AΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ 5 ο εξάμηνο

Transcript

1 AΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ 5 ο εξάμηνο Άσκηση 10 Σε ένα κατακόρυφο δίκτυο έχουν μετρηθεί, μέσω διπλής γεωμετρικής χωροστάθμησης, οι υψομετρικές διαφορές μεταξύ όλων των σημείων του. Οι τιμές των παρατηρήσεων και τα μήκη των χωροσταθμικών οδεύσεων δίνονται στο παρακάτω σχήμα. Όλες οι μετρήσεις του δικτύου είναι ασυσχέτιστες μεταξύ τους και απαλλαγμένες από συστηματικά και χονδροειδή σφάλματα. Οι μετρήσεις πραγματοποιήθηκαν με ψηφιακό χωροβάτη άγνωστης κατασκευαστικής ακρίβειας σ o (σε mm ανά km διπλής χωροσταθμικής όδευσης). Tα προσεγγιστικά υψόμετρα των σημείων 1, και 3 του δικτύου είναι: m, m και m, αντίστοιχα. ΔH 1 = m L 1 = 6.89 km ΔH 3 = m L 3 = 4.4 km ΔH 13 = m L 13 = 7.13 km Αν το παραπάνω δίκτυο πρόκειται να συνορθωθεί με εσωτερικές δεσμεύσεις, ζητούνται: α) Ο προσδιορισμός του συστήματος των εξισώσεων παρατήρησης b=ax+v του δικτύου (να δοθούν σε αριθμητική μορφή το διάνυσμα b, ο πίνακας σχεδιασμoύ A καθώς και η περιγραφική μορφή των διανυσμάτων x και v). β) Ο προσδιορισμός του πίνακα βάρους P που θα χρησιμοποιηθεί στην συνόρθωση του δικτύου. γ) Ο προσδιορισμός του συστήματος των κανονικών εξισώσεων Νx = u για την συνόρθωση του δικτύου (να δοθούν σε αριθμητική μορφή ο συμμετρικός πίνακας Ν και το διάνυσμα u). δ) Η εκτίμηση της μετρητικής ακρίβειας του χρησιμοποιούμενου χωροβάτη. 1

2 Άσκηση 11 Σε ένα οριζόντιο δίκτυο 1 κορυφών έχουν γίνει 30 μετρήσεις οριζόντιων γωνιών και 6 μετρήσεις οριζόντιων αποστάσεων. Από την συνόρθωση του δικτύου με ελάχιστες δεσμεύσεις προέκυψαν τα παρακάτω αποτελέσματα για τα συνορθωμένα σφάλματα των πλευρομετρήσεων: α/α Συνορθωμένα σφάλματα πλευρομετρήσεων Τυπικές αποκλίσεις συνορθωμένων σφαλμάτων πλευρομετρήσεων (*) οι παραπάνω τιμές δίνονται σε cm (α) Να ελεγχθεί, με επίπεδο σημαντικότητας α = 0.01, αν οι παραπάνω πλευρομετρήσεις του δικτύου είναι επηρεασμένες από χονδροειδή σφάλματα. (β) Σε περίπτωση που διαπιστωθεί ότι κάποια από τις προηγούμενες παρατηρήσεις είναι επηρεασμένη από χονδροειδή σφάλματα, περιγράψτε με συντομία τις ενέργειες που θα κάνετε για την επανασυνόρθωση του δικτύου και τον υπολογισμό τελικών αξιόπιστων αποτελεσμάτων. Άσκηση 1 Σε ένα χωροσταθμικό δίκτυο 5 σημείων μετρήθηκαν οι υψομετρικές διαφορές ΔΗ ij σύμφωνα με τον παρακάτω πίνακα. Όλες οι μετρήσεις είναι ασυσχέτιστες μεταξύ τους και πραγματοποιήθηκαν με χωροβάτη ακρίβειας o 3 mm km. Όλες οι χωροσταθμικές οδεύσεις στο συγκεκριμένο δίκτυο έχουν μήκος ίσο με L=1 km. Τα προσεγγιστικά υψόμετρα των σημείων του δικτύου δίνονται επίσης στον παρακάτω πίνακα. Τα σημεία 1 και 5 αντιστοιχούν σε γνωστές χωροσταθμικές αφετηρίες και οι προσεγγιστικές τιμές των υψομέτρων τους ταυτίζονται με τις επίσημες τιμές των υψομέτρων τους. Σημείο i Σημείο j Τιμή παρατήρησης (ΔΗ ij = Η j - Η i, σε m) Σημείο i Προσεγγιστικό υψόμετρο (Η i, σε m)

