υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 8.

Transcript

1 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι

2 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 Copyrght ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών Με επιφύλαξη παντός δικαιώµατος. All rghts reserved. Απαγορεύεται η χρήση, αντιγραφή, αποθήκευση και διανοµή της παρούσης εργασίας, εξ ολοκλήρου ή τµήµατος αυτής, για πάσης φύσεως εµπορικό ή επαγγελµατικό σκοπό. Επιτρέπεται η ανατύπωση, αποθήκευση και διανοµή για σκοπό µη κερδοσκοπικό, εκπαιδευτικής ή ερευνητικής φύσεως, υπό την προϋπόθεση να αναφέρεται η πηγή προέλευσης και να διατηρείται το παρόν µήνυµα

3 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 Εκπαιδευτική Ενότητα 8 η Ιδιοτιµές & Ιδιοανύσµατα υναµικού Συστήµατος Πολλών Βαθµών Ελευθερίας Ιδιοανυσµατικός Μετασχηµατισµός Εφαρµογή Έστω το διβάθµιο δυναµικό σύστηµα m k του Σχήµατος, στο οποίο δεν υπάρχουν στοιχεία απόσβεσης. Πιο συγκεκριµένα, έστω ότι το σύστηµα αποτελείται από τρία όµοια ελατήρια σταθεράς k = και από δύο µάζες, m = 4 και m =, αντίστοιχα. Επίσης, έστω ότι αρχικά µετατοπίζεται µόνο η µάζα µάζας m κατά x =, ενώ η αρχική ταχύτητα ẋ 0 m καθώς και η αρχική µετατόπιση x και η αρχική ταχύτητα 0 0 της ẋ 0 της µάζας m είναι µηδενικές (δηλαδή, ισχύει x ( 0) = x ( 0) = x ( 0) = 0 ). Ζητείται η απόκριση λόγω συστήµατος. x t του εν Σχήµα : Σχηµατική αναπαράσταση εξετασθέντος διβάθµιου συστήµατος m k. Λύση Με βάση την προσέγγιση, η οποία παρουσιάσθηκε στην Εκπαιδευτική Ενότητα 07, το σύστηµα χαρακτηρίζεται από δύο ανεξάρτητες κινηµατικές µεταβλητές (Βαθµοί Ελευθερίας): την µετατόπιση x της µάζας m και τη µετατόπιση x της µάζας m (βλ. Σχήµα ). Η γενική µορφή της απόκρισης θα είναι µία αρµονική, χρονική συνάρτηση: cos( ωt) x t =Φ () όπου αφορά στο πλάτος των ταλαντώσεων και ω είναι οι συχνότητες ταλάντωσης του Φ συστήµατος. Σύµφωνα µε την Εκπαιδευτική Ενότητα 07, οι ποσότητες ω καλούνται ιδιοσυχνότητες του συστήµατος και ένας από τους δυνατούς τρόπους υπολογισµού τους είναι επιλύοντας την εξίσωση: ( ω M K ) det + = 0 () όπου M είναι το µητρώο µάζας της κατασκευής και K είναι ο µητρώο δυσκαµψίας (ή µητρώο στιβαρότητας) της κατασκευής. Η, δε, ποσότητα Φ, πάντοτε σύµφωνα µε την Εκπαιδευτική Ενότητα 07, υπολογίζεται από την επίλυση του οµογενούς συστήµατος:

4 όπου οι ιδιοσυχνότητες υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 ( ω M K) + Φ = 0 ω είναι εκείνες που προκύπτουν από την Εξ.(). Για την κατάστρωση της Εξ.(), απαιτείται ο υπολογισµός των µητρώων M και K, κάτι το οποίο επιτυγχάνεται εφαρµόζοντας την Ενεργειακή Αρχή Lagrange προς διαµόρφωση των εξισώσεων ισορροπίας του συστήµατος. Για το εξεταζόµενο σύστηµα, και µε βάση τους ορισµούς του Μαθήµατος 0 και του Μαθήµατος 07, ισχύει: Η κινητική ενέργεια του συστήµατος, η οποία συσσωρεύεται στις µάζες m και m, ισούται µε: = mυ + mυ = m x + m x (4) Η δυναµική ενέργεια U του συστήµατος, η οποία συσσωρεύεται στα τρία όµοια ελατήρια σταθεράς k, ισούται µε: k= k= k3= k U = k( x) + k( x) + k( x) U = kx + k( x x) + kx k (5) k k3 (3) Στο σύστηµα δεν διαχέεται ενέργεια απόσβεσης, άρα ισχύει: P C, διότι το σύστηµα δεν διαθέτει στοιχεία P = 0 (6) C Η ισχύς P t του συστήµατος είναι µηδενική, διότι στο σύστηµα δεν ασκούνται εξωτερικές δυνάµεις, άρα δεν προσφέρεται ενέργεια στο σύστηµα από εξωτερική πηγή. Συνεπώς, ισχύει: P = 0 (7) Η ενεργειακή µεταβλητή Lagrange L του συστήµατος, ισούται µε: Συνεπώς, από το συνδυασµό των Εξ.(4,5,8), προκύπτει: t L= U (8) L= U = m x + m x kx + k x x + kx (9) Η εφαρµογή των Εξ.(4-9) για την ελεύθερη κινηµατική µεταβλητή q= x, δίδει (παρατίθενται τα τελικά αποτελέσµατα, ενώ, για αναλυτικό υπολογισµό των επί µέρους όρων, βλ. Παράρτηµα Α): L = m x x (0)

5 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 d L d = ( m x ) = m x dt x dt L = kx kx x () () x P C P t x = 0 = 0 (3) (4) Η µαθηµατική έκφραση της Ενεργειακής Αρχής Lagrange είναι (βλ. Εκπαιδευτική Ενότητα0, Εκπαιδευτική Ενότητα07): L L PC Pt + = t x x x x (5) Εισάγοντας τις Εξ.(,,3,4) στην Εξ.(5), προκύπτει: (6) m x + kx kx = 0 Επαναλαµβάνοντας την ανωτέρω διαδικασία για την ελεύθερη κινηµατική µεταβλητή q= x, προκύπτει (και σε αυτήν την περίπτωση, παρατίθενται τα τελικά αποτελέσµατα, ενώ, για αναλυτικό υπολογισµό των επί µέρους όρων, βλ. Παράρτηµα Β): L x = m x (7) d L d = ( m x ) = m x dt x dt L = kx + kx x (8) (9) x P C x P t = 0 = 0 (0) () Εισάγοντας τις Εξ.(8,9,0,) στην Εξ.(5), προκύπτει: () m x kx + kx = 0 Χρησιµοποιώντας µητρωϊκή γραφή, οι Εξ.(6,) γράφονται και ως εξής:

6 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 x x [ m 0] + [ k k] = { 0} m x+ kx kx = 0 x x m x kx+ kx = 0 x x [ 0 m] + [ k k] = { 0 } x x m 0 x k k x 0 0 m + x = k k x 0 M x K x F (3) Με αριθµητική αντικατάσταση στην Εξ.(3), προκύπτει: 4 0 x x x = x 0 (4) Το οµογενές σύστηµα της Εξ.(4) έχει µη-τετριµµένη λύση όταν ισχύει η Εξ.(): ω λ ω M K λ M K det 0 det 0 = Εξ.(4) + = + = 4 0 4λ+ det λ 0 det = = λ+ (5) Ο αναλυτικός υπολογισµός της Εξ.(5) παρουσιάζεται στο Παράρτηµα Γ. Τελικά προκύπτει: λ = ω = ω = λ = ω =.54 ω =.4668 (6) ιευκρινίζεται ότι οι ποσότητες ω και ω είναι θετικές διότι: Τα µητρώα µάζας M και δυσκαµψίας K είναι συµµετρικά και θετικά ηµιορισµένα. Αποδεικνύεται ότι τέτοια µητρώα έχουν µη-αρνητικές ιδιοτιµές, δηλαδή: λ 0 Επίσης, διευκρινίζεται ότι η άκρως ενδιαφέρουσα περίπτωση λ = 0 (µηδενικές ιδιοτιµές) θα εξετασθεί ιδιαιτέρως σε επόµενη Εκπαιδευτική Ενότητα. Οι τιµές ω και ω είναι οι ιδιοτιµές (ιδιοσυχνότητες) του εξεταζοµένου δυναµικού συστήµατος (βλ. Σχήµα ). Αντικαθιστώντας στην Εξ.(3) µε ω = ω προκύπτει: Φ 0 + Φ = = Φ 0 ( Eξ ) ( ω M K) 0 Εξ Φ, Φ Φ = Φ =Φ.654 = Φ, 0 Φ Φ = 0 Φ =.654 Φ

7 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 Φ = Φ Φ = Φ (7) Η ποσότητα καλείται ιδιοάνυσµα του εξεταζοµένου συστήµατος και αντιστοιχεί στην Φ ιδιοτιµή ω. ιαπιστώνουµε ότι το σύστηµα της Εξ.(7) αποτελείται από δύο όµοιες εξισώσεις. Αυτό είναι αναµενόµενο, διότι η φυσική σηµασία ενός οµογενούς συστήµατος είναι ότι οι εξισώσεις του συστήµατος δεν είναι ανεξάρτητες µεταξύ τους. Ισοδύναµα, το πλήθος των ανεξαρτήτων εξισώσεων ενός οµογενούς συστήµατος είναι µικρότερο από το πλήθος των εξισώσεων του συστήµατος. Ως εκ τούτου, τουλάχιστον µία µεταβλητή του συστήµατος δεν είναι µονοσήµαντα ορισµένη. Στην προκειµένη περίπτωση, από την Εξ.(7) προκύπτει ότι οι µεταβλητές Φ και Φ δεν είναι ανεξάρτητες µεταξύ τους. Συνεπώς, επιλέγουµε αυθαίρετα µία από αυτές ως ελεύθερη µεταβλητή. Η επιλογή γίνεται καθαρά µε κριτήριο την ευκολία εκτέλεσης πράξεων. Μια πρακτική επιλογή είναι να θέσουµε την πρώτη συνιστώσα του ιδιοανύσµατος, δηλαδή την ποσότητα Φ ως ελεύθερη µεταβλητή. Σε Φ αυτήν την περίπτωση, προκύπτει: Φ Φ, Φ Φ Φ = const= C Φ = = =Φ Φ = C C * R (8) Στην Εξ.(8), αφού η σταθερά C δύναται να είναι οποιοσδήποτε µη-µηδενικός πραγµατικός αριθµός, επιλέγουµε, καθαρά για λόγους ευκολίας πράξεων, την τιµή: Ο συνδυασµός των Εξ.(8,9) δίδει: C = (9) Φ Φ Φ = = (30) Από την Εξ.(30) προκύπτει το εξαιρετικά σηµαντικό συµπέρασµα ότι: Ένα ιδιοάνυσµα ΕΝ έχει συγκεκριµένη τιµή (δεν αποτελεί συγκεκριµένη ποσότητα). Αντιθέτως, συγκεκριµένη είναι η αναλογία που εµφανίζουν µεταξύ τους οι συνιστώσες του ιδιοανύσµατος. Επαναλαµβάνοντας την ίδια διαδικασία και για την ιδιοσυχνότητα ω = ω, προκύπτει: ( Eξ.4) Φ 0 ( ω M + K) Φ = 0 ( Εξ.6) =.54 + Φ Φ Φ Φ = Φ =Φ 0.54 = Φ 0 Φ 0.54 Φ = 0 Φ = 0.54 Φ

