1 ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΥΑΙΣΘΗΣΙΑΣ Εισαγωγή Η ανάλυση ευαισθησίας μιάς οικονομικής πρότασης είναι η μελέτη της επιρροής των μεταβολών των τιμών των παραμέτρων της πρότασης στη διαμόρφωση της τελικής απόφασης. Η ανάλυση ευαισθησίας, με άλλα λόγια, διερευνά τις συνθήκες κάτω από τις οποίες μιά οικονομική απόφαση παραμένει σωστή. Η ανάλυση παρέχει μιά δεύτερη ματιά σε μιά οικονομική ανάλυση και σκοπός της είναι να βοηθήσει στη διαδικασία απόφασης. Συγκεκριμένα, η ανάλυση ευαισθησίας εξετάζει αν οι εκτιμήσεις των παραμέτρων που υπεισέρχονται στο πρόβλημα αντιπροσωπεύουν επαρκώς τις πραγματικές (μελλοντικές) συνθήκες κι αν όχι, σε ποιό βαθμό επηρεάζουν οι αποκλίσεις από τις αρχικές εκτιμήσεις την προτεινόμενη λύση. Ο βαθμός επιρροής της απόκλισης της τιμής μιάς παραμέτρου από την αρχική εκτίμηση στην αλλαγή μιάς οικονομικής απόφασης καθορίζει το πόσο ευαίσθητη είναι η οικονομική απόφαση στην εξεταζόμενη παράμετρο. Η αλλαγή της οικονομικής απόφασης συνίσταται στην απόρριψη μιάς αρχικά αποδεκτής πρότασης ή στην επιλογή διαφορετικής πρότασης από την αρχικά επιλεγμένη. Συνοπτικά, η ανάλυση ευαισθησίας εξετάζει : (α) σε ποιό βαθμό είναι πιθανό να αποκλίνουν στην πράξη οι τιμές των παραμέτρων ενός οικονομικού προβλήματος από τις αρχικές εκτιμήσεις και (β) πώς και πόσο επηρεάζουν οι αποκλίσεις αυτές την τελική λύση - απόφαση. Πίσω από κάθε σημαντική απόφαση παραμονεύουν οι αμφιβολίες : τι γίνεται αν οι πραγματικές πωλήσεις διαφέρουν από τις προβλεπόμενες;, τι γίνεται αν διακοπεί η παραγωγική διαδικασία γιά κάποιο διάστημα;, τι γίνεται αν μειωθούν τα επιτόκια στο μέλλον;, τι γίνεται αν ο πληθωρισμός ξεπεράσει τις προσδοκώμενες τιμές;, τι γίνεται αν ένα μηχάνημα τεθεί εκτός λειτουργίας νωρίτερα από την εκτιμώμενη διάρκεια ζωής του; Ο κατάλογος των αμφιβολιών είναι συνήθως μεγάλος, οι αποφάσεις όμως πρέπει να ληφθούν. Αναγνωρίζοντας ότι σπάνια, αν όχι ποτέ, οι τιμές όλων των παραμέτρων θα είναι επακριβώς γνωστές, η προσοχή του οικονομολόγου - μηχανικού πρέπει να εστιάζεται στις πιό κρίσιμες παραμέτρους και να εξετάζεται αν και πώς αλλάζει μιά οικονομική πρόταση όταν μεταβληθούν οι τιμές των παραμέτρων αυτών. Η ανάλυση ευαισθησίας περιλαμβάνει μιά σειρά υπολογισμών με διαφορετικές από τις αρχικά εκτιμώμενες τιμές των παραμέτρων του προβλήματος και γίνεται σύγκριση των αποτελεσμάτων των δύο περιπτώσεων (με τις αρχικές και με τις μεταβληθείσες τιμές). Αν μιά μικρή μεταβολή της τιμής μιάς παραμέτρου επιφέρει