ΛΥΣΕΙΣ AΣΚΗΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ 5 ο εξάμηνο

Transcript

1 ΛΥΣΕΙΣ ΣΚΗΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ 5 ο εξάμηνο Άσκηση (α) Οι συνορθωμένες συντεταγμένες του σημείου P είναι: ˆ m, ˆ 4.46 m (β) Η a-psteriri εκτίμηση της μεταβλητότητας αναφοράς είναι: ˆ.53 (γ) Οι τυπικές αποκλίσεις των συνορθωμένων συντεταγμένων του σημείου P είναι: ˆ 6.55 cm, ˆ 6.64 cm (αν δεν εφαρμόσουμε το re-scaling του πίνακα ˆ 8.3 cm, ˆ 8.4 cm (αν εφαρμόσουμε το re-scaling του πίνακα (δ) ˆ με την a-psteriri εκτίμηση ˆ με την a-psteriri εκτίμηση (ε) Με την προσθήκη της επιπλέον πλευρομέτρησης προς το τέταρτο σταθερό σημείο, οι συντεταγμένες του σημείου P θα είναι προσδιορίσιμες με την ακόλουθη ακρίβεια: ˆ 6.5 cm, ˆ 5.68 cm Άσκηση (α) Η διεύθυνση ελάχιστης αβεβαιότητας για τη θέση του σημείου P έχει αζιμούθιο: a 37.9 grad (β) Η ακρίβεια της θέσης του σημείου P κατά μήκος της παραπάνω διεύθυνσης είναι: min. cm

2 (γ) Η ακρίβεια των μετασχηματισμένων συντεταγμένων του σημείου P είναι: ˆ.66 cm, ˆ.8 cm Άσκηση 3 (α) Οι σχετικές ακρίβειες των συνορθωμένων μηκών για τις 4 πλευρές δίνονται στον πaρακάτω πίνακα: Πλευρά δικτύου (ij) s ˆij (m) ( sˆ ij ) (cm) Σχετική ακρίβεια ppm ppm E-F ppm G-H ppm Συνεπώς, τα αποτελέσματα της συνόρθωσης δεν καλύπτουν επιτυχώς τις προδιαγραφές που αναφέρονται στην εκφώνηση της άσκησης. (β) Άσκηση 4 (α) Η αβεβαιότητα της σχετικής θέσης του σημείου Β ως προς το Α μπορεί να περιγραφεί από τις παρακάτω τυπικές αποκλίσεις: ˆ 4.33 cm, ˆ 4.95 cm, ˆ, ˆ 6. cm 4.8 cm, a 37.5 cc (β)

3 Άσκηση 5 (α) Ο πίνακας συμμ-μεταβλητοτήτων των παρατηρήσεων θα είναι διαγώνιος και θα έχει τη γενική μορφή: LR, P LR, P σ L R, P σ LR3, P LP, P Q Εφόσον η αρχική ακρίβεια του χωροβάτη θεωρείται γνωστή, ο πίνακας βάρους των παρατηρήσεων θα επιλεγεί ως: P Q / LR, P / LR, P / LR, P / LR3, P / LP, P όπου, για τον αριθμητικό υπολογισμό του, τα μήκη L εισάγονται σε km, και σ ο = mm/km /. (β) Εφόσον η συνόρθωση του δικτύου θα πραγματοποιηθεί διατηρώντας απόλυτα σταθερά τα αρχικά υψόμετρα των τριών χωροσταθμικών αφετηριών, η αλγοριθμική υλοποίησή της μπορεί εύκολα να γίνει μέσω της μεθοδολογίας 4 ου εξαμήνου, σύμφωνα με την οποία τα υψόμετρα των σταθερών σημείων δεν θα συμπεριλαμβάνονται εξαρχής στις άγνωστες παραμέτρους. Έτσι λοιπόν ο πίνακας σχεδιασμού για την υλοποίηση της συνόρθωσης θα έχει την ακόλουθη μορφή: 3

