υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 010-011 ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 15.1 -
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 010-011 Copyright ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών - 010. Με επιφύλαξη παντός δικαιώµατος. ll rights rsrvd. Απαγορεύεται η χρήση, αντιγραφή, αποθήκευση και διανοµή της παρούσης εργασίας, εξ ολοκλήρου ή τµήµατος αυτής, για πάσης φύσεως εµπορικό ή επαγγελµατικό σκοπό. Επιτρέπεται η ανατύπωση, αποθήκευση και διανοµή για σκοπό µη κερδοσκοπικό, εκπαιδευτικής ή ερευνητικής φύσεως, υπό την προϋπόθεση να αναφέρεται η πηγή προέλευσης και να διατηρείται το παρόν µήνυµα. - 15. -
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 010-011 Εκπαιδευτική Ενότητα15 η Μοντελοποίηση υναµικών Συστηµάτων µε την Ενεργειακή Αρχή agrang Εφαρµογές Γενικά Στην προηγούµενη Εκπαιδευτική Ενότητα σχολιάσθηκε η δυνατότητα µοντελοποίησης σύνθετων δυναµικών συστηµάτων χρησιµοποιώντας την Ενεργειακή Αρχή agrang. Πιο συγκεκριµένα, εξετάσθηκε ένα σύνθετο σύστηµα, αποτελούµενο από ένα υδραυλικό υποσύστηµα και από ένα µηχανικό υποσύστηµα. Στη συγκεκριµένη εφαρµογή, διαπιστώσαµε ότι η σύζευξη µεταξύ των δύο υποσυστηµάτων επιτυγχάνεται µέσω του εµβόλου, το οποίο αποτελεί έναν ενισχυτή. Ως ενισχυτή ορίσαµε εκείνο το τεχνολογικό στοιχείο, το οποίο µετατρέπει σθένος σε σθένος (στην προκειµένη περίπτωση, µετατρέπει πίεση σε δύναµη) και ροή σε ροή (στην προκειµένη περίπτωση, µετατρέπει παροχή σε ταχύτητα). Επίσης, διαπιστώσαµε ότι το εξετασθέν ρευστοµηχανικό σύστηµα είναι δυνατόν να θεωρηθεί: είτε ως ένα µηχανικό σύστηµα, προσαυξηµένης αδράνειας και απόσβεσης, λόγω της παρουσίας του υδραυλικού υποσυστήµατος, είτε ως ένα υδραυλικό σύστηµα, προσαυξηµένης αδράνειας και αντίστασης, λόγω της παρουσίας του µηχανικού υποσυστήµατος, ενώ ταυτόχρονα, και αυτό αποτελεί το πολύ ενδιαφέρον στοιχείο, το, αρχικώς θεωρούµενο ασυµπίεστο, ρευστό (εργαζόµενο µέσο) αποκτά συµπιεστότητα. Στην παρούσα Εκπαιδευτική Ενότητα, θα εξετάσουµε δύο σύνθετα δυναµικά συστήµατα: ένα ηλεκτροµηχανικό σύστηµα, δηλαδή ένα σύνθετο δυναµικό σύστηµα, αποτελούµενο από ένα ηλεκτρικό υποσύστηµα και από ένα µηχανικό υποσύστηµα, ένα απλοποιηµένο σύστηµα ανάρτησης οχήµατος (απλοποιηµένη προσέγγιση της δυναµικής ενός οχήµατος). Εφαρµογή #1: Ηλεκτροµηχανικό σύστηµα Έστω το ηλεκτροµηχανικό σύστηµα του Σχήµατος 1, το οποίο τροφοδοτείται από τάση, η τιµή της οποίας είναι γνωστή συνάρτηση του χρόνου. Εάν, για παράδειγµα, η τάση είναι συνεχής, τότε είναι δυνατόν να αναπαρασταθεί ως µία βηµατική συνάρτηση, ενώ εάν είναι εναλλασσόµενη τότε είναι δυνατόν να αναπαρασταθεί ως µία αρµονική διέγερση. R J + i M ω - c φ Σχήµα 1: Ηλεκτροµηχανικό σύστηµα - 15.3 -
