Μια ιστορική αναδροµή»

ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΥΓΧΡΟΝΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ» «Ισοπεριµετρικό πρόβληµα Μια ιστορική αναδροµή» ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Σπυροπούλου Παναγιώτα Επιβλέπων: Ευτύχιος Παπαδοπετράκης Λέκτορας Πανεπιστηµίου Πατρών Πάτρα 2016

Σπυροπούλου Παναγιώτα 2

«Ισοπεριµετρικό πρόβληµα Μια ιστορική αναδροµή» Ευχαριστίες Ευχαριστώ τον κύριο Ευτύχη Παπαδοπετράκη που ήταν πλάι µου σε όλη τη διαδικασία της συγγραφής της διπλωµατικής µου εργασίας. Ευχαριστώ επίσης όλους τους καθηγητές αυτού του µεταπτυχιακού προγράµµατος για όσα µου έµαθαν µέσα από τα µαθήµατά τους. 3

«Ισοπεριµετρικό πρόβληµα Μια ιστορική αναδροµή» ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ Η παρούσα µεταπτυχιακή διπλωµατική εργασία υπό τον τίτλο «Ισοπεριµετρικό πρόβληµα Μια ιστορική αναδροµή», έχει ως σκοπό την ανάδειξη του Ισοπεριµετρικού προβλήµατος, αυτού του πολύ σπουδαίου προβλήµατος που τέθηκε κατά την κλασική αρχαιότητα και λύθηκε κατά τους ελληνιστικούς χρόνους. Ως Ισοπεριµετρικό Πρόβληµα αναφέρεται, το πρόβληµα της εύρεσης εκείνων των σχηµάτων στις δύο και τρεις διαστάσεις, τα οποίο σε σύγκριση µε τα ισοπερίµετρα ή ισοεπιφανειακά µε αυτά, έχουν κατ αντιστοιχία µέγιστο εµβαδό ή µέγιστο όγκο. Το πρόβληµα αυτό δεν αποτέλεσε µόνο στοιχείο µαθηµατικής έρευνας, αλλά υπήρξε και αντικείµενο λογοτεχνικών αναφορών. Στο 1 ο κεφάλαιο παρουσιάζονται κάποια γενικά στοιχεία που αφορούν το Ισοπεριµετρικό Πρόβληµα, περαιτέρω αναφορές στο Ισοπεριµετρικό Πρόβληµα, καθώς και ο µύθος της ιδούς από το Βιργίλιο. Σε ξεχωριστή παράγραφο αναπτύσονται τα αποτελέσµατα του Αρχιµήδη, συµπεριλαµβανοµένων των αξιωµάτων που προσέθεσε στο αξιωµατικό σύστηµα του Ευκλείδη, στα οποία βασίστηκε ο Ζηνόδωρος, όπως φαίνεται µέσα από τα έργα των Πάππου και Θέωνα όπου διασώζεται η εργασία του. Στα αποτελέσµατα του Αρχιµήδη παρουσιάζονται µόνο οι κύριες αναφορές, αρχαίο κείµενο και µετάφραση. Στο 2 ο κεφάλαιο παρουσιάζεται το µέρος εκείνο από τη «Συναγωγή» του Πάππου, στο οποίο έχει διασωθεί το έργο του Ζηνόδωρου, παραθέτοντας αρχαίο κείµενο και µετάφραση που αφορούν το πρόβληµα των δύο και τριών διαστάσεων. Από το έργο του Θέωνα παρατίθεται µόνο µέρος αυτού, σε αρχαίο κείµενο και µετάφραση και το οποίο προσθέτει σε όσα έχουν αναφερθεί από τον Πάππο. Ο λόγος για αυτή τη διάκριση στην παρουσίαση, είναι η αναφορά από τον ίδιο τον Θέωνα ότι έχει κάνει µία επιτοµή όσων έχει αποδείξει ο Ζηνόδωρος. 5

«Ισοπεριµετρικό πρόβληµα Μια ιστορική αναδροµή» ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Σελίδα ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ... 3 ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ... 5 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... 7 ΠΕΡΙΛΗΨΗ... 9 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ... 11 1.1. Περί Ισοπεριµετρικού Προβλήµατος και ο µύθος της ιδούς... 11 1.2. Η συµβολή του Αρχιµήδη στη λύση του Ισοπεριµετρικού Προβλήµατος... 25 2ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ... 35 2.1. Ο Πάππος και η «οξύνοια των µελισσών»... 35 2.2. Σχόλια του Θέωνα στην «Αλµαγέστη» του Πτολεµαίου... 173 ΕΠΙΛΟΓΟΣ... 181 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... 183 ΙΣΤΟΣΕΛΙ ΕΣ... 187 7

«Ισοπεριµετρικό πρόβληµα Μια ιστορική αναδροµή» ΠΕΡΙΛΗΨΗ Το Ισοπεριµετρικό Πρόβληµα αποτελεί ένα σπουδαίο πρόβληµα που τέθηκε κατά την κλασική αρχαιότητα και λύθηκε από τους ελληνιστικούς χρόνους. Ως Ισοπεριµετρικό πρόβληµα αναφέρεται, το πρόβληµα της εύρεσης εκείνων των σχηµάτων στις δύο και τρεις διαστάσεις, τα οποία σε σύγκριση µε τα ισοπερίµετρα ή ισοεπιφανειακά τους, έχουν κατ αντιστοιχία το µέγιστο εµβαδόν ή όγκο. Όπως φαίνεται από τα διασωθέντα κείµενα, το πρόβληµα ήταν γνωστό ήδη από την εποχή του Πλάτωνα. Στο έργο του Αριστοτέλη υπάρχουν σαφείς αναφορές και χρήσεις σε συλλογισµούς σαν να είχε ήδη αποδειχθεί. Ωστόσο το πρόβληµα δεν είναι δυνατόν να αντιµετωπιστεί στο πλαίσιο των στοιχείων του Ευκλείδη καθότι δεν επαρκούν τα Αξιώµατα. Μετά την συµπλήρωση του αξιωµατικού συστήµατος του Ευκλείδη µε πέντε ακόµη αξιώµατα από τον Αρχιµήδη, µια σειρά από θεωρήµατα που οδηγούν στη λύση του, τέθηκαν και αποδείχθηκαν. Η ολοκλήρωση της λύσης οφείλεται στο Ζηνόδωρο, το έργο του οποίου έχει δασωθεί από τον Πάππο και τον Θέωνα. 9

«Ισοπεριµετρικό πρόβληµα Μια ιστορική αναδροµή» 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1.1. Περί Ισοπεριµετρικού Προβλήµατος και ο µύθος της ιδούς Ιστορικοί, όπως ο Θουκυδίδης (5 ος αι. π.χ. 4 ος αι. π.χ.), (Demjanenko, 2008), εκτιµούσαν το µέγεθος µιας πόλης από το χρόνο που χρειάζεται για να περπατήσει κάποιος τα όριά της. Ο Θουκυδίδης προσδιόρισε το µέγεθος της Σικελίας ως το χρόνο που απαιτείται για να πλεύσει κανείς γύρω από αυτή. Ο Πρόκλος (412 µ.χ. 485 µ.χ.) έχει περιγράψει τους συγχρόνους του γεωγράφους (Blasjo, 2005), οι οποίοι συµπέραιναν το µέγεθος των πόλεων από τις περιµέτρους τους. Αυτό, σε κάποιες περιπτώσεις, είχε σαν αποτέλεσµα την παραπλάνηση µεταξύ συνεταίρων κατά τη διανοµή της γης, µε κριτήριο τη µακρύτερη συνοριακή γραµµή. Το πρόβληµα της συσχέτισης της περιµέτρου µε το εµβαδό, ήταν ένα από τα πρώτα προβλήµατα βελτιστοποίησης, ιδιαίτερης σηµασίας για τη µέτρηση της γης (Demjanenko, 2008) και είναι γνωστό ως «Ισοπεριµετρικό Πρόβληµα». Με τη φράση αυτή περιγράφεται το πρόβληµα της εύρεσης εκείνου του επίπεδου σχήµατος, το οποίο έχει την ίδια περίµετρο µε άλλα σχήµατα του επιπέδου, αλλά έχει το µέγιστο εµβαδό όλων. Είναι σχετικά απλό να αποδειχθεί πως από όλα τα ορθογώνια ίδιας περιµέτρου αυτό το οποίο περικλείει τη µεγαλύτερη επιφάνεια είναι το τετράγωνο, όµως για πολύγωνα µε όλο και µεγαλύτερο πλήθος πλευρών αυτό γίνεται όλο και λιγότερο προφανές. Η γενική λύση του Ισοπεριµετρικού προβλήµατος είναι ο κύκλος. Λύση γνωστή στους Έλληνες πριν τον Ζηνόδωρο (περίπου 1 200 π.χ. 140 π.χ.), ο οποίος απέδειξε πως ένας κύκλος έχει µεγαλύτερο εµβαδό από οποιοδήποτε πολύγωνο µε την ίδια περίµετρο (Blasjo, 2005). Εµπειρική γνώση της λύσης του Ισοπεριµετρικού Προβλήµατος είχαν οι Πλάτωνας (περίπου 2 428/427 π.χ. 348/347 π.χ.) και Αριστοτέλης (384 π.χ. 322 π.χ.). Ο Πρόκλος αναφέρεται [P.T.c.2.70.25 µε 72.5] σε αυτό το απόσπασµα στον Τίµαιο του Πλάτωνα. Εκεί ο Πλάτων θεωρεί ότι από τα όλα τα ισοεπιφανειακά στερεά η σφαίρα είναι η πολυχωρότερη. Το επιχείρηµά του το στηρίζει στο γεγονός πως η 1 Basmakova, 2014, σελίδα 640 2 Basmakova, 2014, σελίδα 646 11

Σπυροπούλου Παναγιώτα σφαίρα είναι το µόνο σχήµα στο οποίο µπορούν να εγγραφούν «τα πέντε σχήµατα 3». Εποµένως η σφαίρα µπορεί να «χωρέσει» όλους τους όγκους των ισοεπιφανειακών σχηµάτων. Αυτή παρουσιάζεται να είναι η αιτία που το σχήµα του κόσµου είναι σφαιρικό, καθώς είναι τέλειο, αφού περιέχει τα πάντα και είναι ακατάληκτο. Ο Πρόκλος στη συνέχεια [P.T.c.2.76.1 µε 25] των σχολίων του επί του Τίµαιου του Πλάτωνα, αναφέρεται στην άποψη του Πλάτωνα πως ο ουρανός πρέπει να έχει σχήµα σφαιρικό και όχι κάποιο άλλο, καθώς όλα τα αστέρια φαίνονται να βρίσκονται στην ίδια απόσταση από τη γη. Αν ο ουρανός είχε κυλινδρικό σχήµα, εξάλλου, θα έπρεπε ο ήλιος να εµφανίζεται σε διαφορετική θέση από την τωρινή, κάτι που δε συµβαίνει. Οι αστρονόµοι έχουν αποδείξει, καθώς λέει ο Πλάτων, πως η σφαίρα είναι το πολυχωρότερο όλων των σχηµάτων, αφού όλα τα σχήµατα εγγράφονται σε αυτήν. Για την ιστορία, από τα ισοπερίµετρα, που είναι ισογώνια και ισόπλευρα, το πολυγωνότερο είναι µεγαλύτερο και µεγαλύτερος όλων ο κύκλος. Επισηµαίνει δε εκ νέου, τη σφαίρα ως το µεγαλύτερο από όλα τα στερεά ισοπερίµετρα σχήµατα, η οποία διαφέρει από τα ισόπλευρα και ισογώνια. Ενώ ο σχολιασµός αυτός κλείνει µε την πρόταση του Πρόκλου, πως από εδώ και έπειτα για τις αποδείξεις, να υπολογίζονται για τα µεν επίπεδα ο Ευκλείδης και για τα στερεά ο Αρχιµήδης. Ο Αλέξανδρος ο αφροδισιεύς (3 ος αι. µ.χ. 4 ) αναφέρει σχετικά στα σχόλιά του επί του Αριστοτέλη [A.t.l.o.c.575.10 µε 15] «καὶ τοῦτο ὁμοίως, <ἄν τε ἀληθὲς ἄν τε ψεῦδος> ᾖ τὸ συναγόμενον ἡ γὰρ αἰτία τοῦ λόγου τὸ μὴ διὰ οἰκείων γίνεσθαι τῷ προκειμένῳ. ὁ γὰρ δεικνὺς ὅτι τὰ περιφερῆ ἕλκη βραδύτερον θεραπεύεται διὰ τοῦ λαμβάνειν τὸ τῶν ἰσοπεριμέτρων σχημάτων μέγιστον εἶναι τὸ τοῦ κύκλου ἐμβαδὸν οὐ δι' ἰατρικῶν ἰατρικὸν συλλογίζεται. κατὰ δὲ τὸν τέταρτον τρόπον ψευδὴς γίνεται». Στο απόσπασµα αυτό ο Αλέξανδρος ο αφροδισιεύς αναφέρεται στον Αριστοτέλη και στο επιχείρηµά του, πως τα έλκη τα οποία έχουν πιο κυκλικό σχήµα θεραπεύονται βραδύτερα, καθώς από τα ισοπερίµετρα σχήµατα ο κύκλος έχει το µέγιστο εµβαδό. Το επιχείρηµα αυτό, συλλογίζεται ο Αριστοτέλης, δεν είναι ιατρικό. Ο Ιωάννης ο Φιλόπονος (490 µ.χ. 570 µ.χ.) αναφέρει [A.l.a.c.15.56.5 µε 20] στο απόσπασµα αυτό την ανάλυση του Πλάτωνα στον Τίµαιο, όπου το ζήτηµα προς 3 Εννοεί τα: τετράεδρο, κύβος ή κανονικό εξάεδρο, οκτάεδρο, δωδεκάεδρο και εικοσάεδρο. 4 Παπαδοπετράκης, 2012 2013, σελίδα 85 12

