ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 2012-2013 ιδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ ιδάσκων ε ί Συµβάσει Π. 407/80 v.koutras@fµe.aegean.gr Τηλ: 2271035457
ιαστήµατα Εµ ιστοσύνης Έστω ένας ληθυσµός ο ο οίος ακολουθεί κά οια κατανοµή µε συνάρτηση υκνότητας ιθανότητας f(x) και έστω ότι στον τύ ο της f(x) εµφανίζεται µια άγνωστη αράµετρος θ. Τοζητούµενοεδώείναιηεύρεσηενόςδιαστήµατος (θ 1, θ 2 )µέσαστοο οίοείναι ιθανό να βρίσκεται η αράµετρος θ Το διάστηµα αυτό ονοµάζεται διάστηµα εµ ιστοσύνης (δ.ε.) Η ιθανότητα να βρίσκεται η αράµετρος θ µέσα στο διάστηµα εµ ιστοσύνης, ονοµάζεται βαθµός εµ ιστοσύνης και συµβολίζεται µε 1-α ή διαφορετικά 100%(1-α) Pr(θ 1 <θ<θ 2 )=1-α
ιαστήµατα Εµ ιστοσύνης Οι ερι τώσεις ου ακολουθούν αναφέρονται στην κανονική κατανοµή αλλά µ ορούν να εφαρµοστούν κατά ροσέγγιση και σε µη-κανονικούς ληθυσµούς Υ οθέτουµε ότιµείναιηµέσητιµήτου ληθυσµούέστω X είναιηµέσητιµή του δείγµατος και αντίστοιχα σ 2 είναι η διασ ορά του ληθυσµού και S 2 διασ ορά του δείγµατος η ο οία υ ολογίζεται ως: µ άγνωστο S 2 = 1 n 1 n ( X i X) i= 1 2 µ γνωστό S 2 1 = n n ( X i µ ) i= 1 2
ιαστήµατα Εµ ιστοσύνης Οι ερι τώσεις ου ακολουθούν αναφέρονται στην κανονική κατανοµή αλλά µ ορούν να εφαρµοστούν κατά ροσέγγιση και σε µη-κανονικούς ληθυσµούς Υ οθέτουµε ότιµείναιηµέσητιµήτου ληθυσµούέστω X είναιηµέσητιµή του δείγµατος και αντίστοιχα σ 2 είναι η διασ ορά του ληθυσµού και S 2 διασ ορά του δείγµατος η ο οία υ ολογίζεται ως: µ άγνωστο S 2 = 1 n 1 n ( X i X) i= 1 2 µ γνωστό S 2 1 = n n ( X i µ ) i= 1 2
την µέση τιµή µ του ληθυσµού Ησηµειακήεκτίµησητηςµέσηςτιµής µµιαςτ.µ.xείναιηδειγµατικήµέσητιµή X ου είναι κι αµερόλη τη εκτιµήτρια της µ, δηλαδή µ = E( X ) = µ X Παρ όλο ου η εκτιµήτρια είναι διαφορετική α ό δείγµα σε δείγµα, ε ειδή η είναι συνε ής εκτιµήτρια όταν αυξάνεται το µέγεθος n του δείγµατος λησιάζει τηµέσητιµή µ. Η διασ ορά λοι όν της θα ρέ ει να εξαρτάται α ό το n. Πράγµατι έχουµε δείξει ότι σ = σ 2 X 2 n δηλαδή η διασ ορά της εκτιµήτριας είναι ανάλογη της διασ οράς σ 2 της X κι αντιστρόφως ανάλογη του αριθµού των αρατηρήσεων n. σ =σ Την τυ ική α όκλιση της θα την ονοµάζουµε σταθερό X σφάλµα(standard error), γιατί ορίζει το τυ ικό σφάλµα εκτίµησης της µ µε n X X
την µέση τιµή µ του ληθυσµού Έστω {x 1,x 2,,x n } ένα τ.δ. α ό έναν ληθυσµό. Το µέγεθος του δείγµατος είναι ίσο µε n. Η µέση τιµή του δείγµατος είναι ε ίσης ότι γνωρίζουµε το 1-α X και η διασ ορά του S 2. Έστω Τότε διακρίνουµε τις ακόλουθες ερι τώσεις: (Α) Γνωστή διασ ορά του ληθυσµού σ 2 Για την τυ ική κανονική κατανοµή µ ορούµε να ορίσουµε ένα διάστηµα [z α/2, z 1 α/2 ],στοο οίοθαανήκειηzµε κά οια δοθείσα ιθανότητα 1 α
