Στοιχεία Φυσικής Κοσµολογίας

Στοιχεία Φυσικής Κοσµολογίας Μανώλης Πλειώνης & Σπύρος Βασιλάκος ὺπoτίθɛται γάρ τά µ ɛν άπλαν ɛα τ ων άστρων καί τóν ὰλιoν µ ɛνɛιν άκίνητoν, τάν δ ɛ γ αν πɛριφ ɛρɛσθαι πɛρί τóν ὰλιoν κατά κύκλoυ πɛριφ ɛρɛιαν, òς ɛστιν ɛν µ ɛσω τ ω δρóµω κɛίµɛνoς Αρίσταρχος ο Σάµιος περί το 288 πχ. 1

Contents 1 Εισαγωγική Περίληψη 5 2 Βασικές Εννοιες 10 2.1 Η Κοσµολογική Αρχή................................. 10 2.2 Η Θεωρία της Μεγάλης Εκρηξης........................... 11 2.3 Η ιαστολή του Σύµπαντος............................... 13 2.4 Συνµετακινούµενες συντεταγµένες........................... 15 2.5 Η Μετρική του Χωροχρόνου.............................. 17 2.6 Κοσµολογική Ερυθροµετατόπιση........................... 21 3 Βασικά Στοιχεία υναµικής Κοσµολογίας 24 3.1 Εξισώσεις Friedmann................................. 24 3.2 Καταστατικές Εξισώσεις................................ 27 3.3 Κοσµολογικές Παράµετροι............................... 29 3.3.1 Κρίσιµη Πυκνότητα ή Ολική Πυκνότητα Υλοενέργειας............ 29 3.3.2 Κοσµολογικές Παράµετροι Πυκνότητας.................... 30 3.3.3 Παράµετρος Επιβράδυνσης........................... 32 3.3.4 Σταθερά του Hubble.............................. 33 3.4 Εποχές Κυριαρχίας των διαφορετικών συνιστωσών στη δυναµική του Σύµπαντος.. 33 3.4.1 Εποχή Ισοδυναµίας Ακτινοβολίας- Υλης.................... 34 3.4.2 Εποχή Ισοδυναµίας Υλης-Κοσµολογικής Σταθεράς.............. 35 3.4.3 Εποχή Ισοδυναµίας Υλης-Καµπυλότητας................... 37 3.5 Η ηλικία του Σύµπαντος................................ 38 3.6 Τα Κλασσικά Μοντέλα του Friedmann........................ 39 3.6.1 Παλλόµενο Σύµπαν k = +1 - (κλειστή γεωµετρία)............... 40 3.6.2 Συνεχώς διαστελλόµενο Σύµπαν (k = 1 - ανοικτή γεωµετρία)........ 42 3.6.3 Μοντέλο Einstein-deSitter (k = 0 - επίπεδη γεωµετρία)............ 43 3.7 Κοσµολογική Σταθερά................................. 45 3.7.1 Το Σύµπαν του Αϊνστάϊν............................. 45 3.7.2 Μοντέλο desitter................................ 46 3.7.3 Το Σύµπαν µε Υλη και Κοσµολογική Σταθερά- ΛCDM............ 47 2

3.7.4 Φυσική Ερµηνεία της Κοσµολογικής Σταθεράς................ 51 3.8 Σκοτεινή ενέργεια.................................... 52 3.8.1 Η ϕυσική ερµηνεία της σκοτεινής ενέργειας.................. 55 4 Τυπική Απόσταση & Ορίζοντας στο διαστελλόµενο Σύµπαν 58 4.1 Τυπική Απόσταση - Ιδιοαπόσταση........................... 59 4.2 Κοσµολογικός Ορίζοντας................................ 60 5 Θερµική Αρχή του Σύµπαντος 62 5.1 Εποχή της Ακτινοβολίας................................ 62 5.2 Εποχή του Planck................................... 65 5.3 Εποχή των ενοποιηµένων ϑεωριών........................... 66 5.4 Εποχή του αρχικού πληθωρισµού........................... 67 5.4.1 Το πρόβληµα της επιπεδότητας......................... 69 5.4.2 Το πρόβληµα των µαγνητικών µονοπόλων................... 69 5.4.3 Το πρόβληµα του ορίζοντα........................... 70 5.5 Η ϕυσική του πληθωρισµού.............................. 71 5.5.1 Πληθωρισµός και διαταραχές.......................... 75 5.6 Το Υπόβαθρο της Κοσµικής Ακτινοβολίας Μικροκυµάτων............... 80 6 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΙΑΚΗ ΚΟΣΜΟΛΟΓΙΑ 88 6.1 Φαινόµενο Μέγεθος και Μέτρο Απόστασης...................... 88 6.2 Μετρήσιµες απόστασης στο διαστελλόµενο Σύµπαν.................. 89 6.2.1 Απόσταση Φωτεινότητας............................. 90 6.2.2 Απόσταση Γωνιακής ιαµέτρου......................... 92 6.2.3 Σχέσεις µεταξύ των κοσµικών απόστασεων................... 94 6.3 Συστηµατικά σφάλµατα που επιρεάζουν ϕαινόµενα µεγέθη............. 94 6.3.1 ιόρθωση Κ................................... 94 6.3.2 Γαλαξιακή Απορρόφηση............................ 96 6.3.3 Εξέλιξη Φωτεινότητας γαλαξιών......................... 98 6.4 Τελικό Μέτρο Απόστασης................................ 99 6.5 Κοσµική στατιστική................................... 99 6.6 Σκοτεινή Υλη...................................... 106 3

7 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΡΟΥΣ Α 110 4

1 Εισαγωγική Περίληψη Η Κοσµολογία είναι η επιστήµη που µελετά την αρχή, την εξέλιξη και την δοµή του Σύµπαντος συνολικά αλλά και των επιµέρους κοσµικών δοµών που το αποτελούν. Η ενασχόληση του ανθρώπου µε τα ερωτήµατα της γέννησης και δοµής του Σύµπαντος είναι όσο παλιά όσο και ο ανθρώπινος πολιτισµός, στην όποια του µορφή. Η Κοσµολογία παρόλο που προσπαθεί να δώσει απάντηση σε ϑεµελιώδη ερωτήµατα που έθεσε ο άνθρωπος από την αυγή ακόµα του πολιτισµού, είναι µια σχετικά νέα επιστήµη. Η ιστορική διαδροµή που διάνυσε η ανθρώπινη νόηση για να ϕτάσει στο σηµείο να µελετά µε αυστηρά επιστηµονικές µεθόδους την ίδια τη γένεση και εξέλιξη του Σύµπαντος είναι πολύ µακρά και έχει περάσει µέσα από δαιδαλώδεις λαβύρινθους αναζήτησης. Οι νόµοι της κίνησης των πλανητών του Κέπλερ, που τεκµηριώθηκαν ουσιαστικά µε την Νευτώνια ϑεωρία της ϐαρύτητας, σηµατοδοτούν την εκκίνηση της σύγχρονης εποχής επιστηµονικής σκέψης. Η δε σύγχρονη Κοσµολογία ξεκινά ουσιαστικά µε την ϑεµελίωση της Γενικής Θεωρίας της Σχετικότητας (ΓΘΣ) το 1915 από τον Αϊνστάϊν. Μια από τις σηµαντικότερες προβλέψεις της ΓΘΣ είναι ότι η ύπαρξη του Σύµπαντος είναι αναγκαστικά συνυφασµένη µε την δυναµική του εξέλιξη, κάτι που ήρθε σε αντίθεση µε την «στατικότητα» που πίστευε ακόµα και ο ίδιος ο ϑεµελιωτής της ΓΘΣ, ο Αϊνστάιν. Πρώτος ο Alexander Friedmann, ένας νεαρός Ρώσος µαθηµατικός το 1922 απέδειξε ότι οι κοσµολογικές λύσεις των εξισώσεων πεδίου προβλέπουν ένα δυναµικά εξελισσόµενο Σύµπαν. Αυτό αποδείχτηκε πειραµατικά το 1929 από τον Αµερικανό αστρονόµο Edwin Hubble που ανακάλυψε την διαστολή του Σύµπαντος, ότι δηλαδή οι γαλαξίες αποµακρύνονται ο ένας από τον άλλο και µε ταχύτητες ανάλογες της απόστασης τους (νόµος του Hubble). Η σύγχρονη κοσµολογία ϑεωρεί ότι το µοντέλο που πιο ορθά ανταποκρίνεται στην ϕυσική πραγµατικότητα που ϐασίζεται στην ΓΘΣ του Αϊνστάιν, είναι αυτό της Μεγάλης Εκρηξης, το οποίο προτάθηκε από τον καθολικό ιερέα George Lemaitre, ϕυσικό και αστρονόµο του Καθολικού Παν/µιου του Λουβέν, το 1927 (2 χρόνια πριν παρατηρηθεί η διαστολή του Σύµπαντος από τον Hubble) αν και µε αρχικά διαφορετικό όνοµα (η υπόθεση του πρωταρχικού ατόµου). Θεµελιώθηκε σε ϑεωρητικό επίπεδο στα µέσα του 20ου αιώνα από τους Gamow, Herman & Alpher οι οποίοι έκαναν συγκεκριµένες προβλέψεις που µπορούσαν να επιβεβαιώσουν ή να απορρίψουν το µοντέλο αυτό. Οι προβλέψεις αυτές επιβεβαιώθηκαν περίτρανα µετά από δεκαετίες, µε την ανακάλυψη από τους Αµερικανούς αστρονόµους Πενσίας και Ουίλσον της λεγόµενης Κοσµικής Ακτινοβολίας Μικροκυµάτων, δηλαδή του ενεργειακού απολιθώµατος της αρχικής ϑερµικής ακτινοβολίας που 5