8 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 Φ = Φ Φ = Φ (3) Από την Εξ.(7) προκύπτει ότι οι µεταβλητές Φ και Φ δεν είναι ανεξάρτητες µεταξύ τους. Για λόγους ευκολίας πράξεων, επιλέγουµε τη συνιστώσα Φ ως ελεύθερη µεταβλητή: Φ Φ Φ = = =Φ Φ = C, C R Φ = const= C * Φ Φ (3) Στην Εξ.(3), αφού η σταθερά C δύναται να είναι οποιοσδήποτε µη-µηδενικός πραγµατικός αριθµός, επιλέγουµε, καθαρά για λόγους ευκολίας πράξεων, την τιµή: Ο συνδυασµός των Εξ.(3,33) δίδει: C = (33) Φ Φ = = Φ (34) Η φυσική σηµασία των αριθµητικών τιµών των ιδιοτιµών, καθώς και η φυσική σηµασία αριθµητικών τιµών και προσήµων των ιδιοανυσµάτων, είναι η εξής: Η Εξ.(30) δηλώνει ότι εάν το σύστηµα ταλαντωθεί µε συχνότητα ω, τότε το πλάτος ταλάντωσης της µάζας m θα είναι της αυτής φοράς (διότι > 0 ) µε το πλάτος ταλάντωσης της µάζας m και φορές µεγαλύτερο, δηλαδή ισχύει: ( πλάτοςταλάντωσηςµ άζας m λόγωω ) ( πλάτοςταλάντωσης µ άζας m λόγωω ) = Η Εξ.(34) δηλώνει ότι εάν το σύστηµα ταλαντωθεί µε συχνότητα ω, τότε το πλάτος ταλάντωσης της µάζας m θα είναι αντιθέτου φοράς (διότι < 0 ) από το πλάτος ταλάντωσης της µάζας m και φορές µεγαλύτερο, δηλαδή ισχύει: ( πλάτοςταλάντωσης µ άζας m λόγωω ) = ( πλάτοςταλάντωσης µ άζας m λόγωω ) ( ) Εποπτικά, τα δύο ιδιοανύσµατα είναι δυνατόν να παρασταθούν ως φαίνεται στο Σχήµα. (α) Σχήµα : Σχηµατική αναπαράσταση ιδιοανυσµάτων (α) Φ (β) και (β). Φ

9 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 Οι ανωτέρω πληροφορίες είναι πολύ χρήσιµες στην κατάστρωση της εξίσωσης απόκρισης του συστήµατος. Πιο συγκεκριµένα, όπως διατυπώθηκε στην αρχή της λύσεως (βλ. Εξ.()), η γενική µορφή της απόκρισης του συστήµατος είναι (η Εξ.() επαναλαµβάνεται για λόγους πληρότητας του κειµένου): cos( ωt) x t =Φ (35) όπου το διάνυσµα διαθέτει δύο συνιστώσες (τα ιδιοανύσµατα και ), ενώ στην Φ Φ Φ απόκριση συµµετέχουν και οι δύο ιδιοτιµές ω και ω. Εάν το σύστηµα διέθετε µόνο ένα Βαθµό Ελευθερίας (δηλαδή εάν το σύστηµα διέθετε µόνο µία µάζα: τη µάζα m ), τότε η απόκριση θα ήταν της µορφής: cos( ω ) sn( ω ) x t = A t + B t (36) όπου οι αριθµητικοί συντελεστές A και B θα προσδιορίζονταν από τις αρχικές συνθήκες. Ωστόσο, το σύστηµα διαθέτει δύο Βαθµούς Ελευθερίας, άρα εµπλέκονται δύο ιδιοσυχνότητες στην απόκριση του συστήµατος, άρα και στην απόκριση της κάθε µίας µάζας. Με άλλα λόγια, κάθε µάζα θα πραγµατοποιεί ταυτόχρονα δύο ταλαντώσεις: µία µε συχνότητα ω και µία µε συχνότητα ω. Συνεπώς, η Εξ.(36) θα πρέπει να συµπληρωθεί κατάλληλα: και να λάβει τη µορφή: = cos( ω ) + sn( ω ) + cos( ω ) + sn( ω ) x t A t B t A t B t πλάτοςταλάντωσηςµ άζας m λόγωω πλάτοςταλάντωσηςµ άζας m λόγωω Ο προσδιορισµός των αριθµητικών συντελεστών A και B θα σχολιασθεί σε επόµενη παράγραφο (προς το παρόν, εκκρεµεί). Όσον αφορά στην απόκριση x( t ) της µάζας m, τα πλάτη ταλάντωσης της µάζας m δεν είναι ανεξάρτητα από τα πλάτη ταλάντωσης της µάζας m. Αντιθέτως, µεταξύ των πλατών αυτών υπάρχει η αναλογία, η οποία περιγράφεται από το ιδιοάνυσµα (βλ. πλαίσια µε κόκκινο χρώµα στη σελ.6). Ο συνδυασµός της Εξ.(37) µε τις Φ σχέσεις στα πλαίσια µε κόκκινο χρώµα της σελ.6, δίδει: = cos( ω ) + sn( ω ) ( ) + cos( ω ) + sn( ω ) ( ) x t A t B t A t B t (38) Εν γένει, ένα σύστηµα µε N Βαθµούς Ελευθερίας έχει N αρχικές συνθήκες (αρχική µετατόπιση και αρχική ταχύτητα για κάθε έναν Βαθµό Ελευθερίας). Το εξεταζόµενο σύστηµα έχει τέσσερεις αρχικές συνθήκες (αρχική µετατόπιση και αρχική ταχύτητα για κάθε µία από τις δύο µάζες). Συνεπώς, διαθέτουµε τέσσερεις αρχικές συνθήκες και τέσσερεις άγνωστους συντελεστές (τους συντελεστές A, B, A, B ), άρα είναι δυνατόν να προσδιορίσουµε τους συντελεστές αυτούς (για αναλυτικό υπολογισµό των συντελεστών, βλ. Παράρτηµα ). Μετά από αριθµητικές αντικαταστάσεις και εκτέλεση πράξεων, τελικά προκύπτει ότι: (37)

