ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΕΥΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Transcript

1 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΕΥΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Πρόσημο τριγωνομετρικών αριθμών Το ρόσημο των τριγωνομετρικών αριθμών μιας γωνίας (ή τόξου) καθ αό το τεταρτημόριο στο οοίο βρίσκεται η τελική λευρά της γωνίας (ή το τέλος του τόξου). Ο μνημονικός κανόνας ΟΗΕΣ δίνει τα ρόσημα των τριών τριγωνομετρικών αριθμών της γωνίας ω - του ημω του συνω και της εφω - ανάλογα με το τεταρτημόριο στο οοίο βρίσκεται η τελική λευρά της. Η σφω έχει το ίδιο ρόσημο με την εφω (ως αντίστροφος αριθμός της). Κάθε γράμμα της λέξης ΟΗΕΣ δηλώνει οιοι τριγωνομετρικοί αριθμοί είναι θετικοί. Οι υόλοιοι θα είναι αρνητικοί. Συγκεκριμένα: o o Στο ο τεταρτημόριο το Ο σημαίνει ότι Όλα είναι θετικά. Στο ο τεταρτημόριο το Η σημαίνει ότι το Ημίτονο είναι θετικό. Στο ο τεταρτημόριο το Ε σημαίνει ότι η Εφατομένη είναι θετική. Στο 4ο τεταρτημόριο το Σ σημαίνει ότι το Συνημίτονο είναι θετικό. o Η Ε Ο Σ 4o Τριγωνομετρικοί αριθμοί βασικών γωνιών ου είναι χρήσιμοι σε εφαρμογές Γωνία σε rad ή 6 Γωνία σε μοίρες ή ημ συν εφ σφ 4 Παρατήρηση: Η σειρά του ημιτόνου στον ίνακα για γωνίες αό έως ροκύτει αό το x μνημονικό τύο ημω = όου x = 4. Η σειρά του συνημιτόνου για τις ίδιες γωνίες ροκύτει αν αντιστρέψουμε τη σειρά του ημιτόνου. Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες ημ ω + συν ω = ή ημω εφω = συνω συν ω = ή + εφ ω ημ ω = συν ω ή συν ω = ημ ω συνω σφω = ημω εφω σφω = + εφ ω = συν ω

2 ημ ω εφ ω εφ ω ή + σφ ω = ημ ω Βασικές τριγωνομετρικές ανισότητες ημx ή ημx συνx ή συνx Σχέσεις τριγων. αριθμών με ειδικό άθροισμα ή διαφορά (αναγωγή στο ο τεταρτημόριο) Ο υολογισμός των τριγων. αριθμών οοιασδήοτε γωνίας μορεί να γίνει με τη βοήθεια των τριγων. αριθμών γωνιών αό μέχρι 9 (αναγωγή στο ο τεταρτημόριο). Γωνίες ου διαφέρουν κατά ακέραιο αριθμό κύκλων δηλαδή κατά κ (κ ) έχουν τους ίδιους τριγων. αριθμούς. Δηλαδή: ημ(κ + ω) = ημω συν(κ + ω) = συνω εφ(κ + ω) = εφω σφ(κ + ω) = σφω Οι αντίθετες γωνίες (δηλαδή γωνίες με άθροισμα ) έχουν το ίδιο συνημίτονο και αντίθετους τους άλλους τριγων. αριθμούς. Δηλαδή: ημ( ω) = ημω συν( ω) = συνω εφ( ω) = εφω σφ( ω) = σφω Οι αραληρωματικές γωνίες (δηλαδή γωνίες με άθροισμα ) έχουν το ίδιο ημίτονο και αντίθετους τους άλλους τριγων. αριθμούς. Δηλαδή: ημ( ω) = ημω συν( ω) = συνω εφ( ω) = εφω σφ( ω) = σφω Γωνίες με διαφορά έχουν την ίδια εφατομένη και συνεφατομένη ενώ έχουν αντίθετο ημίτονο και συνημίτονο. Δηλαδή: ημ(+ ω) = ημω συν(+ ω) = συνω εφ(+ ω) = εφω σφ(+ ω) = σφω Στις συμληρωματικές γωνίες (δηλαδή γωνίες με άθροισμα ) το ημίτονο της μιάς ισούται με το συνημίτονο της άλλης και η εφατομένη της μιάς με τη συνεφατομένη της άλλης. Δηλαδή: ημ συνω συν ημω εφ σφω σφ εφω Παρατήρηση: Για να θυμόμαστε τις ροηγούμενες σχέσεις μορούμε να εφαρμόζουμε τον εόμενο ρακτικό κανόνα. Όου εμφανίζεται το ή γενικότερα το (κ + ) ο τριγωνομετρικός αριθμός αλλάζει δηλαδή το ημ γίνεται συν και η εφ γίνεται σφ και το αντίστροφο. Ενώ όου εμφανίζεται το ή γενικότερα το κ δηλαδή το κ ο τριγωνομετρικός αριθμός μένει ίδιος. Το ρόσημο εξαρτάται αό το τεταρτημόριο όου βρίσκεται η τελική λευρά της γωνίας ου έχει μέτρο (κ + ) ± ω ή κ ± ω και ροκύτει αό τον κανόνα ΟΗΕΣ. Θεωρούμε ότι < ω < δηλαδή η γωνία ω είναι οξεία (βρίσκεται στο ο τεταρτημόριο) για να διευκολυνθούμε στη διατύωση του κανόνα. Όμως τα συμεράσματα ισχύουν για οοιαδήοτε γωνία. ) Για γωνίες με διαφορά ισχύουν οι σχέσεις: ημ + ω = συνω συν + ω = ημω ) Για γωνίες με διαφορά ισχύουν οι σχέσεις: εφ + ω = σφω σφ + ω = εφω ημ + ω = συνω συν + ω = ημω εφ + ω = σφω σφ + ω = εφω

