Δυνατότητα Χρήσης Γεωμετρικών Υψομέτρων GPS σε Τρέχουσες Τοπογραφικές Εργασίες

Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ. 1-2 2003, Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No 1-2 47 Δυνατότητα Χρήσης Γεωμετρικών Υψομέτρων GPS σε Τρέχουσες Τοπογραφικές Εργασίες Γ. Α. ΚΑΛΟΓΡΙΔΗΣ Β. Χ. ΝΤΖΟΥΦΡΑ Διπλ. Αγρ.Τοπογράφος Μηχανικός Ε.Μ.Π. Διπλ. Αγρ.Τοπογράφος Μηχανικός Ε.Μ.Π. Κ. Α. ΠΑΠΑΖΗΣΗ Ε. Χ. ΤΕΛΕΙΩΝΗ Καθηγήτρια Ε.Μ.Π. Επιστημονικός Συνεργάτης Ε.Μ.Π. Περίληψη Στην εργασία αυτή, μελετάται η δυνατότητα χρησιμοποίησης γεωμετρικών υψομέτρων, που προκύπτουν από μετρήσεις με το δορυφορικό σύστημα γεωδαιτικού εντοπισμού GPS, αντί των ορθομετρικών υψομέτρων, για τοπογραφικές εργασίες μεγάλης κλίμακας προσεγγίζοντας κατάλληλα ένα τοπικό μοντέλο γεωειδούς στην περιοχή μελέτης. Για το σκοπό αυτό ιδρύθηκαν δίκτυα στην Πολυτεχνειούπολη Ζωγράφου, που μετρήθηκαν και με γεωμετρική χωροστάθμηση αλλά και με το σύστημα γεωδαιτικού εντοπισμού GPS, και διερευνήθηκε κατά πόσον οι διαφορές, που προκύπτουν στα υψόμετρα, ικανοποιούν τις απαιτήσεις ακρίβειας τοπογραφικού δικτύου 3 ης τάξης. Για την περιοχή αυτή (1.5 km 2 ) αλλά και για μεγαλύτερη (5 6 km 2 ) που εξετάσθηκε, θεωρήθηκε ότι το γεωειδές μεταβάλλεται ομαλά και προσεγγίζεται με ένα επίπεδο μιας μέσης κλίσης. Σε όλες τις περιπτώσεις που εξετάσθηκαν οι διαφορές που προέκυψαν στα υψόμετρα, χρησιμοποιώντας τα γεωμετρικά αντί των ορθομετρικών, κυμάνθηκαν μεταξύ 1 cm 4.5 cm. 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως είναι γνωστό, για τον προσδιορισμό υψομετρικών διαφορών με ακρίβεια της τάξης του ±1 mm ή λίγων mm ανά Κm χρησιμοποιείται η κλασσική μέθοδος της γεωμετρικής χωροστάθμησης [11]. Σε περιπτώσεις έντονου τοπογραφικού ανάγλυφου μπορεί να χρησιμοποιηθεί η Ειδική Τριγωνομετρική Υψομετρία (Ε.Τ.Υ.) [12], που μπορεί να δώσει καλύτερες ακρίβειες και από τη γεωμετρική χωροστάθμηση. Φυσικά, οι υψομετρικές διαφορές Δn, που προσδιορίζονται στις περιπτώσεις αυτές, δεν είναι ακριβώς ορθομετρικές διαφορές. Στην πραγματικότητα ισχύει : ΔΗ = Δn + OC, (1.1) όπου OC η ορθομετρική διόρθωση που πρέπει να προστεθεί στην υψομετρική διαφορά Δn που μετράται, για να δώσει την ορθομετρική υψομετρική διαφορά ΔΗ [4]. Για τοπογραφικές εργασίες, όμως, όπου η γνώση των υψομέτρων απαιτείται με ακρίβεια λίγων cm, και οι δύο μέ- Υποβλήθηκε: 19.6.2002 Έγινε δεκτή: 5.5.2003 θοδοι, που αναφέρθηκαν προηγουμένως, είναι χρονοβόρες και ως εκ τούτου αντιοικονομικές. Σήμερα, το δορυφορικό σύστημα εντοπισμού GPS προσδιορίζει γεωμετρικές υψομετρικές διαφορές Δh με ακρίβεια της τάξης των μερικών mm για αποστάσεις μέχρι αρκετές δεκάδες km, σε σχετικά σύντομο χρονικό διάστημα. Οι ορθομετρικές διάφορες ΔΗ προσδιορίζονται από τις αντίστοιχες γεωμετρικές Δh μέσω των διαφορών ΔΝ των υψομέτρων του γεωειδούς [4],[9] : ΔΗ = Δh - ΔΝ (1.2) Η σχέση (1.2) που συνδέει τις τρεις επιφάνειες αναφοράς, Φυσική Γήινη Επιφάνεια (Φ.Γ.Ε), ελλειψοειδές και γεωειδές είναι σημαντική, ενώ η γνώση του γεωειδούς είναι καταλυτική στη μετατροπή των γεωμετρικών υψομέτρων σε ορθομετρικά υψόμετρα, δηλαδή σε υψόμετρα με φυσικό νόημα. Φυσικά, η επίδραση της απόκλισης της κατακορύφου αγνοείται για τις ακρίβειες που απαιτούνται στις τρέχουσες τοπογραφικές εργασίες. Το γεωειδές προσδιορίζεται με τη βοήθεια αστρογεωδαιτικών παρατηρήσεων ή μετρήσεων της βαρύτητας ή δορυφορικών παρατηρήσεων ή τέλος από λύσεις που συνδυάζουν δύο ή περισσότερες από τις προηγούμενες παρατηρήσεις και συνήθως με ακρίβεια μικρότερη από την αντίστοιχη ακρίβεια προσδιορισμού των σχετικών υψομέτρων από GPS [4],[9]. Για