4 Το συνολικό σύστημα των εξισώσεων παρατηρήσεων που θα πρέπει να χρησιμοποιηθεί για τη συνόρθωση του δικτύου σε αυτή την περίπτωση θα είναι: ΔHR, P ( HP H ) R ΔHR, P ( HP HR) HP H P ΔHR, P ( HP HR) HP HP ΔHR3, P ( HP HR3) ΔHP, P ( HP HP) δ vh vh v H vh v H R, P R, P R, P R3, P P, P b v (γ) Τα συνορθωμένα υψόμετρα των σημείων P και P είναι: Hˆ P.97 m, Hˆ P.7 m (δ) Η ακρίβεια των συνορθωμένων υψόμετρων των σημείων P και P είναι: ˆ.9 mm, H P ˆ.5 mm H P (αν δεν εφαρμόσουμε το re-scaling του πίνακα ˆ. mm, H P ˆ.9 mm H P (αν εφαρμόσουμε το re-scaling του πίνακα ˆ με την a-psteriri εκτίμηση ˆ με την a-psteriri εκτίμηση 4

5 5 Άσκηση 6 (α) Ο πίνακας σχεδιασμού Α θα έχει διαστάσεις 68 και η αναλυτική του μορφή είναι: Χρησιμοποιώντας τις τιμές των προσεγγιστικών συντεταγμένων που δίνονται στον πίνακα της εκφώνησης, μπορεί εύκολα να προκύψει η αριθμητική μορφή του πίνακα σχεδιασμού Α. Επιλέγοντας ως ελάχιστες δεσμεύσεις για τη συνόρθωση του δικτύου τη διατήρηση των εξής τριών συντεταγμένων: Α = m = σταθ. Α = 5.89 m = σταθ. = m = σταθ. ο πίνακας των ελαχίστων δεσμεύσεων Η θα έχει τη μορφή (διαστάσεις 38) H και το διάνυσμα των ανηγμένων ψευδο-παρατηρήσεων c θα είναι (διαστάσεις 3) ( ) m c

6 Σημείωση: Αν αντί των παραπάνω ελαχίστων δεσμεύσεων είχαν επιλεγεί εναλλακτικά οι εξής διαφορετικές δεσμεύσεις: Α = 7. m = σταθ. Α =. m = σταθ. = 54. m = σταθ. τότε ο πίνακας Η θα έχει την ίδια μορφή με αυτή που δόθηκε προηγουμένως, ενώ το διάνυσμα των ανηγμένων ψευδο-παρατηρήσεων θα έπρεπε να πάρει την εξής μορφή: c ( m) (β) Η αδυναμία βαθμού του δικτύου είναι 3 αφού χρειάζονται τρεις τουλάχιστον κατάλληλες δεσμεύσεις για να ορίσουν τη θέση και τον προσανατολισμό του οριζόντιου δικτύου ως προς κάποιο σύστημα αναφοράς (η κλίμακα του ΣΑ δεν χρειάζεται να οριστεί μέσω εξωτερικών δεσμεύσεων αφού καθορίζεται από τις μετρήσεις των αποστάσεων). Οι βαθμοί ελευθερίας της συνόρθωσης με ελάχιστες δεσμεύσεις είναι f = n-m+k =, αφού n: ο αριθμός των παρατηρήσεων είναι 6, m: ο συνολικός αριθμός των παραμέτρων στο πρόβλημα συνόρθωσης είναι 8 (έχουμε 4 οριζόντιες συντεταγμένες συνολικά), k: ο αριθμός των χρησιμοποιούμενων δεσμεύσεων είναι 3 (αφού χρησιμοποιούνται ελάχιστες δεσμεύσεις και η αδυναμία βαθμού του δικτύου είναι 3). Άσκηση 7 Με βάση τα δεδομένα που δίνονται στην εκφώνηση της άσκησης, μπορεί να προσδιορισθεί ο πίνακας συμ-μεταβλητοτήτων ˆ που αντιστοιχεί στη συνόρθωση του συγκεκριμένου υψομετρικού δικτύου διατηρώντας σταθερά τα υψόμετρα των 4 γνωστών σημείων (βλέπε μεθοδολογία 4 ου εξαμήνου ). Ο πίνακας αυτός θα δίνεται από την γενική σχέση ˆ ( T ) N P και θα αποτελείται μόνο από ένα στοιχείο (αφού θα υπάρχει τελικά μόνο ένα άγνωστο σημείο στη συνόρθωση του υψομετρικού δικτύου) το οποίο θα αντιστοιχεί στη μεταβλητότητα του συνορθωμένου υψομέτρου του σημείου Σ. Ο πίνακας σχεδιασμού που αντιστοιχεί στη συνόρθωση του υψομετρικού δικτύου είναι: 6

