Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα ΔΙΑΛΕΞΗ 03 Νόμοι κίνησης του Νεύτωνα ΦΥΣ102 1
Δύναμη είναι: Η αιτία που προκαλεί μεταβολή της κινητικής κατάστασης ή της γεωμετρίας (παραμόρφωση) των σωμάτων. Διανυσματικό μέγεθος, ο συνδυασμός των δυνάμεων γίνεται με διανυσματική πρόσθεση, η οποία εκτελείτε με την χρήση των συνιστωσών. Συμβολίζεται με F. Η μονάδα μέτρησης του μέτρου της δύναμης στο S.I. είναι το newton και συμβολίζεται με N. Ο ορισμός του newton είναι ο εξής: Ν = Kg m/s 2 «Ένα newton είναι η δύναμη που δίνει επιτάχυνση ένα μέτρο ανά δευτερόλεπτο στο τετράγωνο σε ένα σώμα ενός χιλιόγραμμου.» Όργανο μέτρησης είναι το δυναμόμετρο, ζυγός με ελατήριο. ΦΥΣ102 2
Η δύναμη δεν είναι άμεσα αντιληπτό ή άμεσα μετρήσιμο Μέγεθος, είναι όμως τα αποτελέσματά της (επιτάχυνση, παραμόρφωση). Μπορεί να ασκείται δύναμη επί του κουτιού επειδή (a) έλκεται (b) σπρώχνεται. Η κάθε περίπτωση διευκρινίζεται με ένα διάγραμμα δύναμης. ΦΥΣ102 3
Η μέση και στιγμιαία ταχύτητα ενός σώματος Η ταχύτητα εκφράζει πόσο διάστημα διανύει στη μονάδα του χρόνου. Ως μέση ταχύτητα (v) ενός σώματος ορίζεται το πηλίκο: v μ = d t όπου d είναι η απόσταση που διανύθηκε και t το χρονικό διάστημα που χρειάστηκε για τη μετατόπιση. Ως φορά της ταχύτητας ορίζεται η φορά της μετατόπισης του σώματος. Έχει μονάδες μέτρησης στο S.I.: m s. Η στιγμιαία ταχύτητα θεωρείται ως η ταχύτητα ενός σώματος σε μια δεδομένη χρονική στιγμή. Ορίζεται ως το όριο: Δ x d x v = lim = Δt 0 Δt dt Όπου x t είναι διάνυσμα θέσης του σημείου την χρονική στιγμή t. Καθώς το χρονικό διάστημα τείνει στο μηδέν, η ταχύτητα τείνει σε μια τιμή που ορίζεται ως η στιγμιαία ταχύτητα κατά τη χρονική στιγμή t. Εξ ορισμού, η στιγμιαία ταχύτητα είναι η παράγωγός της θέσης ως προς τον χρόνο. ΦΥΣ102 4
Τι είναι η επιτάχυνση ενός σώματος; Η επιτάχυνση ενός σώματος ορίζεται ως ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας του σώματος και η στιγμιαία επιτάχυνση ορίζεται: d v α = dt = d2 x dt 2 η πρώτη παράγωγός του διανύσματος της ταχύτητας ή ισοδύναμα η δεύτερη παράγωγός της θέσης του υλικού σημείου ως προς τον χρόνο. Στο σύστημα μονάδων S.I., η μονάδα μέτρησης της επιτάχυνσης είναι m s 2. Επιτάχυνση της βαρύτητας είναι η επιτάχυνση που αποκτάει ένα σώμα όταν βρεθεί μέσα στο βαρυτικό πεδίο της Γης. Συμβολίζεται με το γράμμα g. Είναι μέγεθος διανυσματικό όπως ακριβώς και η επιτάχυνση. Η τιμή της δεν εξαρτάται από το βάρος του σώματος και έχει τιμή περίπου 9,81 m s 2 στην επιφάνεια της Γης. ΦΥΣ102 5