δυσανάλογα μεγάλη μεταβολή στο αποτέλεσμα, τότε η λύση είναι ευαίσθητη στην εξεταζόμενη παράμετρο, πρέπει δε να δοθεί ιδιαίτερη προσοχή στην εκτίμηση της παραμέτρου αυτής. Σε άλλες περιπτώσεις, η μεταβολή μιάς παραμέτρου επιφέρει μικρή ή και μηδενική μεταβολή στη λύση οπότε η ακριβής εκτίμηση της παραμέτρου δεν είναι καθοριστικής σημασίας. Ένα σημαντικό έργο της ανάλυσης ευαισθησίας είναι και ο καθορισμός του οριακού σημείου, της τιμής δηλαδή μιάς παραμέτρου που επιφέρει αλλαγή μιάς οικονομικής απόφασης (π.χ., από αποδεκτή σε μη αποδεκτή πρόταση). Η ανάλυση ευαισθησίας γίνεται με τη χρήση των γνωστών μεθόδων σύγκρισης οικονομικών προτάσεων, της παρούσας αξίας, της ισοδύναμης ετήσιας αξίας, του ρυθμού απόδοσης, και του λόγου B/C. Τα αποτελέσματα της ανάλυσης είναι χρήσιμο να παρουσιάζονται σε κατάλληλα γραφήματα που δείχνουν την επιρροή ποσοστιαίων μεταβολών των παραμέτρων του προβλήματος στην τελική λύση. Τα γραφήματα είναι χρήσιμα γιατί παρουσιάζουν σύνθετα δεδομένα σε μιά απλή και εύκολα κατανοητή απεικόνιση.
2 Παράδειγμα 1 Η ζήτηση γιά την παραγωγή προϊόντων εξαρτάται από πολλούς γενικούς και ειδικούς παράγοντες. Ο πληθωρισμός, η ανεργία, το μέγεθος και η απόδοση της γεωργικής παραγωγής και πολλοί άλλοι παράγοντες που δεν μπορούν να προβλεφθούν επακριβώς επηρεάζουν την απόδοση οικονομικών προτάσεων. Η πρόταση που εξετάζεται από μιά επιχείρηση είναι να επεκτείνει τη δραστηριότητα της στην παραγωγή ενός νέου προϊόντος. Οι κυριότεροι παράμετροι που επισημάνθηκαν ότι θα καθορίσουν την ελκυστικότητα της πρότασης είναι η ζήτηση του προϊόντος και το κόστος των εργατικών. Οι δύο αυτές παράμετροι έχουν εκτιμηθεί με αρκετά καλή ακρίβεια με βάση τις προβλέψεις που προκύπτουν από τα σημερινά δεδομένα. Η πρόταση όμως αφορά μελλοντική περίοδο 10 ετών και γιά το λόγο αυτό υφίσταται κάποια αβεβαιότητα γιά το αν θα πραγματοποιηθούν οι εκτιμήσεις. Γιά το λόγο αυτό εξετάζεται η ελκυστικότητα της πρότασης θεωρώντας ότι τα περιθώρια λάθους στη εκτίμηση της ζήτησης είναι ±10% ενώ γιά το κόστος εργατικών εκτιμάται ότι μπορεί να είναι αυξημένο έως 10% σε σχέση με τη σημερινή εκτίμηση. Η επιρροή των διακυμάνσεων στην καθαρή παρούσα αξία από την παραγωγή και πώληση του προϊόντος υπολογίστηκε και παρουσιάζεται στον πίνακα 1. Σχολιάστε τη διαδικασία απόφασης γιά την αποδοχή ή απόρριψη της πρότασης. Πίνακας 1 ================================================================== Ζ Η Τ Η Σ Η -------------------------------------------------------------------------- ΚΟΣΤΟΣ Μείωση Αρχική Αύξηση ΕΡΓΑΤΙΚΩΝ κατά 10% εκτίμηση κατά 10% ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Βασική τιμή 45 10 6 75 10 6 90 10 6 Αύξηση κατά 5% 44 10 6 73 10 6 87 10 6 Αύξηση κατά 10% 43 10 6 70 10 6 83 10 6 ================================================================== Λύση Από τον πίνακα φαίνεται ότι η καθαρή παρούσα αξία δεν είναι πολύ ευαίσθητη στο κόστος των εργατικών. Γιά παράδειγμα, αύξηση των εργατικών κατά 10% επιφέρει (στην περίπτωση της αρχικής εκτίμησης της ζήτησης) μείωση της καθαρής παρούσας αξίας κατά (75-70)/75 = 6,7%. Συμπεραίνουμε επομένως ότι το κόστος των εργατικών δεν είναι καθοριστικός παράγων της απόδοσης της πρότασης κι ότι μιά προσεγγιστική εκτίμηση του θα ήταν αρκετή στη διαδικασία απόφασης. Μιά μικρή μεταβολή όμως της ζήτησης επιφέρει αναλογικά μεγαλύτερη μεταβολή στην καθαρή παρούσα αξία. Συγκεκριμένα, μεταβολή της ζήτησης κατά 10% (αύξηση ή μείωση) οδηγεί σε μεταβολές της καθαρής παρούσας αξίας από 19% έως 40%. Η ευαισθησία αυτή δείχνει ότι είναι επιβεβλημένη μιά λεπτομερής εξέταση της παραμέτρου ζήτηση ώστε να εκτιμηθεί αυτή με τη μέγιστη δυνατή βεβαιότητα.
3 Ανάλυση ευαισθησίας μιάς πρότασης Υποθέτουμε ότι εξετάζεται μιά επενδυτική πρόταση Α τα οικονομικά δεδομένα της οποίας φαίνονται στον πίνακα 2. Πίνακας 2 ================================= Αρχικό κόστος 35.000.000 Ετήσιο κόστος 600.000 Ετήσιο έσοδο 8.000.000 Διάρκεια ζωής (έτη) 10 Υπολειμματική αξία 4.000.000 ================================= Το αρχικό κόστος μπορεί (συνήθως) να εκτιμηθεί άμεσα και αξιόπιστα (αρκεί να γίνει ένας έλεγχος της αγοράς). Η εκτίμηση όμως των υπολοίπων παραμέτρων του προβλήματος είναι περισσότερο αβέβαιες και είναι πιθανό να παρουσιαστούν αποκλίσεις από τις δεδομένες τιμές στην περίοδο των 10 ετών ως αποτέλεσμα ενδεχόμενης μεταβολής κάποιων παραγόντων στο μέλλον. Ακόμα και η περίοδος μελέτης μπορεί να διαφοροποιηθεί ως συνέπεια της μη ρεαλιστικής εκτίμησης της διάρκειας ζωής ενός περιουσιακού στοιχείου ή του ενδεχόμενου διακοπής της λειτουργίας που το στοιχείο εκτελεί πριν τα 10 χρόνια ή επέκτασης της σε μεγαλύτερο χρονικό διάστημα από αυτό της αρχικής εκτίμησης, λόγω π.χ. παρατεινόμενης ζήτησης. Αλλά κι ο ρυθμός απόδοσης, που στο εξεταζόμενο παράδειγμα λαμβάνεται 15%, μπορεί να μην είναι αντιπροσωπευτικός των πιθανών μελλοντικών αλλαγών στις γενικότερες οικονομικές συνθήκες (π.