Γ. Πειραματισμός - Βιομετρία

Transcript

1 Γ. Πειραματισμός - Βιομετρία Πληθυσμοί και δείγματα Πληθυσμός Περιλαμβάνει όλες τις πιθανές τιμές μιας μεταβλητής, δηλαδή αναφέρεται σε μια παρατήρηση σε όλα τα άτομα του πληθυσμού Ο πληθυσμός προσδιορίζεται από τον ερευνητή Οι πληθυσμοί χαρακτηρίζονται από παραμέτρους Δείγμα Αποτελείται από ένα τμήμα του πληθυσμού Οι πληροφορίες από τα δείγματα χρησιμοποιούνται για την εξαγωγή συμπερασμάτων για τον πληθυσμό Για το λόγο αυτό, τα δείγματα πρέπει να είναι αντιπροσωπευτικά του πληθυσμού Χαρακτηρίζονται από στατιστικές με τις οποίες εκτιμούμε τις παραμέτρους του πληθυσμού

2 Γ. Πειραματισμός - Βιομετρία Περιγραφή πληθυσμού και δειγμάτων Α. Μέτρα θέσης ή Κεντρικής τάσης. Μέσος όρος. Διάμεσος 3. Τιμή μέγιστης συχνότητας Β. Μέτρα διασποράς Παρέχουν πληροφορίες για την παραλλακτικότητα των δεδομένων. Διακύμανση. Τυπική Απόκλιση 3. Εύρος Μέσος όρος Παράμετροι μ Στατιστικές Διακύμανση σ Τυπική απόκλιση σ Y

3 Γ. Πειραματισμός - Βιομετρία Μέσος Όρος (μ.ο.) Y όπου Σ Υι ( Υ ) i ι Y ο μέσος όρος Y i i-στή παρατήρηση ο αριθμός παρατηρήσεων Το Yi συμβολίζεται και με Υ. ( ) Y. 0 Το Y i ( Y ) Y i είναι το ελάχιστο άθροισμα τετραγώνων

4 Γ. Πειραματισμός - Βιομετρία Διακύμανση δείγματος Είναι η μέση τετραγωνισμένη απόσταση των τιμών του δείγματος από το μέσο όρο τους Y Τύπος ορισμού: ( Y Y) i ( ) Ο αριθμητής ονομάζεται άθροισμα τετραγώνων (ΑΤ) Ο παρονομαστής είναι οι βαθμοί ελευθερίας (ΒΕ) ΒΕ αριθμός τιμών αριθμός ανεξάρτητων εκτιμώμενων παραμέτρων Η εκτιμώμενη παράμετρος με το είναι η σ Διορθωτικός Όρος (ΔΟ) Τύπος εργασίας: ( Y) i Yi ( )

5 Γ. Πειραματισμός - Βιομετρία Διακύμανση δείγματος Παράδειγμα i Παρατηρήσεις: Y, 3, 5, 7 Y 6 Y 4 i. ( Y Y) i ( ) [ (-4) + (3-4) + (5-4) + (7-4) ] / (4-) 6.67 ή. ( Y) i Yi ( ) - ( ) 6 / Εάν η μέτρηση εκφράζεται πχ. σε cm τότε η μονάδα της διακύμανσης είναι cm

6 Γ. Πειραματισμός - Βιομετρία Τυπική απόκλιση δείγματος Είναι η τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης Αποτελεί μία μέτρηση της μέσης απόστασης των τιμών του δείγματος από το μέσο όρο τους Στο προηγούμενο παράδειγμα: i Παρατηρήσεις: Y, 3, 5, 7 Y 6 Y 4 i 6.67 άρα Η τυπική απόκλιση εκφράζεται στις ίδιες μονάδες με τις παρατηρήσεις

7 Γ. Πειραματισμός - Βιομετρία Διακύμανση πληθυσμού Είναι η μέση τετραγωνισμένη απόσταση των όλων τιμών του πληθυσμόυ από το μέσο όρο του πληθυσμού σ ( µ ) Y i όπου Y i-στή παρατήρηση του πληθυσμού i μ ο μέσος όρος του πληθυσμού ο αριθμός των παρατηρήσεων του πληθυσμού αντί διότι δεν υπάρχει εκτιμώμενη παράμετρος Τυπική απόκλιση πληθυσμού: σ σ