Τι είναι η μάζα ενός σώματος; Η μάζα (m) είναι µονάδα µέτρησης της αδράνειας ενός αντικειµένου που εκφράζει την «ποσότητα» του αντικειµένου. Στο σύστηµα S.I., η µονάδα µάζας είναι το χιλιόγραµµο (kg). Η Μάζα δεν είναι Βάρος. Η μάζα είναι ιδιότητα του αντικειμένου, διαιρώντας την με τον όγκο (V) του αντικειμένου μπορούμε να βρούμε την πυκνότητα του: ρ = m V. Το βάρος (w) είναι η δύναµη που ασκείται πάνω στο αντικείμενο λόγω βαρύτητας ορίζεται ως το γινόμενο: w = mg. Στο Φεγγάρι όπου η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι 1/6 g, η µάζα παραµένει ίδια αλλά το βάρος µας µειώνεται κατά 1/6 σε σχέση µε τη Γη. ΦΥΣ102 6
Επαλληλία και μέτρο Δυνάμεων Όταν δύο δυνάμεις F 1 και F 2 δρουν σε ένα σημείο ενός σώματος, το αποτέλεσμα τους είναι το ίδιο αν στην θέση των δυο δυνάμεων τοποθετήσουμε την συνισταμένη τους δύναμη F. H συνισταμένη δύναμη αποτελεί το διανυσματικό άθροισμα τους: F = F 1 + F 2 Αυτή η αρχή ονομάζεται επαλληλία δυνάμεων. Οποιαδήποτε δύναμη μπορεί να αντισταθεί με τις συνιστώσες της, οι οποίες ασκούνται στο ίδιο σημείο. F = F x i + F y j F x = Fcosφ F y = Fsinφ tanφ = F y F x F = F = F x 2 + F y 2 ΦΥΣ102 7
Για ευκολία ας θεωρήσουμε τρεις δυνάμεις F 1, F 2, F 3, που σχηματίζουν με τον άξονα των x γνωστές γωνίες θ 1, θ 2, θ 3. Αναλύουμε κάθε δύναμη σε συνιστώσες στους άξονες x και y. α) Τρεις δυνάμεις σε διαφορετικές κατευθύνσεις. β) Αναλύουμε τις δυνάμεις στους άξονες που μας βολεύει. ΣF = ΣF 2 x + ΣF2 tanφ = ΣF y y ΣF x γ) Οι συνιστώσες της συνισταμένης δύναμης: ΣF x = F 1x - F 2x + F 3x ΣF y = F 1y + F 2y - F 3y ΦΥΣ102 8
Νόμοι του Νεύτωνα Πρώτος Νόμος του Νεύτωνα Κάθε σώμα παραμένει στην κατάσταση ηρεμίας ή κάποιας ευθύγραμμης ομαλής κίνησης (σταθερή ταχύτητα) αν δεν του ασκούνται καθόλου δυνάμεις ή του ασκούνται δυνάμεις με συνισταμένη μηδέν. Σ F = 0, το σώμα βρίσκεται σε κατάσταση ισορροπίας και επίσης πρέπει και κάθε συνιστώσα του Σ F να είναι μηδέν: ΣF y = 0, ΣF x = 0 Η ιδιότητα των σωμάτων να διατηρούν την ταχύτητα τους και να αντιδρούν σε κάθε μεταβολή της, καλείται αδράνεια. Έτσι, ο πρώτος νόμος του Νεύτωνα ονομάζεται επίσης και νόμος της αδράνειας. ΦΥΣ102 9
