Η ΑΙΣΘΗΣΗ ΤΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΣΕ ΠΑΙΔΙΑ Ε ΚΑΙ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΚΑΙ ΟΙ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΕΣ ΤΟΥΣ ΚΑΤΑ ΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΛΑΙΣΙΩΜΕΝΩΝ ΚΑΙ ΜΗ ΠΛΑΙΣΙΩΜΕΝΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ Θεματική Ενότητα: 2 Δέσποινα Δεσλή & Βασιλική Μυρόβαλη Παιδαγωγικό Τμήμα Δημοτικής Εκπαίδευσης, Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης, Πύργος Παιδαγωγικής, 54124 Θεσσαλονίκη 2310 6938536788, ddesli@eled.auth.gr Περίληψη Σκοπός της παρούσας εργασίας είναι να εξετάσει τις επιδόσεις και τις στρατηγικές των παιδιών Ε και Στ τάξης σε έργα αίσθησης του αριθμού. Για το σκοπό αυτό, ζητήθηκε από τους συμμετέχοντες να λύσουν προβλήματα που αναφέρονται στα τέσσερα χαρακτηριστικά της αίσθησης του αριθμού (σχετικό μέγεθος αριθμών, πολλαπλές αναπαραστάσεις αριθμών και πράξεων, λογικότητα των εκτιμήσεων και αριθμητικές πράξεις) και τα οποία παρουσιάστηκαν με και χωρίς. Όλα τα παιδιά αντιμετώπισαν δυσκολίες στα προβλήματα σχετικού μεγέθους των αριθμών. Παρόλο που τα μεγαλύτερα παιδιά εμφάνισαν καλύτερες επιδόσεις σε όλα τα έργα, δεν επηρεάστηκαν από την παρουσία πλαισίου. Η ανάλυση των στρατηγικών των παιδιών, ωστόσο, έδειξε ότι στα προβλήματα με τα παιδιά και των δύο ηλικιακών ομάδων πιο συχνά χρησιμοποίησαν κανόνες και λιγότερο συχνά στρατηγικές της αίσθησης του αριθμού σε σχέση με τα προβλήματα χωρίς. Abstract The aim of the present study was to examine the performance and the strategies of 5 th - and 6 th -grade students in number sense problems. Participants were asked to solve problems that referred to four factors of number sense (relative number size, multiple representations of numbers and operations, reasonableness of estimates and relative effect of operations on numbers). Half of these problems were presented within a context and half of them without. All children faced difficulties with relative number size problems. Although older children performed better than the younger ones, they were not affected by the presence of the context. The analysis of
children s strategies, however, revealed a greater use of rule-based applications and a limited use of number sense strategies in problems presented with context compared to those presented without context. Εισαγωγή Τα νέα προγράμματα σπουδών και τα σχολικά εγχειρίδια των μαθηματικών στο δημοτικό σχολείο τονίζουν την ανάγκη για την ανάπτυξη της αίσθησης του αριθμού στα παιδιά. Ο όρος αίσθηση του αριθμού ως έννοια είναι δύσκολο να οριστεί σε στενό, αλλά περιλαμβάνει ευρύτερα ένα σύνολο ιδεών, με βασικό