ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ ο Στις παρακάτω ερωτήσεις έως 4 να επιλέξετε τη σωστή απάντηση.. Στη φθίνουσα ταλάντωση ενός σώµατος η δύναµη ϖου αντιτίθεται στην κίνησή του είναι της µορφής F = b υ, όϖου b µια θετική σταθερά και υ η ταχύτητα του σώµατος. Η ενέργεια αυτής της ταλάντωσης: α. αυξάνεται µε την ϖάροδο του χρόνου. β. ϖαραµένει σταθερή. γ. µειώνεται µε σταθερό ρυθµό, δηλαδή χάνεται το ίδιο ϖοσό ενέργειας ανά ϖερίοδο. δ. ελαττώνεται εκθετικά µε το χρόνο, δηλαδή µειώνεται κατά το ίδιο ϖοσοστό σε κάθε ϖερίοδο.. Κύµα διαδίδεται σε συγκεκριµένο ελαστικό µέσο. Όσο µεγαλύτερη είναι η συχνότητα του κύ- µατος: α. τόσο µικρότερη είναι η ταχύτητα διάδοσής του στο ελαστικό µέσο. β. τόσο µικρότερο είναι το µήκος κύµατός του. γ. τόσο µεγαλύτερο είναι το ϖλάτος της ταλάντωσης των υλικών σηµείων του ελαστικού µέσου. δ. τόσο µεγαλύτερη είναι η ϖερίοδος του κύµατος. 3. Στα άκρα µιας ράβδου αµελητέας µάζας και µήκους d βρίσκονται δύο όµοια ϖολύ µικρά σφαιρίδια (υλικά σηµεία) µε µάζες m = m = m. Το σύστηµα στρέφεται, µε συχνότητα f, ϖερί άξονα ϖου διέρχεται κάθετα αϖό το κέντρο της ράβδου. Αν εξαιτίας εσωτερικών δυνάµεων υϖοδιϖλασιαστεί η αϖόσταση του κάθε σφαιριδίου αϖό τον άξονα ϖεριστροφής, τότε η συχνότητα ϖεριστροφής του συστήµατος: α. υϖοδιϖλασιάζεται β. υϖοτετραϖλασιάζεται γ. τετραϖλασιάζεται δ. ϖαραµένει σταθερή --
4. Ηχητική ϖηγή S -εκϖέµϖοντας διαρκώς- ϖλησιάζει σε µια µεγάλη εϖιφάνεια, στην οϖοία ο ήχος ανακλάται. Α- νάµεσα στην ϖηγή S και την εϖιφάνεια ανάκλασης κινείται ϖαρατηρητής Α, όϖως φαίνεται στο διϖλανό σχήµα. Θεωρείστε ότι η ϖηγή S και ο ϖαρατηρητής Α κινούνται ϖάνω στην ίδια ευθεία, η οϖοία είναι κάθετη στην εϖιφάνεια ανάκλασης. S υ s υ επιφάνεια ανάκλασης Ο ϖαρατηρητής Α αντιλαµβάνεται δύο ήχους, αυτόν ϖου ϖροέρχεται αϖευθείας αϖό την ϖηγή S, µε συχνότητα f και τον ανακλώµενο στην εϖιφάνεια ήχο, µε συχνότητα f. Για τις τιµές των συχνοτήτων ισχύει ότι: α. η συχνότητα f είναι µικρότερη της συχνότητας f β. η συχνότητα f έχει την ίδια τιµή µε τη συχνότητα f γ. η συχνότητα f είναι µεγαλύτερη της συχνότητας f δ. η σχέση των f, f εξαρτάται αϖό το µέτρο της ταχύτητας της ϖηγής S 5. Να χαρακτηρίσετε κάθε µια αϖό τις εϖόµενες ϖροτάσεις µε το γράµµα Σ εάν είναι σωστή και µε το γράµµα Λ εάν είναι λάθος. α. Όταν το αλγεβρικό άθροισµα των ροϖών των εξωτερικών δυνάµεων ενός συστήµατος είναι µηδέν, τότε η στροφορµή κάθε σώµατος του συστήµατος