Κεφάλαιο 6: Σύνθεση ομοεπιπέδων δυνάμεων

Κεφάλαιο 6: Σύνθεση ομοεπιπέδων δυνάμεων Σύνοψη Πειραματικός προσδιορισμός της δύναμης, η οποία εξισορροπεί δύο ομοεπίπεδες δυνάμεις και σύγκρισή της με τη συνισταμένη τους που υπολογίζεται αριθμητικά και γραφικά σύμφωνα με τους κανόνες πρόσθεσης διανυσμάτων. Πειραματική επαλήθευση των συνθηκών ισορροπίας τριών ομοεπιπέδων δυνάμεων. Προαπαιτούμενη γνώση Κεφάλαιο 1. Βασικές γνώσεις διαφορικού λογισμού. 6.1 Βασικές έννοιες Οι δυνάμεις είναι μεγέθη διανυσματικά. Ως εκ τούτου χαρακτηρίζονται πλήρως, αν γνωρίζουμε το μέτρο τους (= αριθμητική τιμή + μονάδα μέτρησης, π.χ. 10 Ν) την κατεύθυνσή τους (διεύθυνση και φορά) το σημείο εφαρμογής τους. Μπορούν να παρασταθούν γεωμετρικά με τη βοήθεια ενός βέλους (βλ. Εικόνα 6.1): Το μήκος του βέλους (σε κατάλληλη κλίμακα!) παριστάνει το μέτρο του διανύσματος. Η αρχή του βέλους το σημείο εφαρμογής του διανύσματος και ο προσανατολισμός του βέλους στον χώρο τη διεύθυνση και φορά του διανύσματος. Εικόνα 6.1 Χαρακτηριστικά ενός διανύσματος Α. Χάριν πληρότητας σημειώνουμε ακόμη, ότι η ευθεία, επί της οποίας βρίσκεται το βέλος, χαρακτηρίζεται ως ο φορέας του διανύσματος. Κάθε παράλληλη προς τον φορέα του διανύσματος ευθεία καθορίζει τη διεύθυνση, ενώ η μύτη του βέλους τη φορά του διανύσματος. Αν πολλαπλασιάσουμε ένα διάνυσμα Α με ένα μονόμετρο μέγεθος λ, προκύπτει ένα νέο διάνυσμα Β, του οποίου το μέτρο ισούται με το γινόμενο της απόλυτης τιμής του λ επί το μέτρο Α του διανύσματος Α : λα = Β Β = λ Α (Εξίσωση 6.1) Αν το λ είναι θετικός αριθμός, τα διανύσματα Α και Β = λα έχουν ίδια, διαφορετικά αντίθετη φορά. Από τα παραπάνω προκύπτει, ότι διαιρώντας ένα διάνυσμα Α με το μέτρο του Α προκύπτει το αντίστοιχο μοναδιαίο διάνυσμα Α, το οποίο έχει την ίδια διεύθυνση και φορά με το Α και μέτρο ίσο με τη μονάδα: Α = Α Α Α = ΑΑ (Εξίσωση 6.2) 1

Βλέπουμε λοιπόν, ότι κάθε διάνυσμα μπορεί να παρασταθεί ως γινόμενο του μέτρου του επί το αντίστοιχο μοναδιαίο διάνυσμα. 6.2 Πρόσθεση διανυσμάτων. Συνιστώσες και συντεταγμένες ενός διανύσματος Προκειμένου να προσθέσουμε δύο ομοεπίπεδα, μη παράλληλα (στα οποία και περιοριζόμαστε) διανύσματα Α και Β εφαρμόζουμε τη μέθοδο του παραλληλογράμμου (βλέπε π.χ. Kuchling, Taschenbuch der Physik, Serway R., Physics for Scientists & Engineers,Τόμος Ι, Young H.D., Πανεπιστημιακή Φυσική, Τόμος Α): Μετακινούμε τα αντίστοιχα βέλη μέχρι το σημείο τομής των φορέων τους, οπότε τα δύο διανύσματα έχουν κοινή αρχή (βλ. Εικόνα. 