γέµισε το Σύµπαν µετά την Μεγάλη Εκρηξη, της οποίας η ϑερµοκρασία σήµερα είναι 2.73 K περίπου, όπως περίπου προέβλεψε ο Gamow δεκαετίες πριν. Η άλλη σηµαντική πρόβλεψη αυτής την ϑεωρίας ήταν τα ποσά των ελαφρών στοιχείων του περιοδικού πίνακα (υδρογόνου, δευτέριου, ηλίου και λιθίου) που δηµιουργούνται µέσα στα πρώτα 3 λεπτά της Μεγάλης Εκρηξης και που οι παρατηρήσεις επιβεβαίωσαν µε ακρίβεια. Αποσαφηνίζουµε ότι για την σύγχρονη Κοσµολογία ως Μεγάλη Εκρηξη ϑεωρείται η εκρηκτική εκτόνωση µια αρχικά υπέρπυκνης και υπέρθερµης κατάστασης η οποία ϑα µπορούσε να προέλθει από διάφορες εκφάνσεις των ϑεωριών κβαντικής ϐαρύτητας. Τα δε κύρια στοιχεία που υποστηρίζουν την ορθότητα αυτού του γενικού πλαισίου της ϑεωρίας και που δεν ερµηνεύονται στο σύνολο τους από καµία άλλη ϑεωρία είναι : (1) η διαστολή του Σύµπαντος, (2) το υπόβαθρο ακτινοβολίας µικροκυµάτων και (3) η γένεση και τα ποσοστά των ελαφρών χηµικών στοιχείων. Τι υποστηρίζει λοιπόν αυτό το µοντέλο, οι λύσεις των εξισώσεων πεδίου της ΓΘΣ, υποθέτοντας ότι το Σύµπαν είναι οµογενές και ισότροπο σε µεγάλες κλίµακας (µια υπόθεση που έχει επιβε- ϐαιωθεί παρατηρησιακά και που ϑα συζητήσουµε στο επόµενο κεφάλαιο), υποστηρίζουν ότι το Σύµπαν ξεκίνησε να διαστέλλεται πριν από 13.8 περίπου δισεκατοµµύρια χρόνια από µία αρχική κατάσταση υψηλότατης πυκνότητας και ϑερµοκρασίας. Εξαιτίας του απειροστού µεγέθους του Σύµπαντος αυτό αρχικά συµπεριφέρεται ως ένα κβαντικό σύστηµα. Παρά το γεγονός ότι µέχρι σήµερα δεν έχουµε µια πλήρη ϑεωρία κβαντικής ϐαρύτητας, ο χρόνος στον οποίο τα κβάντικά ϕαινόµενα της ϐαρύτητας κυριαρχούν λαµβάνει χώρα µόλις 10 43 δευτερόλεπτα µετά τη µεγάλη έκρηξη. Στη συνέχεια η σηµερινή εκδοχή της ϑεωρίας υποστηρίζει ότι µόλις 10 35 δευτερόλεπτα µετά τη µεγάλη έκρηξη το Σύµπαν περνά µια ϕάση επιταχυνόµενης εκθετικής διαστολής (πληθωρισµός) που διαρκεί µέχρι τα 10 32 δευτερόλεπτα περίπου και η οποία αυξάνει δραστικά το µέγεθος του Σύµπαντος. Το ϐασικό αποτέλεσµα αυτής της πληθωριστικής εποχής είναι ότι αυξάνει σε µακροσκοπικό επίπεδο τις κβαντικές διαταραχές, παρέχοντας τους αρχικούς σπόρους για την δηµιουργία των κοσµικών δοµών αλλά επίσης επιβάλλει και την Ευκλείδια γεωµετρία στο χωρικό µέρος του τετραδιάστατου χωρόχρονου. Στη συνέχεια, δεν είµαστε σίγουροι για το πότε ή γιατί - η περίοδος αυτή της επιταχυνόµενης διαστολής τελειώνει, και η ενέργεια που την οδηγούσε µετατρέπεται σε συνηθισµένη ύλη και ακτινοβολία, και µε αυτό τον τρόπο αρχίζει η συµβατική κοσµική ιστορία του Σύµπαντος. Μετά τον πληθωρισµό το Σύµπαν εισέρχεται στην κλασσική εποχή της ακτινοβολίας και καθώς το Σύµπαν διαστέλλεται και ψύχεται µε την πάροδο του χρόνου, συντίθενται τα δοµικά συστατικά της ύλης, τα πρωτόνια, τα νετρόνια, τα ηλεκτρόνια αλλά και τα νετρίνα. Στις αρχικές υψηλές ϑερµοκρασίες και έως ότου το Σύµπαν να ψυχθεί στους 6

4000 K, η αρχική ϑερµική ακτινοβολία είναι συζευγµένη µε την ύλη λόγω των ελεύθερων ηλεκτρονίων που δρουν ουσιαστικά σαν ανακλαστήρες της ακτινοβολίας. Κατόπιν το Σύµπαν εισέρχεται στην εποχή της κυριαρχίας της ύλης (σκοτεινής και ϐαρυονικής), η οποία κυριαρχεί για τα επόµενα 7 δισεκατοµµύρια χρόνια της ιστορίας του Σύµπαντος. Μόλις η ϑερµοκρασία πέσει αρκετά και τα ηλεκτρόνια χάσουν την κινητική τους ενέργεια συζεύγνονται µε τους ατοµικούς πυρήνες για να δηµιουργήσουν άτοµα οπότε και η ακτινοβολία απελευθερώνεται και ξεκινά το αέναο ταξίδι της στο Σύµπαν. Αυτή ακριβώς η ακτινοβολία που παρατήρησαν πρώτοι οι ϱαδιοαστρονόµοι Penzias και Wilson το 1964. Σε αυτή την ϕάση αρχίζουν να δηµιουργούνται, µέσω ϐαρυτικών αλληλεπιδράσεων, οι κοσµικές δοµές αρχικά τυπικού µεγέθους αστρικών σµηνών, και ίσως λίγο µικρότερες, και σταδιακά µεγέθους γαλαξιών και σµηνών γαλαξιών. Είναι η παραπάνω εξιστόριση της εξέλιξης του Σύµπαντος µονοσήµαντα καθορισµένη Η α- πάντηση είναι όχι, διότι εξαρτάται από το συνολικό ποσό της υλο-ενέργειας που περιέχει αλλά και από το είδος του κοσµικού ϱευστού που γεµίζει το Σύµπαν. Εάν περιέχει µικρό ποσό υλοενέργειας τότε το Σύµπαν ϑα διαστέλλεται επ άπειρον ( ανοικτό Σύµπαν). Εάν περιέχει µεγάλο ποσό υλο-ενέργειας τότε το Σύµπαν ϑα αρχίσει να συστέλλεται µετά από κάποιο χρονικό διάστη- µα έως ότου συνθλιβεί κάτω από την επίδραση της ιδιο-ϐαρύτητας του ( κλειστό Σύµπαν). Αν όµως περιέχει το κρίσιµο ποσό υλο-ενέργειας, που είναι το σύνορο µεταξύ των δύο παραπάνω περιπτώσεων, τότε το πως ϑα διασταλλεί το Σύµπαν εξαρτάται και από το είδος της υλο-ενέργειας που περιέχει. Πχ, µπορεί το συνολικό ποσό της ύλης στο Σύµπαν, που αποτελείται από την κοινή (ϐαρυονική) ύλη αλλά και από την σκοτεινή ύλη (ύλη που δεν εκπέµπει ηλεκτοµαγνητική ακτινοβολία και αλληλεπιδρά µόνο µέσω της ϐαρυτικής αλληλεπίδρασης) να έχει την κρίσιµη τιµή, οπότε το Σύµπαν ϑα συνεχίσει να διαστέλλεται µε επιβραδυνόµενο σταθερό ϱυθµό. Μπο- ϱεί όµως στην δυναµική του Σύµπαντος να συνεισφέρει και η λεγόµενη σκοτεινή ενέργεια (µια άγνωστης µορφής ενέργεια που τα αποτελέσµατα της προσοµοιάζουν αυτό που οι Κοσµολόγοι ονοµάζουν αντι-ϐαρύτητα ), στην οποία περίπτωση το συνολικό ποσό της ύλης είναι µικρότερο από την κρίσιµη τιµή αλλά συµπληρώνεται από την σκοτεινή ενέργεια οπότε µετά από κάποιο χρόνο, τις ελκτικές δυνάµεις της κοσµικής ιδιο-ϐαρύτητας τις υπερνικά η σκοτεινή ενέργεια. Η διατάραξη της σχέσης ύλης σκοτεινής ενέργειας υπέρ της τελευταίας επιδρά δραµατικά στη µετέπειτα εξέλιξη του Σύµπαντος αλλάζοντας τον ϱυθµό διαστολής του από επιβραδυνόµενο σε επιταχυνόµενο. Τα τελευταία 15 χρόνια µε τις εκπληκτικής σηµασίας παρατηρήσεις των διαταραχών ϑερµοκρασίας του υπόβαθρου µικροκυµάτων (κυρίως µε τα πειράµατα Boomerang και τα δεδοµένα 7

των δορυφόρων WMAP και Planck, εικόνα 1), ϐρέθηκε ότι το Σύµπαν έχει το κρίσιµο ποσό υλο-ενέργειας και εποµένως η γεωµετρία του χώρου είναι Ευκλείδια. Επιπλέον, µε την ανάλυση µακρινών υπερκαινοφανών αστέρων, που παρατηρήθηκαν µε τα µεγαλύτερα τηλεσκόπια της Γης, ϐρέθηκε ότι το Σύµπαν διαστέλλεται µε επιταχυνόµενο ϱυθµό. Αυτό συνεπάγεται την συµ- µετοχή στο συνολικό ποσό της συµπαντικής υλο-ενέργειας και της σκοτεινής ενέργειας, όπως αναφέραµε προηγούµενα. Αν και πολλά µοντέλα σκοτεινής ενέργειας έχουν προταθεί, εξαι- ϱετικά ενδιαφέρον µοντέλο, το οποίο αναπαράγει µεν µε ακρίβεια τις παρατηρήσεις δεν είναι απαλλαγµένο δε και αυτό από ϑεωρητικά προβλήµατα, είναι αυτό της λεγόµενη κοσµολογικής σταθεράς (που την πρωτοεισήγαγε ο Αϊνστάιν αυθαίρετα στις εξισώσεις πεδίου της ΓΘΣ για να επιβάλει στατικές λύσεις), που είναι µία ενέργεια σταθερή στον χρόνο. Σχηµατικά µπορούµε να δούµε πως διαστέλλεται το Σύµπαν στην περίπτωση αυτή στην εικόνα 2. Εικόνα 1:: Η εξέλιξη του παράγοντα της διαστολής του Σύµπαντος ως συνάρτηση του κοσµικού χρόνου για την περίπτωση ύπαρξης σκοτεινής ενέργειας µε την µορφή Κοσµολογικής σταθεράς. Μετά την αρχική έκρηξη η διαστολή αρχίζει να επιβραδύνεται λόγω της ιδιοβαρύτητας του Σύµπαντος αλλά µετά από 7 περίπου δισεκατοµµύρια χρόνια την ελκτική δυνάµη της ιδιοβαρύτητας του Σύµπαντος την υπερνικά η ὰντι-ϐαρυτική δράση της σκοτεινής ενέργειας. ύο µοντέλα πα- ϱουσιάζονται : Η περίπτωση Ευκλείδιου Σύµπαντος (δηλαδή Σύµπαν το οποίο περιέχει την κρίσιµη 8