7 και ο πίνακας βάρους των παρατηρήσεων: P L I 4 όπου 4 mm / km είναι η γνωστή ακρίβεια του χωροβάτη και L km είναι το κοινό μήκος των 4 χωροσταθμικών οδεύσεων. Έτσι λοιπόν ο πίνακας των κανονικών εξισώσεων είναι: T 4 N P.5 L και τελικά θα έχουμε: ˆ mm ˆ H N mm Με βάση το παραπάνω αποτέλεσμα συμπεραίνεται ότι ο υψομετρικός υπολογισμός του σημείου Σ δεν μπορεί να ικανοποιήσει τις προδιαγραφές που αναφέρονται στην εκφώνηση της άσκησης. Άσκηση 8 Βλέπε συζήτηση στην τάξη Άσκηση 9 (α) Οι συνορθωμένες συντεταγμένες του σημείου P είναι: ˆ 5.36 m, ˆ 4.88 m (β) Τα στοιχεία της απόλυτης έλλειψης σφάλματος του σημείου P είναι: a.3 cm, b.4 cm, ψ grad (αν δεν εφαρμόσουμε το re-scaling του πίνακα ˆ με την a-psteriri εκτίμηση 7

8 a.56 cm, b.8 cm, ψ grad (αν εφαρμόσουμε το re-scaling του πίνακα ˆ με την a-psteriri εκτίμηση (γ) Προκειμένου να απαντήσουμε στο τρίτο ερώτημα θα πρέπει να επαναλάβουμε τη συνόρθωση με τις ίδιες παρατηρήσεις, διατηρώντας σταθερές όχι μόνο τις συντεταγμένες (, ) των τριών σημείων P, P και P 3, αλλά και την προσεγγιστική συντεταγμένη του σημείου P. Η σταθερή τιμή της συντεταγμένης για το σημείο P θα ληφθεί ίση με 4.9 m, η οποία αντιστοιχεί στην υπόθεση που θέλουμε να ελέγξουμε. Ο έλεγχος της υπόθεσης Ηο: =4.9 m για το σημείο P πρέπει να γίνει μέσω του στατιστικού ελέγχου της γενικής υπόθεσης, ο οποίος εφαρμόζεται με βάση την ακόλουθη σχέση: F F a όπου k, f ˆ H ( f k ) ˆ F f ˆ k F a k, f είναι το εκατοστιαίο σημείο της κατανομής Fisher για επίπεδο σημαντικότητας α =., και k= είναι ο αριθμός των ελεγχόμενων δεσμεύσεων. Από την πρώτη συνόρθωση που έγινε στο δίκτυο (διατηρώντας σταθερά τα σημεία P, P, P 3, βλέπε ερωτήματα (α) και (β)) έχουμε: f, ˆ.59 Από τη δεύτερη συνόρθωση που πρέπει να γίνει στο ίδιο δίκτυο (διατηρώντας σταθερά τα σημεία P, P, P 3 καθώς και τη συντεταγμένη του P) θα έχουμε: ˆH.8 Με βάση τα παραπάνω αποτελέσματα, η υπόθεση Ηο: =4.9 m γίνεται αποδεκτή για επίπεδο σημαντικότητας a. (δηλ. με συντελεστή εμπιστοσύνης 99%), αφού θα ισχύει ότι., F F 45. Εναλλακτική λύση του (γ) ερωτήματος Ο έλεγχος της υπόθεσης Ηο: =4.9 m για το σημείο P μπορεί επίσης να γίνει χωρίς να εκτελέσουμε την δεύτερη συνόρθωση (στην οποία συμμετέχει και η ελεγχόμενη δέσμευση), βασιζόμενοι μόνο στα αποτελέσματα που υπολογίσθηκαν από την πρώτη συνόρθωση. Στην περίπτωση αυτή θα πρέπει να χρησιμοποιηθεί η παρακάτω ισοδύναμη σχέση για την εκτέλεση του στατιστικού ελέγχου της γενικής υπόθεσης: F F a όπου k, f ˆT e ˆ ˆ F e e k 8