«Ισοπεριµετρικό πρόβληµα Μια ιστορική αναδροµή» διαπραγµάτευση είναι το σφαιρικό σχήµα του ουρανού. Ως πολυχωρότερος στο επίπεδο λαµβάνεται ο κύκλος και στα στερεά η σφαίρα. Μπορεί να δειχθεί πως από όλα τα ισοπερίµετρα σχήµατα, τα πολυγωνιώτερα είναι και τα πολυχωρότερα, και ως εκ τούτου, το αγώνιο θα είναι το πολυχωρότερο όλων. Μάλιστα παρατίθεται εδώ και σύγκριση επιπέδων και στερεών σχηµάτων. Στο επίπεδο, το τετράπλευρο έχει µικρότερο εµβαδό από το εξάγωνο και το εξάγωνο από τον κύκλο. Στα στερεά, συγκρίνοντας τον όγκο των κύβου, οκταέδρου, δωδεκαέδρου και σφαίρας, το πολυγωνότερο είναι και το πολυχωρότερο, µε τη σφαίρα µέγιστη όλων. Ακόµη ο Ιωάννης ο Φιλόπονος αναφέρει στα σχόλιά του επί του Αριστοτέλη [A.l.a.c.15.139.5 µε 10] «μιμεῖται τὸ πανταχοῦ ὄν. καὶ Πλάτων δὲ τὴν αἰτίαν τοῦ σφαιρικοῦ σχήματος ἀποδέδωκε σχῆμα γὰρ ἔδωκεν αὐτῷ, φησί, τὸ πρέπον καὶ ξυγγενές τῷ γὰρ πάντα δεξομένῳ τὸ πολυχωρητότατον τῶν σχημάτων ἔδωκε, πολυχωρητότατον δὲ τῶν ἰσοπεριμέτρων ἐν μὲν τοῖς ἐπιπέδοις ὁ κύκλος, ἐν δὲ τοῖς στερεοῖς ἡ σφαῖρα.» Σε αυτό το απόσπασµα παρουσιάζεται, από τον Ιωάννη το Φιλόπονο που αναφέρεται στον Πλάτωνα, εκ νέου ο κύκλος ως το επίπεδο σχήµα µε το µέγιστο εµβαδό από τα ισοπερίµετρά του και η σφαίρα ως το στερεό µε το µέγιστο όγκο. Ο Ιωάννης ο Φιλόπονος επί του Αριστοτέλη [A.a.p.c.13.3.148] «Περὶ μὲν γὰρ τῆς περιφερείας ἐρωτώμενον [μὲν] τὸν γεωμέτρην, εἰ πολυχωρητότατόν ἐστι τῶν ἰσοπεριμέτρων σχημάτων ἢ τὰς ἀπὸ τοῦ κέντρου ἴσας ἔχει, ἀποκριτέον γεωμετρικὰ γάρ εἰσιν ἐρωτήματα εἰ μέντοι καλλίστη εἴη τῶν γραμμῶν ἡ περιφέρεια, εἴ τις ἐρωτῴη, οὐκ ἀποκριτέον πρὸς τοῦτο.» Σε αυτό το απόσπασµα που σχολιάζει ο Ιωάννης ο Φιλόπονος, ο Αριστοτέλης αναφέρεται σε ερώτηση προς τον γεωµέτρη, σχετικά µε το ποιο στερεό έχει το µεγαλύτερο όγκο από τα ισοπερίµετρα σχήµατα, απαντώντας, πως είναι αυτό που έχει ίσες τις από του κέντρου. Εδώ εννοεί τη σφαίρα που έχεις όλες τις ακτίνες ίσες µεταξύ τους. Αυτού του είδους τα ερωτήµατα τα χαρακτηρίζει ο Αριστοτέλης γεωµετρικά. Σε ένα ακόµη απόσπασµα που σχολιάζει ο Ιωάννης ο Φιλόπονος, αναφέρεται εκ νέου στον Αριστοτέλη [A.a.p.c.13.3.182.10 µε 30] και στη συνάφεια των επιστηµών. Ο Αριστοτέλης ξεκινά αναφέροντας τον γιατρό ο οποίος διατυπώνει την πρόταση, πως τα τραύµατα που έχουν περιφερές (καµπύλο) σχήµα είναι πιο δύσκολο να επουλωθούν 13

Σπυροπούλου Παναγιώτα από τα επιµήκη. Την απάντηση σε αυτό το ερώτηµα όµως τη δίνει ο γεωµέτρης. Ο κύκλος είναι το σχήµα εκείνο από τα ισοπερίµετρα που έχει το µεγαλύτερο εµβαδό. Εποµένως µεταξύ δυο τραυµάτων, ενός επιµήκους κι ενός περιφερούς, το περιφερές θα επουλωθεί δυσκολότερα. Αυτό έγκειται στο γεγονός πως στο περιφερές τραύµα, τα υγιή κύτταρα έχουν µεγαλύτερη απόσταση µεταξύ τους από ότι στο επίµηκες, µε αποτέλεσµα να δυσχεραίνεται η δηµιουργία νέου ιστού. Αυτός είναι και ο λόγος, καταλήγει ο Αριστοτέλης, που οι γιατροί «τέµνουν» τα τραύµατα, δηµιουργώντας γωνίες και εξαφανίζοντας το αρχικό τους σχήµα. Εποµένως βγαίνει ένα συµπέρασµα ιατρικό από µη ιατρικές προκείµενες. Συνεχίζοντας ο Ιωάννης ο Φιλόπονος [Α.p.l.c.15.84.29 µε 85.14] σε αυτό το απόσπασµα παραθέτει το επιχείρηµα του Αριστοτέλη, σχετικά µε το γιατί να έχει ο κύκλος το µεγαλύτερο εµβαδό από όλα τα επίπεδα σχήµατα. Η λογική του επιχειρήµατος έγκειται στη σύγκριση τριών ισοπερίµετρων σχηµάτων, του τετραγώνου, του εξαγώνου και του οκταγώνου. Εκ των µεταξύ τους συγκρίσεων, το πολυγωνιότερο αποδεικνύεται πως θα έχει και το µεγαλύτερο εµβαδό και εποµένως ο κύκλος θα πρέπει να είναι µεγαλύτερος όλων, καθώς είναι αγώνιο σχήµα. Η αντίστροφη πρόταση που παραθέτει εδώ, λέει πως από όλα τα ισεµβαδικά σχήµατα ο κύκλος θα έχει τη µικρότερη περίµετρο. Όµοιο επιχείρηµα διατυπώνεται και στο χώρο για τις σφαίρες. Τέλος ο Ιωάννης ο Φιλόπονος αναφέρει επί του Αριστοτέλη [A.p.l.commentaria.16.132] «τὸ μὲν σχῆμα ὅτι δέδεικται ὅτι τῶν ἰσοπεριμέτρων σχημάτων τὰ πολυγωνότερα πολυχωρητότερα, καὶ διὰ τοῦτο τοῦ γεγωνιωμένου τὸ ἰσοπερίμετρον σφαιρικὸν πολυχωρητότερον» Σε αυτό το απόσπασµα, για ακόµη µία φορά, χρησιµοποιείται το ότι από τα ισοπερίµετρα σχήµατα τα πολυγωνότερα είναι και τα πολυχωρότερα. Ο Σιµπλίκιος ο φιλόσοφος (6 ος αι. µ.χ.) αναφέρει επί του Αριστοτέλη σχετικά [A.q.l.c.c.7.411.15 µε 20] «Τρίτον ἐπιχείρημα τοῦτο δεικνύον, ὅτι σφαιρικόν ἐστι τὸ τοῦ οὐρανοῦ σχῆμα. ἡ δὲ συναγωγὴ τοῦ λόγου τοιαύτη ἡ τοῦ οὐρανοῦ κίνησις μέτρον κινήσεών ἐστιν ἡ μετροῦσα δὲ κίνησις ἡ ἐλαχίστη ἐστίν ἐλαχίστη δὲ ἡ ταχίστη ταχίστη δὲ κίνησις ἀπὸ τῆς αὐτῆς δυνάμεως ἡ κατὰ τῆς ἐλαχίστης διαστάσεως ἐλαχίστη δὲ τῶν ἴσον χωρίον περιεχόντων σχημάτων ἐν μὲν τοῖς ἐπιπέδοις ἡ κυκλικὴ γραμμή, ἐν δὲ τοῖς στερεοῖς ἡ 14

«Ισοπεριµετρικό πρόβληµα Μια ιστορική αναδροµή» σφαιρικὴ ἐπιφάνεια ἡ ἄρα οὐρανία περιφορὰ σώματός ἐστιν σφαιρικὸν ἔχοντος σχῆμα.» Στο απόσπασµα αυτό ο Σιµπλίκιος παραθέτει, το τρίτο επιχείρηµα του Αριστοτέλη σχετικά µε το γιατί είναι σφαιρικό το σχήµα του ουρανού. Στην ανάλυσή που ακολουθεί ο Αριστοτέλης θεωρεί πως η κίνηση του ουρανού είναι το µέτρο των κινήσεων και η κίνηση που µετρείται είναι η ελάχιστη. Η ελάχιστη είναι και η ταχύτερη και αυτό σηµαίνει την ελάχιστη διάσταση. Αναφέρει δε ο Αριστοτέλης ως ελάχιστη των ισεµβαδικών σχηµάτων στο επίπεδο την κυκλική γραµµή και στα στερεά τη σφαιρική επιφάνεια. Το συµπέρασµα το οποίο καταλήγει, είναι πως η ουράνια περιφορά των σωµάτων θα έχει σφαιρικό σχήµα. Σε ένα ακόµη απόσπασµα ο Σιµπλίκιος [A.q.l.c.c.7.412.5 µε 413.15] θέλει τον Αριστοτέλη να συσχετίζει την ταχύτητα της κίνησης µε το σχήµα το οποίο την περιέχει. Στα επίπεδα υποδεικνύει τον κύκλο και στα στερεά τη σφαίρα διότι, συνεχίζει ο Σιµπλίκιος, έχει δειχθεί και πριν τον Αριστοτέλη αφού αυτός το λαµβάνει ως αναγκαίο, και πολύ αργότερα από τον Αρχιµήδη και εκτενέστερα από τον Ζηνόδωρο, ότι από τα ισοπερίµετρα σχήµατα πολυχωρότερος είναι στο επίπεδο ο κύκλος και στα στερεά η σφαίρα. Αυτό είναι που ο Αριστοτέλης λέει ως, από τις γραµµές που περιέχουν ίσα επίπεδα η ελάχιστη γραµµή είναι η κυκλική, και οµοίως, από τα στερεά που περιέχουν ίσο όγκο η σφαίρα. Στη συνέχεια του αποσπάσµατος ο Σιµπλίκιος σχολιάζοντας τα λεγόµενα του Αλέξανδρου του αφροδισιαία για τον Αριστοτέλη, ρωτά πώς µπορεί να λέει πως από τις γραµµές που περιέχουν ίσα επίπεδα η ελάχιστη γραµµή είναι η κυκλική και αν από αυτό θεωρείται λυµένο το πρόβληµα του τετραγωνισµού του κύκλου. Ο Αριστοτέλης όµως επισηµαίνει, ότι από τα λεγόµενά του σε καµία περίπτωση δε µπορεί να εξαχθεί το συµπέρασµα, ότι έχει λυθεί το πρόβληµα του τετραγωνισµού του κύκλου. Το επιχείρηµα του Αριστοτέλη είναι πως ο κύκλος δε συγκρίνεται µόνο µε τα ευθύγραµµα σχήµατα, αλλά και µε τα περιφερόγραµµα όπως η έλλειψη, και εποµένως ο κύκλος δεν έχει την ελάχιστη περίµετρο µόνο από τα ευθύγραµµα, αλλά και από τα περιφερόγραµµα σχήµατα. Οµοίως και στα στερεά η σφαίρα έχει την ελάχιστη επιφάνεια σε σύγκριση µε τα ευθύγραµµα στερεά, αλλά και µε τα «φακοειδή και ωοειδή». Στη συνέχεια ο Σιµπλίκιος [A.q.l.c.c.7.413.35 µε 414.20] εκθέτει την υιοθέτηση από τον Αριστοτέλη του επιχειρήµατος του δασκάλου του Πλάτωνα, σχετικά µε το 15

Σπυροπούλου Παναγιώτα Ισοπεριµετρικό Πρόβληµα και τη διαφορά του από το πρόβληµα του τετραγωνισµού του κύκλου. Το πρώτο συνίσταται από την εύρεση εκείνου του επιπέδου σχήµατος που έχει την ελάχιστη περίµετρο από όλα όσα έχουν το ίδιο εµβαδό, ενώ το δεύτερο έχει ως στόχο της εύρεσης ισεµβαδικού µε κύκλο τετράγωνο, χωρίς την πρόθεση της εξίσωσης των περιµέτρων αυτών. Το απόσπασµα κλείνει µε το Πλατωνικό επιχείρηµα, που υιοθετεί ο Αριστοτέλης, πως αφού στον κύκλο εγγράφονται όλα τα σχήµατα, από αυτό λαµβάνεται πως θα είναι το πολυχωρότερο σχήµα. Τέλος ο Σιµπλίκιος αναφέρει επί του Αριστοτέλη [A.p.l.c.9.291] «ὥσπερ ἐπὶ τοῦ οὐρανίου σώματος ὅτι σφαιροειδές, ὁ μὲν φυσικὸς ἀπὸ τοῦ πρῶτον καὶ ἁπλοῦν καὶ τέλειον καὶ μονοειδὲς τοῦτο μόνον εἶναι τῶν στερεῶν σχημάτων (τὰ γὰρ εὐθύγραμμα σύνθετά τε ἐκ πλειόνων καὶ δεύτερα) καὶ διὰ τοῦτο τῷ πρώτῳ τῶν σωμάτων προσήκειν, ὡς Ἀριστοτέλης ἀποδείκνυσιν, ὁ δὲ ἀστρολόγος ἐκ τοῦ τῶν ἰσοπεριμέτρων ἐν τοῖς στερεοῖς πολυχωρητοτέραν εἶναι τὴν σφαῖραν.» Σε αυτό το απόσπασµα ο Σιµπλίκιος εκθέτει το επιχείρηµα του Αριστοτέλη ότι ο κόσµος έχει σφαιρικό σχήµα καθώς η σφαίρα είναι το τελειότερο από όλα τα στερεά σχήµατα και διότι από τα ισοπερίµετρα στα στερεά, πολυχωρότερη είναι η σφαίρα. Η πρόταση πως ο κύκλος περικλείει τη µέγιστη περιοχή ή ακόµη πως διαφορετικά σχήµατα της ίδιας περιµέτρου θα περικλείουν διαφορετικές περιοχές µοιάζει παράδοξη (Wiegert, 2010). Ανάλογες είναι και οι προτάσεις στα Στοιχεία που συσχετίζουν το εµβαδόν παραλληλογράµµων µε την ίδια βάση ή ίσες βάσεις µεταξύ δύο παραλλήλων (Ε.Ι.35 Ε.Ι.36). Από την άλλη, η πρόταση ότι όλα τα τρίγωνα που σχηµατίζονται µε την ίδια βάση ή επί ίσων βάσεων και πάντα µεταξύ των δύο ίδιων παραλλήλων είναι ισεµβαδικά (Ε.Ι.37 & Ε.Ι.38), ήταν γνωστή στους Έλληνες. Στις προτάσεις 39 και 40 του Βιβλίου Ι στα Στοιχεία διατυπώνεται το αντίστροφο των προτάσεων 37 και 38. Οι προτάσεις αυτές είναι οι εξής: Πρότασις λε. Πρόταση 35. Τὰ παραλληλόγραμμα τὰ ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως ὄντα καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν. Τα παραλληλόγραμμα που είναι επί της ίδιας βάσης και μεταξύ των ίδιων παραλλήλων, μεταξύ τους είναι ίσα. 16

«Ισοπεριµετρικό πρόβληµα Μια ιστορική αναδροµή» Πρότασις λς. Τὰ παραλληλόγραμμα τὰ ἐπὶ ἴσων βάσεων ὄντα καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν. Πρόταση 36. Τα παραλληλόγραμμα που είναι επί ίσων βάσεων και μεταξύ των ίδιων παραλλήλων, μεταξύ τους είναι ίσα. Πρότασις λζ. Τὰ τρίγωνα τὰ ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως ὄντα καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν. Πρόταση 37. Τα τρίγωνα που είναι επί της ίδιας βάσης και μεταξύ των ίδιων παραλλήλων, μεταξύ τους είναι ίσα. Πρότασις λη. Τὰ τρίγωνα τὰ ἐπὶ ἴσων βάσεων ὄντα καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν. Πρόταση 38. Τα τρίγωνα που είναι επί ίσων βάσεων και μεταξύ των ίδιων παραλλήλων, μεταξύ τους είναι ίσα. Πρότασις λθ. Τὰ ἴσα τρίγωνα τὰ ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως ὄντα καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ἐστίν. Πρόταση 39. Τα ίσα τρίγωνα που είναι επί της ίδιας βάσης και προς την ίδια μεριά, μεταξύ των ίδιων παραλλήλων είναι. Πρότασις μ. Τὰ ἴσα τρίγωνα τὰ ἐπὶ ἴσων βάσεων ὄντα καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ἐστίν. Πρόταση 40. Τα ίσα τρίγωνα που είναι επί ίσων βάσεων και προς την ίδια μεριά αυτών, περιέχονται και μεταξύ των ίδιων παραλλήλων. Στις προτάσεις 27, 28 και 29 του βιβλίου VI στα Στοιχεία, ο Ευκλείδης (325 π.χ. 265 π.χ.) υποθέτει ότι αν δύο όµοια παραλληλόγραµµα έχουν άνισα εµβαδά, 17