να επιτευχθούν εξ ίσου ακριβείς τιμές στις διαφορές υψομέτρων του γεωειδούς ΔΝ, χρησιμοποιείται συνήθως γεωδυναμικό μοντέλο με αναπτύγματα υψηλού βαθμού [9], συνδυάζοντας τοπικά δεδομένα βαρύτητας και υψομετρίας. Φυσικά, η ακρίβεια επηρεάζεται κυρίως από την ποιότητα των δεδομένων, που θα χρησιμοποιηθούν στη λύση, καθώς και σε ποιο βαθμό ο συνδυασμός τους είναι επιτυχής. Πρακτικά, αυτό σημαίνει ότι με μια λύση συνδυασμού μπορεί, για μια περιοχή, να προκύψει καλύτερο μοντέλο τοπικού γεωειδούς από ότι για μία άλλη. Έτσι, για μικρές εκτάσεις μερικών δεκάδων Κm 2, για ομαλό ανάγλυφο του γεωειδούς, και όταν δεν απαιτείται με-

48 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ. 1-2 2003, Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No 1-2 γάλη ακρίβεια στα υψόμετρα (λίγα cm), θα μπορούσαν να χρησιμοποιηθούν τα γεωμετρικά υψόμετρα που προκύπτουν από μετρήσεις με το σύστημα, GPS, μελετώντας την κλίση του γεωειδούς τοπικά, θεωρώντας το γεωειδές είτε ως επίπεδο, είτε ως επιφάνεια 2 ου βαθμού [5], [7], [10]. Πρέπει να τονιστεί ότι σε περιπτώσεις τοπογραφικών εργασιών υψηλής ακρίβειας, ακόμη και σε περιορισμένης έκτασης εφαρμογές, ιδιαίτερα όταν παρατηρούνται έντονες μεταβολές των υψομέτρων του γεωειδούς σε μικρές αποστάσεις, επιβάλλεται ένας υψηλής ακριβείας και διακριτικής ικανότητας προσδιορισμός του γεωειδούς από ετερογενή δεδομένα, που αναφέρονται σε ένα γεωδυναμικό μοντέλο υψηλού βαθμού τάξης και ανάπτυξης π.χ. 360. [2], [3]. 2. ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΙ Δn αποτέλεσμα γεωμετρικής χωροστάθμησης ΔΗ ορθομετρική υψομετρική διαφορά OC ορθομετρική διόρθωση Η ορθομετρικό υψόμετρο h γεωμετρικό υψόμετρο Ν υψόμετρο ή αποχή του γεωειδούς Χ, Υ, Ζ καρτεσιανές συντεταγμένες φ, λ, h γεωδαιτικές συντεταγμένες x, y συντεταγμένες στην Εγκάρσια Μερκατορική Προβολή 3. ΔΙΚΤΥΑ ΜΕ ΚΟΡΥΦΕΣ ΓΝΩΣΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΟΡΘΟΜΕΤΡΙΚΟΥ ΥΨΟΜΕΤΡΟΥ υπάρχει δυνατότητα κέντρωσης του δέκτη πάνω σε αυτές. Για το λόγο αυτό υλοποιήθηκαν νέες κορυφές πολύ κοντά στα Rιpθres, σε αποστάσεις που δεν ξεπερνούσαν κατά μέσο όρο τα 15 μέτρα, με σκοπό να πραγματοποιηθούν σε αυτές μετρήσεις GPS και επιπλέον να προσδιορισθεί και το ορθομετρικό υψόμετρο τους από την αντίστοιχη χωροστάθμηση. Το δεύτερο δίκτυο (Δίκτυο GPS) αποτελείτο συνολικά από 11 κορυφές. Ως ενδέκατη κορυφή ορίστηκε το δυτικότερο βάθρο στο δώμα του κτηρίου Λαμπαδαρίου. Η μεταφορά των ορθομετρικών υψομέτρων από τις κορυφές του χωροσταθμικού δικτύου στις κορυφές του δικτύου GPS (σύνδεση των δύο δικτύων), πραγματοποιήθηκε με χωροσταθμήσεις μίας, ή το πολύ δύο στάσεων του χωροβάτη, ενώ οι μετρήσεις έγιναν και πάλι με τη μέθοδο της γεωμετρικής χωροστάθμησης σε μετάβαση και επιστροφή, με τη χρήση του ψηφιακού χωροβάτη WILD NA 2000 [11],[14]. Στο δίκτυο GPS (σχήμα 2) σχηματίστηκαν 29 βάσεις εκ των οποίων οι 10 συνδέονταν με την κορυφή 11, ενώ οι υπόλοιπες 19 επιλέχθηκαν έτσι, ώστε να σχηματίζουν κλειστά τρίγωνα, χωρίς να δίνεται ιδιαίτερο βάρος στη μορφή και το σχήμα τους. Οι βάσεις μετρήθηκαν εφαρμόζοντας τη μέθοδο του σχετικού στατικού εντοπισμού [13]. Για την εφαρμογή της μεθόδου χρησιμοποιήθηκαν δύο γεωδαιτικοί δέκτες μονής συχνότητας (L1), 4600 LS της TRIMBLE [8], [15], οι οποίοι παρατηρούσαν ταυτόχρονα για χρονικό διάστημα 1 ώρα - 1 1 2 ώρα. Η ακρίβεια που επιτυγχάνεται, σύμφωνα με τον κατασκευαστή με τη χρήση αυτού του δέκτη, για στατικό εντοπισμό, είναι οριζοντιογραφικά της τάξης των ± 5mm ± 1ppm για βάσεις 10 Κm και ± 5mm ± 2ppm για βάσεις 10 Κm, ενώ υψομετρικά της τάξης των ± 10mm ± 2 ppm και για κινηματικό εντοπισμό της τάξης των ± 2cm ±2 ppm [15]. 