ϖαραµένει σταθερή. β. Σε κάθε εξαναγκασµένη ταλάντωση η µέγιστη κινητική ενέργεια του ταλαντωτή είναι ίση µε τη µέγιστη δυναµική ενέργειά του. γ. Όταν µια ελαστική σφαίρα συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά µε ακίνητο σώµα ϖολύ µεγαλύτερης µάζας, τότε η κινητική ενέργεια της σφαίρας δεν µεταβάλλεται. δ. Σε ιδανικό κύκλωµα LC, όταν η ενέργεια στο µαγνητικό ϖεδίο του ϖηνίου είναι τριϖλάσια της ενέργειας στο ηλεκτρικό ϖεδίο του ϖυκνωτή, ο ϖυκνωτής έχει το 50% του µέγιστου φορτίου του. ε. Ο ελάχιστος χρόνος για να µεταβεί ένας αϖλός αρµονικός ταλαντωτής, ϖλάτους Α, αϖό τη θέση ισορροϖίας του στη θέση x = +/, είναι ίσος µε τον ελάχιστο χρόνο για να µεταβεί αϖό αυτή τη θέση στη θέση µέγιστης θετικής αϖοµάκρυνσης. --
ΘΕΜΑ ο. Στην εϖιφάνεια ενός υγρού βρίσκονται δυο σηµειακές ϖηγές, ϖου αρχίζουν ταυτόχρονα να εκτελούν αϖλές αρµονικές ταλαντώσεις κατακόρυφης διεύθυνσης, ίδιου ϖλάτους, ίδιας συχνότητας και µηδενικής αρχικής φάσης. Στην εϖιφάνεια του υγρού, λόγω της συµβολής των ϖαραγό- µενων κυµάτων, δηµιουργείται ένα ϖλήθος γραµµών ενισχυτικής συµβολής. Αν η συχνότητα των ϖηγών ήταν διϖλάσια, τότε το ϖλήθος των γραµµών ενισχυτικής συµβολής στην εϖιφάνεια του υγρού θα ήταν: α. µεγαλύτερο β. ίδιο γ. µικρότερο µονάδες Να δικαιολογήσετε την αϖάντησή σας µονάδες 4. Σφαίρα Σ συγκρούεται ελαστικά µε άλλη ακίνητη σφαίρα Σ της ίδιας µάζας..α Εάν η σύγκρουση των δυο σφαιρών είναι κεντρική, το ϖοσοστό της κινητικής ενέργειας της Σ ϖου χάνεται στην κρούση είναι: α. 5% β. 50% γ. 00% Να δικαιολογήσετε την αϖάντησή σας µονάδες µονάδες 4.Β Εάν η σύγκρουση των δυο σφαιρών δεν είναι κεντρική, µετά την κρούση οι δυο σφαίρες κινούνται σε διευθύνσεις, ϖου σχηµατίζουν γωνία φ: α. 0 ο β. 45 ο γ. 90 ο µονάδες Να δικαιολογήσετε την αϖάντησή σας µονάδες 4 3. ύο κύλινδροι, ο ένας συµϖαγής και ο άλλος κοίλος µε λεϖτά τοιχώµατα, έχουν αντίστοιχα ροϖές αδράνειας, ως ϖρος άξονες ϖεριστροφής ϖου διέρχονται αϖό τα κέντρα των βάσεών τους: I = m R και I = m R. -3-
Οι δύο κύλινδροι αφήνονται στην κορυφή κεκλιµένου εϖιϖέδου, γωνίας κλίσης φ και αρχίζουν να κυλίονται χωρίς να ολισθαίνουν ϖρος τη βάση του κεκλιµένου εϖιϖέδου. Αν η εϖιτάχυνση στη µεταφορική κίνηση του συµϖαγούς κυλίνδρου είναι α και η εϖιτάχυνση στη µεταφορική κίνηση του κοίλου κυλίνδρου είναι α, ισχύει ότι: α. α > α β. α = α γ. α < α Να δικαιολογήσετε την αϖάντησή σας ΘΕΜΑ 3 ο µονάδες Το ηλεκτρικό ϖεδίο ενός ηλεκτροµαγνητικού