τιµή συνολικής υλο-ενέργειας) ϕαίνεται µε την ϱοζ καµπύλη ενώ η περίπτωση κλειστού Σύµπαντος (δηλαδή Σύµπαν το οποίο περιέχει παραπάνω από την κρίσιµη τιµή συνολικής υλο-ενέργειας αλλά και Κοσµολογική σταθερά) ϕαίνεται µε την λευκή καµπύλη. Η Κοσµολογικής σταθερά ϑα µπορούσε να ερµηνευτεί ως η ενέργεια του κενού όπως υποστηρίζει η κβαντοµηχανική (από το γεγονός ότι Ϲεύγη σωµατίων & αντισωµατίων δηµιουργούνται από το κενό και παρόλο που Ϲουν ελάχιστα δίνουν στο κενό µη-µηδενική δυναµική ενέργεια). Στην ΓΘΣ όλες οι µορφές ενέργειας δηµιουργούν ϐαρυτικό πεδίο, άρα και η ενέργεια του κενού. Οµως έχουµε το παράδοξο ότι η κβαντική ϑεωρία πεδίου, που προβλέπει την ύπαρξη κοσµολογικής σταθεράς, προβλέπει επίσης ότι πρέπει να έχει τιµή 10 120 ϕορές µεγαλύτερη από αυτή που µετράµε µε την µελέτη των µακρινών υπερκαινοφανών αστέρων. Είναι αξιοπερίεργο επίσης ότι η σκοτεινή ενέργεια συµµετέχει στο συνολικό ποσό συµπαντικής υλο-ενέργειας µε ποσοστό που είναι περίπου ίσο µε αυτό της ύλης (σκοτεινής και ϐαρυονικής), γεγονός που αποτελεί το λεγόµενο πρόβληµα σύµπτωσης, µιας και δεν υπάρχει κανείς a priori ϕυσικός λόγος για αυτή την σύµπτωση. Επιπλέον, υπάρχει και το πρόβληµα γιατί το ποσό της συµπαντικής υλο-ενέργειας έχει ακριβώς την κρίσιµη τιµή και όχι οποιανδήποτε από την απειρία των τιµών που ϑα µπορούσε να έχει. Μια πιθανή λύση στα προβλήµατα αυτά µπορεί να αναζητηθεί στο γεγονός ότι εάν το Σύµπαν διαστελλόταν µε ϱυθµό σηµαντικά µεγαλύτερο της κρίσιµης τιµής τότε η ϐαρυτική έλξη δεν ϑα µπορούσε να δράσει καταλυτικά ώστε να καταρρεύσουν ϐαρυτικά οι κοσµικές δοµές και να δηµιουργηθούν αστέρες, στον πυρήνα των οποίων συντίθενται τα απαραίτητα συστατικά στοιχεία για την ύπαρξη Ϲωής (οξυγόνο, άνθρακας κλπ). Αντίστοιχα, εάν το Σύµπαν διαστελλόταν µε ϱυθµό σηµαντικά ϐραδύτερο της κρίσιµης τιµής, εάν δηλαδή περιείχε πολύ µεγαλύτερο συνολικά ποσό υλο-ενέργειας, τότε πάλι πριν προλάβουν να δηµιουργηθούν οι κοσµικές δοµές και οι αστέρες, το Σύµπαν ϑα είχε ξανά-συσταλεί σε µία υπέρθερµη ϑάλασσα ακτινοβολίας. Ε- ποµένως, το ίδιο το γεγονός της ύπαρξης µας προϋποθέτει ότι το Σύµπαν διαστέλλεται περίπου µε τον ϱυθµό που µετράµε. Αυτή η κοσµική συνοµωσία µπορεί να ερµηνευτεί εάν υπάρχουν άπειρα Σύµπαντα, όπου πραγµατώνονται όλοι οι δυνατοί συνδυασµοί παραµέτρων και εκδοχών, και εποµένως σε αυτά όπου οι συνθήκες είναι ευνοϊκές αναπτύσσεται η Ϲωή. Άλλες ερµηνείες ϐασίζονται στη λεγόµενη Ανθρωπική Αρχή (η ασθενής εκδοχή της), δηλαδή ότι η ίδια η ύπαρξη τη ανθρώπινης Ϲωής προϋποθέτει ότι το Σύµπαν περιέχει το συγκεκριµένο ποσό υλο-ενέργειας (όπως επίσης ότι τις συγκεκριµένες τιµές που µετράµε των σταθερών τη ϕύσης). Πολλές ϕορές αυτή η αρχή χρησιµοποιείται σαν πανάκεια για να δώσει λογικοφανή ερµηνεία σε ϕαινόµενα που δυσκολευόµαστε να ερµηνεύσουµε αλλά αυτή της η χρήση είναι αντι-επιστηµονική. Αυτά ϐέβαια 9

τα ερωτήµατα ϐρίσκονται στην διεπαφή µεταξύ επιστήµης και ϕιλοσοφίας και ϑα αποτελούν λόγο έντονων συζητήσεων και διανέξεων πιθανώς στο διεινεκές. 2 Βασικές Εννοιες Θα παρουσιάσούµε µερικές ϐασικές έννοιες που είναι προαπαιτούµενες για την κατανόηση της σύγχρονης Κοσµολογίας. 2.1 Η Κοσµολογική Αρχή Η Κοσµολογική αρχή λέει ότι το Σύµπαν είναι οµογενές και ισότροπο σε µεγάλες κλίµακες. Η αρχή αυτή προτάθηκε πρώτα από τον ίδιο τον Αϊνστάϊν χωρίς αρχικά καµία παρατηρησιακή ένδειξη, αλλά για αισθητικούς λόγους και που είχαν να κάνουν µε την αρχή του Μάχ, που έλεγε µε απλά λόγια ότι οι νόµοι της ϕύσης καθορίζονται από την κατανοµή της ύλης σε µεγάλες κλίµακες. Για να µπορέσει ο Αϊνστάϊν να ϑέσει σε στέρεες ϐάσεις την ϑεωρητική κοσµολογία υπέθεσε ότι µια τέτοια απλότητα κυριαρχεί στο Σύµπαν, γεγονός που τον διευκόλυνε να λύσει τις εξισώσεις πεδίου σε κοσµολογικό υπόβαθρο 1. Είναι ενδιαφέρον ότι οι παρατηρήσεις της εποχής ακριβώς το αντίθετο έδειχναν, µιας και οι αστρονόµοι ϑεωρούσαν ότι όλο το Σύµπαν περιορίζονταν σε αυτό που σήµερα ονοµάζουµε Γαλαξία µας του οποίου η κατανοµή των αστέρων και αερίων είναι εντελώς ανισοτροπική. Τι σηµαίνει Οµοιογένεια ; Σηµαίνει ότι το Σύµπαν παραµένει το ίδιο όπου και να ϐρίσκεται ο παρατηρητής. Τι σηµαίνει Ισοτροπία ; Σηµαίνει ότι το Σύµπαν ϕαίνεται το ίδιο σε όποια διεύθυνση και αν κοιτάξει ο παρατηρητής. Είναι εξαιρετικά ενδιαφέρον το γεγονός ότι ενώ οι αιτίες για τις οποίες προτάθηκε η Κοσµολογική αρχή από τον Αϊνστάϊν ήταν µαθηµατικού/φιλοσοφικού περιεχοµένου, σύγχρονες πα- ϱατηρήσεις της κοσµικής ακτινοβολίας µικροκυµάτων στηρίζουν την Κοσµολογική αρχή (ϐλέπε κεφάλαιο 5). Παρόλο που σε µικρές κλίµακες το Σύµπαν είναι εντελώς ανοµοιογενές και ανισότροπο, σε µεγάλες κλίµακες πλησιάζει σταδικά την οµοιογένεια όπως πιστοποιείται από την 1 Η απλούστερη µετρική που είναι συµβατή µε ισοτροπία και οµοιογένια είναι η περίφηµη µετρική Friedmann, Robertson & Walker (FRW). 10

