8. Λεμονίδης, Χ., Νικολαντωνάκης, Κ. (2007). Ελληνικός πολλαπλασιασμός: Ένας άγνωστος ιστορικός αλγόριθμος κατάλληλος για τη διδασκαλία. Σύγχρονη Εκπαίδευση, τεύχος 5, σελ. 69-78. Ελληνικός πολλαπλασιασμός: Ένας άγνωστος ιστορικός αλγόριθμος κατάλληλος για τη διδασκαλία. Περίληψη Στην εργασία αυτή θα παρουσιάσουμε την ύπαρξη ενός ιστορικού αλγορίθμου του πολλαπλασιασμού που χρησιμοποιήθηκε για πρώτη φορά από τον Ευτόκιο γύρω στον 5 ο αιώνα μ.χ. Ο αλγόριθμος αυτός του πολλαπλασιασμού που τον ονομάζουμε «Ελληνικό πολλαπλασιασμό» εκτός από την ιστορική του σημασία, είναι πολύ σημαντικός και από εκπαιδευτική άποψη. Από έρευνες σε μαθητές φάνηκε ότι ο Ελληνικός πολλαπλασιασμός είναι μια από τις μεθόδους πολλαπλασιασμού την οποία χρησιμοποιούν οι μαθητές χωρίς να την έχουν διδαχτεί. Αυτό σημαίνει ότι η εν λόγω μέθοδος πολλαπλασιασμού είναι συμβατή με τον τρόπο σκέψης των ανθρώπων. Αυτή η παρατήρηση μας οδηγεί να προσανατολιστούμε προς τις συζητήσεις για τη σχέση ανάμεσα στην Ιστορία των Μαθηματικών και τη μαθηματική εκπαίδευση, οι οποίες εμφανίζονται από τις αρχές του 20 ου αιώνα με όρους ενός παραλληλισμού και με πρόθεση να συμβάλλουν στη βελτίωση της διδασκαλίας και μάθησης. Ο Ελληνικός πολλαπλασιασμός χρησιμοποιείται στα καινούργια σχολικά βιβλία των Μαθηματικών της Γ τάξης στα πλαίσια της προετοιμασίας των μαθητών για την εισαγωγή τους στον κλασικό αλγόριθμο του πολλαπλασιασμού. Ταυτόχρονα είναι μια μέθοδος χρήσιμη για τη διδασκαλία γιατί αποκαλύπτει και εξηγεί στους μαθητές ιδιότητες του κλασικού αλγορίθμου του πολλαπλασιασμού που δεν είναι τόσο προφανείς για αυτούς. Ι. Εισαγωγή Είναι γνωστοί σήμερα κάποιοι ιστορικοί αλγόριθμοι του πολλαπλασιασμού οι οποίοι χρησιμοποιούνται και στη διδασκαλία. Οι πιο γνωστοί αλγόριθμοι είναι οι εξής: Ο Αιγυπτιακός αλγόριθμος ο οποίος εμφανίστηκε στον πάπυρο του Rhind, περίπου το 650 π.χ. και βασίζεται στο διπλασιασμό. Μια παραλλαγή του Αιγυπτιακού πολλαπλασιασμού είναι ο πολλαπλασιασμός που χρησιμοποιούσαν οι Ρώσοι χωρικοί στις αρχές του 20 ου αιώνα και βασιζόταν στο διπλασιασμό και υπόδιπλασιασμό. Ένας άλλος ιστορικός αλγόριθμος που χρησιμοποιείται πολύ και στην εκπαίδευση είναι ο πολλαπλασιασμός των Αράβων. Η εν λόγω μέθοδος χρειάζεται τη γνώση πινάκων του πολλαπλασιασμού και την εφάρμοσε ο μεγάλος Άραβας μαθηματικός Al Khwarismi στις αρχές του 9 ου αιώνα. Μια αντίστοιχη διάταξη εμφανίζεται στον Άραβα μαθηματικό Al Kashi τον 5 ο αιώνα. (Ήταν παλαιότερη και είχε εμφανισθεί στην Ινδία περίπου τον 2 ο αιώνα). Είναι η μέθοδος με τον τετραγωνισμό που ονομάζονταν μεταγενέστερα από τους Ιταλούς per gelosia.