9 όπου το διάνυσμα ê περιέχει τα σφάλματα κλεισίματος των ελεγχόμενων δεσμεύσεων σε σχέση με τα αποτελέσματα της πρώτης συνόρθωσης, και ê είναι ο αντίστοιχος πίνακας συμ-μεταβλητοτήτων τους. Αναφορικά με το τρίτο ερώτημα της συγκεκριμένης άσκησης, θα έχουμε αναλυτικά: e ˆ P ˆ P ( m).8 ( cm) και P ˆ ˆ.85 ( cm ) e Η τιμή ˆP προκύπτει από τον πίνακα συμ-μεταβλητοτήτων ˆ που υπολογίστηκε στο πλαίσιο του δεύτερου ερωτήματος της άσκησης (μετά από re-scaling με την a-psteriri εκτίμηση της μεταβλητότητας αναφοράς ˆ.59 ). Χρησιμοποιώντας τις παραπάνω τιμές, η στατιστική ποσότητα F για την εκτέλεση του στατιστικού ελέγχου της γενικής υπόθεσης θα είναι ίση με.75, και συνεπώς η υπόθεση Ηο: =4.9 m γίνεται αποδεκτή για επίπεδο σημαντικότητας a. (δηλ. με συντελεστή εμπιστοσύνης 99%), αφού θα ισχύει ότι., F F 45. Άσκηση (α) Οι επιμέρους πίνακες του συστήματος εξισώσεων παρατήρησης του δικτύου είναι: b H, H, 39 H,3 H,3 3 ( mm) H,3 H,3, H H δ H H, H3 H 3 v v v v H, H,3 H,3 (β) Εφόσον η αρχική ακρίβεια του χωροβάτη είναι άγνωστη, ο πίνακας βάρους που θα χρησιμοποιηθεί στη συνόρθωση του δικτύου είναι: 9

10 P / L, / L,3 / L,3 όπου, για τον αριθμητικό υπολογισμό του, τα μήκη L εισάγονται σε km. (γ) Το σύστημα κανονικών εξισώσεων του δικτύου είναι: H H Nδ u H H H3 H (δ) Η εκτίμηση της μετρητικής ακρίβειας του χωροβάτη δίνεται μέσω της a-psteriri εκτίμησης της μεταβλητότητας αναφοράς: vˆ T Pvˆ ˆ.657 f Άρα η ακρίβεια του χωροβάτη είναι περίπου.6 mm/km /. Άσκηση (α) Για την απάντηση στο συγκεκριμένο ερώτημα θα πρέπει να εφαρμοσθεί η διαδικασία της σάρωσης δεδομένων για κάθε μία από τις 6 πλευρομετρήσεις, χρησιμοποιώντας τα αριθμητικά δεδομένα του πίνακα. Για την εφαρμογή της σάρωσης δεδομένων απαιτείται ο προσδιορισμός των βαθμών ελευθερίας από τη συνόρθωση του δικτύου (f=5) καθώς και ο υπολογισμός της στατιστικής ποσότητας ελέγχου από τον σχετικό πίνακα εκατοστιαίων a/.5 σημείων της κατανομής tudent ( t f t4.977 ). (β)

11 Άσκηση Θα δημιουργήσουμε καταρχήν τον πίνακα σχεδιασμού του δικτύου Α και τον πίνακα βάρους των παρατηρήσεων P. Οι πίνακες αυτοί είναι κοινοί και στα τρία σενάρια συνόρθωσης που αναφέρονται στη συγκεκριμένη άσκηση. Ο πίνακας σχεδιασμού του δικτύου θα είναι: και ο πίνακας βάρους των παρατηρήσεων: P I 7 I 7 ( mm ). 9 L Στη συνέχεια θα δημιουργήσουμε το διάνυσμα των ανηγμένων παρατηρήσεων b, το οποίο επίσης είναι κοινό και στα τρία σενάρια συνόρθωσης του δικτύου. H, H, 63. H,3 H,3 6. H3,4 H 3,4 5. b H4,5 H 4,5 88. ( mm) H,5 H,5. H,5 H,5 4. H,4 H,4 5. Συνεπώς ο πίνακας και το σταθερό διάνυσμα του αρχικού συστήματος κανονικών εξισώσεων θα είναι:

12 N T P.. ό T u Pb ο σενάριο συνόρθωσης: χρήση μερικών εσωτερικών δεσμεύσεων στα σημεία και 5 Ο πίνακας Η θα έχει τη μορφή: H c, ενώ ο πίνακας Το σταθερό διάνυσμα των ανηγμένων ψευδοπαρατηρήσεων θα είναι βάρους των ψευδοπαρατηρήσεων μπορεί να αγνοηθεί (δηλ. W I ) αφού πρόκειται για σενάριο ελάχιστων δεσμεύσεων. Οι βαθμοί ελευθερίας της συνόρθωσης του δικτύου θα είναι f=3. Μετά από απλές πράξεις πινάκων μπορεί να προκύψει το ζητούμενο συνολικό σύστημα κανονικών εξισώσεων για το συγκεκριμένο ερώτημα. ο σενάριο συνόρθωσης: χρήση δέσμευσης σταθερού υψομέτρου για το σημείο Ο πίνακας Η θα έχει τη μορφή: H c, ενώ ο πίνακας Το σταθερό διάνυσμα των ανηγμένων ψευδοπαρατηρήσεων θα είναι βάρους των ψευδοπαρατηρήσεων μπορεί να αγνοηθεί (δηλ. W I ) αφού πρόκειται για σενάριο ελάχιστων δεσμεύσεων. Οι βαθμοί ελευθερίας της συνόρθωσης του δικτύου θα είναι f=3. Μετά από απλές πράξεις πινάκων μπορεί να προκύψει το ζητούμενο συνολικό σύστημα κανονικών εξισώσεων για το συγκεκριμένο ερώτημα.

13 3 ο σενάριο συνόρθωσης: χρήση ψευδοπαρατηρήσεων για τα υψόμετρα των σημείων και 5, οι ακρίβειες των οποίων είναι 5 cm Ο πίνακας Η θα έχει τη μορφή: H Το σταθερό διάνυσμα των ανηγμένων ψευδοπαρατηρήσεων θα είναι c, ενώ ο πίνακας βάρους των ψευδοπαρατηρήσεων θα ληφθεί ως ο αντίστροφος του πίνακα συμ-μεταβλητοτήτων τους, δηλαδή W. H. H5 ( mm ) (*) ο παραπάνω πίνακας θα πρέπει να εκφρασθεί σε mm - ώστε να υπάρχει συμβατότητα με τις μονάδες που έχουν επιλεγεί για το διάνυσμα b και τον πίνακα βάρους P! Το συγκεκριμένο σενάριο αναφέρεται σε περίπτωση πλεοναζουσών δεσμεύσεων και οι αντίστοιχοι βαθμοί ελευθερίας της συνόρθωσης θα είναι f=4. Μετά από απλές πράξεις πινάκων μπορεί να προκύψει το ζητούμενο συνολικό σύστημα κανονικών εξισώσεων για το συγκεκριμένο ερώτημα. Άσκηση 3 Για την επίλυση της συγκεκριμένης άσκησης απαιτείται η εφαρμογή του στατιστικού ελέγχου της γενικής υπόθεσης, σύμφωνα με το παρακάτω γνωστό τυπολόγιο: a F F k, f όπου ˆ H ( f k ) ˆ F f ˆ k Με βάση τα δεδομένα που δίνονται στην εκφώνηση της άσκησης, θα έχουμε: F 4.35 και.5 3, 8 F.95 και άρα οι τρεις ελεγχόμενες δεσμεύσεις δεν μπορούν να θεωρηθούν ότι ισχύουν για συντελεστή εμπιστοσύνης 95%. 3