στοιχείο την ικανότητα διερεύνησης και ερμηνείας αριθμών και πράξεων, χωρίς την εκτέλεση των τυποποιημένων αλγόριθμων (Κολέζα, 2009, σελ. 255). Πολλοί ερευνητές ορίζουν την αίσθηση του αριθμού με αναφορές κυρίως στην κατανόηση των αριθμών και των αριθμητικών σχέσεων καθώς και τις διάφορες χρήσεις και ερμηνείες τους. Για παράδειγμα, οι Reys και Yang (1998) θεωρούν ότι η ικανότητα εκτίμησης του αποτελέσματος ενός υπολογισμού και η προσέγγιση αριθμητικών υπολογισμών στη βάση της λογικής αποτελούν στοιχεία της αίσθησης του αριθμού. Ο Howden (1989) συνδέει την κατανόηση των αριθμών και των μεταξύ τους σχέσεων με την εξερεύνηση των αριθμών σε διαφορετικά πλαίσια επιτρέποντας έτσι σε όσους έχουν αναπτύξει την αίσθηση του αριθμού να συνδέουν τους αριθμούς με τρόπους που υπερβαίνουν την ικανότητα αναπαραγωγής αλγοριθμικών διαδικασιών. Η πιο συστηματική ανάλυση της αίσθησης του αριθμού έγινε από τους McIntosh, Reys και Reys (1992) οι οποίοι αναφέρθηκαν στην τάση και την ικανότητα του ατόμου να χρησιμοποιεί τους αριθμούς και τις ποσοτικές μεθόδους ως έναν τρόπο επικοινωνίας, και συνάμα επεξεργασίας και ερμηνείας των πληροφοριών. Επιπρόσθετα, οι McIntosh et al. τονίζουν ότι τόσο οι νοεροί όσο και οι κατ εκτίμηση υπολογισμοί συνεπικουρούν στην ανάπτυξη της αίσθησης του αριθμού. Σε τέσσερα κύρια χαρακτηριστικά γνωρίσματα των ατόμων που έχουν αποκτήσει καλή αίσθηση του αριθμού εστιάζουν οι ερευνητές (McIntosh et al, 1992. Reys & Yang, 1998) που ασχολούνται με την περιγραφή της αίσθησης του αριθμού, οι οποίοι επισημαίνουν και τη μεταγνωστική διάσταση αυτών των χαρακτηριστικών. Αυτά είναι: α) Αναγνώριση του σχετικού μεγέθους των αριθμών. Για παράδειγμα, προκειμένου να πραγματοποιηθεί η σύγκριση δύο κλασμάτων, δεν απαιτείται η εφαρμογή του γραπτού αλγόριθμου αλλά μπορεί να ενεργοποιηθεί άλλη στρατηγική, όπως η στρατηγική του ίδιου αριθμητή (π.χ., ανάμεσα στα κλάσματα 30/31 και 36/37, μικρότερο είναι το 30/31,
γιατί υπολείπονται 1/31 και 1/37, αντίστοιχα, για να ισοδυναμούν τα κλάσματα με τη μονάδα, και το 1/31 είναι περισσότερο από το 1/37). β) Κατανόηση των πολλαπλών τρόπων αναπαράστασης των αριθμών και των πράξεων. Για παράδειγμα, για τον αριθμό 25, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τις ισοδύναμες εκφράσεις 20+5, 30-5, 2Χ10+5, 50:2, κλπ. γ) Λογική κρίση των κατ εκτίμηση υπολογισμών. Το γνώρισμα αυτό αναφέρεται στην ικανότητα να αντιμετωπίζουμε τους αριθμούς με τέτοιο τρόπο που μας επιτρέπει να ελέγχουμε και να κρίνουμε τη λογικότητα των αριθμητικών αποτελεσμάτων χωρίς τη χρήση τυποποιημένων μεθόδων. Τέλος, δ) Σχετική επίδραση των πράξεων στους αριθμούς. Για παράδειγμα, στη διαίρεση 29:0,8 το