Δημήτρης Χασάπης ΧΩΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΗΝ ΠΡΟΥΟΛΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΤΗ
Γηάθξηζε ησλ ρσξηθώλ ζρέζεσλ Τνπνινγηθέο ζρέζεηο, νη νπνίεο αθνξνύλ ζηηο κνξθέο ελόο αληηθεηκέλνπ αθ εαπηνύ. Δίλαη ζρέζεηο αλάκεζα ζηα ζηνηρεία ελόο αληηθεηκέλνπ. Πξνβνιηθέο ζρέζεηο, νη νπνίεο αθνξνύλ ζηηο δηαθνξεηηθέο όςεηο ελόο αληηθεηκέλνπ. Δίλαη ζρέζεηο αλάκεζα ζε έλα αληηθείκελν θαη έλαλ παξαηεξεηή. Γεσκεηξηθέο ζρέζεηο, νη νπνίεο εκπεξηέρνπλ ηηο ηνπνινγηθέο θαη πξνβνιηθέο ζρέζεηο θαη παξάιιεια εηζάγνπλ ζ απηέο κεηξηθά ραξαθηεξηζηηθά.
Ποιεσ είναι οι χωρικέσ ςχέςεισ, οι οποίεσ χαρακτηρίζουν τη μετάβαςη από τισ προβολικέσ ςχέςεισ ςτισ γεωμετρικέσ ςχέςεισ?
Τνπνινγηθέο ζρέζεηο Πξνβνιηθέο ζρέζεηο Σσέζειρ παπαλληλίαρ Σσέζειρ ομοιόηηηαρ Γεσκεηξηθέο ζρέζεηο
Πνηεο είλαη νη βαζηθέο έλλνηεο νη νπνίεο δηακνξθώλνπλ ηηο ζρέζεηο παξαιιειίαο θαη νκνηόηεηαο
Οη έλλνηεο ησλ παξάιιεισλ γξακκώλ ηεο νκνηόηεηα ησλ ζρεκάησλ ησλ νξηδόληησλ θαη θαηαθόξπθσλ / θαζέησλ γξακκώλ
Οη γεσκεηξηθέο ζρέζεηο κεηξηθή ζεώξεζε ηνπ ρώξνπ - Απόζηαζε αλάκεζα ζε δύν ζεκεία / Μήθνο - Δπίπεδα ζρήκαηα / Δπηθάλεηα/ Δκβαδόλ - Σηεξεά ζρήκαηα / Φσξεηηθόηεηα / Όγθνο
Πσο αλαπηύζζεηαη ε γεσκεηξηθή ζθέςε? Αλάπηπμε (Πηαδέ) Μάζεζε (Βαλ Φηι)
Dina θαη Pierre Van Hiele Ζ ζεσξία ησλ Van Hiele αλαπηύρζεθε από ηελ Dina Van Hiele Geldof θαη ην ζύδπγό ηεο Pierre Marie Van Hiele ζε απηόλνµεο δηδαθηνξηθέο δηαηξηβέο ζην παλεπηζηήµην ηεο Οπηξέρηεο ην 1957. Ζ Dina πέζαλε ιίγν µεηά ηελ νινθιήξσζε ηεο δηαηξηβήο ηεο, νπόηε ν Pierre ππήξμε εθείλνο πνπ επεμήγεζε ηε ζεσξία. Van Hiele P. (1959) : La pensée de l enfant et la géométrie. Bulletin de l Association des Professeurs des Mathématiques de l Enseignement Public, 198, 199-205. Van Hiele P. (1986) : Structure and insight : A theory of mathematics εducation, New York, Academic Press
Van Hiele: Δπίπεδα ζπγθξόηεζεο θαη αλάπηπμεο ηεο γεσκεηξηθήο ζθέςεο 1: Οπηηθή ζεώξεζε / Αλαγλώξηζε 2: Πεξηγξαθηθή ζεώξεζε / Αλάιπζε 3: Σρεζηαθή ζεώξεζε 4: Παξαγσγηθή ζεώξεζε 5: Απζηεξόηεηα
