Εισαγωγή στη Θεωρία Γράφων

Πανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής Εξάμηνο ΣΤ ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εισαγωγή στη Θεωρία Γράφων Υλικό βασισμένο στις εξής πηγές: Βιβλίο «Μαθήματα Θεωρίας Γράφων», Γιάννη Μανωλόπουλου, Εκδόσεις Νέων Τεχνολογιών, Θεσσαλονίκη 2000 Διαφάνειες Π. Κατσαρού στη διεύθυνση http://delab.csd.auth.gr/~katsaros/courses.htm Βιβλίο «Εισαγωγή στους Γράφους. Θεωρία Προβλήματα και Λύσεις», Λ. Κυρούσης, Χ. Μπούρας, Π. Σπυράκης, Γ. Σταματίου, ΑΘΗΝΑ 1999. Θεωρία Γράφων 1

Στόχος του μαθήματος Θα ασχοληθούμε με τις βασικες έννοιες και ιδιότητες γραφημάτων. Θα μελετήσουμε ιδιαίτερα έννοιες οπως διαδρομές και αποστάσεις, συνδεσιμότητα, διαμερίσεις, επιπεδότητα γραφημάτων, κ.λπ. Θα δούμε ειδικές κατηγορίες γραφημάτων (που όμως παρουσιάζουν ιδιαίτερο ενδιαφέρον) πιο αναλυτικα, οπως για παραδειγμα δένδρα / διμερή / πλήρη / επίπεδα / κανονικά γραφηματα. Θα μελετήσουμε την υπαρξη κύκλων Euler και Hamilton σε ενα γραφημα. Θα μελετήσουμε ισομορφισμούς γραφηματων. Θα ασχοληθούμε με προβληματα χρωματισμων κορυφων / ακμων γραφηματων. Θα ασχοληθουμε με κατευθυνομενα γραφηματα, και τελος θα δουμε μερικα δυσεπίλυτα προβλήματα γραφημάτων. Θεωρία Γράφων 2

Εισαγωγή Η πιο γενική µορφή δοµής δεδοµένων, µε την έννοια ότι όλες οι προηγούµενες δοµές µπορούν να θεωρηθούν ως περιπτώσεις γράφων. Ένα γράφος αποτελείται από ένα σύνολο V κορυφών (vertices), ή σηµείων, ή κόµβων, και ένα σύνολο Ε ακµών (edges), ή τόξων, ή γραµµών. Μια ακµή είναι ένα ζεύγος (u,v) από κορυφές. Παράδειγµα γράφου: Θεωρία Γράφων 3

Γενικά - Εφαρμογές Γράφων Προσφέρουν μια ωφέλιμη μέθοδο για τη διατύπωση και λύση πολλών προβλημάτων, σε: Δίκτυα και συστήματα τηλεπικοινωνιών (π.χ. Ιντερνετ) Χάρτες επιλογή δρομολογίων Προγραμματισμό εργασιών (scheduling) Ανάλυση προγραμμάτων (flowcharts) Η θεωρία των γράφων θεωρείται ότι ξεκίνησε από τον Euler στις αρχές του 18ου αιώνα (1736). Πρόβλημα των γεφυρών του Königsberg (Koenigsburg). Θεωρία Γράφων 4

Γενικά Η θεωρία γράφων χρησιμοποιείται για τη γραφική αναπαράσταση των δικτύων επικοινωνιών και κατά συνέπεια την ανάλυσή τους. Έχει εφαρμοστεί σε μεγάλο αριθμό προβλημάτων (δίκτυα επικοινωνιών, θεωρία ηλεκτρικών κυκλωμάτων, δρομολόγια πλοίων κλπ.) Στα δίκτυα Η/Υ θεωρούμε ότι οι ζεύξεις αντιστοιχούν σε ακμές οι δικτυακές συσκευές σε κόμβους. C A D B Θεωρία Γράφων 5

Ιστορική Αναδρομή 1736 Euler, γέφυρες Koenigsburg 1847 Kirchoff, δένδρα, ηλεκτρικά δίκτυα 1847 Cayley, δένδρα, ισομερή υδρογονανθράκων CnH2n+2 1850 Cayley-De Morgan-Moebius, χρωματισμός με 4 χρώματα 1859 Hamilton, δωδεκάεδρο 1936 Koenig, το πρώτο βιβλίο Θεωρία Γράφων 6