αποτέλεσμα θα είναι μεγαλύτερο από αυτό που προκύπτει από τον πολλαπλασιασμό 29Χ0,8, γεγονός που ανατρέπει την άποψη ότι ο πολλαπλασιασμός οδηγεί σε μεγάλους αριθμούς και η διαίρεση σε μικρούς. Η διδασκαλία για την ανάπτυξη της αίσθησης του αριθμού προτείνεται να γίνεται ήδη από τις πρώτες τάξεις του δημοτικού σχολείου (McIntosh et al, 1992), σε μακρά περίοδο χρόνου και να διαπερνά πολλές πτυχές του αναλυτικού προγράμματος των μαθηματικών. Εξαιτίας της σύνθετης και πολυδιάστατης φύσης της, η ανάπτυξη της αίσθησης του αριθμού είναι αποτέλεσμα ενός συνόλου μαθηματικών δραστηριοτήτων και σε καμία περίπτωση δεν μπορεί να διδάσκεται αποσπασματικά σε ειδικά σχεδιασμένες ενότητες. Τη σημασία της έγκαιρης διδασκαλίας στα παιδιά τόνισε η Aunio (2006), ο οποίος βρήκε πως Κινέζοι μαθητές ηλικίας από 4 έως 7,5 ετών παρουσίασαν πιο ανεπτυγμένη την αίσθηση του αριθμού σε σχέση με συνομήλικούς τους Φιλανδούς μαθητές. Οι διαφορές που εντοπίστηκαν εξηγούνται, σύμφωνα με την Aunio, ως αποτέλεσμα των διαφορών στο εκπαιδευτικό σύστημα των δύο χωρών. Η αίσθηση του αριθμού αναπτύσσεται βαθμιαία και, ενώ εμφανίζεται ήδη σε παιδιά νηπιαγωγείου (Jordan, Glutting, Dyson, Hassinger-Das & Irwin, 2012), είναι περισσότερο ανεπτυγμένη σε παιδιά μεγαλύτερης ηλικίας. Για παράδειγμα, ικανοποιητικά αποτελέσματα αναφορικά με την ικανότητα αίσθησης του αριθμού αναφέρουν οι Yang, Li και Lin (2007) οι οποίοι εξέτασαν τα τέσσερα κύρια χαρακτηριστικά της αίσθησης του αριθμού σε παιδιά Ε τάξης στην Ταϊβάν. Συγκεκριμένα, βρήκαν ότι τα προβλήματα που αφορούσαν το σχετικό μέγεθος των αριθμών ήταν αυτά στα οποία τα παιδιά είχαν την καλύτερη επίδοση, ενώ στα προβλήματα λογικής κρίσης την χειρότερη. Επιπρόσθετα, βρήκαν υψηλή συσχέτιση ανάμεσα στην γενική μαθηματική επίδοση των παιδιών και την ανάπτυξη της αίσθησης του αριθμού, αναδεικνύοντας έτσι την
ισχυρή αλληλεπίδραση των δύο αυτών παραγόντων. Το τελευταίο αυτό στοιχείο φαίνεται να συμφωνεί με άλλα ευρήματα που δείχνουν ότι η βαθιά και ευέλικτη κατανόηση των αριθμών αφενός μπορεί να υποστηρίξει τη γενικότερη μαθηματική ανάπτυξη και αφετέρου η έλλειψή της να την εμποδίσει (Berch, 2005. McIntosh et al, 1992). Ιδιαίτερα ανασταλτικό ρόλο στην ανάπτυξη εναλλακτικών τρόπων σκέψης και χειρισμού των αριθμών διαδραματίζει η στήριξη των παιδιών σε κανόνες και τυπικούς αλγόριθμους. Ο Alsawaie (2011), για παράδειγμα, βρήκε ότι ακόμα και άριστοι μαθητές της Στ τάξης κατέφευγαν πολύ συχνά σε γραπτούς υπολογισμούς και κανόνες εμφανίζοντας ελλιπή αίσθηση του αριθμού. Παρόμοια, οι Λεμονίδης και Καϊάφα (2014) περιγράφουν το μικρό ρεπερτόριο των παιδιών Ε και Στ τάξης για νοερές στρατηγικές υπολογισμού με ρητούς