Οι αλγόριθμοι οι οποίοι εμφανίστηκαν ιστορικά για την εκτέλεση της εν λόγω πράξης είναι πάρα πολλοί. Οι μόνοι που κάνουν αναφορά και μάλιστα τον ονομάζουν Ελληνικό πολλαπλασιασμό είναι κάποιοι Γάλλοι συγγραφείς (π.χ. F. Cerquetti- Aberkane, 992, σελ. 79) αλλά αυτοί δε διευκρινίζουν την ιστορική του προέλευση. Υπάρχει η εκτίμηση ότι το συγκεκριμένο όνομα δόθηκε σε αυτόν τον πολλαπλασιασμό διότι οι αρχαίοι Έλληνες μαθηματικοί διαπραγματεύονταν τα αριθμητικά προβλήματα με χρήση γεωμετρικού σχήματος. Οι αριθμοί παριστάνονταν με τα μήκη, το γινόμενο δύο αριθμών με τις επιφάνειες και το γινόμενο τριών αριθμών με τους όγκους. Το γεγονός ότι στο πλαίσιο της μαθηματικής ορολογίας ονομάζουμε «τετράγωνο» την δύναμη 2 και «κύβο» την δύναμη 3, οφείλεται στην γεωμετρική αναπαράσταση που χρησιμοποιούσαν οι Έλληνες για να εκτελέσουν τους υπολογισμούς με τα γινόμενα. Η εργασία αυτή αναπτύσσεται σε δύο μέρη. Σε ένα πρώτο μέρος πραγματοποιείται ιστορική έρευνα και παρουσιάζεται ο Ελληνικός πολλαπλασιασμός μέσα από την Ιστορία των Μαθηματικών. Σε ένα δεύτερο μέρος παρουσιάζεται η εκπαιδευτική εκδοχή του αλγορίθμου και η δυνατότητα της ενσωμάτωσής του στη διδασκαλία. Στην ιστορική έρευνα που πραγματοποιήσαμε στα πρωτότυπα κείμενα βρήκαμε ότι ο Ελληνικός πολλαπλασιασμός περιγράφεται στα σχόλια του Ευτόκιου από την Ασκαλών για την πραγματεία Κύκλου Μέτρησις του Αρχιμήδη. Οι πολλαπλασιασμοί που εκτελεί ο Ευτόκιος είναι για να βρει τα τετράγωνα ενός αριθμού. Δηλαδή πολλαπλασιάζει κάθε φορά έναν αριθμό με τον εαυτό του. Χωρίζει τον αριθμό σε μονάδες, δεκάδες, εκατοντάδες, κτλ. και βρίσκει τα μερικά γινόμενα μεταξύ μονάδων ίδιας τάξης τα οποία προσθέτει για να βρει το τελικό αποτέλεσμα. Σήμερα οι σύγχρονες προτάσεις για τη διδασκαλία των πράξεων προτείνουν τη μείωση της υπερβολικής έμφασης στους γραπτούς αλγόριθμους και απορρίπτουν την πρόωρη εισαγωγή τους στους μαθητές. Πριν από τη διδασκαλία των αλγορίθμων οι μαθητές θα πρέπει να δουλέψουν αρκετά στη σημασία των αριθμών, το σύστημα αρίθμησης και τους νοερούς υπολογισμούς. Έπειτα θα πρέπει να λύσουν προβλήματα ώστε να τους δοθεί η ευκαιρία να ανακαλύψουν και να εφαρμόσουν άτυπες μεθόδους υπολογισμού. Με βάση τις άτυπες αυτές μεθόδους οι μαθητές μπορούν να οδηγηθούν στους τυπικούς αλγορίθμους και να τους κατανοήσουν καλύτερα (Anghileri, J., 999, Thompson, Ian, 999). Σε πολλές εργασίες γίνεται αναφορά στη μέθοδο του ελληνικού πολλαπλασιασμού χωρίς να αναφέρεται το όνομα της μεθόδου αυτής. Για παράδειγμα, ο Ian Thompson (999, pp. 78-80) τον αναφέρει ως αλγόριθμο φιλικό προς το χρήστη (user friendly algorithms) αναφέροντας ότι βασίζεται στις ιδέες που χρησιμοποιούν τα παιδιά στις άτυπες νοερές στρατηγικές τους. Προσθέτει επίσης ότι στον αλγόριθμο αυτό διατηρούνται η θεσιακή αξία των αριθμών και οι μαθητές ενεργούν με ποσότητες και όχι με μεμονωμένα σύμβολα όπως συμβαίνει στον κλασικό αλγόριθμο. Αυτό βοηθάει τους μαθητές στο να ελέγχουν τη σκέψη τους σε κάθε στάδιο του υπολογισμού. Η μέθοδος του Ελληνικού πολλαπλασιασμού συγκαταλέγεται ανάμεσα στις άτυπες μεθόδους υπολογισμού που χρησιμοποιούν οι μαθητές πριν από τη διδασκαλία του γραπτού επίσημου αλγορίθμου (Baek, Jae Meen, 998). Αυτός είναι ένας από τους λόγους ανάμεσα σε άλλους, ο οποίος συνηγορεί για την καταλληλότητα και την εισαγωγή του ελληνικού πολλαπλασιασμού στην εκπαιδευτική διαδικασία. 2