8 Γ. Πειραματισμός - Βιομετρία Η κατανομή των μέσων όρων Ο πληθυσμός των μ.ο. που προκύπτει εάν ληφθούν όλα τα δυνατά δείγματα (μεγέθους ) από ένα πληθυσμό με κανονική κατανομή έχει, σε σχέση με τον αρχικό αυτό πληθυσμό τα εξής χαρακτηριστικά: - είναι μεγαλύτερος, - έχει τον ίδιο μ.ο. - έχει μικρότερη διακύμανση όσο αυξάνεται το

9 Γ. Πειραματισμός - Βιομετρία Τυπική απόκλιση του μ.o. ή τυπικό σφάλμα Η σχέση μεταξύ της διακύμανσης του πληθυσμού των μέσων όρων και αυτής του αρχικού πληθυσμού είναι: σ Y σ και σ σ Y σ Όταν η εκτίμηση των παραμέτρων γίνεται από ένα δείγμα τότε η αντίστοιχη σχέση είναι: και Y Y Η τυπική απόκλιση του μ.ο. ( Y ) ονομάζεται και τυπικό σφάλμα του μ.ο

10 Γ. Πειραματισμός - Βιομετρία Τυπική απόκλιση του μ.o. ή τυπικό σφάλμα (Συνέχεια) Επειδή: Το σ Y μπορεί να εκτιμηθεί μόνο από ένα δείγμα ως: Y Χρησιμοποιείται η σχέση αυτή για τον υπολογισμό διαστημάτων εμπιστοσύνης (ΔΕ) του μ.ο. σ Y σ Η σχέση αυτή χρησιμοποιείται επανειλημμένα στην ΑΝΟVA όταν εκτιμάται η τυχαία διακύμανση (πειραματικό σφάλμα) από τη διακύμανση των μ.ο. των επεμβάσεων. Στην περίπτωση αυτή: ( Y ) i Y.. Y j. / ΒΕ ε και επομένως: Y

11 Γ. Πειραματισμός - Βιομετρία Συντελεστής παραλλακτικότητας (CV) Είναι η τυπική απόκλιση εκπεφρασμένη επί τοίς εκατό του μέσου όρου των παρατηρήσεων % CV ( Y ) % _ Ο CV είναι μία σχετική μέτρηση της παραλλακτικότητας των δεδομένων Το μέγεθος του εξαρτάται από τη φύση του πειραματικού υλικού και από τις συνθήκες ομοιομορφίας των πειραματικών μονάδων. Η εκτίμηση εάν το CV είναι μεγάλο ή μικρό απαιτεί εμπειρία με παρόμοια πειραματικά δεδομένα Τα δεδομένα που συλλέγονται από φυσικές μετρήσεις (πχ. ύψος, απόδοση) έχουν συνήθως μικρότερο CV από δεδομένα με βάση μια υποκειμενική κλίμακα (πχ. πλάγιασμα, ποσοστό προσβολής)

12 Γ. Πειραματισμός - Βιομετρία Η κατανομή του t

13 Γ. Πειραματισμός - Βιομετρία Συγκρίσεις Μέσων Όρων Δύο Δειγμάτων Έλεγχος υποθέσεων Δύο τύποι υποθέσεων:. H 0 : Μηδενική υπόθεση Υπόθεση μη ύπαρξης διαφοράς. µ ή µ µ 0 µ. H : Εναλλακτική υπόθεση Υπόθεση ύπαρξης διαφοράς. µ ή µ µ 0 µ Υπάρχουν δύο τύποι δοκιμών: αμφίπλευρες και μονόπλευρες

14 Γ. Πειραματισμός - Βιομετρία Αμφίπλευρες δοκιμές Οι αμφίπλευρες δοκιμές ελέγχουν τις υποθέσεις: H 0 : H : µ µ µ µ Επισημαίνεται η ύπαρξη συμβόλων ισότητας µ µ Εάν απορριφθεί η H 0 : δεν έχει σημασία ποιος μ.ο. είναι μεγαλύτερος. Το µ μπορεί να είναι μεγαλύτερο ή μικρότερο από το μ t-κατανομή Περιοχές απόρριψης α/