Τα επίπεδα δηαθξίλνληαη κεηαμύ ηνπο σο πξνο ηα αληηθείκελα ηεο ζθέςεο ησλ παηδηώλ 1: Τα γεσκεηξηθά ζρήκαηα θαη ε κνξθή ηνπο 2: Οη ηάμεηο ησλ γεσκεηξηθώλ ζρεκάησλ 3: Οη ηδηόηεηεο ησλ γεσκεηξηθώλ ζρεκάησλ (ζρέζεηο αλάκεζα ζηα ζηνηρεία ελόο ζρήκαηνο). 4: Οη ζρέζεηο αλάκεζα ζηηο ηδηόηεηεο ησλ γεσκεηξηθώλ ζρεκάησλ 5: Τα αμησκαηηθά ζπζηήκαηα νξγάλσζεο ηεο γεσκεηξίαο
Ζ αιιεινπρία ησλ αληηθεηκέλσλ θαη ησλ απνηειεζκάησλ ηεο ζθέςεο ησλ παηδηώλ 5 4 Τα αμησκαηηθά ζπζηήκαηα νξγάλσζεο ηεο γεσκεηξίαο 3 Οη ζρέζεηο αλάκεζα ζηηο ηδηόηεηεο ησλ γεσκεηξηθώλ ζρεκάησλ 2 Οη ηδηόηεηεο ησλ γεσκεηξηθώλ ζρεκάησλ. 1 Οη ηάμεηο ησλ γεσκεηξηθώλ ζρεκάησλ Τα γεσκεηξηθά ζρήκαηα θαη ε κνξθή ηνπο
Ηδηόηεηεο ησλ επηπέδσλvan Hiele 1. Σηαζεξή αιιεινπρία: Έλα παηδί δελ κπνξεί λα βξίζθεηαη ζε έλα επίπεδν ρσξίο λα έρεη πεξάζεη από ην πξνεγνύκελν ηνπ. 2. Γηαδνρηθόηεηα: Σε θάζε επίπεδν ζθέςεο εθδειώλεηαη εθείλν πνπ ήηαλ ζε ιαλζάλνπζα θαηάζηαζε ζην πξνεγνύκελν επίπεδν. 3. Γηάθξηζε: Σε θάζε επίπεδν αληηζηνηρνύλ ηα δηθά ηνπ γισζζηθά ζύκβνια θαη ην δηθό ηνπ δίθηπν ζρέζεσλ πνπ ζπλδένπλ ηα ζύκβνια απηά. 4. Γηαρσξηζµόο: Γύν άηνκα πνπ εθηεινύλ ζπιινγηζµνύο ζε δηαθνξεηηθά επίπεδα δελ κπνξνύλ λα αιιεινθαηαλνεζνύλ.
0: Πξν-αλαγλώξηζε Οη Clements & Battista (1992) πξόηεηλαλ ηελ ύπαξμε ελόο αξρηθνύ επηπέδνπ, ην νπνίν απνθάιεζαλ επίπεδν πξν-αλαγλώξηζεο. Τα παηδηά παξαηεξνύλ µόλν έλα ππνζύλνιν ησλ νπηηθώλ ραξαθηεξηζηηθώλ κηαο κνξθήο, µε ζπλέπεηα κηα αληθαλόηεηα λα δηαθξίλνπλ κεηαμύ ησλ γεσκεηξηθώλ ζρεκάησλ. Π.ρ. µπνξνύλ λα δηαθξίλνπλ κεηαμύ ησλ ηξηγώλσλ θαη ησλ ηεηξάπιεπξσλ, αιιά δελ κπνξνύλ λα δηαθξίλνπλ έλα ξόκβν από έλα παξαιιειόγξαµµν. Clements, D. & Battista, M (1992)"Geometry and Spatial Reasoning." In D. Grouws, ed. Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning, New York: Macmillan Publishing Co.
Σπκπιεξσκαηηθέο ζεσξεηηθέο πξνζεγγίζεηο ζηε ζπγθξόηεζε θαη αλάπηπμε ηεο γεσκεηξηθήο ζθέςεο Ο Hoffer (1986) πξόηεηλε πέληε θαηεγνξίεο γεσκεηξηθώλ ηθαλνηήησλ, ηηο νπνίεο ζα πξέπεη λα αλαπηύμνπλ ηα παηδηά: νπηηθέο ηθαλόηεηεο, ιεθηηθέο ηθαλόηεηεο, ζρεδηαζηηθέο ηθαλόηεηεο, ινγηθέο ηθαλόηεηεο θαη ηθαλόηεηεο εθαξκνγήο. Hoffer, A. (1986). Geometry and visual thinking. In T. R. Post (Ed.), Teaching mathematics in grades K-8: Research based methods (ζει..233-261). Newton, MA: Allyn and Bacon.