Η τάση υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 010-011 τροφοδοτεί έναν ηλεκτρικό κύκλωµα αντίστασης R και αυτεπαγωγής. Το εν λόγω ηλεκτρικό κύκλωµα τροφοδοτεί έναν ηλεκτροκινητήρα, ο οποίος θεωρείται ως αναστροφέας µε σταθερά (βλ. Εκπαιδευτική Ενότητα 14). Ο άξονας του ηλεκτροκινητήρα κινεί έναν µηχανικό άξονα, ο οποίος στηρίζεται µε τη βοήθεια κατάλληλου εδράνου. Η παρουσία του εν λόγω εδράνου µοντελοποιείται ως αποσβεστήρας σταθεράς c ϕ. Ο άξονας περιστρέφει, µε γωνιακή ταχύτητα ω, έναν σφόνδυλο, η ροπής αδρανείας του οποίου είναι J. Ζητούνται οι εξισώσεις κίνησης του συστήµατος. Λύση Το εξεταζόµενο σύνθετο (συζευγµένο) σύστηµα αποτελείται από ένα ηλεκτρικό υποσύστηµα και από ένα µηχανικό (στρεφόµενο δυναµικό) υποσύστηµα. Για την επίλυσή του ακολουθείται η γνωστή διαδικασία: Βήµα 1: Για κάθε υποσύστηµα, καταγραφή των κατά agrang ενεργειακών όρων (π.χ. βλ. Εκπαιδευτική Ενότητα 01, 07) και χρήση του Πίνακα 1 της Εκπαιδευτικής Ενότητας 13 σχετικά µε την αντιστοιχία µεταξύ των φυσικών συστηµάτων. Βήµα : Άθροιση των αντιστοίχων επί µέρους ενεργειακών όρων, οι οποίοι προκύπτουν από το Βήµα 1, προς καταγραφή των κατά agrang ενεργειακών όρων, για ολόκληρο το σύστηµα. Βήµα 3: Σύζευξη των προαναφερθέντων υποσυστηµάτων µέσω του ηλεκτροκινητήρα, ο οποίος θεωρείται ως αναστροφέας (βλ. Εκπαιδευτική Ενότητα 14, παράγραφο για ηλεκτρικό µετασχηµατιστή, σελ. 14.7). Βήµα 4: Επιλογή της ανεξάρτητης κινηµατικής µεταβλητής (Βαθµός Ελευθερίας), ως προς την οποία θα αναγραφούν οι εξισώσεις κίνησης του συστήµατος. Βήµα 5: Εφαρµογή της Ενεργειακής Αρχής agrang, χρησιµοποιώντας τους ενεργειακούς όρους από το Βήµα. Βήµα 6: Καταγραφή των εξισώσεων κίνησης συναρτήσει της ανεξάρτητης κινηµατικής µεταβλητής. Αναλυτικότερα: Για το Βήµα 1: Για το µηχανικό (στρεφόµενο δυναµικό) υποσύστηµα, υπολογίζονται οι ενεργειακοί όροι: Η κινητική ενέργεια T ϕ του υποσυστήµατος συσσωρεύεται στην ροπή αδρανείας J του περιστρεφόµενου άξονα και ισούται µε: T 1 ω ϕ = J (1) Η δυναµική ενέργεια ϕ του υποσυστήµατος είναι µηδενική διότι το υποσύστηµα δεν διαθέτει στοιχείο συσσώρευσης δυναµικής ενέργειας (δηλαδή, δεν διαθέτει στροφικό ελατήριο) και ισχύει: ϕ = 0 () - 15.4 -
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 010-011 Η ενέργεια PC, ϕ του υποσυστήµατος διαχέεται στην αντίσταση (απόσβεση) c ϕ του εδράνου και ισούται µε: PC, ϕ 1 c = (3) ϕ ω Στο υποσύστηµα δεν προσφέρεται εξωτερικά ισχύς Pt, ϕ, συνεπώς ισχύει: Για το ηλεκτρικό υποσύστηµα, υπολογίζονται οι ενεργειακοί όροι: Pt, ϕ = 0 (4) Η κινητική ενέργεια T του υποσυστήµατος συσσωρεύεται στο στοιχείο αυτεπαγωγής και ισούται µε: Η δυναµική ενέργεια T 1 i = (5) του υποσυστήµατος είναι µηδενική διότι στο ηλεκτρικό σύστηµα δεν υπάρχει στοιχείο συσσώρευσης δυναµικής ενέργειας (δηλαδή, δεν υπάρχει πυκνωτής): = 0 (6) Η ενέργεια P C, του υποσυστήµατος διαχέεται στην αντίσταση R και ισούται µε: P C, 1 R i = (7) Η ισχύς P t, του υποσυστήµατος προσφέρεται εξωτερικά από την πηγή τάσης ισούται µε: S και P t, i = (8) S Για το Βήµα : Συνολικά για το εξεταζόµενο σύστηµα, οι ενεργειακοί όροι προκύπτουν από την άθροιση των επί µέρους όρων. Πιο συγκεκριµένα, ισχύει: Η κινητική ενέργεια T του συστήµατος ισούται µε: Η δυναµική ενέργεια του συστήµατος ισούται µε: 1 1 T = Tϕ + T T = Jω + i (9) = + = 0+ 0 = 0 (10) Η ενέργεια P C του συστήµατος, η οποία διαχέεται, ισούται µε: ϕ - 15.5 -
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 010-011 1 1 PC = PC, ϕ + PC, PC = cϕ ω + R i (11) Η, εξωτερικά προσφερόµενη στο σύστηµα, ισχύς P t ισούται µε: P = P + P = + i P = i (1) t t, ϕ t, 0 S t S Για το Βήµα 3: Σύµφωνα µε το Σχήµα 1, η σύζευξη του ηλεκτρικού υποσυστήµατος µε το µηχανικό υποσύστηµα υλοποιείται µέσω της κίνησης (περιστροφής) του άξονα λόγω της λειτουργίας του ηλεκτροκινητήρα. Ο συγκεκριµένος τρόπος σύζευξης µοντελοποιείται ως αναστροφέας µε σταθερά (βλ. Εκπαιδευτική Ενότητα 14). Ειδικότερα, η είσοδος του αναστροφέα είναι η αντι-ηλεκτρεγερτική δύναµη (τάση) ( σθένος ) στα άκρα του ηλεκτροκινητήρα και η ένταση του ρεύµατος i ( ροή ), το οποίο διαρρέει τον ηλεκτροκινητήρα. Η έξοδος του αναστροφέα είναι η ροπή M ( σθένος ), η οποία µεταφέρεται µέσω του περιστρεφόµενου άξονα σταθεράς J, και η γωνιακή ταχύτητα ω ( ροή ), µε την οποία περιστρέφεται ο συγκεκριµένος άξονας. i M ω Σχήµα : Σύζευξη ηλεκτροκινητήρα άξονα. Σύµφωνα µε την Εξ.(17) της Εκπαιδευτικής Ενότητας 14, ισχύει: και = ω (13) 1 i= M (14) Από τις Εξ.(13,14) καθίσταται φανερό ότι τα κινηµατικά µεγέθη (ροές) i και ω δεν συνδέονται άµεσα (τυπικό χαρακτηριστικό των αναστροφέων). Ωστόσο, σύµφωνα µε την Εξ.(15) της Εκπαιδευτικής Ενότητας 14 (διατήρηση της ισχύος σε έναν αναστροφέα, ή, ισοδύναµα, για µηδενική απώλεια ισχύος), ισχύει: Ισοδύναµα, η Εξ.(15) γράφεται ως εξής: i= M ω= σταθ (15) i+ M ω= 0 (16) - 15.6 -
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 010-011 Μέσω της Εξ.(16), επιτυγχάνεται η σύζευξη των µεγεθών i και ω. Η φυσική σηµασία της Εξ.(16) είναι άµεση: εκφράζει την ισχύ, η οποία ανταλλάσεται µέσω του αναστροφέα. Ισοδύναµα, εκφράζει την ισχύ που παρέχεται στο µηχανικό υποσύστηµα από το ηλεκτρικό υποσύστηµα. Είναι δυνατόν να προσθέσουµε την Εξ.(16) στο δεξί µέλος της Εξ.(1) διότι: - το µέγεθος P t εκφράζει παροχή ισχύος, όπως και η Εξ.(16) (άρα, οι δύο εξισώσεις έχουν την ίδια φυσική σηµασία) - η Εξ.(16) είναι ταυτοτικά µηδενική, συνεπώς η πρόσθεσή της στην Εξ.(1) δεν αλλοιώνει το αριθµητικό αποτέλεσµα της Εξ.(1). Με βάση τα ανωτέρω, προκύπτει: ιευκρινίζεται ότι οι µεταβλητές P = i i+ M ω P = i+ M ω (17) t S t S και M αποτελούν εσωτερικές µεταβλητές του εξεταζοµένου ηλεκτροµηχανικού συστήµατος. Η ανωτέρω διαδικασία αποτελεί τυπική τεχνική διαδικασία αντιµετώπισης αναστροφέων: Προσθέτουµε την ισχύ, η οποία ανταλλάσεται µέσω του αναστροφέα, στην ισχύ, η οποία προσφέρεται από τις εξωτερικές δυνάµεις. Με την τεχνική αυτή, εισάγεται η συσχέτιση µεταξύ των κινηµατικών µεταβλητών i και ω στο σύνολο των Εξ.(9-1), οι οποίες περιγράφουν την κατά agrang ενεργειακή κατάσταση του εξεταζόµενου συστήµατος. ιευκρινίζεται ότι εάν σε ένα εξεταζόµενο σύστηµα υπάρχουν περισσότεροι ηλεκτροκινητήρες, τότε εφαρµόζεται η ανωτέρω διαδικασία για κάθε ένα από αυτούς (δηλαδή, για κάθε ηλεκτροκινητήρα καταγράφεται εξίσωση αντίστοιχη της Εξ.