αριθμούς. Σκοπός της παρούσας εργασίας είναι να εξετάσει τις επιδόσεις και τις στρατηγικές των παιδιών Ε και Στ τάξης σε έργα αίσθησης του αριθμού. Συγκεκριμένα, μελετώνται τα τέσσερα χαρακτηριστικά γνωρίσματα της αίσθησης του αριθμού, όπως καταγράφονται στη διεθνή βιβλιογραφία, καθώς και ο ρόλος του πλαισίου στην ανάπτυξη της αίσθησης του αριθμού. θοδολογία Συμμετέχοντες. Στην έρευνα συμμετείχαν συνολικά 100 μαθητές και μαθήτριες, που προέρχονταν ισάριθμα από την Ε τάξη (Μ.Ο. ηλικίας: 10 χρόνια και 5 μήνες) και Στ τάξη (Μ.Ο. ηλικίας: 11 χρόνια και 6 μήνες). Οι συμμετέχοντες φοιτούσαν σε δημόσια δημοτικά σχολεία της Θεσσαλονίκης και κάλυπταν ένα ευρύ φάσμα μορφωτικών και κοινωνικο-οικονομικών επιπέδων. Η επιλογή τους έγινε με τη μέθοδο της τυχαίας δειγματοληψίας. Οι συμμετέχοντες δεν είχαν δεχθεί εξειδικευμένη διδασκαλία σχετικά με την αίσθηση του αριθμού. Σχεδιασμός Εργαλείο μέτρησης. Σχεδιάστηκαν τέσσερα έργα, καθένα από τα οποία αφορούσε επιμέρους κατηγορίες προβλημάτων υπολογιστικής εκτίμησης, που ευρύτερα αναφέρονται σε διαφορετικά στοιχεία της αίσθησης του αριθμού. Το Έργο 1 Σχετικό μέγεθος των αριθμών εξέταζε την ικανότητα αναγνώρισης των αριθμών στην αριθμητική ακολουθία καθώς και των μεταξύ τους σχέσεων (π.χ., να κάνεις υπολογισμούς με χαρτί και μολύβι, μπορείς να βρεις ποιο κλάσμα από τα δύο κλάσματα είναι πιο κοντά στο 1: α) το 3/4 β) το 7/8). Το Έργο 2 Πολλαπλές αναπαραστάσεις αριθμών και πράξεων αφορούσε την αναγνώριση των διαφορετικών τρόπων αναπαράστασης αριθμών και
πράξεων και τη συσχέτισή τους (π.χ., να κάνεις υπολογισμούς με χαρτί και μολύβι, μπορείς να κάνεις την παρακάτω ισότητα να ισχύει; 254+28=220+28). Η ικανότητα πραγματοποίησης κατ εκτίμηση υπολογισμών και ο έλεγχος της λογικότητάς τους εξετάστηκε στο Έργο 3 Λογικότητα των εκτιμήσεων (π.χ., να κάνεις υπολογισμούς με χαρτί και μολύβι, μπορείς να εκτιμήσεις πόσο περίπου κάνει 980+812+176;). Τέλος, η αναγνώριση της σχετικής επίδρασης των πράξεων στους αριθμούς εξετάστηκε στο Έργο 4 Αριθμητικές πράξεις (π.χ., να κάνεις υπολογισμούς με χαρτί και μολύβι, μπορείς να εκτιμήσεις αν το άθροισμα 251+339 είναι μικρότερο ή μεγαλύτερο από 500;). Σε κάθε έργο υπήρχαν δύο δοκιμασίες χωρίς όπως αυτά στα παραδείγματα- και δύο με προερχόμενο από την καθημερινή ζωή (π.