Δπίπεδα ζπγθξόηεζεο θαη αλάπηπμεο ηεο γεσκεηξηθήο ζθέςεο & θαηεγνξίεο γεσκεηξηθώλ ηθαλνηήησλ
1: Οπηηθή ζεώξεζε / Αλαγλώξηζε Τα παηδηά αληηιακβάλνληαη ην ρώξν πνπ ππάξρεη γύξσ ηνπο νπηηθά. Αλαγλσξίδνπλ ηα γεσκεηξηθά ζρήκαηα από ηε ζπλνιηθή ηνπο κνξθή, σο νιόηεηεο θαη όρη σο νληόηεηεο πνπ απνηεινύληαη από δηάθνξα κέξε. Μπνξνύλ λα δηαθξίλνπλ, λα αλαπαξαγάγνπλ θαη λα νλνκάζνπλ ηα δηάθνξα ζρήκαηα, αιιά δελ κπνξνύλ λα δηαθξίλνπλ ηηο ηδηόηεηεο ελόο γεσκεηξηθνύ ζρήκαηνο. Γηα ηελ πεξηγξαθή ηνπο ρξεζηκνπνηνύλ νπηηθά πξόηππα π.ρ. έλα ζρήκα είλαη νξζνγώλην όηαλ κνηάδεη µε πόξηα θ.ι.π.
1: Οπηηθή ζεώξεζε / Αλαγλώξηζε Οπηηθέο ηθαλόηεηεο: Τα παηδηά αλαγλσξίδνπλ ηε κνξθή ελόο ζρήκαηνο ζε µηα εηθόλα, έλα ζρέδην ή κηα ζύλζεζε. Αλαγλσξίδνπλ ηα µέξε ελόο ζρήµαηνο.
Παξάδεηγκα Τα παηδηά ειηθηώλ 4 θαη 5 εηώλ επηιέγνπλ ηνπο θύθινπο από ηελ παξαθάησ ζπιινγή ζρεκάησλ κε απόιπηε επηηπρία. Λεθηηθά όκσο ηα πεξηζζόηεξα παηδηά πεξηγξάθνπλ ηνπο θύθινπο σο «ζηξνγγπιά» ( round ) (Clements 2004).
Παξάδεηγκα Τα παηδηά ειηθηώλ 4 θαη 5 εηώλ επηιέγνπλ ηα ηεηξάγσλα από ηελ παξαθάησ ζπιινγή ζρεκάησλ κε απόιπηε επηηπρία. Οη απαληήζεηο ησλ παηδηώλ είλαη ζπλήζσο επηηπρείο αθόκε θαη ζηηο πεξηπηώζεηο πνπ νη βάζεηο ησλ ηεηξαγώλσλ δελ είλαη νξηδόληηεο (όπσο ζηα ζρήκαηα 5 θαη 11 ηεο ζπιινγήο). Έλα ζπλεζηζκέλν, όκσο, ιάζνο είλαη λα εληάζζνπλ ην ξόκβν (ζρήκα 3) ζηελ θαηεγνξία ησλ ηεηξαγώλσλ.
Σπρλά ε κνξθή ππεξηζρύεη ηνπ γεσκεηξηθνύ ζρήκαηνο. Παξάδεηγκα Τν ζρήκα ζηε ζέζε (Η) αλαγλσξίδεηαη ζσζηά σο ηεηξάγσλν, αιιά όηαλ πεξηζηξαθεί θαηά 45 0 (ΗΗ) παύεη λα θαίλεηαη ηεηξάγσλν ζηα παηδηά. Τα παηδηά ζεσξνύλ σο ραξαθηεξηζηηθά ηνπ ζρήκαηνο ηελ ηνπνζέηεζε ή θαη ηελ δηεύζπλζε ηνπ.
1: Οπηηθή ζεώξεζε / Αλαγλώξηζε Λεθηηθέο ηθαλόηεηεο: Ολνκάδνπλ έλα ζρήµα ρξεζηκνπνηώληαο άηππα ή ηππηθά νλόκαηα. Καηαιαβαίλνπλ έλα ζρήκα από ηελ πεξηγξαθή ηνπ. Δξµελεύνπλ πξνηάζεηο πνπ πεξηγξάθνπλ ζρήµαηα. Τν παηδί όηαλ ξσηεζεί πνηα είλαη ε δηαθνξά µεηαμύ ελόο ηεηξαγώλνπ θαη ελόο νξζνγσλίνπ ιέεη «απηό είλαη πην πιαηύ» Καηαηάζζεη ηα ηεηξάπιεπξα ζε «ηεηξάγσλα, νξζνγώληα, θαη άιια» επεηδή «απηά θαίλνληαη παξόµνηα». Πεξηγξάθεη έλα νξζνγώλην ιέγνληαο «Μνηάδεη µε ηεηξάγσλν».