κύµατος ϖεριγράφεται αϖό την εξίσωση: 4 6 ( x) E = 600 ηµπ 0 t 4 0 στο S.I Α. Να βρεθεί το µήκος κύµατος και η συχνότητα του κύµατος. Α. Ποια εξίσωση ϖεριγράφει το αντίστοιχο µαγνητικό ϖεδίο; Α.3 Σε ϖοιο τµήµα του φάσµατος ανήκει το ϖαραϖάνω κύµα; Β. Το ϖαραϖάνω κύµα ϖροσϖίϖτει κάθετα στην έδρα ΑΒ ενός ορθογώνιου και ισοσκελούς τριγωνικού ϖρίσµατος, όϖως φαίνεται στο ϖαρακάτω σχήµα, συνεχίζοντας τη διάδοσή του µε ταχύτητα,5 0 8 m/s. Το ϖρίσµα ϖεριβάλλεται αϖό αέρα. B Γ -4-
Β. Να ϖροσδιοριστεί η κρίσιµη γωνία ϖρίσµατος αέρα. Β. Να ϖροσδιοριστεί η γωνία εκτροϖής της δέσµης (ηλεκτροµαγνητικό κύµα) κατά τη δίοδό της αϖό το ϖρίσµα, δηλαδή η γωνία ϖου σχηµατίζει η δέσµη ϖου εισέρχεται στο ϖρίσµα µε τη δέσµη ϖου εξέρχεται αϖό αυτό. ίνεται η ταχύτητα διάδοσης του φωτός στο κενό c = 3 0 8 m/s. ΘΕΜΑ 4 ο Σώµα Σ, µάζας m = 0,6 kg, είναι στερεωµένο στο κάτω άκρο ενός ιδανικού ελατηρίου, σταθεράς Κ = 00 Ν/m, το άνω άκρο του οϖοίου είναι αναρτηµένο στο σηµείο Α της οροφής, µέσω αβαρούς και µη εκτατού νήµατος. Όϖως φαίνεται στο ϖαρακάτω σχήµα, το σώµα Σ συνδέεται µέσω νήµατος µε ένα λεϖτό δίσκο ακτίνας R = 0,03 m και µάζας m = 0,08 kg (γιογιό). Το νήµα έχει τυλιχθεί ϖάρα ϖολλές φορές στην ϖεριφέρεια του γιο-γιό και η άλλη άκρη του είναι αναρτηµένη στο σηµείο Ζ της οροφής. Το σώµα Σ και το γιο-γιό ισορροϖούν ακίνητα. Z (Σ) B T Γ T -5-
Α. Στην κατάσταση της ισορροϖίας (του σώµατος Σ και του γιο-γιό), να βρεθεί η εϖιµήκυνση του ελατηρίου. µονάδες 4 Β. Κάϖοια στιγµή (t o = 0) κόβεται σε ένα ενδιάµεσο σηµείο το τµήµα ΒΓ του νήµατος, ϖου συνδέει το σώµα Σ µε το γιο-γιό, οϖότε το σώµα Σ αρχίζει να εκτελεί κατακόρυφη ταλάντωση και το γιο-γιό αρχίζει να κινείται ϖρος τα κάτω. Στη διάρκεια της κίνησης του γιο-γιό θεωρείστε ότι το νήµα έχει κατακόρυφη διεύθυνση και ότι ξετυλίγεται χωρίς να ϖαρατηρείται ολίσθησή του στην ϖεριφέρεια του γιο-γιό. Β. Να αϖοδείξετε ότι η ταλάντωση του συστήµατος ελατηρίου σώµατος Σ είναι αϖλή αρµονική και να ϖροσδιορίσετε την εξίσωση της ταχύτητας του σώµατος Σ σε συνάρτηση µε το χρόνο, θεωρώντας θετική τη φορά ϖρος τα κάτω. µονάδες 6 Β. Να υϖολογίσετε το ρυθµό µεταβολής της στροφορµής του γιο-γιό ως ϖρος το νοητό οριζόντιο άξονα ϖεριστροφής, ϖου διέρχεται κάθετα στο κέντρο του δίσκου Β.3 Να ϖροσδιορίσετε τη γωνιακή ταχύτητα ϖεριστροφής του γιο-γιό, τη χρονική στιγµή t, ϖου το κέντρο µάζας του βρίσκεται χαµηλότερα κατά h =, m αϖό την αρχική του θέση. Γ. Τη χρονική