Αριθμητικές Μέθοδοι Βελτιστοποίησης Προγραμματισμός ιαχείριση Έργων Νίκος Τσάντας ιατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Τμήμ. Μαθηματικών Μαθηματικά των Υπολογιστών και των Αποφάσεων Ακαδημαϊκό έτος 2007-08 Προγραμματισμός Διαχείριση Έργων ΕΡΓΟ (πέρα από κάθε μεγάλη τεχνική κατασκευή) θεωρείται η διαδικασία υλοποίησης (πρωτότυπων) «προϊόντων» όπως, ηπαροχήυπηρεσιών, ο σχεδιασμός αναπτυξιακών προγραμμάτων, η ανάπτυξη και το πλασάρισμα ενός νέου προϊόντος ή μιας νέας υπηρεσίας, οι εργασίες συντήρησης μιας κατασκευής, η υλοποίηση ενός επενδυτικού σχεδίου, Κύρια χαρακτηριστικά αυτής της διαδικασίας: έχει αρχή και τέλος, έχει (κάποιου βαθμού) πρωτοτυπία, αναλύεται σε αλληλένδετες και αλληλοεξαρτώμενες επί μέρους εργασίες, γνωστές ως ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ, οι οποίες πρέπει να υλοποιηθούν μέσα σε προκαθορισμένο χρόνο, (μετη χρήση ποικίλων περιορισμένων πόρων). 2 1
Προγραμματισμός Διαχείριση Έργων Δεν μας ενοχλεί το πλήθος των δραστηριοτήτων ενός έργου, αλλά το γεγονός ότι οι δραστηριότητες δεν είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους. Αντίθετα είναι αλληλοεξαρτώμενες τόσο σε ότι αφορά την αλληλουχία εκτέλεσής τους, αλλά και σε ότι αφορά τη χρήση κοινών πόρων. Building the very first Boeing Jumbo jet was a project (building them now is a repetitive/routine process, not a project). Other projects are the building of the Channel tunnel, the building of the London Eye, the developing of a new drug. Παρόλο που η πρωτοτυπία είναι ζητούμενο, ηέμφασηπια είναι στην διαδικασία υλοποίησης. Απλά καθημερινά- παραδείγματα. Προγραμματισμός Διαχείριση Έργων Οι τεχνικές που θα αναπτυχθούν αποσκοπούν στον (i) σχεδιασμό, (ii) χρονικό προγραμματισμό και (iii) έλεγχο των δραστηριοτήτων που απαρτίζουν το έργο, μέσα στα πλαίσια των διαθέσιμων πόρων του, του σχεδιαζόμενου χρόνου παράδοσής του, κ.λπ. Οι τεχνικές αυτές επιδιώκουν την ανάπτυξη ενός λεπτομερούς χρονοδιαγράμματος αλληλουχίας των δραστηριοτήτων. Ιδιαίτερα μας ενδιαφέρει εάν η χρονική διάρκεια κάθε δραστηριότητας είναι γνωστή (σταθερά) η χρονική διάρκεια κάθε δραστηριότητας είναι μεταβλητή. 4 2
Προγραμματισμός Διαχείριση Έργων οι τεχνικές αυτές έχουν χειριστεί με επιτυχία τον σχεδιασμό, προγραμματισμό και έλεγχο έργων όπως: Ολυμπιακοί Αγώνες, ΠΑΘΕ, Εγνατία Οδός, κατασκευή μεγάλων οικοδομικών έργων, εγκατάσταση και συντήρηση εξοπλισμού εργοστασίων, ανάπτυξη νέων προϊόντων, εισαγωγικές εξετάσεις, φάκελοι υποψηφιότηταςανάληψηςαθλητικώνεκδηλώσεων, κ.λπ. 5 PERT/CPM PERT Program Evaluation and Review Technique Developed by U.S. Navy for Polaris missile project Developed to handle uncertain activity times CPM Critical Path Method Developed by Du Pont Company & Remington Rand Univac Developed for industrial projects for which activity times generally were known Τα λογισμικά ενσωματώνουν μια σύνθεση των δύο τεχνικών (με την κοινή ονομασία PERT/CPM). Τεχνική Δικτυωτής Ανάλυσης. 6
PERT/CPM Με τη βοήθεια των PERT/CPM μπορούν να απαντηθούν όλες οι εύλογες ερωτήσεις για την υλοποίηση ενός έργου όπως: Ποιος είναι ο χρόνος υλοποίησης του έργου; Πόσο σύντομα μπορεί να υλοποιηθεί το έργο; Ποιες πρέπει να είναι οι προγραμματισμένες ημερομηνίες έναρξης και λήξης της κάθε δραστηριότητας; Ποιες δραστηριότητες είναι κρίσιμες για την ολοκλήρωση του έργου χωρίς καθυστερήσεις; Ποια είναι τα περιθώρια καθυστέρησης στις μη κρίσιμες δραστηριότητες; 7 Example: Frank s s Fine Floats Frank s Fine Floats is in the business of building elaborate parade floats. Frank and his crew have a new float to build and want to (use PERT/CPM to help them) manage the project. 8 4