1: Οπηηθή ζεώξεζε / Αλαγλώξηζε Ηθαλόηεηεο Σρεδίαζεο: Σρεδηάδνπλ, θαηαζθεπάδνπλ ή αληηγξάθνπλ έλα ζρήµα.
1: Οπηηθή ζεώξεζε / Αλαγλώξηζε Λνγηθέο ηθαλόηεηεο: Σπγθξίλνπλ θαη θαηαηάζζνπλ ζρήµαηα µε θξηηήξην ηελ εµθάληζήο ηνπο σο νιόηεηα.
1: Οπηηθή ζεώξεζε / Αλαγλώξηζε Ηθαλόηεηεο Δθαξµνγήο: Αλαγλσξίδνπλ γεσκεηξηθά ζρήκαηα ζε αληηθείκελα ηεο θαζεκεξηλόηεηαο.
Εσγξαθίζηε κε ίδηα ρξώκαηα ηα ίδηα ζρήκαηα
Εσγξαθίζηε έλα ζρήκα
Συνοψίζοντας 1: Οπηηθή ζεώξεζε / Αλαγλώξηζε Τα παηδηά είλαη ζε ζέζε: λα αλαγλσξίδνπλ λα ζρεδηάδνπλ θαη λα θαηαζθεπάδνπλ από ραξηί λα ηαμηλνκνύλ λα πεξηγξάθνπλ κε ηα δηθά ηνπο ιόγηα ηα γεσκεηξηθά ζρήκαηα κε βάζε ηα ραξαθηεξηζηηθά ηεο κνξθήο ηνπο.
Τι προτείνεται ςτα αναλυτικά προγράμματα Σπλήζσο ηα αλαιπηηθά πξνγξάκκαηα γηα ηελ πξνζρνιηθή ειηθία πξνηείλνπλ ηε δηδαζθαιία ησλ ζρεκάησλ ζε ηέζζεξηο ελόηεηεο: ηνλ θύθιν, ην ηεηξάγσλν, ην ηξίγσλν θαη ην νξζνγώλην. Ζ δηάθξηζε κεηαμύ ηεηξαγώλνπ θαη νξζνγσλίνπ εληνπίδεηαη ζηελ ειηθία ησλ 5 εηώλ.
Μηα άιιε άπνςε
2: Πεξηγξαθηθή ζεώξεζε / Αλάιπζε Τα παηδηά κπνξνύλ λα αλαιύζνπλ έλα γεσκεηξηθό ζρήκα ζηα ζπζηαηηθά ηνπ θαη λα εληνπίζνπλ ζρέζεηο κεηαμύ ηνπο. Μπνξνύλ λα ρξεζηκνπνηνύλ ηηο ηδηόηεηεο ελόο ζρήκαηνο γηα λα ην αλαγλσξίζνπλ θαη λα ην ηαμηλνκήζνπλ ζε κηα θαηεγνξία, π.ρ. ηεηξάπιεπξα, παξαιιειόγξακκα. Γελ κπνξνύλ όκσο λα δηαθξίλνπλ ζρέζεηο αλάκεζα ζηηο δηάθνξεο ηδηόηεηεο ηνπ ίδηνπ ζρήκαηνο, π.ρ. αλάκεζα ζηηο πιεπξέο θαη ζηηο γσλίεο ελόο ηεηξαγώλνπ νύηε αλάκεζα ζηηο ηδηόηεηεο ησλ δηαθόξσλ ζρεκάησλ, π.ρ. ηεηξάγσλνπ θαη ξόκβνπ.
2: Πεξηγξαθηθή ζεώξεζε / Αλάιπζε Οπηηθέο: Γηαθξίλνπλ θαη ειέγρνπλ ζρέζεηο µεηαμύ ησλ ζηνηρείσλ ησλ ζρεµάησλ Παξαηεξνύλ όηη γηα ζε έλα παξαιιειόγξαµµν «Απηέο νη απέλαληη πιεπξέο είλαη ίζεο θαη ην ίδην θαη εθείλεο».
2: Πεξηγξαθηθή ζεώξεζε / Αλάιπζε Λεθηηθέο: Πεξηγξάθνπλ ηδηόηεηεο ελόο ζρήµαηνο. πεξηγξάθνπλ έλα ηεηξάγσλν ιέγνληαο «έρεη 4 πιεπξέο, 4 ίζεο γσλίεο θαη όιεο νη πιεπξέο είλαη ίζεο»
Σρεδίαζεο: 2: Πεξηγξαθηθή ζεώξεζε / Αλάιπζε Μεηαθξάδνπλ πξνθνξηθέο πιεξνθνξίεο ζε εηθόλεο. Φξεζηµνπνηνύλ ηηο ηδηόηεηεο ελόο ζρήµαηνο γηα λα θαηαζθεπάζνπλ ην ζρήµα.