στιγµή t το τµήµα του νήµατος µεταξύ του γιο-γιό και του σηµείου Ζ κόβεται σε ένα ενδιάµεσο σηµείο. Να υϖολογιστεί η κινητική ενέργεια του γιο-γιό, λόγω της µεταφορικής του κίνησης, όταν το κέντρο µάζας του γιο-γιό βρεθεί χαµηλότερα -αϖό την θέση όϖου βρισκόταν τη χρονική στιγµή t - κατά h = m. ίνονται η εϖιτάχυνση της βαρύτητας g = 0 m/s και η ροϖή αδράνειας του γιο-γιό ως ϖρος άξονα ϖου διέρχεται κάθετα στο κέντρο του Ι = m R -6-
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ. ΘΕΜΑ Ο E = D = D e = D e = E e. δ ( ) Λ t Λ t Λ t o o o και για τις χρονικές στιγµές: t = (k +)T, που η ενέργεια είναι Ε k+ και t = k T, που η ενέργεια είναι Ε k, το ποσοστό µεταβολής της ενέργειας είναι: Ek+ Ek D k+ D k k+ k 00% = 00% = 00% = E D = k k k Λ ( k+) T Λ k T ( ) ( Λ ) ( k+) T o o e e Λ k T e e 00% = 00% = Λ k T e Λ k T ( e o ) -7-
Λ k T ΛT Λ k T Λ k T Λ T Λ k T e e e e e = 00% = 00% = Λ k T Λ k T e e Λ T ( ) Λ k T e e ΛT ( ) Λ k T 00% = e 00% =σταθ. e. β Από τη θεµελιώδη εξίσωση της µηχανικής: υ υ =λ f λ = f εποµένως αν η f τότε το λ 3. γ Αρχικά η απόσταση κάθε σφαιριδίου από τον άξονα περιστροφής είναι d και τελικά γίνεται d. Στο σύστηµα ασκούνται µόνο εσωτερικές 4 δυνάµεις άρα σύµφωνα µε την αρχή διατήρησης της στροφορµής: L = L I ω = I ω αρχ τελ αρχ αρχ τελ τελ ( + ) = ( + ) m d ( ) + m d ( ) f = d ( ) + d ( ) αρχ m m f τελ m r m r πf m r m r πf,αρχ,αρχ αρχ,τελ,τελ τελ 4 4 d = d m d fαρχ m d = f 4 6 8 τελ m f m f f = 4 f αρχ τελ τελ αρχ 4. γ Ο παρατηρητής Α αντιλαµβάνεται απευθείας από την πηγή ήχο συχνότητας f υ+ υα = fs () υ υs Στην επιφάνεια ανάκλασης θεωρείται µια πηγή ήχου S, συχνότητας υ f S = fs () υ υs Για τον παρατηρητή Α ο ανακλώµενος στην επιφάνεια ήχος έχει συχνότητα f υ υ () Α υ υα υ υ υα = fs f = fs f = fs (3) υ υ υ υs υ υs Εποµένως, υ+ υα f S () f υ υs υ+ υα = = > f > f (3) f υ υ Α f υ υα S υ υ S 5. α Λ Στ uur εξωτ = 0 L συστ =σταθ. β Λ D U max m ωο ωο ωο = = = = K max m υ m ( ω ) ωδιεγ διεγ ωδιεγ max -8-
γ Σ Στην κεντρική ελαστική κρούση ενός σώµατος µε ακίνητο σώµα πολύ µεγαλύτερης µάζας (m >> m και υ = 0), ισχύει ότι: υ = υ, άρα Κ = m υ = m υ =Κ δ Σ Από τη διατήρηση της ενέργειας στην ηλεκτρική ταλάντωση προκύπτει ότι: UB= 3 U E Q q Q Q Ε = U E +UB Ε = 4 U E = 4 q = q = C C 4 και εποµένως το φορτίο q του πυκνωτή είναι ίσο µε το 50% του µέγιστου φορτίου Q του πυκνωτή. ε Λ Στη διπλανή γραφική παράσταση της α- ποµάκρυνσης σε συνάρτηση µε το χρόνο για µια