3.1. Γενικά Στην περιοχή της Πολυτεχνειούπολης Ζωγράφου (περιοχή έκτασης 1.5 x 1.0 Km 2 ) ιδρύθηκαν [8] δύο υψομετρικά δίκτυα. Το πρώτο δίκτυο αποτελείτο από τις 10 υψομετρικές αφετηρίες (Rιpθres), του υφιστάμενου χωροσταθμικού δικτύου της Πολυτεχνειούπολης Ζωγράφου (Σχήμα 1). Τα στοιχεία του δικτύου (18 χωροσταθμικές οδεύσεις συνολικού μήκους S = 9.8 Km) μετρήθηκαν με τη μέθοδο της γεωμετρικής χωροστάθμησης [11], σε μετάβαση και επιστροφή, με τη χρήση του ψηφιακού χωροβάτη WILD NA 2000. Για μια διπλή γεωμετρική χωροστάθμηση (aller - retour) ενός χιλιομέτρου, σύμφωνα με τις προδιαγραφές της εταιρείας, μπορεί να επιτευχθεί ακρίβεια στην υψομετρική διαφορά : ± 1.5 mm/ Km [14]. Από τον τρόπο με τον οποίο ήταν υλοποιημένες οι κορυφές του πρώτου δικτύου (ορειχάλκινα μπουλόνια πακτωμένα σε τοίχους) γίνεται φανερό ότι δεν ήταν δυνατό να πραγματοποιηθούν μετρήσεις με τη χρήση GPS, αφού δεν µ. µ µ Σχήμα 1: Χωροσταθμικό Δίκτυο Figure 1: The leveling network

Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ. 1-2 2003, Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No 1-2 49 µ 1. µ Figure 1. The leveling network Σχήμα 2: Δίκτυο GPS Figure 2: The GPS network 3.2. Συνόρθωση δικτύων και υπολογισμός υψομέτρων Τα τελικά υψόμετρα των κορυφών του χωροσταθμικού δικτύου προέκυψαν μετά από συνόρθωση, με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων (Μ.Ε.Τ.) των μετρημένων υψομετρικών διαφορών [1], εφαρμόζοντας τη μέθοδο των εμμέσων παρατηρήσεων : Για κάθε μετρημένη υψομετρική διαφορά σχηματίστηκε μία εξίσωση της μορφής H j -H i = ΔH ij + υ ij (3.1.1), ενώ ως σταθερή κορυφή γνωστού υψομέτρου επιλέχθηκε η χωροσταθμική αφετηρία του κτηρίου Λαμπαδαρίου (κορυφή 10) με Η 10 = 192.419m. Οι υπολογισμοί έγιναν μέσω προγράμματος, το οποίο συντάχθηκε σε γλώσσα Visual Basic [8]. Τα αποτελέσματα της συνόρθωσης του χωροσταθμικού δικτύου παρουσιάζονται στον πίνακα 1, στήλη 2. Οι τελικές θέσεις των κορυφών του δικτύου GPS δόθηκαν με μορφή γεωδαιτικών συντεταγμένων στο ΕΓΣΑ 87, ύστερα από συνόρθωση με την Μ.Ε.Τ. των μετρημένων βάσεων, εφαρμόζοντας τη μέθοδο των εμμέσων παρατηρήσεων. [1] Το Ε.Γ.Σ.Α 87 με το WGS 84 έχουν την ίδια κλίμακα και προσανατολισμό, έτσι, θεωρούνται παράλληλα με ακρίβεια 10-7. Για τους υπολογισμούς χρησιμοποιήθηκαν δύο προγράμματα. Το πρόγραμμα TRIMNET [6] του λογισμικού GPSURVEY που συνοδεύει το δέκτη και πρόγραμμα το οποίο συντάχθηκε σε γλώσσα Visual Basic [8]. Μέσω του TRIMNET, για κάθε βάση σχηματίστηκαν τρεις εξισώσεις παρατήρησης, μία για την απόσταση, μία για το αζιμούθιο και μία για την υψομετρική διαφορά μεταξύ των σημείων. Μέσω του δεύτερου προγράμματος, για κάθε βάση σχηματίστηκαν τρεις γραμμικές εξισώσεις της μορφής : Χj Xi = ΔΧ +υ ΔΧ Υj Υi = ΔΥ + υ ΔΥ (3.1.2) Ζj - Ζi = ΔΖ + υ ΔΖ όπου Χ, Υ, Ζ οι άγνωστες καρτεσιανές συντεταγμένες των κορυφών, (ΔΧ, ΔΥ, ΔΖ) το μετρημένο διάνυσμα της βάσης i-j και υ ij τα αντίστοιχα υπόλοιπα. Και στις δύο περιπτώσεις ως σταθερή κορυφή επιλέχθηκε η κορυφή 11 του δικτύου (Βάθρο στο δώμα του κτηρίου Λαμπαδαρίου). Οι διαφορές μεταξύ των αποτελεσμάτων των δύο προγραμμάτων ήταν αμελητέες για τις ακρίβειες που απαιτού- Πίνακας 1: Υψόμετρα κορυφών χωροσταθμικού δικτύου και δικτύου G.P.S.- Υψόμετρα γεωειδούς Table 1: Heights of the leveling and GPS network points Geoidal heights.. (m). (m) GPS. h (m) =h-h (m) = N 11 - N i (cm) (1) (2) (3) (4) (5) (6) 1 195.000 194.383 201.707 7.32-3.5 2 175.954 175.096 182.396 7.30-1.1 3 169.666 169.461 176.754 7.29-0.4 4 167.873 166.818 174.105 7.29 0.2 5 257.455 254.511 261.845 7.33-4.5 6 194.304 193.649 200.970 7.32-3.2 7 196.059 195.345 202.662 7.32-2.8 8 186.692 184.871 192.188 7.32-2.8 9 183.517 183.235 190.533 7.30-0.9 10 192.419 191.918 199.230 7.31-2.3 11 210.749 218.038 7.29 0.0