2: Πεξηγξαθηθή ζεώξεζε / Αλάιπζε Λνγηθέο: Σπγθξίλνπλ δύν ζρήµαηα µε βάζε ηηο ζρέζεηο ησλ ζηνηρείσλ πνπ ηα απνηεινύλ. Καηαηάζνπλ ηα ζρήµαηα ζε δηάθνξεο θαηεγνξίεο κε βάζε νξηζκέλεο ηδηόηεηεο ηνπο. Λέλε πσο έλα ηεηξάγσλν θαη έλα νξζνγώλην κνηάδνπλ ζηηο γσλίεο ηνπο θαη δηαθέξνπλ ζηηο πιεπξέο ηνπο.
2: Πεξηγξαθηθή ζεώξεζε / Αλάιπζε Δθαξµνγήο: Αλαγλσξίδνπλ ηηο γεσµεηξηθέο ηδηόηεηεο πιηθώλ αληηθεηµέλσλ.
Σρήκαηα κε δίπισκα ραξηηνύ
Συνοψίζοντας 2: Πεξηγξαθηθή ζεώξεζε / Αλάιπζε Τα παηδηά είλαη ζε ζέζε: λα αλαγλσξίδνπλ λα ηαμηλνκνύλ λα πεξηγξάθνπλ κε πην ηππηθό ιεμηιόγην ηα γεσκεηξηθά ζρήκαηα κε βάζε ηηο ηδηόηεηεο ηνπο.
3: Σρεζηαθή ζεώξεζε / Γηάηαμε ηαμηλόκεζε ηδηνηήησλ Τα παηδηά κπνξνύλ λα δηαθξίλνπλ ζρέζεηο αλάκεζα ζηηο δηάθνξεο ηδηόηεηεο ηνπ ίδηνπ ζρήκαηνο, π.ρ. αλάκεζα ζηηο πιεπξέο θαη ζηηο γσλίεο ελόο ηεηξαγώλνπ θαζώο θαη αλάκεζα ζηηο ηδηόηεηεο ησλ δηαθόξσλ ζρεκάησλ, π.ρ. ηεηξαγώλνπ θαη παξαιιειόγξακκνπ. Αληηιακβάλνληαη ηνπο νξηζκνύο σο άηππνπο ραιαξνύο ζπιινγηζκνύο.
3: Σρεζηαθή ζεώξεζε Οπηηθέο: Αλαγλσξίδνπλ ζρέζεηο θαη θνηλέο ηδηόηεηεο δηαθόξσλ ζρεµάησλ Λεθηηθέο: Γηαηππώλνπλ νξηζµνύο ελλνηώλ θαη πξνηάζεηο, νη νπνίεο εθθξάδνπλ ζρέζεηο µεηαμύ ησλ ζρεµάησλ. Σρεδίαζεο: εδνµέλσλ θάπνησλ ζρεµάησλ, µπνξεί λα θαηαζθεπάδεη άιια ζρήµαηα πνπ ζρεηίδνληαη µε ηα αξρηθά. Λνγηθέο: Χξεζηµνπνηνύλ ηηο ηδηόηεηεο ησλ ζρεµάησλ, γηα λα ζπµπεξάλνπλ ηηο κεηαμύ ηνπο ζρέζεηο. Δθαξµνγήο: Καηαλννύλ ηελ έλλνηα ηεο µαζεµαηηθήο παξάζηαζεο ζρέζεσλ µεηαμύ αληηθεηµέλσλ ηεο πξαγκαηηθόηεηαο.
Σρέζεηο θαη θνηλέο ηδηόηεηεο δηαθόξσλ ζρεµάησλ
ζπλάγνπλ ζπκπεξάζκαηα από ηηο ηδηόηεηεο θαη γηα ηηο ηδηόηεηεο ησλ γεσκεηξηθώλ ζρεκάησλ
Δκβαδόλ παξαιιεινγξάκκνπ Δκβαδόλ ηξηγώλνπ
3: Σρεζηαθή ζεώξεζε / Γηάηαμε ηδηνηήησλ Σπλνςίδνληαο, ηα παηδηά είλαη ζε ζέζε: λα ηαμηλνκνύλ ηεξαξρηθά ηα γεσκεηξηθά ζρήκαηα. λα ζπλάγνπλ ζπκπεξάζκαηα από ηηο ηδηόηεηεο θαη γηα ηηο ηδηόηεηεο ησλ γεσκεηξηθώλ ζρεκάησλ. λα δηαηππώλνπλ νξηζκνύο.