Σπυροπούλου Παναγιώτα τότε το µεγαλύτερο εξ αυτών θα έχει τις αντίστοιχες πλευρές µεγαλύτερες από εκείνες του µικρότερου. Οι προτάσεις αυτές είναι οι εξής: Πρότασις κζ. Πρόταση 27. Πάντων τῶν παρὰ τὴν αὐτὴν εὐθεῖαν παραβαλλομένων Από όλα τα επί της ίδιας ευθείας παραλληλόγραμμα, από τα οποία παραλληλογράμμων ἐλλειπόντων καὶ εἴδεσι λείπουν παραλληλόγραμμα όμοια και ομοίως κείμενα προς τοαπό της μισής παραλληλογράμμοις ὁμοίοις τε καὶ ὁμοίως κειμένοις τῷ ἀπὸ τῆς ἡμισείας ἀναγραφομένῳ μέγιστόν ἐστι τὸ ἀπὸ αναγραφόμενο μέγιστο είναι το από της μισής [παραλληλόγραμμο] το οποίοείναι όμοιομε αυτό που λείπει. τῆς ἡμισείας παραβαλλόμενον [παραλληλόγραμμον] ὅμοιον ὂν τῷ ἐλλείμματι. Πρότασις κη. Παρὰ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν τῷ δοθέντι εὐθυγράμμῳ ἴσον Πρόταση 28. Παρά της δοθείσας ευθείας του δοθέντος ευθύγραμμου τμήματος να παραλληλόγραμμον παραβαλεῖν ίσο παραλληλόγραμμο να ἐλλεῖπον εἴδει παραλληλογράμμῳ ὁμοίῳ τῷ δοθέντι δεῖ δὲ τὸ διδόμενον εὐθύγραμμον [ᾧ δεῖ ἴσον παραβαλεῖν] μὴ μεῖζον εἶναι τοῦ ἀπὸ τῆς ἡμισείας ἀναγραφομένου ὁμοίου τῷ ἐλλείμματι [τοῦ τε ἀπὸ τῆς ἡμισείας καὶ ᾧ δεῖ ὅμοιον ἐλλείπειν]. παραβληθεί τοοποίονα υστερεί κατά παραλληλόγραμμοόμοιομε τοδοθέν πρέπει δε τοδοθέν ευθύγραμμο[προς το οποίο να παραβληθεί ίσο] να μην είναι μεγαλύτεροτου από του μισού αναγραφόμενου ομοίου με αυτό που λείπει [δηλαδή του από της μισής και προς τοοποίολείπει όμοιο]. 18

«Ισοπεριµετρικό πρόβληµα Μια ιστορική αναδροµή» Πρότασις κθ. Παρὰ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν τῷ δοθέντι εὐθυγράμμῳ ἴσον Πρόταση 29. Παρά της δοθείσας ευθεία του δοθέντος ευθύγραμμου ίσο να παραλληλόγραμμον παραβαλεῖν παραβληθεί παραλληλόγραμμο που ὑπερβάλλον εἴδει παραλληλογράμμῳ ὁμοίῳ τῷ δοθέντι. να υπερβάλει κατά παραλληλόγραμμοόμοιομε τοδοθέν. Ο Ήρων (10 µ.χ. 70 µ.χ.) αναφέρει σχετικά [D.82.1.1 µε 9] «[Ὅτι τῶν στερεῶν ἰσοπεριμέτρων σχημάτων μείζων ἡ σφαῖρα.] Ὥσπερ δὲ τῶν ἐπιπέδων ἰσοπεριμέτρων σχημάτων μείζων ἐστὶ κύκλος, οὕτως τὸ τῆς σφαίρας σχῆμα πάντων τῶν στερεῶν ἰσοπεριμέτρων αὐτῇ σχημάτων, τουτέστι τῶν τῇ ἴσῃ ἐπιφανείᾳ κεχρημένων, μέγιστόν ἐστι διὸ καὶ περιεκτικὸν τῶν ἄλλων ἁπάντων ἐλαττόνων.» Στο απόσπασµα αυτό ο Ήρων πληροφορεί, πως από τα στερεά ισοπερίµετρα σχήµατα µεγαλύτερη είναι η σφαίρα, όπως από τα επίπεδα ισοπερίµετρα σχήµατα µεγαλύτερος είναι ο κύκλος. ιευκρινίζει επιπλέον πως το σχήµα της σφαίρας είναι περιεκτικότερο από τα άλλα στερεά που έχουν ίση επιφάνεια µε αυτή. Ο Ήρων είναι µεταγενέστερος του Ζηνόδωρου και πριν από τους Πάππο και Θέωνα, εποµένως θα µπορούσε να έχει στη διάθεσή του την πρωτότυπη απόδειξη του Ζηνόδωρου. Ο Συνέσιος (370 µ.χ. 413/414 µ.χ.) ο φιλόσοφος αναφέρει σχετικά [C.e.8.5 µε 15] «καὶ μείζους εἰσίν, ἀλλ' ὁμοιοσχήμονες ἅπαντες. τί δ' ἂν σφαίρας γένοιτοφαλακρότερον; τί δὲ θεσπεσιώτερον; λέγεταί τέ τις καὶ λόγος, ὅτι βούλεται μὲν ἡ ψυχὴ μιμεῖσθαι θεόν ὁ δέ ἐστιν ὁ τρίτος θεός, ἡ τοῦ κόσμου ψυχή, ἣν ὁ πατὴρ μὲν αὐτῆς, τοῦ δὲ σωματικοῦ κόσμου δημιουργὸς ἐπεισήγαγε τῷ κόσμῳ, τέλεον αὐτὸν καὶ ὅλον καὶ πᾶν ἐκ πάντων σπερμάτων τε καὶ σωμάτων ἀπεργασάμενος, ἀποδοὺς διὰ τοῦτοκαὶ σχῆμα σχημάτων τὸ περιεκτικώτατον. ἔστι δὲ τῶν μὲν ἰσοπεριμέτρων μεῖζον ἀεὶ τὸ πολυγωνότερον τῶν δὲ πολυγώνων ἁπάντων κύκλος ἐν ἐπιπέδοις ἐν δὲ τοῖς βάθος ἔχουσι σφαῖρα ἴσασιν οἱ γεωμετρίας καὶ στερεομετρίας ἐπήβολοι.» 19

Σπυροπούλου Παναγιώτα Στο απόσπασµα αυτό ο Συνέσιος ο φιλόσοφος πληροφορεί πως ο δηµιουργός του σωµατικού κόσµου απέδωσε σε αυτόν το περιεκτικότερο των σχηµάτων. Από τα ισοπερίµετρα σχήµατα, αναφέρει, το µεγαλύτερο είναι και το πολυγωνότερο, και από όλα τα πολύγωνα στο επίπεδο ο κύκλος και από όσα έχουν βάθος η σφαίρα. Η γνώση αυτή προέρχεται από τους «ἐπήβολους» (= αρµόδιους) της γεωµετρίας και της στερεοµετρίας. Το Ισοπεριµετρικό Πρόβληµα είναι γνωστό από την αρχαιότητα και εµφανίζεται σε µαθηµατικά και λογοτεχνικά κείµενα ως σήµερα. Θα µπορούσε να ειπωθεί πως το πρόβληµα αυτό, εξυπηρετεί την παρουσίαση της αντίληψης των αρχαίων µαθηµατικών και της συνοχής της µαθηµατικής προσπάθειας καθ όλη την ιστορική έκταση (Wiegert, 2010). Η ανάπτυξη του Ισοπεριµετρικού Προβλήµατος, εποµένως, ήταν ένα πρόβληµα που δεν αφορούσε µόνο το µύθο ή την ιστορία, αλλά πρόβληµα που απαιτούσε την προσοχή επιτυχηµένων γενιών µαθηµατικών και γεωµετρών. Παρά την εµφάνισή στις παραδόσεις διαφόρων λαών, το θέµα της ισοπεριµετρίας ήταν «φυσικά Ελληνικό». Όπως σηµειώνει ο Dunham (Wiegert, 2010), «... ακόµη και πριν την εποχή του Ευκλείδη οι Έλληνες είχαν καθορίσει την ευθεία γραµµή και τον κύκλο ως τα δύο απαραίτητα γεωµετρικά σχήµατα, κατασκευάσιµα µε γεωµετρικά εργαλεία... Το σχήµα που γραφόταν από τον διαβήτη του Ευκλείδη περιέκλειε τη µέγιστη δυνατή περιοχή για δοσµένη περίµετρο». Το Ισοπεριµετρικό Πρόβληµα, όπως έχει αναφερθεί ανωτέρω, αποδείχθηκε από τον Έλληνα µαθηµατικό Ζηνόδωρο στο έργο του «Περί ισοπεριµετρικών σχηµάτων» (Basmakova, 2014, σελίδα 334), ο οποίος χρησιµοποίησε και µέρος του έργου του Αρχιµήδη (287 π.χ. 212 π.χ.). Το πλήρες έργο του Ζηνόδωρου δε σώθηκε, και µόνο αποσπάσµατα της δουλειάς του αποµένουν (Hales, 2002). Εντούτοις η διαπραγµάτευσή του πάνω στο πρόβληµα διασώθηκε διαµέσου των σχολίων του Πάππου (290 µ.χ. 350 µ.χ.) στο έργο του «Συναγωγή» και του Θέωνα του Αλεξανδρέα (335 µ.χ. 405 µ.χ.) στα σχόλιά του επί του έργου «Μαθηµατική Σύνταξη» του Πτολεµαίου (85 µ.χ. 165 µ.χ.). Το διασωθέν µέρος του έργου του Ζηνόδωρου, περιλαµβάνει τα ακόλουθα δύο κεντρικά θεωρήµατα και τις αποδείξεις τους (Tapia, 2013). Το πρώτο λέει πως µεταξύ όλων των πολυγώνων ίσου αριθµού πλευρών και ίσων περιµέτρων, το κανονικό πολύγωνο περικλείει το µεγαλύτερο εµβαδό, ενώ το δεύτερο πως ο κύκλος περικλείει µεγαλύτερο εµβαδό από οποιοδήποτε κανονικό πολύγωνο ίσης περιµέτρου. Ο Porter σηµειώνει πως ο Ζηνόδωρος υπέθεσε την ύπαρξη λύσης στην απόδειξη του πρώτου από 20

«Ισοπεριµετρικό πρόβληµα Μια ιστορική αναδροµή» τα δύο θεωρήµατα και αυτό το κενό στην απόδειξή του διορθώθηκε από τον Weierstrass περίπου 2000 χρόνια αργότερα (Tapia, 2013). Το πρόβληµα µπορεί επίσης να γενικευθεί σε περισσότερες διαστάσεις, αλλά πρέπει να σηµειωθεί πως πολλές από τις µεθόδους του επιπέδου για την απόδειξη της ανισότητας δε θα ισχύουν πια. Ο Ζηνόδωρος απέδειξε πως από όλα τα στερεά µε ίδια επιφάνεια το µεγαλύτερο όγκο έχει η σφαίρα. Αποδεικνύει ακόµη, ότι (Basmakova, 2014, σελίδα 334) το στερεό εκ περιστροφής κανονικού πολυγώνου µε άρτιο αριθµό πλευρών γύρω από τη µεγαλύτερη διαγώνιο θα είναι µικρότερο σε όγκο από τη σφαίρα της ίδιας επιφάνειας και πως καθένα από τα κανονικά πολύεδρα είναι µικρότερο από τον όγκο σφαίρας µε την ίδια επιφάνεια. Ο Πάππος στο έργο του «Συναγωγή» παρουσιάζει το πλήρες έργο του Ζηνόδωρου στις δύο και τρεις διαστάσεις, ενώ ο Θέων στα σχόλιά του επί του έργου «Μαθηµατική Σύνταξη» του Πτολεµαίου, καθώς αναφέρει και ο ίδιος, έχει κάνει µία επιτοµή. Στις δύο διαστάσεις ο Πάππος παρουσιάζει τις δεκαεπτά προτάσεις του Ζηνόδωρου συµπεριλαµβανοµένων των αποδείξεων αυτών, ενώ ο Θέων παρουσιάζει εννέα µόνο προτάσεις µε τις αποδείξεις τους. Στις τρεις διαστάσεις ο Πάππος παρουσιάζει τις εννέα προτάσεις και τα τριάντα εννέα λήµµατα που απαιτούνται, ενώ ο Θέων µόνο οκτώ προτάσεις. Πρέπει να τονισθεί πως ο Πάππος έχει παρέµβει στις αποδείξεις από το Λήµµα µδ(α ) και έπειτα, καθώς ο ίδιος σηµειώνει. Ως λόγο της παρέµβασης αυτής αναφέρει, την ανάγκη να γίνουν πιο ακριβείς και σαφείς οι αποδείξεις σε σχέση µε τον τρόπο γραφής των «αρχαίων», των προγενέστερων δηλαδή αυτού. Σηµαντική διάκριση µεταξύ των όσων παρουσιάζει ο Πάππος από τον Ζηνόδωρο και σε όσα ο Θέων στις τρεις διαστάσεις, είναι πως ο Πάππος έχει προσθέσει µία επιπλέον πρόταση από τον Ζηνόδωρο στο τέλος όπου αιτιολογείται η σύγκριση µόνο των πέντε Πλατωνικών στερεών 5 µε τη σφαίρα, ενώ ο Θέων έχει παραλείψει αυτή την πρόταση. Μέρος στις λογοτεχνικές µυθολογικές αναφορές επί του Ισοπεριµετρικού Προβλήµατος έχει και ο Βιργίλιος (70 π.χ. 19 π.χ.). Στο έπος του µε τίτλο «Αινειάδα», το οποίο γράφτηκε µεταξύ του 29 και 19 π.χ. (Demjanenko, 2008), και περιλαµβάνει τη ζωή του Αινεία κατοίκου της Τροίας µετά την κατάκτησή της από τους 5 Εννοεί τα: τετράεδρο, κύβος ή κανονικό εξάεδρο, οκτάεδρο, δωδεκάεδρο και εικοσάεδρο. 21

