Μοντελοποίηση δικτύου μέσω εξισώσεων παρατήρησης

Transcript

1 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος Μοντελοποίηση δικτύου μέσω εξισώσεων παρατήρησης Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ

2 Εξισώσεις παρατηρήσεων δικτύου (γενική μη-γραμμική μορφή) f(, q) v v q διάνυσμα παρατηρήσεων δικτύου διάνυσμα (τυχαίων) σφαλμάτων των παρατηρήσεων διάνυσμα συντεταγμένων για τα σημεία του δικτύου διάνυσμα πρόσθετων ( αδιάφορων ) παραμέτρων

3 Εξισώσεις παρατηρήσεων δικτύου (γενική μη-γραμμική μορφή) f(, q) v O τύπος του δικτύου καθορίζει: - το είδος των παρατηρήσεων που χρησιμοποιούνται - το είδος του ΣΑ που θα χρησιμοποιηθεί για την παραμετροποίηση των παρατηρήσεων - την αναλυτική δομή του μαθηματικού μοντέλου

4 Βασικοί τύποι δικτύων 1Δ (υψομετρικά ή κατακόρυφα δίκτυα) περιορισμένης εμβέλειας (< 5-10 km) εκτεταμένης εμβέλειας (> 10 km) Δ (οριζόντια δίκτυα) σε τοπικό-οριζόντιο ή προβολικό επίπεδο σε κάποιο ελλειψοειδές εκ περιστροφής (ΕΕΠ) 3Δ (τριδιάστατα δίκτυα) δίκτυα δορυφορικής γεωδαισίας δίκτυα μικρής εμβέλειας (για ειδικές εφαρμογές)

5 Επιπλέον τύποι δικτύων Στατικά δίκτυα 1Δ, Δ, 3Δ Δυναμικά δίκτυα 1Δ, Δ, 3Δ

6 Στατικά δίκτυα Χρονική εποχή t 1 Χρονική εποχή t Α Β Α Β C C (*) οι θέσεις των κορυφών του δικτύου παραμένουν χρονικά αμετάβλητες.

7 Δυναμικά δίκτυα Χρονική εποχή t 1 Χρονική εποχή t Α Β Α Β C C (*) οι θέσεις των κορυφών του δικτύου μεταβάλλονται ως προς το χρόνο.

8 Βασικοί τύποι συντεταγμένων Στατικά δίκτυα Δυναμικά δίκτυα 1Δ H H(t ), v H Δ 3Δ, X, Y, Z (t ), (t ) v, v X(t ), Y(t ), Z(t ) v X, v Y, v Z

9 Βασικοί τύποι συντεταγμένων Στατικά δίκτυα 1Δ H ή C (= W W) Δ (, ) ή (φ, λ) ή (Ε, Ν) 3Δ (X, Y, Z) ή (φ, λ, h) ψευτο-3δ, φ, λ και Η Ε, Ν (*) από ξεχωριστές διαδικασίες

10 Παρατηρούμενα μεγέθη 1Δ (κατακόρυφα δίκτυα) υψομετρικές διαφορές διαφορές βαρυτικού δυναμικού Δ (οριζόντια δίκτυα) οριζόντιες γωνίες/διευθύνσεις, (αζιμούθια) οριζόντιες αποστάσεις ανηγμένες μετρήσεις GPS 3Δ (τριδιάστατα δίκτυα) οριζόντιες γωνίες/διευθύνσεις, (αζιμούθια) ζενίθειες γωνίες, υψομετρικές διαφορές χωρικές αποστάσεις συνιστώσες βάσεων GPS

11 Παρατηρούμενα μεγέθη (*) Για την επεξεργασία δυναμικών δικτύων μπορούν να χρησιμοποιηθούν: σετ μετρήσεων πεδίου που έχουν γίνει σε διαφορετικές χρονικές εποχές σετ λύσεων (συντεταγμένες) του δικτύου που έχουν υπολογιστεί σε διαφορετικές χρονικές εποχές

12 Σε αυτό το μάθημα Θα ασχοληθούμε με παρατηρούμενα μεγέθη και τις παραμετροποιημένες εκφράσεις τους σε συστήματα αναφοράς που χρησιμοποιούνται στα συνήθη τοπογραφικά δίκτυα ελέγχου. Εντούτοις, οι τεχνικές & αλγόριθμοι συνόρθωσης που θα μελετήσουμε καθώς και η διαδικασία ανάλυσης των αποτελεσμάτων που θα παρουσιάσουμε, μπορούν να αξιοποιηθούν στις περισσότερες περιπτώσεις δικτύων που εμφανίζονται σε γεωδαιτικές εφαρμογές.