4: Τππηθή παξαγσγηθή ζεώξεζε / απόδεημε Τα παηδηά θαηαλννύλ ηνπο νξηζκνύο, ηα αμηώκαηα, ηα ζεσξήκαηα θαη ηηο απνδείμεηο. Μπνξνύλ λα αλαπηύμνπλ κηα απόδεημε κε πεξηζζόηεξνπο από έλα ηξόπνπο.
Δάλ Μ είλαη ην κέζνλ ηνπ επζπγξάκκνπ ηκήκαηνο ΑΓ, λα απνδεηρζεί όηη ην εκβαδόλ ησλ ηξηγώλσλ ΑΜΒ θαη ΒΜΓ είλαη ίζα.
4: Τππηθή παξαγσγηθή ζεώξεζε / απόδεημε Οπηηθέο: Χξεζηµνπνηνύλ πιεξνθνξίεο από έλα ζρήµα γηα λα ζπλάγνπλ λέα ζηνηρεία. Λεθηηθέο: Καηαλννύλ ηηο δηαθνξέο µεηαμύ νξηζµώλ αμησµάησλ θαη ζεσξεµάησλ. ηαθξίλνπλ ηηο ππνζέζεηο από ηα ζπµπεξάζµαηα ζηελ επίιπζε ελόο πξνβιήµαηνο. Σρεδίαζεο: Από δνζµέλεο πιεξνθνξίεο νδεγνύληαη ζηελ ζρεδίαζε ελόο ζπγθεθξηµέλνπ ζρήµαηνο. Λνγηθέο: Χξεζηµνπνηνύλ ινγηθνύο θαλόλεο γηα λα θαηαζθεπάζνπλ απνδείμεηο.. Δθαξµνγήο: Σπµπεξάλνπλ ηδηόηεηεο αληηθεηµέλσλ από πιεξνθνξίεο θαη ιύλνπλ πξνβιήµαηα ζρέζεσλ.
5: Λνγηθή απζηεξόηεηα Τα παηδηά θαηαλννύλ ηε γεσκεηξία σο έλα ζύλνιν νξηζκώλ, αμησκάησλ θαη ζεσξεκάησλ, ηα νπνία ζπλδένληαη κεηαμύ ηνπο Μπνξνύλ λα εμεηάδνπλ ηε ζρέζε πνιιώλ νξηζκώλ, αμησκάησλ θαη ζεσξεκάησλ κεηαμύ ηνπο. Σπάληα θηάλνπλ ζην επίπεδν απηό νη καζεηέο ηεο δεπηεξνβάζκηαο εθπαίδεπζεο.
5: Λνγηθή απζηεξόηεηα Οπηηθέο: Αλαγλσξίδνπλ εζθαιµέλεο παξαδνρέο ζε έλα πξόβιεµα πνπ ρξεζηµνπνηήζεθαλ ζρήµαηα. Λεθηηθέο: : ηαηππώλνπλ πξνεθηάζεηο γλσζηώλ απνηειεζµάησλ. Σρεδίαζεο: Αληηιαµβάλνληαη ηα όξηα θαη ηηο δπλαηόηεηεο δηαθόξσλ νξγάλσλ µέηξεζεο. Αλαπαξηζηνύλ κε δηαγξάκκαηα ή ζρήκαηα έλλνηεο δηαθόξσλ επαγσγηθώλ ζπζηεµάησλ. Λνγηθέο: Αληηιαµβάλνληαη ηα όξηα θαη ηηο δπλαηόηεηεο αμησµάησλ θαη πξνηάζεσλ. Δθαξµνγήο: Αλαπηύζζνπλ µαζεµαηηθέο πεξηγξαθέο θπζηθώλ θαη θνηλσληθώλ θαηλόκελσλ.
Καηά ηνπο van Hiele (θαη ζε αληίζεζε κε ηνλ Piaget) ε κεηάβαζε από ην έλα επίπεδν γεσκεηξηθήο ζθέςεο ζην άιιν εμαξηάηαη από ην πεξηερόκελν ηεο δηδαζθαιίαο θαη ηα δηδαθηηθά πιηθά πνπ ζα ρξεζηκνπνηεζνύλ. Ζ ρξνληθή δηάξθεηα ηεο κεηάβαζεο από ην έλα επίπεδν γεσκεηξηθήο ζθέςεο ζην άιιν πνηθίιεη.