ΙΙ. Ιστορική ανάλυση: Ευτόκιος ο Ασκαλωνίτης και ο Ελληνικός Πολλαπλασιασμός Βιογραφικά στοιχεία Διαθέτουμε πολύ λίγες πληροφορίες σχετικά με την ζωή του Ευτόκιου (Heath T.L., 200, II, σελ. 50-, Decorps-Foulquier M., Vol., Fascicule, 99). Σύμφωνα με τους τίτλους που εμφανίζονται σε πραγματείες του, κατάγονταν από την πόλη Ασκαλών της Συρίας. Στηριζόμενοι σε σχετικά λίγες πληροφορίες μπορούμε να λάβουμε ως terminus post quem για την ημερομηνία γέννησης του, τα χρόνια γύρω στο 50, και ως terminus post quem για την ημερομηνία του θανάτου του, τη χρονιά 97. Οι Πραγματείες των Σχολίων του Ευτόκιου Ο Ευτόκιος παρήγαγε σχόλια στα έργα του Αρχιμήδη Περί Σφαίρας και Κυλίνδρου, Κύκλου Μέτρησις, Περί επιπέδων ισορροπιών καθώς και μια κριτική έκδοση των βιβλίων - των Κωνικών του Απολλώνιου του Περγαίου. Η Πραγματεία Περί Κύκλου Μέτρησης και ο Ελληνικός Πολλαπλασιασμός Η πραγματεία Κύκλου Μέτρησις αποτελείται από τρεις προτάσεις και δεν έχει φθάσει σε εμάς στην πρωταρχική της μορφή, έχοντας χάσει πρακτικά κάθε ίχνος Δωρικής διαλέκτου στην οποία έγραφε ο Αρχιμήδης. Οι τρεις προτάσεις είναι οι ακόλουθες : () ότι το εμβαδόν ενός κύκλου είναι ίσο με αυτό ενός ορθογωνίου τριγώνου στο οποίο η κάθετη είναι ίση με την ακτίνα του κύκλου και η βάση με την περιφέρεια του κύκλου, (2) ότι το εμβαδόν ενός κύκλου είναι προς το τετράγωνο στην διάμετρό του ίσο με προς και (3) ο λόγος της περιφέρειας κάθε κύκλου προς την διάμετρό του είναι μικρότερος του 3 /7 και μεγαλύτερος του 3 0/7. Η πρώτη πρόταση αποδείχθηκε με την μέθοδο της εξάντλησης στη συνήθη Αρχιμήδεια μορφή της: προσεγγίζοντας την επιφάνεια του κύκλου σε δύο κατευθύνσεις (α) εγγράφοντας διαδοχικά κανονικά πολύγωνα με αριθμό πλευρών συνεχώς διπλάσιο, ξεκινώντας από ένα τετράγωνο, (β) περιγράφοντας ένα όμοιο σύνολο κανονικών πολυγώνων ξεκινώντας από ένα τετράγωνο (T.L.Heath, 200, σελ. 69). Η τρίτη πρόταση περιέχει την αριθμητική προσέγγιση του π. Η μέθοδος ισοδυναμεί στον υπολογισμό προσεγγιστικά της περιμέτρου δύο κανονικών πολυγώνων με 96 πλευρές, εκ των οποίων η μια είναι περιγεγραμμένη και η άλλη εγγεγραμμένη στον κύκλο. Ο υπολογισμός ξεκινάει από ένα ανώτερο και ένα κατώτερο όριο στην τιμή 3, στον οποίο ο Αρχιμήδης θεωρεί χωρίς σχόλιο ως γνωστή την σχέση 265:53 < 3< 35:780. Στα Σχόλια του ο Ευτόκιος, για την τρίτη πρόταση σημειώνει ότι σε αυτή είμαστε συνεχώς υποχρεωμένοι να βρίσκουμε την τετραγωνική ρίζα ενός δοθέντος αριθμού, αλλά είναι αδύνατο να βρούμε μια ακριβή τιμή αυτού του μεγέθους για έναν μητετραγωνικό αριθμό και το άθροισμα ενός αριθμού και ενός κλάσματος αυτού δεν δίνει, πολλαπλασιαζόμενο με τον εαυτό του, έναν καθαρό αριθμό, αλλά επίσης ένα κλάσμα. Παραπέμπει σχετικά με τις μεθόδους για την εύρεση των προσεγγιστικών τιμών της τετραγωνικής ρίζας ενός δοθέντος αριθμού στα Μετρικά του Ήρωνα, στον 3
Πάππο, στο Θέωνα και σε άλλους σχολιαστές της Αλμαγέστης του Κλαύδιου Πτολεμαίου, θεωρώντας ότι δεν είναι απαραίτητη η έρευνα από αυτόν σχετικά με αυτή την ερώτηση. Ο Ευτόκιος χρησιμοποιεί ως εγχειρίδιο την πραγματεία του Αρχιμήδη, παίρνοντας την κάθε πρόταση της απόδειξης την οποία αναλύει επεξηγώντας τους λόγους της αλήθειας της καθώς και εκτελώντας μια σειρά από πράξεις που δεν υπάρχουν στην αρχική απόδειξη του Αρχιμήδη (Mugler Ch., 972, σελ. 2-63). Ο Ευτόκιος μας διδάσκει, μέσω των συγκεκριμένων παραδειγμάτων που συναντούσε σε αυτή την εργασία, τις μεθόδους του αριθμητικού υπολογισμού των Ελλήνων και με αυτό τον τρόπο μας δείχνει τον λεγόμενο «πολλαπλασιασμό των Ελλήνων». Ο Αρχιμήδης εξετάζει πρώτα την περίπτωση του περιγεγραμμένου πολυγώνου (Σταμάτης Ε., 970, σελ. 223). Θεωρεί έναν κύκλο με διάμετρο ΑΓ και κέντρο Ε, την εφαπτομένη ΓΛΖ και την γωνία ΖΕΓ ίση με /3 μιας ορθής γωνίας. Συνεχίζοντας (Σταμάτης E., 970, σελ. 223-) διχοτομεί διαδοχικά κάθε φορά την εναπομείνασα γωνία και ακολουθώντας πάντοτε την ίδια ακριβώς μέθοδο, υπολογίζει μια σειρά από τετραγωνικές ρίζες αριθμών ακεραίων αλλά και κλασματικών. Καταλήγει στο ότι η ΛΜ είναι η πλευρά ενός περιγεγραμμένου κανονικού πολυγώνου με 96 πλευρές. Από αυτή την κατασκευή συνάγεται ότι η περιφέρεια του κύκλου είναι μικρότερη του 3 7 της διαμέτρου. Στην συνέχεια ο Αρχιμήδης (Σταμάτης E., 970, σελ. 225-7) εργάζεται στο εγγεγραμμένο πολύγωνο όπου ουσιαστικά κάνει χρήση μιας παρόμοιας σειράς προσεγγίσεων, όπως και στο πρώτο τμήμα της απόδειξής του. Θεωρεί ΑΒΓ ένα ημικύκλιο με διάμετρο ΑΓ και θεωρεί τη γωνία ΒΑΓ ίση με το /3 μιας ορθής γωνίας.