3 Να δημιουργήσετε το σύστημα των κανονικών εξισώσεων, (Ν+H T WH) δx = u+h T Wc, που πρέπει να χρησιμοποιηθεί για την συνόρθωση του παραπάνω δικτύου στις εξής περιπτώσεις: (i) χρήση μερικών εσωτερικών δεσμεύσεων στα σημεία 1 και 5, (ii) χρήση δέσμευσης σταθερού υψομέτρου για το σημείο 1, (iii) χρήση ψευδο-παρατηρήσεων για τα υψόμετρα των σημείων 1 και 5, οι ακρίβειες των οποίων είναι σ Η 1 = σ Η5 = 5 cm. Σε όλες τις παραπάνω περιπτώσεις να αναφέρετε τους βαθμούς ελευθερίας της αντίστοιχης συνόρθωσης. Άσκηση 13 Από την συνόρθωση ενός τοπογραφικού δικτύου με ελάχιστες δεσμεύσεις έχει προκύψει η a-posteriori εκτίμηση της μεταβλητότητας αναφοράς ίση με σˆ o Τόσο ο ολικός έλεγχος όσο και η σάρωση δεδομένων που εφαρμόστηκαν στην παραπάνω συνόρθωση ήταν επιτυχείς και δεν διέγνωσαν κάποιο πρόβλημα στα τελικά αποτελέσματα. Στη συνέχεια εκτελέστηκε η συνόρθωση του ίδιου δικτύου με τη συμμετοχή τριών επιπλέον δεσμεύσεων για τα μήκη συγκεκριμένων πλευρών του δικτύου. Η a-posteriori εκτίμηση της μεταβλητότητας αναφοράς από τη δεύτερη συνόρθωση του δικτύου βρέθηκε ίση με σˆ o.45. Δίνεται επίσης ότι οι βαθμοί ελευθερίας κατά την πρώτη συνόρθωση του δικτύου είναι f = 8. Με βάση τα παραπάνω να ελεγχθεί, για επίπεδο σημαντικότητας α = 0.05, η στατιστική ισχύς των τριών πλεοναζουσών γεωμετρικών δεσμεύσεων στο συγκεκριμένο δίκτυο. Άσκηση 14 Σε ένα κατακόρυφο δίκτυο επτά κορυφών έχουν πραγματοποιηθεί δώδεκα μετρήσεις υψομετρικών διαφορών μέσω ανεξάρτητων οδεύσεων γεωμετρικής χωροστάθμησης με σταθερό μήκος L=1.5 km. Η κατασκευαστική ακρίβεια του χωροβάτη που χρησιμοποιήθηκε στις μετρήσεις δεν είναι εξαρχής γνωστή. Από την συνόρθωση του δικτύου με ελάχιστες δεσμεύσεις έχουν προκύψει οι εξής τιμές (σε mm) για τα συνορθωμένα σφάλματα των παρατηρήσεων: v = [ ] T Θεωρώντας ότι όλες οι παρατηρήσεις είναι απαλλαγμένες από συστηματικά και χονδροειδή σφάλματα, να ελεγχθεί, για επίπεδο σημαντικότητας α=0.05, αν οι μετρήσεις στο συγκεκριμένο δίκτυο έχουν πραγματοποιηθεί από χωροβάτη με κατασκευαστική ακρίβεια καλύτερη από 3 mm ανά km. 3

4 Άσκηση 15 Για τη μελέτη της κατακόρυφης εδαφικής παραμόρφωσης κατά μήκος του άξονα διέλευσης του Μετρό Θεσσαλονίκης πρόκειται να ιδρυθεί δίκτυο γεωμετρικής χωροστάθμησης όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Οι αποστάσεις των χωροσταθμικών οδεύσεων στο δίκτυο δίνονται στο σχετικό πίνακα. Αν ο χωροβάτης που θα χρησιμοποιηθεί για τις παρατηρήσεις έχει ακρίβεια σ ο = 1 mm/km 1/, να υπολογιστεί η ακρίβεια προσδιορισμού της μεταβολής των υπολογισμένων υψομέτρων στα σημεία Α και Β που θα προκύψει από την συνόρθωση του δικτύου σε δύο διαφορετικές χρονικές εποχές t 1 και t. Σημειώνεται ότι ο ορισμός του συστήματος αναφοράς του δικτύου γίνεται με τον ίδιο τρόπο και στις δύο εποχές (διατηρώντας σταθερά τα υψόμετρα των σημείων R και R') και ότι οι μετρήσεις στις διαφορετικές εποχές είναι ασυσχέτιστες μεταξύ τους. Σημείωση: Ως μεταβολή του υπολογισμένου υψομέτρου στο σημείο Α εννοούμε τη διαφορά: ΔΗ Α = Η Α (από την συνόρθωση στην εποχή t ) - Η Α (από την συνόρθωση στην εποχή t 1 ) Ομοίως ισχύει και για το σημείο Β. Μετρηθείσα υψομετρική διαφορά Μήκος χωροσταθμικής όδευσης L (σε km) ΔΗRA 3.71 ΔΗRB 4.13 ΔΗRR' 5.68 ΔΗAB 5.17 ΔΗAR' 4.48 ΔΗBR' 3.89 R Α Β R' Άσκηση 16 Από τη συνόρθωση ενός οριζόντιου τοπογραφικού δικτύου προέκυψαν τα εξής αποτελέσματα για τις τελικές συντεταγμένες σε δύο από τις κορυφές του: ΚΟΡΥΦΗ Α xˆ yˆ A A [ m] , C Â [ cm ] ΚΟΡΥΦΗ Β xˆ yˆ B B [ m] , C Bˆ [ ] cm 4