10 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 Η απόκριση της µάζας m δίδεται από την εξίσωση: cos( ω ) cos( ω ) x t = t + t (39) Η απόκριση της µάζας m δίδεται από την εξίσωση: cos( ω ) ( ) cos( ω ) x t = t + t (40) Σε µητρωϊκή γραφή, οι Εξ.(39,40) γράφονται ως εξής: x x = = cos t + t x ( ω ) cos( ω ) (4) Παρατηρώντας τις Εξ.(39,40) (ισοδύναµα, παρατηρώντας την Εξ.(4)), προκύπτουν τα εξής: Η µάζα m ταλαντώνεται µε τρόπο, ο οποίος προκύπτει από την υπέρθεση της ταλάντωσης της µάζας m µε συχνότητα ω και της ταλάντωσης της µάζας m µε συχνότητα ω. Κατ αντιστοιχία, µάζα m ταλαντώνεται µε τρόπο, ο οποίος προκύπτει από την υπέρθεση της ταλάντωσης της µάζας m µε συχνότητα ω και της ταλάντωσης της µάζας m µε συχνότητα ω. Από τις δύο ανωτέρω παρατηρήσεις, προκύπτει ότι η απόκριση του εξεταζοµένου συστήµατος ισούται µε την υπέρθεση των ταλαντώσεων των δύο µαζών m και m µε δύο φυσικές συχνότητες ( ω και ω ). Συνεπώς: Εν γένει, στην ελεύθερη ταλάντωση ενός δυναµικού συστήµατος N Βαθµών Ελευθερίας (Β.Ε), η απόκριση που αντιστοιχεί σε κάθε Β.Ε. περιέχει όλες τις φυσικές συχνότητες του συστήµατος (δηλαδή περιέχει και τις N ιδιοσυχνότητες) Ο τρόπος ταλάντωσης ενός δυναµικού συστήµατος περιγράφεται ως συνδυασµός κάθε µίας ιδιοσυχνότητας του συστήµατος και του αντιστοίχου ιδιοανύσµατος. Εάν, µε κάποιον τρόπο, µηδενισθεί η ταλάντωση που οφείλεται στην ιδιοσυχνότητα ω, τότε η Εξ.(4) θα γραφόταν ως εξής: x = cos x ( ω t) cos( ω t) x cos = x ( ω t) Η Εξ.(4) δηλώνει ότι οι δύο µάζες θα ταλαντώνονται µεν, αλλά τα πλάτη των ταλαντώσεών τους θα χαρακτηρίζονται από σταθερή αναλογία (στην προκειµένη περίπτωση από την αναλογία ( ) ). (4)

11 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 Ως διέγερση του συστήµατος χρησιµοποιήθηκε η επιβολή αρχικής µετατόπισης στη µάζα m. Ωστόσο, από τις τελικές εξισώσεις κίνησης του συστήµατος (βλ. Εξ.(4)), επειδή , έπεται ότι η δεύτερη ιδιοσυχνότητα, πρακτικά, δεν συµµετέχει στην απόκριση x t. Με άλλα λόγια, η ταλάντωση λόγω της δεύτερης φυσικής συχνότητας του συστήµατος δεν συµµετέχει ουσιαστικά στην κίνηση (ταλάντωση) του σηµείου διέγερσης (δηλαδή, της µάζας επί της οποίας επεβλήθη η αρχική συνθήκη). Προκύπτει, λοιπόν, ότι: Ο τρόπος διέγερσης καθώς και το σηµείο διέγερσης αποτελούν δύο βασικά στοιχεία, τα οποία καθορίζουν την απόκριση ενός δυναµικού συστήµατος µε πολλούς Βαθµούς Ελευθερίας. Με βάση την ανωτέρω παρατήρηση, έπεται ότι είναι δυνατόν, εάν επιλέξουµε κατάλληλα το σηµείο διέγερσης και τον τρόπο διέγερσης του συστήµατος, αυτό να ταλαντωθεί µε τρόπο, στον οποίο οι συντελεστές της συχνότητας ω στην Εξ.(4) να είναι εκ ταυτότητος µηδενικοί. Ισοδύναµα: Θεωρώντας µηδενικές αρχικές ταχύτητες, υπάρχει σετ αρχικών µετατοπίσεων, η επιβολή των οποίων προκαλεί την ταλάντωση του συστήµατος βάσει µόνον της πρώτης του φυσικής συχνότητας (πρώτης ιδιοσυχνότητας). ιευκρινίζεται ότι το εξεταζόµενο σύστηµα του Σχήµατος : έχει θεωρηθεί ότι εκτελεί κίνηση επί ενός, µόνο, φορέα (µονοδιάστατη κίνηση) έχει απεικονισθεί σε οριζόντια διάταξη, ενώ δεν έχει ληφθεί υπόψη η βαρυτική επίδραση. Εάν ήταν επιθυµητός ο συνυπολογισµός της βαρυτικής επίδρασης και το σύστηµα πάλι θεωρείτο ότι εκτελεί µονοδιάστατη κίνηση, τότε θα έπρεπε να απεικονισθεί το σύστηµα σε κατακόρυφη διάταξη. Η βαρύτητα δρα κάθετα στην οριζόντια κίνηση, άρα εάν το σύστηµα απεικονιζόταν σε οριζόντια διάταξη τότε η απόκρισή του θα ήταν σύνθεση µίας οριζόντιας κίνησης, λόγω αρχικών συνθηκών, και µίας κατακόρυφης κίνησης, λόγω βαρύτητας (άρα διδιάστατη κίνηση και όχι µονοδιάστατη, ως έχει υποτεθεί). να υπολογισθεί η στατική µετατόπιση λόγω επίδρασης του βάρους και να υπερτεθεί η προαναφερθείσα στατική µετατόπιση στην απόκριση που υπολογίζεται στην Εξ.(4). Ιδιοανυσµατικός Μετασχηµατισµός Όπως είχε αναφερθεί στην Εκπαιδευτική Ενότητα 07, τα ιδιοανύσµατα εµφανίζουν τις ακόλουθες χρήσιµες ιδιότητες (οι ιδιότητες παρατίθενται χωρίς τη µαθηµατική απόδειξη):