Τότε, αν η γωνία ΒΑΓ διχοτομείται από την ΑΗ, η γωνία ΓΑΗ από την ΑΘ, η γωνία ΘΑΓ από την ΑΚ και η γωνία ΚΑΓ από την ΑΛ, η ευθεία γραμμή ΛΓ είναι η πλευρά ενός εγγεγραμμένου πολυγώνου με 96 πλευρές. Από αυτή την κατασκευή συνάγεται ότι η περιφέρεια του κύκλου είναι μεγαλύτερη του 3 0 της διαμέτρου. Φυσικά σε 7 όλη την έκταση της απόδειξης εμφανίζονται μια σειρά από πολλαπλασιασμοί στους οποίους εφαρμόζεται η ίδια ακριβώς μέθοδος. Συνολικά ο Ευτόκιος στα Σχόλια του στην πραγματεία του Αρχιμήδη Κύκλου Μέτρησις αναλύει τους ακόλουθους πολλαπλασιασμούς πάντα σε τετραγωνικούς αριθμούς (δηλ. πολλαπλασιάζει έναν αριθμό με τον εαυτό του) 306, 53, 265, 57, 59 8, 62 8, 72 8, 233, 2339, 560, 780, 35, 29, 303 2, 823, 20, 838 9, 007, 66, 009 6, 206 6, 207. Στη συνέχεια παραθέτουμε τρία παραδείγματα πολλαπλασιασμών, ενός κλασματικού και δύο ακεραίων αριθμών όπως δίνονται από τον Ευτόκιο στο αρχαίο κείμενο, με χρήση μοντέρνου συμβολισμού. Το πρώτο παράδειγμα είναι ο πολλαπλασιασμός 66 x 66: Με μοντέρνο συμβολισμό ο πολλαπλασιασμός παίρνει την ακόλουθη μορφή: 66 x 66 3600 360 360 36 Σύνολο 356 Η μαθηματική ανάλυση των ανωτέρω πράξεων μπορεί να αποδοθεί με τον ακόλουθο τρόπο : (6 Δεκάδες + 6 Μονάδες)(6 Δεκάδες + 6 Μονάδες)= 5
36 Εκατοντάδες + 36 δεκάδες + 36 Δεκάδες + 36 Μονάδες Το δεύτερο παράδειγμα περιλαμβάνει τον πολλαπλασιασμό 35 x 35. Με μοντέρνο συμβολισμό ο πολλαπλασιασμός παίρνει την ακόλουθη μορφή: 35 x 35 000 000 300 000 50 000 000 300 000 90 000 5 000 300 50 000 5 000 2 500 50 000 300 50 Σύνολο 825 20 Η μαθηματική ανάλυση των ανωτέρω πράξεων μπορεί να αποδοθεί με τον ακόλουθο τρόπο : ( Χιλιάδα + 3 Εκατοντάδες + 5 Δεκάδες + Μονάδα)( Χιλιάδα + 3 Εκατοντάδες + 5 Δεκάδες + Μονάδα) = Εκατομμύριο + 3 Εκατοντάκις Χιλιάδες + 5 Μυριάδες + Χιλιάδα 3 Εκατοντάκις Χιλιάδες + 9 Μυριάδες + 5 Χιλιάδες + 3 Εκατοντάδες 5 Μυριάδες + 5 Χιλιάδες + 25 Εκατοντάδες + 5 Δεκάδες 6
Χιλιάδα + 3 Εκατοντάδες + 5 Δεκάδες + Μονάδα Το τρίτο παράδειγμα περιλαμβάνει έναν κλασματικό αριθμό. Με μοντέρνο συμβολισμό ο πολλαπλασιασμός παίρνει την ακόλουθη μορφή: 303 2 x 303 2 [ = 303 ¾] 9 000 000 30 000 9 000 500 750 30 000 00 30 5 2 2 9 000 30 9 2 500 5 2 2 8 750 2 2 2 8 /6 Σύνολο 9 082 689 Η μαθηματική ανάλυση των ανωτέρω πράξεων μπορεί να αποδοθεί με τον ακόλουθο τρόπο : 7
(3 Χιλιάδες + δεκάδα + 3 μονάδες + 2 + )(3 Χιλιάδες + δεκάδα + 3 μονάδες + 2 + )= 9 Εκατοντάκις Μυριάδες + 30 Μυριάδες + 9 Χιλιάδες + 5 Εκατοντάδες + 75 Δεκάδες + 3 Μυριάδες + Εκατοντάδα + 3 Δεκάδες + 5 Μονάδες + 2 Μονάδες + 2 + 9 Χιλιάδες + 3 Δεκάδες + 9 Μονάδες + Μονάδα + 2 + 2 + 5 Εκατοντάδες + 5 Μονάδες + Μονάδα + 2 + + 8 75 Δεκάδες + 2 Μονάδες + 2 + 2 + + 8 +/6 ΙΙΙ. Σύγχρονες αντιλήψεις για τη διδασκαλία των αλγορίθμων. Αλγόριθμοι επινοούμενοι από τους μαθητές. Σύμφωνα με την παραδοσιακή αντίληψη για την διδασκαλία, που επικρατούσε και στην Ελλάδα μέχρι το 2006 οπότε έγινε η αλλαγή των βιβλίων (Λεμονίδας & all, 2006 α, β), οι γραπτοί αλγόριθμοι των πράξεων κατείχαν σημαντική θέση στα αναλυτικά προγράμματα και αφιερώνονταν πολλές ώρες για τη διδασκαλία τους. Οι γραπτοί αλγόριθμοι διδάσκονταν πολύ νωρίς και οι μαθητές τους χρησιμοποιούσαν συνήθως χωρίς να τους κατανοούν. Οι τρόποι αυτοί του υπολογισμού αποτελούσαν σχεδόν τη μόνη μέθοδο που χρησιμοποιούσαν οι μαθητές για να