15 Μονόπλευρες δοκιμές Οι μονόπλευρες δοκιμές μπορούν να έχουν μία από τις υποθέσεις: H 0 : H : µ µ H 0 : µ µ µ < H : µ > µ µ Επισημαίνεται η ύπαρξη συμβόλων ανισότητας Εάν απορριφθεί η Ho καθορίζεται ότι το µ μπορεί να είναι μόνο μικρότερο ή μόνο μεγαλύτερο από το μ t-κατανομή Περιοχή απόρριψης α

16 Τύποι Σφαλμάτων Σφάλμα τύπου Ι: Απόρριψη της μηδενικής υπόθεσης, ενώ ισχύει. Η πιθανότητα διάπραξης Σφάλματος τύπου Ι είναι το επίπεδο σημαντικότητας της δοκιμής, συμβολίζεται με α και καθορίζεται από τον ερευνητή. Συνήθη μεγέθη του α είναι 0.05 και 0.0. Η τιμή της στατιστικής (ανάλογα με τη δοκιμή, πχ t ή F) που αντιστοιχεί στο α λέγεται κρίσιμη τιμή Η πιθανότητα διάπραξης Σφάλματος τύπου Ι εκφράζεται επίσης σαν ποσοστό επί τοις εκατό (δηλαδή α 00 %). Εάν α 0.05, η πιθανότητα διάπραξης Σφάλματος τύπου Ι είναι 5%. Αυτό σημαίνει ότι στο 5% των περιπτώσεων θα απορρίψουμε μία σωστή Η 0. Εάν α 0.05, τότε η Η 0 ελέγχεται με επίπεδο εμπιστοσύνης 95%.

17 Τύποι Σφαλμάτων (Συνέχεια) Σφάλμα τύπου ΙΙ: Η μη απόρριψη μιας λανθασμένης μηδενικής υπόθεσης Η πιθανότητα διάπραξης Σφάλματος τύπου ΙΙ είναι β Το β δεν είναι γνωστό από πριν και δεν καθορίζεται. Για ένα ορισμένο αριθμό παρατηρήσεων (), η τιμή του β είναι αντίστροφα ανάλογη με αυτή του α Το β μπορεί να μειωθεί: α. Αυξάνοντας τον αριθμό παρατηρήσεων ανά επέμβαση () β. Μειώνοντας το με - Αύξηση του - Επιλογή καταλληλότερου πειραματικού σχεδίου - Βελτίωση των τεχνικών διεξαγωγής του πειράματος

18 Τύποι Σφαλμάτων (Συνέχεια)

19 Σφάλματα κατά τον έλεγχο των υποθέσεων Κατάσταση της μηδενικής υπόθεσης Η 0 Ισχύει Δεν ισχύει Πιθανή απόφαση Μη απόρριψη της Η 0 Σωστή απόφαση Σφάλμα τύπου ΙΙ Απόρριψη της Η 0 Σφάλμα τύπου Ι Σωστή απόφαση Η ισχύς της δοκιμής Η ισχύς μιας στατιστικής δοκιμής συμβολίζεται με - β Ορίζεται ως η πιθανότητα αποδοχής μιας σωστής εναλλακτικής υπόθεσης. Είναι επιθυμητή η κατά το δυνατό μεγαλύτερη ισχύς μιας δοκιμής.

20 Στάδια ελέγχου υποθέσεων. Διαμόρφωση μιας λογικής Η 0 και Η. Επιλογή του επιπέδου σημαντικότητας α 3. Υπολογισμός της τιμής της στατιστικής δοκιμής (πχ t ή F ) 4. Σύγκριση με την κρίσιμη τιμή από τους κατάλληλους πίνακες 5. Εξαγωγή συμπερασμάτων α. Εάν η τιμή του πίνακα (κρίσιμη τιμή) είναι μεγαλύτερη από την τιμή που υπολογίστηκε, δεν απορρίπτεται η H 0 β. Εάν η τιμή του πίνακα είναι μικρότερη από την τιμή που υπολογίστηκε, απορρίπτεται η H 0 Η ανάλυση μέσω των ειδικών λογισμικών προγραμμάτων στατιστικής παρέχει την ακριβή πιθανότητα P για την εμφάνιση μιας τιμής ίσης ή πιο ακραίας από την τιμή της στατιστικής που υπολογίστηκε, υπο την προϋπόθεση ότι ισχύει η Η 0