PERT/CPM Προχωρούμε σε δομική ανάλυση του έργου, δηλ. επιμερίζουμε το έργο σε διακριτές φάσεις. Στη συνέχεια αναλύουμε κάθε φάση σε αυτοτελείς δραστηριότητες (εργασίες) Δραστηριότητα: το στοιχειώδες δομικό στοιχείο αναφοράς στην ανάλυσή μας συστηματική-κριτική καταγραφή του τρόπου υλοποίησης. εκτιμήσεις για το χρόνο που απαιτεί η ολοκλήρωσή της, καθορισμός σχέσεων προ-απαίτησης (ορίζουν τη σειρά με την οποία πραγματοποιείται η κάθε δραστηριότητα: ποιες δραστηριότητες προ-απαιτούνται για την ολοκλήρωσή της πριν ξεκινήσει η συγκεκριμένη). 9 Example: Frank s s Fine Floats The table on the next slide shows the activities that comprise the project. Each activity s s estimated completion time (in days) and immediate predecessors are listed as well. (obviously someone must lists the activities in a logical/chronological order). Frank wants to know the minimum total time to complete the project, which activities are critical, and the earliest and latest start and finish dates for each activity. 10 5
Example: Frank s s Fine Floats Immediate Completion Activity Description Predecessors Time (days) A Initial Paperwork --- B Build Body A C Build Frame A 2 D Finish Body B E Finish Frame C 7 F Final Paperwork B,C G Mount Body to Frame D,E 6 8 H Install Skirt on Frame C 2 Activities B, C must be finished before activity F can start. 11 Δίκτυα Αναπαράστασης Έργων Η αλληλουχία των δραστηριοτήτων που απαρτίζουν το έργο αναπαριστάται γραφικά μ ένα δίκτυο στο οποίο οι κόμβοι απεικονίζουν τις δραστηριότητες, τα βέλη απεικονίζουν την αλληλουχία των δραστηριοτήτων. Kομβικά δίκτυα Activity On Node. (αναπαρίστανται και με τα τοξωτά δίκτυα - Activity On Arrow). In constructing this network we: draw a node for each activity add an arrow from (activity) node i to (activity) node j, if activity i must be finished before activity j can start (activity i precedes activity j). 12 6
Δίκτυα Αναπαράστασης Έργων (ΑΟΝ) All arcs have arrows attached to them, indicating the direction the project is flowing in. It is recommended (but not necessary) to start with a node named start (this activity has a duration 0). Then we draw each activity that does not have a predecessor activity and connect them with an arrow. When there are no activities that come after some activities, it is recommended (but again not necessary) to connect them to a node labeled finish. Such a diagram assumes that activities not linked by precedence relationships can take place simultaneously. 1 Example: Frank s s Fine Floats Δίκτυο Αναπαράστασης AON- Start A B C 2 D F E 7 G 6 H 2 Finish δραστηριότητα απαιτούμενος χρόνος Ενδείξεις (κόμβοι) Start Finish 14 7
Δίκτυα Αναπαράστασης Έργων The above diagram is not needed for a computer. A computer can cope very well with just the lists of activities and their precedence relationships. The diagram is intended for people: in a large project, with many thousands of activities, it is not possible to list those and their associated precedence relationships without making any errors. How can we spot errors? Looking at long lists is hopeless. (with a little practice it becomes easy to) Look at diagrams, interpret them and spot errors in the specification of the activities and their associated precedence relationships. Once having drawn the network it is relatively easy matter to analyze it (using a dynamic programming algorithm). 15 Λύση του (κομβικού) δικτύου 1ο βήμα: υπολογίζουμε τον συντομότερο χρόνο έναρξης (ES) και ολοκλήρωσης (EF) κάθε δραστηριότητας. 2ο βήμα: υπολογίζουμε το βραδύτερο χρόνο έναρξης (LS) και ολοκλήρωσης (LF) κάθε δραστηριότητας. συντομότεροι χρόνοι βραδύτεροι χρόνοι ο βήμα: υπολογίζουμε το χρονικό περιθώριο κάθε δραστηριότ 4ο βήμα: υποδεικνύουμε την κρίσιμη διαδρομή και το συνολικό χρόνο ολοκλήρωσης του έργου. Χρονικό περιθώριο ονομάζεται το χρονικό διάστημα που μπορεί να καθυστερήσει η υλοποίηση μιας δραστηριότητας χωρίς ανάλογη καθυστέρηση στο συνολικό χρόνο του έργου. Η διαδρομή που αποτελείται από τις δραστηριότητες που έχουν μηδενικό χρονικό περιθώριο ονομάζεται ΚΡΙΣΙΜΗ ΔΙΑΔΡΟΜΗ. 16 8