Σπυροπούλου Παναγιώτα Έλληνες. Το απόσπασµα στο οποίο γίνεται αναφορά στο Ισοπεριµετρικό Πρόβληµα, σχετίζεται µε το µύθο της ιδούς, βασίλισσας της Καρχηδόνας. Το απόσπασµα του µύθου είναι το εξής 6 : «Τότε η Αφροδίτη είπε: «ε θεωρώ τον εαυτό µου άξιο τέτοιων τιµών: είναι έθιµο των κοριτσιών από την Τύρο να φέρουν µία φαρέτρα, και να ράβουν τα δέρµατα ψηλά, πάνω από τις κόκκινες κυνηγετικές µπότες. Βλέπεις το βασίλειο της Καρχηδόνας, των Τυρινών, η πόλη του Αγήνορα: Αλλά συνορεύει µε τους Λιβύους, ανθρώπους φοβερούς στον πόλεµο. Η ιδώ άρχει αυτή την αυτοκρατορία, έχοντας ξεκινήσει από την Τύρο, φεύγοντας από τον αδερφό της. Είναι µία µεγάλη ιστορία λάθους, µε πολλές περιελίξεις: αλλά θα ιχνηλατήσω τα βασικά κεφάλαια της ιστορίας. Ο Συχαίος ήταν ο σύζυγός της, ο πλουσιότερος, σε γη, µεταξύ των Φοινίκων και αγαπηµένος µε µεγάλη αγάπη από το φουκαριάρικο κορίτσι, που ο πατέρας της την έδωσε ως παρθένα σε αυτόν, και τους πάντρεψε µε µεγάλη επισηµότητα. Αλλά ο αδερφός της ο Πυγµαλίωνας, άγριος στην κακία περισσότερο από όλους τους άλλους, κρατούσε το βασίλειο της Τύρου. Παραφροσύνη επικράτησε µεταξύ τους. Ο βασιλιάς, τυφλώθηκε από την απληστία του για χρυσό, σκότωσε τον απρόσεκτο Συχαίο, µυστικά, µε ένα µαχαίρι, βέβηλα, µπροστά στους βωµούς, αδιαφορώντας για τα συναισθήµατα της αδερφής του. Απέκρυψε τις πράξεις του για λίγο, εξαπατώντας το άρρωστο από αγάπη κορίτσι, µε άδειες ελπίδες, και πολλά κακά προσχήµατα. Αλλά το πνεύµα του άταφου συζύγου της ήρθε στο όνειρό της: σηκώνοντας το χλωµό πρόσωπό του µε περίεργο τρόπο, εξέθεσε γυµνή τη σκληρότητα στους βωµούς, και η καρδιά του τρυπήθηκε από το µαχαίρι, και αποκάλυψε όλη τη µυστική κακία αυτού του οίκου. Μετά την προέτρεψε να φύγει γρήγορα και να εγκαταλείψει τη χώρα της, και, για να βοηθήσει το ταξίδι της, της αποκάλυψε έναν αρχαίο θαµµένο θησαυρό, αγνώστου βάρους σε χρυσό και ασήµι. Χτυπηµένη από όλο αυτό, η ιδώ ετοίµασε τη φυγή της και τους φίλους της. Όσοι είχαν άγριο µίσος για τον τύραννο ή πικρό φόβο, µαζεύτηκαν µαζί: κατέλαβαν µερικά πλοία τα οποία κατά τύχη ήταν έτοιµα, και φόρτωσαν το χρυσό: τα πλούτη του άπληστου Πυγµαλίωνα µεταφέρονται υπερθαλάσσια: µία γυναίκα οδηγεί το εγχείρηµα. Ήρθαν σε αυτό το µέρος και αγόρασαν γη, όπου τώρα βλέπεις τα τεράστια τείχη, και το αναζωπυρωµένο προπύργιο, της νέας 6 Το πρωτότυπο κείµενο φιλοξενείται στο σύνδεσµο: http://www.thelatinlibrary.com/vergil/aen1.shtml, ενώ η µετάφραση του πρωτότυπου κειµένου στα Αγγλικά φιλοξενείται στο σύνδεσµο: http://www.poetryintranslation.com/pitbr/latin/virgilaeneidi.htm 22

«Ισοπεριµετρικό πρόβληµα Μια ιστορική αναδροµή» Καρχηδόνας, όσο µπορούσαν να περικυκλώσουν 7 µε τις λωρίδες από το τοµάρι ενός και µόνο ταύρου, και από αυτό την αποκαλούν Βύρσα.» Συνοπτικά, η εκδοχή του µύθου από τον Βιργίλιο (Blasjo, 2005), λέει πως η ιδώ, κόρη του βασιλιά της Τύρου, δραπέτευσε από το σπίτι της αφότου ο αδερφός της σκότωσε τον σύζυγό της. Μετά η ιδώ κατέληξε στη βόρεια ακτή της Αφρικής, όπου διαπραγµατεύτηκε την αγορά όσο περισσότερης γης µπορούσε να περικλύσει µε ένα τοµάρι βοδιού. Εποµένως έκοψε το τοµάρι σε πολύ λεπτές λωρίδες, και µετά αντιµετώπισε, και πιθανώς έλυσε η ιδώ, το πρόβληµα της περίκλεισης του µεγαλύτερου δυνατού εµβαδού µε δοσµένη περίµετρο το Ισοπεριµετρικό Πρόβληµα. Αυτό φαίνεται και από τη διατύπωση που υπάρχει στην Αινειάδα, αφού ο Βιργίλιος χρησιµοποιεί τη λέξη «circumdare» που σηµαίνει κυκλώνω και η οποία περιέχει τη ρίζα «circus» (= κύκλος). Αλλά οι παράγοντες της µορφολογίας του εδάφους (όρη και κοιλάδες) έφθειραν την αγνότητα του προβλήµατος, σίγουρα η έξυπνη ιδώ θα είχε επιλέξει µία περιοχή παράκτια ώστε να εκµεταλλευτεί την ακτή ως µέρος της περιµέτρου. Ο Βιργίλιος πληροφορεί πως ο Αινείας, στην αναζήτησή του για την ίδρυση της Ρώµης, ναυαγεί και το κύµα τον ξεβράζει στην Καρχηδόνα. Η ιδώ τον ερωτεύεται, αλλά αυτός δεν ανταποκρίνεται. Σαλπάρει µακριά και η ιδώ αυτοκτονεί. Συνοψίζοντας το Ισοπεριµετρικό Πρόβληµα, µέχρι την απόδειξή του, φαίνεται να ήταν γνωστό ως προς τη λύση του πολύ νωρίτερα από την εποχή του Ζηνόδωρου. Η πρώτη αναφορά, που θα µπορούσε να συσχετισθεί µε το πρόβληµα σε ένα πρώιµο στάδιο, είναι η συσχέτιση του εµβαδού των πόλεων µε την περίµετρό τους. Ο Πλάτων αναφέρει στο έργο του Τίµαιος το Ισοπεριµετρικό Πρόβληµα και τη λύση του στις δύο και τρεις διαστάσεις, γνώση η οποία ήταν εµπειρική. Ο Αριστοτέλης, µαθητής του Πλάτωνα, είχε τη γνώση της λύσης χωρίς να διαθέτει απόδειξη. Ακόµη ο Αριστοτέλης διατυπώνει και την αντίστροφη πρόταση του Ισοπεριµετρικού Προβλήµατος. Ενώ ως εκείνη την εποχή δεν έχει αποδειχθεί η υπόθεση του προβλήµατος, αξιοποιείται σαν να έχει ήδη αποδειχθεί. Στο έργο Στοιχεία του Ευκλείδη γίνεται εκ νέου, συσχέτιση της περιµέτρου µε το εµβαδό των σχηµάτων, όµως δε γίνεται να αποδειχθεί καθώς δεν επαρκούν τα αξιώµατα. Ο Αρχιµήδης 8 τέλος πρόσθεσε πέντε αξιώµατα και έδωσε πολύ σηµαντικά αποτελέσµατα, τα οποία αποτέλεσαν βασική γνώση, στην οποία στηρίχτηκε 7 Στο κείµενο στα λατινικά γράφει «circumdare» 8 Ακολουθεί αναλυτική αναφορά στην ενότητα Α.2. 23

Σπυροπούλου Παναγιώτα ο Ζηνόδωρος για την τελική απόδειξη του Ισοπεριµετρικού προβλήµατος στις δύο και τρεις διαστάσεις. 24

«Ισοπεριµετρικό πρόβληµα Μια ιστορική αναδροµή» 2.2. Η συµβολή του Αρχιµήδη στη λύση του Ισοπεριµετρικού Προβλήµατος Σε αυτή την παράγραφο παρουσιάζονται τα πέντε αξιώµατα που προσέθεσε ο Αρχιµήδης στο αξιωµατικό σύστηµα του Ευκλείδη και που χωρίς αυτά δε θα ήταν εφικτή η απόδειξη του Ζηνόδωρου. Ακόµη αναφέρονται τα αποτελέσµατα εκείνα από τον Αρχιµήδη στα οποία βασίστηκε ο Ζηνόδωρος για τις αποδείξεις του. Η επιλογή των αποτελεσµάτων αυτών έγινε µε βάση τις αναφορές του Ζηνόδωρου, όπως αυτές έχουν διασωθεί µέσα από τους Πάππο και Θέωνα. Τα πέντε αξιώµατα που προσέθεσε ο Αρχιµήδης στο έργο του «Περί Σφαίρας και Κυλίνδρου» στο αξιωµατικό σύστηµα του Ευκλείδη, είναι τα εξής: αʹ. Τῶν τὰ αὐτὰ πέρατα ἐχουσῶν α'. Από τις γραμμές που έχουν τα γραμμῶν ἐλαχίστην εἶναι τὴν αυτά πέρατα ελάχιστη είναι η ευθεία. εὐθεῖαν. βʹ. Τῶν δὲ ἄλλων γραμμῶν, ἐὰν ἐν ἐπιπέδῳ οὖσαι τὰ αὐτὰ πέρατα ἔχωσιν, ἀνίσους εἶναι τὰς τοιαύτας, ἐπειδὰν ὦσιν ἀμφότεραι ἐπὶ τὰ αὐτὰ κοῖλαι, καὶ ἤτοι ὅλη περιλαμβάνηται ἡ ἑτέρα αὐτῶν ὑπὸ τῆς ἑτέρας καὶ τῆς εὐθείας τῆς τὰ αὐτὰ πέρατα ἐχούσης αὐτῇ, ἢ τινὰ μὲν περιλαμβάνηται, τινὰ δὲ κοινὰ ἔχῃ, καὶ ἐλάσσονα εἶναι τὴν β'. Από τις άλλες δε γραμμές, εάν βρίσκονται στο επίπεδο έχοντας τα ίδια πέρατα, άνισες είναι εκείνες, όταν, εφόσον είναι κοίλες προς τα αυτά μέρη, ή ολόκληρη η μία περιλαμβάνεται υπό της άλλης, η οποία έχει τα αυτά πέρατα προς αυτήν, ή η μία που περιλαμβάνεται έχει κοινό μέρος με την άλλη, και μικρότερη είναι η περιλαμβανόμενη. περιλαμβανομένην. γʹ. Ὁμοίως δὲ καὶ τῶν ἐπιφανειῶν τῶν τὰ αὐτὰ πέρατα ἐχουσῶν, ἐὰν ἐν γ'. Ομοίως δε και από τις επιφάνειες, οι οποίες έχουν τα αυτά πέρατα, εάν 25

Σπυροπούλου Παναγιώτα ἐπιπέδῳ τὰ πέρατα ἔχωσιν, ἐλάσσονα εἶναι τὴν ἐπίπεδον. έχουν τα πέρατα επί επιπέδου, μικρότερη είναι η επίπεδη. δʹ. Τῶν δὲ ἄλλων ἐπιφανειῶν καὶ τὰ αὐτὰ πέρατα ἐχουσῶν, ἐὰν ἐν ἐπιπέδῳ τὰ πέρατα ᾖ, ἀνίσους εἶναι τὰς τοιαύτας, ἐπειδὰν ὦσιν ἀμφότεραι ἐπὶ τὰ αὐτὰ κοῖλαι, καὶ ἤτοι ὅλη περιλαμβάνηται ὑπὸ τῆς ἑτέρας ἡ ἑτέρα ἐπιφάνεια καὶ τῆς ἐπιπέδου τῆς τὰ αὐτὰ πέρατα ἐχούσης αὐτῇ, ἢ τινὰ μὲν περιλαμβάνηται, τινὰ δὲ κοινὰ ἔχῃ, καὶ ἐλάσσονα εἶναι τὴν δ'. Από τις άλλες δε επιφάνειες, οι οποίες έχουν τα αυτά πέρατα, εάν τα πέρατα είναι επί επιπέδου, άνισες είναι εκείνες, όταν, είναι και οι δύο προς τα αυτά μέρη κοίλες, ή ολόκληρη η μία περιλαμβάνεται της άλλης και του επιπέδου που έχει τα αυτά πέρατα προς αυτήν, ή μέρος μεν περιλαμβάνεται, μέρος δε έχει κοινό, και μικρότερη είναι η περιλαμβανόμενη. περιλαμβανομένην. εʹ. Ἔτι δὲ τῶν ἀνίσων γραμμῶν καὶ τῶν ἀνίσων ἐπιφανειῶν καὶ τῶν ἀνίσων στερεῶν τὸ μεῖζον τοῦ ἐλάσσονος ὑπερέχειν τοιούτῳ, ὃ συντιθέμενον αὐτὸ ἑαυτῷ δυνατόν ἐστιν ὑπερέχειν παντὸς τοῦ προτεθέντος τῶν πρὸς ἄλληλα λεγομένων. ε'. Και επιπλέον από τις άνισες γραμμές και τις άνισες επιφάνειες και τα άνισα στερεά, ότι το μεγαλύτερο υπερέχει του μικρότερου κατά κάποιο μέγεθος, το οποίο λαμβανόμενο πολλές φορές είναι δυνατόν να υπερέχει καθενός από τα δύο δοθέντα μεγέθη. 9 9 Το αξίωµα αυτό σχετίζεται µε τον ακόλουθο ορισµό: «Ένα διατεταγµένο σώµα F έχει την Αρχιµήδεια Ιδιότητα εάν, δοσµένων δύο τυχαίων θετικών x και y στο F υπάρχει ακέραιος n > 0 τέτοιος ώστε nx > y». Για το σύνολο των πραγµατικών αριθµών µπορεί να διατυπωθεί το ακόλουθο θεώρηµα: «Το σύνολο των πραγµατικών αριθµών έχει την Αρχιµήδεια Ιδιότητα». (kazdan J. L., 2014) 26