(16), η οποία, στη συνέχεια, προστίθεται στο δεξί µέλος της Εξ.(1)). Για το Βήµα 4: Για το ηλεκτρικό υποσύστηµα, ως ανεξάρτητη κινηµατική µεταβλητή είναι δυνατόν να επιλεγεί είτε το ηλεκτρικό φορτίο q είτε η ένταση του ρεύµατος i. Για το περιστρεφόµενο µηχανικό υποσύστηµα, ως ανεξάρτητη κινηµατική µεταβλητή είναι δυνατόν να επιλεγεί είτε η γωνία στροφής ϕ είτε η γωνιακή ταχύτητα ω. Προς διευκόλυνση στην εκτέλεση των πράξεων, ως ανεξάρτητες κινηµατικές µεταβλητές (Βαθµοί Ελευθερίας) επιλέγονται οι ποσότητες q και ϕ. Για το Βήµα 5: Η µαθηµατική έκφραση της Ενεργειακής Αρχής agrang, είναι: PC Pt t q q + q = (18) όπου ως q συµβολίζεται η ανεξάρτητη κινηµατική µεταβλητή (Βαθµός Ελευθερίας). Άρα: - 15.7 -
Για την ανεξάρτητη κινηµατική µεταβλητή q Για τον αδρανειακό όρο: υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 010-011 = q, ισχύει: ( T ) 1 1 q= q = = Jω + i 0 = q q i i = = i i i i (19) Παραγωγίζοντας την Εξ.(19) ως προς το χρόνο, προκύπτει: d d ( i) di = = dt i dt dt (0) Για τον όρο ελαστικότητας: ( T ) 1 1 q= q = = Jω + i 0 = 0 q q q q q Για τον όρο διάχυσης: PC q= q PC 1 1 PC = c R q q i ϕ ω + i = R i = = i i i Για τον όρο διέγερσης: Pt q= q Pt Pt = + = q = q = i i i i (( S ) i M ω) ( S ) (1) () (3) Εφαρµόζοντας την Ενεργειακή Αρχή agrang, ισχύει: PC Pt q= q PC Pt + = + = q = q = i t q t i q i i (4) Με αντικατάσταση στην Εξ.(4), προκύπτει: PC Pt di + = + 0+ R i= ( S ) t i q i i dt di + R i= dt S (5) Κατ αντιστοιχία, για την ανεξάρτητη κινηµατική µεταβλητή q Για τον αδρανειακό όρο: = ϕ, ισχύει: ( T ) 1 1 q= ϕ = = Jω + i 0 = Jω q = ϕ= ω ω ω ω ω (6) Παραγωγίζοντας την Εξ.(6) ως προς το χρόνο, προκύπτει: d d ( J ) J d ω = ω = dt ω dt dt (7) - 15.8 -
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 010-011 Για τον όρο ελαστικότητας: ( T ) 1 1 q= ϕ = = Jω + i 0 = 0 q ϕ ϕ ϕ ϕ Για τον όρο διάχυσης: PC q= ϕ PC 1 1 PC = c R q ϕ ω + i = c ϕ ω ϕ ω = = ω ω ω Για τον όρο διέγερσης: P P P = (( ) i+ M ω) = M i i i t q= t t q = i S (8) (9) (30) Εφαρµόζοντας την Ενεργειακή Αρχή agrang, ισχύει: PC Pt q= q PC Pt + = + = q = i t q t i q i i (31) Με αντικατάσταση στην Εξ.(31), προκύπτει: PC Pt dω + = J + 0+ cϕ ω= M t ω ϕ ω ω dt dω J + cϕ ω= M dt (3) Συνεπώς, η εφαρµογή της Ενεργειακής Αρχής agrang καταλήγει στις ακόλουθες εξισώσεις: di + R i = dt S (33) dω J + cϕ ω = M dt (34) Υπενθυµίζεται ότι, όπως είχε αναφερθεί και στο Βήµα 3, οι µεταβλητές και M, οι οποίες εµφανίζονται στις Εξ.(33,34) ως εξωτερικά σθένη, είναι εσωτερικές µεταβλητές του συστήµατος. Με τη βοήθεια των Εξ.(33,34) είναι σαν να έχει διαχωρισθεί το σύνθετο σύστηµα σε δύο διαφορετικά υποσυστήµατα (ένα ηλεκτρικό κύκλωµα και ένα µηχανικό υποσύστηµα), τα οποία συνδέονται µεταξύ τους µέσω των εσωτερικών µεταβλητών, M. Για το Βήµα 6: Αντικαθιστώντας στις Εξ.(33,34) τις µεταβλητές οι εξισώσεις κίνησης του συζευγµένου συστήµατος: και di di + R i= ( ω) + R i+ ω= dt dt S S M από τις Εξ.(13,14), προκύπτουν (35) - 15.9 -