14 Άσκηση 4 Mε βάση τα δεδομένα της άσκησης θα πρέπει αρχικά να υπολογισθεί η a-psteriri εκτίμηση της μεταβλητότητας αναφοράς από τη συνόρθωση του δικτύου. Η τιμή της θα είναι ίση με: ˆ 7.56 Προκειμένου να ελεγχθεί αν η παραπάνω τιμή αντιστοιχεί σε επίπεδο ακρίβειας του χωροβάτη καλύτερο από σ ο = 3 mm/km /, θα πρέπει να εφαρμοσθεί ο μονόπλευρος (από δεξιά) στατιστικός έλεγχος της μεταβλητότητας αναφοράς σύμφωνα με το παρακάτω γνωστό τυπολόγιο: F a F f, όπου ˆ F και f = 6. ν ο παραπάνω έλεγχος είναι αρνητικός τότε συμπεραίνεται ότι η (προσδοκία της) μεταβλητότητα αναφοράς θα είναι μικρότερη από την τιμή 9, και άρα η ακρίβεια του χωροβάτη θα είναι καλύτερη από σ ο = 3 mm/km /. Με βάση τα δεδομένα που δίνονται στην εκφώνηση της άσκησης, θα έχουμε: F.834 και F ,.5 F, 6 και άρα η ακρίβεια του χωροβάτη δεν μπορεί να θεωρηθεί στατιστικά καλύτερη από 3 mm/km /. Άσκηση 5 Για να υπολογίσουμε την ακρίβεια προσδιορισμού της μεταβολής των υψομέτρων που προκύπτουν από τις δύο συνορθώσεις του δικτύου (στην εποχή t και στην εποχή t ) θα πρέπει καταρχήν να βρούμε την ακρίβεια με την οποία θα υπολογιστούν τα υψόμετρα από κάθε συνόρθωση/εποχή ξεχωριστά. Με βάση τα παρατηρούμενα μεγέθη που δίνονται στον πίνακα της εκφώνησης και δεδομένου ότι τα υψόμετρα των σημείων R και R' διατηρούνται σταθερά, ο πίνακας σχεδιασμού για την συνόρθωση του κατακόρυφου δικτύου (είτε την εποχή t είτε την εποχή t ) θα έχει τη μορφή: 4

15 (σημειώνεται ότι η πρώτη στήλη του παραπάνω πίνακα αντιστοιχεί στο άγνωστο υψόμετρο του σημείου Α, ενώ η δεύτερη στήλη αντιστοιχεί στο άγνωστο υψόμετρο του σημείου Β.) Ο πίνακας βάρους των παρατηρήσεων για την συνόρθωση του δικτύου (είτε την εποχή t είτε την εποχή t ) θα έχει τη μορφή: P / L R / L R / L RR / L / L R / L R όπου όλα τα απαιτούμενα μεγέθη για τον προσδιορισμό του δίνονται στην εκφώνηση της άσκησης. Όπως ο πίνακας σχεδιασμού έτσι και ο πίνακας βάρους θα είναι ο ίδιος και στις δύο μεμονωμένες συνορθώσεις του δικτύου (αφού παρατηρούνται τα ίδια μεγέθη με την ίδια ακρίβεια μέτρησης και στις δύο εποχές). Η ακρίβεια προσδιορισμού των υψομέτρων για τα σημεία Α και Β (από κάθε συνόρθωση/εποχή ξεχωριστά) μπορεί να υπολογιστεί μέσω του παρακάτω πίνακα συμμεταβλητοτήτων: ( T P) Από τα διαγώνια στοιχεία του παραπάνω πίνακα βρίσκουμε ότι η ακρίβεια προσδιορισμού των υψομέτρων μέσω της συνόρθωσης του χωροσταθμικού δικτύου είναι: ˆ.5 mm και H ˆ.5 mm H Σημειώνεται ότι οι τιμές των τυπικών αποκλίσεων που δίνονται παραπάνω εκφράζουν την ακρίβεια με την οποία θα προσδιοριστούν τα υψόμετρα των σημείων από κάθε συνόρθωση ξεχωριστά. Για την εύρεση της ακρίβειας προσδιορισμού της διαχρονικής μεταβολής των υψομέτρων, θα έχουμε: 3.6 mm, ˆ ˆ 3.6 mm H H Hˆ Hˆ Τα παραπάνω αποτελέσματα προκύπτουν από την εφαρμογή του νόμου μετάδοσης συμμεταβλητοτήτων στις παρακάτω σχέσεις: Hˆ Hˆ Hˆ ( ό ό ή t ) ( ό ό ή t ) 5