χ. αύξηση του πληθωρισμού, αύξηση του κόστους δανεισμού, κλπ). Η καθαρή παρούσα αξία της πρότασης δίνεται από τη σχέση PW = - (αρχικό κόστος) + (υπολειμματική αξία) (P/F,ι,Ν) + (ετήσιο έσοδο - ετήσιο κόστος) (P/A,ι,Ν) (1) Με τις αρχικές εκτιμήσεις των παραμέτρων του προβλήματος και με ι = 15% η πρόταση είναι αποδεκτή καθώς PW = - 35 10 6 + 4 10 6 0,2472 + (8,0-0,6) 10 6 5,0188 = 3,128 10 6 Η ανάλυση ευαισθησίας συνίσταται στην κατασκευή του παρακάτω γραφήματος (σχήμα 1). Κάθε καμπύλη του γραφήματος αφορά μιά παράμετρο του προβλήματος και απεικονίζει τις τιμές της καθαρής παρούσας αξίας (από τη σχέση (1)) που προκύπτουν από τη μεταβολή της εξεταζόμενης παραμέτρου διατηρώντας παράλληλα τις τιμές των υπόλοιπων παραμέτρων σταθερές (και ίσες με τις αρχικές εκτιμήσεις). Ο οριζόντιος άξονας αντιπροσωπεύει της ποσοστιαία μεταβολή της ανεξάρτητης παραμέτρου από την αρχική τιμή. Η αδιάστατη κλίμακα του οριζόντιου άξονα τοποθετεί όλες τις παραμέτρους κάτω από κοινή οπτική γωνία κι επιτρέπει άμεση σύγκριση της ευαισθησίας στις διάφορες παραμέτρους. Μιά καμπύλη με μεγάλη κλίση δείχνει σημαντική ευαισθησία της πρότασης στην αντίστοιχη παράμετρο ενώ, αντίθετα, παράμετροι των οποίων οι καμπύλες έχουν μικρή κλίση δεν επηρεάζουν σημαντικά την ελκυστικότητα της πρότασης. Το γράφημα δείχνει, γιά παράδειγμα, ότι ακόμα και σημαντικές αποκλίσεις της υπολειμματικής αξίας ή του ετήσιου κόστους από τις αρχικές εκτιμήσεις μεταβάλλουν ελάχιστα την παρούσα αξία και δεν επηρεάζουν την αποδοχή της πρότασης. Οι άλλες παράμετροι όμως, δηλαδή η διάρκεια ζωής, ο ρυθμός απόδοσης και, κυρίως, το ετήσιο έσοδο είναι καθοριστικές στη διαδικασία απόφασης αφού μιά μικρή δυσμενής
4 διαφοροποίηση τους από την αρχική εκτίμηση οδηγεί σε αλλαγή της απόφασης από αποδοχή σε απόρριψη. Γιά παράδειγμα, αν το ετήσιο έσοδο είναι μειωμένο κατά 8% ή περισσότερο, η πρόταση πρέπει να απορριφθεί. Καθαρή παρούσα αξία ( 10 6 ) 25 20 Ετήσιο έσοδο 15 10 5 0-50% -40% -30% -20% -10% 0% 10% 20% 30% 40% 50% -5 Ρυθμός απόδοσης -10-15 -20 Διάρκεια ζωής Υπολειμματική αξία Ετήσιο κόστος Σχήμα 1 Ποσοστιαία απόκλιση από την αρχική εκτίμηση Σε πολλές περιπτώσεις χρειάζεται να εξετάσουμε την ευαισθησία της λύσης στην ταυτόχρονη μεταβολή δύο ή περισσότερων παραμέτρων (π.