5 Να υπολογίσετε τη σχετική γραμμική ακρίβεια (σε ppm) της συνορθωμένης απόστασης sˆ xˆ yˆ μεταξύ των κορυφών Α και Β. Να θεωρήσετε ότι οι συντεταγμένες του Α είναι ασυσχέτιστες με τις συντεταγμένες του Β. Άσκηση 17 Δίνεται ένα κατακόρυφο δίκτυο πέντε κορυφών στο οποίο έχουν εκτελεστεί συνολικά οκτώ παρατηρήσεις υψομετρικών διαφορών μέσω γεωμετρικής χωροστάθμησης με χωροβάτη ακρίβειας mm/ km. Δύο από τις πέντε κορυφές του δικτύου είναι χωροσταθμικές αφετηρίες με γνωστό υψόμετρο. Για την ένταξη του δικτύου στο σύστημα αναφοράς των χωροσταθμικών αφετηριών έχουν εκτελεστεί δύο συνορθώσεις: (α) με δέσμευση σταθερού υψομέτρου για τη μία χωροσταθμική αφετηρία, και (β) με δεσμεύσεις σταθερών υψομέτρων και για τις δύο χωροσταθμικές αφετηρίες. Τα συνορθωμένα σφάλματα των παρατηρήσεων που προέκυψαν από τις δύο συνορθώσεις δίνονται στον παρακάτω πίνακα. Παρατηρήσεις υψομετρικών διαφορών (α/α) Μήκος χωροσταθμ. όδευσης (σε km) Συνορθωμένα σφάλματα 1 ης συνόρθωσης (σε mm) Συνορθωμένα σφάλματα ης συνόρθωσης (σε mm) Απαντήστε στα παρακάτω ερωτήματα: (α) Να αποφανθείτε, με συντελεστή εμπιστοσύνης 1-α=0.95, αν η δεύτερη συνόρθωση προκαλεί συστηματική γεωμετρική παραμόρφωση στο κατακόρυφο δίκτυο. Δίνεται το εκατοστιαίο σημείο της κατανομής Fisher F ,4 = (β) Τι είδους δεσμεύσεις μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τον ορισμό του συστήματος αναφοράς στο συγκεκριμένο δίκτυο, λαμβάνοντας υπόψη τα γνωστά υψόμετρα και των δύο χωροσταθμικών αφετηριών, χωρίς να υπάρχει κίνδυνος γεωμετρικής παραμόρφωσης του συνορθωμένου δικτύου. (γ) Χρησιμοποιώντας τη γενική έκφραση ενός συστήματος δεσμεύσεων H(x-x o )=c, να δώσετε την αναλυτική μορφή του πίνακα Η και του σταθερού διανύσματος c για την επιλογή των δεσμεύσεων του προηγούμενου ερωτήματος. 5

6 Άσκηση 18 Από ένα άγνωστο σημείο P μετρήθηκαν οι οριζόντιες αποστάσεις (s 1, s, s 3 ) προς τρία γνωστά σημεία και η οριζόντια γωνία ω (βλέπε σχήμα). Στον παρακάτω πίνακα δίνονται αναλυτικά οι τιμές των παρατηρήσεων, οι συντεταγμένες των γνωστών σημείων και οι προσεγγιστικές συντεταγμένες του σημείου P. Οι μετρήσεις των οριζοντίων αποστάσεων έχουν ακρίβεια σ s = 1 cm και η μέτρηση της οριζόντιας γωνίας έχει γίνει με ακρίβεια σ ω = 3 cc. Όλες οι παρατηρήσεις θεωρούνται ασυσχέτιστες μεταξύ τους. P 1 s 1 P s P s 3 P 3 Παρατηρήσεις Συντεταγμένες (m) (grad/m) σημείο x y = P s 1 = P s = P s 3 = P Ζητούνται: (1) Ο υπολογισμός των συνορθωμένων συντεταγμένων του σημείου P καθώς και ο προσδιορισμός των τυπικών τους αποκλίσεων. () Η a-posteriori εκτίμηση της μεταβλητότητας αναφοράς. (3) Κατά μήκος ποιάς από τις τρεις διευθύνσεις (P-P 1, P-P, P-P 3 ) είναι μεγαλύτερη η αβεβαιότητα στην εκτίμηση της θέσης του σημείου P; 6