50 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ. 1-2 2003, Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No 1-2 νταν [8]. Τα τελικά γεωμετρικά υψόμετρα των κορυφών του δικτύου GPS δίνονται στον πίνακα 1, στήλη 4. Στη στήλη 3 του ίδιου πίνακα εμφανίζονται τα ορθομετρικά υψόμετρα των κορυφών του δικτύου GPS, όπως αυτά προέκυψαν μετά τις χωροσταθμήσεις μεταξύ των κορυφών του χωροσταθμικού δικτύου και του δικτύου GPS. Χρησιμοποιώντας το ορθομετρικό (Η) και το γεωμετρικό (h) υψόμετρο κάθε κορυφής, υπολογίστηκαν το υψόμετρο του γεωειδούς Ν σε κάθε σημείο, καθώς και οι διαφορές του (ΔΝ) για κάθε σημείο ως προς τη σταθερή κορυφή του δικτύου (Πίνακας 1, στήλες 5,6). Εάν για έναν αριθμό σημείων μιας περιοχής είναι γνωστά τόσο τα γεωμετρικά υψόμετρα (προσδιορισμένα από παρατηρήσεις με GPS ) όσο και τα ορθομετρικά υψόμετρα (προσδιορισμένα με χωροστάθμηση ακριβείας), τότε είναι δυνατό να συνταχθεί ένας τοπικός χάρτης του γεωειδούς για την περιοχή, προσαρμόζοντας στα σημεία αυτά μια επιφάνεια [5], [7], [10]. Έτσι, η διαδικασία αυτή μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον προσδιορισμό του υψομέτρου του γεωειδούς σε ενδιάμεσα σημεία, όπου τα ορθομετρικά υψόμετρα δεν είναι γνωστά και χρειάζεται να βρεθούν. Όταν η έκταση που ενδιαφέρει είναι μικρή και ζητούνται τα ορθομετρικά υψόμετρα μερικών σημείων της, συνηθίζεται με ικανοποιητική ακρίβεια να θεωρείται ότι το γεωειδές μεταβάλλεται ομαλά και προσεγγίζεται με ένα επίπεδο μίας μέσης κλίσης. Το πλεονέκτημα ενός τέτοιου επιπέδου, είναι ότι μπορεί εύκολα να υπολογιστεί, με την προϋπόθεση ότι υπάρχουν τρία σημεία με γνωστά ορθομετρικά και γεωμετρικά υψόμετρα. Η εξίσωση ενός τέτοιου επιπέδου θα δίνεται από την σχέση: N x y (3.1.3) όπου x, y οι συντεταγμένες των σημείων στην Εγκάρσια Μερκατορική Προβολή (Ε.Μ.Π.), όπως εφαρμόζεται στο ΕΓΣΑ 87 και α,β,γ οι άγνωστες παράμετροι του επιπέδου, που προσδιορίζονται από τρεις εξισώσεις της μορφής (3.1.3). Εάν είναι γνωστά περισσότερα σημεία, τότε προσδιορίζεται το βέλτιστο επίπεδο χρησιμοποιώντας τη ΜΕΤ. Στο δίκτυο GPS της περιοχής μελέτης, οι μεταβολές του Ν, (Πίνακας 1, στήλη 6), που δεν ξεπερνούσαν τα 4.5cm, δείχνουν ότι το γεωειδές μεταβάλλεται ομαλά και μπορεί να απεικονισθεί με μορφή επιπέδου. Για τον προσδιορισμό των παραμέτρων ενός τέτοιου επιπέδου, θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί η Μ.Ε.Τ., εφ όσον υπάρχουν περισσότερα σημεία γνωστού υψομέτρου. Τελικά, όμως, χρησιμοποιήθηκε ο ελάχιστα απαιτούμενος αριθμός σημείων, επειδή η περιοχή εφαρμογής είναι περιορισμένη σε έκταση (αποστάσεις κορυφών της τάξης του 1 Km) και δεν παρατηρούνται ιδιαίτερα έντονες μεταβολές στο ανάγλυφο, συνεπώς, ο προσδιορισμός μέσω της Μ.Ε.Τ. δε θα επέφερε ουσιαστική μεταβολή στα τελικά αποτελέσματα. Επιλέχθηκαν οι κορυφές 4,5,9 επειδή, όπως φαίνεται και από το Σχήμα 2, το τρίγωνο που σχηματίζουν περικλείει την περιοχή μελέτης. Από την επίλυση του συστήματος που σχηματίστηκε, προσδιορίσθηκε το επίπεδo με εξίσωση: N I = 2.3552 10 5x 1.9356 10 5y 77.3368 (3.1.4) Στη συνέχεια υπολογίστηκαν οι νέες τιμές του υψομέτρου του γεωειδούς (Ν I ) σε κάθε κορυφή, που έδωσαν και τα νέα ορθομετρικά υψόμετρα τους, (Πίνακας 2, στήλη 3). Πίνακας 2. Σύγκριση ορθομετρικών υψομέτρων των κορυφών του δικτύου G.P.S. Table 2. Comparison of orthometric heights of the