21 Έλεγχος της ισότητας του μ.ο. ενός πληθυσμού με συγκεκριμένη τιμή H 0 : μ μ 0 H : μ μ 0 Μέθοδος : Δοκιμασία του t: Παράδειγμα Ο μέσος όρος ενός πληθυσμού εκτιμήθηκε από ένα δείγμα 5 ατόμων σε 3.5 με 64. Να ελεγχθεί εάν ο μ.ο του πληθυσμού διαφέρει στατιστικώς σημαντικά από την τιμή 3.05 σε επίπεδο σημαντικότητας α t Y µ 0 Y 5, 64, Y 3.5, συγκρ. τιμή 3.05

22 5, 64, Y 3.5, συγκρ. τιμή 3.05 Έλεγχος της ισότητας του μ.ο. ενός πληθυσμού με συγκεκριμένη τιμή Αμφίπλευρη δοκιμασία (Συνέχεια). Διαμόρφωση της υπόθεσης:. Υπολογισμός του Y H 0 : µ 3.05 H : μ 3.05 Y Υπολογισμός του t 4. Σύγκριση με την κρίσιμη τιμή (πινάκας t) t Y µ Y 0 ( ) ΒΕ (-) 5-4 α/ 0.05 Κρίσιμη τιμή: t.064.

23 5, 64, Y 3.5, συγκρ. τιμή 3.05 Έλεγχος της ισότητας του μ.ο. ενός πληθυσμού με συγκεκριμένη τιμή (Συνέχεια) 5. Εξαγωγή συμπερασμάτων. Επειδή το t 0.5 <.064, δεν απορρίπτεται η H 0 : μ 3.05 σε επίπεδο σημαντικότητας 5%. Επομένως μπορούμε να συμπεράνουμε ότι μία τιμή 3.05 δεν διαφέρει σημαντικά από το 3.5 σε επίπεδο σημαντικότητας 5%

24 5, 64, Y 3.5, συγκρ. τιμή 3.05 Έλεγχος της ισότητας του μ.ο. ενός πληθυσμού με συγκεκριμένη τιμή Μονόπλευρη δοκιμασία (Συνέχεια). Διαμόρφωση της υπόθεσης:. Υπολογισμός του Y H 0 : µ 3.05 H : μ > 3.05 Y Υπολογισμός του t Y µ 0 t Y ( ) Σύγκριση με την κρίσιμη τιμή (πινάκας t) ΒΕ (-) 5-4 α 0.05 Κρίσιμη τιμή: t.7

25 5, 64, Y 3.5, συγκρ. τιμή 3.05 Έλεγχος της ισότητας του μ.ο. ενός πληθυσμού με συγκεκριμένη τιμή (Συνέχεια) 5. Εξαγωγή συμπερασμάτων. Επειδή το t 0.5 <.7, δεν απορρίπτεται η H 0 : µ 3.05 σε επίπεδο σημαντικότητας 5%. Επομένως μπορούμε να συμπεράνουμε ότι μία τιμή 3.05 δεν είναι μικρότερη από το 3.5 σε επίπεδο σημαντικότητας 5%.

26 Έλεγχος της ισότητας του μ.ο. ενός πληθυσμού με συγκεκριμένη τιμή Διαστήματα εμπιστοσύνης ( ΔΕ ) Μία εναλλακτική μέθοδος για να ελεγχθεί η υπόθεση H 0 : μ μ 0 είναι η χρήση ενός διαστήματος (ή ορίου) εμπιστοσύνης. Οι υποθέσεις H 0 : μ μ 0 και H : μ μ 0 μπορούν να γραφούν ως: H 0 : μ μ 0 0 και H : μ μ 0 0 Επομένως, εάν το ΔΕ περιέχει την τιμή 0, δεν απορρίπτουμε την H 0. Ο τύπος του ΔΕ για τον έλεγχο της H 0 : μ μ 0 είναι: ( 0 ) ± t a Y ΔΕ µ µ ( ) ±.064(.6) 0.0 ± (Συνέχεια) Επομένως: το κατώτερο όριο l και το ανώτερο όριο l 3.50 Επειδή το διάστημα περιέχει την τιμή 0, δεν απορρίπτεται η μηδενική υπόθεση H 0 : μ μ 0 0 σε επίπεδο σημαντικότητας 5%.