Euler 1736 Πρόβλημα: Μέσα από την πόλη Konigsberg (Ρωσία), περνούσε ο ποταμός Pregel, ο οποίος κύκλωνε το νησάκι Α του σχήματος. Το νησάκι αυτό συνδεόταν με το δίπλα νησάκι και με τις όχθες του ποταμού με 7 γέφυρες. Ερώτημα: Εάν κάποιος ξεκινούσε από οποιοδήποτε σημείο (κάποια όχθη ή νησί) ήταν δυνατό να επιστρέψει στο ίδιο σημείο, έχοντας διασχίσει κάθε γέφυρα ακριβώς μια φορά και έχοντας περάσει από κάθε δυνατή ξηρά? Όχθη Δ 1 2 3 Νησί Α 4 Νησί Β 5 6 7 Όχθη Γ Θεωρία Γράφων 7

Το πρόβλημα της διάσχισης των γεφυρών του Konigsberg Για να υπάρχει διάσχιση (μονοπάτι Euler) κάθε σημείο θα πρέπει να συνδέεται με άρτιο αριθμό άλλων σημείων και αντίστροφα. Παρατηρούμε ότι το σημείο Δ συνδέεται με τρία άλλα σημεία. Καταλήγουμε στο ότι δεν υπάρχει η επιθυμητή διάσχιση Όχθη Δ 1 2 3 Δ 1 2 3 Νησί Α 4 Νησί Β Α 4 Β 5 6 7 5 6 Όχθη Γ Γ 7 Η παρατήρηση αυτή ονομάζεται σήμερα θεώρημα του Euler. Θεωρία Γράφων 8

Γράφοι Euler Πρόβλημα: είναι δυνατόν σε κάθε γράφο να βρεθεί κύκλωμα (=κλειστό ίχνος) που να περνά από όλες τις ακμές? Βαθμός κορυφής v=d(v): είναι ο αριθμός των ακμών που προσπίπτουν στη v Θεώρημα: Ένας συνδεδεμένος απλός γράφος G(V,E) είναι γράφος Euler αν και μόνο αν δεν έχει κορυφές περιττού βαθμού. Είναι γράφος ημι-euler αν και μόνο αν έχει ακριβώς δύο κορυφές περιττού βαθμού. Γράφος Euler: περιέχει γραμμή Euler Θεωρία Γράφων 9

Γράφοι Euler όχι γράφος Euler ημι-euler γράφος Euler ή ημι-euler Θεωρία Γράφων 10

Kirchoff 1847 Φυσικός Kirchoff 1847: χρησιμοποίησε το μοντέλο των γράφων για να αναπαραστήσει ένα ηλεκτρικό κύκλωμα που αποτελείται από διπολικά στοιχεία: από ωμικές αντιστάσεις, επαγωγικά στοιχεία, χωρητικά στοιχεία και πηγές τάσης (Συνήθως η συμπεριφορά δίνεται από μια μαθηματική εξίσωση). Αντικατέστησε το κύκλωμα με ένα γράφο. Παρατήρηση: για να υπολογιστούν οι τιμές του ρεύματος και της τάσης σε κάθε στοιχείο του κυκλώματος, δεν είναι απαραίτητο να λυθούν εξισώσεις, αλλά αρκεί να παρθεί ένα οποιοδήποτε δένδρο που περιέχεται στο γράφο και συμπεριλαμβάνει όλα τα σημεία του (το οποίο ονομάζεται γεννητικό δέντρο) και να λυθούν οι εξισώσεις που σχηματίζονται σε κάθε έναν από τους βασικούς κύκλους. Θεωρία Γράφων 11