6.2). Σχηματίζουμε το παραλληλόγραμμο, το οποίο ορίζουν οι φορείς τους. Φέρουμε το διάνυσμα C, το οποίο έχει την ίδια αρχή με το Α και Β και συμπίπτει (ως προς το μήκος και τη διεύθυνσή του) με τη διαγώνιο του παραλληλογράμμου. Το διάνυσμα C ισούται με το άθροισμα των διανυσμάτων Α και Β και χαρακτηρίζεται ως η συνισταμένη αυτών. Συμβολικά γράφουμε: C = Α + Β (Εξίσωση 6.3) Εικόνα 6.2 Πρόσθεση διανυσμάτων με τον κανόνα του παραλληλογράμμου. Στο ίδιο αποτέλεσμα θα καταλήγαμε προφανώς (βλ. Εικόνα 6.2), αν τοποθετούσαμε τα δύο διανύσματα έτσι ώστε το τέλος του πρώτου να είναι η αρχή του δευτέρου και ενώναμε την αρχή με το τέλος τους. Μάλιστα η σειρά των δύο διανυσμάτων μπορεί να είναι τυχαία, γεγονός το οποίο χαρακτηρίζεται ως μεταθετική ιδιότητα της πρόσθεσης διανυσμάτων: Α + Β = Β + Α (Εξίσωση 6.4) Το μέτρο και η διεύθυνση της συνισταμένης C καθορίζονται από το μήκος της διαγωνίου του παραλληλογράμμου και τη γωνία (Α, Β ) (= η μικρότερη από τις γωνίες μεταξύ των διανυσμάτων Α και Β ) αντίστοιχα. Αμφότερα δε αυτά τα μεγέθη μπορούν να υπολογισθούν απ ευθείας από τους κανόνες της Τριγωνομετρίας. Συγκεκριμένα το μέτρο της συνισταμένης προκύπτει από τον νόμο των συνημίτονων: C = A 2 + B 2 2AB cos γ γ+(α,β )=180 cos γ= cos(α,β ) C = A 2 + B 2 + 2AB cos(α, Β ) (Εξίσωση 6.5) Η διεύθυνση εξάλλου της συνισταμένης μπορεί να προσδιορισθεί από τον νόμο των ημιτόνων: C = Α = Β γ+(α,β )=180 sin γ=sin(α,β ) sin γ sin β sin α C sin(α,β = Α ) sin(b,c = ) Β (Εξίσωση 6.6) sin(α,c ) 2

όπου (I, J) η (μικρότερη) γωνία μεταξύ των διανυσμάτων I και J. Προβάλλοντας ένα διάνυσμα Α επί μιας τυχαίας ευθείας ε (βλ. Εικόνα 6.3), παίρνουμε ένα νέο διάνυσμα Α ε, το οποίο καλείται η συνιστώσα του διανύσματος Α ως προς την ευθεία ε. Εικόνα 6.3 Συνιστώσα διανύσματος ως προς τυχαία ευθεία ε. Πολύ διαδεδομένη είναι η ανάλυση (όπως λέγεται) ενός διανύσματος σε συνιστώσες ως προς τους άξονες ενός ορθοκανονικού (καρτεσιανού) συστήματος συντεταγμένων. Όπως δε φαίνεται από την Εικόνα 6.4, όπου έχουμε περιορισθεί χάριν απλότητας στο επίπεδο, το διάνυσμα Α ισούται με το άθροισμα των συνιστωσών του Α x και Α y : Α = Α x + Α y (Εξίσωση 6.7) (Η γενίκευση στις τρεις διαστάσεις του χώρου συνεπάγεται προφανώς την άθροιση και