13 Παρατηρούμενα μεγέθη σε συνήθη τοπογραφικά δίκτυα

14 Εξισώσεις μαθηματικού μοντέλου Αζιμούθιο πλευράς δικτύου arctan j a arctan j Οριζόντια διεύθυνση πλευράς δικτύου j j k Οριζόντια γωνία μεταξύ δύο πλευρών δικτύου arctan k arctan j k j

15 Τα βασικά οριζόντια γωνιακά μεγέθη παράλληλη διεύθυνση στον άξονα του ΣΑ ( βορράς ) αυθαίρετη μηδενική διεύθυνση αναφοράς οργάνου j α j δ j ω k \\ Αζιμούθιο Οριζόντια διεύθυνση Οριζόντια γωνία

16 Εξισώσεις μαθηματικού μοντέλου Μήκος οριζόντιας πλευράς δικτύου j j d ( ) ( ) Συνιστώσες οριζόντιας βάσης δικτύου (από αναγωγή 3Δ βάσεων GPS σε τοπικό οριζόντιο ή προβολικό επίπεδο) j j Υψομετρική διαφορά πλευράς δικτύου H H H j

17 Εξισώσεις μαθηματικού μοντέλου Μήκος χωρικής πλευράς δικτύου j j j S ( ) ( ) ( z z ) Συνιστώσες βάσης δικτύου GPS (ως προς γεωκεντρικό ΣΑ) j j z z z j Ζενίθεια γωνία πλευράς δικτύου (ως προς τοποκεντρικό ΣΑ) arctan z z j j ( ) ( ) j

18 Αζιμούθιο πλευράς a arctan j j Δεσμεύει τον προσανατολισμό του δικτύου ως προς το ΣΑ! j // P j Δεν περιλαμβάνεται συνήθως στις κλασικές τοπογραφικές παρατηρήσεις. a P j

19 Οριζόντια διεύθυνση πλευράς arctan j j Δεν καθορίζει τον προσανατολισμό του δικτύου ως προς το ΣΑ! j // Μηδενική διεύθυνση θεοδολίχου P j Ύπαρξη άγνωστης σταθεράς προσανατολισμού (θ ). P θ a j

20 Σταθερά προσανατολισμού Είναι η γωνία προσανατολισμού της μηδενικής διεύθυνσης του οργάνου και συμμετέχει ως πρόσθετη άγνωστη παράμετρος στη συνόρθωση του δικτύου. θ k : θετική γωνία θ k : αρνητική γωνία

21 Σταθερά προσανατολισμού Ο αριθμός των αγνώστων σταθερών προσανατολισμού είναι ίσος με τον αριθμό των σειρών μετρήσεων οριζοντίων διευθύνσεων που έγιναν από τα διάφορα σημεία στάσης του δικτύου.

22 Οριζόντια γωνία μεταξύ δύο πλευρών k arctan k arctan j k j Προσοχή στο διαχωρισμό μεταξύ αριστερού και δεξιού σημείου σκόπευσης. // a P j ω k a k P k P

23 Ένα κρίσιμο ερώτημα Παρατηρήσεις πεδίου Συνόρθωση δικτύου Εκτιμήσεις συντεταγμένων στις κορυφές του δικτύου Απαιτείται ένα ΣΑ Περιέχεται πληροφορία σχετικά με το ΣΑ στα παρατηρούμενα μεγέθη του δικτύου ;

24 Παράμετροι καθορισμού ΣΑ Τα θεμελιώδη χαρακτηριστικά ενός ΣΑ είναι: Αρχή των αξόνων Προσανατολισμός των αξόνων Κλίμακα των αξόνων (αντιστοιχεί στην μετρητική κλίμακα μηκών στο χώρο) Ανάλογα με τον τύπο δικτύου: 1Δ απαιτούνται παράμετροι για τον ορισμό του ΣΑ Δ απαιτούνται 4 παράμετροι για τον ορισμό του ΣΑ 3Δ απαιτούνται 7 παράμετροι για τον ορισμό του ΣΑ