χ. των πιό κρίσιμων, αυτών δηλαδή στις οποίες μιά πρόταση παρουσιάζει μεγάλη ευαισθησία). Αν εξετάζονται ταυτόχρονα δύο ή τρεις παράμετροι, υπάρχει η δυνατότητα γεωμετρικής απεικόνισης της ανάλυσης ευαισθησίας με καθορισμό ζωνών αποδοχής και απόρριψης της πρότασης. Η απόκλιση κάθε παραμέτρου από την αρχική της τιμή απεικονίζεται σε έναν άξονα ορθογωνίων συντεταγμένων και καθορίζονται οι ημιπεριοχές (ημιεπίπεδα γιά δύο παραμέτρους, ημιχώροι γιά τρείς) αποδοχής και απόρριψης της πρότασης. Παράδειγμα 2 Να ελεγχθεί η ευαισθησία της πρότασης που εξετάστηκε παραπάνω ως προς το συνδυασμό των παραμέτρων του ετήσιου εσόδου και του ετήσιου κόστους. Να σχεδιαστεί ένα γράφημα που να δείχνει τα ζεύγη τιμών των δύο παραμέτρων γιά τα οποία η πρόταση είναι αποδεκτή κι αυτά γιά τα οποία είναι απορριπτέα. Λύση Επειδή οι εξεταζόμενες παράμετροι αφορούν ετήσια ποσά, είναι υπολογιστικά προτιμότερο να χρησιμοποιήσουμε την ισοδύναμη ετήσια αξία αντί της παρούσας αξίας γιά τον καθορισμό της ελκυστικότητας της πρότασης. Έστω ότι οι μεταβλητές χ και ψ αντιπροσωπεύουν αντίστοιχα τις ποσοστιαίες μεταβολές του ετήσιου εσόδου και του ετήσιου κόστους από τις αρχικές εκτιμήσεις των. Η ισοδύναμη ετήσια αξία της πρότασης είναι (σε εκατομμύρια δραχμές)
5 ΕΑW = -35 (Α/Ρ, 15, 10) + 8 (1+χ) - 0,6 (1+ψ) + 4 (Α/F, 15, 10) = = -35 0,1993 + 8 + 8χ - 0,6-0,6ψ + 4 0,0493 = = 0,6232 + 8χ - 0,6ψ. Η πρόταση είναι επικερδής, κι επομένως αποδεκτή, αν ΕΑW > 0, δηλαδή αν χ > 0,075ψ - 0,0779. Η τελευταία ανίσωση απεικονίζεται γραφικά στο σχήμα 2 στο οποίο οι άξονες χ και ψ αντιπροσωπεύουν τις ποσοστιαίες μεταβολές των εξεταζόμενων παραμέτρων. Η ευθεία γραμμή χ = 0,075ψ - 0,0779 καθορίζει σημεία (χ,ψ) γιά τα οποία η ισοδύναμη ετήσια αξία είναι μηδενική. Το ημιεπίπεδο δεξιά της γραμμής καθορίζει τη ζώνη αποδοχής της πρότασης ενώ αυτό αριστερά τη ζώνη απόρριψης. Η σχεδόν κατακόρυφη θέση της οριακής γραμμής δείχνει ότι η πρόταση είναι πολύ ευαίσθητη στις μεταβολές της παραμέτρου χ ενώ, αντίθετα, η επιρροή των μεταβολών της παραμέτρου ψ είναι πολύ μικρή. Αυτό εξηγείται από το γεγονός ότι οι αρχικές τιμές των δύο παραμέτρων είναι σημαντικά διαφορετικές κι ότι οι θεωρούμενες αποκλίσεις είναι ποσοστιαίες. Έτσι, απόκλιση 10% του ετήσιου εσόδου αντιστοιχεί σε ποσό 800.000 δραχμών ενώ η ίδια ποσοστιαία απόκλιση του ετήσιου κόστους αφορά ποσό 60.000 δραχμών. ψ (ετήσιο κόστος) - ποσοστιαία απόκλιση από την αρχική εκτίμηση EAW < 0 30% 20% EAW > 0 10% χ (ετήσιο έσοδο) - 0% ποσοστιαία απόκλιση από -30% -20% -10% 0% 10% 20% 30% την αρχική εκτίμηση -10% -20% Ζώνη απόρριψης -30% Ζώνη αποδοχής Σχήμα 2 Άσκηση : Εξετάστε την κλίση της ευθείας ΕΑW = 0 στο παραπάνω παράδειγμα θεωρώντας ως κλίμακα των αξόνων χ και ψ το απόλυτο (αριθμητικό) μέγεθος των αποκλίσεων των αντίστοιχων παραμέτρων από τις αρχικές τους τιμές.