3 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Το γεγονός ότι μία συνάρτηση είναι εριοδική μας ειτρέει να τη μελετήσουμε και να κάνουμε τη γραφική της αράσταση μόνο σε διάστημα λάτους Τ όου Τ η ερίοδος της συνάρτησης γιατί σε κάθε διάστημα λάτους Τ η γραφική αράσταση της συνάρτησης θα εαναλαμβάνεται η ίδια. Γενικά για να βρούμε την ερίοδο μιας συνάρτησης λύνουμε την εξίσωση f(x+t) = f(x) και υολογίζουμε το Τ ( Τ ) το οοίο ρέει να είναι ανεξάρτητο του x. Αν υάρχουν ολλά τέτοια Τ ειλέγουμε το μικρότερο θετικό. Πρέει βέβαια να ελέγξουμε αν x+t x-t ανήκουν στο εδίο ορισμού της f για κάθε x ου ανήκει σ αυτό. Οι συναρτήσεις ημx εφx και σφx είναι εριττές ενώ η συνx είναι άρτια (Βλ. τριγων. αριθμούς αντίθετων γωνιών) Μια συνάρτηση με εδίο ορισμού το Α θα είναι άρτια αν: (i) το Α είναι συμμετρικό ως ρος το (δηλαδή για κάθε x Aισχύει x A) και (ii) για κάθε x A ισχύει f(x) = f( x) ενώ θα είναι εριττή αν: (i) το Α είναι συμμετρικό ως ρος το και (ii) για κάθε x A ισχύει f( x) = f(x). Για τις συναρτήσεις f(x) = ρημωx και f(x) = ρσυνωx όου ρω έχουμε ότι: Το ρ καθορίζει τα ακρότατα της συνάρτησης f. Το ρ λέγεται λάτος της συνάρτησης. Η μέγιστη τιμή της συνάρτησης είναι ίση με ρ και η ελάχιστη τιμή της ίση με - ρ. Το ω καθορίζει την ερίοδο της συνάρτησης ου είναι ίση με Τ =. ω Οι συναρτήσεις της μορφής f(x) = ρεφωx και f(x) = ρσφωx όου ρω : Δεν έχουν ακρότατα (μέγιστο ή ελάχιστο) Είναι εριοδικές με ερίοδο ίση με Τ = ω ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Τριγωνομετρική εξίσωση ονομάζεται κάθε εξίσωση ου εριέχει τριγωνομετρικό αριθμό άγνωστης γωνίας. Οι βασικές τριγων. εξισώσεις (όου x άγνωστη γωνία και θ γνωστή γωνία) λύνονται αν εφαρμόσουμε τους αρακάτω τύους: x = κ + θ συνx = συνθ ή x = κ θ x = κ + θ ημx = ημθ ή x = κ + θ εφx = εφθ x = κ + θ σφx = σφθ x = κ + θ (κ ) Για να λύσουμε μια τριγων. εξίσωση ροσαθούμε με μετασχηματισμούς να καταλήξουμε σε μια βασική τριγων. εξίσωση. Για να συμβεί αυτό ρέει στα δύο μέλη να έχουμε τον ίδιο τριγων. αριθμό.

