(Ενδεικηικές Απανηήζεις) ΘΔΜΑ Α. Α1. Βιέπε απόδεημε Σει. 262, ζρνιηθνύ βηβιίνπ. Α2. Βιέπε νξηζκό Σει. 141, ζρνιηθνύ βηβιίνπ

Transcript

1 ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΣΑΞΖ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ ΚΑΗ ΔΠΑΛ (ΟΜΑΓΑ Β ) ΣΔΣΑΡΣΖ 18 ΜΑΪΟΤ 16 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ (ΝΔΟ ΤΣΖΜΑ) ΚΑΣΔΤΘΤΝΖ (ΠΑΛΑΗΟ ΤΣΖΜΑ) (Ενδεικηικές Απανηήζεις) ΘΔΜΑ Α Α1. Βιέπε απόδεημε Σει. 6, ζρνιηθνύ βηβιίνπ Α. Βιέπε νξηζκό Σει. 141, ζρνιηθνύ βηβιίνπ Α.Βιέπε δηαηύπωζε ζεωξήκαηνο Σει. 46 θαη γεωκεηξηθή εξκελεία Σει. 47 ζρνιηθνύ βηβιίνπ Α4. α) Λ β) Σ γ) Λ δ) Σ ε) Σ 1

2 ΘΔΜΑ Β B1. Η ζπλάξηεζε είλαη παξαγωγίζηκε ζην κε Λύλνπκε ηελ εμίζωζε. Τν πξόζεκν ηεο θαίλεηαη ζηνλ πίλαθα πνπ αθνινπζεί.. Δπνκέλωο ε είλαη γλεζίωο θζίλνπζα ζην, θαη γλεζίωο αύμνπζα ζην, θαη παξνπζηάδεη νιηθό ειάρηζην ζηε ζέζε ίζν κε. B. Η ζπλάξηεζε είλαη δύν θνξέο παξαγωγίζηκε ζην κε Λύλνπκε ηελ εμίζωζε, ή ή 1 Τν πξόζεκν ηεο θαίλεηαη ζηνλ πίλαθα πνπ αθνινπζεί

3 Δπνκέλωο ε είλαη θπξηή ζην δηάζηεκα, θαη ζην δηάζηεκα ζπλάξηεζεο είλαη ηα B., 1, 4 θαη,, θνίιε ζην δηάζηεκα. Τα ζεκεία θακπήο ηεο 1, 4. Δπεηδή ε ζπλάξηεζε είλαη ζπλερήο θαη νξηζκέλε ζην θαηαθόξπθεο αζύκπηωηεο., δελ έρεη Θα κειεηήζνπκε αλ ε έρεη νξηδόληηεο αζύκπηωηεο. Δίλαη lim lim 1. Δπνκέλωο ε έρεη νξηδόληηα αζύκπηωηε ζην 1 ηελ y 1. Δίλαη lim lim 1. Δπνκέλωο ε έρεη νξηδόληηα αζύκπηωηε ζην 1 ηελ y 1.

4 B4. Φηηάρλνπκε ηνλ πίλαθα κεηαβνιώλ ηεο Με βάζε ηηο απαληήζεηο ζηα εξωηήκαηα B1,B,B ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο είλαη 4

5 ΘΔΜΑ Γ Γ1. Θεωξνύκε ηε ζπλάξηεζε κε 1,. e. Η είλαη παξαγωγίζηκε ζην κε e e 1 Λύλνπκε ηελ εμίζωζε ή e 1. Δίλαη ά νπόηε e e 1e 1 Άξα ηo πξόζεκν ηεο εμαξηάηαη από ην πξόζεκν ηνπ θαη θαίλεηαη ζηνλ αθόινπζν πίλαθα Δπεηδή ε έρεη νιηθό ειάρηζην ζην, ην () = έρνπκε () γηα θάζε κε ηελ ηζόηεηα λα ηζρύεη κόλν γηα = άξα ε εμίζωζε () = έρεη κνλαδηθή ξίδα ην =. Γ. Από ηε ζρέζε e 1 έρνπκε ηζνδύλακα e Δπεηδή ε ζπλάξηεζε είλαη ζπλερήο ζην, θαη δε κεδελίδεηαη ζε απηό, ζα δηαηεξεί ζηαζεξό πξόζεκν. Δπνκέλωο Αλ, θαη ηόηε ζην δηάζηεκα απηό είλαη 1 1 e e 1 5

