Τν εθπαηδεπηηθό πιηθό ηεο Φξνληηζηεξηαθήο Εθπαίδεπζεο Τζηάξα δηαλέκεηαη δσξεάλ απνθιεηζηηθά από ηνλ ςεθηαθό ηόπν ηνπ schooltime.gr

Transcript

1 Τν εθπαηδεπηηθό πιηθό ηεο Φξνληηζηεξηαθήο Εθπαίδεπζεο Τζηάξα δηαλέκεηαη δσξεάλ απνθιεηζηηθά από ηνλ ςεθηαθό ηόπν ηνπ schooltime.gr Η λέα ηζηνζειίδα καο : www. Μ ΑΘΗΜ ΑΤΙΚΑ α x +β< 0 Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ α.(β +γ )=α. β +α. γ Δ= δ. π+ υ 1.1 Πξάμεηο κε πξαγκαηηθνύο αξηζκνύο (επαναλήψεις - σσμπληρώσεις )

2 2 1. Να θάλεηε ηηο πξάμεηο : α) : (-) + 1 γ) -3 (-2) -5 +: (-2) -6 β) 2 +3 ( - 12): (- +1) δ) -8 : (-3 +5) - (-2 + 6) Γηα λα θάλνπκε ηηο πξάμεηο αθνινπζνύκε ηα εμήο βήκαηα: 1 ο βήμα: Πξάμεηο κέζα ζηηο παξελζέζεηο 2 ο βήμα: Πνιιαπιαζηαζκνύο θαη δηαηξέζεηο 3 ο βήμα: Βγάδνπκε παξελζέζεηο ο βήμα: Πξνζζέζεηο θαη αθαηξέζεηο α) : 1 Κάλνπκε ηνπο πνιιαπιαζηαζκνύο - δηαηξέζεηο = Κάλνπκε ηηο πξνζζέζεηο = 1 Κάλνπκε ηελ πξόζζεζε = 18 β) : 1 ζηηο παξελζέζεηο = : 3 Κάλνπκε ηνλ πνιιαπιαζηαζκό = 5 Κάλνπκε ηε δηαίξεζε = Κάλνπκε ηελ πξόζζεζε = 20 Σημείωση: Γεληθά ε ηεξαξρία ηωλ πξάμεωλ είλαη: 1) δπλάκεηο, 2) παξελζέζεηο, 3) πνιιαπιαζηαζκνί - δηαηξέζεηο, ) πξόζζεζε - αθαίξεζε

3 3 γ) : 2 6 Κάλνπκε ηνπο πνιιαπιαζηαζκνύο - δηαηξέζεηο = Κάλνπκε ηηο πξνζζέζεηο - αθαηξέζεηο = -13 δ) 8 : ζηηο παξελζέζεηο = 8 : 2 Κάλνπκε πνιιαπιαζηαζκνύο - δηαηξέζεηο = Κάλνπκε ηελ πξόζζεζε = Τα απνηειέζκαηα ησλ παξαθάησ πξάμεσλ ζρεκαηίδνπλ ην έηνο πνπ έγηλε έλα γεγνλόο ζηε ρώξα καο κε παγθόζκην ελδηαθέξνλ = = = : -1 = Γηα λα βξνύκε ην έηνο πνπ ζρεκαηίδεηαη από ηα απνηειέζκαηα ηωλ αξηζκεηηθώλ παξαζηάζεωλ αξθεί λα αθνινπζήζνπκε ηα εμήο βήκαηα: 1 ο βήμα: Πξάμεηο κέζα ζηηο παξελζέζεηο 2 ο βήμα: Πνιιαπιαζηαζκνύο θαη δηαηξέζεηο 3 ο βήμα: Βγάδνπκε παξελζέζεηο ο βήμα: Πξνζζέζεηο θαη αθαηξέζεηο

4 α) ζηηο παξελζέζεηο = Απαινηθή παξελζέζεωλ = Κάλνπκε ηηο πξνζζέζεηο - αθαηξέζεηο = Κάλνπκε ηελ αθαίξεζε = 2 β) ζηηο παξελζέζεηο = 3 3 ζηηο παξελζέζεηο = 1 3 Απαινηθή παξελζέζεωλ = 1 3 Κάλνπκε ηηο πξνζζέζεηο - αθαηξέζεηο = 3-3 Κάλνπκε ηηο πξνζζέζεηο - αθαηξέζεηο = 0 γ) ζηηο παξελζέζεηο = ζηηο παξελζέζεηο = Πνιιαπιαζηαζκόο = 1 10 Απαινηθή παξελζέζεωλ = 1 10 Κάλνπκε ηηο πξνζζέζεηο - αθαηξέζεηο = Κάλνπκε ηηο πξνζζέζεηο - αθαηξέζεηο = 0