GPS network H (m) - GPS H (m) (mm) 1 194.383 194.395-12 2 175.096 175.104-8 3 169.461 169.468-7 4 166.818 166.818 0 5 254.511 254.511 0 6 193.649 193.658-9 7 195.345 195.351-6 8 184.871 184.882-11 9 183.235 183.235 0 10 191.918 191.924-7 11 210.749 210.732 +17 Στη στήλη 4 του Πίνακα 2 φαίνονται οι διαφορές ανάμεσα στα ορθομετρικά υψόμετρα των κορυφών του δικτύου G.P.S., όπως αυτά προέκυψαν από τη γεωμετρική χωροστάθμηση (Πίνακας 2 στήλη 2), και στα νέα ορθομετρικά υψόμετρα που προσδιορίσθηκαν (Πίνακας 2 στήλη 3). Οι διαφορές αυτές κυμαίνονται μεταξύ 12 και +17 mm, γεγονός που δείχνει ότι το συγκεκριμένο επίπεδο προσεγγίζει το γεωειδές ικανοποιητικά στην περιοχή. 4. ΔΙΚΤΥΑ ΜΕ ΚΟΡΥΦΕΣ ΓΝΩΣΤΟΥ ΟΡΘΟΜΕΤΡΙΚΟΥ ΥΨΟΜΕΤΡΟΥ Στη συνέχεια εφαρμόσθηκε η παραπάνω διαδικασία για αποστάσεις μεταξύ τριών σημείων της τάξης των 2 3 km και με υψομετρικές διαφορές της τάξης των 200m. Αρχικά, πραγματοποιήθηκαν μετρήσεις με GPS από το

Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ. 1-2 2003, Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No 1-2 51 βάθρο που βρίσκεται στο δώμα του κτηρίου Λαμπαδαρίου (κορυφή 11 του δικτύου GPS ), προς τα τριγωνομετρικά σημεία Κύρου Πήρα, Λιθάρι και Ελενίτσα με γνωστές συντεταγμένες και γνωστά ορθομετρικά υψόμετρα, προκειμένου να προσδιορισθεί, σύμφωνα με τη διαδικασία που περιγράφεται στη συνέχεια, το ορθομετρικό υψόμετρο του βάθρου, το οποίο θεωρήθηκε άγνωστο.[8] Κάνοντας την παραδοχή ότι στο τριγωνομετρικό σημείο Κύρου Πήρα, το ορθομετρικό υψόμετρο του ταυτίζεται με το γεωμετρικό και από την επίλυση της βάσης 11 - Κύρου Πήρα υπολογίσθηκαν οι συντεταγμένες του σημείου 11. Στη συνέχεια από την επίλυση των βάσεων 11-Λιθάρι και 11- Ελενίτσα υπολογίσθηκαν τα γεωμετρικά υψόμετρα, καθώς και τα υψόμετρα του γεωειδούς των σημείων Λιθάρι και Ελενίτσα (Πίνακας 3). Πίνακας 3.Υψόμετρα τριγωνομετρικών σημείων Table 3. The network pillars heights H (m) h (m) N (cm) 436.685 436.685 0 363.842 363.772-7.0 301.174 301.014-16.0 Χρησιμοποιώντας τα υψόμετρα του γεωειδούς στα τρία τριγωνομετρικά σημεία και ακολουθώντας την προηγούμενη διαδικασία, προκύπτει: = 1.0739 10 5x 3.0565 10 5y 123.2527 (4.1) οπότε για το σημείο 11 Ν ΙΙ = -4.65 cm, τιμή που προσεγγίζει την αρχική μέγιστη μεταβολή του γεωειδούς στη περιοχή του πρώτου υψομετρικού δικτύου (Πίνακας 1, στήλη 6). Από τις γεωμετρικές υψομετρικές διαφορές μεταξύ των σημείων ΚΠ - 11, Λιθ - 11 και Ελ 11, καθώς και τις μεταβολές του Ν μεταξύ των ίδιων σημείων υπολογίστηκαν οι ορθομετρικές τους υψομετρικές διαφορές (Πίνακας 4, στήλη 4). Πίνακας 4: Υψομετρικές διαφορές μεταξύ της κορυφής 11 και των τριών τριγωνομετρικών σημείων. Table 4: Height differences between point 11 and the pillars h (m) (m) (m) - 11-225.973-0.047-225.927-11 -153.061 0.023-153.084-11 -90.303 0.113-90.416 Στη συνέχεια ο μέσος όρος των ορθομετρικών υψομέτρων του σημείου 11 βρέθηκε: H 11 = 210.758m Χρησιμοποιώντας την εξίσωση (4.1) και για τις άλλες κορυφές του δικτύου G.P.S. της Πολυτεχνειούπολης υπολογίσθηκε το Ν II, που αντιστοιχεί σε κάθε μία από αυτές, καθώς και το ΔΝ II ως προς την κορυφή 11 (Πίνακας 5, στήλη 2). Τέλος, γνωρίζοντας και τις γεωμετρικές υψομετρικές δι- Πίνακας 5: Ορθομετρικά υψόμετρα κορυφών δικτύου G.P.S. από προσδιορισμό του γεωειδούς Ν II Table 5: Comparison between the (a) GPS network orthometric heights determined via the geoidal plane (Ν II ) and (b) the orthometric heights determined by leveling N i-11 (cm) h i-11 (m) i-11 (m) H (m) II H (m) (cm) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 1-0.56 16.331 16.337 194.421 194.383-3.8 2 1.10 35.642 35.631 175.127 175.096-3.1 3 1.61 41.284 41.268 169.490 169.461-2.9 4 1.78 43.933 43.915 166.843 166.818-2.5 5-2.06-43.807-43.786 254.544 254.511-3.3 6 0.25 17.068 17.065 193.693 193.649-4.4 7-0.13 15.376 15.377 195.381 195.345-3.6 8 0.27 25.850 25.847 184.911 184.871-4.0 9 2.03 27.505 27.485 183.273 183.235-3.8 10-0.03 18.808 18.808 191.950 191.918-3.2 11 0.00 0.000 0.000 210.758 210.749-0.9