απλή αρµονική ταλάντωση (φ ο = 0), προκύπτει ότι ο χρόνος (t ) για την µετάβαση από τη θέση x = 0 στη θέση x = + / είναι µικρότερος του χρόνου (T/4 t ) για την µετάβαση από τη θέση x = + / στη θέση x = +. x + +/ 0 t T/4 t ΘΕΜΑ Ο. α Στο µέσο Κ του ευθυγράµµου τµήµατος των πηγών Π, Π επαληθεύεται η συνθήκη ενίσχυσης για Ν = 0, εποµένως είναι σηµείο ενίσχυσης. Στο διαδοχικό σηµείο, έστω Λ, του ευθυγράµµου τµήµατος των πηγών, που βρίσκεται δεξιά του µέσου Μ και στο οποίο έχουµε ενίσχυση, πρέπει να ισχύει η συνθήκη ενίσχυσης για Ν =, οπότε N = r r = N λ ΠΛ Π Λ= λ Π K+ KΛ Π K KΛ = λ () ( ) ( ) d Αν η απόσταση των πηγών είναι d τότε Π K = Π K = και αν τα διαδο- χικά σηµεία ενίσχυσης Κ και Λ έχουν απόσταση x, τότε: d d d d λ () + x x = λ + x + x = λ x = ηλαδή οι γραµµές ενισχυτικής συµβολής τέµνουν το ευθύγραµµο τµή- µα των πηγών σε σηµεία που απέχουν απόσταση λ. Αν η συχνότητα των πηγών διπλασιαστεί θα γίνει διπλάσια η συχνότητα των κυµάτων που συµβάλουν και επειδή υ =λ f λ = υ, το µήκος f -9-
κύµατος θα υποδιπλασιαστεί. Άρα στην (ίδια) απόσταση d µεταξύ των πηγών θα αντιστοιχούν προφανώς περισσότερα σηµεία ενίσχυσης...α γ Στην κεντρική ελαστική κρούση ίσων µαζών συµβαίνει ανταλλαγή ταχυτήτων, εποµένως η σφαίρα Σ µετά την σύγκρουσή της µε την ακίνητη σφαίρα Σ, θα ακινητοποιηθεί και θα χάσει το 00% της κινητικής της ενέργειας. uur uur.β γ Από την Αρχή ιατήρησης της Ορµής ισχύει ότι: p = p, άρα για τα µέτρα των ορµών θα ισχύει ότι: p = p + p + p p συνφ,πριν,µετά,µετά,µετά,µετά mυ = mυ + m υ + mυ mυ συνφ oλ,πριν oλ,µετά υ = υ + υ + υ υ συνφ υ = υ + υ + υ υ συνφ () Από την Αρχή ιατήρησης της Κινητικής Ενέργειας ισχύει ότι: Κ = + = + = + oλ,πριν Κoλ,µετά Κ,πριν 0 Κ,µετά Κ,µετά mυ mυ mυ υ = υ + υ () Από τις σχέσεις (), () προκύπτει ότι: υ υσυνφ = 0 υ = 0 ή υ = 0 ή συνφ = 0, όµως υ = 0 αποκλείεται αφού αυτό σηµαίνει ανταλλαγή ταχυτήτων, που ισχύει όταν η κρούση είναι κεντρική και υ = 0 αποκλείεται αφού έτσι δεν θα µεταβάλλεται η ορ- µή της Σ κατά την κρούση, άρα συνφ = 0 και εποµένως φ = 90 ο 3. α Στο παρακάτω σχήµα έχουν σηµειωθεί οι δυνάµεις που δέχεται ένα στερεό κυλιόµενο χωρίς να ολισθαίνει σε πλάγιο επίπεδο. α cm y φ α γων x Wx N W φ W y x y T στ -0-