της συνιστώσας ως προς τον άξονα z, Α z.) Εικόνα 6.4 Ανάλυση διανύσματος σε συνιστώσες. Αν x και ŷ είναι τα μοναδιαία διανύσματα επί του άξονα x και y αντίστοιχα, τότε η σχέση (6.7) γράφεται: Α = Α x + Α y = A x x + A y ŷ (Εξίσωση 6.8) Τα μεγέθη A x και A y καλούνται (ορθοκανονικές ή καρτεσιανές) συντεταγμένες του διανύσματος Α και ισούνται με τα θετικά ή αρνητικά μέτρα των συνιστωσών Α x και Α y, εφόσον αυτές έχουν φορά προς τα θετικά ή αρνητικά των αξόνων αντίστοιχα. Για δοσμένο σύστημα αξόνων το διάνυσμα Α περιγράφεται πλήρως με τη βοήθεια των συντεταγμένων του. Γράφουμε δε συμβολικά Α = (A x, A y ) = ( A x A y ) (Εξίσωση 6.9) Όπως προκύπτει από την εφαρμογή του Πυθαγορείου θεωρήματος στην Εικόνα 6.4, για το μέτρο του διανύσματος ισχύει η σχέση: 3

Α = Α x 2 + Α y 2 (Εξίσωση 6.10) Αν προβάλλουμε τα διανύσματα Α, Β και C = Α + Β επί μιας τυχαίας ευθείας ε (βλ. Εικόνα 6.5), διαπιστώνουμε ότι η προβολή C ε της συνισταμένης ισούται με το άθροισμα των προβολών των συνιστωσών: C ε = A ε + B ε. Επειδή δε η ευθεία ε θα μπορούσε να είναι κάλλιστα ο άξονας x ή y (ή και z στον χώρο), προκύπτει ότι οι συντεταγμένες της συνισταμένης δύο διανυσμάτων ισούνται με το άθροισμα των αντιστοίχων συντεταγμένων των δύο συνιστωσών: C x = A x + B x C = Α + Β { ή ( C x C ) = ( A x + B x C y = A y + B y A y + B ) (Εξίσωση 6.11) y y Εικόνα 6.5 Για την επαλήθευση της σχέσης 6.11. 6.3 Συνθήκες ισορροπίας τριών ομοεπιπέδων δυνάμεων, οι οποίες ασκούνται επί ενός υλικού σημείου Σύμφωνα με τη Θεμελιώδη εξίσωση της Μηχανικής (βλ. κεφάλαιο 4) προϋπόθεση για την ισορροπία ενός υλικού σημείου είναι ο μηδενισμός της συνισταμένης όλων των δυνάμεων, οι οποίες δρουν επ αυτού. Στην ειδική λοιπόν περίπτωση της Εικόνας 6.6 θα πρέπει η δύναμη F να είναι ίση και αντίθετη με τη συνισταμένη των δυνάμεων F 1 και F 2 : F 1 + F 2! = F (Εξίσωση 6.12) Εικόνα 6.6 Ισορροπία τριών ομοεπιπέδων δυνάμεων. (6.5): Για το μέτρο λοιπόν της F (ίδιο με εκείνο της συνισταμένης F 1 + F 2 ) θα ισχύει σύμφωνα με τη σχέση 4