Συντομότερος Χρόνος Έναρξης (ES) & Ολοκλήρωσης (EF) μιας δραστηριότητας Ξεκινήστε ένα forward πέρασμα του δικτύου με αρχή τον κόμβο Start. Για κάθε δραστηριότητα i, υπολογίστε: Earliest Start Time = max {EF(k), k P}, όπου P το σύνολο των δραστηριοτήτων που είναι άμεσα προ-απαιτούμενες = ο μεγαλύτερος χρόνος ολοκλήρωσης των δραστηριοτήτων που είναι άμεσα προαπαιτούμενες. Earliest Finish Time = ES + (χρόνος ολοκλήρωσης της i ). Ο (ελάχιστος) ΧΡΟΝΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ του έργου ισούται με το μεγαλύτερο εκ των ενωρίτερων χρόνων ολοκλήρωσης των κόμβων (δραστηριοτήτων) οι οποίοι οδηγούν στον κόμβο Finish. 17 Example: Frank s s Fine Floats Συντομότεροι χρόνοι Έναρξης και Ολοκλήρωσης Start A 0 B C 2 6 5 D F E 7 6 9 6 9 5 12 G 6 H 2 12 18 5 7 Finish max{6, 5} κόμβοι οι οποίοι οδηγούν στον κόμβο Finish οι: F, G και H (ελάχιστος) χρόνος ολοκλήρωσης του έργου = 18 = max{9, 18, 7} 18 9
Example: Frank s s Fine Floats Συντομότεροι χρόνοι Έναρξης (ES) και Ολοκλήρωσης (EF) ES A = 0 EF A = ES A + t A = 0 + = ES B = EF A = EF B = ES B + t B = + = 6 ES C = EF A = EF C = ES C + t C = + 2 = 5 ES D = EF B = 6 EF D = ES D + t D = 6 + = 9 ES E = EF C = 5 EF E = ES E + t E = 5 + 7 = 12 ES F = max{ef B, EF C } = max{6, 5} = 6 EF F = ES F + t F = 6 + = 9 ES G = max{ef D, EF E } = max{9, 12} = 12 EF G = ES G + t G = 12+6=18 ES H = EF C = 5 EF H = ES H + t H = 5 + 2 = 7 ES FINISH = max{ef F, EF G, EF H } = max{9, 18, 7} = 18 19 Βραδύτερος Χρόνος Έναρξης (LS) και Ολοκλήρωσης (LF) μιας δραστηριότητας Ξεκινήστε ένα backward πέρασμα του δικτύου με αρχή τον κόμβο Finish. Για κάθε δραστηριότητα i, υπολογίστε Latest Finish Time = min {LS(k), k S}, όπου S το σύνολο των δραστηριοτήτων που έπονται της i και συνδέονται άμεσα μαζί της = ο μικρότερος χρόνος έναρξης των δραστηριοτήτων των οποίων είναι άμεσα προαπαιτούμενη. Latest Start Time = LF - (χρόνος ολοκλήρωσης της i). 20 10
ΤΣΑΝΤΑΣ ΝΙΚΟΣ 4/6/2009 Example: Frank s s Fine Floats Βραδύτεροι χρόνοι Έναρξης και Ολοκλήρωσης Start A 0 0 B C 2 6 6 9 5 5 D F E 7 6 9 9 12 6 9 15 18 5 12 5 12 G 6 H 2 12 18 12 18 5 7 16 18 Finish min{9, 15} 21 Example: Frank s s Fine Floats Βραδύτεροι χρόνοι Έναρξης (LS) και Ολοκλήρωσης (LF) LF G = 18 LS G = LF G -t G = 18-6 =12 LF H = 18 LS H =LF H -t H = 18-2 =16 LF F = 18 LS F = LF F -t F = 18 - = 15 LF D = LS G = 12 LS D = LF D -t D = 12 - = 9 LF E = LS G = 12 LS E = LF E -t E = 12-7 = 5 LF B = min{ls D, LS F } = min{9, 15} = 9 LS B = LF B -t B = 9 - = 6 LF C = min{ls F, LS E, LS H } = = min{15, 5, 16} = 5 LS C = LF C -t C = 5-2 = LF A = min{ls B, LF C } = min{6, } = LS A = LF A -t A = - = 0 22. A' 11
Determining the Critical Path Υπολογίστε το χρονικό περιθώριο κάθε δραστηριότητας (Slack) i = (Latest Start) i - (Earliest Start) i, or = (Latest Finish) i - (Earliest Finish) i. F 6 9 15 18 2 Activity Slack Time Example: Frank s s Fine Floats Activity ES EF LS LF Slack A 0 0 0 (crit.) B 6 6 9 C 5 5 0 (crit.) D 6 9 9 12 E 5 12 5 12 0 (crit.) F 6 9 15 18 9 G 12 18 12 18 0 (crit.) H 5 7 16 18 11 24 12