25 Ανατομία παρατηρήσεων δικτύου Τύπος παρατήρησης Δ ΔΙΚΤΥΑ Αζιμούθιο Οριζ. διεύθυνση Οριζ. γωνία Οριζ. απόσταση 1Δ ΔΙΚΤΥΑ Υψομετρ. διαφορές 3Δ ΔΙΚΤΥΑ Ζενίθειες γωνίες Χωρικές αποστάσεις Συνιστώσες βάσης GPS Περιέχεται πληροφορία σχετικά με κάποιο/α από τα θεμελιώδη χαρακτηριστικά του ΣΑ; Ναι (προσανατολισμός) Όχι Όχι Ναι (κλίμακα) Ναι (κλίμακα) Ναι (προσανατολισμός ως προς τον κατακόρυφο άξονα) Ναι (κλίμακα) Ναι (κλίμακα + προσανατολισμός)

26 Παραμετρικοί βαθμοί δικτύου Τριγωνομετρικό οριζόντιο δίκτυο: Ν 4 Τριπλευρικό ή μικτό οριζόντιο δίκτυο: Ν 3 Τριπλευρικό 3Δ δίκτυο: 3Ν 6 3Δ δίκτυο GPS: 3Ν 3 Υψομετρικό δίκτυο: Ν 1 (*) Ν είναι ο συνολικός αριθμός των κορυφών του δικτύου

27 Γραμμικοποίηση

28 Να θυμάστε ότι Η συνόρθωση μέσω ΜΕΤ σε μη-γραμμικά συστήματα εξισώσεων παρατηρήσεων απαιτεί τις εξής ενέργειες: Επιλογή αρχικών προσεγγιστικών τιμών για τις άγνωστες παραμέτρους του προβλήματος. Γραμμικοποίηση (κατά Talr) των μη-γραμμικών εξισώσεων παρατηρήσεων του προβλήματος. Υπολογισμός ανηγμένων παρατηρήσεων και πίνακα σχεδιασμού με βάση τις επιλεγμένες προσεγγιστικές τιμές. Εκτέλεση συνόρθωσης στο γραμμικοποιημένο σύστημα και υπολογισμός εκτιμήσεων παραμέτρων. Αντικατάσταση προσεγγιστικών τιμών με τις τρέχουσες εκτιμήσεις των παραμέτρων & επανάληψη συνόρθωσης μέχρι να επιτευχθεί ικανοποιητική αριθμητική σύγκλιση.

29 Γραμμικοποίηση μαθηματικού μοντέλου f(, q) v Προσεγγιστικές τιμές συντεταγμένων και πρόσθετων παραμέτρων:, q Προσεγγιστικές τιμές παρατηρήσεων: f(, q ) Γραμμικοποιημένες εξισώσεις παρατηρήσεων: f f q qq v

30 Γραμμικοποίηση μαθηματικού μοντέλου f f Ανηγμένες παρατηρήσεις ή πιο συνοπτικά q qq Πίνακας σχεδιασμού δικτύου δ b A A v δ q (*) προσοχή στις μονάδες των επιμέρους όρων πρέπει να υπάρχει συμβατότητα! v Διάνυσμα άγνωστων διορθώσεων Διάνυσμα άγνωστων σφαλμάτων

31 Εύρεση προσεγγιστικών τιμών Ο υπολογισμός προσεγγιστικών συντεταγμένων για τις κορυφές του δικτύου βασίζεται στη συνδυασμένη χρήση () γνωστών συντεταγμένων σε σταθμούς αναφοράς του δικτύου και () διαθέσιμων παρατηρήσεων του δικτύου. Ο υπολογισμός προσεγγιστικών τιμών q για τις πρόσθετες παραμέτρους βασίζεται στην εμπειρική επίλυση εξισώσεων του μαθηματικού μοντέλου με χρήση των προσεγγιστικών συντεταγμένων και των διαθέσιμων παρατηρήσεων. f q (, ) q g (, )

32 Παράδειγμα: οριζόντιες διευθύνσεις Προσεγγιστικές τιμές αζιμουθίου a arctan j j (με διερεύνηση τεταρτημορίου, ο θεμελιώδες) a... a... k m μηδενική διεύθυνση (θ ) // δ δ k j k Προσεγγιστική τιμή σταθεράς προσαν/μού δ m m a (με βάση κάποια από τις διαθέσιμες παρατηρήσεις, π.χ. δ ) Προσεγγιστικές τιμές οριζοντίων διευθύνσεων a ( ) k a k a m m