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 010-011 dω dω J + cϕ ω= i J + cϕ ω i= 0 dt dt (36) ιευκρινίζεται ότι η Εξ.(35) εκφράζει το νόµο πτώσης τάσης του Kirchhoff στο ηλεκτρικό κύκλωµα, ενώ η Εξ.(36) εκφράζει την ισορροπία των ροπών στο µηχανικό υποσύστηµα. Στις Εξ.(35,36) αναγνωρίζουµε ότι: Στο δεξί µέλος τους εµφανίζεται µόνον η πραγµατική εξωτερική διέγερση S. Στο αριστερό µέλος τους, η εµφάνιση της σταθεράς του αναστροφέα στους όρους ω και i δηλώνει τη σύζευξη των δύο υποσυστηµάτων. Τεχνική Παρατήρηση Ο πειραµατικός υπολογισµός της απόσβεσης ενός εδράνου κύλισης (ρουλεµάν) είναι δυνατόν να επιτευχθεί µε τον εξής τρόπο: θέτουµε σε περιστροφή τον άξονα ο οποίος εδράζεται στο υπό µέτρηση ρουλεµάν (π.χ. µε τη βοήθεια ενός ηλεκτροκινητήρα). Στην συνέχεια αποσυµπλέκουµε τον ηλεκτροκινητήρα από τον άξονα και τον αφήνουµε να περιστραφεί ελεύθερα. Ο άξονας θα συνεχίσει να περιστρέφεται µε συνεχώς µειούµενη ταχύτητα περιστροφής, λόγω της απόσβεσης που εµφανίζει το έδρανο κύλισης. Με βάση την σταθερά st µείωσης της ταχύτητας περιστροφής ( ) εκτιµάται πειραµατικά η απόσβεση του εδράνου κύλισης η οποία περιγράφεται από την ακόλουθη ιαφορική Εξίσωση: dω J + cϕ ω = 0 dt (37) όπου c ϕ είναι η σταθερά απόσβεσης του εδράνου κύλισης, J η ροπή αδρανείας της περιστροφικής µάζας (άξονας και σφόνδυλος) και ω είναι η γωνιακή ταχύτητα του άξονα. Με βάση την Εξ.(37) και από την πειραµατική καταγραφή της καµπύλης ω ω( t) δυνατός ο προσδιορισµός της σταθεράς απόσβεσης c ϕ. =, είναι Εφαρµογή #: Απλοποιηµένη υναµική Οχήµατος Έστω το απλοποιηµένο µοντέλο οχήµατος του Σχήµατος 3. ϑ 0 k k a c c a 10 a Σχήµα 3: Απλοποιηµένη δυναµική οχήµατος - 15.10 -
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 010-011 Πιο συγκεκριµένα, στο Σχήµα 3 διακρίνονται τέσσερα βασικά στοιχεία του οχήµατος: Το πρόσθιο σύστηµα ανάρτησης, το οποίο µοντελοποιείται ως ένα ελατήριο σταθεράς k a συνδεδεµένο παράλληλα µε έναν αποσβεστήρα σταθεράς απόσβεσης c a. Η κατακόρυφη κίνηση του άνω σηµείου της εν λόγω ανάρτησης σηµειώνεται ως, ενώ το κάτω σηµείο της δέχεται κινηµατική διέγερση 10 από το οδόστρωµα. Το οπίσθιο σύστηµα ανάρτησης, το οποίο µοντελοποιείται ως ένα ελατήριο σταθεράς k συνδεδεµένο παράλληλα µε έναν αποσβεστήρα σταθεράς απόσβεσης c. Η κατακόρυφη κίνηση του άνω σηµείου της εν λόγω ανάρτησης σηµειώνεται ως, ενώ το κάτω σηµείο της δέχεται κινηµατική διέγερση 0 από το οδόστρωµα. Το κέντρο βάρους του οχήµατος, το οποίο απέχει απόσταση a από τον πρόσθιο άξονα του οχήµατος και απόσταση από τον οπίσθιο άξονα του οχήµατος. Το µεταξόνιο του οχήµατος (απόσταση µεταξύ πρόσθιου και οπίσθιου άξονα οχήµατος), ισούται µε = a+. Η, δε, κατακόρυφη κίνηση του κέντρου βάρους σηµειώνεται ως. Ο διαµήκης άξονας του οχήµατος, ο οποίος περιστρέφεται περί του κέντρου