ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

Transcript

1 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ), - ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤ Τα κάτωθι ροβλήµατα ροέρχονται αό την ύλη και των συγγραµµάτων της ΠΛΗ και είναι ενδεικτικά αυτών ου ρέει να γνωρίζετε για να αντιµετωίσετε τα θέµατα της Τελικής Εξέτασης Η ηµεροµηνία αράδοσης της Εργασίας είναι η η Ιουνίου (ΑΥΣΤΗΡΑ) Η συνολική βαθµολογία της Εργασίας είναι µονάδες, ενώ θα βαθµολογηθείτε µε άριστα το Εοµένως, δεν είναι τόσο σηµαντικό να αραδώσετε ΟΛΕΣ τις αρακάτω ασκήσεις λυµένες λήρως, όσο είναι να µορείτε να λύνετε αρόµοιες ασκήσεις στην Τελική Εξέταση ( 5 µον) Έστω Α ένας ραγµατικός ίνακας ου ικανοοιεί την εξίσωση Α Α Τ Ι, όου Ι ο µοναδιαίος ίνακας και Α Τ ο ανάστροφος του Α είξτε ότι ο Α είναι της µορφής Α 5 Ι Β, όου Β αντισυµµετρικός, και ότι στη γενική ερίτωση ο Α έχει µια ραγµατική και µιγαδικές ιδιοτιµές ΛΥΣΗ Έστω ο ίνακας A A A T I Αό την αραάνω ισότητα αλές ράξεις δίνουν για όλα τα i j ij ji

2 Άρα A I B όου B Για να βρεθούν οι ιδιτιµές λύνουµε det( A λ I) Αλές ράξεις θα µας δώσουν λ και λ, ± i ηλαδή µία ραγµατική και δύο µιγαδικές ιδιτιµές Έστω V ο διανυσµατικός χώρος των ολυωνύµων µε βαθµό µικρότερο ή ίσο του µε ραγµατικους συντελεστες ου αράγεται αό τα µονώνυµα, και (α) ( µον) Nα δείξετε ότι η αεικόνιση <, > : V V R µε ορίζει ένα εσωτερικό γινόµενο στον V < f ( ), ) > f ( ) ) d (β) (5 µον) είξτε είσης ότι τα, και δεν αοτελούν ορθογώνια βάση για τον V και χρησιµοοιείστε τα µαζί µε το Θεώρηµα, σελ 78 του ου συγγράµµατος για να βρείτε µια ορθοκανονική βάση για τον διανυσµατικό χώρο V ΛΥΣΗ α) Θα ρέει να ικανοοιούνται οι ιδιότητες του εσωτερικού γινοµένου ηλαδή: Ι) f ( ), ) f ( ) ) d f ( ) ) d ), f ( ) ΙΙ) κ f ( ) λ ), ) ( κf ( ) λ )) ) d κ f ( ) ) d λ ) ) d κ f ( ), ) λ ), ) III) f ( ), f ( ) f ( ) d IV) f ( ), f ( ) f ( ) d f ( ) β) Είναι ροφανές ότι τα,, δεν αοτελούν ορθοκανονική βάση για τον V αφού f ( ), ) Χρησιµοοιώντας τώρα το Θεώρηµα του βιβλίου και κάνοντας αλές ράξεις βρίσκουµε,, και στην συνεχεια κανονικοοιούµε την ορθογώνια βάση { } 6 (5 µον) ίνεται ο ίνακας