Για τον συµπαγή κύλινδρο, σύµφωνα µε το θεµελιώδη νόµο της µηχανικής για την µεταφορική κίνηση: ΣF x = m α Wx, T στ, = m α m g ηµφ T στ, = m α () και σύµφωνα µε το θεµελιώδη νόµο για τη στροφική κίνηση: Στ =Ι αγων, Tστ, R = m R αγων, T στ, = m R αγων, R α γων, = α T στ, = m α () Από το σύστηµα των εξισώσεων () και () προκύπτει : m g ηµφ m α = m α α g ηµφ = (3) 3 Με την ίδια διαδικασία για τον κοίλο κύλινδρο, ΣF x = m α Wx, T στ, = m α m g ηµφ T στ, = m α (4) Στ =Ι α T R = m R α T = m R α R α γων, = α γων, στ, γων, στ, γων, T = m α (5) στ, και από το σύστηµα των εξισώσεων (4) και (5) προκύπτει: g ηµφ m g ηµφ m α = m α α = (6) και διαιρώντας κατά µέλη τις σχέσεις (3) και (6): gηµφ α 4 α = 3 = > α > α α gηµφ 3 α ΘΕΜΑ 3 Ο. Από τη σύγκριση της δοσµένης εξίσωσης: 4 6 4 6 ( ) ( ) E = 600 ηµπ 0 t 4 0 x E = 600 ηµ π 0 t 4π 0 x στο S.I µε τη γενική µορφή της εξίσωσης της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου ενός ηλεκτροµαγνητικού κύµατος: t x π t π x E = Emax ηµπ E = Emax ηµ T λ T λ συµπεραίνουµε ότι: Ε max = 600 V/m, --
π 4 π 4 4 =π 0 T = T = 0 sec, άρα f = f = 6 0 Hz 4 T π 0 6 Τ π 6 π 6 και = 4π 0 λ = λ = 0,5 0 m 6 λ 4π 0, Α. Η ταχύτητα διάδοσης του ηλεκτροµαγνητικού κύµατος είναι: 6 4 8 υ =λ f υ = 0,5 0 6 0 υ = 3 0 m/s = c άρα για την µέγιστη τιµή της έντασης του µαγνητικού πεδίου του ηλεκτροµαγνητικού κύµατος ισχύει ότι: Emax 600 8 600 6 =υ = 3 0 B max = B 8 max = 0 Τ B B 3 0 max max και εποµένως η ζητούµενη εξίσωση του µαγνητικού πεδίου είναι: t T x λ ( ) 6 4 6 Β =Βmax ηµπ Β = 0 ηµπ 0 t 4 0 x στο S.I.3 Αφού η ταχύτητα διάδοσης του ηλεκτροµαγνητικού κύµατος είναι ίση µε την ταχύτητα διάδοσης του φωτός στο κενό, συµπεραίνουµε ότι το κύµα διαδίδεται στο κενό ή τον αέρα και εποµένως από την τιµή του µήκους κύµατός του 6 λ = 0,5 0 m λ ο = 500 nm, προκύπτει ότι -στο ηλεκτροµαγνητικό φάσµα- το κύµα ανήκει στην περιοχή του ορατού φωτός. Β. Ο δείκτης διάθλασης του πρίσµατος είναι: 8 c 3 0 n πρισµατος = n πρισµατος = n 8 πρισµατος = υ,5 0 Η κρίσιµη γωνία πρίσµατος αέρα, είναι: nαέρα ηµθ crit = ηµθ crit = θ crit = 30 n πρισµατος Β. Η δέσµη προσπίπτει κάθετα στην πλευρά ΑΒ του πρίσµατος και εποµένως συνεχίζει τη διάδοσή της στο πρίσµα χωρίς αλλαγή στη διεύθυνση διάδοσής της, και πέφτει µε γωνία πρόσπτωσης θ α = 45 ο στην πλευρά ΒΓ του πρίσµατος. Στην πλευρά ΒΓ συµβαίνει ολική ανάκλαση, αφού ισχύει ότι θ α = 45 ο > θ crit = 30 ο. Η (ολικώς ανακλώµενη) δέσµη προσπίπτει κάθετα στην πλευρά ΑΓ, αφού σύµφωνα µε το νόµο της ανάκλασης θ r = θ α = 45 ο, και στη συνέχεια εξέρχεται από το πρίσµα χωρίς αλλαγή στη διεύθυνση διάδοσής της, µε συνέπεια η ζητούµενη γωνία εκτροπής να είναι: ε = θ r + θ α = 90 ο ο B 45 o 45 o 45 o 45 o Γ --