Example: Frank s s Fine Floats Υποδείξτε την κρίσιμη διαδρομή (δεν είναι κατ ανάγκη μία) Η Κρίσιμη Διαδρομή ξεκινά από τον κόμβο Start και τερματίζει στον κόμβο Finish, και αποτελείται από τις δραστηριότητες που έχουν μηδενικό χρονικό περιθώριο. For any network there will always be a path of critical activities from the initial node to final node. Critical Path: A C E G Project Completion Time: 18 days Note here that, we have (implicitly) assumed in calculating this figure of 18 days that we have sufficient resources to carried out the various 25 activities. Critical Path Example: Frank s s Fine Floats Start A 0 0 B C 2 6 6 9 5 5 D F E 7 6 9 9 12 6 9 15 18 5 12 5 12 G 6 H 2 12 18 12 18 5 7 16 18 Finish Οι δραστηριότητες A, C, E και G είναι κρίσιμες για την υλοποίηση του έργου χωρίς καθυστερήσεις Οι δραστηριότητες B, D, F και H έχουν, αντίστοιχα, περιθώριο καθυστέρησης,, 9 και 11 ημερών 26 1
Example: Frank s s Fine Floats (winqsb( winqsb) 27 Διαγράμματα Gantt Πρόκειται για ένα απλό γραμμικό ημερολόγιο, πάνω στο οποίο σημειώνουμε τους χρόνους έναρξης και λήξης των δραστηριοτήτων Προτάθηκε από τον Henry Gantt, ως μεθοδολογικό εργαλείο για τον προγραμματισμό και έλεγχο της πορείας υλοποίησης μεγάλων βιομηχανικών έργων στις αρχές του περασμένου αιώνα (το 1918). Ο οριζόντιος άξονας είναι ο άξονας μέτρησης του χρόνου, ενώ για κάθε δραστηριότητα του έργου σχεδιάζουμε μια οριζόντια ράβδο με μήκος τη χρονική στιγμή ενωρίτερης (βραδύτερης) έναρξης και λήξης. Πλεονέκτημα η απλότητά τους και ο άμεσος απολογισμός. Μειονέκτημα η αδυναμία έκφρασης των σχέσεων εξάρτησης. 28 14
Example: Frank s s Fine Floats (winqsb( winqsb) 29 Non-Critical Activities One thing which will become crucial if we go deeper into network analysis is the non-critical activities. In the previous Gantt chart we can see that we have a choice to when non critical activities start. For example, there is a time window [5, 15] within which activity H can be started without affecting the overall project completion time As we have a choice to when in this time window we start activity H then we have a DECISION to be made. Making appropriate decisions to precisely when to start noncritical activities is a key feature of network analysis/project management. 0 15
Project Completion Analysis in Frank s s Fine Floats (winqsb) Results Project Completion Analysis Doing that analysis after 9 days (say) gives: activities A, B, C have been completed activity E will have been 57.14% completed the remaining activities not yet started This analysis assumes: all activities are started at their earliest start times, all activities take exactly as long as planned. 1 (θεωρώντας το αντίστοιχο) Γραμμικό Μοντέλο Έστω ένα δίκτυο ΑΟΝ με m κόμβους (δραστηριότητες): μεταβλητή x i : η συντομότερη χρονική στιγμή έναρξης (ES) της δραστηριότητας που παριστάνεται από τον κόμβο i. αντικειμενική συνάρτηση: min x FINISH (ελαχιστοποίηση του συνολικού χρόνου εκτέλεσης του έργου). περιορισμοί: η (συντομότερη) χρονική στιγμή έναρξης x i μιας δραστηριότητας i μπορεί να γίνει αφού όλες οι προαπαιτούμενες δραστηριότητές της j ολοκληρωθούν: x i x j + t j. Μια δραστηριότητα j ολοκληρώνεται σε χρονική στιγμή ίση με το χρόνο έναρξής της συν το χρόνο που απαιτείται για την υλοποίησή της (EF j = ES j + t j ). 2 16
Example: Frank s s Fine Floats ACTIV A IMMED PREDEC COMPL TIME B: x B x A + t Α -x A + x B C: x C x A + t Α -x A + x C D: x D x B + t Β -x B + x D B C D A A B 2 E: x E x C + t C -x C + x E 2 F: x F x B + t B -x B + x F x F x C + t C -x C + x F 2 G: x G x D + t D -x D + x G E C 7 x G x E + t E -x E + x G 7 F G H B, C D, E C 6 2 H: x H x C + t C -x C + x H 2 FIN: x FN x F + t F -x F + x FN x FN x G + t G -x G + x FN 6 x FN x H + t H -x H + x FN 2 FN F,G,H 0 All X s 0 Example: Frank s s Fine Floats 4 17
