης περιέχει όλες τις πληροφορίες μέχρι και την τρέχουσα χρονική στιγμή, και ακόμα μπορεί να προβλεφθεί για κάποια μελλοντική στιγμή Το πρόβλημα ανάγεται στη λύση του συστήματος των εξισώσεων: Πρωτεύοντα μοντέλα ευτερεύων μοντέλο Τα πρωτεύοντα μοντέλα F 1 και F 2 συνδέονται μεταξύ τους, μέσω του δευτερεύοντος μοντέλου G: Υ m υποδηλώνει ότι το δυναμικό μοντέλο περιγράφει μόνο κατά μια μέση έννοια τη δυναμική αλλαγή Χ 1 Χ 2 Τα πρωτεύοντα μοντέλα F 1 και F 2 συνδέονται μεταξύ τους, μέσω του δευτερεύοντος μοντέλου G: r 1, r 2 ο αριθμός των εξισώσεων παρατήρησης στις εποχές t 1, t 2 u ο αριθμός των αγνώστων παραμέτρων Τα πρωτεύοντα μοντέλα F 1 και F 2 περιγράφουν τη σχέση μεταξύ των παραμέτρων και των παρατηρήσεων (αντιστοιχούν στις εξισώσεις παρατήρησης, στην ορολογία της ΜΕΤ): Πρωτεύοντα μοντέλα ευτερεύων μοντέλο

2 Το δευτερεύων μοντέλο G περιγράφει τη σχέση των παραμέτρων μεταξύ τους (είναι το λεγόμενο δυναμικό μοντέλο στην ορολογία των φίλτρων Kalman): Πρωτεύοντα μοντέλα ευτερεύων μοντέλο Βήματα επίλυσης Γενικά, τα πρωτεύοντα μοντέλα είναι μη-γραμμικά είναι απαραίτητη η γραμμοποίηση τους κατά Taylor π.χ. το γραμμικό μοντέλο την εποχή t 1 και κατά παρόμοιο τρόπο το γραμμικό μοντέλο την εποχή t 2, με διαστάσεις r 2, n 2 r 1 x 1 r 1 x u u x 1 r 1 x n 1 n 1 x 1 Βήματα επίλυσης Γενικά, τα πρωτεύοντα μοντέλα είναι μη-γραμμικά είναι απαραίτητη η γραμμοποίηση τους κατά Taylor π.χ. το γραμμικό μοντέλο την εποχή t 1 Παρατηρήστε τους συμβολισμούς και για τα διανύσματα X και L υποδηλώνουν τις συνορθωμένες τιμές (και τις εκτιμήσεις τους) για τις παραμέτρους X και τις παρατηρήσεις L με την εφαρμογή του κριτηρίου ελαχιστοποίησης ΜΕΤ Οι παρατηρήσεις μεταξύ δύο εποχών t 1 και t 2 θεωρούνται στατιστικά ασυσχέτιστες μεταξύ τους, με αντίστοιχους πίνακες βαρών και μεταβλητότητας συμμεταβλητότητας τα κατάλοιπα/υπόλοιπα (residuals) των παρατηρήσεων V 1 και V 2 θεωρούνται τυχαία, και προερχόμενα από κανονικές κατανομές με μηδενικό μέσο όρο αντίστοιχα οι συνορθωμένες τιμές για τις παραμέτρους Χ 1 και Χ 2 προκύπτουν ως ΚΑΠΟΙΕΣ ΣΗΜΑΝΤΙΚΕΣ ΛΕΠΤΟΜΕΡΕΙΕΣ Ολόκληρος ο φορμαλισμός των εξισώσεων του βασίζεται στη γνώση κάποιων αρχικών εκτιμήσεων των τιμών του διανύσματος των παραμέτρων Χ, π.χ. Είτε από μια πρότερη εκτίμηση Χ 1ο (π.χ. στο παράδειγμα της κίνησης ενός πλοίου, από τις μετρήσεις από επίγεια συστήματα) Είτε από την αρχική εκτίμηση Χ 1 που προκύπτει από τις πρώτες δορυφορικές μετρήσεις την εποχή t 1. Επιπλέον, θεωρείται ότι ο αριθμός των αγνώστων παραμέτρων Χ δεν αλλάζει από εποχή σε εποχή ΚΑΠΟΙΕΣ ΣΗΜΑΝΤΙΚΕΣ ΛΕΠΤΟΜΕΡΕΙΕΣ Στην περίπτωση που υπάρχει μια αρχική εκτίμηση X 1 του διανύσματος των αγνώστων παραμέτρων και του αντιστοίχου πίνακα βαρών Ρ Χ Το διάνυσμα X 1 λέγεται ότι είναι σχεδόνπαρατηρήσιμο (quasi-observable) Οι διορθώσεις στις τιμές του διανύσματος της αρχικής εκτίμησης X 1 θεωρούνται ότι προέρχονται από τυχαία κατανομή με μηδενικό μέσο όρο. Η τελική εκτιμήτρια τιμή του X 1 συμβολίζεται με τη χρήση του συμβόλου ˆX 1 Κατά παρόμοιο τρόπο, το δευτερεύων μοντέλο G(Χ 1, Χ 2, t) θεωρείται ότι είναι επίσης μη-γραμμικό, έμμεσα εξαρτώμενο από τις παραμέτρους X 2 τη χρονική στιγμή t 2 και τις εκτιμώμενες αποκλίσεις/σφάλματα (διορθώσεις) Y m του μοντέλου, και άμεσα εξαρτώμενο από τις παραμέτρους X 1 τη χρονική στιγμή t 1 Επίσης γνωρίζουμε ότι και [ F 3 / X 1 ] X1 = Φ Πίνακας μετάβασης και τελικά, το δευτερεύων μοντέλο G(Χ 1, Χ 2, t) διαμορφώνεται στη μορφή Εκτιμήσεις ΜΕΤ για τις διαφορές μεταξύ των a priori & συνορθωμένων τιμών Α priori πίνακας βαρών για το δυναμικό μοντέλο Τα σφάλματα για το δυναμικό μοντέλο θεωρούνται ως στατιστικά ασυσχέτιστα από μια χρονική στιγμή εφαρμογής του δευτερεύοντος μοντέλου G σε μια άλλη (t 1 t 2 ), ή ένα χρονικό διάστημα στο επόμενο χρονικό διάστημα Από το κριτήριο ΜΕΤ στις εξισώσεις του Σύμφωνα με την Μ.Ε.Τ. γιαναεξαχθούνοι κανονικές εξισώσεις και οι εξισώσεις του φίλτρου Kalman θα πρέπει να ελαχιστοποιηθεί η συνάρτηση Νόρμες σφαλμάτων αντίστοιχα: στις μετρήσεις, το δυναμικό μοντέλο και στις παραμέτρους