12 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 Φ KΦ = k Φ MΦ = m (43) Φ KΦ = 0 Φ MΦ j = (45) 0 k ω = m j (44) (46) Οι Εξ.(43,44,45,46) περιγράφουν τις αποκαλούµενες ιδιότητες ορθοκανονικότητας των ιδιοανυσµάτων, οι οποίες είναι εξαιρετικά χρήσιµες στον αποκαλούµενο ιδιοανυσµατικό µετασχηµατισµό. Η ποσότητα γενικευµένη δυσκαµψία, ενώ η ποσότητα k καλείται γενικευµένος συντελεστής ελαστικότητας ή m καλείται γενικευµένη µάζα. Ο λόγος της γενικευµένης δυσκαµψίας προς τη γενικευµένη µάζα ισούται µε το τετράγωνο της αντίστοιχης ιδιοσυχνότητας ω. Από τις Εξ.(43,45) προκύπτει ότι εάν πολλαπλασιάσουµε αµφίπλευρα, δηλαδή και από αριστερά και από δεξιά, είτε το µητρώο µάζας είτε το µητρώο δυσκαµψίας, µε το αυτό ιδιοάνυσµα τότε το αποτέλεσµα του γινοµένου είναι µία βαθµωτή, µη-µηδενική ποσότητα. Ωστόσο, όπως φαίνεται και από τις Εξ.(44,46), εάν πολλαπλασιάσουµε αµφίπλευρα, είτε το µητρώο µάζας είτε το µητρώο δυσκαµψίας, µε διαφορετικό ιδιοάνυσµα, τότε το αποτέλεσµα του γινοµένου είναι η µηδενική ποσότητα. Για το εξεταζόµενο δυναµικό σύστηµα του Σχήµατος, ισχύει: Για τη γενικευµένη δυσκαµψία k : k.3944 =Φ KΦ = [ ] = [ ] = (47) Για τη γενικευµένη µάζα m : m =Φ MΦ = [ ] = [ ] = (48) Για το λόγο της γενικευµένης δυσκαµψίας k προς τη γενικευµένη µάζα m : k m.5 = = = ω (49) Κατ αντιστοιχία: Για τη γενικευµένη δυσκαµψία k : k =Φ KΦ = [ ] = [ ] = (50) Για τη γενικευµένη µάζα m : m =Φ MΦ = [ ] = [ ] = (5)

13 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 Για το λόγο της γενικευµένης δυσκαµψίας k προς τη γενικευµένη µάζα m : k m 0.48 = =.54= ω (5) Επίσης, ισχύει: Για αµφίπλευρο πολλαπλασιασµό του µητρώου µάζας M µε διαφορετικά ιδιοανύσµατα: Φ MΦ = [ ] = [ ] = Φ MΦ = [ ] = [ ] = (53) (54) Για αµφίπλευρο πολλαπλασιασµό του µητρώου δυσκαµψίας K µε διαφορετικά ιδιοανύσµατα: Φ KΦ = [ ] = [ ] = Φ KΦ = [ ] = [ ] = (55) (56) Η φυσική σηµασία των αποτελεσµάτων των Εξ.(53,54,55,56) είναι ότι τα ιδιοανύσµατα, σε ένα γραµµικό χώρο, είναι µεταξύ τους κάθετα. Πρόκειται για ένα µαθηµατικό αποτέλεσµα, το οποίο µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε, προκειµένου να απλοποιήσουµε σηµαντικά τη δυναµική ανάλυση σύνθετων κατασκευών. Επίσης, το εν λόγω µαθηµατικό αποτέλεσµα µας οδηγεί σε αυτό που καλείται Ιδιοανυσµατικός Μετασχηµατισµός. Πιο συγκεκριµένα, στην πλέον γενική τους µορφή, οι Εξ.(37,38) γράφονται ως εξής: =Φ cos( ω ) + sn( ω ) +Φ cos( ω ) + sn( ω ) x t A t B t A t B t (57) =Φ cos( ω ) + sn( ω ) +Φ cos( ω ) + sn( ω ) x t A t B t A t B t (58) Σε µητρωϊκή γραφή, οι ανωτέρω εξισώσεις γράφονται ως εξής: x Φ Φ A B A B x = cos ω + sn ω + cos ω + sn ω Φ Φ q q x Φ Φ (59) Με βάση την Εξ.(59), προκύπτει ότι το διάνυσµα x των αγνώστων Βαθµών Ελευθερίας (δηλαδή της απόκρισης) του εξεταζοµένου δυναµικού συστήµατος είναι δυνατόν να γραφεί

14 ως γραµµικός συνδυασµός των ιδιοανυσµάτων υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0, µε συντελεστές γραµµικού συνδυασµού Φ τις ποσότητες, οι οποίες, στην Εξ.(59), σηµειώνονται ως q( t ). Οι ποσότητες q( t ) αποκαλούνται γενικευµένοι Βαθµοί Ελευθερίας και περιγράφουν την απόκριση του συστήµατος ως εάν αυτό ήταν µονοβάθµιο και ταλαντωνόταν µε συχνότητα ω. Η Εξ.(59) γράφεται και ως εξής: N = Φ =Φ +Φ Φ x t q t q t q t N qn t = (60) Με άλλα λόγια, είναι δυνατόν να θεωρήσουµε τα ιδιοανύσµατα Φ ως µία βάση του N διάστατου γραµµικού χώρου, στην οποία µπορούµε να προβάλουµε το διάνυσµα x των αγνώστων Βαθµών Ελευθερίας. Οι, δε, συντελεστές προβολής είναι οι γενικευµένοι Βαθµοί Ελευθερίας q( t ). Στο Σχήµα 3 απεικονίζεται η Εξ.(60) στο διδιάστατο χώρο (δηλαδή για N = ). q x Φ Φ q Σχήµα 3: Σχηµατική αναπαράσταση δυναµικής απόκρισης x στο διδιάστατο χώρο Επίσης, η Εξ.(60) είναι δυνατόν να γραφεί µε τον ακόλουθο συνοπτικό τρόπο: =Φ q x t όπου Φ είναι ο πίνακας των ιδιοανυσµάτων, δηλαδή Φ= [ Φ Φ Φ ] q t = q t q t... qn t χρονική στιγµή και υπολογίζοντας τα ιδιοανύσµατα (6)... N, και x t σε κάθε, οι γενικευµένοι Βαθµοί Ελευθερίας Φ. ιευκρινίζεται ότι, γνωρίζοντας την τιµή q t προκύπτουν µονοσήµαντα από στην Εξ.(6). Συνεπώς, η Εξ(6), ή, ισοδύναµα, η Εξ.(60) περιγράφει έναν γραµµικό µετασχηµατισµό, στον οποίο η βάση του µετασχηµατισµού είναι το σύνολο των ιδιοανυσµάτων (εξ ου και η ονοµασία Ιδιοανυσµατικός Μετασχηµατισµός ) του εξεταζόµενου δυναµικού συστήµατος. Γενικεύοντας, έστω ένα δυναµικό σύστηµα N Βαθµών Ελευθερίας, στο οποίο αµελούµε την απόσβεση (συντηρητική προσέγγιση). Με άλλα λόγια, θεωρούµε ένα πολύβαθµιο σύστηµα