(θεωρώντας το αντίστοιχο) Γραμμικό Μοντέλο ο ελάχιστος χρόνος υλοποίησης του έργου είναι 18 ημέρες, όπως και υποδείχτηκε προηγούμενα. οι συντομότεροι χρόνοι έναρξης των κρίσιμων δραστηριοτήτων ταυτίζονται με αυτές που βρέθηκαν προηγούμενα. οι συντομότεροι χρόνοι έναρξης των μη κρίσιμων δραστηριοτ. βρίσκονται μέσα στο παράθυρο χρόνου έναρξής τους και δεν ταυτίζονται κατ ανάγκη με αυτές που βρέθηκαν προηγούμενα. 5 (θεωρώντας το αντίστοιχο) Γραμμικό Μοντέλο δεν υπάρχει ένδειξη για το ποιες εκ των δραστηριοτήτων είναι κρίσιμες. Μπορούν όμως να βρεθούν εάν επιλυθούν για εκάστη εκ των δραστηριοτήτων i τα εξής δύο π.γ.π. min x i s.t. the constraints given before x FN = 18 max x i s.t. the constraints given before x FN = 18 για τη δραστηριότητα Ε η μικρότερη τιμή για την x Ε είναι 5, ενώ ημέγιστη5. Συνεπώς η δραστηριότητα Ε πρέπει να ξεκινήσει τη χρονική στιγμή 5 προκειμένουτοέργοναολοκληρωθείστις18 ημέρες. για τη δραστηριότητα F η μικρότερη τιμή για την x F είναι 6, ενώ ημέγιστη15. Συνεπώς η δραστηριότητα F μπορεί να ξεκινήσει οποιαδήποτε χρονική στιγμή μεταξύ της 6 και 15 προκειμένου το έργοναολοκληρωθεί στις 18 ημέρες. 6 18
(θεωρώντας το αντίστοιχο) Γραμμικό Μοντέλο So far we have duplicated via l.p. what we could already do via dynamic programming (PERT/CPM). The real benefit of using l.p. comes if we add additional constraints into the problem, i.e. there must be a time lag of exactly T between the end of A (completion time a) and the start of B: x A + a + T = x B. there must be a time lag of exactly T between the end of A (completion time a) and the end of B (completion time b): x A + a + T = x B + b. activities A and B must start at the same time: x A = x B. activities A and B must start at roughly the same time: x A x B 1. 7 εκτίμηση του χρόνου που απαιτείται για την ολοκλήρωση κάθε μιας εκ των δραστηριοτήτων 8 19
Συνθήκες Αβεβαιότητας: εκτίμηση τριών χρόνων Η διάρκεια των δραστηριοτήτων είναι τυχαία μεταβλητή. Γίνονται τρεις εκτιμήσεις της διάρκειας κάθε δραστηριότητας: (i) αισιόδοξη, (ii) απαισιόδοξη και (iii) πλέον πιθανή. Υποθέτουμε ότι η διάρκεια κάθε δραστηριότητας ακολουθεί την κατανομή Β. 9 Συνθήκες Αβεβαιότητας: εκτίμηση τριών χρόνων ΤΟΤΕ Ο μέσος χρόνος ολοκλήρωσης μιας δραστηριότητας είναι ίσος με μ = (a + 4m + b)/6 Η μεταβλητότητα του χρόνου ολοκλήρωσης μιας δραστηριότητ είναι ίσος με σ 2 = ((b-a)/6) 2 όπου a b = ηαισιόδοξηεκτίμηση = η απαισιόδοξη εκτίμηση m = η πλέον πιθανή εκτίμηση 40 20
Συνθήκες Αβεβαιότητας: εκτίμηση τριών χρόνων Αναμενόμενη κρίσιμη διαδρομή: η διαδρομή που θα ήταν κρίσιμη εάν η διάρκεια κάθε δραστηριότητας ήταν ίση με την μέση τιμή της. Θεωρώντας ότι οι διάρκειες των δραστηριοτήτων στην αναμενόμενη κρίσιμη διαδρομή είναι στατιστικά ανεξάρτητες ΤΟΤΕ Για ικανό αριθμό δραστηριοτήτων η τ.μ. «συνολική διάρκεια του έργου» ακολουθεί την κανονική κατανομή με παραμέτρους μ = SUM(μέσων χρόνων του αναμενόμ. κρίσιμου μονοπατιού) σ 2 = SUM(διασπορών χρόνων του αναμ. κρίσιμου μονοπατιού) 41 Θεωρήστε το έργο Example: ABC Associates Immed.. Optimistic Most Likely Pessimistic Activity Predec. Time (Hr.) Time (Hr.) Time (Hr.) A -- 4 6 8 B -- 1 4.5 5 C A D A 4 5 6 E A 0.5 1 1.5 F B,C 4 5 G B,C 1 1.5 5 H E,F 5 6 7 I E,F 2 5 8 J D,H 2.5 2.75 4.5 11 K G,I 5 7 42 21
Example: ABC Associates Αναμενόμενοι χρόνοι δραστηριοτήτων και διασπορές t = (a( + 4m 4 + b)/6 σ 2 = ((b-a)/6) Activity Expected Time Variance A 6 4/9 B 4 4/9 C 0 D 5 1/9 E 1 1/6 F 4 1/9 G 2 4/9 H 6 1/9 I 5 1 J 1/9 K 5 4/9 4 Δίκτυο Αναπαράστασης Example: ABC Associates Start A 6 D 5 E 1 C B 4 F 4 G 2 H 6 I 5 J K 5 Finish 44 22
Example: ABC Associates Υπολογισμοί των χρόνων ES, EF και LS, LF Start A 6 0 6 0 6 D 5 E 1 C B 4 6 11 15 20 6 7 12 1 6 9 6 9 0 4 5 9 F 4 G 2 H 6 I 1 18 9 1 5 1 18 9 1 9 11 16 18 1 19 14 20 J K 5 19 22 20 2 18 2 18 2 Finish Χρόνος ολοκλήρωσης του έργου = max{22, 2} = 2 45 Example: ABC Associates Ενωρίτεροι/Βραδύτεροι Χρόνοι and Slack Expected Time Variance Activity ES EF LS LF Slack 6 4/9 A 0 6 0 6 0 * 4 4/9 B 0 4 5 9 5 0 C 6 9 6 9 0 * 5 1/9 D 6 11 15 20 9 1 1/6 E 6 7 12 1 6 4 1/9 F 9 1 9 1 0 * 2 4/9 G 9 11 16 18 7 6 1/9 H 1 19 14 20 1 5 1 I 1 18 1 18 0 * 1/9 J 19 22 20 2 1 5 4/9 K 18 2 18 2 0 * 46 2