6 Ανάλυση ευαισθησίας εναλλακτικών προτάσεων Όταν εξετάζονται εναλλακτικές προτάσεις γιά την κάλυψη μιάς συγκεκριμένης ανάγκης, η ανάλυση ευαισθησίας έχει σκοπό να καταδείξει αν η επιλογή που προκύπτει με βάση τις αρχικές εκτιμήσεις των ανεξάρτητων παραμέτρων παραμένει η ίδια αν μεταβληθούν οι παράμετροι μέσα στα όρια του σφάλματος των εκτιμήσεων. Αν παρατηρείται αλλαγή απόφασης γιά μικρή μεταβολή κάποιας παραμέτρου, η παράμετρος αυτή πρέπει να εκτιμηθεί με τη μέγιστη δυνατή ακρίβεια. Παράλληλα, η ανάλυση ευαισθησίας καθορίζει το εύρος όπου μπορεί να κυμαίνεται η τιμή κάθε παραμέτρου ώστε η επιλογή της πρότασης να μην μεταβάλλεται. Παράδειγμα 3 Μιά εναλλακτική πρόταση Β αυτής που παρουσιάστηκε στο προηγούμενο εδάφιο επιτυγχάνει τον ίδιο στόχο με αυτή. Η δεύτερη πρόταση έχει αρχικό κόστος 32.500.000 δραχμές, εκτιμώμενη διάρκεια ζωής 10 ετών, μηδενική υπολειμματική αξία και ετήσιο κόστος 600.000 δραχμές. Το ετήσιο έσοδο εκτιμάται σε 6.000.000 δραχμές τον πρώτο χρόνο και αυξανόμενο τα επόμενα έτη κατά 500.000 δραχμές ανά έτος. Να βρεθεί η βέλτιστη από τις δύο προτάσεις με τις υπάρχουσες εκτιμήσεις των οικονομικών μεγεθών και να εξεταστεί η ευαισθησία της λύσης που επιλέγεται ως προς τη διάρκεια ζωής των προτάσεων. Λύση Με τα δεδομένα των δύο προτάσεων, την κοινή διάρκεια ζωής και ρυθμό απόδοσης 15%, οι δύο προτάσεις έχουν περίπου την ίδια παρούσα αξία : PW(Α) = 3,128 10 6 10 PW(Β) = - 32,5 10 6 + (6-0,6) 10 6 (Ρ/Α, 15,10) + Σ 500.000 (k-1)/1,15 k k=2 = 3,091 10 6 Θεωρούμε ότι η διάρκεια ζωής των προτάσεων μεταβάλλεται μεταξύ 5 και 20 έτη και υποθέτουμε ότι τα υπόλοιπα μεγέθη παραμένουν αμετάβλητα. Οι παρούσες αξίες των δύο προτάσεων καταχωρούνται στον πίνακα 3 και παρουσιάζονται γραφικά στο σχήμα. 3. Το γράφημα δείχνει ότι, αν υπάρχει σημαντική πιθανότητα ώστε η διάρκεια ζωής των δύο προτάσεων να ξεπεράσει τα 10 χρόνια, η πρόταση Β πρέπει να προτιμηθεί έναντι της Α. Το κέρδος από την επιλογή της Β γίνεται όλο και μεγαλύτερο όσο αυξάνει η διάρκεια ζωής. Αν η διάρκεια ζωής είναι 9 χρόνια, πρέπει να επιλεγεί η πρόταση Α ενώ γιά διάρκεια ζωής μικρότερη των 9 χρόνων καμία προτάση δεν είναι επικερδής.