υπολογίζουν. Σε σύγχρονα αναλυτικά προγράμματα (Principles and Standards 2000, DfEE 999) οι αλγόριθμοι για τις πράξεις δεν διδάσκονται από πολύ νωρίς. Αρχικά οι μαθητές αναπτύσσουν τις δικές τους άτυπες μεθόδους υπολογισμού και με βάση αυτές τις άτυπες μεθόδους οδηγούνται στο να ανακαλύπτουν και να κατανοούν τους αλγορίθμους. Παράλληλα παρουσιάζονται ένας ή και διαφορετικοί αλγόριθμοι ανάλογα με την πολιτισμική προέλευση των μαθητών. Ο Jae Meen, Baek (998) πραγματοποίησε μια έρευνα σε μαθητές 3 ης έως 5 ης τάξης του Δημοτικού Σχολείου για να εξετάσει ποιοι ήταν οι αλγόριθμοι του πολλαπλασιασμού που θα επινοούσαν (invented algorithms). Η συγκεκριμένη εμπειρική έρευνα δεν εξέταζε τις συμπεριφορές των μαθητών με βάση την ιστορική συνιστώσα. Οι μαθητές που εξετάστηκαν δεν είχαν διδαχτεί ποτέ κανόνες ή τυπικούς αλγόριθμους για να τους ακολουθήσουν. Στην έρευνα αυτοί οι επινοούμενοι αλγόριθμοι από τους μαθητές σε προβλήματα πολυψήφιων πολλαπλασιασμών ταξινομήθηκαν σε τέσσερις κατηγορίες: άμεση μοντελοποίηση, στρατηγικές ολόκληρου αριθμού, στρατηγικές διασπασμένου αριθμού και στρατηγικές αντιστάθμισης. Στις στρατηγικές του διασπασμένου αριθμού τα παιδιά διασπούν τον πολλαπλασιαστή, τον πολλαπλασιαστέο, ή και τους δύο σε μικρότερους αριθμούς έτσι ώστε να μπορούν να τους πολλαπλασιάσουν ευκολότερα. Ο πολλαπλασιαστής ή 8
ο πολλαπλασιαστέος διασπάτε με δύο διαφορετικούς τρόπους: μερικά παιδιά διασπούν τους αριθμούς όχι με βάση τις τάξεις των ψηφίων στο δεκαδικό σύστημα (αριθμοί που δεν είναι πολλαπλάσια του δέκα), ενώ άλλα διασπούν τους αριθμούς με βάση τις τάξεις των ψηφίων στο δεκαδικό σύστημα, δηλαδή σε μονάδες, δεκάδες, κτλ (αριθμοί που είναι πολλαπλάσια του δέκα). Τα παιδιά που χρησιμοποιούν τη στρατηγική της διάσπασης σε αριθμούς που δεν είναι πολλαπλάσια του δέκα διασπούν τον πολλαπλασιαστή ή τον πολλαπλασιαστέο για να γίνει ο πολλαπλασιασμός ευκολότερος ή χρησιμοποιούν γινόμενα που ήδη γνωρίζουν. Για παράδειγμα στον πολλαπλασιασμό 5x77, ένα παιδί θεωρεί το 5 ως 3x5. Πρώτα υπολογίζει το γινόμενο 3x77 και το αποτέλεσμα το πολλαπλασιάζει με το 5. Ο αλγόριθμος ισοδυναμεί με τη σχέση: 5x77 = (5x3)x77 = 5x(3x77). Στις στρατηγικές της διάσπασης των αριθμών σε δεκάδες μπορούμε να διακρίνουμε δύο περιπτώσεις: διασπάται ο ένας αριθμός σε δεκάδες ή διασπώνται και οι δύο αριθμοί σε δεκάδες. Εδώ οι μαθητές χρησιμοποιούν τη γνώση τους από το δεκαδικό σύστημα αρίθμησης για να διασπάσουν τον πολλαπλασιαστέο, τον πολλαπλασιαστή ή και τους δύο. Με αυτόν τον τρόπο τα παιδιά βρίσκουν τα γινόμενα πολύ πιο εύκολα και χρησιμοποιούν αυτόν τον αλγόριθμο για πολλά προβλήματα πολυψήφιων πολλαπλασιασμών. Ο αλγόριθμος της διάσπασης και των δύο αριθμών σε δεκάδες είναι η μέθοδος του Ελληνικού πολλαπλασιασμού. Εδώ δηλαδή τα παιδιά διασπούν και τον πολλαπλασιαστή και τον πολλαπλασιαστέο σε αριθμούς δεκάδων, εκτελούν κάθε πολλαπλασιασμό και προσθέτουν τα μερικά γινόμενα. Για παράδειγμα ένα παιδί για να υπολογίσει το 26x39 δημιούργησε τέσσερα μερικά γινόμενα. Είπε ότι 26 φορές 39 είναι όπως 20x30, 20x9, 6x30, και 6x9 επειδή 20 φορές 39 είναι 20x30 συν 20x9 και 6x39 είναι 6x30 συν 6x9. Σύμφωνα λοιπόν με τα παραπάνω βλέπουμε ότι οι μαθητές χωρίς να έχουν διδαχτεί κάποια μέθοδο υπολογισμού του πολλαπλασιασμού διψήφιων αριθμών χρησιμοποιούν αυθόρμητα τη