F = F 1 2 + F 2 2 + 2F 1 F 2 cos(α 1 + α 2 ) (Εξίσωση 6.13) και για τη διεύθυνσή της (ίδια με εκείνη της συνισταμένης F 1 + F 2 ) σύμφωνα με τη σχέση (6.6): F sin(α 1 +α 2 ) = F 1 sin(α 2 ) = F 2 sin(α 1 ) (Εξίσωση 6.14) Η πειραματική επαλήθευση των ανωτέρω σχέσεων, οι οποίες είναι αποτέλεσμα των κανόνων πρόσθεσης διανυσμάτων, είναι ουσιαστικά ο σκοπός της παρούσας άσκησης. 6.3.1. Υπολογισμός του μεγίστου σχετικού επί τοις εκατό σφάλματος της συνισταμένης F Η σχέση (6.13) μας επιτρέπει να προσδιορίζουμε τη συνισταμένη F συναρτήσει των άμεσα μετρούμενων μεγεθών F 1, F 2, α 1 και α 2. Επομένως τα σφάλματα, τα οποία υπεισέρχονται κατά τον υπολογισμό αυτό, καθορίζονται από τις σχέσεις, οι οποίες διέπουν τα σφάλματα συναρτήσεων και τις οποίες αναπτύξαμε στο κεφάλαιο 1.4 και 1.4.1. Συμβολίζοντας λοιπόν με ΔF το μέγιστο σφάλμα της συνισταμένης F ΔF 1, ΔF 2, Δα 1 και Δα 2 τα εκτιμηθέντα σφάλματα των αντιστοίχων μεγεθών έχουμε για το μέγιστο σφάλμα της συνισταμένης F (Χασάπης Δ.Δ., Εργαστηριακές Ασκήσεις Φυσικής): F = F 1 2 + F 2 2 + 2F 1 F 2 cos(α 1 + α 2 ) [F 1 2 + F 2 2 + 2F 1 F 2 cos(α 1 + α 2 )] 1 2 {1} {1} F = (F 1, F 2, α 1, α 2 ) (1.8) ΔF = ± ( F F 1 ΔF 1 + F F 2 ΔF 2 + F α 1 Δα 1 + F α 2 Δα 2 ) {2} {1} F = 1 [F F 1 2 1 2 + F 2 2 + 2F 1 F 2 cos(α 1 + α 2 )] 1 2 [2F 1 + 2F 2 cos(α 1 + α 2 )] {3} F 1 {1} F = 1 [F F 2 2 1 2 + F 2 2 + 2F 1 F 2 cos(α 1 + α 2 )] 1 2 [2F 2 + 2F 1 cos(α 1 + α 2 )] {4} F 1 α1 cos(α 1+α 2 )= sin(α 1 +α 2 ) {1} F α 1 = [ 2F 1 F 2 cos(α 1 + α 2 )] {5} α 1 cos(α 1 +α 2 )= sin(α 1 +α 2 ) {1} F α 2 = [ 2F 1 F 2 cos(α 1 + α 2 )] {6} Αντικαθιστούμε στην {2} και παίρνουμε: 1 [F 2 1 2 + F 2 2 + 2F 1 F 2 cos(α 1 + α 2 )] 1 2 1 F 1 [F 2 1 2 + F 2 2 + 2F 1 F 2 cos(α 1 + α 2 )] 1 2 F 1 ΔF = ± ( 1 2 F 1 [2F 1 + 2F 2 cos(α 1 + α 2 )]ΔF 1 + 1 2 F 1 [2F 2 + 2F 1 cos(α 1 + α 2 )]ΔF 2 + + 1 2 F 1 [ 2F 1 F 2 cos(α 1 + α 2 )]Δα 1 + 1 2 F 1 [ 2F 1 F 2 cos(α 1 + α 2 )]Δα 2 ) F>0 5

ΔF ± F 1 { [F 1 + F 2 cos(α 1 + α 2 )]ΔF 1 + [F 2 + F 1 cos(α 1 + α 2 )]ΔF 2 + + [ F 1 F 2 cos(α 1 + α 2 )]Δα 1 + [ F 1 F 2 cos(α 1 + α 2 )]Δα 2 } {7} Από τη σχέση αυτή παίρνουμε για το μέγιστο σχετικό επί τοις εκατό σφάλμα: ΔF F = ± F 2 { [F 1 + F 2 cos(α 1 + α 2 )]ΔF 1 + [F 2 + F 1 cos(α 1 + α 2 )]ΔF 2 + + [ F 1 F 2 cos(α 1 + α 2 )]Δα 1 + [ F 1 F 2 cos(α 1 + α 2 )]Δα 2 } 100% 6.4. Πειραματική διαδικασία (Εξίσωση 6.15) Animation 6.1 Διαδραστική περιγραφή της πειραματικής διαδικασίας. (Είναι διαθέσιμη από τον Ελληνικό Συσσωρευτή Ακαδημαϊκών Ηλεκτρονικών Βιβλίων.) Η πειραματική διαδικασία στοχεύει Απαιτούμενα όργανα: 1. Στη μέτρηση (μέσω δυναμομέτρου) του βάρους δύο σωμάτων μάζας 100 g και 150 g. 2. Στη μέτρηση (μέσω δυναμομέτρου) του μέτρου της συνισταμένης F δύο ομοεπιπέδων δυνάμεων F 1 και F 2 (πρόκειται ουσιαστικά για τα δύο βάρη της προηγούμενης παραγράφου), καθώς και των γωνιών (μέσω ειδικού γωνιομετρικού κύκλου) α 1 και α 2 μεταξύ της συνισταμένης F και των συνιστωσών F 1 και F 2. Η διάταξη της Εικόνας 6.7, η οποία συμπεριλαμβάνει: Εικόνα 6.7 Πειραματική διάταξη. 