5 5 δ) : 1 Κάλνπκε ηνπο πνιιαπιαζηαζκνύο - δηαηξέζεηο = Απαινηθή παξελζέζεωλ = Κάλνπκε ηηο πξνζζέζεηο - αθαηξέζεηο = Κάλνπκε ηηο πξνζζέζεηο - αθαηξέζεηο = Έηζη έρνπκε ην έηνο πνπ έγηλε έλα γεγνλόο ζηε ρώξα καο κε παγθόζκην ελδηαθέξνλ = = = : -1 = Έλα απηνθίλεην μεθίλεζε από ηε ζέζε 0, θηλήζεθε πάλσ ζηνλ άμνλα x x πξνο ηα αξηζηεξά ζηε ζέζε Β θαη ζηε ζπλέρεηα πξνο ηα δεμηά ζηε ζέζε Γ. Αλ είλαη ΟΑ = 5km, ηόηε λα βξείηε πόζν δηάζηεκα δηήλπζε ην απηνθίλεην θαη πόζν κεηαθηλήζεθε από ηελ αξρηθή ηνπ ζέζε. Γηα λα βξνύκε πόζν δηάζηεκα δηήλπζε ην απηνθίλεην ζα κεηξήζνπκε θαηά απόιπηε ηηκή πόζν δηάζηεκα ίζν κε ΟΑ έθαλε ζπλνιηθά. Εθόζνλ ην ΟΑ =5km, γηα λα βξνύκε ηα ζπλνιηθά ρηιηόκεηξα, ζα ηα πνιιαπιαζηάζνπκε κε ην 5. Γηα λα βξνύκε πόζν κεηαθηλήζεθε από ηελ αξρηθή ηνπ ζέζε ζα ππνινγίζνπκε ηελ απόζηαζε ΟΓ.

6 6 Γηα λα βξνύκε πόζν δηάζηεκα δηήλπζε ην απηνθίλεην, κεηξάκε ηα δηαζηήκαηα από ην Ο πξνο ην Β θαη έπεηηα από ην Β ζην Γ. Έρνπκε: Απόζηαζε θαηά απόιπηε ηηκή ΟΒ = δηαζηήκαηα θαη ΒΟ = δηαζηήκαηα ΟΓ =5 δηαζηήκαηα Γειαδή πξνζζέηνπκε ηελ απόζηαζε ΟΒ γηα λα πάεη ζην Β ηελ απόζηαζε ΒΟ γηα λα γπξίζεη μαλά ζην Ο θαη ηέινο ην ΟΓ γηα λα βξεζεί ζην Γ. Έρνπκε: δηαζηήκαηα ζπλνιηθά δηήλπζε Άιια θάζε απόζηαζε πνπ είλαη ίζε κε ΟΑ ηζνύηαη κε 5Km. Οπόηε πνιιαπιαζηάδνπκε ην 5 επί ηα 13 Km πνπ δηήλπζε ζπλνιηθά. Έρνπκε: 13 5 Km =65 Km Άξα δηήλπζε ζπλνιηθά 65Km. Γηα λα βξνύκε πόζν κεηαθηλήζεθε από ηελ αξρηθή ηνπ ζέζε ζα ππνινγίζνπκε κόλν ηελ απόζηαζε ΟΓ. Γειαδή έρνπκε: Απόζηαζε ΟΓ = 5 δηαζηήκαηα Πνιιαπιαζηάδνπκε θαη πάιη ην 5 κε ηα 5Km πνπ είλαη θάζε δηάζηεκα, γηα λα βξνύκε ηα ρηιηόκεηξα από ηελ αξρηθή ηνπ ζέζε. Δίλαη: 5 δηαζηήκαηα 5 Km = 25Km. Να ππνινγίζεηε ηηο παξαζηάζεηο:

7 7 α) β) γ) δ) : Γηα λα ππνινγίζνπκε ηηο ηηκέο ηωλ παξαζηάζεωλ αθνινπζνύκε ηα εμήο βήκαηα: 1 ο βήμα: Πξάμεηο κέζα ζηηο παξελζέζεηο 2 ο βήμα: Πνιιαπιαζηαζκνύο θαη δηαηξέζεηο 3 ο βήμα: Βγάδνπκε παξελζέζεηο ο βήμα: Πξνζζέζεηο θαη αθαηξέζεηο α) = = = : 12 : Απαινηθή παξελζέζεωλ Κάλνπκε ηα θιάζκαηα νκώλπκα = 1 3 β) Απαινηθή παξελζέζεωλ Κάλνπκε ηα θιάζκαηα νκώλπκα