βάρους κατά γωνία ϑ. Υπό την παραδοχή ότι το όχηµα µάζας M και ροπής αδρανείας I κινείται µε σταθερή ταχύτητα υ g επί οριζοντίου ανωµάλου οδοστρώµατος, να βρεθούν οι εξισώσεις της κατακόρυφης κίνησης του οχήµατος. Λύση Το απλοποιηµένο µοντέλο του οχήµατος είναι δυνατόν να θεωρηθεί ως σύνθετο σύστηµα, αποτελούµενο από τρία δυναµικά υποσυστήµατα: το πρόσθιο σύστηµα ανάρτησης, το οπίσθιο σύστηµα ανάρτησης και το πλαίσιο. Για την επίλυσή του, ακολουθείται η διαδικασία, η οποία εφαρµόσθηκε και στην προηγούµενη εφαρµογή: Βήµα 1: Για κάθε υποσύστηµα, καταγραφή των κατά agrang ενεργειακών όρων (π.χ. βλ. Εκπαιδευτική Ενότητα 01, 07) και χρήση του Πίνακα 1 της Εκπαιδευτικής Ενότητας 13 σχετικά µε την αντιστοιχία µεταξύ των φυσικών συστηµάτων. Βήµα : Άθροιση των αντιστοίχων επί µέρους ενεργειακών όρων, οι οποίοι προκύπτουν από το Βήµα 1, προς καταγραφή των κατά agrang ενεργειακών όρων, για ολόκληρο το σύστηµα. Βήµα 3: Σύζευξη των προαναφερθέντων υποσυστηµάτων µέσω της κινηµατικής συµπεριφοράς του πλαισίου. Βήµα 4: Επιλογή της ανεξάρτητης κινηµατικής µεταβλητής (Βαθµός Ελευθερίας), ως προς την οποία θα αναγραφούν οι εξισώσεις κίνησης του συστήµατος. Βήµα 5: Εφαρµογή της Ενεργειακής Αρχής agrang, χρησιµοποιώντας τους ενεργειακούς όρους από το Βήµα. Αναλυτικότερα: - 15.11 -
Για το Βήµα 1: Για το πρόσθιο σύστηµα ανάρτησης: υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 010-011 εν υπάρχει στοιχείο συσσώρευσης κινητικής ενέργειας (µάζα) υναµική ενέργεια αποθηκεύεται στο ελατήριο σταθεράς k a Ισχύς διαχέεται στον αποσβεστήρα σταθεράς c a εν διατίθεται εξωτερική ισχύς Επιβάλλεται κινηµατική διέγερση 10 Κατ αντιστοιχία, για το οπίσθιο σύστηµα ανάρτησης: εν υπάρχει στοιχείο συσσώρευσης κινητικής ενέργειας (µάζα) υναµική ενέργεια αποθηκεύεται στο ελατήριο σταθεράς k Ισχύς διαχέεται στον αποσβεστήρα σταθεράς c εν διατίθεται εξωτερική ισχύς Επιβάλλεται κινηµατική διέγερση 0 Για το πλαίσιο: Συσσωρεύεται κινητική ενέργεια λόγω της ευθύγραµµης κίνησης του πλαισίου µάζας M µε σταθερή ταχύτητα υ g και λόγω της περιστροφής του πλαισίου αδράνειας I µε γωνιακή ταχύτητα ω εν υπάρχει στοιχείο αποθήκευσης δυναµικής ενέργειας (δηλαδή, δεν υπάρχει ούτε ελατήριο ούτε στροφικό ελατήριο) εν υπάρχει στοιχείο διάχυσης ισχύος (δεν υπάρχει αποσβεστήρας) εν διατίθεται εξωτερική ισχύς Η κινηµατική κατάσταση καθορίζεται από τις αποκρίσεις και. Με βάση τις ανωτέρω πληροφορίες, υπολογίζονται οι ενεργειακοί όροι των τριών υποσυστηµάτων του εξεταζοµένου συστήµατος. Οι εν λόγω όροι παρουσιάζονται συνοπτικά στον Πίνακα 1. Πίνακας 1: Ενεργειακοί όροι του συστήµατος του Σχήµατος 3 Κινητική ενέργεια T a 0 0 ( c ) a υναµική ενέργεια ιάχυση ισχύος T = = 0.5 k ( ) P = 0.5 c ( ) a a 10 P c c, a a 10 T = = 0.5 k ( ) P = 0.5 c ( ) g 0 c, 0 Εξωτερική ισχύς P t P, = 0 t a P, = 0 T = 0.5Mυ + 0.5Iω = 0 P, = 0 P, = 0 c c ( a ) : Πρόσθιο σύστηµα ανάρτησης ( ) : Οπίσθιο σύστηµα ανάρτησης ( c ) : Πλαίσιο c c t t c - 15.1 -