στατιστική µελέτη της χωρικής κατανοµής των γαλαξιών, των σµηνών γαλαξιών αλλά και των µακρυνών, σε κοσµολογικές αποστάσεις, ϱαδιογαλαξιών. Αυτές οι µελέτες έχουν αποδείξει ότι όλες οι κοσµικές δοµές είναι σµηνοποιηµένες, δηλαδή υπάρχουν συγκεντρώσεις γαλαξιών, οργανω- µένες σε οµάδες, σµήνη και υπερσµήνη γαλαξιών και ταυτόχρονα υπάρχουν µεγάλες περιοχές κενές (ή σχεδόν κενές) γαλαξιών. Πάνω όµως από κάποια κλίµακα σταµατά αυτή η ιεραρχική κατανοµή και ϕτάνουµε στην οµοιογένεια ( 100 150 Mpc) 2. Η πιο ισχυρή απόδειξη ότι το Σύµπαν είναι ισότροπο έρχεται από την παρατήρηση της κοσµικής ακτινοβολίας µικροκυµάτων που είναι το ενεργειακό απολιθωµα της αρχέγονης ϑερµικής ακτινοβολίας, από την εποχή που το Σύµπαν ήταν σε υπέρπυκνη και υπέρθερµη κατάσταση. Η κοσµική ακτινοβολία είναι ισοτροπική, σε ένα επίπεδο 1/100, σε όποια κατεύθυνση και αν κοιτάξει ο παρατηρητής αν δε αφαιρέσουµε την εκποµπή του γαλαξία µας και την διπολική ανισοτροπία λόγω της κίνησης του γαλαξία µας µέσα στη διάχυτη αυτή ακτινοβολία, τότε η ισοτροπία είναι σε επίπεδο 10 5. 2.2 Η Θεωρία της Μεγάλης Εκρηξης Η σηµαντικότερη σύγχρονη ϑεωρία που ερµηνεύει τη δηµιουργία του Σύµπαντος είναι η ϑεω- ϱία της αρχικής µεγάλης έκρηξης (Bing-Bang ). Στην ϑεωρία αυτή δεχόµαστε ότι το Σύµπαν ξεκίνησε από µια υπέρθερµη και υπέρπυκνη κατάσταση. Μαθηµατικά η αρχή του Σύµπαντος ονοµάζεται ανωµαλία (singularity ) διότι η πυκνότητα και ο όγκος του Σύµπαντος έχουν άπειρη τιµή. Πράγµατι, οι οριακές συνθήκες των εξισώσεων κίνησης για το Σύµπαν (ϐλέπε επόµενο κεφάλαιο) υποθέτουν ότι ο παράγοντας µε τον οποίο διαστέλλεται το σύµπαν [ϐλέπε εξ. (6)] a(t) είναι µηδέν κατά την χρονική στιγµή t = 0. Επίσης η χρονική παράγωγος του α(t) για t = 0 είναι άπειρη, συνεπώς και η αρχική ταχύτητα της διαστολής είναι άπειρη. Άρα είναι αδύνατο στο πλαίσιο της ΓΘΣ να κατανοήσουµε την Φυσική µέσα σε µαθηµατικές ανωµαλίες (Hawking 1969 ). Εποµένως, στο πολύ νεαρό Σύµπαν (τάξης χρόνου Planck) χρειαζόµαστε µια κβαντική ϑεωρία ϐαρύτητας η οποία ϑα ερµηνεύσει τις αρχικές συνθήκες δηµιουργίας του Σύµπαντος. Αφού η ΓΘΣ µας οδηγεί σε µια αρχική ανωµαλία αναπτύχθηκαν κατά καιρούς διάφορες εναλλακτικές ϑεωρίες ώστε να ξεπεράσουν το πρόβληµα αυτό. Πάντως µέχρι σήµερα καµία από αυτές δεν µπόρεσε να αντικαταστήσει την ΓΘΣ διότι η τελευταία επιβεβαιώνεται συνεχώς από τις παρατηρήσεις. Το ερώτηµα που έπρεπε να εξεταστεί από τους Κοσµολόγους ήταν µήπως ένα Σύµπαν οµογενές και ισότροπο δεν πέρασε ποτέ από µια αρχική ανωµαλία. Το ερώτηµα αυτό απαντήθηκε από τους Hawking & Penrose το 1969, οι οποίοι έδειξαν ότι κάθε µοντέλο 2 1 Mpc = 3.26 10 6 έτη ϕωτός 11

του Σύµπαντος που έχει τα χαρακτηριστικά της Κοσµολογικής αρχής ξεκινάει πάντα από µια µαθηµατική ανωµαλία. Οι πρώτοι που διατύπωσαν την ϑεωρία της µεγάλης έκρηξης, ως προς την δυναµική της, ήταν ο Lemaitre το 1927 και ως προς την ϕυσική της οι Gamow, Herman & Alpher. Ο Friedmann (1948, 1953, 1967) λύνοντας τις εξισώσεις πεδίου είδε αµέσως ότι αυτές προέβλεπαν ένα εξελισσόµενο µε τον χρόνο Σύµπαν. Επίσης χρησιµοποιώντας το αποτέλεσµα αυτό έδειξε ότι η εντροπία του Σύµπαντος αυξάνει µε την πάροδο του χρόνου, άρα ϑα πρέπει να υπήρξε µια κατάσταση ε- λάχιστης εντροπίας, όπου η ύλη ϑα είχε την µέγιστη δυνατή οργάνωση (η αντίστροφη πορεία ακολουθείται για την κατάρρευση ενός πολύ µεγάλου αστέρα σε µελανή οπή). Παραθέτουµε τους ϐασικούς πυλώνες πάνω στους οποίους στηρίζεται η αρχική µεγάλη έκρηξη. 1. ιαστολή του Σύµπαντος. Ο Hubble το 1929 µελετώντας τους γαλαξίες παρατήρησε µετατόπιση του ϕασµατός τους προς το ερυθρό. Αυτό ερµηνεύτηκε ως ϕαινόµενο ανάλογο του Doppler δηλαδή ότι οι γαλαξίες αποµακρύνονται ο ένας από τον άλλο µε ταχύτητα η οποία ϐρέθηκε να είναι ανάλογη της αποστασής τους. 2. Πυρηνογέννεση. Η ϑεωρία της µεγάλης έκρηξης εξηγεί µε µεγάλη ακρίβεια την δη- µιουργία των σηµαντικότερων στοιχείων του περιοδικού πίνακα από πυρηνικές αντιδράσεις στοιχειωδών σωµατιδίων (πρωτονίων, νετρονίων, κ.α). Στα 4 πρώτα περίπου λεπτά της ε- ξέλιξης του Σύµπαντος δηµιουργήθηκε το ήλιο ( 26%) και τα άλλα ελαφρύτερα στοιχεία (δευτέριο, λίθιο, κ.α). Στην συνέχεια µε την δηµιουργία και την εξέλιξη των αστέρων, το Σύµπαν εµπλουτίζεται διαρκώς µε χηµικά στοιχεία. 3. Η Κοσµική Ακτινοβολία Μικροκυµάτων (C.M.B). Μια σηµαντική απόδειξη για την ορ- ϑότητα της ϑεωρίας της µεγάλης έκρηξης δόθηκε από την ανακάλυψη της Κοσµικής Ακτινοβολίας Μικροκυµάτων C.M.B (ϐλέπε παράγραφο 5.6) η οποία είχε προβλεφθεί ϑεωρητικά από τον Gamow ως αναπόδραστο στοιχείο της ϑερµής µεγάλης έκρηξης. Η ακτινοβολία αυτή είναι ισοτροπική, γεµίζει όλο το Σύµπαν και αντιστοιχεί σε ϕάσµα µελανού σώµατος, µε ϑερµοκρασία 2.73 K. Η µόνη πειστική εξήγηση για την ϕύση της ακτινοβολίας αυτής είναι ότι προέρχεται από ϕωτόνια που γέµισαν το Σύµπαν στα πρώτα στάδια της διαστολής του. ηλαδή η C.M.B είναι ενεργειακό απολίθωµα της µεγάλης έκρηξης. Είναι χαρακτηριστικό ότι καµία άλλη ϑεωρία δεν έχει εξηγήσει και ακόµα περισσότερο δεν είχε προβλέψει την Κοσµική Ακτινοβολία Μικροκυµάτων. 12

2.3 Η ιαστολή του Σύµπαντος Μία από τις σηµαντικότερες αστρονοµικές παρατηρήσεις στην ιστορία της σύγχρονης Κοσµολογίας υπήρξε η παρατήρηση ότι οι γαλαξίες αποµακρύνονται από τον παρατηρητή, µε ταχύτητες ανάλογες µε την απόσταση τους. Την σηµαντική αυτή ανακάλυψη έκανε ο αστρονόµος Hubble ϐασιζόµενος και σε προγενέστερες παρατηρήσεις του Slipher χρησιµοποιώντας ϕασµατοσκοπεία γαλαξιών. Παρατήρησε ότι οι γραµµές εκποµπής κάποιων χαρακτηριστικών στοιχείων (όπως η γραµµή Ηα της σειράς Balmer του υδρογόνου) ήταν µετατοπισµένες προς το ερυθρό µέρος του ϕάσµατος των γαλαξιών, σε σχέση µε την αναµενόµενη εκποµπή τους σε ηρεµία. Αυτό σηµαίνει ότι οι γαλαξίες αποµακρύνονται από τον παρατηρητή και αυτή η µετατόπιση του ϕάσµατος ονοµάζεται ερυθροµετατόπιση. Αντίθετα έαν παρατηρηθεί µια µετατόπιση στις υψηλότερες συχνότητες, αυτή ονοµάζεται κυανοµετατόπιση και ενδεικνύει ότι ο γαλαξίας αυτός πλησιάζει τον παρατηρητή. Το ϕαινόµενο αυτό ϑυµίζει το ϕαινόµενο Doppler, αν και στην πραγµατικότητα, όπως ϑα δούµε παρακάτω, οι χωρικές συντεταγµένες των γαλαξιών δεν µεταβάλλονται αλλά ο χώρος ο ίδιος διαστέλλεται και συµπαρασέρνει και τους γαλαξίες. Η µετάθεση των ϕασµατικών γραµµών ενός κινούµενου, ως προς τον παρατηρητή, γαλαξία ορίζεται ως : z = λ 0 λ r λ r (1) όπου λ 0 είναι το µήκος κύµατος της ϕασµατικής γραµµής του γαλαξία που παρατηρούµε και λ r είναι το µήκος κύµατος σε ηρεµία. Εάν έχουµε z > 0 τότε µιλάµε για ερυθροµετατόπιση, ενώ εάν έχουµε z < 0 µιλάµε για κυανοµετατόπιση. Κυανοµετατόπιση παρατηρείται µόνο για ορισµένους κοντινούς γαλαξίες της τοπικής οµάδας γαλαξιών, για τους οποίους η ϐαρυτική έλξη στο κοινό δυναµικό της οµάδας υπερνικά την αρχική ταχύτητα διαστολής, που λόγω εγγύτητας έχει µικρό µέτρο, όπως ϑα δούµε αµέσως παρακάτω. Η ταχύτητα µε την οποία αποµακρύνεται ένας γαλαξίας από τον παρατηρητή δίδεται από την σχέση Doppler: 1 + z = 1 + v/c 1 + v/c for v c, (2) 1 v/c δηλαδή v = cz, µε c την ταχύτητα του ϕωτός. Πρώτος ο Hubble παρατήρησε ότι η ταχύτητα αποµάκρυνσης των γαλαξιών από τον παρατηρητή είναι ανάλογη της απόστασης τους, δηλαδή v = H 0 r (3) 13