Example: ABC Associates Προσδιορισμός της κρίσιμης διαδρομής Critical Path: A C F I K Αναμενόμενος Χρόνος Ολοκλήρωσης: : 2 ώρες μ = t A + t C + t F + t I + t K = 6 + + 4 + 5 + 5 = 2 σ 2 = σ 2 A + σ 2 C + σ 2 F + σ 2 I + σ 2 K = 4/9 + 0 + 1/9 + 1 + 4/9 = 2 Συνολική διάρκεια του έργου Ν(2, 2) 47 Example: ABC Associates Critical Path (A-C-F-I-K) Start A 6 0 6 0 6 6 11 5 15 20 D E 1 C B 4 6 7 12 1 6 9 6 9 0 4 5 9 F 4 G 2 H 6 I 1 18 9 1 5 1 18 9 1 9 11 16 18 1 19 14 20 J K 5 19 22 20 2 18 2 18 2 Finish 48 24
Example: ABC Associates Συνολική διάρκεια του έργου Ν(2, 1.414 2 ) 20.172 2 25.828 49 Example: ABC Associates X μ Η τυχαία μεταβλητή Z = ακολουθεί την Ν(0, 1) οπότε σ Πιθανότητα (διάρκεια έργου x) = Probability (Z z x ) 50 25
Example: ABC Associates Πιθανότητα ολοκλήρωσης του έργου μέσα σε 24 hrs z 24 = (24-2)/σ = (24-2)/1.414 2)/1.414 =.71 P(z <.71) =.5 +.2612 =.7612 51 Example: ABC Associates Αναμεν. διάρκεια ολοκλήρωσης του έργου με πιθανότητα 95% P(z < (a 2)/1.414) =.95 (a - 2)/1. 414 = 1.645 a = 25. hrs 52 26
Example: ABC Associates 5 Example: ABC Associates 54 27
το συνολικό κόστος υλοποίησης ενός έργου διαμορφώνεται από το άθροισμα δύο επί μέρους στοιχείων κόστους του έμμεσου, και του άμεσου. Οικονομική Διάσταση ενός έργου 55 Οικονομική Διάσταση ενός έργου το έμμεσο κόστος δεν συνδέεται άμεσα με κάποια συγκεκριμένη δραστηριότητα κι είναι μια γραμμική (συνήθως) συνάρτηση του χρόνου ολοκλήρωσης του έργου, με αποτέλεσμα να μειώνεται ή να αυξάνεται κατά ένα σταθερό ποσό κάθε φορά που η συνολική του διάρκεια συντομεύεται ή επιμηκύνεται αντίστοιχα κατά μία μονάδα χρόνου. ως άμεσο κόστος μιας δραστηριότητας νοείται κάθε στοιχείο κόστους που καταλογίζεται απευθείας πάνω στη συγκεκριμένη δραστηριότητα. Φυσικά η χρονική διάρκεια ολοκλήρωσης κάθε δραστηριότητας είναι συνάρτηση του άμεσου κόστους εκτέλεσής του, οπότε η δραστηριότητα μπορεί να ολοκληρωθεί και σε μικρότερο χρόνο, εάν διατεθούν σ αυτή επιπλέον κόστος για την εκτέλεσή της (κι αντίστροφα). 56 28
Οικονομική Διάσταση ενός έργου Στα πλαίσια της CPM δεχόμαστε ότι υπάρχουν δύο ακραίες τιμές της διάρκειας ολοκλήρωσης της κάθε δραστηριότητας σε σχέση με το άμεσο κόστος που διατίθεται για την υλοποίησή της: η κανονική διάρκεια υλοποίησης της δραστηριότητας T N ηοποία επιτυγχάνεται όταν διαθέτουμε το (συνηθισμένο) ελάχιστο κόστος της κανονικής της διάρκειας C N, η συντομότερη διάρκεια υλοποίησης της δραστηριότητας T C η οποία επιτυγχάνεται όταν διαθέσουμε το (επιπλέον από το κανονικό) μέγιστο κόστος της συντομότερης διάρκειάς της C C. Τότε, η καμπύλη μεταβολής του άμεσου κόστους και της διάρκειας ολοκλήρωσηςμιαςδραστηριότηταςπροσεγγίζεταιαπότηνευθεία που περνά από τα σημεία (T N, C N ), (T C, C C ). 57 Οικονομική Διάσταση ενός έργου Έτσι το μοναδιαίο κόστος συντόμευσης MC της διάρκειας μιας δραστηριότητας, ηαύξησηδηλαδήτουκόστουςγιακάθεμονάδα του χρόνου που μειώνεται η διάρκεια της δραστηριότητας, δίνεται από την κλίση της ευθείας: MC = (C C -C N )/(T N -T C )= AC/R. 58 29
Οικονομική Διάσταση ενός έργου Μείωση του χρόνου υλοποίησης των δραστηριοτήτων προκαλεί αύξηση στα άμεσα κόστη και μείωση στα έμμεσα. Η συνολική καμπύλη κόστους είναι κυρτή κι έχει βέλτιστο (min). 59 Συμπίεση χρόνου του έργου Συμπίεση του έργου (project crashing): η διαδικασία με την οποία μειώνεται η συνολική διάρκεια του έργου με την ολοκλήρωση κάποιων εκ των επί μέρους δραστηριοτήτων σε χρόνο συντομότερο από την κανονική τους διάρκεια. Εάν το έργο πρέπει να ολοκληρωθεί νωρίτερα από το χρόνο που έχει προγραμματιστεί (με τους κανονικούς χρόνους των δραστ), τότε ποιες δραστηριότητες πρέπει να συμπιεστούν, για πόσες μονάδες χρόνου, και με πόσο κόστος; <αφορά μόνον τις κρίσιμες δραστηριότητες> Εάν διατίθεται ένα συγκεκριμένο ποσό για συμπίεση, μέχρι πόσες χρονικές μονάδες μπορούμε να συμπιέσουμε το χρόνο ολοκλήρωσης του έργου; 60 0