χ., Ας υποθέσουμε ότι κάνεις πράξεις με ένα κομπιουτεράκι του οποίου έχει χαλάσει το πλήκτρο 4. Πώς θα κάνεις την πράξη 24Χ25 με το κομπιουτεράκι αυτό; πρόβλημα πολλαπλών αναπαραστάσεων αριθμών και πράξεων με ). Στους μισούς συμμετέχοντες παρουσιάστηκαν πρώτα οι δοκιμασίες με και μετά αυτές χωρίς, ενώ στους άλλους μισούς ακολουθήθηκε η αντίστροφη διαδικασία. Αυτό έγινε για να αποφευχθεί η πιθανότητα η σειρά παρουσίασης των δοκιμασιών με και χωρίς να επηρεάσει την επίδοση των συμμετεχόντων. Σε όλα τα έργα οι συμμετέχοντες αφενός προτρέπονταν να αποφύγουν υπολογισμούς με ακρίβεια και ενθαρρύνονταν στην αναζήτηση εναλλακτικών τρόπων επίλυσης και αφετέρου καλούνταν να αιτιολογήσουν τις απαντήσεις τους. Ο δείκτης αξιοπιστίας cronbach s alpha εκτιμήθηκε στο 0,894. Διαδικασία. Τα παιδιά εξετάστηκαν ατομικά σε ήσυχο χώρο του σχολείου τους. Η συμμετοχή τους ήταν ανώνυμη και προαιρετική. Η διαδικασία διήρκεσε περίπου 20 λεπτά. Αποτελέσματα α. Γενική επίδοση. Προκειμένου να διερευνηθούν οι διαφορές ανάμεσα στις δοκιμασίες που χρησιμοποιήθηκαν, πραγματοποιήθηκε μία ανάλυση διακύμανσης με το είδος του έργου (τέσσερα έργα), τη σειρά παρουσίασης των δοκιμασιών (πρώτα αυτές με και μετά αυτές χωρίς και το αντίστροφο) και την παρουσία πλαισίου (δοκιμασίες με και χωρίς ) ως ενδοϋποκειμενικούς παράγοντες και την ηλικία ως παράγοντα μεταξύ των υποκειμένων. Η κύρια επίδραση του παράγοντα ηλικία ανέδειξε στατιστικά σημαντικές ηλικιακές διαφορές (F(1, 98) = 7,148, p<.05), με τα παιδιά της Στ τάξης να έχουν καλύτερες επιδόσεις από αυτά της Ε τάξης (γενική επίδοση: 67% και 53%,
αντίστοιχα). Στατιστικά σημαντικές διαφορές βρέθηκαν, επίσης, στον αριθμό των σωστών απαντήσεων των συμμετεχόντων ως προς το είδος των έργων (F(3, 294) = 18,090, p<.001): τα προβλήματα αριθμητικών πράξεων του τέταρτου έργου (ποσοστό επιτυχίας 68,7%) και λογικής κρίσης του τρίτου έργου (ποσοστό επιτυχίας 67,3%) ήταν πιο εύκολα από τα προβλήματα των άλλων έργων, ενώ τα προβλήματα του σχετικού μεγέθους των αριθμών του πρώτου έργου (ποσοστό επιτυχίας 48,7%) ήταν τα πιο δύσκολα. Η επίδραση του είδους των έργων ήταν ίδια για τους συμμετέχοντες και των δύο τάξεων (F(3,294) = 2,635, p=.120), με το έργο του σχετικού μεγέθους των αριθμών να αποτελεί το πιο δύσκολο και για τις δύο ηλικιακές ομάδες. Τα στοιχεία αυτά παρουσιάζονται αναλυτικά στο Σχήμα 1 που ακολουθεί. 100 80 60 40 20 0 66,6 56 41,3 41,3 Σχετικό μέγεθος αριθμών Πολλαπλές αναπαραστάσεις Ε' τάξη 72 73,3 62,6 64 Λογική κρίση Στ' τάξη Αριθμητικές πράξεις Σχήμα 1: Ποσοστό σωστών απαντήσεων των παιδιών ως προς το είδος των έργων και την τάξη Η σειρά παρουσίασης των δοκιμασιών με και χωρίς δεν βρέθηκε να επηρεάζει τις επιδόσεις των συμμετεχόντων (F(1, 98) =,060, p=.807). Η ύπαρξη πλαισίου επηρέασε τους συμμετέχοντες (F(1, 98) = 3,415, p<.01), οι οποίοι παρουσίασαν γενικά στατιστικά σημαντικά καλύτερες επιδόσεις στις δοκιμασίες που δεν συνοδεύονταν από σε σχέση με αυτές που συνοδεύονταν από. Όταν η παρουσία πλαισίου εξετάστηκε για κάθε τάξη ξεχωριστά, βρέθηκε στατιστικά σημαντική διαφορά στις επιδόσεις των παιδιών της Ε τάξης (t=-2,529, df=49, p<.05) τα οποία εμφάνισαν καλύτερες επιδόσεις στις δοκιμασίες χωρίς, αλλά δεν βρέθηκαν στις επιδόσεις των παιδιών της Στ τάξης (t=-1,823, df=49, p=.081) τα οποία παρουσίασαν παρόμοια επίδοση στις δοκιμασίες