όπου η σταθερά αναλογίας ονοµάζεται σταθερά του Hubble, παρόλο που µια πιο δόκιµη ονο- µασία είναι παράµετρος Hubble µιας και είναι συνάρτηση του κοσµικού χρόνου. Η σχέση (3) ονοµάζεται νόµος του Hubble. Βρέθηκε δε ότι ο νόµος αυτός είναι ανεξάρτητος της διεύθυνσης παρατήρησης. Αυτό αποτελεί άλλη µια απόδειξη της ισχύως της Κοσµολογικής Αρχής. Το σύµπαν διαστέλλεται ισοτροπικά γύρω από τον παρατηρητή στη Γη και από οποιονδήποτε άλλο παρατηρητή στο Σύµπαν. Αλλά µήπως αυτό σηµαίνει ότι είµαστε στο κέντρο του Σύµπαντος ; Οχι γιατί σύµφωνα µε την Κοσµολογική Αρχή το Σύµπαν είναι οµογενές και ισότροπο, που σηµαίνει ότι είναι ισότροπο γύρω από κάθε σηµείο. Επιπλέον, ο νόµος του Hubble, µε τον παράγοντα H 0 να είναι µια σταθερά ανεξάρτητη διεύθυνσης, συνεπάγεται ότι κάθε παρατηρητής ϐλέπει κάθε άλλο να αποµακρύνεται µε παρόµοιο τρόπο, πιστοποιείται γεγονός που ενισχύει την Κοσµολογική Αρχή της οµογένειας και ισοτροπίας. Εστω λοιπόν σύστηµα αναφοράς µε αρχή το σηµείο Π 0 και δύο γαλαξίες σε σηµεία Π 1 και Π 2 ϐρισκόµενα σε απόσταση r 1 και r 2 από το Π 0. Η ταχύτητα των γαλαξιών στο Π 1 και Π 2 σε σχέση µε το Π 0 είναι v(r 1 ) και v(r 2 ) αντίστοιχα (δες εικόνα 2). Η ταχύτητα του γαλαξία στο Π 2 σε σχέση µε τον γαλαξία στο Π 1, σε απόσταση r 3, είναι εποµένως : v (r 3 ) = v(r 2 ) v(r 1 ) (4) Εικόνα 2: ιανυσµατική απόδοση της ισοτροπικής διαστολής του κοσµικού χώρου. 14

Λόγω όµως του νόµου του Hubble στο σύστηµα αναφοράς του Π 0, έχουµε : v(r 1 ) = H 0 r 1 και v(r 2 ) = H 0 r 2 οπότε : v (r 3 ) = H 0 r 2 H 0 r 1 = H 0 (r 2 r 1 ) = H 0 r 3 (5) Άρα ο ίδιος νόµος διαστολής που ισχύει για ένα παρατηρητή στο Π 0 ισχύει και για τον παρατηρητή στο Π 1 και ούτο κάθε εξής. Εποµένως δεν υπάρχει κάποιο κέντρο της διαστολής στο 3-διάστατο χώρο, όπως εσφαλµένα ϑα µπορούσε να ϑεωρήσει κανείς για τον παρατηρητή στη Γη. Το κέντρο διαστολλής ϐρίσκεται στον χωρόχρονο ο οποίος είναι ένας χώρος τεσσάρων διαστάσεων µέσα στον οποίο εµβαπτίζεται ο 3-διάστατος χώρος. Μια ακριβής αναγωγή στις 2 διαστάσεις µπορεί να κατανοηθεί µε την διαστολή της 2-διάστατης επιφάνειας ενός µπαλονιού που το ϕουσκώνουµε. Και σε αυτή την περίπτωση το κέντρο της διαστολής δεν ϐρίσκεται στην διαστελλόµενη επιφάνεια του αλλά στην µη διαστελλόµενη 3η διάσταση. 2.4 Συνµετακινούµενες συντεταγµένες Ενα ϐολικό σύστηµα συντεταγµένων σε ένα χώρο που διαστέλλεται ισοτροπικά είναι το λεγόµενο συνµετακινούµενο σύστηµα συντεταγµένων, που όπως λέει και τό όνοµα του, παρασύρετε από την ίδια την διαστολή. Η σχέση µεταξύ µιας ϕυσικής απόστασης, r, και της συνµετακινούµενης απόστασης, x, είναι γραµµική : r = a(t)x (6) µε την παράµετρο αναλογίας, a(t), να είναι συνάρτηση µόνο του χρόνου (και όχι της διεύθυνσης). Αυτή η παράµετρος ονοµάζεται παράγοντας διαστολής ή αλλιώς παράγοντας κλίµακας. διαστελλόµενο Σύµπαν οι γαλαξίες παραµένουν ακίνητοι (πέρα από µικρές διαταραχές λόγω του τοπικού ϐαρυτικού πεδίου) στο συνµετακινούµενο σύστηµα συντεταγµένων. Στο Εποµένως η συνάρτηση a(t) προσδιορίζει σε ένα διαστελλόµενο Σύµπαν κάθε µήκος r 0, σε κάποια χρονική στιγµή t 0, αν σε κάποιο προγενέστερο χρόνο, t 1, είχε µέγεθος r 1, σύµφωνα µε : r 0 = a(t 0) a(t 1 ) r 1 (7) όπου t 0 > t 1. Εάν ταυτίσουµε το t 0 µε τη σηµερινή ηλικία του Σύµπαντος τότε πολλές ϕορές στη ϐιβλιογραφία ο παράγοντας κλίµακας κανονικοποιείται µε τέτοιο τρόπο ώστε να είναι µονάδα στη σηµερινή εποχή a(t 0 ) 1. Εποµένως, µπορούµε να ϑεωρήσουµε χρησιµοποιώντας την 15

παραπάνω σχέση πως µεταβάλλεται και το µήκος κύµατος της ακτινοβολίας, λ, που εκπέµπεται από κάποιο γαλαξία σε χρόνο t 1 και καταλαµβάνεται από τον Γήινο παρατηρητή ως λ 0 στο χρόνο t 0, έχουµε λοιπόν : λ 0 = a(t 0) a(t 1 ) λ 1 = 1 a(t 1 ) λ 1 (8) Εποµένως, χρησιµοποιώντας και τον ορισµό της ϕασµατικής µετατόπισης εξ.(1), παράγουµε την σχέση µεταξύ της ερευθροµετατόπισης και του παράγοντα κλίµακας : 1 + z = λ 0 λ 1 = 1 a(z). (9) Η εξίσωση αυτή είναι πολύ σηµαντική διότι συνδέει την παρατηρησιακή ποσότητα της ερυθροµετάθεσης µε τον παράγοντα διαστολής του Σύµπαντος. Για παράδειγµα εάν υποθέσουµε ότι ένας γαλαξίας παρατηρείται σε ερυθροµετάθεση z = 1 αυτό συνεπάγεται, µέσω της εξίσωσης (9), ότι ο παράγοντας κλίµακας εκείνη την εποχή είναι ο µισός της σηµερινής του τιµής a(z 1) = 0.5. Επανερχόµαστε στο νόµο του Hubble για να δείξουµε ότι είναι ϕυσική απόρροια της οµογενούς διαστολής του Σύµπαντος. Παραγωγίζοντας την εξ.(6) ως προς τον χρόνο, ϐρίσκουµε r = ȧx + aẋ = ȧ a r + u p. Οπου στην παραπάνω σχέση αναγνωρίζουµε ως u p = aẋ τη σχετική ταχύτητα που έχουν οι γαλαξίες εξαιτίας των τοπικών ϐαρυτικών αλληλεπιδράσεων οι οποίες όµως είναι αµελητέες σε κοσµολογικές κλίµακες. Τελικά χρησιµοποιώντας την τελευταία διαπίστωση το µέτρο της διαστολής Hubble δίνεται v = ȧ(t) r = H(t)r, (10) a(t) δηλαδή αναπαράγαµε τον νόµο του Hubble µε την παράµετρο Hubble να δίδεται από τον λόγο H(t) = ȧ(t) a(t). (11) Είναι σηµαντικό να τονίσουµε ότι µε τη ϐοήθεια των εξ.(9) και (11) εξάγουµε τις σχέσεις µεταξύ των διαφορικών dt, da και dz οι οποίες χρησιµοποιούνται όταν ϑέλουµε να µεταφερθούµε από µία κοσµική µεταβλητή σε µία άλλη : dt = da ah(a) = dz (1 + z)h(z) (12) 16

ή H 0 dt = da ae(a) = dz (1 + z)e(z) (13) όπου η ποσότητα E(z) = H(z)/H 0 ονοµάζεται κανονικοποιηµένη παράµετρος του Hubble. 2.5 Η Μετρική του Χωροχρόνου Για να µπορέσουµε να µετρήσουµε αποστάσεις στό Σύµπαν πρέπει να ορίσουµε µια µετρική, δηλαδή ένα σύστηµα συνεταγµένων µέσω του οποίου να ορίζεται η απόσταση µεταξύ δύο σηµείων στο 4-διάστατο χωρόχρονο. Λόγω του γεγονότος ότι δεν γνωρίζουµε a priori πια είναι η γεωµετρία που διέπει στο Σύµπαν, η µετρική αυτή ϑα πρέπει να είναι γενική και εύχρηστη κάτω από οποιανδήποτε πιθανή γεωµετρία. Θυµίζουµε ότι η γνωστή Ευκλείδια (ή επίπεδη) γεωµετρία δεν ισχύει σε καµπυλωµένους χώρους. Στην επιφάνεια της σφαίρας (ϑετικά καµπυλωµένος χώρος) ισχύει η γεωµετρία Riemann, ενώ στην επιφάνεια αρνητικής καµπυλότητας ισχύει η γεωµετρία Lobachevsky. Φυσικά τα ίδια ισχύουν και σε επιφάνειες περισσοτέρων διαστάσεων (πχ. σε σφαιρική επιφάνεια N 1 διαστάσεων, εµβαπτισµένης σε χώρο N διαστάσεων, ισχύει η γεωµετρία Riemann, κλπ). Από την Ειδική ϑεωρία της Σχετικότητας γνωρίζουµε ότι η αναλλοίωτη, κάτω από µετασχη- µατισµό του συστήµατος συντεταγµένων, απόσταση µεταξύ δύο γεγονότων µε 4-διάστατες χωροχρονικές συντεταγµένες (t, x, y, z) και (t + dt, x + dx, y + dy, z + dz), δίδεται από την µετρική Minkowski, που περιγράφει µια επίπεδη γεωµετρία για το χωρόχρονο, και δίδεται σε Καρτεσιανές και σφαιρικές συντεταγµένες αντίστοιχα από : ds 2 = c 2 dt 2 + (dx 2 + dy 2 + dz 2 ) = c 2 dt 2 + [ dr 2 + r 2 (dθ 2 + sin 2 θdφ 2 ) ] (14) Θυµίζουµε ότι αυτή η µετρική συµβολίζεται και µε τον τανυστή η ij ο οποίος σε Καρτεσιανές συντεταγµένες γράφεται c 2 0 0 0 0 1 0 0 η =. 0 0 1 0 0 0 0 1 Τα ϕωτόνια πάντα κινούνται κατά µήκος γεωδεσιακών ds 2 = 0, και εποµένως σε αυτή την πε- ϱίπτωση παραµένουν σταθερές οι σφαιρικές συνετεταγµένες dθ = dφ = 0 (όπως αντίστοιχα στη 17

