ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης.

Transcript

1 ΑΝΑΛΥΣΗ 2 Μ. Παπαδημητράκης.

2 ΔΕΚΑΤΟ ΠΕΜΠΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Ας δούμε τα γραφήματα των συναρτήσεων των τριών τελευταίων παραδειγμάτων του τελευταίου μαθήματος. Στο πρώτο παράδειγμα το γράφημα καθεμιάς f () = είναι ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και έχει κλίση. Όταν μεγαλώνει το η κλίση της ευθείας μικραίνει και η ευθεία τείνει να ταυτιστεί με τον -άξονα. Όταν σταθεροποιήσουμε ένα οποιοδήποτε, τα ύψη f () = μικραίνουν και τείνουν στο 0. Βέβαια, αν σταθεροποιήσουμε το, τότε τα όρια της f () όταν ± είναι ±. Αλλά δεν μας ενδιαφέρει να σταθεροποιήσουμε το. Μας ενδιαφέρει να σταθεροποιήσουμε το και να πάρουμε όριο όταν +. (Αυτό, φυσικά, πρέπει να γίνει για κάθε.) Στο δεύτερο παράδειγμα το γράφημα καθεμιάς f () = είναι μια κοίλη και + γνησίως αύξουσα καμπύλη που ξεκινάει από ύψος στο και τείνει ασυμπτωτικά + στην οριζόντια ευθεία σε ύψος. Το γράφημα της f + () = είναι κάτω από ++ το γράφημα της f () = και όταν το μεγαλώνει το γράφημα της f + χαμηλώνει και τείνει να ταυτιστεί με τον -άξονα. Όταν σταθεροποιήσουμε ένα οποιοδήποτε, τα ύψη f () = μικραίνουν και τείνουν στο 0. Όπως στο προηγούμενο παράδειγμα, παρατηρούμε ότι, αν σταθεροποιήσουμε το, τότε το όριο της f () όταν + + είναι. Αλλά δεν μας ενδιαφέρει να σταθεροποιήσουμε το. Μας ενδιαφέρει να σταθεροποιήσουμε το τυχόν και να πάρουμε όριο όταν +. 2

3 Στο τρίτο παράδειγμα το γράφημα καθεμιάς f () = είναι μια κοίλη και γνησίως αύξουσα καμπύλη που ξεκινάει από το σημείο (0, 0) και φτάνει στο σημείο (, ). Το γράφημα της f + () = + είναι κάτω από το γράφημα της f () = και όταν το μεγαλώνει το γράφημα της f στο διάστημα [0, ) χαμηλώνει και τείνει να ταυτιστεί με τον -άξονα αλλά το σημείο (, ) του γραφήματος μένει αμετάβλητο. Όταν σταθεροποιήσουμε ένα οποιοδήποτε στο διάστημα [0, ), τα ύψη f () = μικραίνουν και τείνουν στο 0 αλλά το ύψος στο σημείο μένει αμετάβλητο. Γι αυτό το γράφημα της οριακής συνάρτησης είναι ασυνεχές και αποτελείται από τον -άξονα στο διάστημα [0, ) και από το σημείο (, ). Παράδειγμα. Θεωρούμε για κάθε την συνάρτηση f με πεδίο ορισμού [0, + ) και με f () = για κάθε [0, + ). + f () = +, f 2() = + 2,..., f () = +,.... Με τυχόν αλλά σταθερό [0, + ), έχουμε το όριο f () = + 0, αν = 0 0, αν > 0 (όταν + ). f 0 στο [0, + ). Κάθε f είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής στο [0, + ) και lim f () = + lim + + =. Στο παράδειγμα αυτό το γράφημα καθεμιάς f () = είναι μια κοίλη και γνησίως αύξουσα καμπύλη που ξεκινάει από το σημείο (0, 0) και τείνει ασυμπτωτικά στην + οριζόντια ευθεία σε ύψος. Το γράφημα της f +() = είναι κάτω από το +(+) γράφημα της f () = και όταν το μεγαλώνει το γράφημα της f + χαμηλώνει 3

4 και τείνει να ταυτιστεί με τον -άξονα. Όταν σταθεροποιήσουμε ένα τυχόν, τα ύψη f () = μικραίνουν και τείνουν στο 0. Παρατηρήστε ότι το γράφημα της f + είναι ανάμεσα στον -άξονα και στην οριζόντια ευθεία σε ύψος, οπότε όταν το μεγαλώνει ολόκληρο το γράφημα της f συμπιέζεται προς τον -άξονα. Παράδειγμα. Θεωρούμε για κάθε την συνάρτηση f με πεδίο ορισμού [0, ] και με, αν 0 f () =, αν f () =, f 2 () = Αν = 0, τότε έχουμε το όριο 2, αν 0 2, αν,..., f, αν 0 () =, αν f (0) = 0 0 (όταν + ). Αν > 0, τότε από κάποιον δείκτη και πέρα ισχύει και, επομένως, από κάποιον δείκτη και πέρα ισχύει οπότε έχουμε το όριο f () =, f () = 0 (όταν + ). f 0 στο [0, ]. Το γράφημα καθεμιάς f είναι μια συνεχής καμπύλη που αποτελείται από δυο μέρη. Το πρώτο μέρος είναι ευθύγραμμο από το σημείο (0, 0) μέχρι το σημείο (, ) και με μεγάλη κλίση και το δεύτερο μέρος είναι γνησίως φθίνουσα, κυρτή καμπύλη από το 4