15 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 m k και έστω ότι σε αυτό ασκείται εξωτερική δύναµη διέγερσης. Κατά τα γνωστά, η F εξίσωση ισορροπίας του συστήµατος είναι: M + x K x+= F Πολλαπλασιάζοντας από αριστερά την Εξ.(6) µε τον πίνακα (6) Φ, λαµβάνοντας υπόψη τις ιδιότητες ορθοκανονικότητας των ιδιοανυσµάτων (βλ. Εξ.(43,45)) και εισάγοντας την Εξ.(6), προκύπτει: M q t K q t F q= q t Φ Φ +Φ Φ =Φ Φ q Φ q F q q Φ Φ F... N M... N K Φ Φ Φ + Φ Φ Φ = Φ Φ... Φ N Φ N q N Φ N qn FN q q q q Φ MΦ +Φ MΦ Φ N MΦ N + Φ KΦ +Φ KΦ Φ N KΦ N = m m m NN k k k NN q N q N { F F... N FN} m q k q F q q m m = Φ +Φ + k Φ F +Φ + =Φ + = ω (63) q t + q t = g t, =,,..., N ιευκρινίζεται ότι, στην Εξ.(63), αξιοποιήθηκε το γεγονός ότι, όπως προκύπτει από την Γραµµική Άλγεβρα, οι πίνακες Συνοψίζοντας: Φ MΦ και Φ KΦ ω είναι διαγώνιοι. g Φ KΦ = k Φ MΦ = m ω k ω = m q t + q t = g t, =,,..., N g Φ F = m Η φυσική σηµασία της Εξ.(63) είναι ιδιαιτέρως σηµαντική και χρήσιµη: Ένα δυναµικό σύστηµα N Βαθµών Ελευθερίας περιγράφεται ως ένα σύνολο N, ανεξαρτήτων µεταξύ τους, µονοβάθµιων συστηµάτων (δηλαδή σε ένα σύστηµα N γραµµικών ταλαντωτών) µε µοναδιαίες µάζες, µε σταθερές ελατηρίων ω και µε δυνάµεις διέγερσης g ( t )

16 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 Για παράδειγµα, στο εξεταζόµενο δυναµικό σύστηµα του Σχήµατος, θεωρώντας ότι επιβάλλεται εξωτερική δύναµη διέγερσης F, οι εξισώσεις ισορροπίας είναι (βλ. Εξ.(3): m 0 x k k x F 0 m + = x k k x F (64) Παρατηρούµε ότι η Εξ.(64) αντιστοιχεί σε ένα σύστηµα εξισώσεων, στο οποίο οι ανεξάρτητες κινηµατικές µεταβλητές (Βαθµοί Ελευθερίας) x και x είναι δυναµικά συζευγµένες (η δυναµική απόκριση x επηρεάζει τη δυναµική απόκριση x και αντίστροφα). Με άλλα λόγια, η Εξ.(64) αντιστοιχεί σε ένα πεπλεγµένο σύστηµα εξισώσεων. ιευκρινίζεται ότι οι Βαθµοί Ελευθερίας x και x δεν είναι κινηµατικά συζευγµένοι, διότι εάν ακινητοποιηθεί οποιαδήποτε από τις δύο µάζες, τότε η άλλη µάζα είναι δυνατόν να κινηθεί, υπό την επιβολή κατάλληλης διέγερσης. Ωστόσο, µε τη βοήθεια του Ιδιοανυσµατικού Μετασχηµατισµού, το αρχικό διβάθµιο σύστηµα µετασχηµατίστηκε σε δύο µονοβάθµια συστήµατα (δηλαδή, σε δύο γραµµικούς ταλαντωτές). Γενικεύοντας, ένα οποιοδήποτε γραµµικό δυναµικό σύστηµα, όσο σύνθετο και εάν είναι, µέσω του ιδιοανυσµατικού µετασχηµατισµού, µετασχηµατίζεται σε ένα σύνολο µονοβάθµιων συστηµάτων, τα οποία είναι ανεξάρτητα µεταξύ τους. Συνεπώς, η τεχνολογική αξία αυτού του µετασχηµατισµού είναι ιδιαιτέρως σηµαντική, διότι όλες οι σύνθετες κατασκευές, όπως είναι για παράδειγµα, η πτέρυγα ενός αεροσκάφους, είναι δυνατόν να µετασχηµατισθούν σε ένα σύνολο µονοβάθµιων, και µεταξύ τους ανεξαρτήτων, ταλαντωτών. Ακριβώς αυτός είναι και ο λόγος για τον οποίο το µονοβάθµιο σύστηµα m k έχει τόσο µεγάλη αξία: εκτός της απλότητάς του, αποτελεί και το µέσο (περιγράφει την εσωτερική δυναµική συµπεριφορά) µε το οποίο είναι δυνατή η δυναµική ανάλυση οποιασδήποτε κατασκευής. Γι αυτόν τον λόγο οι ποσότητες q καλούνται γενικευµένοι Βαθµοί Ελευθερίας, διότι είναι µεν Βαθµοί Ελευθερίας ενός µονοβάθµιου συστήµατος, αλλά το σύστηµα αυτό αναφέρεται σε οποιονδήποτε Βαθµό Ελευθερίας µίας σύνθετης κατασκευής. Τέλος, στην Εξ.(63) παρατηρούµε ότι κάθε ένα από τα προαναφερθέντα µονοβάθµια συστήµατα m k, στα οποία µετασχηµατίζεται µία οποιαδήποτε κατασκευή, διαθέτει µοναδιαία µάζα και σταθερά ελατηρίου ίση προς ω. Εξ αιτίας αυτής της αντιστοιχίας µεταξύ σταθεράς ελατηρίου και φυσικής συχνότητας, είναι φανερό ότι όσο µεγαλύτερη είναι η τιµή της συχνότητας ταλάντωσης ω τόσο µεγαλύτερη είναι η δυσκαµψία του αντιστοίχου συστήµατος m k. Συνεπώς, για τεχνολογικές εφαρµογές, θεωρούµε ότι στη δυναµική συµπεριφορά µίας κατασκευής συµµετέχουν µόνον οι χαµηλές συχνότητες. Ισοδύναµα, θεωρούµε ότι όσο αυξάνει η τάξη N των συχνοτήτων, οι συχνότητες από µία τιµή και άνω παύουν να συµµετέχουν στη δυναµική συµπεριφορά του συστήµατος