Cayley 1857 Cayley 1857: μελέτησε το πρόβλημα της απαρίθμησης όλων των δυνατών κορεσμένων υδρογονανθράκων με συντακτικό τύπο CnH2n+2 (παραφίνες) ως συνάρτηση τoυ αριθμού ατόμων άνθρακα. Πρόβλημα Χημείας: υπολογισμός όλων των δυνατών ισομερών ενώσεων, ενός δοσμένου συντακτικού τύπου. Αναπαράσταση ισομερών χημικών ενώσεων με γράφους. Ισομερείς ενώσεις ονομάζονται αυτές που έχουν τον ίδιο συντακτικό τύπο, δηλ. τα ίδια άτομα και την ίδια αναλογία ατόμων από κάθε είδος, αλλά διαφορετική διάταξη των ατόμων στο χώρο. Παρατήρηση: οι γράφοι που αναπαριστούν τις χημικές ενώσεις έχουν μια ειδική μορφή:κάθε σημείο τους επικοινωνεί με οποιοδήποτε άλλο μέσω ακμών (συνεκτικότητα) και δεν σχηματίζεται κάποιος κύκλος από σημεία (ακυκλικότητα). Οι γράφοι αυτοί ονομάζονται δέντρα. H H H H H H H C C C O H H C C C H H H H H O H Θεωρία Γράφων 12 H

Μαθηματικοί Ορισμοί Γράφος G: διατεταγμένο ζεύγος G=(V,E) V το σύνολο των κορυφών, μη κενό πεπερασμένο σύνολο Ε σύνολο ακμών, που είναι σύνολο από διμελή σύνολα κορυφών (είναι μη διατεταγμένο ζέυγος κόμβων) Αναπαράσταση: Κόμβων με σημεία Ακμών με γραμμές Αριθμός κόμβων: τάξη (order) γράφου Αριθμός ακμών: μέγεθος (size) γράφου Κόμβοι V = {Α, Β, C, D} Ακμές Ε = {ΑΒ, ΑC, AD, BC, CD} ΤΑΞΗ =4 ΜΕΓΕΘΟΣ = 5 Α Β C D Θεωρία Γράφων 13

Ορισμοί-Βασικές Έννοιες n: τάξη-order είναι το πλήθος των κορυφών: n= V m: μέγεθος-size είναι το πλήθος των ακμών: m= E Πεπερασμένος γράφος: n, m πεπερασμένα Άπειρος γράφος Ειδικές περιπτώσεις: n=0: κενός-empty n=1: ασήμαντος-trivial m=0: μηδενικός-null (Nn) Τετριμμένος γράφος: μια μόνο κορυφή και καμία ακμή Θεωρία Γράφων 14

Ορισμοί (Ι) Γειτονιά κορυφής: N(v)={u V(G) (v,u) E(G)} Βαθμός κορυφής v=d(v): είναι ο αριθμός των ακμών που προσπίπτουν στη v Βαθμός κορυφής degree: d(v)= N(v) Ελάχιστος και μέγιστος βαθμός γράφου d(g)- mindeg, D(G)-maxdeg Τακτικοί γράφοι (regular): Οι κορυφές έχουν τον ίδιο βαθμό d Κυκλικός γράφος (C n ): όλοι οι κόμβοι d(v)=2 (κυβικός) Πλατωνικοί γράφοι (τετράεδρο, κύβος, οκτάεδρο, δωδεκάεδρο, εικοσάεδρο) Θεωρία Γράφων 15

Ορισμοί (II) Βαθμός κορυφής v=deg(v)=d(v). Σε ένα γράφο (p,q), που έχει p κορυφές και q ακμές, ισχύει ότι 0<=deg(v i )<=p-1 (για κάθε κορυφή v i ). Θεώρημα: Το άθροισμα των βαθμών όλων των κορυφών ενός γράφου ισούται με το διπλάσιο του αριθμού των ακμών του. Βαθμός κορυφών γράφου Κn=n-1 Αριθμός ακμών γράφου n(n-1)/2. Πόρισμα: Ο αριθμός των κορυφών ενός γράφου με περιττό βαθμό είναι άρτιος αριθμός. Θεωρία Γράφων 16

Ορισμοί (ΙII) Ένας γράφος ονοµάζεται κατευθυνόµενος (directed graph, digraph) αν κάθε µια από τις ακµές του είναι προσανατολισµένη προς µία κατεύθυνση. Ένας γράφος ονοµάζεται µη-κατευθυνόµενος (undirected) αν οι ακµές του δεν είναι προσανατολισµένες. Αν (u,v) είναι ακµή τότε λέµε ότι οι κορυφές u και v είναι γειτονικές (adjacent) ή ότι γειτνιάζουν. Μονοπάτι ή διαδροµή (path) ενός γράφου µήκους n, είναι µια ακολουθία κόµβων v0, v1,, vn, όπου για κάθε i, 0 i < n, (vi, vi+1) είναι ακµή του γράφου. Μήκος ενός µονοπατιού είναι ο αριθµός ακµών που περιέχει. Μια διαδροµή ενός γράφου ονοµάζεται απλή (simple) αν όλες οι κορυφές της είναι διαφορετικές µεταξύ τους, εκτός από την πρώτη και την τελευταία οι οποίες µπορούν να είναι οι ίδιες. Κύκλος (cycle) ονοµάζεται µια διαδροµή µε µήκος >1 που ικανοποιεί v 0 = v n. Θεωρία Γράφων 17