την µέση τιµή µ του ληθυσµού Τα άκρα του διαστήµατος,z α/2 καιz 1 α/2, λέγονται κρίσιµες τιµές. Οι δείκτεςα/2 και 1 α/2 δηλώνουν τις τιµές της αθροιστικής συνάρτησης για z α/2 και z 1-α/2 αντίστοιχα, δηλαδή ισχύει Φ(z α/2 ) = P(z < z α/2 ) = α/2 Φ(z 1 α/2 ) = P(z < z 1 α/2 ) = 1 α/2 Αρα η ιθανότητα να είναι z < z α/2 και z > z 1 α/2 είναι α. Οι δύο σκιασµένες εριοχές στο σχήµα κατέχουν µαζί οσοστό α% του συνολικού εµβαδού του ολοκληρώµατος της συνάρτησης υκνότητας ιθανότητας
την µέση τιµή µ του ληθυσµού Αντίστοιχαη ιθανότητανασυµβαίνει z [z α/2, z 1 α/2 ]είναι 1 α. Γενικά λοι όν ισχύει Pr(z α/2 < z z 1 α/2 ) = Φ(z 1 α/2 ) Φ(z α/2 ) = 1 α Ε ειδή η συνάρτηση υκνότητας ιθανότητας της τυ ικής κανονικής κατανοµήςείναισυµµετρική ως ροςτο0ισχύει z α/2 = z 1 α/2 Άρα στην ουσία για να ορίσουµε το διάστηµα [z α/2, z 1 α/2 ] χρειαζόµαστε µία µόνο κρίσιµη τιµή Θέλουµε να µετασχηµατίσουµε το διάστηµα [z α/2, z 1 α/2 ] για ιθανότητα 1 α στο αντίστοιχο διάστηµα ου εριέχει την αράµετρο µ
την µέση τιµή µ του ληθυσµού Γιαυτόλύνουµε τιςσχέσεις x µ x µ z1 a = σ / n σ / n z a / 2 = / 2 ως ροςµκαιβρίσκουµε ταάκρατουδιαστήµατοςγιατηµέσητιµήµ ΠΡΟΣΟΧΗ!!!!!!!! σ σ x± z1 a / 2 x z1 a / 2 x+ z1 n n, a / 2, «µε ιθανότητα (εµ ιστοσύνη) 1 α η µέση τιµή µβρίσκεται µέσα σ αυτό το διάστηµα» σ n «αν χρησιµο οιούσαµε ολλά τέτοια διαστήµατα α ό διαφορετικά δείγµατα, οσοστό (1 α)% α ό αυτά θα εριείχαν τη µ»
την µέση τιµή µ του ληθυσµού
την µέση τιµή µ του ληθυσµού (Β) Άνωστή διασ ορά του ληθυσµού σ 2 και n 30
την µέση τιµή µ του ληθυσµού (Γ) Άνωστή διασ ορά του ληθυσµού σ 2 και n < 30 Αντοδείγµαείναιµικρό,τότεη ροσέγγισηδεν είναι καλή και το διάστηµα εµ ιστοσύνης µ ορεί να είναι αρκετά ανακριβές ακόµα και αν γνωρίζουµε ότι η τ.µ. Χ ακολουθεί κανονική κατανοµή. t a a n 1, n 1,1 2 2 t Για µικρό n και υ οθέτοντας ότι η τ.µ. Χ ακολουθεί κανονική κατανοµή, η τ.µ. t ου ορίζεται ως t x µ s n ~ t n 1 η ο οία µοιάζει µε την τυ ική κανονική κατανοµή και την ροσεγγίζει καθώς αυξάνει ο αριθµός των βαθµών ελευθερίας.
την µέση τιµή µ του ληθυσµού (Γ) Άνωστή διασ ορά του ληθυσµού σ 2 και n < 30
την µέση τιµή µ του ληθυσµού
Εύρος ιαστήµατος Εµ ιστοσύνης Πολλές φορές ριν να κάνουµε το είραµα και συλλέξουµε τις µετρήσεις ροκαθορίζουµε ένα συγκεκριµένο εύρος για το δ.ε. ή ζητάµε το εύρος του δ.ε. να µην ξε ερνάει κά οιο ανώτατο όριο για να έχουν νόηµα τα α οτελέσµατα Για να το ετύχουµε αυτό χωρίς να αλλάξουµε τη σηµαντικότητα των στατιστικών α οτελεσµάτων, βρίσκουµε το µέγεθος n του δείγµατος ου µας δίνειαυτότοεύροςτουδ.ε. Αυτό υ ολογίζεται θέτοντας το εύρος του δ.ε. ίσο µε την τιµή ου ζητάµε και λύνονταςτηνεξίσωσηως ροςτοn
Εύρος ιαστήµατος Εµ ιστοσύνης Για αράδειγµα, ας υ οθέσουµε ως το δείγµα είναι µικρό και η τ.µ. X ακολουθεί κανονική κατανοµή µε άγνωστη διασ ορά,( ερί τωση (Γ)) Τοεύροςτουδ.ε.είναι w = 2tn 1, 1 a / n 2 και λύνοντας ως ροςnβρίσκουµε ότι για να είναι το εύρος του δ.ε. ίσο µε w ρέ ει το δείγµα να έχει µέγεθος n s n 2 s = 2tn 1,1 a / 2 w Καιαντοnείναιµεγάλο s 2 w n = z1 a / 2 2