μέθοδο του ελληνικού πολλαπλασιασμού που χρησιμοποιούσε και ο Ευτόκιος. Αυτό δείχνει ότι η μέθοδος υπολογισμού του Ελληνικού πολλαπλασιασμού είναι συμβατή με τον τρόπο σκέψης των μαθητών. Αυτή η παρατήρηση μας οδηγεί να προσανατολιστούμε προς τις συζητήσεις για τη σχέση ανάμεσα στην Ιστορία των Μαθηματικών και τη μαθηματική εκπαίδευση, οι οποίες εμφανίζονται από τις αρχές του 20 ου αιώνα με όρους ενός παραλληλισμού και με πρόθεση να συμβάλλουν στη βελτίωση της διδασκαλίας και μάθησης. Η έννοια του παραλληλισμού στηρίχτηκε στη μεταφορά, στο χώρο της εκπαίδευσης, του λεγόμενου βιογενετικού νόμου του Ernst Haeckel σύμφωνα με τον οποίο η οντογένεση είναι μια βραχεία επανάληψη ή ανακεφαλαίωση της φυλογένεσης. Η μεταφορά χρησιμοποιήθηκε για να υποστηριχτεί ότι αν η γνωστική ανάπτυξη ενός ατόμου ανακεφαλαιώνει την ανάπτυξη του ανθρώπινου γένους, τότε θα πρέπει η διδασκαλία των μαθηματικών να ακολουθεί κατά κάποιο τρόπο την ιστορική τους πορεία και να ενσωματώνει στοιχεία της τελευταίας. Σε αυτή την κατεύθυνση έχουν γίνει σημαντικές εξελίξεις, που εκτείνονται από την ανάπτυξη μιας ορθολογικής βάσης για τη διδακτική αξιοποίηση της ιστορίας των μαθηματικών, μέχρι και συγκεκριμένες προτάσεις γενετικών μεθόδων διδασκαλίας και παραγωγή διδακτικού υλικού. Παράλληλα έχουν διατυπωθεί αμφιβολίες για τη δυνατότητα λειτουργικής ένταξης ιστορικών στοιχείων στην τρέχουσα πρακτική της σχολικής τάξης (Ι. Θωμαίδης, προς δημοσίευση). ΙV. Τρόπος παρουσίασης του Ελληνικού πολλαπλασιασμού στη διδασκαλία 9
Ο Ελληνικός πολλαπλασιασμός γίνεται πιο εύχρηστος από τους μαθητές και πιο εύκολος στην παρουσίασή του αν χρησιμοποιηθεί ένας πίνακας 2x2 για την ανάλυση του πολλαπλασιαστή και του πολλαπλασιαστέου. Οι δύο παράγοντες του γινομένου αναλύονται σε μονάδες, δεκάδες, εκατοντάδες, κτλ. στις στήλες του πίνακα τοποθετείται η ανάλυση του πολλαπλασιαστέου και στις γραμμές του πολλαπλασιαστή (βλέπε, πίνακα ). Προτείνεται να τοποθετούνται ο πολλαπλασιαστής και ο πολλαπλασιαστέος σε αυτές τις θέσεις για να υπάρχει αντιστοιχία με τον κλασικό αλγόριθμο στον οποίο συνήθως τοποθετούμε τον μεγάλο αριθμό τον πολλαπλασιαστέο- επάνω και τον μικρό αριθμό τον πολλαπλασιαστήκάτω πολλαπλασιάζοντας τον κάτω αριθμό επί τον επάνω. Όπως είδαμε παραπάνω ο Ευτόκιος εκτελούσε τους επιμέρους πολλαπλασιασμούς με φθίνουσα σειρά. Πολλαπλασίαζε δηλαδή πρώτα τους μεγαλύτερους αριθμούς και μετά τους μικρότερους. Στον κλασικό αλγόριθμο ο πολλαπλασιασμός γίνεται από τα δεξιά προς τα αριστερά, δηλαδή τα ψηφία των αριθμών λαμβάνονται σε αύξουσα σειρά. Στον πίνακα βέβαια δεν έχει σημασία η σειρά με την οποία θα πραγματοποιήσουμε τα επιμέρους γινόμενα. V. Η εισαγωγή του ελληνικού πολλαπλασιασμού στη διδασκαλία Στο νέο βιβλίο των μαθηματικών της Γ τάξης του Δημοτικού Σχολείου παρουσιάζεται ο Ελληνικός πολλαπλασιασμός. Η συγγραφική ομάδα του βιβλίου αυτού αντιπροσωπεύει την αντίληψη για τη διδασκαλία των μαθηματικών που εκφράζεται με την επωνυμία «Μαθηματικά της Φύσης και της Ζωής». Μερικές από τις βασικές αρχές της σχολής αυτής για τη διδασκαλία των μαθηματικών είναι οι εξής: Θεωρείται σημαντικό και αποδίδεται ιδιαίτερη προσοχή στο περιεχόμενο των διδακτικών καταστάσεων και των προβλημάτων που χρησιμοποιούνται για να εισαχθούν και να εφαρμοστούν οι διάφορες μαθηματικές έννοιες. Τα περιεχόμενα και οι καταστάσεις αυτές επιδιώκεται να είναι ευχάριστα, να προέρχονται από τον κόσμο του παιδιού και τις προϋπάρχουσες γνώσεις του και να αναφέρονται στη φύση, στον πολιτισμό και στην ιστορία των Μαθηματικών (Ch. Lemonidis, 2005). Στο βιβλίο της Γ τάξης ο Ελληνικός πολλαπλασιασμός χρησιμοποιείται ως ένα εισαγωγικό στάδιο για την εισαγωγή του τυπικού αλγορίθμου που χρησιμοποιούμε 0