3 Από το κριτήριο ΜΕΤ στις εξισώσεις του Σύμφωνα με την Μ.Ε.Τ. γιαναεξαχθούνοι κανονικές εξισώσεις και οι εξισώσεις του φίλτρου Kalman θα πρέπει να ελαχιστοποιηθεί η συνάρτηση και τις αντίστοιχες δεσμεύσεις που προκύπτουν από τα γραμμο- ποιημένα μαθηματικά μοντέλα υπολογίζοντας και θέτοντας ίσες με μηδέν, τις μερικές παραγώγους της συνάρτησης φ ως προς τα κατάλοιπα των παρατηρήσεων στις δύο εποχές t 1 και t 2, των σφαλμάτων του δυναμικού μοντέλου υπολογίζοντας και θέτοντας ίσες με μηδέν, τις μερικές παραγώγους της συνάρτησης φ ως προς τα διανύσματα των αγνώστων παραμέτρων στις δύο εποχές t 1 και t 2 υπολογίζοντας και θέτοντας ίσες με μηδέν, τις μερικές παραγώγους της συνάρτησης φ ως προς τις τρεις εξισώσεις των γραμμικοποιημένων συστημάτων εξισώσεις παρατήρησης στις χρονικές εποχές t 1 και t 2 η μετάβαση στις παραμέτρους μεταξύ χρονικών εποχών t 1 και t 2 Οι κανονικές εξισώσεις σε μορφή πινάκων Εξαγωγή των εξισώσεων του Kalman από τις κανονικές Καταρχήν υπολογίζεται η εκτίμηση των παραμέτρων Χ 1 χρησιμοποιώντας μόνο τις παρατηρήσεις L 1 τη χρονική εποχή t 1, με τη βοήθεια του μοντέλου F 1 και οποιασδήποτε a priori διαθέσιμες πληροφορίες για το διάνυσμα Χ 1 και την αξιοπιστία τους (μέσω του πίνακα βαρών P X ) Αυτό επιτυγχάνεται απαλείφοντας από το σύστημα των κανονικών εξισώσεων όλους τους υποπίνακες που σχετίζονται με τα μοντέλα F 2 και G του φίλτρου κανονικές εξισώσεις ˆX 1 M M M = M M M M M F 1 (X 1, L 1 ) = 0 P X ˆX 1 Χρησιμοποιούμε, από τη θεωρία πινάκων, την ταυτότητα Οι εκτιμήσεις του διανύσματος Χ 1 και του αντίστοιχου πίνακα μεταβλητότηταςσυμμεταβλητότητας προκύπτουν τελικά ως Και στην περίπτωση που ο a-priori πίνακας βαρών των παραμέτρων είναι Ρ Χ = 0, οι εκτιμήσεις του διανύσματος Χ 1 και του αντίστοιχου πίνακα μεταβλητότητας-συμμεταβλητότητας προκύπτουν αντίστοιχα ως για να απαλείψουμε διαδοχικά τα κατάλοιπα (residuals) V 1 και τους συντελεστές Κ 1