Με άλλα λόγια: κάθε αντικείµενο διατηρεί την κίνησή του (δηλ. ή παραµένει ακίνητο ή συνεχίζει να κινείται ευθύγραµµα µε σταθερή ταχύτητα) εφόσον δεν ασκείται πάνω του κάποια δύναµη. Γιατί οι επιβάτες ενός λεωφορείου «πέφτουν» µπροστά όταν ο οδηγός φρενάρει απότοµα; Ποια δύναμη ασκείται πάνω τους; Δεν ασκείται καµιά δύναµη και εποµένως οι επιβάτες σύµφωνα µε τον 1ο νόµο του Νεύτωνα προσπαθούν να διατηρήσουν την κίνησή τους. Ο 1ος Νόµος του Νεύτωνα ισχύει μόνο σε αδρανειακά συστήματα αναφοράς, δεν εφαρµόζεται σε όλα τα συστήµατα αναφοράς, π.χ. όταν το σύστηµα αναφοράς περιστρέφεται ή επιταχύνει. ΦΥΣ102 10
Δεύτερος Νόμος του Νεύτωνα Η συνισταμένη των δυνάμεων που δρουν σε ένα σώμα είναι ίση με το γινόμενο της μάζας του σώματος επί την επιτάχυνση που αποκτά το σώμα. Σ F = m a Συνήθως την πιο πάνω εξίσωση θα την χρησιμοποιούμε για κάθε συνιστώσα τις δύναμης και της αντίστοιχης επιτάχυνσης: ΣF x = ma x, ΣF y = ma y και ΣF z = ma z Η ορμή ( p) ενός σώματος ισούται με το γινόμενο: p = m v Σ F = m d v dt = d p dt Συνάγεται πως η μεταβολή της ορμής ενός σώματος με το χρόνο οφείλεται σε κάποια δύναμη. ΦΥΣ102 11
Αν ΣF = 0 τότε το σώμα θα παραμείνει σε ηρεμία ή θα κινείται ευθύγραμμα με σταθερή ταχύτητα. Έτσι, επίσημα ο δεύτερος νόμος του Νεύτωνα περιλαμβάνει και τον πρώτο νόμο, αλλά ο πρώτος νόμος έχει ένα βαθύτερο φυσικό περιεχόμενο - απαιτεί την ύπαρξη ενός αδρανειακού συστήματος αναφοράς. ΦΥΣ102 12
Τρίτος Νόμος του Νεύτωνα Όταν δύο σώματα Α και Β αλληλεπιδρούν και το σώμα Α ασκεί δύναμη στο Β, τότε και το σώμα Β ασκεί δύναμη στο Α ίσου μέτρου και αντίθετης κατεύθυνσης (δράση-αντίδραση). F Β = F Α Οι δυνάμεις που προκύπτουν από τις αλληλεπιδράσεις των σωμάτων δρουν σε ξεχωριστά σώματα και άρα δεν μπορούν να αλληλοεξουδετερωθούν. Μόνο οι δυνάμεις που δρουν στο ίδιο σώμα μπορούν να προστεθούν. ΦΥΣ102 13
Βάρος Η δύναµη της βαρύτητας και η κάθετη δύναµη Βάρος είναι η δύναµη που ασκείται πάνω σε ένα αντικείµενο λόγω βαρύτητας. Ένα σώµα για να παραµένει ακίνητο, πρέπει η συνολική δύναµη που ασκείται πάνω του να είναι µηδέν. Ποιες δυνάµεις για παράδειγμα ασκούνται πάνω σε ένα άγαλμα μάζας m που κάθεται πάνω σε ένα τραπέζι; Οι δυνάµεις είναι το βάρος του αγάλµατος και η κάθετη δύναµη, που είναι αντίθετη και ίση µε το βάρος αφού το άγαλµα παραµένει ακίνητο. Σ F = 0 w N = 0 mg N = 0 Επομένως και το τραπέζι ασκεί μία δύναμη ίση και αντίθετή με το βάρος του σώματος. ΦΥΣ102 14