«Ισοπεριµετρικό πρόβληµα Μια ιστορική αναδροµή» Μετά την καταγραφή των πέντε αυτών αξιωµάτων ο Αρχιµήδης γράφει το ακόλουθο κείµενο: Τούτων δὲ ὑποκειμένων, ἐὰν εἰς Έχοντας τεθεί αυτά, είναι φανερό, ότι κύκλον πολύγωνον ἐγγραφῇ, φανερὸν ὅτι ἡ περίμετρος τοῦ ἐγγραφέντος πολυγώνου ἐλάσσων ἐστὶν τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας ἑκάστη γὰρ τῶν τοῦ πολυγώνου πλευρῶν ἐλάσσων ἐστὶ τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας τῆς εάν σε κύκλο εγγραφεί πολύγωνο η περίμετρος του εγγραφέντος πολυγώνου είναι μικρότερη της περιφέρειας του κύκλου διότι κάθε πλευρά του πολυγώνου είναι μικρότερη της υπό αυτής ὑπὸ τῆς αὐτῆς ἀποτεμνομένης. αποτεμνόμενου τόξου του κύκλου. Καθίσταται σαφές πως το αξιωµατικό σύστηµα του Ευκλείδη και µόνο, δεν επαρκούσε ώστε να διατυπωθεί το παραπάνω συµπέρασµα, το οποίο και είναι κρίσιµο για τα όσα απέδειξε ο Ζηνόδωρος. Ακόµη χωρίς αυτά τα πέντε αξιώµατα δε θα µπορούσαν να έχουν αποδειχθεί οι προτάσεις που ακολουθούν και τις οποίες αξιοποίησε ο Ζηνόδωρος. Ο Πάππος αναφέρει [S.5.362.15 με 20] «[...] τῶν σχημάτων ἴσην ἔχῃ τὴν ἐπιφάνειαν τῇ τῆς σφαίρας, τότ' ἐξ ἀνάγκης ἡ σφαῖρα ἑκατέρου σχήματος μείζων ἐστίν. Τοσαῦτα μὲν οὖν περὶ τῆς συγκρίσεως τῆς σφαίρας πρὸς τὰ εʹ σχήματα καὶ τὸν κῶνον καὶ κύλινδρον, τὰ δ' ὑπὸ τοῦ Ἀρχιμήδους, ὡς εἴρηται, δειχθέντα καὶ ἄλλως ἀποδείξομεν, προγράψαντες ὅσα εἰς τὰς ἀποδείξεις αὐτῶν συντείνει λημμάτια.» Ο Θέων αναφέρει [C.P.s.m.i iv.374.12 με 14] «Λέγω δὴ ὅτι καὶ ἡ σφαῖρα μείζων ἐστὶν πάντων τῶν ἴσην ἐπιφάνειαν ἐχόντων στερεῶν σχημάτων, προσχρησάμενος τοῖς ὑπὸ Ἀρχιμήδους δεδειγμένοις ἐν τῷ Περὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρου.» [Αρχιµήδης, D.c.] αʹ. Πᾶς κύκλος ἴσος ἐστὶ τριγώνῳ ὀρθογωνίῳ, οὗ ἡ μὲν ἐκ τοῦ κέντρου ἴση μιᾷ τῶν περὶ τὴν ὀρθήν, ἡ δὲ α. Κάθε κύκλος είναι ίσος με ορθογώνιο τρίγωνο, του οποίου η μία κάθετη πλευρά είναι ίση με την 27

Σπυροπούλου Παναγιώτα περίμετρος τῇ βάσει. ακτίνα, η δε βάση ίση με την περίμετρο. Στον Ζηνόδωρο καθώς από τον Πάππο [S.5.312.25] και τον Θέωνα [C.P.s.m.i iv.359.14 µε 360.1] αναφέρεται, πως το υπό της περιµέτρου και της ακτίνας είναι διπλάσιο, εποµένως το ορθογώνιο τρίγωνο θα είναι ίσο. Κατά την αναζήτηση στο έργο «Κύκλου Μέτρησης», µόνο αυτό το θεώρηµα προσοµοίαζε αυτό που έχει χρησιµοποιήσει ο Ζηνόδωρος. [Αρχιµήδης, D.s.c.] Ἔστιν δὲ τάδε πρῶτον μέν, ὅτι πάσης σφαίρας ἡ ἐπιφάνεια τετραπλασία ἐστὶν τοῦ μεγίστου κύκλου τῶν ἐν αὐτῇ ἔπειτα δέ, ὅτι παντὸς τμήματος σφαίρας τῇ ἐπιφανείᾳ ἴσος ἐστὶ κύκλος, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῇ εὐθείᾳ τῇ ἀπὸ τῆς κορυφῆς τοῦ τμήματος ἀγομένῃ ἐπὶ τὴν περιφέρειαν τοῦ κύκλου, ὅς ἐστι βάσις τοῦ τμήματος πρὸς δὲ τούτοις, ὅτι πάσης σφαίρας ὁ κύλινδρος ὁ βάσιν μὲν ἔχων ἴσην τῷ μεγίστῳ κύκλῳ τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ, ὕψος δὲ ἴσον τῇ διαμέτρῳ τῆς σφαίρας αὐτός τε ἡμιόλιός ἐστιν τῆς σφαίρας, καὶ ἡ ἐπιφάνεια αὐτοῦ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας. Είναι δε τα εξής πρώτον μεν, ότι η επιφάνεια κάθε σφαίρας είναι τετραπλάσια του μέγιστου κύκλου αυτής έπειτα δε, ότι κάθε σφαιρικού τμήματος η επιφάνεια είναι ίση με κύκλο, η ακτίνα του οποίου είναι ίση προς την ευθεία που άγεται από την κορυφή του τμήματος μέχρι την περιφέρεια του κύκλου, ο οποίος είναι βάση του τμήματος προς δε αυτά, ότι κάθε σφαίρας ο κύλινδρος που έχει βάση ίση μεν προς τον μέγιστο κύκλο της σφαίρας ύψος δε ίσο με τη διάμετρο της σφαίρας είναι και αυτός τα 3 της σφαίρας, και η ολική 2 παράπλευρη επιφάνεια αυτού είναι όσο και της σφαίρας. αʹ. Ἐὰν περὶ κύκλον πολύγωνον α'. Εάν περιγραφεί πολύγωνο σε 28

«Ισοπεριµετρικό πρόβληµα Μια ιστορική αναδροµή» περιγραφῇ, ἡ τοῦ περιγραφέντος πολυγώνου περίμετρος μείζων ἐστὶν τῆς περιμέτρου τοῦ κύκλου. κύκλο, η περίμετρος του περιγραφέντος πολυγώνου είναι μεγαλύτερη της περιμέτρου του κύκλου. Χρησιµοποιείται από τον Ζηνόδωρο, καθώς φαίνεται από τον Πάππο [S.5.312.5 µε 9] <ΠΟΡΙΣΜΑ.> Τούτων δὴ δεδειγμένων φανερὸν [ἐπὶ μὲν τῶν προειρημένων] ὅτι, ἐὰν εἰς κῶνον ἰσοσκελῆ πυραμὶς ἐγγραφῇ, ἡ ἐπιφάνεια τῆς πυραμίδος χωρὶς τῆς βάσεως ἐλάσσων ἐστὶ τῆς κωνικῆς ἐπιφανείας [ἕκαστον γὰρ τῶν περιεχόντων τὴν πυραμίδα τριγώνων ἔλασσόν ἐστιν τῆς κωνικῆς ἐπιφανείας τῆς μεταξὺ τῶν τοῦ τριγώνου πλευρῶν ὥστε καὶ ὅλη <ἡ> ἐπιφάνεια τῆς πυραμίδος χωρὶς τῆς βάσεως ἐλάσσων ἐστὶ τῆς ἐπιφανείας τοῦ κώνου χωρὶς τῆς βάσεως], καὶ ὅτι, ἐὰν περὶ κῶνον ἰσοσκελῆ πυραμὶς περιγραφῇ, ἡ ἐπιφάνεια τῆς πυραμίδος χωρὶς τῆς βάσεως μείζων ἐστὶν τῆς ἐπιφανείας τοῦ κώνου χωρὶς τῆς βάσεως [κατὰ τὸ συνεχὲς ἐκείνῳ]. Πόρισμα Αφού αυτά έχουν αποδειχθεί είναι φανερό [με βάση όσα έχουν λεχθεί] Ότι, εάν σε ισοσκελή κώνο εγγραφεί πυραμίδα, η επιφάνεια της πυραμίδας χωρίς τη βάση είναι μικρότερη της κωνικής επιφάνειας [έκαστο από τα τρίγωνα που περιέχουν την πυραμίδα είναι μικρότερο της κωνικής επιφάνειας της μεταξύ των πλευρών του τριγώνου ώστε και όλη η επιφάνειας της πυραμίδας χωρίς τη βάση είναι μικρότερη της επιφάνειας του κώνου χωρίς τη βάση], και ότι, εάν περί ισοσκελούς κώνου περιγραφεί πυραμίδα, η επιφάνεια της πυραμίδας χωρίς τη βάση είναι μεγαλύτερη της επιφάνειας του κώνου χωρίς τη βάση [σε συνέχεια με εκείνο]. ιδʹ. Παντὸς κώνου ἰσοσκελοῦς χωρὶς ιδ. Κάθε ισοσκελούς κώνου η 29

Σπυροπούλου Παναγιώτα τῆς βάσεως ἡ ἐπιφάνεια ἴση ἐστὶ κύκλῳ, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου μέσον λόγον ἔχει τῆς πλευρᾶς τοῦ κώνου καὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου, ὅς επιφάνεια χωρίς τη βάση είναι ίση με κύκλο, του οποίου η ακτίνα είναι μέση ανάλογος της πλευράς του κώνου και της ακτίνας του κύκλου, ο οποίος ἐστιν βάσις τοῦ κώνου. είναι η βάση του κώνου. Χρησιµοποιείται από τον Ζηνόδωρο, καθώς φαίνεται από τον Πάππο [S.5.394.10 µε 15] ιϛʹ. Ἐὰν κῶνος ἰσοσκελὴς ἐπιπέδῳ τμηθῇ παραλλήλῳ τῇ βάσει, τῇ μεταξὺ τῶν παραλλήλων ἐπιπέδων ἐπιφανείᾳ ἴσος ἐστὶ κύκλος, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου μέσον λόγον ἔχει τῆς τε πλευρᾶς τοῦ κώνου τῆς μεταξὺ τῶν παραλλήλων ἐπιπέδων καὶ τῆς ἴσης ἀμφοτέραις ταῖς ἐκ τῶν κέντρων τῶν κύκλων τῶν ἐν τοῖς παραλλήλοις ιϛʹ. Εάν ισοσκελής κώνος τμηθεί από επίπεδο παράλληλο με τη βάση, η μεταξύ των παράλληλων επιπέδων επιφάνεια του κώνου είναι ίση με κύκλο, του οποίου η ακτίνα είναι μέση ανάλογος της πλευράς του κώνου της μεταξύ των παραλλήλων επιπέδων και του αθροίσματος των ακτίνων των κύκλων των παραλλήλων ἐπιπέδοις. επιπέδων. Χρησιµοποιείται από τον Ζηνόδωρο, καθώς φαίνεται από τον Πάππο [S.5.366.21 µε 28] ιζʹ. Ἐὰν ὦσιν δύο κῶνοι ἰσοσκελεῖς, ἡ δὲ τοῦ ἑτέρου κώνου ἐπιφάνεια ἴση ᾖ τῇ τοῦ ἑτέρου βάσει, ἡ δὲ ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς βάσεως ἐπὶ τὴν πλευρὰν τοῦ κώνου κάθετος ἀγομένη τῷ ὕψει ἴση ᾖ, ἴσοι ἔσονται οἱ κῶνοι. ιζʹ. Εάν υπάρχουν δύο ισοσκελείς κώνοι, η δε επιφάνεια του ενός κώνου είναι ίση προς την επιφάνεια της βάσης του άλλου, η δε κάθετη που άγεται από το κέντρο της βάσης επί της πλευράς του κώνου είναι ίση προς το ύψος, οι κώνοι θα είναι ίσοι. Χρησιµοποιείται από τον Ζηνόδωρο, καθώς φαίνεται από τον Πάππο [S.5.370.10 µε 15 & 376.10] 30

«Ισοπεριµετρικό πρόβληµα Μια ιστορική αναδροµή» λδʹ. Πᾶσα σφαῖρα τετραπλασία ἐστὶ κώνου τοῦ βάσιν μὲν ἔχοντος ἴσην τῷ μεγίστω κύκλῳ τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ, ὕψος δὲ τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τῆς λδ. Κάθε σφαίρα είναι τετραπλάσια κώνου που έχει βάση μεν ίση προς τον μέγιστο κύκλο της σφαίρας, ύψος δε την ακτίνα της σφαίρας. σφαίρας. Χρησιµοποιείται από τον Ζηνόδωρο, καθώς φαίνεται από τον Θέωνα [C.P.s.m.i iv.5.378.16 µε 21] [ΠΟΡΙΣΜΑ.] Προδεδειγμένων δὲ τούτων φανερὸν ὅτι πᾶς κύλινδρος βάσιν μὲν ἔχων τὸν μέγιστον κύκλον τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ, ὕψος δὲ ἴσον τῇ διαμέτρῳ τῆς σφαίρας, ἡμιόλιός ἐστι τῆς σφαίρας καὶ ἡ ἐπιφάνεια αὐτοῦ μετὰ τῶν βάσεων ἡμιολία τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας. Ὁ μὲν γὰρ κύλινδρος ὁ προειρημένος ἑξαπλάσιός ἐστι τοῦ κώνου τοῦ βάσιν μὲν ἔχοντος τὴν αὐτήν, ὕψος δὲ ἴσον τῇ ἐκ τοῦ κέντρου, ἡ δὲ σφαῖρα δέδεικται τοῦ αὐτοῦ κώνου τετραπλασία οὖσα δῆλον οὖν ὅτι ὁ κύλινδρος ἡμιόλιός ἐστι τῆς σφαίρας. Πόρισμα Αφού έχουν αποδειχθεί αυτά, είναι φανερό ότι κάθε κύλινδρος που έχει βάση τον μέγιστο κύκλο της σφαίρας, ύψος δε ίσο προς τη διάμετρο της σφαίρας, είναι τα 3 της σφαίρας και 2 η επιφάνεια αυτού μαζί με τις βάσεις είναι τα 3 της επιφάνειας της 2 σφαίρας. Ο μεν κύλινδρος που έχει προαναφερθεί είναι εξαπλάσιος του κώνου που έχει την ίδια βάση, ύψος δε ίσο προς την ακτίνα, η δε σφαίρα αποδείχθηκε ότι είναι τετραπλάσια του ίδιου κώνου είναι λοιπόν φανερό, ότι ο κύλινδρος είναι τα 3 της 2 σφαίρας. μδʹ. Παντὶ τομεῖ σφαίρας ἴσος ἐστὶ κῶνος ὁ βάσιν μὲν ἔχων ἴσην τῇ μδ. Κάθε σφαιρικός τομέας είναι ίσος με κώνο, ο οποίος έχει βάση ίση με την 31

Σπυροπούλου Παναγιώτα ἐπιφανείᾳ τοῦ τμήματος τῆς σφαίρας τοῦ κατὰ τὸν τομέα, ὕψος δὲ ἴσον τῇ επιφάνεια του τμήματος της σφαίρας του κατά τον τομέα, ύψος δε ίσο με ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας. την ακτίνα της σφαίρας. Χρησιµοποιείται από τον Ζηνόδωρο, καθώς φαίνεται από τον Πάππο [S.5.360.17 µε 20] Τὸ δὲ πρῶτον ἦν τῶν προβλημάτων τόδε σφαίρας δοθείσης ἐπίπεδον χωρίον εὑρεῖν ἴσον τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας. Ἔστιν δὲ τοῦτο φανερὸν δεδειγμένον ἐκ τῶν προειρημένων θεωρημάτων τὸ γὰρ τετραπλάσιον τοῦ μεγίστου κύκλου τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ ἐπίπεδόν τε χωρίον ἐστὶ καὶ ἴσον τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας. αʹ. Τὸ δεύτερον ἦν Κώνου δοθέντος ἢ κυλίνδρου σφαῖραν εὑρεῖν τῷ κώνῳ ἢ τῷ κυλίνδρῳ ἴσην. Το δε πρώτο των προβλημάτων ήταν το εξής δοσμένης σφαίρας να βρεθεί επίπεδη επιφάνεια ίση προς την επιφάνεια της σφαίρας. Είναι δε φανερό ότι αυτό έχει αποδειχθεί από τα προηγούμενα θεωρήματα διότι το τετραπλάσιο του μέγιστου κύκλου της σφαίρας είναι επίπεδο ίσο προς την επιφάνεια της σφαίρας. α. Το δεύτερο ήταν δοσμένου κώνου ή κυλίνδρου να βρεθεί σφαίρα ίση προς τον κώνο ή τον κύλινδρο. βʹ. Παντὶ τμήματι τῆς σφαίρας ἴσος ἐστὶ κῶνος ὁ βάσιν μὲν ἔχων τὴν αὐτὴν τῷ τμήματι, ὕψος δὲ εὐθεῖαν, ἥτις πρὸς τὸ ὕψος τοῦ τμήματος τὸν αὐτὸν λόγον ἔχει, ὃν συναμφότερος ἥ τε ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας καὶ τὸ ὕψος τοῦ λοιποῦ τμήματος πρὸς τὸ ὕψος τοῦ λοιποῦ τμήματος. Κάθε τμήματος σφαίρας ισούται κώνος, ο οποίος έχει μεν την ίδια βάση με το τμήμα, ύψος δε ευθεία, η οποία προς το ύψος του τμήματος έχει τον ίδιο λόγο, τον οποίο έχει το άθροισμα της ακτίνας της σφαίρας και το ύψος του υπόλοιπου τμήματος προς το ύψος του υπόλοιπου τμήματος. θʹ. Τῶν τῇ ἴσῃ ἐπιφανείᾳ θ'. Από τα σφαιρικά τμήματα που 32