7 Πίνακας 3 (ποσά σε εκατομμύρια δραχμές) ================================================ Διάρκεια Ν PW(A) PW(B) ---------------------------------------------------------------------------- 5-8,206-11,511 6-5,266-8,096 7-2,709-4,938 8-0,486-2,028 9 1,446 0,643 10 3,127 3,090 11 4,589 5,326 12 5,860 7,363 13 6,965 9,216 14 7,925 10,898 15 8,762 12,422 16 9,489 13,800 17 10,120 15,045 18 10,670 16,169 19 11,148 17,181 20 11,563 18,091 ================================================ Καθαρή παρούσα αξία (εκατομμύρια) 20 Πρόταση Β 15 10 Πρόταση Α 5 0-5 5 10 15 20 Διάρκεια ζωής (έτη) -10-15 Σχήμα 3
8 Προβλήματα 1. Εξετάζεται η κατασκευή ενός δημόσιου έργου αρχικού κόστους 200.000.000 δραχμών που αναμένεται να αποδίδει ετησίως ωφέλεια 70.000 000 δραχμών γιά 10 χρόνια. Υπάρχει όμως πιθανότητα το ετήσιο έσοδο να είναι μειωμένο από την παραπάνω τιμή κατά 5.000.000 δραχμές. Πέραν του αρχικού κόστους, το έργο απαιτεί και μιά ετήσια δαπάνη γιά λειτουργία και συντήρηση που εκτιμάται σε 20.000.000 δραχμές. Το ποσό της ετήσιας δαπάνης μπορεί να είναι αυξημένο σε σχέση με την αρχική εκτίμηση έως 2.000.000 δραχμές ή και μειωμένο έως 1.000.000 δραχμές. Τα δημόσια έργα αυτού του είδους εξετάζονται με ρυθμό απόδοσης 9%. (α) Ποιά είναι η ελάχιστη δυνατή (δυσμενέστερη) τιμή του λόγου B/C που μπορεί να εμφανιστεί με τα παραπάνω δεδομένα; (β) Αν η ετήσια ωφέλεια και η ετήσια δαπάνη έχουν την αναμενόμενη τιμή τους, πόσο θα μπορούσε να αυξηθεί το αρχικό κόστος ώστε η πρόταση κατασκευής να παραμείνει αποδεκτή; 2. Μιά επενδυτική πρόταση περιγράφεται από τα ακόλουθα μεγέθη : Αρχικό κόστος P = 20.000.000 δραχμές Ετήσιο έσοδο Α = 7.000.000 δραχμές Διάρκεια ζωής Ν = 5 Υπολειμματική αξία S = 0. Ο επιθυμητός ρυθμός απόδοσης είναι 20%. Σχεδιάστε τις καμπύλες που δείχνουν την ευαισθησία της παρούσας αξίας της πρότασης ως προς τη διάρκεια ζωής, το ετήσιο έσοδο και το ρυθμό απόδοσης, με τον οριζόντιο άξονα να αντιπροσωπεύει τις αποκλίσεις κάθε παραμέτρου από την αρχική εκτίμηση τους σε διάστημα ±20%. Σε ποιά από τις παραπάνω παραμέτρους είναι η πρόταση πιό ευαίσθητη; 3. Μιά ιδιωτική επιχείρηση λειτουργίας γυμναστηρίων εξετάζει την κατασκευή δύο κλειστών γηπέδων καλαθοσφαίρισης με τα απαιτούμενα αποδυτήρια και τους βοηθητικούς χώρους. Το έργο θα κοστίσει 50.000.000 δραχμές, θα έχει διάρκεια ζωής 10 χρόνων και υπολειμματική αξία 8.000.000 δραχμές. Το ετήσιο κόστος λειτουργίας και συντήρησης αναμένεται να είναι 9.200.000 δραχμές. Η χρήση του γηπέδου θα γίνεται με ενοικίαση από τους ενδιαφερόμενους. (α) Αν η ωριαία χρέωση γιά χρήση κάθε γηπέδου είναι 2.800 δραχμές, πόσες ώρες το χρόνο πρέπει να χρησιμοποιείται κάθε γήπεδο ώστε να καλυφθούν τα κόστη κατασκευής, λειτουργίας και συντήρησης αν ο επιθυμητός ρυθμός απόδοσης είναι 10%; (β) Σχεδιάστε ένα γράφημα του απαιτούμενου ρυθμού χρήσης κάθε γηπέδου (χρόνος χρήσης προς συνολικό χρόνο λειτουργίας των γηπέδων) ώστε να αποδώσει η επένδυση με ρυθμούς μεταξύ 10 και 25%. Υποθέστε ότι τα γήπεδα λειτουργούν 14 ώρες ημερησίως γιά 320 ημέρες το χρόνο. Θα προτείνατε την επένδυση; Γιατί;