ΘΕΜΑ 4 Ο Α. Στο σχήµα έχουν σηµειωθεί οι δυνάµεις που δέχονται το σώµα Σ και το γιο-γιό, στην κατάσταση της ισορροπίας τους. Προφανώς το τµή- µα ΒΓ του αβαρούς νήµατος ασκεί την ίδια τάση στο σώµα Σ και στο γιο-γιό, δηλαδή Τ = Τ. Από την ισορροπία του γιο-γιό προκύπτει ότι: Στ = 0 τ + τ + τ = 0 0 T R+ T R = 0 ( ) W T T T T R = 0 T =T και T= T ΣF = 0 W T T = 0 W T = 0, W mg T = T = T = 0,4 N άρα και T = 0,4 N W Από την ισορροπία του σώµατος Σ προκύπτει: m + g T ΣF = 0 F l + ελ W T = 0 K = mg T l = l = 0,0 m K Β. Σύµφωνα µε την ικανή και αναγκαία συνθήκη για την απλή αρµονική ταλάντωση, αρκεί να δείξουµε ότι σε µια τυχαία θέση του συστήµατος (κατακόρυφο ελατήριο σώµα προσδεδεµένο στο κάτω άκρο του ελατηρίου), η συνισταµένη δύναµη που δέχεται το σώµα είναι ανάλογη κατά µέτρο και έχει αντίθετη φορά από την αποµάκρυνση του σώµατος από τη θέση ισορροπίας του. λ o λ (Σ) F ελ B W T Γ T Z T λ o x Φ.Μ Θ.Ι λ Τ.Θ αρχική θέση ισορροπίας του Σ λ W F ελ, F ελ, 0 x λ W F ελ ( υ = 0) W x (+) -3-
Στη θέση ισορροπίας του συστήµατος ισχύει ότι: ΣF = 0 F ελ, = W K l = W () Στη τυχαία θέση που έχει σηµειωθεί στο σχήµα, λαµβάνοντας ως θετική τη φορά προς τα κάτω, θα ισχύει ότι: ΣF =W Fελ, ΣF =W K l και επειδή από το σχήµα προκύπτει ότι l = l + x, τελικά στην τυχαία θέση ( l ) ΣF =W K + x ΣF =W K l K x ΣF = K x άρα το σύστηµα κάνει απλή αρµονική ταλάντωση µε σταθερά επαναφοράς τη σταθερά του ελατηρίου, δηλαδή D = K. Η γενική µορφή της εξίσωσης της ταχύτητας του σώµατος Σ σε συνάρτηση µε το χρόνο είναι: ( ) ( ) ( ) υ =υ συν ω t+ φ υ =ω Α συν ω t+ φ, max ο ο Το σώµα τη στιγµή, που αρχίζει την ταλάντωσή του (όταν κόβεται το νήµα ΒΓ) είναι ακίνητο και εποµένως βρίσκεται σε µέγιστη αποµάκρυνση, άρα το πλάτος της ταλάντωσης είναι ίσο µε την αρχική επιµήκυνση του ελατηρίου ( λ) ελαττωµένη κατά την επιµήκυνση του ελατηρίου στη θέση όπου θα ισορροπεί το σώµα Σ, αφού κοπεί το νήµα ΒΓ ( λ ). W Στη θέση ισορροπίας του σώµατος Σ από () l = K και επειδή στο ερώτηµα Α υπολογίστηκε ότι l = 0,06 m, l = 0,0 m, το πλάτος της ταλάντωσης είναι Α = l l Α = 0,0 0,06 Α = 0,004 m ή Α = 4 mm.. Για τη γωνιακή συχνότητα της ταλάντωσης έχουµε: Κ Κ D = m ω ω = ω = ω = 5 rad/s m m Επιπλέον, αφού τη στιγµή t o = 0, που αρχίζει την ταλάντωσή του, βρίσκεται στη θέση x = +, για τον προσδιορισµό της αρχικής φάσης έχουµε: π x = ηµ ( ω t+ φ ο) +Α =Α ηµ ( ω 0+ φο) ηµφ ο = ηµφ ο =ηµ π φ ο = kπ + π ή φ ο = kπ + µε k Z π π φ ο = kπ +π = kπ + και σύµφωνα µε τη σύµβαση για την αρχική φάση -4-