σήμερα. Πιο συγκεκριμένα, σε μια πρώτη φάση προτείνονται στους μαθητές προβλήματα πολλαπλασιασμού πολυψήφιων αριθμών για να αναπτύξουν τις άτυπες μεθόδους υπολογισμού. Ο Ελληνικός πολλαπλασιασμός εισάγεται μέσα από ένα γεωμετρικό πλαίσιο, δηλαδή με καταστάσεις μέτρησης επιφανειών σε τετραγωνισμένο χαρτί. Οι μαθητές μετρούν επιφάνειες τετραγώνων και ορθογωνίων σχημάτων με μονάδα μέτρησης το ένα τετραγωνάκι. Στη συνέχεια για τον πιο εύκολο και γρήγορο υπολογισμό των επιφανειών, χρησιμοποιούν τον πίνακα 2x2 του πολλαπλασιασμού. Έτσι καταλήγουν στο να εκτελούν τον Ελληνικό πολλαπλασιασμό με τη βοήθεια του πίνακα. Ο Ελληνικός πολλαπλασιασμός χρησιμοποιείται για να εισαχθεί ο τυπικός αλγόριθμος του πολλαπλασιασμού. Επίσης, με βάση τον Ελληνικό πολλαπλασιασμό μπορούν να δοθούν εξηγήσεις επάνω στον τυπικό αλγόριθμο για να γίνει κατανοητός από τους μαθητές ο τρόπος που προκύπτουν τα επιμέρους γινόμενα και η θεσιακή αξία των ψηφίων των παραγόντων του πολλαπλασιασμού. Ο Ελληνικός πολλαπλασιασμός εκτός από την εισαγωγή του τυπικού αλγόριθμου μπορεί να χρησιμοποιηθεί και σε άλλα επίπεδα της εκπαίδευσης όπως στο Γυμνάσιο, στο Λύκειο, για τη διδασκαλία του αριθμητικού γραμματισμού στους ενήλικες. Εδώ μπορεί να παρουσιαστεί ως ένα παράδειγμα ιστορικού αλγόριθμου του πολλαπλασιασμού στα πλαίσια της χρήσης της ιστορίας για τη διδασκαλία των μαθηματικών. VI. Συμπεράσματα - Συζήτηση Στην ιστορική ανάλυση που παρουσιάσαμε παραπάνω, είδαμε ότι ο Ελληνικός πολλαπλασιασμός είναι ένας πολύ παλιός αλγόριθμος του πολλαπλασιασμού που προέρχεται μέσα από την παράδοση των ελληνικών μαθηματικών. Τον συναντάμε για πρώτη φορά τον 5 ο μ.χ. αιώνα στα κείμενα του Ευτόκιου. Ο αλγόριθμος αυτός του πολλαπλασιασμού έχει πολλά πλεονεκτήματα και είναι πολύ χρήσιμος στη διδασκαλία. Καταρχάς είναι ένας τρόπος υπολογισμού εύκολος και συμβατός με την ανθρώπινη σκέψη. Αυτό φαίνεται από το γεγονός ότι αποτελεί μια από τις μεθόδους που επινοούν οι μαθητές (άτυπη μέθοδος) για να υπολογίζουν τους πολλαπλασιασμούς προτού διδαχτούν οποιαδήποτε μέθοδο. Στη μέθοδο αυτή αναλύονται οι όροι του πολλαπλασιασμού σε άθροισμα δυνάμεων του δέκα (μονάδες, δεκάδες, κτλ). Με αυτόν τον τρόπο στους υπολογισμούς παίρνονται ολόκληρες ποσότητες που γνωρίζουμε την αξία τους και όχι μεμονωμένα ψηφία που δεν γίνεται αναφορά στην αξία τους, όπως συμβαίνει στον κλασικό αλγόριθμο. Αυτή η ιδιότητα του Ελληνικού πολλαπλασιασμού τον καθιστά κατάλληλο και χρήσιμο για την εκπαιδευτική διαδικασία γιατί είναι επεξηγηματικός για την αξία και τον τρόπο που προκύπτουν τα επιμέρους γινόμενα του πολλαπλασιασμού. Στα νέα βιβλία των μαθηματικών της Γ τάξης του Δημοτικού Σχολείου παρουσιάζεται ο Ελληνικός πολλαπλασιασμός με ένα μικρό ιστορικό σημείωμα. Εδώ αυτή η μέθοδος χρησιμοποιείται στα πλαίσια ενός προεισαγωγικού σταδίου του κλασικού αλγόριθμου. Ο ιστορικός αυτός αλγόριθμος του πολλαπλασιασμού θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί και σε άλλα επίπεδα της εκπαίδευσης στο πλαίσιο της χρήσης της ιστορίας των μαθηματικών στη διδασκαλία. Βεβαίως απαιτούνται περαιτέρω έρευνες για να διερευνηθεί και να τεκμηριωθεί η σχέση της αυθόρμητης συμπεριφοράς των μαθητών με την ιστορική προέλευση του ελληνικού πολλαπλασιασμού. Με βάση τα παραπάνω τίθεται επίσης το θέμα της επιμόρφωσης των δασκάλων στο διδακτικό χειρισμό του συγκεκριμένου ιστορικού αλγόριθμου. Τα εμπειρικά δεδομένα που θα προκύψουν από τη διδασκαλία του νέου
βιβλίου θα συμβάλλουν αποφασιστικά όχι μόνο στην αξιολόγηση των συγκεκριμένων επιλογών στα σχολικά βιβλία αλλά και στις έρευνες για τις σχέσεις ιστορίας και διδακτικής των μαθηματικών. Αναφορές Anghileri Julia (999). Issues in teaching multiplication and division. In Issues in teaching numeracy in primary schools. Edited by Ian Thompson, pp. 8-9. Open University Press. Buckingham Philadelphia. DfEE (Department for Education and Employment) (999) The National Numeracy Strategy Framework for Teaching Mathematics from Reception to Year 6. London: DfEE. Baek Jae-Meen. "Children's Invented Algorithms for Multidigit Multiplication Problems" In The Teaching and Learning of Algorithms in School Mathematics, 998 Yearbook of the National Council of Teachers of Mathematics (NCTM), edited by Loma J. Morrow and Margaret J. Kenney, pp. 5-60. Reston, Va.: NCTM, 998. Cerquetti-Aberkane, Françoise, (992). Enseigner les mathématiques à l école. Edition Hachette. P.79. Paris. Decorps-Foulquier M., (99). Les Coniques d Apollonios de Perge. Histoire du texte des Livres I-IV. Edition critique et traduction du Livre I. Thèse de Doctorat d Etat, Vol., Fascicule. Θωμαίδης, Ι. (προς δημοσίευση). Ιστορία των Μαθηματικών και μαθηματική εκπαίδευση. Σύγχρονες τάσεις, κρίσιμα ζητήματα και η περίπτωση της. Heath T. L., (200). Ιστορία των Ελληνικών Μαθηματικών, Από το Θαλή στον Ευκλείδη, Τόμος Ι, Εκδ. Κ.Ε.ΕΠ.ΕΚ., Αθήνα. Λεμονίδης, Χ., Θεοδώρου, Ε., Νικολαντωνάκης, Κ., Παναγάκος, Ι. & Σπανακά, Α. (2006 α). Μαθηματικά Γ Δημοτικού: Μαθηματικά της Φύσης και της Ζωής. Βιβλίο Δασκάλου. Αθήνα: Οργανισμός Εκδόσεως Διδακτικών Βιβλίων. Λεμονίδης, Χ., Θεοδώρου, Ε., Νικολαντωνάκης, Κ., Παναγάκος, Ι. & Σπανακά, Α. (2006 β). Μαθηματικά Γ Δημοτικού: Μαθηματικά της Φύσης και της Ζωής. Βιβλίο Μαθητή. Αθήνα: Οργανισμός Εκδόσεως Διδακτικών Βιβλίων. Lemonidis, Ch., (2005). Les mathématiques de la nature et de la vie: une conception pour l enseignement des mathématiques. Présentation d un exemple extrait de la formation des enseignants. Colloque COPIRELEM 30, 3- Mai, Strasbourg 2005. Mugler Ch., (972). Archimède IV, Commentaires d Eutocius et Fragments, C.U.F., Paris. 2
Principles and Standards for School Mathematics. (2000). National Council of Teachers of Mathematics. 906 Association Drive, Reston, USA. Σταμάτη E., (970). Αρχιμήδους Άπαντα, Αρχαίον Κείμενο-Μετάφρασις-Σχόλια, Τόμος Α, Μέρος Β, ΤΕΕ, Αθήνα. Thompson Ian (999). Written methods of calculation. In Issues in teaching numeracy in primary schools. Edited by Ian Thompson, pp. 69-83. Open University Press. Buckingham Philadelphia. Λέξεις κλειδιά: ελληνικός πολλαπλασιασμός, αλγόριθμος του πολλαπλασιασμού, σχέσεις ιστορίας και διδακτικής των μαθηματικών, άτυπες γνώσεις των μαθητών. 3