16 Hˆ Hˆ Hˆ ( ό ό ή t ) ( ό ό ή t ) θεωρώντας ότι τα υψόμετρα των σημείων Α και Β έχουν προσδιοριστεί ανεξάρτητα από κάθε συνόρθωση του δικτύου (δηλ. δεν υπάρχει συσχέτιση στις παρατηρήσεις του δικτύου ανάμεσα στις δύο εποχές). Άσκηση 6 Η σχετική γραμμική ακρίβεια της συνορθωμένης απόστασης μεταξύ των κορυφών Α και Β είναι ~3 ppm. Άσκηση 7 (α) Για την απάντηση στο συγκεκριμένο ερώτημα απαιτείται η εφαρμογή του στατιστικού ελέγχου της γενικής υπόθεσης, σύμφωνα με το παρακάτω γνωστό τυπολόγιο: a F F k, f όπου ˆ H ( f k ) ˆ F f ˆ k Με βάση τα δεδομένα που δίνονται στην εκφώνηση της άσκησης, θα πρέπει καταρχήν να υπολογιστούν οι a-psteriri εκτιμήσεις της μεταβλητότητας αναφοράς από τις δύο συνορθώσεις του δικτύου. Οι τιμές τους θα είναι: ˆ 3.83, ˆH 5.3 και στη συνέχεια θα έχουμε: F.93 και.5 4, F 7.7 Άρα συμπεραίνουμε, με συντελεστή εμπιστοσύνης 95%, ότι η δεύτερη συνόρθωση δεν προκαλεί συστηματική γεωμετρική παραμόρφωση στο υψομετρικό δίκτυο. (β) Το είδος των δεσμεύσεων που θα μπορούσαν να χρησιμοποιηθούν είναι οι λεγόμενες «μερικές εσωτερικές δεσμεύσεις» στις δύο γνωστές χωροσταθμικές αφετηρίες. (γ) Οι μορφές του πίνακα Η και του σταθερού διανύσματος c για την παραπάνω επιλογή δεσμεύσεων θα είναι: H και c (θεωρώντας ότι οι δύο πρώτες στήλες του πίνακα Η αναφέρονται στα υψόμετρα των δύο χωροσταθμικών αφετηριών, ενώ οι τρεις επόμενες στήλες αναφέρονται στα υψόμετρα των υπόλοιπων σημείων του υψομετρικού δικτύου) 6

17 Άσκηση 8 (α) Οι συνορθωμένες συντεταγμένες του σημείου P είναι: ˆ 8. m, ˆ m Οι τυπικές αποκλίσεις των συνορθωμένων συντεταγμένων του σημείου P είναι: ˆ.9 cm, ˆ.7 cm (αν δεν εφαρμόσουμε το re-scaling του πίνακα ˆ 3.6 cm, ˆ.6 cm (αν εφαρμόσουμε το re-scaling του πίνακα ˆ με την a-psteriri εκτίμηση ˆ με την a-psteriri εκτίμηση (β) Η a-psteriri εκτίμηση της μεταβλητότητας αναφοράς είναι: ˆ 5.7 (γ) Προκειμένου να απαντήσουμε το συγκεκριμένο ερώτημα, θα πρέπει να υπολογίσουμε την ακρίβεια των τριών συνορθωμένων αποστάσεων μεταξύ του σημείου P και των τριών γνωστών σταθερών σημείων. Με βάση τα αποτελέσματα της άσκησης, θα έχουμε: ˆ.6 cm, s ˆ.7 cm, s ˆ.63 cm s3 (αν δεν εφαρμόσουμε το re-scaling του πίνακα sˆ.4 cm, sˆ.8 cm, (αν εφαρμόσουμε το re-scaling του πίνακα sˆ.5 cm 3 ˆ με την a-psteriri εκτίμηση ˆ με την a-psteriri εκτίμηση Σε οποιαδήποτε περίπτωση, η μεγαλύτερη αβεβαιότητα στην εκτίμηση της θέσης του σημείου P θα είναι κατά μήκος της διεύθυνσης P-P. TΕΛΟΣ! 7