«Ισοπεριµετρικό πρόβληµα Μια ιστορική αναδροµή» περιεχομένων σφαιρικῶν τμημάτων περιέχουν ίση επιφάνεια μέγιστο μεῖζόν ἐστι τὸ ἡμισφαίριον. είναι το ημισφαίριο. Αυτό το απόσπασµα αναφέρεται από την Basmakova (Basmakova, 2014, σελίδα 334), η οποία το συσχετίζει µε µία ανάλογη πρόταση που αποδεικνύει ο Ζηνόδωρος. 33

«Ισοπεριµετρικό πρόβληµα Μια ιστορική αναδροµή» 2 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2.1. Ο Πάππος και η «οξύνοια των µελισσών» Τον 4 ο αι. µ.χ. ο Πάππος αναφέρεται στο βιβλίο V της «Συναγωγής» στην «οξύνοια των µελισσών». Μέσα από την παρατήρηση της τέλειας εξαγωνικής δοµής της κηρήθρας της φωλιάς των µελισσών, απέδωσε στα έντοµα αυτά µία κάποια «γεωµετρική πρόνοια» (Wiegert, 2010). Η εισαγωγή αυτή θεωρείται ένα λογοτεχνικό αριστούργηµα, καθώς όπως αναφέρεται στον Heath (Blasjo, 2005): «είναι το χαρακτηριστικό των µεγάλων Ελλήνων µαθηµατικών πως, όποτε ήταν ελεύθεροι από τους περιορισµούς της τεχνικής γλώσσας των µαθηµατικών, όπως όταν για παράδειγµα είχαν την ευκαιρία να γράψουν ένα πρόλογο, ήταν ικανοί να γράψουν σε γλώσσα µεγαλύτερης λογοτεχνικής ποιότητας, συγκριτικά µε τους φιλοσόφους, τους ιστορικούς, και τους ποιητές». Μετά την εισαγωγή, ο Πάππος συνέχισε µε την αναλυτική παρουσίαση του Ισοπεριµετρικού Προβλήµατος στις δύο και τρεις διαστάσεις. Το Ισοπεριµετρικό Πρόβληµα έφτασε τη µεγαλύτερη έκτασή του στον αρχαίο κόσµο στα σχόλια του Πάππου (Wiegert, 2010). Ακολουθεί το πλήρες µέρος του κειµένου του Πάππου, όπου και καταγράφεται το έργο του Ζηνόδωρου, συµπεριλαµβανοµένων των αποδείξεων, στο πρωτότυπο και σε µετάφραση στα νέα Ελληνικά. Περιέχει δὲ συγκρίσεις τῶν ἴσην Περιέχει συγκρίσεις των επίπεδων περίμετρον ἐχόντων ἐπιπέδων σχημάτων πρὸς ἄλληλά τε καὶ τὸν κύκλον, καὶ συγκρίσεις τῶν ἴσην ἐπιφάνειαν ἐχόντων στερεῶν σχημάτων πρὸς ἄλληλά τε καὶ τὴν σχημάτων με ίσες περιμέτρους μεταξύ τους και με τον κύκλο, και συγκρίσεις των στερεών με ίσες επιφάνειες μεταξύ τους και με την σφαίρα. σφαῖραν. Σοφίας καὶ μαθημάτων ἔννοιαν ἀρίστην μὲν καὶ τελειοτάτην Ο Θεός έδωσε άριστη και τέλεια σοφία και γνώση στους ανθρώπους, 35

Σπυροπούλου Παναγιώτα ἀνθρώποις θεὸς ἔδωκεν, ὦ κράτιστε Μεγεθίον, ἐκ μέρους δέ που καὶ τῶν ἀλόγων ζῴων μοῖραν ἀπένειμέν τισιν. ἀνθρώποις μὲν οὖν ἅτε λογικοῖς οὖσι τὸ μετὰ λόγου καὶ ἀποδείξεως παρέσχεν ἕκαστα ποιεῖν, τοῖς δὲ λοιποῖς ζῴοις ἄνευ λόγου τὸ χρήσιμον καὶ βιωφελὲς αὐτὸ μόνον κατά τινα φυσικὴν πρόνοιαν ἑκάστοις ἔχειν ἐδωρήσατο. τοῦτο δὲ μάθοι τις ἂν ὑπάρχον καὶ ἐν ἑτέροις μὲν πλείστοις γένεσιν τῶν ζῴων, οὐχ ἥκιστα δὲ κἀν ταῖς μελίσσαις ἥ τε γὰρ εὐταξία καὶ ευγενή Μεγέθιε, μέρος της οποίας απέδωσε και στα άλογα ζώα. Στους μεν ανθρώπους που είναι λογικοί τους παρείχε την πράξη που πρέπει να συνοδεύεται από λογική και απόδειξη, στα λοιπά ζώα, δώρισε το χρήσιμο και επωφελές για τη ζωή τους κατά τη φυσική πρόνοια, χωρίς την ανάγκη λογικής. Αυτό το ένστικτο μπορεί να παρατηρηθεί και μεταξύ πολλών ζώων κατά τη γένεση, και κυρίως με τις μέλισσες η καλή τους τάξη και προς τις ηγέτιδες πρὸς τὰς ἡγουμένας τῆς ἐν αὑταῖς πολιτείας εὐπείθεια θαυμαστή τις, ἥ τε φιλοτιμία καὶ καθαριότης ἡ περὶ τὴν τοῦ μέλιτος συναγωγὴν καὶ ἡ περὶ τὴν φυλακὴν αὐτοῦ πρόνοια καὶ οἰκονομία πολὺ μᾶλλον θαυμασιωτέρα. πεπιστευμέναι γὰρ, ὡς εἰκός, παρὰ θεῶν κομίζειν τοῖς τῶν ἀνθρώπων μουσικοῖς τῆς ἀμβροσίας ἀπόμοιράν της πολιτείας τους και η υπακοή τους είναι θαυμαστή, η δε φιλοτιμία και καθαριότητά τους κατά τη συλλογή του μελιού και η πρόνοιά τους για τη φύλαξή του και προστασία του, είναι περισσότερο θαυμαστή. Θεωρούν πως είναι επιφορτισμένες με το καθήκον να φέρνουν από τους θεούς στους πολιτισμένους ανθρώπους ένα μέρος από την αμβροσία τινα ταύτην οὐ μάτην ἐκχεῖν εἰς γῆν καὶ ξύλον ἤ τινα ἑτέραν ἀσχήμονα καὶ ἄτακτον ὕλην ἠξίωσαν, ἀλλ' ἐκ τῶν ἡδίστων ἐπὶ γῆς φυομένων ἀνθέων την οποία δε θεωρούν πρέπον να χύνουν στη γη ή στο ξύλο ή σε οποιοδήποτε απρεπές και ακανόνιστο υλικό, αλλά να συλλέγουν τα πιο 36

«Ισοπεριµετρικό πρόβληµα Μια ιστορική αναδροµή» συνάγουσαι τὰ κάλλιστα κατασκευάζουσιν ἐκ τούτων εἰς τὴν τοῦ μέλιτος ὑποδοχὴν ἀγγεῖα τὰ καλούμενα κηρία πάντα μὲν ἀλλήλοις ἴσα καὶ ὅμοια καὶ παρακείμενα, τῷ δὲ σχήματι ἑξάγωνα. τοῦτο δ' ὅτι κατά τινα γεωμετρικὴν μηχανῶνται πρόνοιαν οὕτως ἂν μάθοιμεν. πάντως μὲν γὰρ ᾤοντο δεῖν τὰ σχήματα παρακεῖσθαί τε ἀλλήλοις καὶ κοινωνεῖν κατὰ τὰς πλευράς, ἵνα μὴ τοῖς μεταξὺ παραπληρώμασιν ἐμπίπτοντά τινα ἕτερα εκλεκτά μέρη από τα γλυκύτερα λουλούδια που φυτρώνουν, κατασκευάζοντας από αυτά δοχεία που αποκαλούνται κηρήθρες πάντα μεταξύ τους ίσα και όμοια και εφαπτόμενα, με σχήμα εξαγώνου. Αυτό το έχουν επινοήσει σε συνάρτησε με μία γεωμετρική πρόνοια θα μπορούσαμε να συμπεράνουμε. Πάντως θα πρέπει να σκέφτονταν πως τα σχήματα θα έπρεπε να είναι εφαπτόμενα και να έχουν τις πλευρές τους κοινές, ώστε τίποτα να μη μπορεί να πέσει μεταξύ των κενών λυμήνηται αὐτῶν τὰ ἔργα. τρία δὲ σχήματα εὐθύγραμμα τὸ προκείμενον ἐπιτελεῖν ἐδύνατο, λέγω δὲ τεταγμένα τὰ ἰσόπλευρά τε καὶ ἰσογώνια, τὰ δ' ἀνόμοια ταῖς μελίσσαις οὐκ ἤρεσεν. τὰ μὲν οὖν ἰσόπλευρα τρίγωνα καὶ τετράγωνα καὶ τὰ ἑξάγωνα χωρὶς ἀνομοίων παραπληρωμάτων ἀλλήλοις δύναται παρακείμενα τὰς πλευρὰς κοινὰς ἔχειν [ταῦτα γὰρ δύναται συμπληροῦν ἐξ αὑτῶν τὸν περὶ τὸ αὐτὸ σημεῖον τόπον, ἑτέρῳ δὲ μολύνοντας το έργο τους. Τρία δε ευθύγραμμα σχήματα μπορούν να επιτελέσουν αυτό το σκοπό, λέω δε τα διατεταγμένα ισόπλευρα και ισογώνια, τα δε ανόμοια δε θα άρεσαν στις μέλισσες. Τα μεν ισόπλευρα τρίγωνα και τετράγωνα και τα εξάγωνα χωρίς ανόμοια κενά είναι δυνατόν τα εφαπτόμενα να έχουν κοινές πλευρές [αυτά είναι δυνατόν να συμπληρώνουν τον τόπο γύρω από το ίδιο σημείο, κανένα άλλο διατεταγμένο σχήμα δε μπορεί να το 37

Σπυροπούλου Παναγιώτα τεταγμένῳ σχήματι τοῦτο ποιεῖν ἀδύνατον]. ὁ γὰρ περὶ τὸ αὐτὸ σημεῖον τόπος ὑπὸ ϛʹ μὲν τριγώνων ἰσοπλεύρων καὶ διὰ ϛʹ γωνιῶν, ὧν ἑκάστη διμοίρου ἐστὶν ὀρθῆς, συμπληροῦται, τεσσάρων δὲ τετραγώνων καὶ δ' ὀρθῶν γωνιῶν [αὐτοῦ], τριῶν δὲ ἑξαγώνων καὶ ἑξαγώνου γωνιῶν τριῶν, ὧν ἑκάστη αʹ γʹʹ ἐστὶν ὀρθῆς. πεντάγωνα δὲ τὰ τρία μὲν οὐ φθάνει συμπληρῶσαι τὸν περὶ τὸ αὐτὸ σημεῖον τόπον, ὑπερβάλλει δὲ τὰ τέσσαρα τρεῖς μὲν γὰρ τοῦ πενταγώνου γωνίαι δʹ ὀρθῶν ἐλάσσονές εἰσιν (ἑκάστη γὰρ γωνία μιᾶς καὶ εʹʹ ἐστὶν ὀρθῆς), τέσσαρες δὲ γωνίαι μείζους τῶν τεσσάρων ὀρθῶν. κάνει αυτό]. Ο τόπος γύρω από το ίδιο σημείο υπό έξι μεν ισόπλευρων τριγώνων και δια έξι γωνιών, καθεμία η οποία είναι το μισό της ορθής, συμπληρώνεται, με τέσσερα τετράγωνα και τεσσάρων ορθών γωνιών [αυτού], τριών δε εξαγώνων και τριών γωνιών εξαγώνου, κάθε μία να είναι ένα και ένα τρίτο της ορθής, τα τρία πεντάγωνα δε δεν φθάνουν για να συμπληρώσουν τον τόπο γύρω από το ίδιο σημείο, και τα τέσσερα υπερέχουν τρεις μεν του πενταγώνου γωνίες είναι μικρότερες από τέσσερις ορθές (κάθε γωνία είναι μία και ένα πέμπτο της ορθής), τέσσερις δε γωνίες είναι μεγαλύτερες των τεσσάρων ορθών. ἑπτάγωνα δὲ οὐδὲ τρία περὶ τὸ αὐτὸ σημεῖον δύναται τίθεσθαι κατὰ τὰς πλευρὰς ἀλλήλοις παρακείμενα τρεῖς γὰρ ἑπταγώνου γωνίαι τεσσάρων ὀρθῶν μείζονες (ἑκάστη γάρ ἐστιν μιᾶς ὀρθῆς καὶ τριῶν ἑβδόμων). ἔτι δὲ μᾶλλον ἐπὶ τῶν πολυγωνοτέρων ὁ αὐτὸς ἐφαρμόσαι δυνήσεται λόγος. ὄντων δὴ οὖν τριῶν σχημάτων τῶν ἐξ αὑτῶν δυναμένων Δε γίνεται δε να τοποθετηθούν ούτε τρία επτάγωνα γύρω από το ίδιο σημείο με κοινές τις εφαπτόμενες πλευρές οι τρεις γωνίες του επταγώνου είναι μεγαλύτερες τεσσάρων ορθών (κάθε μία είναι μίας ορθής και τριών εβδόμων). Η ίδια λογική γίνεται να εφαρμοστεί και για τα πολυγωνότερα. Γίνεται λοιπόν δια τριών σχημάτων από αυτά που 38