4 Το ρόσημο μροστά αό το ημίτονο ή την εφατομένη ααλείφεται με τη βοήθεια των αντίθετων γωνιών ενώ μροστά αό το συνημίτονο ααλείφεται με τη βοήθεια των αραληρωματικών γωνιών. ) ημx = ημx = ημ ημx = ημ 6 6 ) συνx = συνx = συν συνx = συν συνx = συν Οι τριγων. εξισώσεις ου βαθμού ανάγονται σε αλές εξισώσεις ου βαθμού με κατάλληλη αντικατάσταση (χρήση βοηθητικού αγνώστου). συν x+ συνx = ω + ω = (συνx = ω) Όταν έχουμε μια εξίσωση με διαφορετικούς τριγων. αριθμούς τη μετατρέουμε σε εξίσωση με τον ίδιο τριγων. αριθμό με τη βοήθεια συμληρωματικών γωνιών ή με τη βοήθεια γνωστών ταυτοτήτων. ) ημx = συν(x + ) ημx = ημ ( x + ) ημx = ημ x ) εφx 4 εφ x εφx 4 εφ x εφx συν x = + = = Αν υάρχει γωνία θ με ημθ = α (συνθ = α) τότε η εξίσωση είναι αδύνατη. ημx = αδύνατη γιατί ημx Στις εξισώσεις ου εμλέκονται εφx ή σφx ρέει να θέτουμε τους κατάλληλους εριορισμούς και να ελέγχουμε αν οι λύσεις είναι δεκτές ή όχι. Συγκεκριμένα: (i) H εφx όταν συνx δηλαδή όταν x κ + κ. (ii) H σφx όταν ημx δηλαδή όταν x κ κ. Όταν δίνεται διάστημα λύσης ρέει να ερι η αράμετρος κ ώστε οι λύσεις να βρίσκονται εντός του δεδομένου διαστήματος. Να λυθεί η εξίσωση εφx = στο διάστημα ( 4 ). εφx = x = κ + κ Z 4 5 Άρα x ( 4) < x< 4 < κ+ < 4 κ Z < κ < κ Z κ= Εομένως η λύση είναι x = + =. 4 4 Αλές τριγωνομετρικές εξισώσεις και διατύωση των λύσεων σε ενοοιημένη μορφή Ενοοιούμε τις δύο λύσεις ου ροκύτουν αό τους γενικούς τύους σε μία όταν αυτό είναι εφικτό.. x = κ x = κ ημx = ημx = ημ ή ή x = λ λ Z (*) x κ x = (κ + ) (*) Εειδή οι σχέσεις x = κ x = (κ + ) δίνουν τα άρτια ή τα εριττά ολλαλάσια του δηλαδή όλα τα ακέραια ολλαλάσια του γι αυτό συγχωνεύονται στη σχέση x = λ λ Z. Παρόμοιες

5 συγχωνεύσεις γίνονται και στις εξισώσεις ου ακολουθούν ροκειμένου να διατυωθούν οι λύσεις σε ενοοιημένη μορφή x = κ + x κ συνx = συνx = συν ή ή x = λ + λ Z x = κ x = (κ ) + x = κ + x κ ημx = ημx = ημ ή ή x = κ + κ Z x = κ + x = κ + x = κ συνx = συνx = συν ή x = κ κ Z x = κ x = κ x κ = 5. ημx = ημx = ημ ημx = ημ ή ή x = κ + x = κ + x = κ x κ = ή ή x = λ λ x = κ + x = ( κ + ) 6. x = κ + x = κ + συνx = συνx = συν ή ή x = λ + λ Z x κ = x = (κ )+ Παρατήρηση: Οι εξισώσεις ημx = και συνx = έχουν μόνο μία λύση σε διάστημα μιας εριόδου. Το ίδιο ισχύει και για τις εξισώσεις ημx = - και συνx = -.