1. Πλήρη γωνιομετρικό κύκλο βαθμονομημένο σε μοίρες (), ο οποίος φέρει νήμα της στάθμης για τον ακριβή προσανατολισμό του (βλ. Εικόνα 6.8). 1. 6 βαρίδια των 50 g 6 έκαστο. 2. Δυναμόμετρο ακριβείας (βλ. Εικόνα 6.9) με τα ακόλουθα χαρακτηριστικά: Μέγιστη φόρτιση 2 Ν 200g: Δεν επιτρέπεται να την ξεπεράσουμε ποτέ! Φέρει υποδιαιρέσεις ανά 20 mn. Ακρίβεια (Σχετικό επί τοις % σφάλμα): 0,5% της ενδεικνύμενης τιμής. 6

Φέρει δρομέα προσαρμογής της μηδενικής ένδειξης. Εικόνα 6.8 Πλήρης γωνιομετρικός κύκλος. Εικόνα 6.9 Δυναμόμετρο ακριβείας (Με το δυναμόμετρο μετράμε δυνάμεις. Αν αναρτήσουμε ένα βαρίδιο μάζας 50 g, θα μετρήσουμε το βάρος του, δηλαδή τη δύναμη με την οποία η Γη έλκει το βαρίδιο.) Μετρήσεις: α) Προσδιορισμός του βάρους βαριδίων συνολικής μάζας 100 και 150 g 1. Έχοντας το δυναμόμετρο να κρέμεται ελεύθερα κατακόρυφα προς τα κάτω, μετακινούμε πολύ προσεκτικά τον Δρομέα (βλ. Εικόνα 6.9) προσαρμογής μηδενικής ένδειξης, ώστε το άκρο του 0 να μας δείχνει το μηδέν της κλίμακας. 2. Στη συνέχεια κρεμάμε διαδοχικά, πρώτα δύο και μετά τρία βαρίδια των 50g και σημειώνουμε τις ενδείξεις στον Πίνακα 1. (Τα βάρη των παραπάνω βαριδίων θα παίξουν τον ρόλο των δυνάμεων F 1 και F 2, των οποίων τη συνισταμένη F θέλουμε να προσδιορίσουμε). 7

Εικόνα 6.10 Ενδεικτικός Πίνακας 1, καταχώρησης του βάρους (= δύναμη!) για βαρίδια μάζας 100 και 150 g. β) Μέτρηση της κατακόρυφης δύναμης F, η οποία εξισορροπεί τις δυνάμεις F 1 και F 2 (βλ. Εικόνα 6.6) 3. Σε κάθε άκρο του νήματος κρεμάμε από τρία βαρίδια των 50 g. (Επομένως και οι δύο δυνάμεις F 1 και F 2 είναι ίσες με το βάρος των 150g του Πίνακα 1). 4. Στρέφουμε προσεκτικά το δυναμόμετρο, έτσι ώστε το ελεύθερο άκρο του να δείχνει κατακόρυφα προς τα επάνω και, εφόσον χρειάζεται, ξαναρρυθμίζουμε τη μηδενική ένδειξη, μετακινώντας τον Δρομέα του. 5. Τραβάμε το νήμα από το μέσον του a (βλ. Εικόνα 6.7) προσεκτικά προς τα κάτω και χωρίς να το αφήσουμε, το περνάμε στο γαντζάκι του δυναμομέτρου. 6. Αφήνουμε σιγά σιγά το νήμα ελεύθερο μέχρι να ισορροπήσει κάτω από την επίδραση του δυναμομέτρου. 