52 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ. 1-2 2003, Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No 1-2 αφορές μεταξύ των κορυφών του δικτύου και της κορυφής 11 (Πίνακας 5, στήλη 3), προσδιορίσθηκαν οι νέες ορθομετρικές υψομετρικές διαφορές ως προς την κορυφή 11, καθώς και τα νέα ορθομετρικά υψόμετρα των κορυφών του δικτύου (Πίνακας 5, στήλες 4,5). Στη στήλη 7 του Πίνακα 5 φαίνονται οι διαφορές ανάμεσα στα νέα αυτά ορθομετρικά υψόμετρα και στα ορθομετρικά υψόμετρα, όπως αυτά προέκυψαν από τη γεωμετρική χωροστάθμηση (Πίνακας 5 στήλη 6). 5. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Από την ανάλυση των δικτύων που πραγματοποιήθηκε στην εργασία αυτή, προκύπτουν τα ακόλουθα συμπεράσματα: Εάν σε μία περιοχή είναι γνωστά τα γεωμετρικά και ορθομετρικά υψόμετρα τριών σημείων, τα οποία βρίσκονται σε αποστάσεις, που δεν ξεπερνούν το 1Km, τότε είναι δυνατόν [5], [7], [8], [10] να προσδιορισθεί το ορθομετρικό υψόμετρο οποιουδήποτε ενδιάμεσου σημείου με μετρήσεις μόνο G.P.S., θεωρώντας ότι το γεωειδές στην περιοχή που περικλείεται από τα τρία αυτά σημεία μεταβάλλεται ομαλά και επομένως μπορεί να προσεγγισθεί με ένα επίπεδο. Πράγματι, στην περίπτωση που εξετάστηκε, όπου οι υψομετρικές διαφορές μεταξύ των σημείων δεν ξεπερνούσαν τα 50m, αποδείχθηκε ότι μία τέτοια προσέγγιση του γεωειδούς είναι εφικτή με ικανοποιητική ακρίβεια. Στην περίπτωση που είναι γνωστά μόνο τα ορθομετρικά υψόμετρα των σημείων, τότε, για να ακολουθηθεί η παραπάνω διαδικασία, γίνεται επιπλέον η παραδοχή ότι για ένα από αυτά το ορθομετρικό του υψόμετρο ταυτίζεται με το γεωμετρικό, δηλαδή Ν=0. Όσον αφορά τις διαφορές που προκύπτουν στα υψόμετρα που υπολογίσθηκαν με την παραπάνω διαδικασία (χρήση G.P.S.) και σε εκείνα που προσδιορίσθηκαν από γεωμετρική χωροστάθμηση, αυτές είναι της τάξης του ±1cm για αποστάσεις μεταξύ των κορυφών όχι μεγαλύτερες από 1Km (Πίνακας 2, στήλη 4). Αντίθετα, όταν τα σημεία βρίσκονται σε απόσταση 2-3 Km, τότε οι διαφορές μπορεί να φτάσουν τα λίγα εκατοστά ( Πίνακας 5, στήλη 7). Εάν τα υψόμετρα των σημείων είχαν προσδιορισθεί με τη μέθοδο της τριγωνομετρικής υψομετρίας, η ακρίβειά τους θα έφτανε τις μερικές δεκάδες εκατοστά, γιατί, όπως είναι γνωστό, η ποιότητα των μετρήσεων, που πραγματοποιούνται με τριγωνομετρική υψομετρία, επηρεάζεται έντονα από το φαινόμενο της διάθλασης στην ατμόσφαιρα [11]. Για τη βελτίωση της ακρίβειας της μεθόδου απαιτείται ο προσδιορισμός του συντελεστή γεωδαιτικής διάθλασης στην περιοχή με διαδικασίες, οι οποίες απαιτούν αρκετό χρόνο και επιπλέον παρατηρήσεις [12]. Οι μετρήσεις με G.P.S. μπορούν να γίνουν κάτω σχεδόν από οποιεσδήποτε συνθήκες, ενώ το μόνο σημείο στο οποίο πρέπει να δοθεί προσοχή είναι η κέντρωση του δέκτη και η σωστή μέτρηση του ύψους του. Αντίθετα, η γεωμετρική χωροστάθμηση απαιτεί [11] προσεκτικό έλεγχο του χωροβάτη και των συνθηκών που αυτός πρέπει να πληροί, καθώς και ιδιαίτερη προσοχή κατά την διάρκεια των μετρήσεων. Σχετικά με το χρόνο, ο οποίος απαιτείται, προκειμένου να γίνουν μετρήσεις με τη χρήση G.P.S., είναι χαρακτηριστικό ότι για να πραγματοποιηθεί μία γεωμετρική χωροστάθμηση μήκους 1 Km σε μετάβαση και επιστροφή απαιτείται κατά μέσο όρο περίπου μία ώρα, ενώ στο ίδιο χρονικό διάστημα είναι δυνατόν, εάν διατίθενται 3 δέκτες G.P.S., να μετρηθούν 3 βάσεις (κεκλιμένα μήκη), ανεξαρτήτως μήκους. Απ όσα αναπτύχθηκαν παραπάνω, διαπιστώνεται ότι η διαδικασία προσδιορισμού ορθομετρικών υψομέτρων με τη χρήση G.P.S. είναι ιδιαίτερα απλή, πρακτική και πολύ χρήσιμη σε τρέχουσες τοπογραφικές εργασίες, όπου οι απαιτήσεις σε ακρίβεια είναι της τάξης των μερικών εκατοστών, όπως π.