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 010-011 Για το Βήµα : Συνολικά, για το εξεταζόµενο σύστηµα, οι ενεργειακοί όροι προκύπτουν από την άθροιση των επί µέρους όρων. Πιο συγκεκριµένα, από τον Πίνακα 1 και µε άθροιση κατά στήλες, προκύπτει: Η κινητική ενέργεια T του συστήµατος ισούται µε: T = T + T + T T = 0.5Mυ + 0.5Iω (38) a c g Η δυναµική ενέργεια του συστήµατος ισούται µε: = + + = 0.5 k + 0.5 k (39) a c a 10 0 Η ενέργεια P C του συστήµατος, η οποία διαχέεται, ισούται µε: P = P + P + P P = 0.5 c + 0.5 c (40) C C, a C, C, c C a 10 0 Η, εξωτερικά προσφερόµενη στο σύστηµα, ισχύς P t ισούται µε: P = P + P + P P = (41) t t, a t, t, c t 0 Για το Βήµα 3: Η κινηµατική του πλαισίου του οχήµατος απεικονίζεται στο Σχήµα 4. (+) ϑ a Σχήµα 4: Κινηµατική του Κέντρου Βάρους του οχήµατος Πιο συγκεκριµένα, η κίνηση του διαµήκους άξονα του πλαισίου αποτελεί τη σύνθεση µίας κατακόρυφης µετατόπισης κατά και µίας περιστροφής περί του Κέντρου Βάρους κατά γωνία ϑ. Για πολύ µικρή γωνία περιστροφής ϑ, ισχύει: tan( ϑ) ϑ (4) Με βάση αυτήν την παραδοχή (δηλαδή, µε βάση την Εξ.(4)) και το Σχήµα 4 (θετική φορά µετατοπίσεων: προς τα πάνω), η κίνηση των σηµείων Α (άνω σηµείο του πρόσθιου συστήµατος ανάρτησης) και Β (άνω σηµείο του οπίσθιου συστήµατος ανάρτησης) περιγράφεται από τις ακόλουθες εξισώσεις: - 15.13 -
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 010-011 Επιλύοντας τις Εξ.(43,44) ως προς και ϑ, προκύπτει: aϑ + = (43) ϑ+ = (44) a 1 1 = + ϑ = = = = ϑ = a 1 a a+ a+ 1 ( a ) a a + a + = + a + = = = = = a 1 a a+ a+ 1 ( a ) (45) (46) Με τις Εξ.(45,46), οι κινηµατικές µεταβλητές µεταβλητές και ϑ. και συνδέονται µε τις κινηµατικές Βήµα 4: Οι εµπλεκόµενες κινηµατικές µεταβλητές είναι,,, ϑ, 10 και 0. Οι µεταβλητές 10 και 0 περιγράφουν την εξωτερική κινηµατική διέγερση (διέγερση οδοστρώµατος) και αποτελούν γνωστές συναρτήσεις του χρόνου f ( t ). Για παράδειγµα, στην περίπτωση αρµονικού οδοστρώµατος ισχύει: υ οχ ήµατος 10 = f ( t) 10 = o cos π t οδοστρ ώµατος (47) όπου ως υ οχ ήµατος συµβολίζεται η ταχύτητα του οχήµατος και ως οδοστρ ώ µατος συµβολίζεται η απόσταση µεταξύ δύο διαδοχικών τοπικών ακροτάτων της ηµιτονοειδούς µορφής του οδοστρώµατος. Εάν, λοιπόν, η διέγερση 10 στο πρόσθιο σύστηµα ανάρτησης δίδεται από τη συνάρτηση f ( t ), τότε η διέγερση 0 στο οπίσθιο σύστηµα ανάρτησης δίδεται από την συνάρτηση: 0 = f t υ οχ ή µατος (48) όπου ως συµβολίζεται το µεταξόνιο του οχήµατος. Οι υπόλοιπες τέσσερεις µεταβλητές σχετίζονται µεταξύ τους µέσω δύο εξισώσεων (είτε µέσω των Εξ.(43,44) είτε µέσω των Εξ.(45,46)). Συνεπώς, το εξεταζόµενο σύστηµα διαθέτει δύο ανεξάρτητες κινηµατικές µεταβλητές (Βαθµοί Ελευθερίας): είτε τις, είτε τις, ϑ. Για λόγους ευκολίας - 15.14 -