6 Αλ, θαη ηόηε ζην δηάζηεκα απηό είλαη e 1 e 1 Δπεηδή ε ζπλάξηεζε είλαη ζπλερήο ζην, θαη δε κεδελίδεηαη ζε απηό, ζα δηαηεξεί ζηαζεξό πξόζεκν. Δπνκέλωο, Αλ, θαη ηόηε ζην δηάζηεκα απηό είλαη 1 1 e e Αλ, θαη ηόηε ζην δηάζηεκα απηό είλαη e 1 e 1 Σπλεπώο πξνθύπηνπλ νη εμήο ζπλδπαζκνί γηα ηνλ ηύπν ηεο 1, ή e e 1, ή e e 1, 1, ή e 1, e 1, Γ. Από ην Γ1 παξαγωγίδνληαο ηε πξώηε παξάγωγν ηεο έρνπκε '' Ιζρύεη όηη 4e e, e e e 1 4e 1 ό ό(1) () ύ 4e e '' κε ηελ ηζόηεηα λα ηζρύεη κόλν γηα =, νπόηε ε θπξηή ζην. 6

7 Γ4. Γηα ηελ εμίζωζε 1 Θεωξνύκε ζπλάξηεζε g κε g ζην, Η g είλαη παξαγωγίζηκε ζπλάξηεζε ωο δηαθνξά θαη ζύλζεζε παξαγωγίζηκωλ ζπλαξηήζεωλ ζην,, κε g ' ' ' ' ' ' Γηα ηε κνλνηνλία ηεο έρνπκε όηη γηα, νπόηε g θαη ζπλεπώο ε ζπλάξηεζε g είλαη γλεζίωο αύμνπζα ζπλάξηεζε άξα θαη 1 1 νπόηε ε εμίζωζε (1) γξάθεηαη: g ''1 1'' g g Αθνύ από ηε ζεωξία έρνπκε όηη θαη γηα ηζρύεη κε ηελ ηζόηεηα λα ηζρύεη γηα =. 7

8 ΘΔΜΑ Γ Γ1. Από ηε ζρέζε '' d ηζνδύλακα έρνπκε, '' ' d d d d d d d d d d d 1 d Δπεηδή ε είλαη παξαγωγίζηκε ζην, είλαη θαη ζπλερήο ζην άξα θαη ζην =. νπόηε lim Aπό ηε δεδνκέλε ζρέζε lim 1, ζέηνπκε g. Oπόηε g θαη lim g 1 κε lim lim g 1 όπνπ ιόγω ηεο () έρνπκε (). Aπό ηηο ζρέζεηο (1) θαη () θαη () παίξλνπκε ηειηθά Γηα ην () έρνπκε lim lim lim lim lim 11 1 Άξα () = 1 8

9 Γ α. Παξαγωγίδνληαο ηε ζρέζε e e απνηειείηαη από παξαγωγίζηκεο ζπλαξηήζεηο έρνπκε e 1 e 1 Έζηω όηη ε έρεη αθξόηαην ζηε ζέζε. γηα θάζε ε νπνία Δπεηδή ε είλαη παξαγωγίζηκε ζην εζωηεξηθό ζεκείν, από ην Θεώξεκα Fermat έρνπκε (). νπόηε ε ζρέζε (1) γηα = γίλεηαη 1 1 e e e νπόηε ΑΤΟΠΟ, αθνύ 1 Άξα ε δελ έρεη αθξόηαηα ζην. Γ Β. Δπεηδή γηα θάζε (από Γα) θαη ε είλαη ζπλερήο, ωο παξαγωγίζηκε ζην, αθνύ ε είλαη θνξέο παξαγωγίζηκε ζην επνκέλωο ε ζα δηαηεξεί ην πξόζεκν ηεο. Δπηπιένλ () = 1 >, άξα () > νπόηε ε είλαη γλεζίωο αύμνπζα ζην Γ. Δπεηδή ε ζπλάξηεζε είλαη γλεζίωο αύμνπζα θαη ζπλερήο ζην,. lim, lim,. Άξα lim. 9

10 Ιζρύεη όηη 11 Άξα Δπεηδή lim lim lim. Άξα από θξηηήξην παξεκβνιήο Γ4. Γηα ην 1 e ln d ζέηνπκε ln u. Άξα 1 d du. Γηα =1 είλαη u ln1 ελώ, γηα e είλαη u lne, νπόηε ην δεηνύκελν νινθιήξωκα γίλεηαη e ln d u du d Η ζπλάξηεζε είλαη ζπλερήο ζην [,π] θαη γλεζίωο αύμνπζα άξα. Άξα θαη ε ηζόηεηα ηζρύεη κόλν γηα =, νπόηε Δπίζεο θαη ε ζπλάξηεζε δελ κεδελίδεηαη παληνύ, αιιά κόλν ζην =π. Άξα d d d (1). είλαη ζπλερήο ζην [,π] θαη (). d. Δπνκέλωο από (1),() πξνθύπηεη 1