περίπτωση της επιφάνειας µιας σφαίρας όπου οι γεωδεσιακές είναι µέγιστοι κύκλοι οι οποίοι διατηρούν το γεωγραφικό τους µήκος αναλλοίωτο). Στη Γενική ϑεωρία της Σχετικότητας η γεωµετρία του χωρόχρονου συνυπάρχει και συνδέεται µε τα ϐαρυτικά ϕαινόµενα και εποµένως η αντίστοιχη µετρική γίνεται πιο περίπλοκη και έχει την γενική µορφή 3 : ds 2 = g ij dx i dx j (µ, ν = 0, 1, 2, 3) (15) όπου ds 2 είναι η χωροχρονική απόσταση µεταξύ 2 σηµείων x k και x k + dx k, g ij είναι ο µετρικός τανυστής που ορίζει την γεωµετρία του χωρόχρονου, µε x 0 την χρονική συντεταγµένη και x µ (µ = 1, 2, 3) τις χωρικές συντεταγµένες. Η παραπάνω γενική µορφή απλοποιείται εάν υποθέσουµε την Κοσµολογική Αρχή, δηλαδή ότι η κατανοµή της ύλης σε µεγάλες κλίµακες είναι οµογενής και ισότροπη, συνεπακόλουθα και ο χώρος είναι ισοτροπικός ήτοι g ij = 0 για i j. Σε αυτή την περίπτωση έχουµε τον διαχωρισµό του 4-διάστατου χωρόχρονου σε µια χρονική και 3 χωρικές διαστάσεις : ds 2 = g 00 (dx 0 ) 2 + dl 2 = g 00 (dx 0 ) 2 + g µν dx µ dx ν (µ, ν = 1, 2, 3) (16) όπου g 00 (dx 0 ) 2 = c 2 dt 2 και g µν ο χωρικός µετρικός τανυστής, του οποίου σε σφαιρικές συντεταγµένες η πιο γενική µορφή σε ένα διαστελλόµενο χώρο στον οποίο ισχύει η Κοσµολογική Αρχή, είναι : [ ] dr dl 2 = g µν dx µ dx ν = a 2 2 (t) 1 kr 2 + r2 (dθ 2 + sin 2 θdφ 2 ), (17) όπου a(t) παράγοντας κλίµακας, k η σταθερά που καθορίζει την καµπυλότητα του χώρου, και (r, θ, φ) είναι οι σφαιρικές-πολικές συνµετακινούµενες συντεταγµένες. Η παραπάνω µερική ονο- µάζεται µετρική Friedmann-Robertson-Walker (στη συνέχεια ϑα χρησιµοποιούµε τη συντοµογραφία FRW ). 3 Επειδή στην ΓΘΣ όλες οι εξισώσεις δίνονται µε την µορφή τανυστών, χρησιµοποιούµε την σύµβαση της άθροισης του Αϊνστάιν, σύµφωνα µε την οποία, η εµφάνιση σε έναν όρο του ίδιου δείκτη σε άνω και κάτω ϑέση υποδηλώνει άθροιση ως προς όλες τις τιµές που µπορεί να πάρει ο αυτός ο δείκτης (ds 2 = g ijdx i dx j = g ijdx i dx j ). 18

Εικόνα 3: ισ-διάστατες επιφάνειες που αντιστοιχούν στις 3 διαφορετικές τιµές της παραµέτρου καµπυλότητας, k. Η σταθερά καµπυλότητας µπορεί να πάρει τιµές +1, 0, 1, που αντιστοιχούν σε τρισδιάστατη σφαίρα, τρισδιάστατο Ευκλείδιο χώρο και τρισδιάστατο υπερβολωειδές (οι αντίστοιχες δισδιάστατες επιφάνειες παρουσιάζονται στην εικόνα 3). Κλειστή γεωµετρία k = +1 είναι η πιο απλή µη-ευκλείδια γεωµετρία στην οποία δύο πα- ϱάλληλες ευθείες τέµνονται, µιας και η ελάχιστη απόσταση µεταξύ δύο σηµείων είναι ο µέγιστος κύκλος που τα ενώνει, το άθροισµα των γωνιών ενός τριγώνου είναι > 180. Ενα σύµπαν µε ϑετική καµπυλότητα είναι πεπερασµένο σε µέγεθος αλλά δεν έχει πέρατα, όπως και η επιφάνεια της σφαίρας είναι πεπερασµένη αλλά χωρίς πέρατα µιας και αν συνεχίζεις να κινείσαι επί µέγιστου κύκλου τελικά ϑα ξαναεπισκευτείς την αφετηρία σου. Κάνοντας τον µετασχηµατισµό r = sin χ, η χωρικά διαστελλόµενη µετρική (17) γίνεται : dl 2 = a 2 (t) [ dχ 2 + sin 2 χ(dθ 2 + sin 2 θdφ 2 ) ]. Στην συνέχεια υπολογίζονται τα ϐασικά γεωµετρικά χαρακτηριστικά της υπερσφαίρας ακολουθώντας την ίδια τακτική µε την δισδιάστατη σφαίρα. Ετσι το εµβαδό µια στοιχειώδους περιοχής από θ εώς θ + dθ και φ εώς φ + dφ της επιφάνειας ακτίνας r c = a(t)r = a(t) sin χ 19

δίνεται από την σχέση ds k=1 = r 2 c sin θdθdφ = a 2 (t) sin 2 χ sin θdθdφ. Με ολοκλήρωση του στοιχείου επιφάνειας ds k=1 όταν το το θ µεταβάλλεται από 0 εώς π και το φ από 0 εώς 2π υπολογίζουµε το εµβαδό της επιφάνειας S k=1 (χ) = 4πα 2 sin 2 χ το οποίο παρουσιάζει µέγιστη τιµή 4πα 2 στον ισηµερινό (χ = π/2) ενώ µηδενίζεται στους αντίποδες (χ = π). Ο στοιχειώδης όγκος αντίστοιχα δίνεται dv k=1 = a(t)dχds k=1 = a 3 sin 2 χ sin θdχdθdφ και ολοκληρώνοντας τόσο ως προς στη στερεά γωνία όσο και ως προς χ ϐρίσκουµε τον όγκο της επιφάνειας V k=1 (χ) = a 3 χ 0 π 2π sin 2 χ dχ sin θdθdφ = 2πα 3 (χ 1 sin 2χ). 0 0 2 Είναι προφανές ότι στο χ = π ο όγκος παρουσιάζει µέγιστο V (max) k=1 (π) = 2π 2 α 3. Ανοικτή γεωµετρία k = 1 αντιστοιχεί σε αρνητικά καµπυλοµένη επιφάνεια όπου δύο πα- ϱάλληλες ευθείες ποτέ δεν τέµνονται, αποκλίνουν δηλαδή, και εποµένως το Σύµπαν που διέπεται από αυτή την γεωµετρία είναι άπειρο. Επίσης, αντίθετα από την περίπτωση ϑετικής καµπυλότητας, ισχύει ότι το άθροισµα των γωνιών ενός τριγώνου είναι < 180. Ο χώρος ονοµάζεται υπερβολικός και είναι ανοικτός, χωρίς να έχει πεπερασµένο όγκο µε χωρική µετρική : dl 2 = a 2 (t) [ dχ 2 + sinh 2 χ(dθ 2 + sin 2 θdφ 2 ) ] όπου στην (17) έχουµε κάνει τον µετασχηµατισµό r = sinhχ µε 0 χ < +. Τα ϐασικά χαρακτηριστικά του χώρου αυτού µπορούν να προκύψουν, εάν τις τριγωνοµετρικές συναρτήσεις τις αντικαταστήσουµε µε υπερβολικές συναρτήσεις S k= 1 (χ) = 4πα 2 sinh 2 χ 20

και V k= 1 (χ) = 2πα 3 ( χ + 1 sin 2χ). 2 Επίπεδη (Ευκλείδια) γεωµετρία k = 0 είναι η γνωστή µας γεωµετρία στην οποία δύο πα- ϱάλληλες ευθείες ποτέ δεν τέµνονται, που το άθροισµα των γωνιών ενός τριγώνου είναι 180. Σε αυτή την περίπτωση ακολουθώντας τα ϐήµµατα που περιγράψαµε παραπάνω έχουµε r = χ, S k=0 = 4πa 2 χ 2 και V k=0 = 4πa 3 χ 3 /3. Συνήθως ϑεωρείται ότι είναι άπειρη η χωρική διάσταση ενός σύµπαντος που διέπεται από αυτή τη γεωµετρία, µιας και εάν είχε πεπερασµένο µέγεθος τότε δυό παράλληλες ευθείες ϑα τέµνονταν. Παρόλα αυτά όµως, αποδείχθηκε, σχετικά πρόσφατα (Nash 1954), ότι όλες οι Ρηµάνιες πολλαπλότητες µπο- ϱούν να εµβαπτιστούν σε Ευκλείδιο χώρο ισοµετρικά (διατηρώντας δηλαδή το µήκος κάθε απόστασης) και εποµένως και ο τόρος, ο οποίος είναι επιφάνεια µε µηδενική καµπυλότητα που όµως έχει πέρατα. Μάλιστα πριν από λίγα χρόνια ϐρέθηκε και η απεικόνηση του 2-διάστατου τόρου εµβαπτισµένου σε 3 διαστάσεις (Borrelli, et al. 2012, http://www.scinews.com/othersciences/mathematics/article00279.html). Εποµένως, η ένα προς ένα αντιστοιχία µεταξύ µηδενικής καµπυλότητας και άπειρου χώρου αµφισβητείται. 2.6 Κοσµολογική Ερυθροµετατόπιση Στη παράγραφο 2.2 παρουσιάσαµε την µετατόπιση του ϕάσµατος των γαλαξιών σε σχέση µε τον Γήινο παρατηρητή σαν αποτέλεσµα του γνωστού ϕαινοµένου Doppler, λόγω δηλαδή της κίνησης (αποµάκρυνσης) των γαλαξιών σε σχέση µε τον παρατηρητή. Οπως είδαµε όµως παραπάνω, στο συνµετακινούµενο σύστηµα αναφοράς, οι γαλαξίες διατηρούν αναλλοίωτες τις χωρικές συντεταγµένες τους. Εποµένως χρήζει άλλης ερµηνείας η παρατηρούµενη ερυθροµετάθεση. Στην πραγµατικότητα η ερυθροµετάθεση είναι ιδιότητα του µη-ευκλείδιου χωρόχρονου. Για να το κατανοήσουµε, υποθέστε έναν γαλαξία, ϐρισκόµενο στις χωρικές συντεταγµένες (r 1, θ 1, φ 1 ), να εκπέµπει ακτινοβολία την χρονική στιγµή t = t 1, η οποία ϕτάνει σε µας, ϐρισκόµενοι σε συντεταγµένες (r 2, θ 2, φ 2 ), την χρονική στιγµή t = t 0 > t 1 (όπου t 0 σηµερινή ηλικία του Σύµπαντος). Λόγω της Κοσµολογικής αρχής µπορούµε να πάρουµε οποιοδήποτε σηµείο, και τον παρατηρητή, ως αρχή της ακτινικής συντεταγµένης, δηλαδή r 2 = 0. Επίσης, η ακτινοβολία κινείται κατά µήκος γεωδεσιακών και εποµένως ds 2 = 0, και όπως γνωρίζουµε κατά µήκος γεωδεσιακής (µετακινούµενη η ακτινοβολία από r = r 1 στο r = 0 διατηρούν σταθερά τις χωρικές συντεταγµένες (όπως στην επιφάνεια σφαίρας οι γεωδεσιακές, που είναι µέγιστοι κύκλοι που περνούν από τους 21