χ.: Η σύνδεση υψομετρικά μίας περιοχής με απομακρυσμένα σημεία γνωστού υψομέτρου και Σε διατομές και κατά μήκος τομές σε κάθε είδους τεχνικά έργα, φωτοσταθερά και χαράξεις όχι μεγάλης ακριβείας. Βέβαια, πρέπει να τονιστεί, ότι η διαδικασία αυτή, σε καμία περίπτωση, δεν μπορεί να αντικαταστήσει τη γεωμετρική χωροστάθμηση σε εργασίες, όπου απαιτείται ο προσδιορισμός υψομέτρων με ιδιαίτερα μεγάλη ακρίβεια. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 1. Αγατζά - Μπαλοδήμου Α.Μ., Θεωρία Σφαλμάτων και Συνορθώσεις Ι, Ε.Μ.Π. - Σ.Α.Τ.Μ., Αθήνα 2000. 2. Ανδριτσάνος Β.Δ.., Κατσάμπαλος Κ.Ε., Κεχαϊδου Κ.Ε., Τζιαβός Η.Ν. Βελτιστοποίηση τοπικού γεωειδούς με δεδομένα βαρύτητας, Τοπογραφίας, Πυκνότητας και GPS, Τεχνικά Χρονικά, Επιστ. Εκδ. ΤΕΕ, 1, τευχ. 1 2, Αθήνα 1999. 3. Ανδριτσάνος Β.Δ.., Καγιαδάκης Β., Κωστάκης Γ., Μυλωνά Κοτρογιάννη Ε., Πικριδάς Χ., Ρωσσικόπουλος Δ., Τζιαβός Η.Ν., Φωτίου Α. Προσδιορισμός Τοπικού Μοντέλου Γεωειδούς συνδυάζοντας Μετρήσεις GPS, Βαρύτητας και Υψομετρίας. Εφαρμογή στην Ευρύτερη Περιοχή της Θεσσαλονίκης, Τεχνικά Χρονικά, Επιστ. Εκδ. ΤΕΕ, 1, τευχ. 3, Αθήνα 1999. 4. Βέης Γ., Μπιλλήρης Χ., Παπαζήση Κ., Ανώτερη Γεωδαισία, Ε.Μ.Π. - Σ.Α.Τ.Μ., Αθήνα 1992. 5. Collier P.A. and Croft M.J., Heights from G.P.S. in an engineering environment, Survey Review, Jan. 1997, vol. 34, No 263 p.p 11 6. GPSurvey Software, TRIMNET Plus, User s Manual 7. Featherstone W.E., Dentith M.C. and Kirby J.F., Strategies for the accurate determination of orthometric heights from GPS, Survey Review, Jan. 1998, vol. 34, No 267 p.p 278 8. Καλογρίδης Γ., Ντζούφρα Β., Προσδιορισμός υψομέτρων με επίγειες και δορυφορικές μεθόδους, Διπλωματική Εργασία, Ε.Μ.Π., Τμήμα Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών, Αθήνα, Ιούλιος 1998. 9. Κατσάμπαλος Η.Ε. και Τζιαβός Η.Ν., Φυσική Γεωδαισία, Εκδόσεις Ζήτη, Θεσσαλονίκη 1991 10. King R.W., Masters E.G., Rizos C., Stolz A. and Collins J., Surveying with Global Positioning System G.P.S., Dummler Bonn, 1985. 11. Μπαλοδήμος Δ.-Δ., Υψομετρία, Ε.Μ.Π. Σ.Α.Τ.Μ., Αθήνα 1991. 12. Μπαλοδήμος Δ.-Δ., Ανάπτυξη μεθόδου Ειδικής Τριγωνομετρικής υψομετρίας για εργασίες υψηλής ακρίβειας, Αθήνα Τεχνικά Χρονικά, Επιστ. Εκδ. ΤΕΕ, Ιουλ. Αυγ. Σεπτ.. 1979. 13. Παραδείσης Δ., The Global Positioning System, Αθήνα, Ιανουάριος 1992.

Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ. 1-2 2003, Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No 1-2 53 14. Σταθάς Δ., Ψηφιακοί χωροβάτες Ο χωροβάτης WILD NA 2000, Ειδικές Γεωδαιτικές Αποτυπώσεις - Συμπληρωματικές σημει ώσεις Υψομετρίας, Ε.Μ.Π. Σ.Α.Τ.Μ., Αθήνα, Οκτώβριος 1993. 15. Trimble, 4600LS Surveyor, Surveying and mapping products. Κ. Α. Παπαζήση Καθηγήτρια, Εργαστήριο Ανώτερης Γεωδαισίας, Τομέας Τοπογραφίας, Σχολή Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών, Ε.Μ.Π. Ε. Χ. Τελειώνη Επιστημονικός Συνεργάτης, Εργαστήριο Γενικής Γεωδαισίας, Τομέας Τοπογραφίας, Σχολή Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών, Ε.Μ.Π. Γ. Α. Καλογρίδης Διπλ. Αγρονόμος Τοπογράφος Μηχανικός, Ε.Μ.Π. Β. Χ. Ντζούφρα Διπλ. Αγρονόμος Τοπογράφος Μηχανικός, Ε.Μ.Π.