27 Σύγκριση μ.ο. δύο δειγμάτων ( δοκιμασία του t) Εάν μ και μ είναι οι μ.ο. δύο πληθυσμών, να ελεγχθεί η υπόθεση: H 0 : μ μ H : μ μ Εφαρμόζεται η δοκιμασία του t: Y Y Y Y μ.ο. της επέμβασης μ.ο. της επέμβασης τυπική απόκλιση της διαφοράς των δύο μ.ο. Y Y Ο υπολογισμός της εξαρτάται από το εάν: α) εάν οι πληθυσμοί έχουν ίση διακύμανση (δηλ. σ σ ) β) εάν τα δείγματα είναι ισομεγέθη (δηλ. ) γ) εάν οι παρατηρήσεις είναι κατά ζεύγη t Y Y Y Y

28 Σύγκριση μ.o. δύο δειγμάτων ( δοκιμασία του t) (Συνέχεια) Με βάση τα παρακάτω δείγματα, να βρεθεί εάν διαφέρουν στατιστικώς σημαντικά οι μ.ο. των επεμβάσεων (πληθυσμών) σε επίπεδο σημαντικότητας 5% Yi Yi Επέμβαση Επέμβαση Διαμόρφωση της υπόθεσης:. Υπολογισμός & H 0 : μ μ H : μ μ Η μέθοδος υπολογισμού της την H 0 : σ σ Y Y εξαρτάται από το εάν απορρίψουμε ή όχι

29 Σύγκριση μ.o. δύο δειγμάτων ( δοκιμασία του t) (Συνέχεια) Εάν δεν απορριφθεί η Ho: p + Y Y όταν τότε: σ ο τύπος για την σ που ισχύει για Y Y p ή Y Y είναι: Η όταν τότε: Εάν απορριφθεί η Ho: p συνδυασμένη (ή συμψηφισμένη) διακύμανση υπολογίζεται ως: ( ) + ( ) ( ) + ( ) που ισχύει για p + Y Y + p σ ο τύπος για την σ ή Y Y είναι:

30 Έλεγχος ομοιογένειας των δύο διακυμάνσεων Ο έλεγχος της H 0 : σ γίνεται με τη δοκιμασία F: σ Μεγάλο F θα οδηγήσει σε απόρριψη της H 0 : σ σ F Μεγαλύτερη Μικρότερη σ σ Ο έλεγχος της H 0 γίνεται συνήθως σε επίπεδο σημαντικότητας α 0.0 και πρόκειται για αμφίπλευρη δοκιμασία.8 Στο συγκεκριμένο πρόβλημα F Η κρίσιμη τιμή (για α 0.0/ και ΒΕ αριθμητή 5 και ΒΕ παρονομαστή 5) είναι Επειδή η τιμή που υπολογίστηκε (.67) είναι μικρότερη, δεν απορρίπτεται η υπόθεση ισότητας των δύο διακυμάνσεων H 0 : σε α 0.0.

31 Έλεγχος ομοιογένειας των δύο διακυμάνσεων (Συνέχεια) Όταν αργότερα χρησιμοποιήσουμε τη δοκιμή του F για τον έλεγχο της ισότητας δύο ή περισσότερων μέσων όρων ( H 0 : μ μ μ ν ), αυτή θα είναι μια μονόπλευρη δοκιμασία γιατί ο αριθμητής της F στατιστικής, δηλαδή η διακύμανση που βασίζεται στους μέσους όρους των επεμβάσεων ( σ e +σ a ), αναμένεται να είναι μεγαλύτερος από τον παρονομαστή, δηλαδή τη διακύμανση που βασίζεται στις ατομικές παρατηρήσεις (σ e ) και που αποτελεί το πειραματικό σφάλμα

32 Σύγκριση μ.o. δύο δειγμάτων ( δοκιμασία του t) (Συνέχεια) 3. Υπολογισμός (.4.8) + + p : p.6 4. Υπολογισμός Y Y p (.6) : Y Y Y Y Υπολογισμός του t : t Y Y 6. Η κρίσιμη τιμή του πίνακα για ΒΕ ( ) + ( ) (6-) + (6-) 0 και α 0.05 (αμφίπλευρη δοκιμασία) είναι.8.

33 Σύγκριση μ.o. δύο δειγμάτων ( δοκιμασία του t) (Συνέχεια) 7. Εξαγωγή συμπερασμάτων Επειδή το t 5.37 >.8 απορρίπτεται η H 0 : μ μ σε α Επομένως, συμπεραίνεται ότι ο μ.ο. της Επέμβασης διαφέρει σημαντικά από τον μ.ο. της Επέμβασης σε α 0.05.