17 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α: Αναλυτικός υπολογισµός όρων της εξίσωσης της Ενεργειακής Αρχής Lagrange για την ανεξάρτητη κινηµατική µεταβλητή q= x Για τη µεταβλητή Lagrange, από τις Εξ.(4,5), προκύπτει: L= U = m x + m x kx + k x x + kx (Α.) Για τον αδρανειακό όρο: L q x L U = q x x x = = m x + m x kx + k x x + kx L L = m x = m x x x x (Α.) Παραγωγίζοντας ως προς το χρόνο, προκύπτει: d L d = ( m x ) = m x dt x dt (Α.3) Για τον όρο ελαστικότητας: L q= x L U m x m x kx k( x x) kx q x x x = = L = kx + k( x x) + kx = { kx+ k( x x) } x x L = kx+ k( x x) = kx kx x (Α.4) Για τον όρο διάχυσης: Για τον όρο διέγερσης: PC q= x P C PC = ( 0) = 0 q x x x Pt q= x P t Pt = ( 0) = 0 q x x x (Α.5) (Α.6)

18 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Β: Αναλυτικός υπολογισµός όρων της εξίσωσης της Ενεργειακής Αρχής Lagrange για την ανεξάρτητη κινηµατική µεταβλητή q= x Για τη µεταβλητή Lagrange, από τις Εξ.(4,5), προκύπτει: L= U = m x + m x kx + k x x + kx (Β.) Για τον αδρανειακό όρο: L q x L U = m x m x kx k( x x) kx q x x x = = L L = m x = m x x x x (Β.) Παραγωγίζοντας ως προς το χρόνο, προκύπτει: d L d = ( m x ) = m x dt x dt (Β.3) Για τον όρο ελαστικότητας: L q= x L U m x m x kx k( x x) kx q x x x = = L = k( x x) + kx = k( x x)( ) + kx x x L = k( x x) + kx = kx + kx x Για τον όρο διάχυσης: (Β.4) PC q= x P C PC = ( 0) = 0 q x x x (Β.565) Για τον όρο διέγερσης: Pt q= x P t Pt = ( 0) = 0 q x x x (Β.6)

19 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Γ: Αναλυτικός υπολογισµός ιδιοτιµών υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 Σύµφωνα µε την Εξ.(5), ισχύει: 4λ+ det = 0 λ+ (Γ.) Εκτελώντας πράξεις στην Εξ.(Γ.), προκύπτει: 4λ+ det = 0 ( 4λ + )( λ + ) ( )( ) = 0 λ+ λ λ λ+ = λ λ+ = (Γ.) Η διακρίνουσα του χαρακτηριστικού πολυωνύµου της Εξ.(Γ.) είναι ίση µε: β 4αγ = = = = (Γ.3) Οι ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύµου της Εξ.(Γ.) είναι ίσες µε: 0 7. λ ω β± 0 ± 5 ± = =.5375 λ= = = α 4 8 λ = ω = ω = ±.5375= ±.4668 ω = ± = ± (Γ.4) Σύµφωνα µε την Εκπαιδευτική Ενότητα 07, επειδή το µητρώο µάζας M και το µητρώο δυσκαµψίας K είναι θετικά (ηµι)ορισµένα, έπεται ότι ω 0. Συνεπώς, από τις λύσεις (Γ.4), γίνονται αποδεκτές µόνον οι θετικές ρίζες, οπότε ισχύει: ω =.4668 ω = (Γ.5) Ταξινοµώντας τις λύσεις (Γ.5) (ισοδύναµα, τις ιδιοτιµές ω ) κατά αύξουσα τιµή, προκύπτει: ω = ω =.4668 (Γ.6)

20 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ : Αναλυτικός υπολογισµός συντελεστών απόκρισης της εφαρµογής Από τις Εξ.(37,38), οι αποκρίσεις των µαζών m και µάζας m είναι: = cos( ω ) + sn( ω ) + cos( ω ) + sn( ω ) = cos( ω ) + sn( ω ) ( ) + cos( ω ) + sn( ω ) ( ) x t A t B t A t B t x t A t B t A t B t (.) Η πρώτη χρονική παράγωγός των Εξ.(.) είναι: = ω sn( ω ) + ω cos( ω ) ω sn( ω ) + ω cos( ω ) = ω sn( ω ) + ω cos( ω ) ( ) + ω sn( ω ) + ω cos( ω ) ( ) x t A t B t A t B t x t A t B t A t B t Από την εκφώνηση, δίδεται ότι οι αρχικές µετατοπίσεις για το εξεταζόµενο σύστηµα είναι x ( 0) = και x εκτελώντας πράξεις, προκύπτει: (.) 0 = 0, αντίστοιχα. Με αριθµητική αντικατάσταση στην Εξ.(.) και ( 0) = cos( ω 0) + sn( ω ) + A cos( ω 0) + B sn( ω t) x A B t x A B t x( 0) = A + A = x( 0) = A A = 0 ( 0) = cos( ω 0) + sn( ω ) ( ) + A cos( ω 0) + B sn( ωt ) ( ) Η επίλυση του συστήµατος (.3) δίδει: (.3) A = = = A = (.4) και A = = = A = (.5) Επίσης, από την εκφώνηση, δίδεται ότι οι αρχικές ταχύτητες για το εξεταζόµενο σύστηµα είναι x x 0 = 0 = 0. Με αριθµητική αντικατάσταση στην Εξ.(.), προκύπτει: x ( 0) = ω A sn( ωt) + ω B cos( ωt) ω A sn( ω t) + ω B cos( ω t) x ( 0) = ω A sn( ωt) + ωb cos( ω 0) ( ) + ω A sn( ωt ) + ωb cos( ω 0) ( )