54 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ. 1-2 2003, Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No 1-2 Extended summary The Use of GPS Geometric Heights in Surveying An Extended Summary G. A. KALOGRIDIS V. CH. NTZOUFRA Rural and Surveying Engineer N.T.U.A. Rural and Surveying Engineer N.T.U.A. K. A. PAPAZISSI E. CH. TELIONI Professor N.T.U.A. Scientific Collaborator N.T.U.A. Abstract The determination of orthometric heights (H) via GPS observations is rather difficult, since geoidal heights must be known, in order to convert geometric heights (determined by GPS observations) to orthometric ones. On the other hand, the determination of the geoid is obtained through a combination of methods and time consuming calculations; it is, therefore, a rather expensive methodology for surveys of ordinary accuracy. In this paper an attempt was made to approximate the surface of the geoid by a plane for an area of a few Km 2. This plane was determined from three points, with known orthometric and geometric heights, lying in the area under consideration. In this case the orthometric heights resulting from the geometric GPS ones would be quite acceptable. It is well known that geometric leveling is used for the determination of height differences when the desired accuracy is of ±1mm or even better, while in the case of steep slopes, the use of the specialized method of trigonometric leveling can reach the same accuracy. In ordinary surveys, however, where the determination of heights is needed with an accuracy of a few cm, the above mentioned methods are time consuming and therefore rather expensive. On the other hand, geometric height differences h between points on the earth s surface may be determined in less time, and with an accuracy of some mm, using GPS observations. In order to convert the geometric height differences to orthometric ones ( h), the corresponding geoidal height differences H h N must be known, since. The geoidal heights are nowadays determined through astrogeodetic observations, gravity measurements and satellite methods, or through a combination of these methods. Unfortunately, the accuracy obtained is lower than that obtained for the geometric heights. Submitted: Jun. 19. 2002 Accepted: May. 5. 2003 However, in ordinary surveys, extending over an area of a few tenths of km 2 and for height differences not above 300m, where the heights are determined with an accuracy of some cm, one could use the relative geometric height determination via GPS observations and convert them afterwards to orthometric ones. In such cases, the surface of the geoid in the area can be approximated either by a plane or by a best fitting second order surface. Thus, two height networks have been established in the N.T.U. Campus in order to study the use of GPS heights in surveying. The first network was a leveling one, consisting of 10 benchmarks (Figure 1). The orthometric heights of the benchmarks were determined by leveling using the digital level NA2000 WILD together with bar coded staves. A GPS network, consisting of 11 points (Figure 2) was established near the leveling network, in such a way that the distances between the corresponding points of the two networks did not exceed 15m. The relative geometric heights of the network s points were determined by GPS observations using two, single frequency, receivers 4600LS Trimble. The two networks were connected via geometric leveling between their points; thus the orthometric heights of the GPS points were also determined. The 11 th point of the GPS network was the pillar of the N.T.U. triangulation network, which is erected on the Lambadarios building of the Department of Rural and Surveying Engineering. The heights of both networks are depicted in Table 1. The geoidal height for each point of the GPS network was determined from the difference between the respective geometric and orthometric height. The geoidal height differences between point 11, which was kept fixed for the solution, and the remaining GPS network points were also determined (Table 1, Columns 5 & 6). Since the geoidal height differences did not exceed 4.5cm, it can be assumed

Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ. 1-2 2003, Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No 1-2 55 that the surface of the geoid in the area is smooth. It was therefore decided to approximate it with a plane given by equation 3.1.3, where x, y are the plane coordinates of the points and a, b, c the three unknown coefficients which must be determined. The minimum number of points required for the determination of the unknown coefficients are three; if more points are available the coefficients will be determined by a least squares solution. In this case study, points 4, 5, 9 were used for the determination of the unknown coefficients. Finally, the plane approximating the geoidal surface in the area was given by equation (3.1.4). New values of the geoidal heights for GPS network points were calculated using the above equation. New values for the corresponding orthometric heights for the same points were also determined (Table 2) by applying the well-known formula: H h N. These values were compared with the ones obtained by geometric leveling (Table 1). Since their differences range from 1.2 cm up to +1.7 cm, it can be concluded that the plane determined above fits well the geoidal surface in the area. It was also decided to study whether the determination of orthometric heights from geometric ones is possible when the orthometric heights of three given points are known and the geoid is again approximated by a plane. For this purpose GPS observations were carried out for a network consisting of three pillars from the Greek Triangulation network, in the vicinity of the N.T.U. Campus, and the fixed point 11 of the GPS network, whose orthometric height was assumed unknown. The height differences between the four points are of the order of 200m and their distances up to 5 km. The heights of the geoid were calculated from the given orthometric heights and the determined geometric ones under the assumption that the orthometric height of one pillar coincided with its geometric one, i.e. at this point the geoidal height is considered as zero (Table 3). A new plane approximating the geoid s surface in the area was determined as described above, using equation (4.1), and new values for the geoidal heights of these four points were calculated. The orthometric height differences between point 11 and the three pillars of the Greek Triangulation network were determined using the corresponding geometric differences and the geoidal ones. (Table 4.) Thus, three values for the orthometric height of point 11 were calculated. Finally, the mean of the three values was chosen, as the orthometric height of point 11. Next, new values for the geoidal heights of the points of the GPS network were determined from equation (4.1). Using these values, the geoidal height differences between point 11 and the remaining points of the GPS network were calculated. Finally, new orthometric heights for the points of the network were determined using the geometric height differences, the corresponding geoidal height differences and the orthometric height of point 11 determined as above. The values of these orthometric heights were compared with the ones obtained via geometric leveling and the results are depicted in Table 5. Some remarks regarding the procedure used previously are: If there exist in the area under consideration three points with both their orthometric and geometric heights known, and the surface of the geoid in the area is smooth, the orthometric height of any point in the area may be determined using GPS observations and approximating the geoid s surface with a plane. This procedure gives good results even if the three points are as far apart as 3 km and the slopes are steep. In the case that only the orthometric heights of the points used for the determination of the geoid s plane are known, the assumption that the plane passes through one of them (i.e. N = 0 for that point) should be made in order to determine the plane s equation. If the distances between the points do not exceed 1 km, the differences between orthometric heights determined as described above and orthometric heights determined by the classic method of geometric leveling are of the order of 1 cm, while for longer distances between the points these differences may be as large as 3 cm. Using the GPS measurements, as described previously, orthometric heights are computed in an easy and practical way. Thus, the procedure might be quite useful in ordinary surveys where the demands for accuracy are of the order of a few centimeters. K. A. Papazissi Professor, Laboratory of Higher Geodesy, Dept. of Topography, School of Rural & Surveying Eng., N.T.U.A. E. Ch. Telioni Scientific Collaborator, Laboratory of General Geodesy, Dept. of Topography, School of Rural & Surveying Eng., N.T.U.A. G. A. Kalogridis Rural and Surveying Engineer N.T.U.A. V. Ch. Ntjoufra Rural and Surveying Engineer N.T.U.A.