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 010-011 εκτέλεσης πράξεων, επιλέγονται οι µεταβλητές εξεταζοµένου συστήµατος. και ως Βαθµοί Ελευθερίας του Βήµα 5: Από την Εξ.(38), προκύπτει η έκφραση της κινητικής ενέργειας T του εξεταζοµένου συστήµατος συναρτήσει των µεταβλητών ω και υ g, όπου: Ο συνδυασµός των Εξ.(45,49) δίδει: Επίσης, ο συνδυασµός των Εξ.(46,50) δίδει: ω= ϑ (49) υ = (50) g ( ) ( ) d ω= ϑ = ω= dt (51) ( a + ) ( a + ) d υ = = υ = dt (5) Αντικαθιστώντας στην Εξ.(38) µε τις Εξ.(51,5), η κινητική ενέργεια του εξεταζοµένου συστήµατος γράφεται συναρτήσει των ανεξαρτήτων κινηµατικών µεταβλητών ως εξής: ( a + ) ( ) T = 0.5M + 0.5I (53) Κατά τα γνωστά, η µαθηµατική έκφραση της Ενεργειακής Αρχής agrang, είναι: PC Pt t q q + q = (54) όπου ως q συµβολίζεται η ανεξάρτητη κινηµατική µεταβλητή (Βαθµός Ελευθερίας). Άρα: Για την ανεξάρτητη κινηµατική µεταβλητή q=, ισχύει: Για τον αδρανειακό όρο: ( T ) q= = = q = = υ ( a + ) ( ) = 0.5M + 0.5I ( 0.5 ka ( 10) + 0.5 k ( 0) ) ( a + ) ( )( 1) ( Ma + M ) ( I I ) = M + I = + - 15.15 -
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 010-011 ( M + I) ( Ma I) = + (55) Ορίζουµε: m ( M + I) = (56) και m ( Ma I) = (57) Ο συνδυασµός των Εξ.(55,56,57) δίδει: = m + m (58) Παραγωγίζοντας την Εξ.(58) ως προς το χρόνο, προκύπτει: d d = ( m + m ) = m + m (59) dt dt Για τον όρο ελαστικότητας: ( T ) = q q = = ( a + ) ( ) = 0.5M + 0.5I ( 0.5 ka ( 10) + 0.5 k ( 0) ) = = ( ka ( 10) ) ka ( 10) Για τον όρο διάχυσης: PC q= P 0.5 0.5 C PC = c q a + c = ca = = υ Για τον όρο διέγερσης: ( 10 0 ) ( 10) Pt q= P t Pt = ( 0) = 0 q = = υ (60) (61) (6) Εφαρµόζοντας την Ενεργειακή Αρχή agrang, ισχύει: P P = P P + = + = t q q q t C t q C t q = = υ υ υ υ (63) - 15.16 -
Με αντικατάσταση στην Εξ.(63), προκύπτει: P P t υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 010-011 C t + = m+ m + ka 10 + ca 10 = 0 υ υ υ m + m + c + k = c + k (64) a a a 10 a 10 Κατ αντιστοιχία, για την ανεξάρτητη κινηµατική µεταβλητή q=, ισχύει: Για τον αδρανειακό όρο: ( T ) q= = = q = = υ ( a + ) ( ) = 0.5M + 0.5I ( 0.5 ka ( 10) + 0.5 k ( 0) ) ( a + ) a ( ) ( Ma + Ma ) ( I I ) = M + I = + ( Ma + I) ( Ma I) = + (65) Ορίζουµε: m ( Ma + I) = (66) Ο συνδυασµός των Εξ.(57,65,66) δίδει: = m + m (67) Παραγωγίζοντας την Εξ.(67) ως προς το χρόνο, προκύπτει: d d = ( m + m ) = m + m (68) dt dt Για τον όρο ελαστικότητας: ( T ) = q q = = ( a + ) ( ) = 0.5M + 0.5I ( 0.5 ka ( 10) + 0.5 k ( 0) ) - 15.17 -
υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 010-011 ( ( k ( 0) )) k ( 0) = = Για τον όρο διάχυσης: PC q= P 0.5 0.5 C PC = c q a + c = c = = υ Για τον όρο διέγερσης: ( 10 0 ) ( 0) Pt q= P t Pt = ( 0) = 0 q = = υ (69) (70) (71) Εφαρµόζοντας την Ενεργειακή Αρχή agrang, ισχύει: P P = P P + = + = t q q q t C t q C t q = = υ υ υ υ (7) Με αντικατάσταση στην Εξ.(7), προκύπτει: P P t C t + = m+ m + k 0 + c 0 = 0 υ υ υ m + m + c + k = c + k (73) 0 0 Με βάση τα ανωτέρω, οι εξισώσεις κίνησης του εξεταζοµένου σώµατος είναι: m + m + c + k = c + k m + m + c + k = c + k a a a 10 a 10 0 0 (74) Σε µητρωϊκή γραφή, η Εξ.(74) γράφεται ως: m m ca 0 ka 0 ca 0 10 ka 0 10 m m + 0 c + 0 k = + 0 c 0 0 k 0 (75) - 15.18 -