πόλους, διατηρούν σταθερό το γεωγραφικό µήκος). Εποµένως έχουµε θ 1 = θ 2 και φ 1 = φ 2 = dθ = dφ = 0. Άρα από την µετρική Friedmann-Robertson-Walker [ϐλέπε εξ.(16) και (17)] έχουµε ότι : cdt a(t) = dr 1 kr 2. (18) Λόγω του ότι το r µειώνεται κατά µήκος της γεωδεσιακής όσο ο χρόνος t αυξάνει, έχουµε ότι : t0 t 1 cdt 0 a(t) = r 1 dr 1 kr 2 = r1 0 dr 1 kr 2 (19) Το επόµενο κύµα ακτινοβολίας που ϑα ϕύγει από τον γαλαξία την χρονική στιγµή t 1 + δt 1, ϑα ϕτάσει στον παρατηρητή (r = 0) την χρονική στιγµή t 0 + δt 0, και εποµένως : t0 +δt 0 t 1 +δt 1 cdt r1 a(t) = 0 Αλλάζοντας τα όρια ολοκλήρωσης : dr 1 kr 2 = t0 +δt 0 t 1 +δt 1 cdt t0 a(t) = t 1 cdt a(t). (20) t0 t 1 +δt 1 cdt t0 +δt 0 a(t) + t 0 cdt t1 +δt 1 a(t) = t 1 cdt t0 a(t) + t 1 +δt 1 cdt a(t) έχουµε τελικά t0 +δt 0 t 0 cdt t1 +δt 1 a(t) = t 1 cdt a(t) Τώρα εάν δt t µπορούµε να ϑεωρήσουµε ότι η τιµή της a(t) παραµένει σταθερή κατά την διάρκεια ολοκλήρωσης, και εποµένως δt 1 /a(t 1 ) = δt 0 /a(t 0 ), αλλά λόγω του ότι ο χρόνος µεταξύ δύο διαδοχικών κυµάτων ϕωτός, δt 1,0 (όπου το 1 αντιστοιχεί στην εκποµπή και το 0 στο λήψη του κύµατος), αντιστοιχεί και στο µήκος κύµατος τους (δηλαδή δt j λ j ): λ 1 = a(t 1) λ 0 a(t 0 ) και εποµένως αναπαράγουµε την ήδη γνωστή σχέση µεταξύ του παράγοντα κλίµακας και της ερυθροµετατόπισης (εξ. 9), η οποία ονοµάζεται και Κοσµολογική Ερυθροµετατόπιση : 1 + z = λ 0 λ 1 = a(t 0) a(t 1 ) = 1 a(t) (21) 22

όπου στην τελευταία ισότητα έχουµε χρησιµοποιήσει την κανονικοποίηση a(t 0 ) = 1. Τι άλλες ϕυσικές διεργασίες µπορούν να δηµιουργήσουν ερυθροµετατόπιση Οταν ένα ϕωτόνιο διαφεύγει µέσα από ένα ισχυρό ϐαρυτικό πεδίο µάζας M και ακτίνας r παράγει έργο για να υπερνικήσει την ϐαρυτική επίδραση και έτσι χάνει ενέργεια. Για να υπολογιστεί αυτή πρέπει να ϑεωρήσουµε την µετρική Schwarzschild που περιγράφει, σύµφωνα µε την Γ.Θ.Σ., το ισχυρό ϐαρυτικό πεδίο γύρω από µια σφαιρική, µη ϕορτισµένη και µη περιστρεφόµενη, κατανοµή µάζας και που η χαρακτηριστική της ακτίνα δίδεται από την : r s = 2GM/c 2. Σύµφωνα µε την παραπάνω µετρική, η ϐαρυτική ερυθροµετατόπιση σε µεγάλη απόσταση από την ϐαρυτική µάζα δίδεται από την : και αναπτύσσοντας σε σειρά Taylor έχουµε : ( 1 + z = 1 r ) s 1/2 (22) r z r s 2r = GM rc 2. (23) Οι τυπική τιµή αυτής της βαρυτικής ερυθρµετατόπισης είναι 10 7, πολύ µικρότερη από αυτές που παρατηρούµε στους γαλαξίες και εποµένως δεν µπορεί να αποτελέσει εναλλακτική ερµηνεία των παρατηρούµενων ερυθροµετατοπίσεων. 23

3 Βασικά Στοιχεία υναµικής Κοσµολογίας Στο πλαίσιο της Κοσµολογικής Αρχής µπρούµε να παράγουµε τις εξισώσεις κοσµολογικής εξέλιξης είτε απευθείας και µε την αυστηρότητα που χρειάζεται από τις εξισώσεις πεδίου της Γ.Θ.Σ. είτε χρησιµοποιώντας Νευτώνεια προσέγγιση. Το τελευταίο είναι δυνατόν λόγω του ότι η Κοσµολογική Αρχή µας επιτρέπει να ϑεωρήσουµε στοιχειώδες όγκο µεγέθους τέτοιου ώστε να ισχύει η Νευτώνεια ϐαρύτητα, ως τυπικό κοσµικό όγκο. 3.1 Εξισώσεις Friedmann Η ϐασικότερη διαφορική εξίσωση που περιγράφει την δυναµική εξέλιξη του Σύµπαντος, είναι η εξίσωση Friedmann, την οποία ϑα παράξουµε αµέσως τώρα. Ξεκινάµε από την εξίσωση διατήρησης της ενέργειας, που µας λέει ότι το άθροισµα της κινητικής και δυναµικής ενέργειας ενός στοιχειώδους υλικού σηµείου µάζας m (π.χ ένας γαλαξίας) σε απόσταση r από ένα κέντρο (µπορεί να είναι οπουδήποτε σε ένα οµογενές και ισότροπο Σύµπαν) και µε µάζα εµπεριεχόµενη εντός της απόστασης αυτής να ισούται µε M = (4π/3)ρr 3, παραµένει σταθερό και ισούται µε : E = 1 2 mṙ2 4πGρmr2 3 (24) όπου ρ είναι η πυκνότητα ύλης του Σύµπαντος. Συνήθως ως πυκνότητα ύλης ϑεωρούµε το άθροισµα της πυκνότητας ύλης (ρ m ) και ακτινοβολίας (ρ r ) αντίστοιχα, ρ ρ m + ρ r. Χρησιµοποιώντας τις εξισώσεις (10) και (6) και διαιρώντας µε mx 2 [όπου x η συνµετακινούµενη απόσταση ϐλέπε εξ.(6)], παίρνουµε : ȧ 2 2 4πGρa2 3 = E mx 2 (25) όπου (χρησιµοποιώντας γνώση από την ολοκληρωµένη προσέγγιση της ΓΘΣ) ορίζουµε : E mx 2 = kc2 2 (26) µε k την καµπυλότητα του χώρου, όπως διαφαίνεται από το ότι έχει µονάδες µήκους 2. Η καµπυλότητα πρέπει ϕυσικά να είναι σταθερή εάν ισχύει η Κοσµολογική Αρχή και εποµένως η ποσότητα E είναι ανάλογη του x 2. ηλαδή, ενώ για κάθε ξεχωριστό σωµατίδιο η συνολική ενέργεια του E παραµένει σταθερή, σε ένα διαστελλόµενο Σύµπαν η ποσότητα E αλλάζει σε διαφορετικές απόστασεις. 24

Η τελική µορφή της εξίσωσης Friedmann είναι : ȧ 2 a 2 = 8πGρ kc2 3 a 2 + Λc2 3 (27) όπου έχουµε ϐάλει και την συµµετοχή του όρου της Κοσµολογικής Σταθεράς, Λ, που εισήχθει αυθαίρετα από τον Αϊνστάϊν για να πάρει στατικές λύσεις για την εξέλιξη του Σύµπαντος (ϑα δούµε λεπτοµέρειες σε επόµενο κεφάλαιο). Μια δεύτερη σηµαντική εξίσωση, απαραίτητη για την λύση της εξίσωσης Friedmann είναι η λεγόµενη εξίσωση ϱευστού (fluid equation), η οποία περιγράφει πως εξελίσσεται η πυκνότητα σε ένα διαστελλόµενο Σύµπαν. Αυτή προκύπτει από το 1 o νόµο της ϑερµοδυναµικής, εφαρµοζόµενο σε ένα διαστελλόµενο όγκο, V : dq = de + P dv (28) όπου dq είναι η ποσότητα ενέργειας που προστίθεται ή αφαιρείται από το σύστηµα λόγω ϑερµικής ακτινοβολίας ή ϑερµικής αγωγιµότητας, P dv είναι η ενέργεια που παράγεται η καταναλώνεται σαν αποτέλεσµα του έργου που κάνει το σύστηµα και de είναι η συνολική µεταβολή στην εσωτε- ϱική ενέργεια του συστήµατος. Λόγω του ότι η διαστολή του οµογενούς και ισοτροπικού Σύµπαντος είναι αδιαβατική, έχουµε dq = 0. Παραγωγίζοντας ως προς χρόνο τις σχέσεις E(t) = ρ(t)v (t)c 2 και V (t) = (4π/3)a 3 (t)x 3 και ϐάζοντας το αποτέλεσµα στην εξ.(28) ϐρίσκουµε : ( ) V c 2 ρ + 3ρȧ = P V 3ȧ a a και εποµένως καταλήγουµε στη λεγόµενη εξίσωση της συνέχειας : ρ + 3ȧ (ρ + Pc ) a 2 = 0 = ρ + 3H (ρ + Pc ) 2 = 0. (29) Αυτή η οµογενής διαφορική εξίσωση πρώτου ϐαθµού περιγράφει πως µεταβάλεται η πυκνότητα της υλοενέργειας στο διαστελλόµενο Σύµπαν σαν συνάρτηση και της πίεσης του. Χρειαζόµαστε λοιπόν και µια καταστατική εξίσωση που να συνδέει την πυκνότητα µε την πίεση της υλοενέργειας του Σύµπαντος, P = P (ρ), για να µπορέσουµε να λύσουµε το παραπάνω σύστηµα δύο διαφο- ϱικών εξισώσεων και να πάρουµε την δυναµική εξέλιξη του Συµπαντος, δηλαδή την συνάρτηση a = f(t, ρ, k, Λ). 25