34 Σύγκριση μ.ο. δύο δειγμάτων (Διάστημα εμπιστοσύνης) Ο τύπος του ΔΕ για τον έλεγχο της υπόθεσης H 0 : µ µ είναι: ( Y Y ) ± ( 8 3) ±.8( 0.93) t a Y ± Y όπου l.93 είναι το κατώτερο όριο και l 7.07 το ανώτερο όριο Επειδή το ΔΕ δεν περιέχει την τιμή 0, απορρίπτουμε την H 0 : µ µ σε επίπεδο σημαντικότητας α 0.05

35

36 Σύγκριση δύο μ.ο. με τη δοκιμασία του F ( F-tet) Γραμμικό πρότυπο για δύο ή περισσότερα δείγματα (επεμβάσεις) Yij µ + τι + ε ij όπου Y ij µ τ ι ε ij j-στή παρατήρηση της i-στής επέμβασης ο μ.ο. του πληθυσμού η επίδραση της i-στής επέμβασης τυχαίο σφάλμα Μπορούμε να εκτιμήσουμε την από τους μ.ο. υπολογίζοντας το Μέσο Τετράγωνο (ή διακύμανση) των Επεμβάσεων (ΜΤ ε) Μπορούμε να εκτιμήσουμε την σ σ από τις ατομικές παρατηρήσεις υπολογίζοντας το Μέσο Τετράγωνο (ή διακύμανση) του Σφάλματος (ΜΤ υ)

37 Γραφική παράσταση των αποκλίσεων

38 Σύγκριση δύο μ.ο. με τη δοκιμασία του F (F-tet) (Συνέχεια) Τα συστατικά του προτύπου µ ως Y.. τ ως Y i. Y.. ι ε ως Y ij Y i. ij oπότε: Y ij Yij µ + τι + ε ( Y. Y.. ) + ( Y Y.) Y.. + i i ij μπορούν να ξαναγραφούν ως εξής: ij Y ij ( Y. Y.. ) + ( Y Y.) Y.. i i ij a i j a ( ) ( ) Y Y.. Y. Y.. + ( Y Y ) i. ij i j i a i j ij ή απλούστερα: ( Y Y.. ) ( Y ) ij i. Y.. ( Y Y.. ) + ij i

39 Σύγκριση δύο μ.ο. με τη δοκιμασία του F (F-tet) (Συνέχεια) Ανάλυση της παραλλακτικότητας (ANOVA) Πηγή Παραλλακτικότητας Π Μεταξύ Βαθμοί Ελευθερίας (ΒΕ) Άθροισμα Τετραγώνων (ΑΤ) των Επεμβάσεων a- ΑΤε ( Y ) i. Y.. Μέσο Τετράγωνο (ΜΤ) ATε MTε a ) Τιμή του F ΜΤε ΜΤυ Εντός των Επεμβάσεων Υπόλοιπο ή Σφάλμα) (Υ a(-) ΑΤυ ( Y ) ij Yi. Σύνολο a- ΑΤσ ( Y ij Y.. ) ΜΤ υ ATυ a( -)

40 Σύγκριση δύο μ.ο. με τη δοκιμασία του F (F-tet) (Συνέχεια) Yi Επέμβαση Επέμβαση Y.. 66 ( Y ) ij ΑΤσ Yij Y.. Yij a. ( ) ( ) 66 / (6 ) Yi. ΑΤε ( Y ) i. Y.. ( Y ) Y ij 48 i 8 66 ( + ) a ATυ i i Y ij Y i ή ΑΤυ ΑΤσ ΑΤε

41 Σύγκριση δύο μ.ο. με τη δοκιμασία του F (F-tet) (Συνέχεια) 4. Πηγή ΒΕ ΑΤ ΜΤ F Επεμβάσεις a- 75,0 75,0 8,85** Υπόλοιπο ή Σφάλμα a(-) 0 6,0,6 Σύνολο a- 5. F α; ΒΕ επεμβάσεων, ΒΕ υπολοίπου F 0.05 ;, F 0.0 ;, Επειδή το F 8.85 > 4.96 απορρίπτεται η H 0 : μ μ σε α Επειδή το F 8.85 > 0.04 απορρίπτεται η H 0 : μ μ σε α 0.0 Για δύο επεμβάσεις t F