8 8 = = = = 6 6 = γ) = = = κέζα ζηηο παξελζέζεηο κέζα ζηηο παξελζέζεηο Κάλνπκε πνιιαπιαζηαζκνύο δηαηξέζεηο = = 1 : 2 6 : 2 = δ) : κέζα ζηηο παξελζέζεηο

9 : = : = = = κέζα ζηηο παξελζέζεηο = Να ππνινγίζεηε ηηο παξαζηάζεηο: α) β) γ) Γηα λα ππνινγίζνπκε ηηο παξαζηάζεηο, ζα αθνινπζήζνπκε ηα εμήο βήκαηα θαη ζηνλ αξηζκεηή θαη ζηνλ παξνλνκαζηή. Έπεηηα ζα έρνπκε έλα ζύλζεην θιάζκα ην νπνίν ζα θάλνπκε απιό. α) Κάλνπκε ηα θιάζκαηα νκώλπκα

10 = = Κάλνπκε ην ζύλζεην θιάζκα απιό 30 : 30 = 120 : 30 Κάλνπκε απινπνίεζε = 1 β) Κάλνπκε ηνλ πνιιαπιαζηαζκό κέζα ζηελ παξέλζεζε κέζα ζηελ παξέλζεζε = Κάλνπκε ηα θιάζκαηα νκώλπκα Κάλνπκε ηνλ πνιιαπιαζηαζκό 2 1 = 22 = Κάλνπκε ην ζύλζεην θιάζκα απιό

11 11 = 25 Κάλνπκε απινπνίεζε 22 = γ) Κάλνπκε ηα θιάζκαηα νκώλπκα κέζα ζηελ παξέλζεζε 10 = Κάλνπκε ην ζύλζεην θιάζκα απιό 7 30 :15 = 1 15 :15 Κάλνπκε απινπνίεζε 2 = 7 1 = 7 2 = 5 6. Οη ειάρηζηεο ζεξκνθξαζίεο κηαο πόιεο ην πξώην δεθαήκεξν ηνπ έηνπο ήηαλ: 1, -3, 0, 2, 1, -2, -5, 0, - 3, -1 Να βξείηε ηε κέζε ειάρηζηε ζεξκνθξαζία ηεο πόιεο ην δεθαήκεξν απηό.

12 12 Γηα λα βξνύκε ηε κέζε ειάρηζηε ζεξκνθξαζία ηεο πόιεο ην δεθαήκεξν απηό ζα θάλνπκε: Πξόζζεζε όιεο ηηο ζεξκνθξαζίεο Τν άζξνηζκα ηωλ ζεξκνθξαζηώλ ζα ην δηαηξέζνπκε κε ην 10, πνπ είλαη νη ζεξκνθξαζίεο. Γηα λα βξνύκε ηε κέζε ειάρηζηε ζεξκνθξαζία: Πξνζζέηνπκε όιεο ηηο ζεξκνθξαζίεο Γηαηξνύκε ην -10 κε ην άζξνηζκα ηωλ ζεξκνθξαζηώλ ην 10. Έρνπκε: 10 1 Άξα ε κέζε ζεξκνθξαζία είλαη: Να ζπκπιεξώζεηε ηα παξαθάησ θελά ρξεζηκνπνηώληαο ην θαηάιιειν ζύκβνιν (+ ή - ). α) = - 3 β) = 0 γ) = 3 δ) -0, , ,50 = 2 Γηα λα ζπκπιεξώζνπκε ηα θελά κε ην θαηάιιειν ζύκβνιν (+) ή (-) ζα δνύκε ηα απνηειέζκαηα ηωλ πξάμεωλ. Απηά ζα καο νδεγήζνπλ ζηα θαηάιιεια ζύκβνια.

13 13 α) = - 3 Πξάγκαηη είλαη: β) = 0 Πξάγκαηη είλαη: γ) Πξάγκαηη είλαη: 10 3 δ) -0,35-6,15 + 8,50 = 2 Πξάγκαηη είλαη: 0,35 6,15 8,50 6,5 8, Να απνδείμεηε ηηο παξαθάησ ηζόηεηεο: α) 8 (α β) + (α 5 β) = 3 β) 2 (α + β γ) ( + γ β) (-2 α) = 0 γ) -2 (α 3) + α (-7 +9) -3 (+2) = 0 Γηα λα απνδείμνπκε ηηο ηζόηεηεο πξέπεη: Να θάλνπκε ηηο πξάμεηο ζην α κέινο ηεο ηζόηεηαο θαη ην απνηέιεζκα ζα πξέπεη λα είλαη ην απνηέιεζκα πνπ δίλεηαη ζην β κέινο ηεο ηζόηεηαο. α) 8 α β α 5 β 3 Παίξλνπκε ην α κέξνο 8 α β α 5 β Κάλνπκε απαινηθή παξελζέζεωλ 8 α β α 5 β Σβήλνπκε ηνπο αληίζεηνπο = 8 5 =3