5 σημείο (, ) μέχρι το σημείο (, ). Όταν το μεγαλώνει, η κορυφή του γραφήματος της f μετακινείται σε σταθερό ύψος προς τα αριστερά προς το σημείο (0, ) και το καμπύλο μέρος του γραφήματος της f χαμηλώνει προς τον -άξονα. Όταν σταθεροποιήσουμε ένα στο διάστημα (0, ], τότε από ένα και πέρα το περιέχεται πάντοτε στο διάστημα [, ] (δηλαδή, το σημείο (, f ()) περιέχεται στο καμπύλο μέρος του γραφήματος της f ) και το ύψος f () = τείνει στο 0 όταν το τείνει στο +. Παράδειγμα. Θεωρούμε για κάθε την συνάρτηση f με πεδίο ορισμού [0, ] και με 2, αν 0 f () =, αν f () =, f 2 () = Αν = 0, τότε έχουμε το όριο 4, αν 0 2, αν,..., f 2, αν 0 () =, αν f (0) = 0 0 (όταν + ). Αν > 0, τότε από κάποιον δείκτη και πέρα ισχύει και, επομένως, από κάποιον δείκτη και πέρα ισχύει οπότε έχουμε το όριο f () =, f () = (όταν + ). f f στο [0, ], 5

6 όπου f είναι η συνάρτηση με πεδίο ορισμού το [0, ] και με 0, αν = 0 f() =, αν 0 < Το γράφημα καθεμιάς f είναι μια συνεχής καμπύλη που αποτελείται από δυο μέρη. Το πρώτο μέρος είναι ευθύγραμμο από το σημείο (0, 0) μέχρι το σημείο (, ) και με μεγάλη κλίση 2 και το δεύτερο μέρος είναι πάνω στην γνησίως φθίνουσα, κυρτή καμπύλη y = από το σημείο (, ) μέχρι το σημείο (, ). Όταν το μεγαλώνει, η κορυφή του γραφήματος της f μετακινείται με αυξανόμενο ύψος προς τα αριστερά προς τον y-άξονα και το καμπύλο μέρος του γραφήματος της f παραμένει πάνω στην καμπύλη y =. Όταν σταθεροποιήσουμε ένα στο διάστημα (0, ], τότε από ένα και πέρα το περιέχεται πάντοτε στο διάστημα [, ] (δηλαδή, το σημείο (, f ()) περιέχεται στο καμπύλο μέρος του γραφήματος της f ) και το ύψος f () = μένει σταθερό όταν το τείνει στο +. Παράδειγμα. Θεωρούμε για κάθε την συνάρτηση f με πεδίο ορισμού R και με f () = si() για κάθε. f () = si, f 2 () = si(2) 2 Με τυχόν αλλά σταθερό, έχουμε το όριο,..., f () = si(),.... f () = si() 0 f 0 στο R. (όταν + ). 6

7 Το γράφημα καθεμιάς f είναι η γνωστή ημιτονοειδής καμπύλη μετά από αλλαγή κλίμακας σε όλες τις κατευθύνσεις: το κατακόρυφο πλάτος από 2 έχει γίνει 2 και το εύρος της περιόδου από 2π έχει γίνει 2π. Ολόκληρο το γράφημα της f είναι ανάμεσα στις οριζόντιες ευθείες σε ύψη ± και, επομένως, συμπιέζεται ολόκληρο προς τον -άξονα όταν το μεγαλώνει. Παράδειγμα. Θεωρούμε για κάθε την συνάρτηση f με πεδίο ορισμού R και με f () = cos() για κάθε. f () = cos, f 2 () = cos(2),..., f () = cos(),.... Αν υπήρχε συνάρτηση f ώστε f f στο R, τότε θα είχαμε ή, ισοδύναμα, f (π) f(π) ( ) f(π). Αυτό είναι αδύνατο, διότι η ακολουθία (( ) ) δεν συγκλίνει, οπότε η (f ) δεν συγκλίνει σε καμία συνάρτηση κατά σημείο στο R. Το γράφημα καθεμιάς f είναι η γνωστή συνημιτονοειδής καμπύλη μετά από αλλαγή κλίμακας μόνο στην οριζόντια κατεύθυνση: το κατακόρυφο πλάτος παραμένει 2 και το εύρος της περιόδου από 2π έχει γίνει 2π. 7