Θεωρήστε το έργο Example: Beasley redesign a product Immed.. Normal Crash Normal Crash Activity Predec. Time (Wks) Time (Wks) Cost Cost A -- 6 4 100 240 B -- 2 1 100 150 C A 0 0 D B 2 2 0 0 E C 4 2 100 180 F D 1 1 0 0 G E,F 1 1 0 0 H G 6 100 160 I H 2 100 140 J H 1 1 0 0 11 K I,J 1 1 0 0 61 Συμπίεση χρόνου του έργου 1ο βήμα: εκτίμηση κανονικών χρόνων και χρόνων συμπίεσης. 2ο βήμα: εντοπισμός της κρίσιμης διαδρομής από την PERT/ CPM (βασιζόμενοι στους κανονικούς χρόνους). ο βήμα: επιλογή της κρίσιμης δραστηριότητας με το μικρότερο μοναδιαίο κόστος 4ο βήμα: συμπίεση της ανωτέρω δραστηριότητας κατά μία χρονική μονάδα. 5ο βήμα: έλεγχος του κριτηρίου τερματισμού. Εάν ικανοποιείται η διαδικασία τελειώνει. Αλλιώς, επιστρέφουμε στο 2οβήμα και επιλύουμε το δίκτυο του έργου με τη νέα, συντομότερη κατά μία χρονική μονάδα, διάρκεια της συγκεκριμένης δραστηριότητας. 62 1
Example: Beasley redesign a product Περιθώριο Συντόμευσης Πρόσθετο Κόστος Μοναδιαίο Κόστος 70 50 Activity A 2 140 70 B 1 50 50 C D E 2 80 40 F G H 60 60 20 I 1 40 40 J K Το κρίσιμο μονοπάτι είναι το: A-C-E-G-H-I-K. Χρόνος 24 εβδομάδες. Ζητούμενο η συμπίεση σε 19 Οι διαδοχικές συμπιέσεις έχουν ως ακολούθως: Η, Η,H, ΕήΙκαιτέλοςΙήΕ. 6 Example: Beasley redesign a product NORMAL TIMES Critical Path (A-C-E-G-H-I-K) Completion Time = 24 weeks 64 2
Example: Beasley redesign a product CRASH TIMES The project can take anywhere between 16 and 24 weeks depending upon the activity completion time (which can vary between the normal time and the crash time). 65 Example: Beasley redesign a product Συμπίεση στις 19 ημέρες (Results Perform Crashing Analysis ) Crash activity E by one week, activity H by three weeks and activity I by one week. The minimum cost way of achieving the lowest possible overall project completion time of 19 weeks is 640. This contrasts with the cost of 870, because it is not necessa to crash all activities to their maximum extent. 66
Example: Beasley redesign a product Varying the number of weeks by which we crash the project, we construct a graph that plots for each possible project completion time the minimum associated cost. 67 Example: Beasley redesign a product Example: Beasley redesign a product Also, we can produce a graphic showing the cost of the project based on each activity starting at its earliest/latest time. The gap between the cumulative ES and LS lines represents flexibility: cost can be adjusted with the ES and LS limits by artificially delaying the start of non-critical activities. 68 4
Το Γραμμικό Μοντέλο της Συμπίεσης μεταβλητή x i : η συντομότερη χρονική στιγμή έναρξης (ES) της δραστηριότητας που παριστάνεται από τον κόμβο i. μεταβλητή y i : οι χρονικές στιγμές που μπορεί να επισπευστεί η διάρκεια της δραστηριότητας που παριστάνεται από τον κόμβο i αντικειμενική συνάρτηση: min MC i y i (ελαχιστοποίηση του επιπλέον κόστους λόγω συμπίεσης- του έργου). περιορισμοί: η χρονική στιγμή έναρξης x i μιας δραστηριότητας i μπορεί να γίνει αφού όλες οι προαπαιτούμενες δραστηριότητές της j ολοκληρωθούν, λαμβάνοντας υπόψη την πιθανή συμπίεση τους: x i x j + t j y j. άνω φράγματα για τους χρόνους συμπίεσης. άνω φράγμα για το συνολικό χρόνο υλοποίησης του έργου: (χρόνος ολοκλήρωσης των «τερματικών» δραστηριοτ.) D. 69 PERT/Cost Η PERT/Cost είναι μια μέθοδος παρακολούθησης των δαπανών εκτέλεσηςενόςέργου. Βασική παραδοχή της μεθοδολογίας είναι ότι το κόστος μιας δραστηριότητας κατανέμεται ομοιόμορφα κατά τη διάρκεια εκτέλεσής της. Συνήθως μελετώνται πακέτα εργασιών, ομάδες δραστηριοτήτων δηλαδή που σχετίζονται μεταξύ τους. Η έκθεση δαπανών (cost status report) αναφέρεται σε εκτιμήσεις των δαπανών λόγω καθυστέρησης ή ενωρίτερης ολοκλήρωσης κάθε πακέτου εργασίας. 70 5