4 Εφαρμόζουμε την προηγούμενη ταυτότητα, από τη θεωρία πινάκων, για την απαλοιφή των V 2,V 2, και Υ m από το πλήρες σύστημα των κανονικών εξισώσεων ΗαπαλοιφήτωνV 1,V 2, και Υ m από το πλήρες σύστημα των κανονικών εξισώσεων οδηγεί στο υποσύστημα των εξισώσεων Για να έλθει το προηγούμενο σύστημα των εξισώσεων στη μορφή που να μπορεί να γίνει η απαλοιφή των Κ 1, και Χ 1 γίνεται μια αναγκαία αναδιοργάνωση στηλών και γραμμών που οδηγούν στο υποσύστημα των εξισώσεων Προκειμένου να υπολογιστεί το διάνυσμα Χ 2 των παραμέτρων, χρησιμοποιώντας όλες τις πληροφορίες που διατίθενται στα μοντέλα F 1, F 2 και G όπου Με την απαλοιφή των συντελεστών K 1 σχηματίζεται το ακόλουθο σύστημα εξισώσεων, του οποίου η πρώτη εξίσωση επιτρέπει το τον υπολογισμό της βελτιωμένης εκτίμησης του διανύσματος των παραμέτρων Χ 1 Στη συνέχεια, με την απαλοιφή του διανύσματος των παραμέτρων Χ 1 προκύπτει το ακόλουθο σύστημα εξισώσεων από το οποίο θα υπολογιστεί το διάνυσμα των παραμέτρων Χ 2 Στοσημείοαυτόυπεισέρχεταιη δυνατότητα πρόβλεψης για το διάνυσμα των παραμέτρων Χ 2, χρησιμοποιώντας τη μερική λύση που ήδη έχουμε για τις παραμέτρους Χ 1 και εφαρμόζοντας το νόμο μετάδοσης των σφαλμάτων για να υπολογίσουμε τον αντίστοιχο προβλεπόμενο πίνακα συμμεταβλητότητας ή σε γραμμική μορφή όπου Προκειμένου να εκφράσουμε το διάνυσμα X 2 χρησιμοποιώντας πίνακες και διανύσματα που ήδη γνωρίζουμε απαλείφουμε τους συντελεστές Κ 3 από το προηγούμενο σύστημα εξισώσεων και με την εισδοχή των υπολογισμένων συντελεστών στην προηγούμενη (ενδιάμεση) σχέση για το διάνυσμα των παραμέτρων Χ 2, από την πρώτη εξίσωση του συστήματος προκύπτουν προκύπτει τελικά και μετά από την απαλοιφή του Χ 2 από το συστ. εξ. Ο γνωστός πίνακας κέρδους στην ορολογία του

5 Εφαρμόζοντας το νόμο μετάδοσης των σφαλμάτων MET εξισώσεις του πρόβλεψη του διανύσματος κατάστασης MET εξισώσεις του και επειδή είναι πρόβλεψη του αντίστοιχου πίνακα συμμεταβλητότητας Προκύπτει ο πίνακας συμμεταβλητότητας της τελικής εκτίμησης των παραμέτρων Χ 2 πίνακας κέρδους Τελικό διάνυσμα κατάστασης, και του πίνακα συμμεταβλητότητας Πως αντιστοιχίζονται οι συμβολισμοί στη βιβλιογραφία MET εξισώσεις του M.E.T. Kalman filter M.E.T. Kalman filter Για την εκκίνηση της αναδρομικής διαδικασίας απαιτούνται a priori (από ανεξάρτητες παρατηρήσεις ή από το μοντέλο F 1 ) πληροφορίες για τις παραμέτρους Χ 1 Σφάλματα στο φυσικό μοντέλο G επηρεάζουν την πρόβλεψη του διανύσματος κατάστασης μέσω των ατελειών του πίνακα μετάβασης Φ Σφάλματα στο φυσικό μοντέλο G επίσης υπεισέρχονται στην πρόβλεψη του πίνακα συμμεταβλητότητας, μέσω του πίνακα βαρών Ρ m Επιπλέον η πρόβλεψη του πίνακα συμμεταβλητότητας, επηρεάζεται από το θόρυβο των παρατηρήσεων μέσω του πίνακα βαρών Ρ Επίσης η πρόβλεψη του πίνακα συμμεταβλητότητας, επηρεάζεται και από τις αρχικές τιμές των παραμέτρων μέσω του πίνακα βαρών Ρ Χ

6 Για τον υπολογισμό των Χ 2 και C X2 δεν απαιτούνται αντιστροφές πινάκων γιατί ο αντίστροφος του πίνακα Ν 1 +Ρ Χ είναι ήδη διαθέσιμος από τον υπολογισμό του Χ 1 Για τον τελικό υπολογισμό των Χ 2 και C X2 απαιτείται η αντιστροφή του πλήρους πίνακα [ ] διαστάσεων r 2 xr 2 κατά τον υπολογισμό του πίνακα κέρδους G Στη συνέχεια θα ασχοληθούμε με τη μαθηματική ισοδυναμία μεταξύ του φίλτρου Kalman και άλλων διαφοροποιήσεων της ΜΕΤ