14 1 β) 2 α β γ γ β 2 α 0 Παίξλνπκε ην α κέξνο 2 α β γ γ β 2 α Κάλνπκε απαινηθή παξελζέζεωλ 2 α β γ γ β 2 α Σβήλνπκε ηνπο αληίζεηνπο = 2 2 = = 0 γ) 2 α 3 α Παίξλνπκε ην α κέξνο 2 α 3 α Εθαξκόδνπκε ηελ επηκεξηζηηθή ηδηόηεηα = -2α 6 7α 9α 6 Κάλνπκε αλαγωγή νκνίωλ όξωλ = 2α 7α 9α 6 6 Σβήλνπκε ηνπο αληίζεηνπο = -9α + 9α = 0 9. Αλ x + y = -5 θαη σ + θ = -7 λα ππνινγίζεηε ηηο παξαζηάζεηο: Α = (x σ) (y θ) Β= - (-5 x + θ) + (-8 + y) (σ- ) Γηα λα ππνινγίζνπκε ηηο ηηκέο ηωλ παξαζηάζεωλ ζα αληηθαηαζηήζνπκε όπνπ x +y = - 5 θαη ω + θ =-7 Α = x ω y θ Απαινηθή παξελζέζεωλ = x + ω y + θ Βάδνπκε καδί ηα γλωζηά αζξνίζκαηα = (x + y) + (ω+θ) Αληηθαζηζηνύκε ηα αζξνίζκαηα

15 15 = (-5) + (-7) = 5 7 =9 7 =2 Β = 5 x θ 8 y ω Απαινηθή παξελζέζεωλ = x θ 8 + y ω + Βάδνπκε καδί ηα γλωζηά αζξνίζκαηα = 5 8 x y ω θ Αληηθαζηζηνύκε ηα αζξνίζκαηα = (-5) - (-7) = =1+2 =3 10 Αλ α, β είλαη νη δηαζηάζεηο ελόο νξζνγσλίνπ, πνπ έρεη πεξίκεηξν 56 θαη γ, δ νη δηαζηάζεηο ελόο άιινπ νξζνγσλίνπ, πνπ έρεη πεξίκεηξν 32, λα ππνινγίζεηε ηελ παξάζηαζε Α = α (9 2γ) - (15 β 2δ). Θα ππνινγίζνπκε ηελ πεξίκεηξν θαη γηα ηα δύν νξζνγώληα. Θα βξνύκε έηζη ηα (α + β), (γ + δ) ηα νπνία ζα αληηθαηαζηήζνπκε ζηελ παξάζηαζε. β α

16 16 Π = 56 2α + 2β =56 2 (α + β) =56 α + β = 56 2 α + β =28 Γηα ην άιιν νξζνγώλην έρνπκε: δ γ Π = 32 2γ + 2δ =32 2 (γ + δ) =32 γ + δ = 32 2 γ + δ =16 Άξα κπνξνύκε λα ππνινγίζνπκε ηελ ηηκή ηεο παξάζηαζεο αξθεί λα θάλνπκε ηηο απαξαίηεηεο πξάμεηο γηα λα εκθαληζηνύλ ηα αζξνίζκαηα. α β 28 θαη γ δ 16 Α = α 9 2γ 15 β 2δ Απαινηθή παξελζέζεωλ = α 9 2γ 15 β 2δ Αλαγωγή νκνίωλ όξωλ = α β 2 γ δ 9 15 Αληηθαηάζηαζε = Κάλνπκε ηνλ πνιιαπιαζηαζκό = =60-2 =36 11 Να ηνπνζεηήζεηε θαζέλαλ από ηνπο παξαθάησ αξηζκνύο -7, -6, -5, -3, 1, 2,, 5, 9 ζε έλα ηεηξάγσλν, ώζηε ηα ηξία αζξνίζκαηα λα είλαη ίζα κεηαμύ ηνπο. + + =

17 = + + = Θα θάλνπκε ηνπο θαηάιιεινπο ζπλδπαζκνύο ώζηε θαη ηα ηξία αζξνίζκαηα λα είλαη ίζα κεηαμύ ηνπο = 0 Γειαδή είλαη: = 0 Γειαδή είλαη: = 0 Γειαδή είλαη: Όλα ηα αθροίζμαηα όλων ηων αριθμών είναι μηδέν (0).

18 18 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Τν παξόλ εθπαηδεπηηθό πιηθό πεξηιακβάλεη ην 2 ν ηκήκα ηεο παξαγξάθνπ 1.1