Ορισμοί (IV) Ένας γράφος που δεν περιέχει κύκλους ονοµάζεται άκυκλος (acyclic) Έστω G=(V,E) και G = (V, E ) γράφοι, όπου V V και E E. Tότε ο γράφος G είναι υπογράφος (subgraph) του γράφου G. Η απόσταση δύο κορυφών είναι το µήκος της συντοµότερης διαδροµής που οδηγεί από τη µια κορυφή στην άλλη. Ένας µη κατευθυνόµενος γράφος λέγεται συνεκτικός (connected) αν για κάθε ζευγάρι κορυφών υπάρχει διαδροµή που τις συνδέει. Ένας κατευθυνόµενος γράφος που ικανοποιεί την ίδια ιδιότητα ονοµάζεται ισχυρά συνεκτικός (strongly connected). Αν ο µηκατευθυνόµενος γράφος στον οποίο αντιστοιχεί είναι συνεκτικός, τότε ο γράφος ονοµάζεται ελαφρά συνεκτικός (weakly connected). Θεωρία Γράφων 18

Ορισμοί (V) Εαν V είναι υποσύνολο των κορυφών V ενός γράφου G, ο υπογράφος του G που προτρέπεται από το V (προτρεπόμενος υπογράφος) είναι εκείνος ο υπογράφος που έχει ως σύνολο κορυφών το V και ακμές όλες τις ακμές του G με άκρα στο V. Με την αφαίρεση μιας ακμής από ένα γράφο προκύπτει ένας υπογράφος με το ίδιο σύνολο κορυφών αλλά με μια ακμή λιγότερη. Με την αφαίρεση μιας κορυφής από ένα γράφο προκύπτει ένας υπογράφος με σύνολο κορυφών μειωμένο κατά μια κορυφή και σύνολο ακμών μειωμένο κατά όλες τις ακμές που προσπίπτουν στην αφαιρεθείσα κορυφή. V1 V1 V4 V2 V2 V4 V3 V5 V3 V5 Ένας γράφος (α) και δυο υπογράφοι του (β) και (γ) V3 Θεωρία Γράφων 19

Ορισμοί-Πλήρης Γράφος Πλήρης γράφος Κ n : όλες οι κορυφές του ενώνονται είναι και τακτικός γράφος βαθμού n-1 Γράφος με m συνιστώσες τύπου Κ n : m Κ n Κλίκα H ενός γράφου G, είναι ένας υπογράφος που αποτελείται από σύνολο κορυφών S, έτσι ώστε H(S) να είναι πλήρης. Αριθμός κλίκας ω, λέγεται η τάξη της κλίκας. Θεώρημα: Ένας πλήρης γράφος Κ n έχει n(n-1)/2 ακμές Θεώρημα: Για έναν απλό γράφο G με n κορυφές, m ακμές και k συνιστώσες ισχύει: Πόρισμα: κάθε απλός γράφος με n κορυφές και τουλάχιστον (n-1)(n-2)/2 ακμές είναι συνδεδεμένος Θεωρία Γράφων 20

Παραδείγματα Γράφων Πλήρης Γράφος v3 v1 v2 Πολλαπλός γράφος: επιτρέπονται πολλαπλές γραμμές και ανακυκλώσεις Θεωρία Γράφων 21

Ορισμοί- Ισομορφικός Γράφος Ισομορφικοί καλούνται δυο γράφοι G=(V,E) και G1=(V1,E1) αν υπάρχει αμφιμονοσήμαντη και επί απεικόνιση που διατηρεί τη γειτνίαση. Ισομορφικοί: υπάρχει αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία Μ ώστε αν οι κορυφές u και v είναι γειτονικές στον ένα γράφο τότε και οι M(u) και M(v) είναι γειτονικές στο δεύτερο γράφο Βάρος γράφου είναι το άθροισμα τα βαρών Ετικέτες στις κορυφές ή τις ακμές των γραφών Θεωρία Γράφων 22