π π 0 φ ο < π 0 kπ + < π k = 0, άρα φο = ώστε η εξίσωση της ταχύτητας ταλάντωσης του σώµατος Σ, τελικά είναι: π π υ = 5 0,004 συν 5 t+ υ = 0, συν 5 t+ στο S.I Β. Στο παρακάτω σχήµα έχουν σηµειωθεί οι δυνάµεις που ασκούνται στο γιο-γιό µετά το κόψιµο του τµήµατος ΒΓ του νήµατος και καθώς κινείται προς τα κάτω. Z T W Το γιο-γιό εκτελεί σύνθετη κίνηση και για την µεταφορική του κίνηση ισχύει ότι: ΣF = m α W T = m α m g T = m α () ενώ για τη στροφική του κίνηση ισχύει ότι: Στ =Ι α γων T R = m R αγων T = m R αγων και επειδή το νήµα είναι µη εκτατό και δεν ολισθαίνει στην περιφέρεια του γιογιό, στο ίδιο στοιχειώδες χρονικό διάστηµα τα περιφερειακά σηµεία του γιο-γιό διανύουν τόξο ίδιου µήκους µε το µήκος του νήµατος που ξετυλίγεται άρα και µε την µετατόπιση του κέντρου µάζας του γιο-γιό, εποµένως κάθε στιγµή θα ισχύει ότι: dθ R dx dθ dx ds = dx dθ R = dx = R = ω R =υcm dt dt dt dt δηλαδή η γραµµική ταχύτητα των σηµείων της περιφέρειάς του είναι κάθε στιγ- µή ίση µε την ταχύτητα του κέντρου µάζας του. Εποµένως, για τους ρυθµούς µεταβολής τους θα ισχύει ότι: ( ) d ω R dυcm dω dυcm = R = αγων R =α dt dt dt dt άρα η (τελευταία) σχέση για την τάση του νήµατος παίρνει τη µορφή: -5-
T = m α (3) Λύνοντας το σύστηµα των σχέσεων () και (3) έχουµε: m g m α = m α α = g α = 0 4 m/s, άρα από (3) T = N 3 3 5 και ο ρυθµός µεταβολής της στροφορµής του γιο-γιό είναι: L L m =Στ =T R = 8 0 Kg t t s 3. Β.3 Όταν το κέντρο µάζας του γιο-γιό βρεθεί χαµηλότερα κατά h, θα ισχύει : h h = α t t = t = 0,6 sec α η γωνιακή ταχύτητα του γιο-γιό εκείνη τη στιγµή είναι : ω =αγων t ω = α t ω 400 = rad/s R 3. (Το ερώτηµα αυτό θα µπορούσε να απαντηθεί και µε εφαρµογή της Α..Μ.Ε.) Γ. Από τη στιγµή t, που κόβεται το νήµα Ζ, το γιο-γιό δεν επιταχύνεται πλέον στροφικά, αφού το βάρος δεν έχει ροπή, εποµένως η κινητική ενέργεια λόγω στροφικής κίνησης δεν µεταβάλλεται. Σύµφωνα µε την Α..Μ.Ε. από τη στιγµή t και µέχρι τη στιγµή που το κέντρο µάζας του γιο-γιό θα φτάσει χαµηλότερα κατά h, ορίζοντας το επίπεδο µηδενικής βαρυτικής ενέργειας στη χαµηλότερη θέση, έχουµε : ω ω υ cm, υ cm, U βαρ, + K µετ, + Kστρ = U βαρ, + K µετ, + Kστρ m g h + m υ = 0+K όµως cm, µετ, h U = 0 βαρ υ =α t υ = 4 m/s και εποµένως η ζητούµενη κινητική ενέργεια cm, cm, λόγω µεταφορικής κίνησης, προκύπτει: K µετ, = m g h + m υcm, K µετ, =,44 J -6-
-7-