Εφαρμογές Νόμων του Νεύτωνα Οι τρεις νόμοι του Νεύτωνα περιέχουν θεμελιώδες αρχές που τις χρειαζόμαστε στην επίλυση μεγάλης ποικιλίας προβλημάτων μηχανικής. Είναι απλοί στην δομή αλλά η διαδικασία εφαρμογής τους σε συγκεκριμένες περιπτώσεις είναι αρκετά δύσκολή. Όταν χρησιμοποιείτε τους νόμους του Νεύτωνα πρέπει να τους εφαρμόζετε για κάποιο συγκεκριμένο σώμα. Μετά θα πρέπει να προσδιορίσετε όλες τις δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα.!προσοχή να μη συγχίσετε τις δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα από τις δυνάμεις που ασκούνται από το σώμα επί κάποιου άλλου σώματος. ΜΟΝΟ οι δυνάμει που ασκούνται επί του σώματος περιλαμβάνονται στο Σ F. ΦΥΣ102 15
Στρατηγική επιλύσεις προβλημάτων Νόμοι του Νεύτωνα 1. Ορισμός συστήματος αναφοράς (θέση αρχής, θετικές φορές). Αν γνωρίζεται την κατεύθυνση της επιτάχυνσης αρκετές φορές είναι πρόσφορα να την καταγράφετε ως την θετική κατεύθυνση. 2. Συνέπεια με τα πρόσημα, ειδικότερα με τα πρόσημα των συνιστωσών των δυνάμεων. 3. Εφαρμογή των νόμων του Νεύτωνα σε ένα σώμα κάθε φορά. 4. Προσδιορισμός γνωστών αγνώστων μεγεθών. 5. Έλεγχος μονάδων μέτρησης. ΦΥΣ102 16
Ασκήσεις 1. Πόση είναι η µέση δύναµη που απαιτείται για να σταµατήσει στα 55 m ένα αυτοκίνητο 1500kg που κινείται µε ταχύτητα 100km/h ; 2. Πάνω σε ένα δέµα 10.0-kg ασκείτε δύναµη F = 40,0 N και µε κατεύθυνση 30. Βρείτε (α) την επιτάχυνση του δέµατος και (β) το µέγεθος της κάθετης δύναμης που ασκεί το τραπέζι στο κουτί. 3. Μία φοιτήτρια 65kg κατεβαίνει µε το ασανσέρ το οποίο στιγμιαία επιταχύνει µε 0,2 g. Κάθετε πάνω σε µια ζυγαριά που διαβάζει κιλά. (α) Κατά την επιτάχυνση πόσο είναι το βάρος της και ποια είναι η ένδειξη της ζυγαριάς; (β) Ποια είναι η ένδειξη της ζυγαριάς όταν το ασανσέρ κατεβαίνει µε σταθερή ταχύτητα 2m/s; 4. Ένα κουτί µάζας m τοποθετείται σε ένα επικλινές λείο επίπεδο που σχηματίζει γωνία θ µε την οριζόντιο διεύθυνση. (α) Βρείτε την κάθετη δύναμη στο κουτί (β) την επιτάχυνση (γ) Υπολογίστε (αριθμητική εφαρμογή) τα (α) και (β) για m = 10kg, θ = 30. ΦΥΣ102 17
5. Σε ένα σώμα μάζας 6,5kg το οποίο ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο, κάποια στιγμή t 0 =0, ασκούνται τρεις οριζόντις δυνάμεις με μέτρα F 1 =7Ν, F 2 =10 2 Ν και F 3 =5Ν, όπως στο σχήμα, όπου φ=45, ενώ για τη γωνία θ, ημθ=0,6 και συνθ=0,8. i) Να αναλύσετε τις δυνάμεις πάνω στους δύο κάθετους άξονες x και y του σχήματος. ii) Να βρείτε τη συνισταμένη των δυνάμεων σε κάθε άξονα. iii) Να βρεθεί η συνισταμένη των τριών δυνάμεων. iv) Να υπολογιστεί η ταχύτητα του σώματος τη στιγμή t=4s. ΦΥΣ102 18