Ορισμοί- Διμερής Γράφος Ισομορφικοί γράφοι που μπορούν να σχεδιαστούν στο επίπεδο με τρόπο ώστε οι ακμές να συναντώνται μόνο στις κορυφές καλούνται επίπεδοι γράφοι. Διμερής γράφος: οι κορυφές του μπορούν να διαχωριστούν σε δυο ξένα μεταξύ τους μη κενά υποσύνολα V1 και V2 ετσι ώστε όλες οι ακμές να έχουν το ένα άκρο τους στο V1 και το άλλο στο V2 αντίστοιχα. (Σχήμα) Ενας διμερής γράφος καλείται πλήρης αν οποιεσδήποτε δυο κορυφές απο τα δυο ξένα μεταξύ τους σύνολα κορυφών που επιτρέπεται να είναι γειτονικές, είναι όντως γειτονικές. Ο πλήρης διμερής γράφος με μέρη πληθαρίθμου n και m αντίστοιχα συμβολίζεται με K n,m. Ένας διμερής γράφος V1 V2 V4 V5 V3 V6 Θεωρία Γράφων 23

Παραδείγματα Ισομορφικών Γράφων V1 V1 V2 V4 V2 V4 V3 V5 V3 V5 V1 V1 V2 V6 V2 V6 V3 V5 V3 V5 V4 V4 Θεωρία Γράφων 24

Παραδείγματα Συμπληρωματικών Γράφων Δύο γράφοι G=(V,E) και G =(V,E ), με το ίδιο σύνολο κορυφών V=V, καλούνται συμπληρωματικοί αν: (ι) E E ' 0 (ιι) για οποιεσδήποτε δύο κορυφές v,w, ισχύει αν και μόνο αν { v, w} E V1 V1 { v, w} E ' V2 V4 V2 V4 V3 V5 V3 V5 Θεωρία Γράφων 25

Ορισμοί- Συνεκτικός Γράφος Περίπατος ή δρόμος: μια ακολουθία vo, v1,, vn από κορυφές έτσι ώστε οποιεσδήποτε δυο διαδοχικές από αυτές να είναι γειτονικές. Εάν v0=vn, ο περίπατος καλείται κλειστός. Συνεκτικός: εάν δυο οποιεσδήποτε κορυφές του γράφου συνδέονται με ένα δρόμο. Συνεκτική συνιστώσα ενός G καλείται ένας μέγιστος συνεκτικός υπογράφος G που είναι συνεκτικός και για τον οποίο δεν υπάρχει άλλος υπογράφος G του G. Απόσταση d(u,v): είναι το μήκος του συντομότερου μονοπατιού που ενώνει τις δυο κορυφές. Σε συνεκτικό γράφο G, η απόσταση είναι μια μετρική σχέση. Ισχύουν τα εξής: (α) d( u, v) 0 (β) d( u, v) d( v, u) (γ) d( u, v) d( v, w) d( u, w) Θεωρία Γράφων 26

Ορισμοί-Εκκεντρότητα Συνεκτικού Εκκεντρότητα e(u) μιας κορυφής u σε ένα συνεκτικό γράφο G, είναι η μέγιστη απόσταση d(u,v) με v ανήκει στο V(G). Ακτίνα r(g): η μικρότερη e(u) Διάμετρος d(g): η μεγαλύτερη e(u) Κεντρικό σημείο: e(u)=r(g) Παραδείγματα r(g)=3, d(g)=5 5 4 4 5 4 u 3 v 3 4 5 5 4 5 Θεωρία Γράφων 27

Ορισμοί-Επίπεδος Γράφος Επίπεδος Γράφος: έχει τη δυνατότητα να ζωγραφιστεί σε μια επίπεδη επιφάνεια έτσι ώστε να μην τέμνεται κανένα ζεύγος ακμών του. Εφαρμογή σε μοντελοποίηση δικτύου διασυνδεδεμένων στοιχείων: είναι δυνατόν να σχεδιαστεί το δίκτυο με τέτοιο τρόπο ώστε να μην χρειάζονται γεφυρώσεις, δηλ. ειδικές παρακάμψεις έτσι ώστε μια ακμή να περάσει πάνω από μια άλλη χωρίς όμως να την αγγίζει. Παράδειγμα Θεωρία Γράφων 28