3 A Να βρεθούν οι ιδιοτιµές και τα ιδιοδιανύσµατα του ίνακα Α ΛΥΣΗ Για να βρούµε τις ιδιοτιµές του ίνακα A λύνουµε λ λ λ ( λ) λ λ λ λ Αλές ράξεις θα µας δώσουν το ολυώνυµο λ λ 5λ 5 Λύνοντας το αραάνω ολυώνυµο θα βρούµε τις ιδιοτιµές του ίνακα Α Αυτές είναι : λ 6 και λ λ Λύνοντας τώρα το ( A λ I) µορούµε να βρούµε τα ιδιοδιανύσµατα για κάθε λ αντίστοιχα Αλές γραµµοράξεις θα µα δώσούν : i) Για λ 6, και ii) Για λ λ, αντίστοιχα Άρα v [ ] T Άρα v [ ] T και [ ] T v ( µον) Να αοδείξετε ότι τα σύνολα V W {(,,, ) R / } (,,, ) R /, { } είναι διανυσµατικοί υόχωροι του R και να βρεθεί η διάσταση και µια βάση για κάθε ένα αό τους υόχωρους V, W, V W, και V W ΛΥΣΗ Για τον V γνωρίζουµε ότι Άρα (,,, ) (,,, ) (,,,) (,,,) (,, ), { } Εοµένως V sp V, V, V Όου V (,,, ), V ( ),,,, και V,,, V, V V είναι γραµµικά ανεξάρτητα και αοτελούν βάση για τον V dim V, Για τον W γνωρίζουµε ότι και Άρα,,,,,,,,,,,, ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

4 Εοµένως W sp { W,W } Όου (,,, ) βάση του W dim W ( ) W και (,,, ) W Τα W,W αοτελούν V W {,,,, R}, Αφού, και Άρα το (,,, ) είναι βάση του W dim( V W ) dim( V W) dimv dimw dim( V W) 5 Θεωρείστε το αρακάτω σύστηµα: 6 y 5y 6y 6z 5z α z 6 β (α) ( µον) Θέσατε α και β - και λύστε το σύστηµα αυτό µε διαφορετικούς τρόους (β) (5 µον) Βρείτε τιµές των α και β ώστε το σύστηµα αυτό: (ι) Να µην έχει καµία λύση και (ιι) να έχει άειρες λύσεις ΛΥΣΗ 5 α) Το σύστηµα έχει την µορφή A b Τρόος i) : Ααλοιφή Guss α 6 β ; Γ Γ Γ Γ 6 Γ Γ 6 α 6 β Γ Γ Γ α β 8 Εάν αντικαταστήσουµε για α και για β - τότε, και Τρόος ii) : ιάσαση L-U 6 6 Ο ίνακας U και ο ίνακας L / / Λύνοντας το L z b θα άρουµε z 6, z και z 8 Στην συνέχεια λύνοντας το U z θα άρουνε τις τιµές του,, και 5β) i) Για α - και β 8 το σύστηµα δεν θα έχει καµία λύση ii) Για α - και για β -8 το σύστηµα θα έχει άειρες λύσεις

5 6 (6 µον) Να βρεθούν οι αράγωγοι των συναρτήσεων: ) α) y β) y e γ) y t(lo )) si( ΛΥΣΗ 6 α) y y β) si( ) y e y cos( ) e si( ) γ) y t(lo )) Πρώτα θα ρέει να αλλάξουµε την βάση ηλαδή: sec (lo y ( ) l )) lo l( ) l ) 7 (α) (6 µον) Έστω ένας ορθός κυκλικός κώνος ύψους µέτρων και ακτίνας 6 µέτρων Να βρεθεί η ακτίνα και το ύψος ενός ορθού κυκλικού κυλίνδρου εγγεγραµµένου στο εσωτερικό του κώνου, έτσι ώστε ο κύλινδρος αυτός να έχει µέγιστο όγκο (β) (6 µον) Να βρεθούν τα σηµεία της καµύλης y, ου βρίσκονται σε ελάχιστη αόσταση αό το σηµείο (,) του ειέδου,y Ποιά είναι η σχετική ιδιότητα του σηµείου (,); ΛΥΣΗ 7 α) Έστω r η ακτίνα του κυλίνδρου, h το ύψος του κυλίνδρου και V ο όγκος του Ο όγκος ενός κυλίνδρου δίνεται αό τον τύο : V r h () Tώρα - h r h 6

6 Αό τα αραάνω όµοια τρίγωνα έχουµε g () - - h r 6 5 h r ή Αντικαθιστώντας για h στην () έχουµε 5 5 V r ( r) r r Η ακτίνα του κυλίνδρου δεν µορεί να είναι αρνητική και θα ρέει να ικανοοιεί την ανισότητα r 6 Άρα έχουµε µία συνεχή συνάρτηση ως ρος r στο [, 6] την οοία µορούµε να αραγωγίσουµε dv r 5r 5r ( r) r, r dr Ο µέγιστος όγκος δίνεται στο αρακάτω ίνακα Άρα r m και h m r 6 V 6 7β) Έστω M (, f ( )) σηµείο της καµύλης y Η αόσταση MO είναι ( ) ) g ( ) Άρα ( ) και ± / / Τα ζητούµενα σηµεία είναι, και, Το σηµείο (,) είναι η κορυφή της αραβολής όου η αόσταση εχει τοικό µεγιστο 8 ( µον) Να υολογισθούν τα αόριστα ολοκληρώµατα:

7 (α) l d, cos si d, για θετικό ακέραιο (β) cos d, cos t d (γ) d, ΛΥΣΗ8 α) i) l d Έστω d (µε κατάλληλη αλλαγή αό σε νέα µεταβλητή u) d l d l K ( ) u l v dv d ii) cos si d Έστω u cos si d u cos u si K K si β) i) cos d cos cos d cos ( si ) d ii) cos d cos si d si cos si d Έστω u si cos d u si si u si K si K si cos t d cos d cos si cos d Έστω u si cos d u si u K K γ) i) Έστω u u d / / / / u u u u u K u

8 ( ) / ( ) / K ii) Έστω d si u cos u cos u u K si u si u 9 (8 µον) Να βρεθούν οι τιµές των, b R ώστε η συνάρτηση f ( ) να είναι αραγωγίσιµη στο K b 6 < ( b) ΛΥΣΗ 9 Η συνάρτηση θα ρέει να είναι συνεχής ηλαδή: f ( ) f ( ) f () f ( ) ( b 6) b 6 f ( ) ( ( b) _ ) b Αό τις δύο αυτές ισότητες ροκύτει ότι b Για να είναι αραγωγίσιµη f ( ) f () b 6 b b f ( ) f () b b b Αό τις δύο αυτές ισότητες ροκύτει ότι ( µον) Να υολογισθούν τα όρια e α) f ( ) µε f ( ) και να ανατυχθεί η f() σε σειρά Tylor γύρω αο το β) γ) ( ) si

9 ΛΥΣΗ ) e e e Τώρα για την ανάτυξη κατά Tylor χρησιµοοιούµε την σειρά Tylor της εκθετικής e, οότε! e e ( )! β)! ( )! και διαιρώντας έχουµε γ) si cos si si si cos si si cos cos si 6 cos 6 si cos 6 (5 µον) ίνονται οι συναρτήσεις : y, y οι οοίες ροφανώς τέµνονται στο σηµείο (,) του ειέδου (,y) Να βρεθούν και τα άλλα σηµεία στα οοία τέµνονται και να υολογιστούν τα εµβαδά των εριοχών ου ερικλείονται αό τις συναρτήσεις, και τα σηµεία τοµής τους Σε οιό αό τα σηµεία αυτά είναι οι εφατόµενες ευθείες των συναρτήσεων κάθετες µεταξύ τους; ΛΥΣΗ ( )( ) Άρα, - και Τα σηµεία τοµής των δύο συναρτήσεων είναι A(,), B(-,) και Γ(,) Το ένα εµβαδόν είναι : ( ( )) d 8 και το δεύτερο εµβαδόν είναι ( ) d 5

10 Σε κανένα σηµείο τοµής οι εφατόµενες ευθείες των συναρτήσεων δεν είναι κάθετες µεταξύ τους αφού f ( ) g ( ) για,, - (α) ( µον) Να ανατυχθεί η συνάρτηση f ( ) < < < < µε f(), σε σειρά Fourier στο διάστηµα [-, ] ( ) (β) (5 µον) Να υολογισθεί το άθροισµα Πόσους όρους ρέει να κρατήσετε στο άθροισµα αυτό για να ειτύχετε ακρίβεια δεκαδικών ψηφίων; (βλ σχετικό θέµα στην Εργασία 5) ΛΥΣΗ Η συνάρτηση είναι εριττή άρα θέλουµε µόνο το b b ( ) si( ) si( ) f d d [ cos( )] [ cos( )] ( ( ) ) ( ) Άρα f ( ) si( ) Για / f() Άρα ( ) f ( ) si( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Τώρα Για να ετύχουµε ακρίβεια δύο δεκαδικών ψηφίων θα ρέει < Άρα < > 9