Μία ακόµα εξίσωση είναι σηµαντική για την µελέτη της δυναµικής του Σύµπαντος, η οποία προκύπτει από τον συνδυασµό των εξίσώσεων Friedmann και ϱευστού. Παραγωγίζοντας την εξ.(27) και χρησιµοποιώντας την εξ.(29) µπορούµε εύκολα να δείξουµε ότι : ( ä a = 4πG ρ + 3P ) 3 c 2 + Λc2 3 (30) και ϐλέπουµε ότι έαν κάποια συνιστώσα της ύλης στο σύµπαν έχει πίεση, αυτή ϑα συνεισφέρει στην αύξηση της ϐαρυτικής δύναµης (έχει ϑετική συνεισφορά µαζί µε την πυκνότητα στο αριστερό µέρος της εξίσωσης) και άρα στην επιβράδυνση της διαστολής. Επιπλέον ϐλέπουµε ότι σε απουσία κοσµολογικής σταθεράς (Λ = 0) το σύµπαν πάντα ϑα επιβραδύνεται (ä < 0). Εάν όµως η κοσµολογική σταθερά είναι µη µηδενική τότε παρατηρώντας την εξ.(30) αναγνωρίζουµε την ύπαρξη µιας δεύτερης δύναµης εκτός της ϐαρυτικής F Λ = 1 3 Λa. Εάν η κοσµολογική σταθερά είναι ϑετική τότε η δύναµη F Λ λειτουργεί ως απωστική δύναµη µεταξύ των σωµατιδίων ( αντιβαρύτητα ) και στην περίπτωση που επιπρόσθετα ισχύει η ανισότητα Λ 4π(G/c 2 )(ρ + 3P/c 2 ), τότε έχουµε επιταχυνόµενη διαστολή (ϐλέπε παράγραφο 3.7.3). Λόγω του ότι τα αριστερά µέρη των εξισώσεων Friedmann περιέχουν τις συνιστώσες που καθο- ϱίζουν την δυναµική συµπεριφορά του παράγοντα κλίµακας, δηλαδή της συνάρτησης που περιγράφει πως ακριβώς διαστέλλεται το σύµπαν συναρτήσει του χρόνου, µπορούµε να ϑεωρήσουµε κάθε συνιστώσα (και όχι µόνο αυτή της ύλης) ως εν δυνάµει (effective) ή καλύτερα εικονικό ϱευστό. Θα µας είναι πολύ χρήσιµη παρακάτω αυτή η µορφή των εξισώσεων. Μπορούµε λοιπόν να ξαναγράψουµε τις εξ.(27), (29) και (30) ως εξής : H 2 = ȧ2 a 2 = 8πG 3 ρ tot kc2 a 2 = 8πG 3 n i=1 ρ i kc2 a 2 (31) ρ tot + 3H ( ρ tot + P ) tot c 2 = 0 = n ( ä a = 4πG ρ tot + 3 ) 3 c 2 P tot = 4πG 3 i [ ( ρ i + 3H ρ i + P )] i c 2 = 0 (32) ( n ρ i + 3 c 2 i=1 ) n P i. (33) όπου το άθροισµα είναι ως προς το πλήθος n των ϱευστών (πραγµατικών ή εικονικών) που συ- i=1 26

νεισφέρουν στην συνολικό κοσµικό ϱευστό το οποίο έχει πυκνότητα ρ tot = i ρ i και πίεση P tot = i P i. Από την εξ.(27) και (31) παίρνουµε εποµένως τις σχέσεις ανάµεσα στη σταθερά Λ και την αντίστοιχη πυκνότητα του εικονικού ϱευστού της Κοσµολογικής σταθεράς : 8πG 3 ρ Λ = Λc2 3 = ρ Λ = Λc2 8πG. (34) Με τον ίδιο τρόπο µπορούµε να εξάγουµε σχέσεις µεταξύ των πυκνοτήτων και της πίεσης των όποιων ϱευστών χρησιµοποιώντας την εξ.(30) και εξ.(33). Τέλος υποθέτωντας ότι οι επιµέρους συνιστώσες (πχ. ύλη, ακτινοβολία, κοσµολογική σταθερα κτλ) που αποτελούν το συνολικό κοσµικό ϱευστό δεν αλληλεπιδρούν µεταξύ τους, τότε η εξίσωση συνέχειας (32) ισχύει για το κάθε ένα ϱευστό ξεχωριστά, ήτοι ρ i + 3H ( ρ i + P ) i c 2 = 0 (35) όπου ο δείκτης i εκφράζει τις συνιστώσες του κοσµικού ϱευστού ύλη (i = m), ακτινοβολία (i = r) ή κοσµολογική σταθερά (i = Λ) και συνεπώς έχουµε ρ m είναι η πυκνότητα ύλης, ρ r η πυκνότητα ακτινοβολίας και ρ Λ η πυκνότητα του ϱευστού της Κοσµολογικής σταθεράς, ενώ P i είναι οι αντίστοιχες πιέσεις. 3.2 Καταστατικές Εξισώσεις Οπως έχουµε ήδη πει το σύµπαν διαστέλλεται οµογενώς και ισοτροπικά και εποµένως και αδια- ϐατικά, δηλαδή δεν υπάρχει διαφορική ϱοή ϑερµότητας από µια περιοχή σε άλλη. Αυτό σηµαίνει ότι όπως το Σύµπαν διαστέλλεται αυτό ψύχεται οµογενώς. Άρα εφόσον το Σύµπαν ξεκίνησε από µια υπέρθερµη κατάσταση είναι ϕανερό ότι σε διαφορετικές εποχές της ϑερµικής του εξέλιξης, διαφορετικά είδη σωµατιδίων, κάθε ένα µε την δική του καταστατική εξίσωση, κυριαρχούν στην δυναµική εξέλιξη του σύµπαντος. Πχ. τα σχετικιστικά σωµατίδια ϑα κυριαρχούν στην πρώιµη υπέρθερµη κατάσταση, ενώ η ϐαρυονική ή ψυχρή σκοτεινή ύλη στην ύστερη ψυχρότερη περίοδο. Γενικά για οποιδήποτε ϱευστό µπορούµε να ορίσουµε µια γενική ϐαροτροπική καταστατική εξίσωση, P = P (ρ), που να ισχύει για όλες τις εποχές, παραµετροποιώντας την µε µια παράµετρο w (που ονοµάζεται και παράµετρος της καταστατικής εξίσωσης) ως εξής : P = wρc 2 (36) όπου ρc 2 είναι η πυκνότητα ενέργειας του ϱευστού, που προκύπτει για ένα οποιοδήποτε ϱευ- 27

στό/αέριο από την µάζα του, m σε έναν όγκο V, ως εξής : E = mc 2 = ρv c 2 = E/V = ρc 2. Η γνωστή καταστατική εξίσωση των µη-σχετικιστικών ϱευστών (ιδανικών αερίων) δίδεται από την P = ρk BT µ (37) µε µ την µέση µάζα των σωµατιδίων που αποτελούν το ϱευστό. Επίσης ισχύει για αυτά τα ϱευστά ότι : 3k B T = µ v 2 (38) όπου v 2 είναι η διασπορά ταχυτήτων των στοιχείων του ϱευστού. Συνδυάζοντας τις εξισώσεις (37) και (38) παίρνουµε : P = ρ v2 3 (39) και αντικαθιστώντας στην εξ.(36) παίρνουµε την παράµετρο της γενικευµένης καταστατικής ε- ξίσωσης ως : w = v2 3c 2 (40) Στη δική µας περίπτωση είναι ϕανερό ότι οι παραπάνω σχέσεις ϑα ισχύουν ξεχωριστά για τις επιµέρους συνιστώσες P i = w i c 2 ρ i του κοσµικόυ ϱευστού. Οταν τα σωµατίδια είναι µησχετικιστικά (δηλαδή όταν k b T m v 2 µε v 2 c 2 ) τότε η πίεση τους είναι αµελητέα και ισχύει η προσέγγιση της σκόνης, δηλαδή w 1 = w m = 0. Οταν κάποια σωµατίδια είναι σχετικιστικά, δηλαδή η ϑερµοκρασία του σύµπαντος είναι πολύ µεγαλύτερη της µάζας ηρεµίας τους (όταν δηλαδή k b T m v 2, έχουµε v 2 c 2 ), οπότε από την εξ.(40) έχουµε w 2 = w r = 1/3. Για την Κοσµολογική σταθερά από την εξ.(34) παρατηρούµε ότι η αντίστοιχη πυκνότητα δε µεταβάλλεται µε τον χρόνο ήτοι ρ Λ = 0. Συνεπώς από την εξ.(35) εύκολα υπολογίζουµε την παράµετρο της καταστατικής εξίσωσης w 3 = w Λ = 1 δηλαδή έχει αρνητική πίεση! Στις παράγραφους 3.7 και 3.8 ϑα αναπτύξουµε διεξοδικά τα κοσµολογικά µοντέλα µε αρνητική πίεση. Εάν τώρα ολοκληρώσουµε την εξ. (35) παίρνουµε την εξέλιξη των πυκνοτήτων των ϱευστών που απαρτίζουν το κοσµικό ϱευστό. Πράγµατι εάν χρησιµοποιήσουµε τις εξ.(11), (12) και P i = w i ρ i c 2 τότε η εξ. (35) γράφεται dρ i da + 3 a (1 + w i)ρ i = 0 (41) 28