PERT/Cost Η δαπάνη από την καθυστερημένη ή ενωρίτερη ολοκλήρωση υπολογίζεται με αφαίρεση της προϋπολογισθείσας δαπάνης (budgeted cost) από την πραγματική δαπάνη κάθε πακέτου. Για μια εργασία που είναι σε εξέλιξη, η δαπάνη αυτή εκτιμάται αφαιρώντας το ποσοστό της προϋπολογισθείσας δαπάνης από την έως εκείνη τη στιγμή καταβληθείσα (πραγματική) δαπάνη. Η συνολική δαπάνη από την καθυστερημένη ή ενωρίτερη ολοκλήρωση, σε ένα δεδομένο χρόνο κατά την εκτέλεση του έργου, εκτιμάται ως το άθροισμα των επί μέρους δαπανών που έχουν προκύψει μέχρι τη δεδομένη στιγμή. 71 Example: How Are We Doing? Δίνεται το ακόλουθο δίκτυο ενός έργου: Start A 9 B 8 G F 4 D E 4 I 4 H 5 J 8 Finish C 10 72 6
Example: How Are We Doing? Δίνεται το καθεστώς δραστηριοτήτων (στο τέλος της 11 ης εβδομ) Δραστηριότητα Πραγματική Δαπάνη % Ολοκλήρωσης A 6,200 100 B 5,700 100 C 5,600 90 D 0 0 E 1,000 25 F 5,000 75 G 2,000 50 H 0 0 I 0 0 J 0 0 7 Example: How Are We Doing? Δίνεται ότι η προϋπολογισθείσα δαπάνη για κάθε δραστηριότητα είναι 6000. Έχοντας τα πραγματικά και τα προϋπολογισθέντα ποσά προσδιορίζουμε τη διαφορά δαπανών. Για παράδειγμα: ΣτηΣτη δραστηριότητα C δαπανήθηκαν 5600, η δραστηριότητα ολοκληρώθηκε κατά 90%, ενώ ο προϋπολογισμός του 100% είναι 6000. Αναλογικά για το 90% της C το προϋπολογισθέν ποσό είναι 0.9 6000 = 5400. Επομένως, μέχρι την 11 η εβδομάδα, η C έχει κοστίσει 200 επιπλέον. Συντάσσουμε την έκθεση δαπανών. 74 7
Example: How Are We Doing? Έκθεση Δαπανών (Η προϋπολογισθείσα δαπάνη εκάστης δραστηριότητας είναι 6,000) Πραγματική Διαφορά Δραστηρ Δαπάνη Προϋπολογισμός Δαπανών A 6,200 (1.00)x6000 = 6000 $200 B 5,700 (1.00)x6000 = 6000-00 C 5,600 (.90)x6000 = 5400 200 D 0 0 0 E 1,000 (.25)x6000 = 1500-500 F 5,000 (.75)x6000 = 4500 500 G 2,000 (.50)x6000 = 000-1000 H 0 0 0 I 0 0 0 J 0 0 0 Σύνολα $25,500 $26,400 $-$ 900 75 Example: How Are We Doing? Από το δίκτυο PERT υπολογίζονται οι Ενωρ/Βραδύτ Χρόνοι Activity ES EF LS LF Slack A 0 9 0 9 0 * B 0 8 5 1 5 C 0 10 7 17 7 D 8 11 22 25 14 E 8 12 1 17 5 F 9 1 1 17 4 G 9 12 9 12 0 * H 12 17 12 17 0 * I 12 16 21 25 9 J 17 25 17 25 0 * 76 8
Example: How Are We Doing? Από το 100% ολοκλήρωσης και τη διάρκεια κάθε δραστηριότητ, υπολογίζεται ο χρόνος που υπολείπεται Δραστηριότητα Υπόλοιπος Χρόνος % Ολοκλήρωσης A 9 (1.0 1.0) = 0 100 1 B 8 (1.0 1.0) = 0 100 1 C 10 (1.0 0.90) = 9 90 0.90 D (1.0 0.0) = 0 0.0 E 4 (1.0 0.25) = 25 0.25 F 4 (1.0 0.75) = 1 75 0.75 G (1.0 0.50) = 1.5 50 0.50 H 5 (1.0 0.0) = 5 0 0.0 I 4 (1.0 0.0) = 4 0 0.0 J 8 (1.0 0.0) = 8 0 0.0 77 Example: How Are We Doing? Διάγραμμα PERT στο τέλος της 11 ης εβδομάδος Start A 0 B 0 11 11 11 11 G 1.5 F 1 D E 11 12.5 11 12 11 14 11 14 I 4 H 5 12.5 16.5 12.5 17.5 J 8 17.5 25.5 Finish Earliest Start C 1 11 12 Earliest Finish Remaining work (weeks) 78 9
Example: How Are We Doing? Εικόνα του έργου στο τέλος της 11 ης εβδομάδος: Ο αρχικός προϋπολογισμός για το τμήμα του έργου που έχει ολοκληρωθεί ήταν 26400. Ως τώρα έχουν δαπανηθεί 22500. Υπάρχει δηλαδή κέρδος 900. Ο συνολικός χρόνος ολοκλήρωσης είναι τώρα 25.5 αντί για 25 εβδομάδες, δηλαδή έχουμε καθυστέρηση μισής εβδομάδ. Προτεινόμενες διορθωτικές ενέργειες: Η διοίκηση πρέπει να μελετήσει το ενδεχόμενο μεταφοράς των 900 στη δραστηριότητα G προκειμένου να εξασφαλίσει την ταχύτερη ολοκλήρωσή της. Εναλλακτικά, μπορεί να μειώσει το χρόνο εκτέλεσης άλλων δραστηριοτήτων της κρίσιμης διαδρομής. 79 40