με και χωρίς. Τέλος, οι συμμετέχοντες παρουσίασαν στατιστικά σημαντικά καλύτερη επίδοση στα προβλήματα σχετικού μεγέθους και πολλαπλών αναπαραστάσεων χωρίς σε σύγκριση με τα αντίστοιχα με (t=5,715, df=99, p<.001 και t=2,447, df=99, p<.05). Το αντίθετο, ωστόσο, ίσχυε για τα προβλήματα των αριθμητικών πράξεων (t=-2,087, df=99, p<.05), ενώ δεν βρέθηκε διαφοροποίηση ως προς το στα προβλήματα λογικής κρίσης (t=-,461, df=99, p=.647). Το Σχήμα 2 παρουσιάζει τα παραπάνω στοιχεία. 100 80 60 40 20 0 62 61 22 Σχετικό μέγεθος αριθμών 40 Πολλαπλές αναπαραστάσεις 66 70 64 Λογική κρίση 78 Αριθμητικές πράξεις Σχήμα 2: Ποσοστό σωστών απαντήσεων των παιδιών ως προς το είδος των έργων και την παρουσία πλαισίου β. Στρατηγικές των παιδιών. Από όλα τα παιδιά ζητήθηκε να αιτιολογήσουν την απάντησή τους, ανεξάρτητα από το αν είχαν απαντήσει σωστά ή λανθασμένα. Οι αιτιολογήσεις των παιδιών αναδείκνυαν τις στρατηγικές επίλυσης που χρησιμοποίησαν και ταξινομήθηκαν σε τέσσερις κατηγορίες: α) χωρίς εξήγηση (απαντήσεις στις οποίες δεν δόθηκαν επεξηγήσεις), β) ασαφής εξήγηση (απαντήσεις που δεν παρουσιάζουν με λογικό και σαφή τρόπο την πορεία επίλυσης), γ) εφαρμογή κανόνα (διαδικαστικές στρατηγικές που στηρίζονται στην εφαρμογή απομνημονευμένου κανόνα και οδηγούν σε αποτέλεσμα τυποποιημένης αλγοριθμικής πράξης), και δ) αίσθηση του αριθμού (εννοιολογικές στρατηγικές που δείχνουν ευελιξία και άνεση στο χειρισμό και την ερμηνεία αριθμών και πράξεων, όπως νοερές αναπαραστάσεις, κατ εκτίμηση υπολογισμοί, στρογγυλοποιήσεις, χρήση σημείων αναφοράς). Η συχνότητα χρήσης κάποιων στρατηγικών από τα παιδιά διαφοροποιείται ανάλογα με τα είδη των έργων και την παρουσία πλαισίου
και στις δύο ηλικιακές ομάδες (βλ. Πίνακες 1 και 2). Πιο συγκεκριμένα, τα παιδιά χρησιμοποιούν τις στρατηγικές 1 και 2 ( χωρίς εξήγηση και ασαφή εξήγηση ) με παρόμοια συχνότητα και στα τέσσερα έργα. Αντίθετα, η χρήση της στρατηγικής 3 διαφέρει στατιστικά σημαντικά ανάμεσα στο έργο των πολλαπλών αναπαραστάσεων και τα άλλα έργα: η εφαρμογή κανόνα δεν ευνοήθηκε, δηλαδή, στα προβλήματα πολλαπλών αναπαραστάσεων, όπου τα παιδιά κυρίως ανέδειξαν στρατηγικές της αίσθησης του αριθμού, όπως συνέβη στα προβλήματα σχετικού μεγέθους αριθμών (p<.05), στα προβλήματα λογικής κρίσης (p<.001) και τα προβλήματα των αριθμητικών πράξεων (p<.05). Ωστόσο, γενικά υψηλή είναι η συχνότητα χρήσης των νοερών στρατηγικών