την διασ ορά σ 2 του ληθυσµού Θυµηθείτε ότι:
την διαφορά δύο µέσων µ 1 µ 2 (Α) Γνωστές διασ ορές Έχουµε α οδείξει ότι
την διαφορά δύο µέσων µ 1 µ 2 (Β) Άγνωστές διασ ορές και µεγάλο n
την διαφορά δύο µέσων µ 1 µ 2 (Γ) Άγνωστές διασ ορές και µικρό n
την διαφορά δύο µέσων µ 1 µ 2
Ασκήσεις 1. Ο ετήσιος µισθός (σε χιλιάδες $) µιας συγκεκριµένης βαθµίδας καθηγητών στα ανε ιστήµια µιας ολιτείας Α των ΗΠΑ µ ορεί να µοντελο οιηθεί α ό την κανονική κατανοµή. Θέλουµε να εκτιµήσουµε διάστηµα εµ ιστοσύνης σε ε ί εδο 95% για τη µέση τιµή σε χιλιάδες $ενός δείγµατος 25 καθηγητών α ό την ολιτεία Α. Υ οθέτουµε ότι α ό αλιότερες µετρήσεις γνωρίζουµε ότι η διασ ορά είναι σ 2 = 1 Πολιτεία Α 40.9 41.4 38.3 39.3 39.7 40.3 39.8 39.0 39.6 38.9 39.8 41.5 40.9 38.4 38.9 40.1 40.0 39.1 38.4 40.6 39.0 40.6 40.3 40.7 39.6
Ασκήσεις 2. Έστω ότι µε βάση τα δεδοµένα της ροηγούµενης άσκησης θέλουµε να υ ολογίσουµε το µέγεθος του δείγµατος α ό την ολιτεία Α ου ρέ ει να έχουµε έτσι ώστε το εύρος του διαστήµατος εµ ιστοσύνης για την µέση τιµή, να µην ξε ερνά το 0.5 3. Α ό τα δεδοµένα του ίνακα της Άσκησης 1 θέλουµε να εκτιµήσουµε διάστηµα εµ ιστοσύνης σε ε ί εδο 95% για την διασ ορά. 4. Ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε αν ο µέσος ετήσιος µισθός των καθηγητών της ίδιας βαθµίδας σε µια δεύτερη ολιτεία Β α ό την ο οία και έχουµε ένα δείγµα µεγέθους 20, είναι κατά µέσο όρο διαφορετικός α ό την αντίστοιχη µέση τιµή για την Α. Να εκτιµηθεί ένα δ.ε. για την διαφορά της µέσης τιµής των µισθών µεταξύ των δύο ολιτειών. Πολιτεία Β 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 41,6 41,0 40,5 40,8 39,7 42,1 40,5 42,2 40,7 41,3 39,0 39.7 41.6 39.8 41.0 40.0 40.3 39.1 39.1 41.4
Ασκήσεις 5. Ένας οικονοµικός ελεγκτής, ροκειµένου να εκτιµήσει τα έσοδα ενός καταστήµατος ήρε ένα τυχαίο δείγµα α ό τις εισ ράξεις 14 ηµερών οι ο οίες ήταν: 1350 1460 1675 980 1640 1285 1470 1535 1725 1750 1275 975 1185 1545 Υ οθέτουµε ότι οι καθηµερινές εισ ράξεις του καταστήµατος ακλουθούν την κανονική κατανοµή. (i) Να δώσετε ένα 95% διάστηµα εµ ιστοσύνης για τις µέσες εισ ράξεις (ii) Α ό µια ιλοτική µελέτη ο ελεγκτής εκτίµησε ότι η διασ ορά των ηµερήσιων εισ ράξεων είναι 220 2 =48400. Ποιο είναι το µέγεθος του δείγµατος ου ρέ ει να άρει, αν θέλει να εκτιµήσει την µέση ηµερήσια είσ ραξη µε ακρίβεια 100 και εµ ιστοσύνη 95%;
Ασκήσεις 6) Να κατασκευαστεί ένα δ.ε. µε ε ί εδο σηµαντικότητας 95% για την αράµετρο θ = 3µ +7 βάσει αρατηρηθέντος δείγµατος µε τιµές 8, 14 και 11, ό ου µ είναι η µέσητιµήµιαςκανονικήςκατανοµήςν(µ,σ 2 ) µεσ 2 άγνωστο. 7) Έστω µια αρατήρηση α ό την εκθετική κατανοµή µε µέση τιµή θ. Να υ ολογιστεί η σταθεράcέτσι ώστε το διάστηµα (0,cx) να είναι δ.ε. για τοθ µε ε.σ. 100(1-α)%. (θ>0).