Van Hiele: Δπίπεδα ζπγθξόηεζεο θαη αλάπηπμεο ηεο γεσκεηξηθήο ζθέςεο Ζ δηδαθηηθέο παξεκβάζεηο γηα ηελ ελίζρπζε ηεο κεηάβαζεο από ην έλα επίπεδν ζην άιιν αλαπηύζζνληαη ζε πέληε θάζεηο.
1 ε θάζε: Γηεξεύλεζε Έξεπλα θαη εηζαγσγή ζηηο έλλνηεο µέζσ πιηθώλ. Αλαπηύζζνληαη ζπδεηήζεηο γηα ηηο δξαζηεξηόηεηεο θαη ηα αληηθείκελα ηεο κειέηεο. Γίλνληαη παξαηεξήζεηο, δίλνληαη πιεξνθνξίεο, ηίζεληαη εξσηήζεηο θαη εηζάγεηαη ην θαηάιιειν ιεμηιόγην. Παξάδεηγκα Τη είλαη ξόκβνο; Τεηξάγσλν; Παξαιιειόγξακκν; Σε ηη κνηάδνπλ κεηαμύ ηνπο; Σε ηη δηαθέξνπλ;
Πόζα δηαθνξεηηθά ζρήκαηα βιέπνπκε εδώ?
Οκνηόηεηεο Γηαθνξέο ζρεκάησλ
Υιηθά
2ε θάζε: Καηεπζπλόκελνο πξνζαλαηνιηζκόο Καηαζθεπάδνληαη ζρήκαηα κε θαηάιιεια πιηθά θαη ηα παηδηά θαζνδεγνύληαη ζηελ ηερληθή θαηαζθεπήο ελόο ζρήκαηνο θαη αζθνύληαη ζηελ θαηαλόεζε ησλ ραξαθηεξηζηηθώλ ηνπ ζρήκαηνο. Δλζαξξύλεηαη ε αθξηβήο θαη θαηάιιειε γιώζζα. Παξάδεηγκα Αο θαηαζθεπάζνπκε έλα ξόκβν, ύζηεξα έλα κεγαιύηεξν θαη ύζηεξα έλα κηθξόηεξν. Από ηη εμαξηάηαη ην κέγεζνο ηνπ ξόκβνπ?
Από ηη εμαξηάηαη ην κέγεζνο ηνπ ξόκβνπ?
3ε θάζε: Δξκελεία - επεμήγεζε Τα παηδηά ζπδεηνύλ γηα ηα ζρήκαηα πνπ ζρεδίαζαλ ή θαηαζθεύαζαλ θαη γηα ηηο ηδηόηεηεο ησλ ζρεκάησλ απηώλ. Παξάδεηγκα Οη δηαγώληνη ηνπ ξόκβνπ είλαη άμνλεο ζπκκεηξίαο (δηπιώλεη) Οη απέλαληη γσλίεο ηνπ?
van Hiele Ο ξόινο ηεο γιώζζαο ην παηδί θηλείηαη από ην έλα επίπεδν αλάπηπμεο ηεο γεσκεηξηθήο ηνπ ζθέςεο ζην άιιν µε ηε βνήζεηα ηεο γιώζζαο
Οη ιέμεηο θαη ην λόεκα ηνπο
4 ε θάζε: Διεύζεξνο πξνζαλαηνιηζκόο Τα παηδηά εξγάδνληαη αηνκηθά κε δξαζηεξηόηεηεο πνπ πεξηιακβάλνπλ πνιιά βήκαηα. Παξάδεηγκα Σπκπιεξώλνπλ έλα ζρέδην ή ζπλζέηνπλ έλα ζρήκα.
Σπκπιεξώζηε ην ζρήκα ώζηε λα γίλεη ξόκβνο.
5 ε θάζε: Οινθιήξσζε Τα παηδηά ζπλνςίδνπλ όηη έρνπλ κάζεη ζε έλα εληαίν όιν. Ζ λέα γλώζε αληηθαζηζηά ηελ παιηά θαη ηα παηδηά είλαη έηνηκα λα πξνρσξήζνπλ ζην επόκελν επίπεδν ζην νπνίν ζα επαλαιάβνπλ ηα ίδηα βήκαηα.
Παξάδεηγκα: Σρήκαηα κε ηέζζεξεο πιεπξέο
1 ε θάζε: Γηεξεύλεζε Έξεπλα θαη εηζαγσγή ζηηο έλλνηεο µέζσ πιηθώλ.