Ορισμοί- Ομοιομορφικοί Γράφοι Δυο γράφοι καλούνται ομοιομορφικοί, εάν μπορούν να προκύψουν από τον ίδιο γράφο, μετά από μια ακολουθία παρεμβολών κορυφών βαθμού 2 μεταξύ ζευγών γειτονικών κορυφών. Θεωρία Γράφων 29

Ορισμοί (συνέχεια) Πόσες ακµές µπορεί να έχει ένας γράφος µε n κορυφές; Ένας γράφος λέγεται αραιός (sparse) αν ο αριθµός των ακµών του είναι της τάξης Ο(n), όπου n είναι ο αριθµός κορυφών του, διαφορετικά λέγεται πυκνός (dense). Συχνά συσχετίζουµε κάθε ακµή ενός γράφου µε κάποιο βάρος (weight). Τότε ο γράφος ονοµάζεται γράφος µε βάρη (weighted graph). Ποιες ιδιότητες ικανοποιούν οι πιο κάτω γράφοι; Θεωρία Γράφων 30

Κατευθυνόμενος Γράφος Ένας κατευθυνόμενος γράφος ή διγράφος G(V,E) αποτελείται από δύο σύνολα Κόμβων (vertices) Ακμών (edges): ακμή είναι διατεταγμένο ζεύγος κόμβων Πίνακας γειτνίασης- Adjacency matrix Θεωρία Γράφων 31

Εφαρμογές Εφαρμογή 1: να αποδειχθεί ότι σε κάθε γράφο υπάρχουν δυο τουλάχιστον κορυφές με τον ίδιο βαθμό. Εφαρμογή 2: Να αποδείξετε ότι σε μία συγκέντρωση τουλάχιστον 6 ατόμων είτε υπάρχουν τουλάχιστον 3 άτομα που ανα δύο γνωρίζονται είτε υπάρχουν τουλάχιστον 3 άτομα που ανα δύο δεν γνωρίζονται. Θεωρία Γράφων 32

Απόδειξη εφαρμογής 1 1 η Λύση: Ο γράφος έχει τουλάχιστο μια κορυφή βαθμού 0. τότε οι δυνατοί βαθμοί για τις κορυφές είναι 0,..., n-2. επειδή όμως έχουμε n κορυφές που όλες πρέπει να έχουν κάποιο βαθμό από τους n-1 δυνατούς βαθμούς, συμπεραίνουμε ότι δύο τουλάχιστον κορυφές θα έχουν τον ίδιο βαθμό. 2 η Λύση: Ο γράφος δεν έχει απομονωμένες κορυφές. Οι δυνατοί βαθμοί στην περίπτωση αυτή είναι πάλι n-1, δηλ, οι 0,1,2,...,n-1. Οπως και πριν συμπεραίνουμε ότι υπάρχουν δυο κορυφές με τον ίδιο βαθμό. Θεωρία Γράφων 33

Απόδειξη εφαρμογής 2 Λύση: Αρκεί να αποδειχθεί ότι για κάθε γράφο με 6 κορυφές αυτός ή ο συμπληρωματικός του περιέχει ως υπογράφο τον Κ 3. Οι υπόλοιπες 5 κορυφές διαμερίζονται σε δυο ξένα σύνολα V1 και V2 που είναι και δεν είναι αντίστοιχα, γειτονικές με τη v. Ενα από τα V1 και V2 έχει τουλάχιστον 3 στοιχεία. Ας υποθέσουμε ότι V1 >=3 (αν V2 >=3 θεωρούμε το συμπληρωματικό γράφο του Γ και συνεχίζουμε με τον ίδιο τρόπο). Αν δυο τουλάχιστον κορυφές του V1, συνδέονται με μια ακμή, τότε αυτές οι δύο μαζί με τη v συναποτελούν τον ζητούμενο υπογράφο Κ 3. Αν όλες οι κορυφές του V1 δεν συνδέονται ανά δυο καθόλου, τότε ο συμπληρωματικός του G περιέχει τον Κ 3. Θεωρία Γράφων 34