επίλυσης (στρατηγική 4) για όλα τα έργα. Τέλος, το γεγονός ότι αρκετά παιδιά δεν έδωσαν εξηγήσεις ή οι εξηγήσεις τους ήταν ασαφείς (οι ασαφείς εξηγήσεις κυμαίνονται από 4% έως και 60%, ιδιαίτερα υψηλά στα προβλήματα σχετικού μεγέθους αριθμών) δείχνει τη δυσκολία τους να αιτιολογήσουν τον τρόπο επίλυσης. Δεν εντοπίστηκαν ηλικιακές διαφορές στη χρήση των στρατηγικών (F(1,99)=,934, p=.496), γεγονός που δείχνει ότι τα παιδιά και των δύο τάξεων χρησιμοποιούσαν τις στρατηγικές με παρόμοια συχνότητα. Ωστόσο, εντοπίστηκαν στατιστικά σημαντικές διαφορές στη χρήση των στρατηγικών επίλυσης ως προς την παρουσία πλαισίου (F(1,99)=3,726, p<.01). Η παρουσία πλαισίου επηρέασε αρνητικά τη συχνότητα εμφάνισης των στρατηγικών της αίσθησης του αριθμού σε όλα τα έργα και για όλα τα παιδιά, ευνοώντας την εμφάνιση διαδικαστικών στρατηγικών. Στα προβλήματα χωρίς τα παιδιά φαίνεται να προτιμούν τη χρήση εννοιολογικών στρατηγικών σε όλα τα έργα, με εξαίρεση το έργο του σχετικού μεγέθους αριθμών. Το γεγονός αυτό δείχνει ότι το σίγουρα επηρέασε τη χρήση των στρατηγικών της αίσθησης του αριθμού, οι οποίες δεν φαίνεται να χρησιμοποιούνται συστηματικά από τα παιδιά. Συζήτηση - Συμπεράσματα Τα αποτελέσματα προηγούμενων ερευνών έδειξαν ότι η αίσθηση του αριθμού είναι περισσότερο ανεπτυγμένη σε μεγαλύτερους μαθητές (McIntosh et al., 1992. Aunio, 2006). Η παρούσα εργασία ενισχύει την αντίληψη αυτή και προσθέτει ότι οι μεγαλύτεροι μαθητές της Στ τάξης δεν φαίνεται να δυσκολεύονται μεμονωμένα σε κάποιο από τα χαρακτηριστικά της αίσθησης του αριθμού. Συγκεκριμένα, εμφανίζουν μικρές διαφοροποιήσεις στις επιδόσεις τους στα έργα, σε αντίθεση με τα παιδιά της Ε τάξης που δυσκολεύονται ιδιαίτερα πολύ στα προβλήματα σχετικού μεγέθους και πολλαπλών αναπαραστάσεων (ποσοστά επιτυχίας μικρότερα
εξήγηση Ασαφής εξήγηση Εφαρμογή κανόνα Αίσθηση αριθμού Σχετικό μέγεθος των αριθμών Πολλαπλές αναπαραστάσεις Λογική κρίση Αριθμητικές πράξεις 4-4 12 8 8 - - 60 60 40 24 40 24 4 12 28 20 24-52 12 36 12 8 20 32 64-56 60 76 Πίνακας 1: Ποσοστά των στρατηγικών των παιδιών της Ε τάξης ως προς το είδος των έργων και την παρουσία πλαισίου Στρατηγικές Στρατηγικές Σχετικό μέγεθος των αριθμών Πολλαπλές αναπαραστάσεις Λογική κρίση Αριθμητικές πράξεις 12-20 4 8 16 - - εξήγηση Ασαφής 44 28 16 8 20 12 4 - εξήγηση Εφαρμογή 20 36 28 16 68 16 40 24 κανόνα Αίσθηση 24 36 36 72 4 56 56 76 αριθμού Πίνακας 2: Ποσοστά των στρατηγικών των παιδιών της Στ τάξης ως προς το είδος των έργων και την παρουσία πλαισίου του 45%). Το εύρημα αυτό αναδεικνύει την ανάγκη για έγκαιρη και συστηματική διδασκαλία των χαρακτηριστικών της αίσθησης του αριθμού. Ένα δεύτερο σημαντικό στοιχείο που προκύπτει