2ε θάζε: Καηεπζπλόκελνο πξνζαλαηνιηζκόο Καηαζθεπάδνληαη ζρήκαηα κε θαηάιιεια πιηθά
3ε θάζε: Δξκελεία επεμήγεζε Τα παηδηά ζπδεηνύλ γηα ηα ζρήκαηα πνπ ζρεδίαζαλ ή θαηαζθεύαζαλ θαη γηα ηηο ηδηόηεηεο ηνπο Με πόζνπο δηαθνξεηηθνύο ηξόπνπο δηπιώλεη?
4 ε θάζε: Διεύζεξνο πξνζαλαηνιηζκόο Τα παηδηά εξγάδνληαη αηνκηθά κε δξαζηεξηόηεηεο πνπ πεξηιακβάλνπλ πνιιά βήκαηα.
5 ε θάζε: Οινθιήξσζε Τα παηδηά ζπλνςίδνπλ όηη έρνπλ κάζεη
Ζ δηάξθεηα θάζε θάζεο?
Ζ Dina van Hiele (1957) αλαθέξεη όηη ρξεηάζηεθε 20 καζήκαηα γηα ηε κεηάβαζε από ην επίπεδν 1: Τα γεσκεηξηθά ζρήκαηα θαη ε κνξθή ηνπο ζην επίπεδν 2 : Οη ηάμεηο ησλ γεσκεηξηθώλ ζρεκάησλ θαη 50 καζήκαηα γηα ηε κεηάβαζε από ην επίπεδν 2 ζην επίπεδν 3: Οη ηδηόηεηεο ησλ γεσκεηξηθώλ ζρεκάησλ (ζρέζεηο αλάκεζα ζηα ζηνηρεία ελόο ζρήκαηνο). θαηά ηελ εξγαζία ηεο κε παηδηά 12 εηώλ.
van Hiele Piaget Δπίθεληξν van Hiele: Δθπαίδεπζε Piaget: Αλάπηπμε Έµθαζε van Hiele: Οπηηθέο δνµέο Piaget: Αηζζεηηθνθηλεηηθή δξαζηεξηόηεηα.
Πιζηεύω όηι η ανάπηςξη εξαπηάηαι πεπιζζόηεπο από ηην εκπαίδεςζη παπά από ηην ηλικία ή ηη βιολογική ωπίμανζη και όηι κάποιερ διδακηικέρ εμπειπίερ μποπούν να ενιζσύζοςν ή να εμποδίζοςν ηην ανάπηςξη ηων παιδιών Pierre van Hiele
van Hiele Piaget Ο ξόινο ηεο γιώζζαο van Hiele: ην παηδί θηλείηαη από ην έλα επίπεδν ζην άιιν µε ηε βνήζεηα ηεο γιώζζαο Piaget: ε γιώζζα "θνηλσληθνπνηεί" ηηο λνεηηθέο δνµέο, αιιά είλαη ε δξάζε, παξά ε γιώζζα ζεµαληηθόηεξε ζηελ αλάπηπμε ησλ δνµώλ απηώλ.
Ζ γιώζζα δηαδξαµαηίδεη έλαλ θξίζηµν ξόιν ζηε ζεσξία ησλ van Hiele. Ζ γιώζζα ρξεζηκνπνηείηαη γηα λα επαλαπξνζδηνξίζεη ηα αληηθείκελα ηεο ζθέςεο, επηηξέπνληαο ζην παηδί γηα λα ζθεθηεί ζην επόµελν πην πςειό επίπεδν.
Ζ γιώζζα δηαδξαµαηίδεη έλαλ θξίζηµν ξόιν ζηε ζεσξία ησλ van Hiele. Απηόο ν "επαλαπξνζδηνξηζµόο" επηηειείηαη θαηά ηνλ van Hiele ζε πέληε θάζεηο ρξήζεο ηεο γιώζζαο. Ζ γιώζζα ρξεζηµνπνηείηαη 1.γηα λα δείμεη έλα λέν πιαίζην, 2.γηα λα επηζεµάλεη ζρέζεηο ζε απηό ην πιαίζην, 3. γηα λα επηηξέςεη ζηα παηδηά λα ελεξγνπνηήζνπλ ή λα εμεγήζνπλ απηέο ηηο ζρέζεηο 4. γηα λα βνεζήζεη ηε ζθέςε ησλ παηδηώλ λα αλαπηπρζεί ζε έλα λέν ζύζηεµα ησλ αλαθνξώλ θαη 5. γηα λα βνεζήζεη ηα παηδηά λα ελζσµαηώζνπλ απηέο ηηο αλαθνξέο ζην ππάξρνλ ζύζηεµά ηεο ζθέςεο ηνπο (van Hiele 1986, ζει. 96-98).