Δένδρα Μονοπάτι λέγεται μία διαδρομή από έναν κόμβο i σε έναν κόμβο j που περνάει μία μόνο φορά από κάθε κόμβο και ακμή. Δένδρο (ρίζα, κόμβοι-γονείς, κόμβοι-παιδιά, κόμβοι-φύλλα) απλός γράφος που για κάθε i και j υπάρχει μοναδικό μονοπάτι από τον i στον j. απλός γράφος με Ν κόμβους και Ν-1 ακμές ακμές απλός και συνδεδεμένος γράφος με Ν κόμβους και Ν-1 ακμές Θεωρία Γράφων 35

Spanning Tree Υπογράφος ενός γράφου λέγεται κάθε υποσύνολο του αρχικού όταν για κάθε ακμή επιλέγονται και οι προσκείμενοί της κόμβοι. Ένας υπογράφος του G λέγεται γεννητικό δένδρο (spanning tree) του G όταν περιλαμβάνει όλους τους κόμβους του G και είναι δέντρο. Minimal spanning tree: είναι αυτό που έχει το μικρότερο συνολικό μήκος ακμών ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Σε ένα τηλεπικοινωνιακό δίκτυο με 5 κόμβους πελάτες και ένα κεντρικό σύστημα, το minimal spanning tree του δικτύου αντιστοιχεί στην εύρεση της διαδρομής που διασυνδέει όλους τους χρήστες είτε άμεσα είτε έμμεσα με το μικρότερο συνολικό δυνατό μήκος (ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ). Θεωρία Γράφων 36

Minimal Spanning Tree Αλγόριθμος Επιλέγουμε έναν κόμβο τυχαία Βρίσκουμε τον ασύνδετο κόμβο πιο κοντα σε έναν από τους συνδεδεμένους και τον επιλέγουμε Επαναλαμβάνουμε το προηγούμενο βήμα μέχρι ο γράφος να είναι συνδεδεμένος. Με την τεχνική αυτή επιτυγχάνεται η βέλτιστη λύση Θεωρία Γράφων 37

Μήκος Ελάχιστου Μονοπατιού Minimum path distance Σε κάθε δίκτυο θα πρέπει να ληφθούν αποφάσεις για το πως θα δρομολογηθούν τα πακέτα δεδομένων (θα πρέπει να βρεθεί ένα μονοπάτι από τον αποστολέα προς τον παραλήπτη) Οι αποφάσεις αυτές βασίζονται σε κριτήρια ελαχίστου κόστους Ελάχιστος αριθμός αλμάτων Ελάχιστη συμφόρηση-φόρτος Ελάχιστο οικονομικό κόστος Ασφαλέστερη διαδρομή Τα κριτήρια αυτά χρησιμοποιούνται σαν είσοδοι σε αλγορίθμους δρομολόγησης Αλγόριθμος Dijkstra Αλγόριθμος Bellman-Ford Θεωρία Γράφων 38

Αλγόριθμος Dijkstra Να βρεθούν τα συντομότερα μονοπάτια από έναν κόμβο πηγή προς όλους τους άλλους κόμβους κατατάσσοντας τα μονοπάτια ως προς αύξουσα σειρά ως προς το μήκος τους. Έστω Ν κόμβοι, s κόμβος πηγή, Τ: το σύνολο των ήδη επεξεργασμένων κόμβων,l(n): το ελάχιστο κόστος κάθε φορά από τον s στον n. Αλγόριθμος ΑΡΧΗ : Τ = {s}, υπολογίζονται κόστη προς γειτονικούς κόμβους ΕΠΟΜΕΝΟΣ ΚΟΜΒΟΣ: Γειτονικός που δεν ανήκει στο Τ. Προστίθεται στο Τ Υπολογίζεται το νέο ελάχιστο μήκος L(x) ΤΕΛΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ όταν όλοι οι κόμβοι προστεθούν στο Τ http://www.dgp.toronto.edu/people/jamesstewart/270/9798slaffra/dijkstraapplet.html Θεωρία Γράφων 39

Αλγόριθμος Dijkstra Θεωρία Γράφων 40

Αλγόριθμος Dijkstra Θεωρία Γράφων 41