7. Με τη βοήθεια του νήματος της στάθμης του γωνιομετρικού κύκλου φροντίζουμε ώστε το δυναμόμετρο να είναι σε κατακόρυφη θέση, μετακινώντας προσεκτικά τον κρίκο c του σχήματος 7 προς την κατάλληλη μεριά. 8. Χαλαρώνοντας προσεκτικά τον σφιχτήρα b (βλ. Εικόνα 6.11) ρυθμίζουμε το ύψος του γωνιομετρικού κύκλου, έτσι ώστε το κέντρο του να συμπέσει με το σημείο a της Εικόνας 6.7. 9. Αν χρειαστεί, χαλαρώνοντας προσεκτικά τον σφιχτήρα d (βλ. Εικόνα 6.11) ρυθμίζουμε με τη βοήθεια του νήματος της στάθμης του γωνιομετρικού κύκλου, έτσι ώστε η γραμμή 0-0 να είναι ακριβώς κατακόρυφα. Αφού τελειώσουμε, σφίγγουμε και πάλι τον σφιχτήρα όχι όμως υπερβολικά. 10. Μετράμε τις γωνίες α 1 και α 2 και τις σημειώνουμε μαζί με την ένδειξη F του δυναμομέτρου στον Πίνακα 2 (βλ. Εικόνα 6.12). 11. Κρατώντας το αριστερό άκρο του νήματος αφαιρούμε από την αριστερή πλευρά ένα βαρίδιο και αφήνουμε το νήμα σιγά - σιγά, μέχρι να επέλθει κατάσταση ισορροπίας. (Επομένως η αριστερή δύναμη γίνεται ίση με το βάρος των 100g του Πίνακα 1). 12. Επαναλαμβάνουμε όσα από τα βήματα 5-7 είναι απαραίτητα. 13. Μετράμε τις γωνίες α 1 και α 2 και τις σημειώνουμε μαζί με την ένδειξη F του δυναμομέτρου στον Πίνακα 2. Εικόνα 6.11 Ρύθμιση ύψους γωνιομετρικού κύκλου. 8

Εικόνα 6.12 Ενδεικτικός Πίνακας 2. 6.5 Επεξεργασία των μετρήσεων Η επεξεργασία των μετρήσεων στοχεύει F 1. στην πειραματική επαλήθευση του νόμου των ημιτόνων, = F 1 = F 2 sin(α 1 +α 2 ) sin(α 2 ) sin(α 1 ) 2. στον γραφικό προσδιορισμό μέσω του κανόνα του παραλληλογράμμου της συνισταμένης δύο ομοεπιπέδων δυνάμεων, 3. στον υπολογισμό της συνισταμένης των δύο ομοεπιπέδων δυνάμεων και με τη βοήθεια του νόμου των συνημίτονων, F = F 2 1 + F 2 2 + 2F 1 F 2 cos(α 1 + α 2 ), καθώς και στον υπολογισμό του αντίστοιχου μέγιστου επί τοις εκατό σφάλματος. Προς τον σκοπό αυτό 4. Σε (δύο φύλλα, ένα για κάθε περίπτωση) χιλιοστομετρικό χαρτί DINA4, αφού επιλέξουμε κατάλληλη κλίμακα για τα μέτρα των δυνάμεων (την οποία και σημειώνουμε στην επάνω δεξιά γωνία) χαράσσουμε με μολύβι τα διανύσματα F 1, F 2 και F, έτσι ώστε η κοινή αρχή τους να συμπίπτει με το κέντρο του χιλιοστομετρικού χαρτιού, ενώ ο προσανατολισμός τους θα είναι ο ίδιος με εκείνον της Εικόνας 6.6. (Τα μήκη των διανυσμάτων προκύπτουν από τα μέτρα των δυνάμεων του Πίνακα 2, παίρνοντας υπόψη την κλίμακα που επιλέξαμε). 