21 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 x ( 0) = 0 ωb + ωb = 0 ω= B B = 0 x( 0) = 0 ω= ω B ω B = B B = B B = 0 (.6) B 9.689B = 0 Η ορίζουσα του οµογενούς συστήµατος (.6) είναι: D= = ( 9.689) = = (.7) Από την Εξ.(.7) προκύπτει ότι το οµογενές σύστηµα (.6) έχει ως µοναδική λύση τη µηδενική λύση, δηλαδή: B = = (.8) B 0 Εποµένως, η απόκριση της µάζας m, συνδυάζοντας τις Εξ.(.,.4,.5,.8), θα δίδεται από την εξίσωση: cos( ω ) cos( ω ) x t = t + t (.9) Κατ αντιστοιχία, η απόκριση της µάζας m, πάλι συνδυάζοντας τις Εξ.(.,.4,.5,.8), θα δίδεται από την εξίσωση: ( ) cos( ω ) ( ) cos( ω ) x cos( ω t) cos( ω t) x t = t + t = (.0) Συνοψίζοντας, η απόκριση του συστήµατος, σε µητρωϊκή γραφή, είναι: x x = = cos t + t x ( ω ) cos( ω ) (.)

22 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ E: Ανεξαρτησία απόκρισης από επιλογές σταθερών Στην πλέον γενική τους µορφή, οι Εξ.(37,38) γράφονται ως εξής: =Φ cos( ω ) + sn( ω ) +Φ cos( ω ) + sn( ω ) x t A t B t A t B t (Ε.) =Φ cos( ω ) + sn( ω ) +Φ cos( ω ) + sn( ω ) x t A t B t A t B t (Ε.) Σε µητρωϊκή γραφή, οι ανωτέρω εξισώσεις γράφονται ως εξής: x Φ Φ = A cos ωt + B sn ωt + A cos( ωt) + B sn( ωt) x Φ Φ (Ε.3) Από την επίλυση του οµογενούς συστήµατος της Εξ.(4), προκύπτει ότι: Φ Φ Φ = = =Φ,α R Φ Φ * α α (Ε.4) και Φ Φ Φ = = =Φ,β R Φ Φ * α β (Ε.5) όπου οι ποσότητες Φ και Φ είναι ελεύθερες παράµετροι, ενώ οι ποσότητες α και β καθορίζονται µονοσήµαντα από την επίλυση του συστήµατος (Ε.3). Ο συνδυασµός των Εξ.(Ε.3, Ε.4, Ε.5) δίδει: x =Φ A cos( ωt) + B sn( ωt) +Φ A cos( ωt) + B sn( ωt) x α β (Ε.6) Θεωρώντας * Φ = C R και * Φ = C R, η Εξ.(Ε.6) γράφεται ως εξής: x = C A cos( ωt) + B sn( ωt) + C A cos( ωt) + B sn( ωt) x α β (Ε.7) Η πρώτη χρονική παράγωγος της Εξ.(Ε.8) ισούται µε: x = C ω A sn( ωt) + ωb cos( ωt) + C ω A sn( ωt) + ωb cos( ωt) x α β (Ε.8) Οι αρχικές συνθήκες µετατόπισης του συστήµατος είναι: x 0 C A + C A C C A x 0 = C A + C A = x 0 α β αc A βc A = αc βc + A x 0 (Ε.9) Η επίλυση του ανωτέρω συστήµατος εξισώσεων δίδει:

23 x υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 ( 0) C ( 0) β β β ( 0) ( 0) x C x 0 C x 0 C x x C β x 0 x 0 A = = = = C C βcc αcc β α CC C β α αc βc C x ( 0) ( 0) α ( 0) α ( 0) (Ε.0) α αc x Cx 0 Cx 0 x x C x 0 x 0 A = = = = C C βcc αcc β α CC C β α αc βc Οι αρχικές συνθήκες ταχύτητας του συστήµατος είναι: (Ε.) x 0 Cω B + CωB Cω Cω B x 0 = C ωb + C ωb = x 0 α β αcω B βcωb = αcω βcω + B x 0 (Ε.) Η επίλυση του ανωτέρω συστήµατος εξισώσεων δίδει: x ( 0) Cω ( 0) βcωx ( 0) Cωx ( 0) ( 0) ( 0) ( ) ( 0) x ( 0) ( ) x βcω β x x Cω B = = = Cω Cω βc Cωω αc Cωω β α C Cωω B αcω βcω β x = C ω β α B Cω x ( 0) ( 0) Cω x ( 0) αcω x ( 0) ( 0) ( 0) ( ) ( 0) α x ( 0) ( ) αcω x x α x Cω = = = Cω Cω βc Cωω αc Cωω β α C Cωω B αcω βcω x = C ω β α Συνοψίζοντας, από τις Εξ.(Ε.0, Ε.3) προέκυψε: A ( 0) ( 0) β x x = C β α B ( 0) ( 0) ( ) β x x = C ω β α (Ε.3) (Ε.4) (Ε.5) Καθίσταται φανερό ότι η τιµή των συντελεστών A και B είναι αντιστρόφως ανάλογη του αριθµητικού συντελεστή C. ιευκρινίζεται ότι και στους δύο συντελεστές, ο δεύτερος όρος του γινοµένου είναι µονοσήµαντα ορισµένος. Επίσης, από τις Εξ.(Ε., Ε.4) προέκυψε:

24 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 A ( 0) α ( 0) x x = C β α B ( 0) α ( 0) ( ) x x = C ω β α (Ε.5) Σε αντιστοιχία µε τους συντελεστές A και B, από την Εξ.(Ε.5) καθίσταται φανερό ότι η τιµή των συντελεστών A και B είναι αντιστρόφως ανάλογη του αριθµητικού συντελεστή C. Όπως και προηγουµένως, διευκρινίζεται ότι, και στους συντελεστές A και B, ο δεύτερος όρος του γινοµένου είναι µονοσήµαντα ορισµένος