33 Ειδικές περιπτώσεις Αν το μαθηματικό μοντέλο του δικτύου είναι εξαρχής γραμμικό, π.χ. κατακόρυφο δίκτυο, τότε η επιλογή των προσεγγιστικών συντ/νων δεν έχει καμία σημασία! Οι παρακάτω μορφές των εξισώσεων παρατήρησης είναι απόλυτα ισοδύναμες: H H H v j H H H H H H H H v ( ) ( ) ( ) j j j H H H j H

34 Ειδικές περιπτώσεις Αν το μαθηματικό μοντέλο του δικτύου είναι εξαρχής γραμμικό, π.χ. κατακόρυφο δίκτυο, τότε η επιλογή των προσεγγιστικών συντ/νων δεν έχει καμία σημασία! Οι παρακάτω μορφές των εξισώσεων παρατήρησης είναι απόλυτα ισοδύναμες: H H 1 1 H H j H H 1 1 H H H j j H H v v

35 παρατηρήσεις δικτύου Γενική μορφή πίνακα σχεδιασμού συντεταγμένες σημείων δικτύου () πρόσθετες παράμετροι (q) p q q N N 1 k q q n n n n n n 1 1 N N 1 k p q συνολικό διάνυσμα άγνωστων παραμέτρων

36 Αναλυτικές μορφές μερικών παραγώγων

37 Μερικές παράγωγοι αζιμουθίου a arctan j j a j ( ) ( ) j j a j a a j ( ) ( ) j j a j a

38 Μερικές παράγωγοι οριζ. διεύθυνσης arctan j j j ( ) ( ) j j j ( ) ( ) j j j j 1

39 Εναλλακτικές σχέσεις μερικών παραγώγων οριζ. διεύθυνσης cs a ( ) ( ) S j j j (*) απαιτούν πιο χρονοβόρα υπολογιστική διαδικασία (αποφύγετε τη χρήση τους για γρήγορους υπολογισμούς) sn a ( ) ( ) S j j j

40 Μερικές παράγωγοι οριζ. απόστασης j j S ( ) ( ) S j ( ) ( ) j j S j S S j ( ) ( ) j j S j S

41 Εναλλακτικές σχέσεις μερικών παραγώγων οριζ. απόστασης S j ( ) ( ) j j S j ( ) ( ) sn j j (*) απαιτούν πιο χρονοβόρα υπολογιστική διαδικασία (αποφύγετε τη χρήση τους για γρήγορους υπολογισμούς) cs a a

42 Μερικές παράγωγοι συνιστωσών βάσης j j z z z j j j κ.ο.κ. z z j z 0 0 0

43 Για τις αναλυτικές μορφές των μερικών παραγώγων σχετικά με άλλα παρατηρούμενα μεγέθη σε τοπογραφικά δίκτυα, βλέπε στα αντίστοιχα κεφάλαια του βιβλίου Δ. Ρωσσικόπουλου.

44 Παραδείγματα αποσπασμάτων πινάκων σχεδιασμού

45 Πίνακας σχεδιασμού οριζόντιου δικτύου με παρατηρήσεις οριζόντιων διευθύνσεων και αποστάσεων

46

47 S j Αναφέρεται στην παρατήρηση S 1, ( 0 ) 0 ( 0 ) j j

48 S j ( ) ( ) j j Αναφέρεται στην παρατήρηση S 1,

49 j ( ) ( ) rad/m cc/cm j j (πολλαπλασιασμός με 0000/) Αναφέρεται στην παρατήρηση δ 1,

50 j ( 0 0 ) ( ) 0 (πολλαπλασιασμός με /) j j Αναφέρεται στην παρατήρηση δ 3,5 rad/m cc/cm

51 δ 1, δ,

52 δ 1, δ, Π.χ , ( 0 0 ) ( 0 ) ( ) ( ) , 1 3 = = ( ) ( ) ( 0 0 ) ( 0 0 ) ,1 1 5,

53 Πίνακας σχεδιασμού κατακόρυφου δικτύου με παρατηρήσεις υψομετρικών διαφορών

54 H 1 H H 3 H 4 H 5 H 6 H 7 H 8 H H

55 ΔΗ 1,5 ΔΗ 8,4 H 1 H H 3 H 4 H 5 H 6 H 7 H 8 H H

56 ΔΗ 1,6 ΔΗ 6,1 H 1 H H 3 H 4 H 5 H 6 H 7 H 8 H H