είναι το γεγονός ότι ο τρόπος παρουσίασης των προβλημάτων, δηλαδή με και χωρίς, φαίνεται να επηρεάζει την επίδοση των παιδιών της Ε τάξης. Συγκεκριμένα, η απουσία του πλαισίου ευνόησε τις επιδόσεις τους, ενώ δεν επηρέασε τις επιδόσεις των παιδιών της Στ τάξης. Η ανάλυση των στρατηγικών των παιδιών, ωστόσο, έδειξε ότι στα προβλήματα χωρίς τα παιδιά και των δύο ηλικιακών ομάδων χρησιμοποιούσαν πολύ
συχνά τις στρατηγικές της αίσθησης του αριθμού. Αντίθετα, στα προβλήματα με εφάρμοσαν κυρίως κανόνες ή δυσκολεύονταν να δώσουν σαφείς εξηγήσεις, ενδεχομένως γιατί η παρουσία του πλαισίου ενίσχυε τη χρήση αλγοριθμικών μεθόδων, δίνοντάς τους την αίσθηση της ασφάλειας που έχουν συνηθίσει με τα σχολικού τύπου προβλήματα. Απαραίτητα, η εμπλοκή των παιδιών σε έργα αίσθησης του αριθμού θα μπορούσε να είναι εφικτή και να αποτελέσει ευκαιρία για την ανάπτυξη της αίσθησης του αριθμού σε αυτά. Βιβλιογραφία Alsawaie, O.N. (2011). Number-sense based strategies used by highachieving sixth grade students who experienced reform textbooks. International Journal of Science and Mathematics Education, 10(5), 1071-1097. Aunio, P. (2006). Number sense in young children (inter)national group differences and an intervention programme for children with low and average performance. Research Report, Faculty of Behavioural Sciences, University of Helsinki. Berch, D.B. (2005). Making sense of number sense: Implications for children with mathematical disabilities. Journal of Learning Disabilities, 38(4), 333-339. Howden, H. (1989). Teaching number sense. Arithmetic Teacher, 36, 6-11. Jordan, N.C., Glutting, J., Dyson, N., Hassinger-Das, B., & Irwin, C. (2012). Building Kindergartners number sense: A randomized controlled study. Journal of Educational Psychology, 104(3), 647-660. Κολέζα, Ε. (2009). Θεωρία και πράξη στη διδασκαλία των μαθηματικών. Αθήνα: Τόπος. Λεμονίδης, Χ., & Καϊάφα, Ι. (2014). Κατανόηση και ευελιξία των μαθητών Ε και Στ τάξης στους υπολογισμούς με ρητούς αριθμούς. Στα Πρακτικά του 5 ου Συνεδρίου της Ένωσης Ερευνητών Διδακτικής των Μαθηματικών. McIntosh, A., Reys, B., & Reys, R. (1992). A proposed framework for examining basic number sense. For the Learning of Mathematics, 12, 2-8. Reys, R.,E., & Yang, D.C. (1998). Relationship between computational performance and number sense among sixth- and eighth- grade students in Taiwan. Journal for Research in Mathematics Education, 29(2), 225-237. Yang, D-C., Li, M-N., & Lin, C-I. (2007). A study of the performance of 5th graders in number sense and its relationship to achievement in mathematics. International Journal of Science and Mathematics Education, 6 (4), 789-807.