«Ισοπεριµετρικό πρόβληµα Μια ιστορική αναδροµή» συμπληρῶσαι τὸν περὶ τὸ αὐτὸ σημεῖον τόπον, τριγώνου τε καὶ τετραγώνου καὶ ἑξαγώνου, τὸ πολυγωνότερον εἵλαντο διὰ τὴν σοφίαν αἱ μέλισσαι πρὸς τὴν παρασκευήν, ἅτε καὶ πλεῖον ἑκατέρου τῶν λοιπῶν αὐτὸ χωρεῖν ὑπολαμβάνουσαι μέλι. Καὶ αἱ μέλισσαι μὲν τὸ χρήσιμον αὑταῖς ἐπίστανται μόνον τοῦθ' ὅτι τὸ ἑξάγωνον τοῦ τετραγώνου καὶ τοῦ τριγώνου μεῖζόν ἐστιν καὶ χωρῆσαι δύναται πλεῖον μέλι τῆς ἴσης εἰς τὴν ἑκάστου κατασκευὴν ἀναλισκομένης ὕλης, μπορούν να συμπληρώσουν τον τόπο γύρω από το ίδιο σημείο, από το τρίγωνο και το τετράγωνο και το εξάγωνο, το πολυγωνότερο επιλέγουν με τη σοφία τους οι μέλισσες για την κατασκευή, αντιλαμβανόμενες πως χωράει περισσότερο μέλι από καθένα από τα υπόλοιπα. Και οι μέλισσες γνωρίζουν μόνο αυτό που είναι χρήσιμο σε αυτές ότι το εξάγωνο είναι μεγαλύτερο από το τετράγωνο και το τρίγωνο και μπορεί να χωρέσει περισσότερο μέλι για την ίδια δαπάνη υλικού κατασκευής, ἡμεῖς δὲ πλέον τῶν μελισσῶν σοφίας μέρος ἔχειν ὑπισχνούμενοι ζητήσομέν τι καὶ περισσότερον. τῶν γὰρ ἴσην ἐχόντων περίμετρον ἰσοπλεύρων τε καὶ ἰσογωνίων ἐπιπέδων σχημάτων μεῖζόν ἐστιν ἀεὶ τὸ πολυγωνότερον, εμείς δε έχοντας μεγαλύτερο μέρος στη σοφία από τις μέλισσες θα ζητήσουμε και κάτι περισσότερο. Από τα ισόπλευρα και ισογώνια σχήματα που έχουν ίση περίμετρο μεγαλύτερο είναι και το πολυγωνότερο, μέγιστος 39

Σπυροπούλου Παναγιώτα μέγιστος δ' ἐν πᾶσιν ὁ κύκλος, ὅταν ἴσην αὐτοῖς περίμετρον ἔχῃ. δείξομεν δὲ πρότερον ὅτι τῶν ἀνισοπληθεῖς μὲν ἐχόντων τὰς γωνίας τεταγμένων πολυγώνων, τὴν δὲ περίμετρον ἴσην, τὸ πολυγωνότερον ἀεὶ καὶ μεῖζόν ἐστιν. δε όλων είναι ο κύκλος, όταν έχει ίση περίμετρο με αυτά. Θα δείξουμε δε πρωτύτερα ότι από τα πολύγωνα που είναι διατεταγμένα με βάση το άνισο πλήθος των γωνιών τους, αλλά με ίση περίμετρο, το πολυγωνότερο θα είναι πάντα και μεγαλύτερο. 10 αʹ. Ἔστω δύο πολύγωνα ἰσόπλευρά τε καὶ ἰσογώνια τὰ ΑΒΓ ΔΕΖ, καὶ ἔστωσαν ἴσαι μὲν αὐτῶν αἱ περίμετροι, πολυγωνότερον δὲ τὸ ΔΕΖ λέγω ὅτι τὸ ΔΕΖ μεῖζον τοῦ α. Έστω δύο πολύγωνα ισόπλευρα και ισογώνια τα ΑΒΓ ΔΕΖ, και έστω ότι οι περίμετροί τους είναι ίσες, πολυγωνότερο δε το ΔΕΖ λέω ότι το ΔΕΖ είναι μεγαλύτερο από το ΓΑΒ. ΓΑΒ. Εἰλήφθω γὰρ τὰ κέντρα τῶν περιγραφομένων αὐτοῖς κύκλων τὰ Η Θ, κάθετοι ἤχθωσαν αἱ ΗΚ ΘΛ, καὶ Ας έχουν ληφθεί τα κέντρα των περιγραφόμενων σε αυτά κύκλων τα Η και Θ, και ας έχουν αχθεί κάθετες 10 Σε αυτή την πρόταση συγκρίνονται σχήµατα τα οποία είναι ισοπερίµετρα και αποδεικνύεται πως αυτό που έχει µεγαλύτερο πλήθος πλευρών θα έχει και µεγαλύτερο εµβαδό. 40

«Ισοπεριµετρικό πρόβληµα Μια ιστορική αναδροµή» ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΗ ΗΓ ΘΔ ΘΖ. ἐπεὶ οὖν πολυγωνότερόν ἐστιν τὸ ΕΔΖ τοῦ ΑΒΓ, πλεονάκις ἡ ΔΖ τὴν τοῦ ΔΕΖ πολυγώνου καταμετρεῖ περίμετρον ἤπερ ἡ ΑΓ τὴν τοῦ ΑΒΓ μείζων ἄρα ἡ ΑΓ τῆς ΔΖ (ἴσαι γὰρ ὑπόκεινται αἱ περίμετροι), ὥστε καὶ ἡ ΑΚ μείζων τῆς ΔΛ (ἡμίσεια γὰρ ἑκατέρα ἑκατέρας). κείσθω τῇ ΔΛ ἴση ἡ ΚΜ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΜΗ. καὶ ἐπεί, ὃ μέρος ἐστὶν ἡ ΑΓ εὐθεῖα τῆς τοῦ ΑΒΓ πολυγώνου περιμέτρου, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶν καὶ ἡ ὑπὸ ΑΗΓ γωνία τεσσάρων ὀρθῶν (ἐπειδὴ ἰσόπλευρόν ἐστι τὸ πολύγωνον), ὁμοίως δὲ καί, ὃ μέρος ἐστὶν ἡ ΔΖ τῆς τοῦ ΔΕΖ περιμέτρου, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΔΘΖ γωνία τεσσάρων ὀρθῶν, καὶ εἰσὶν ἴσαι αἱ περίμετροι ἀλλήλαις καὶ αἱ δ' ὀρθαὶ ταῖς δʹ ὀρθαῖς, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΑΒΓ περίμετρον, οὕτως ἡ Η γωνία πρὸς δʹ ὀρθάς. ὡς δὲ ἡ περίμετρος τοῦ ΔΕΖ, τουτέστιν τοῦ ΑΒΓ, οι ΗΚ ΘΛ, και ας έχουν ενωθεί οι ΑΗ ΗΓ ΘΔ ΘΖ. Επειδή είναι πολυγωνότερο το ΕΔΖ του ΑΒΓ, πλεονασματικά μετρά την περίμετρο του πολυγώνου ΔΕΖ η ΔΖ όπως η ΑΓ την περίμετρο του ΔΖ (αφού οι περίμετροι είναι ίσες), ώστε και η ΑΚ είναι μεγαλύτερη της ΔΛ (όταν η μισή έκαστη εκάστης). Ομοίως ίση της ΔΛ η ΚΜ, και ας έχει ενωθεί η ΜΗ. Και επειδή, η ευθεία ΑΓ είναι μέρος της περιμέτρου του πολυγώνου ΑΒΓ, το ίδιο μέρος είναι και η υπό ΑΗΓ γωνία τεσσάρων ορθών (επειδή το πολύγωνο είναι ισόπλευρο), ομοίως δε και, όπως είναι η ΔΖ μέρος της περιμέτρου του ΔΕΖ, το ίδιο μέρος είναι η υπό ΔΘΖ γωνία τεσσάρων ορθών, και είναι ίσες μεταξύ τους οι περίμετροι και οι τέσσερις ορθές των τεσσάρων ορθών, άρα είναι όπως η ΑΓ προς την περίμετρο ΑΒΓ, όπως η γωνία Η προς τέσσερις ορθές, όπως δε η περίμετρος του ΔΕΖ, δηλαδή του ΑΒΓ, πρὸς τὴν ΔΖ, αἱ δʹ ὀρθαὶ πρὸς τὴν ὑπὸ ΔΘΖ γωνίαν δι' ἴσου ἄρα ὡς ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΔΖ, οὕτως ἡ ὑπὸ ΑΗΓ πρὸς προς την ΔΖ, οι τέσσερις ορθές προς την γωνία υπό ΔΘΖ άρα ότι είναι η ΑΓ για την ΔΖ, θα είναι και η υπό 41

Σπυροπούλου Παναγιώτα τὴν ὑπὸ ΔΘΖ καὶ ὡς ἄρα ἡ ΑΚ πρὸς τὴν ΛΔ, τουτέστιν πρὸς ΚΜ, οὕτως ἡ ὑπὸ ΑΗΚ πρὸς τὴν ὑπὸ ΔΘΛ. ἡ δὲ ΑΚ πρὸς τὴν ΚΜ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὑπὸ ΑΗΚ πρὸς τὴν ὑπὸ ΜΗΚ (τοῦτο γὰρ ἐν τοῖς εἰς τὰ σφαιρικὰ λήμμασιν δέδεικται) καὶ ἡ ὑπὸ ΑΗΚ ἄρα γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΔΘΛ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὑπὸ ΑΗΚ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΜΗΚ μείζων ἄρα ἡ ὑπὸ ΜΗΚ τῆς ὑπὸ ΔΘΛ. ἔστιν δὲ καὶ ἡ πρὸς τῷ Κ ὀρθὴ ΑΗΓ προς την υπό ΔΘΖ και άρα όπως είναι η ΑΚ προς την ΛΔ, δηλαδή προς ΚΜ, το ίδιο η υπό ΑΗΚ προς την υπό ΔΘΛ. Η δε ΑΚ προς την ΚΜ έχει μεγαλύτερο λόγο όπως η υπό ΑΗΚ προς την υπό ΜΗΚ (αυτό αποδεικνύεται στα σφαιρικά λήμματα) και άρα η γωνία υπό ΑΗΚ προς την υπό ΔΘΛ έχει μεγαλύτερο λόγο όπως η γωνία υπό ΑΗΚ προς την υπό ΜΗΚ άρα είναι μεγαλύτερη η υπό ΜΗΚ της υπό ΔΘΛ. Είναι δε και η ἴση τῇ πρὸς τῷ Λ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΗΜΚ τῆς ὑπὸ ΘΔΛ ἐλάσσων. ἔστω τῇ ὑπὸ ΘΔΛ ἴση ἡ ὑπὸ ΚΜΝ καὶ ἔστιν ἴση ἡ ΔΛ τῇ ΚΜ καὶ ἡ ΛΘ ἄρα τῇ ΚΝ ἴση ἐστίν μείζων ἄρα ἡ ΘΛ τῆς ΚΗ. ἴσαι δὲ αἱ περίμετροι μεῖζον ἄρα τὸ ὑπὸ ΛΘ καὶ τῆς περιμέτρου τοῦ ΔΕΖ περιεχόμενον ὀρθογώνιον προς το Κ ορθή ίση της προς το Λ άρα είναι λιγότερη η υπό ΗΜΚ της υπό ΘΔΛ. Έστω της υπό ΘΔΛ ίση η υπό ΚΜΝ και ας είναι ίση η ΔΛ της ΚΜ άρα και η ΛΘ θα είναι ίση της ΚΝ άρα είναι μεγαλύτερη η ΘΛ της ΚΗ. Ίσες δε είναι οι περίμετροι άρα το υπό ΛΘ και της περιμέτρου του ΔΕΖ περιεχόμενου ορθογωνίου είναι τοῦ ὑπὸ τῆς ΚΗ καὶ τῆς περιμέτρου τοῦ ΑΒΓ. καὶ ἔστιν τῶν εἰρημένων χωρίων ἡμίση τὰ πολύγωνα μεῖζον ἄρα τὸ ΔΕΖ πολύγωνον τοῦ ΑΒΓ. [τὸ γὰρ ὕψος ἴσον ἐστὶ τῆς περιμέτρου τῆς αὐτῆς οὔσης τῶν δύο εὐθυγράμμων, καὶ αἱ βάσεις ἄνισοι αἱ μεγαλύτερο του υπό της ΚΗ και της περιμέτρου του ΑΒΓ. Και τα χωρισμένα χωρία είναι τα μισά των πολυγώνων άρα είναι μεγαλύτερο το πολύγωνου ΔΕΖ του ΑΒΓ. [το ύψος είναι ίσο της περιμέτρου της ίδιας και των δύο ευθυγράμμων, και οι βάσεις 42

«Ισοπεριµετρικό πρόβληµα Μια ιστορική αναδροµή» ΘΛ ΗΚ, καὶ ὡς ἡ ΘΛ βάσις πρὸς τὴν ΗΚ βάσιν, οὕτως τὸ παραλληλόγραμμον τὸ ὑπὸ ΘΛ καὶ τῆς περιμέτρου τοῦ ΔΕΖ πολυγώνου πρὸς τὸ παραλληλόγραμμον τὸ ὑπὸ τῆς ΗΚ καὶ τῆς περιμέτρου τοῦ ΑΒΓ. καὶ τὰ ἡμίση πολύγωνα ἄνισα, ὥστε μεῖζον τὸ ΔΕΖ τοῦ ΑΒΓ.] άνισες οι ΘΛ ΗΚ, και όπως η βάση ΘΛ προς την βάση ΗΚ, ομοίως το παραλληλόγραμμο το υπό ΘΛ και της περιμέτρου του πολυγώνου ΔΕΖ προς το παραλληλόγραμμο το υπό της ΗΚ και της περιμέτρου του ΑΒΓ. Και τα μισά πολύγωνα άνισα, ώστε μεγαλύτερο είναι το ΔΕΖ του ΑΒΓ.] 11 βʹ. Ἔστω πάλιν τὸ πολύγωνον τὸ ΑΒΓ ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον ἴσην ἔχον τὴν περίμετρον τῇ τοῦ ΔΕΖ κύκλου περιφερείᾳ λέγω ὅτι μείζων ἐστὶν ὁ ΔΕΖ κύκλος τοῦ ΑΒΓ πολυγώνου. Εἰλήφθω τοῦ μὲν ΔΕΖ κύκλου κέντρον τὸ Θ, τοῦ δὲ περὶ τὸ ΑΒΓ β. Έστω πάλι το πολύγωνο ΑΒΓ ισόπλευρο και ισογώνιο που έχει ίση περίμετρο με την περίμετρο του κύκλου ΔΕΖ λέω ότι ο κύκλος ΔΕΖ είναι μεγαλύτερος του πολυγώνου ΑΒΓ. Ας έχει ληφθεί του μεν κύκλου ΔΕΖ το κέντρο Θ, του δε περιγραφόμενου 11 Σε αυτή την πρόταση αποδεικνύεται πως µεταξύ δύο ισοπερίµετρων σχηµάτων, ενός κύκλου και ενός ισόπλευρου και ισογώνιου πολυγώνου, ο κύκλος θα έχει µεγαλύτερο εµβαδό. 43