5. Επί του χιλιοστομετρικού χαρτιού βρίσκουμε τη συνισταμένη F 12 των δυνάμεων F 1 και F 2 με τη μέθοδο του παραλληλογράμμου (βλ. Εικόνα 6.2) και σημειώνουμε το μέτρο της στον Πίνακα 3. (Το μέτρο της συνισταμένης προσδιορίζεται από το μήκος της διαγωνίου του παραλληλογράμμου παίρνοντας υπόψη την κλίμακα που επιλέξαμε). 6. Στον Πίνακα 3 καταχωρούμε το μέτρο της συνισταμένης, όπως προκύπτει και υπολογιστικά από την εξίσωση 6.13. 7. Τέλος ολοκληρώνουμε τη συμπλήρωση του Πίνακα 3, σχολιάζουμε τα αποτελέσματά μας και τα παρουσιάζουμε με μορφή εργασίας, η οποία θα έχει τα κύρια χαρακτηριστικά, τα οποία περιγράφονται στην Εισαγωγή. 9

Εικόνα 6.13 Ενδεικτικός Πίνακας 3 (Προσέχουμε όσα αναφέρονται στο κεφάλαιο 1.3.2 για τον τρόπο γραφής των σφαλμάτων και των αποτελεσμάτων: μη μηδενικά ψηφία, στρογγυλοποίηση κ.λπ.). Βιβλιογραφία/Αναφορές Kuchling, Taschenbuch der Physik, Harri Deutsch, Thun - Frankfurt 1979 Serway R., Physics for Scientists & Engineers, Τόμοι I ως IV, 3η Έκδοση, Εκδόσεις Λ.Κ. Ρεσβάνης, 1990 Young H.D., Πανεπιστημιακή Φυσική, Τόμος Α και Β, Εκδόσεις Παπαζήση,1995 Χασάπης Δ.Δ., Εργαστηριακές Ασκήσεις Φυσικής, Αθήνα, Β. Γκιούρδας Εκδοτική, 2004 Κριτήρια αξιολόγησης Ερώτηση 1 Ποια είναι τα τρία χαρακτηριστικά ενός διανύσματος; Απάντηση/Λύση Το μέτρο (= αριθμητική τιμή + μονάδα μέτρησης, π.χ. 10 Ν), η κατεύθυνση (=διεύθυνση και φορά) και το σημείο εφαρμογής. Ερώτηση 2 Πώς ορίζεται το μοναδιαίο διάνυσμα;; Απάντηση/Λύση Α = Α Α 10

Ερώτηση 3 Εξηγείστε με ένα σχήμα τον υπολογισμό της συνισταμένης δύο διανυσμάτων βάσει του κανόνα του παραλληλογράμμου. Γράψτε και τις σχέσεις υπολογισμού του μέτρου της συνισταμένης και των γωνιών που σχηματίζει η διεύθυνσή της με τις διευθύνσεις των δύο δυνάμεων. Απάντηση/Λύση Ο υπολογισμός της συνισταμένης αποδίδεται σχηματικά στην Εικόνα 6.2. C = A 2 + B 2 + 2AB cos(α, Β ), C sin(α,β = Α ) sin(b,c = Β ) sin(α,c ) Ερώτηση 4 Δίδονται τα διανύσματα Α = ( 1 2 ) και Β = ( 2 ). Να υπολογίσετε τα μέτρα τους, το μέτρο της 2 συνισταμένης τους, καθώς και τη γωνία μεταξύ τους. Απάντηση/Λύση Α = Α x 2 + Α y 2 = 1 2 + 2 2 = 5, Β = Β x 2 + Β y 2 = 2 2 + 2 2 = 8, C x = A x + B x = 1 + 2 = 3, C y = A y + B y = 2 + 2 = 4, C = C x 2 + C y 2 = 3 2 + 4 2 = 25 = 5, C = A 2 + B 2 + 2AB cos(α, Β ) cos(α, Β ) = C2 A 2 B 2 = 0,9486 (Α, Β ) = 18,43 2AB 11