Σπυροπούλου Παναγιώτα πολύγωνον περιγραφομένου κύκλου κέντρον τὸ Η, καὶ περιγεγράφθω περὶ τὸν κύκλον πολύγωνον ὅμοιον τῷ ΑΒΓ τὸ ΛΜΝΞΟ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΘΔ, καὶ κάθετος ἀπὸ τοῦ Η ἐπὶ τὴν ΑΓ ἤχθω ἡ ΗΚ. ἐπεὶ οὖν μείζων ἐστὶν ἡ τοῦ ΛΜΝΞΟ πολυγώνου περίμετρος τῆς τοῦ ΔΕΖ κύκλου περιφερείας, ὡς ἐν τῷ περὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρου Ἀρχιμήδει ὑπόκειται [διὰ τὸ περιέχειν αὐτήν], ἡ δὲ τοῦ κύκλου περιφέρεια ἴση ἐστὶν τῇ τοῦ ΑΒΓ πολυγώνου περιμέτρῳ, κύκλου του πολυγώνου ΑΒΓ το κέντρο Η, και ας έχει περιγραφεί περί τον κύκλο πολύγωνο όμοιο με το ΑΒΓ το ΛΜΝΞΟ, και ας έχει ενωθεί η ΘΔ, και ας έχει αχθεί από το Η κάθετη επί της ΑΓ η ΗΚ. Επειδή η περίμετρος του πολυγώνου ΛΜΝΞΟ είναι μεγαλύτερη της περιφέρειας του κύκλου ΔΕΖ, όπως στο περί σφαίρας και κυλίνδρου του Αρχιμήδη [επειδή την περιέχει αυτήν], η δε περιφέρεια του κύκλου είναι ίση της περιμέτρου του πολυγώνου του ΑΒΓ, και η περίμετρος του πολυγώνου καὶ ἡ τοῦ ΛΜΝΞΟ πολυγώνου περίμετρος μείζων τῆς τοῦ ΑΒΓ πολυγώνου περιμέτρου. καὶ ἔστιν ὅμοια τὰ πολύγωνα μείζων ἄρα ἡ ΛΔ τῆς ΑΚ. καὶ ἔστιν ὁμοῖον τὸ ΑΗΚ τρίγωνον τῷ ΛΘΔ τριγώνῳ (καὶ γὰρ τὰ ὅλα πολύγωνα ὅμοιά ἐστι) μείζων ἄρα καὶ ἡ ΘΔ τῆς ΗΚ. ἴση δὲ ἡ τοῦ ΔΕΖ κύκλου περιφέρεια τῇ τοῦ ΑΒΓ πολυγώνου περιμέτρῳ μεῖζον ἄρα τὸ ὑπὸ τῆς ΔΘ καὶ τῆς τοῦ ΔΕΖ κύκλου περιφερείας τοῦ ὑπὸ τῆς ΗΚ καὶ τῆς τοῦ ΑΒΓ πολυγώνου περιμέτρου. καὶ ἔστι τὸ μὲν ὑπὸ τῆς ΛΜΝΞΟ είναι μεγαλύτερη της περιμέτρου του πολυγώνου ΑΒΓ. Και είναι όμοια τα πολύγωνα άρα είναι μεγαλύτερη η ΛΔ της ΑΚ. Και είναι όμοιο το τρίγωνο ΑΗΚ του τριγώνου ΛΘΔ (και επειδή τα όλα πολύγωνα είναι όμοια) άρα είναι μεγαλύτερη και η ΘΔ της ΗΚ [Αρχιμήδης, D.s.c.α ]. Ίση η περιφέρεια του κύκλου ΔΕΖ της περιμέτρου του πολυγώνου ΑΒΓ άρα είναι μεγαλύτερο το υπό της ΔΘ και της περιφέρειας του κύκλου ΔΕΖ του υπό της ΗΚ και της περιμέτρου του πολυγώνου ΑΒΓ. Και είναι το μεν υπό 44

«Ισοπεριµετρικό πρόβληµα Μια ιστορική αναδροµή» ΔΘ καὶ τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας διπλάσιον τοῦ ΔΕΖ κύκλου (καὶ τοῦτο γὰρ ὑπὸ Ἀρχιμήδους ἐν τῷ περὶ τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας δέδεικται), της ΔΘ και της περιφέρειας του κύκλου διπλάσιο του κύκλου ΔΕΖ (και αυτό από τον Αρχιμήδη στο περί της του κύκλου περιφέρειας έχει δειχθεί [Αρχιμήδης, D.c.α ]), τὸ δὲ ὑπὸ τῆς ΗΚ καὶ τῆς τοῦ ΑΒΓ πολυγώνου περιμέτρου διπλάσιον τοῦ ΑΒΓ πολυγώνου, καὶ τὰ ἡμίση μείζων ἄρα ὁ κύκλος τοῦ ΑΒΓ πολυγώνου. το δε υπό της ΗΚ και της περιμέτρου του πολυγώνου ΑΒΓ είναι διπλάσιο του πολυγώνου ΑΒΓ, και τα μισά άρα ο κύκλος είναι μεγαλύτερος του πολυγώνου ΑΒΓ. γʹ. Ὅτι μὲν οὖν τὸ ὑπὸ τῆς περιμέτρου τοῦ κύκλου καὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου διπλάσιόν ἐστι τοῦ κύκλου Ἀρχιμήδης ἀπέδειξεν, οὐδὲν δὲ ἧττον καὶ ἑξῆς δειχθήσεται τοῦτο πρὸς τὸ μὴ δεῖσθαι τοῦ Ἀρχιμηδείου συντάγματος ἕνεκεν μόνου τοῦ θεωρήματος τούτου. Ἔστω γὰρ κύκλος ὁ ΑΒΓΔ, καὶ τοῦ ὑπὸ τῆς περιμέτρου αὐτοῦ καὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου ἥμισυ ἔστω τὸ Ζ χωρίον λέγω ὅτι ἴσον ἐστὶν τὸ Ζ χωρίον τῷ ΑΒΓΔ κύκλῳ. Ἔστω γὰρ πρότερον, εἰ δυνατόν, ἔλασσον. δυνατὸν ἄρα ἐστὶν ἀκολούθως τῇ ἀγωγῇ τῇ ἐν τῷ δωδεκάτῳ τῶν στοιχείων ἐγγράψαι εἰς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον πολύγωνον, γ. Ότι το υπό της περιμέτρου του κύκλου και της ακτίνας είναι διπλάσιο του κύκλου ο Αρχιμήδης απέδειξε, και αυτό δεν ήταν και εξής δείχνεται αυτό προς να μην υπάρχει ανάγκη του Αρχιμήδειου συντάγματος χάριν μόνο του θεωρήματος αυτού. Έστω κύκλος ο ΑΒΓΔ, και του υπό της περιμέτρου αυτού και της ακτίνας έστω το μισό το χωρίο Ζ λέω ότι είναι ίσο το χωρίο Ζ του κύκλου ΑΒΓΔ. Έστω πρότερα, είναι δυνατόν, μικρότερο. Άρα είναι δυνατόν ακολουθώντας την αγωγή από το δωδέκατο των στοιχείων να εγγραφεί στον κύκλο ΑΒΓΔ πολύγωνο, ώστε το 45

Σπυροπούλου Παναγιώτα ὥστε τὸ ἐγγραφὲν πολύγωνον μεῖζον εἶναι τοῦ Ζ χωρίου, εἰ πρότερον ἐγγραφείη τετράγωνον εἰς τὸν κύκλον καὶ αἱ περιφέρειαι τῶν περιλειπομένων τμημάτων αἰεὶ δίχα τέμνοιντο, μέχρις ἂν λειφθείη τινὰ τμήματα ἐλάσσονα ὄντα τῆς ὑπεροχῆς ᾗ ὑπερέχει ὁ ΑΒΓΔ κύκλος τοῦ Ζ χωρίου. ἐγγεγράφθω, καὶ ἔστω τὸ ΑΒΓΔΕ, καὶ ἀπὸ τοῦ Η κέντρου ἤχθω ἐπὶ μίαν πλευρὰν τοῦ ΑΒΓΔΕ πολυγώνου ἐπὶ τὴν ΓΔ κάθετος ἡ ΗΘ. ἐπεὶ οὖν ἡ περίμετρος τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου μείζων ἐστὶ τῆς περιμέτρου τοῦ ΑΒΓΔΕ ὁποσαγώνου, εγγραφέν πολύγωνο να είναι μεγαλύτερο του χωρίου Ζ, ας έχει πρότερα εγγραφεί τετράγωνο στον κύκλο και οι περιφέρειες των περιλειπόμενων τμημάτων πάντα να τέμνονται στη μέση, μέχρι να ληφθούν τμήματα μικρότερα της υπεροχής της οποίας υπερέχει ο κύκλος ΑΒΓΔ του χωρίου Ζ. Ας έχει εγγραφεί, και έστω το ΑΒΓΔΕ, και από το κέντρο Η ας έχει αχθεί επί μίας πλευράς του πολυγώνου ΑΒΓΔΕ επί της ΓΔ κάθετη η ΗΘ. Επειδή η περίμετρος του κύκλου ΑΒΓΔ είναι μεγαλύτερη της περιμέτρου του οποσαγώνου ΑΒΓΔΕ, ἡ δ' ἐκ τοῦ κέντρου μείζων τῆς ΗΘ, τὸ ἄρα ὑπὸ τῆς περιμέτρου τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου καὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου μεῖζόν ἐστιν τοῦ ὑπὸ τῆς περιμέτρου τοῦ ΑΒΓΔΕ πολυγώνου καὶ τῆς ΗΘ. καὶ τὰ ἡμίση μεῖζον ἄρα τὸ Ζ χωρίον τοῦ ΑΒΓΔΕ πολυγώνου, ὅπερ ἀδύνατον ὑπόκειται γὰρ ἔλασσον οὐκ ἄρα μείζων ἐστὶν ὁ ΑΒΓΔ κύκλος τοῦ Ζ χωρίου. Λέγω δὴ ὅτι οὐδὲ ἐλάσσων. εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω ἐλάσσων δυνατὸν ἄρα περιγράψαι περὶ τὸν ΑΒΓΔ η δε ακτίνα μεγαλύτερη της ΗΘ, άρα το υπό της περιμέτρου του κύκλου ΑΒΓΔ και της ακτίνας είναι μεγαλύτερο του υπό της περιμέτρου του πολυγώνου ΑΒΓΔΕ και της ΗΘ. Και τα μισά άρα το χωρίο Ζ είναι μεγαλύτερο του πολυγώνου ΑΒΓΔ, πράγμα αδύνατο θεωρείται γαρ μικρότερο άρε δεν είναι μεγαλύτερος ο κύκλος ΑΒΓΔ του χωρίου Ζ. Λέω ότι ούτε μικρότερος είναι. Ας είναι δυνατόν, έστω μικρότερος άρα είναι 46

«Ισοπεριµετρικό πρόβληµα Μια ιστορική αναδροµή» κύκλον πολύγωνον, ὥστε τὸ Ζ χωρίον μεῖζον εἶναι τοῦ περιγεγραμμένου δυνατόν να περιγραφεί πολύγωνο περί τον κύκλο ΑΒΓΔ, ώστε το χωρίο Ζ να είναι μεγαλύτερο του πολυγώνου, εἰ πρότερον τετράγωνον περιγραφείη περὶ τὸν κύκλον καὶ δίχα ἀεὶ τεμνομένων τῶν ἀπολειπομένων περιφερειῶν ἄγοιντο ἐφαπτόμεναι, μέχρις ἂν ἀπολειφθῇ τινα τμήματα τῶν ἐκτὸς σχημάτων, ἃ ἔσται ἐλάσσονα τῆς ὑπεροχῆς ᾗ ὑπερέχει τὸ Ζ χωρίον τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου τοῦτο γὰρ ὡς δυνατὸν [ἀνάγκῃ] γενέσθαι δέδεικται. περιγεγραμμένου πολυγώνου, ας έχει πρότερα περιγραφεί τετράγωνο περί τον κύκλο και πάντα τεμνόμενων στη μέση των απολειπόμενων περιφερειών ας άγονται εφαπτόμενες, μέχρι να βρεθούν τμήματα των εκτός σχημάτων, τα οποία είναι μικρότερα της υπεροχής κατά την οποία υπερέχει το χωρίο Ζ του κύκλου ΑΒΓΔ αυτό ως δυνατό [εξ ανάγκης] γίνεται να δειχθεί. περιγεγράφθω οὖν, ὡς εἴρηται, τὸ πολύγωνον καὶ ἔστω τὸ ΚΛΜΝΞ, καὶ ἐπεζεύχθω ἀπὸ τοῦ Η κέντρου ἐπὶ μίαν τῶν συναφῶν τὴν Ο ἡ ΗΟ. ἐπεὶ οὖν ἡ περίμετρος τοῦ ΚΛΜΝΞ πολυγώνου μείζων ἐστὶν τῆς περιμέτρου τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου, τὸ ἄρα ὑπὸ τῆς περιμέτρου τοῦ ΚΛΜΝΞ πολυγώνου καὶ τῆς ΗΟ μεῖζόν ἐστιν τοῦ ὑπὸ τῆς περιμέτρου τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου καὶ τῆς ΗΟ. καὶ τὰ ἡμίση τὸ ἄρα ΚΛΜΝΞ πολύγωνον μεῖζον τοῦ Ζ χωρίου, ὅπερ ἀδύνατον ὑπόκειται γὰρ ἔλασσον οὐκ ἄρα τὸ Ζ χωρίον Ας περιγραφεί έστω το πολύγωνο ΚΛΜΝΞ, και ας ενωθεί από το κέντρο Η επί ενός σημείου επαφής Ο η ΗΟ. Επειδή η περίμετρος του πολυγώνου ΚΛΜΝΞ είναι μεγαλύτερη της περιμέτρου του κύκλου ΑΒΓΔ, άρα το υπό της περιμέτρου του ΚΛΜΝΞ πολυγώνου και της ΗΟ είναι μεγαλύτερο του υπό της περιμέτρου του κύκλου ΑΒΓΔ και της ΗΟ. Και τα μισά άρα το πολύγωνο ΚΛΜΝΞ είναι μεγαλύτερο από το χωρίο Ζ, πράγμα αδύνατο άρα είναι μικρότερο άρα το χωρίο Ζ δεν είναι μεγαλύτερο του 47

Σπυροπούλου Παναγιώτα μεῖζον τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου. Ἐδείχθη δὲ ὅτι οὐδὲ ἔλασσον ἴσον ἄρα. καὶ ἔστι τοῦ Ζ χωρίου διπλάσιον τὸ ὑπὸ τῆς περιμέτρου τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου καὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου. κύκλου ΑΒΓΔ. Δείχθηκε δε ότι ούτε μικρότερο είναι άρα ίσο. Και είναι του χωρίου Ζ διπλάσιο το υπό της περιμέτρου του κύκλου ΑΒΓΔ και της ακτίνας αυτού. δʹ. Οὐ μόνον δὲ τῶν τεταγμένων ἐπιπέδων σχημάτων, ἅ ἐστιν ἰσόπλευρά τε καὶ ἰσογώνια, ὁ κύκλος γίνεται μείζων, ἀλλὰ καὶ τῶν ἀνισοπλεύρων καὶ τῶν ἀνομοιογωνίων, ὅταν τὴν αὐτὴν αὐτοῖς περίμετρον ἔχῃ. δειχθήσεται γὰρ ὅτι καὶ τῶν ἰσοπεριμέτρων σχημάτων πολυγώνων καὶ πλευρὰς ἰσοπληθεῖς ἐχόντων τὸ μέγιστον ἰσόπλευρόν τέ ἐστιν καὶ ἰσογώνιον. πρότερον οὖν τὰ εἰς τὴν ἀπόδειξιν αὐτοῦ λαμβανόμενα θεωρήματα δ. Όχι μόνο των τεταγμένων επίπεδων σχημάτων, τα οποία είναι ισόπλευρα και ισογώνια, ο κύκλος γίνεται μεγαλύτερος, αλλά και των ανισόπλευρων και των ανομοιογώνιων, όταν έχει την ίδια περίμετρο με αυτά. Δείχνεται ότι και από τα σχήματα που είναι ισοπερίμετρα πολύγωνα και έχουν ισοπληθείς πλευρές το μέγιστο είναι ισόπλευρο και ισογώνιο. Πρότερα θα γραφούν όσα στην απόδειξη αυτού λαμβάνονται θεωρήματα. προγράψομεν. 48