ΕΝΑ Ι ΑΚΤΙΚΟ ΕΡΓΑΛΕΙΟ ΓΙΑ ΤΗ ΜΑΘΗΣΗ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΙΣΤΟΡΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ Σκουµπουρδή Χρυσάνθη Στεφάνου Καζούλη 15 85100 Ρόδος kara@rhodes.aegean.gr Καλαβάσης Φραγκίσκος Λεωφόρος ηµοκρατίας 1 85100 Ρόδος kalabas@rhodes.aegean.gr Περίληψη Στην εργασία αυτή γίνεται προσπάθεια συσχέτισης του Εργαλείου Αξιολόγησης Λαθών και Πρόληψης ιδακτικών Αποφάσεων που δηµιουργήθηκε από το Εργαστήριο Μαθησιακής Τεχνολογίας και ιδακτικής Μηχανικής του ΤΕΠΑΕΣ (Τµήµα Επιστηµών της Προσχολικής Αγωγής και του Εκπαιδευτικού Σχεδιασµού) του Πανεπιστηµίου Αιγαίου, µε τη χρήση ιστορικών προβληµάτων στη διδασκαλία και µάθηση της Θεωρίας Πιθανοτήτων, µε στόχο τη δηµιουργία ενός καινούριου εργαλείου στα χέρια του καθηγητή που θα εκµεταλλεύεται τις ιστορικές πηγές υπέρ της καλύτερης κατανόησης της διδασκόµενης έννοιας. Αρχικά περιγράφεται το Εργαλείο ώστε να κατανοηθεί ο τρόπος χρήσης του, η λειτουργικότητά και τα πλεονεκτήµατά του και στη συνέχεια παρουσιάζεται ένα παράδειγµα εφαρµογής αυτού του εργαλείου µε ένα από τα διάσηµα ιστορικά πιθανολογικά προβλήµατα. Εισαγωγή Οι πιθανότητες είναι αναµφισβήτητα ένας πολύ σηµαντικός κλάδος των µαθηµατικών. Η σηµαντικότητά τους δεν περιορίζεται στις ανάγκες της καθηµερινής ζωής, της οποίας αποτελούν ένα πολύ βασικό κοµµάτι, αλλά εκτείνεται και σε άλλους κλάδους των επιστηµών όπου είναι απαραίτητες και αποτελούν τη βάση θεµελιωδών νόµων. Παρ όλο λοιπόν που η έννοια της πιθανότητας παίζει πολύ σηµαντικό ρόλο στην κοινωνία και στη σύγχρονη επιστηµονική έρευνα και είναι απαραίτητο 1

να δώσουµε µεγάλη έµφαση στα σχολεία, η διδασκαλία και η κατανόησή της έχει πολλές ιδιαιτερότητες. Το αντικείµενο είναι λίγο µυστηριώδες και ίσως πιο δύσκολο απ ότι φαίνεται, για δύο λόγους. Ο πρώτος λόγος είναι ότι οι πιθανότητες ανήκουν στα εφαρµοσµένα µαθηµατικά, άρα απαιτούν διαφορετική προσέγγιση από τα παραδοσιακά αντικείµενα όπως η άλγεβρα και η γεωµετρία. Ο δεύτερος είναι ότι ενώ τα σχετικά προβλήµατα αρχικά γίνονται πιο άµεσα κατανοητά ακόµα και από ανθρώπους χωρίς µαθηµατικό υπόβαθρο, αφού βρίσκονται κοντά στην πραγµατικότητα, οι µαθηµατικές λύσεις που ακολουθούν προκαλούν µια αίσθηση δυσπιστίας συναισθηµατικής και διαισθητικής. Κάτι που αρχικά διαισθανόµαστε ότι είναι σωστό µπορεί να µην είναι. Ένα φαινοµενικά απλό πρόβληµα µπορεί να προκαλέσει έντονες διαφωνίες µεταξύ µαθητών, δασκάλων, επιστηµόνων όπου όλοι µπορούν να υποστηρίζουν συγκρουόµενα συµπεράσµατα. Με αυτό τον τρόπο ξεκίνησε, κατά µία άποψη και η Θεωρία Πιθανοτήτων: από την προσπάθεια λύσης προβληµάτων παιχνιδιών που είχαν τεθεί την εποχή εκείνη και που στη διάρκεια των χρόνων, οι µαθηµατικοί προσπάθησαν επιτυχώς ή όχι να λύσουν. Έτσι µε το πέρασµα του καιρού έχουµε ποικιλία προτεινόµενων λύσεων από διάσηµους µαθηµατικούς, όπου σε κάθε προσπάθεια λύσης, συχνά εµφανίζεται και µια διαφορετική εκφώνηση που όµως αναφέρεται στο ίδιο γνωστικό θέµα. Η σωστή λύση για τα σηµερινά δεδοµένα άργησε πολύ να δοθεί. Γιατί άραγε; Θα µπορούσαµε να υποθέσουµε πολλούς λόγους γι αυτή την καθυστέρηση εύρεσης λύσης, όπως η πολλαπλότητα διαφορετικών προσεγγίσεων, ο διαφορετικός τρόπος σύλληψης και κατανόησης µιας εκφώνησης, το ότι οι προτεινόµενες λύσεις αφορούσαν διαφορετική εκφώνηση ή κάτι άλλο µπορεί να συνέβαινε. Στην εργασία αυτή επιχειρούµε να µεταφέρουµε στη σχολική τάξη αυτό ακριβώς το «ερευνητικό κλίµα». Προτείνεται µια συγκεκριµένη δραστηριότητα που θα αξιοποιεί την ποικιλία των αυθεντικών ιστορικών πιθανολογικών προβληµάτων σε ένα σχεδιασµό που περιγράφεται από το «Εργαλείο Αξιολόγησης Λαθών και Πρόληψης ιδακτικών Αποφάσεων». Ο στόχος της χρήσης του εργαλείου είναι διπλός: αφενός για τους καθηγητές που µπορούν να εκµεταλλευτούν τις ιστορικές πηγές υπέρ της καλύτερης επεξεργασίας και προσέγγισης της διδασκόµενης έννοιας µε τη βελτίωση των διδακτικών τους αποφάσεων και την πρόληψη αρνητικών επιδράσεων στους µαθητές τους και αφετέρου για τους µαθητές όπου µε την αναζήτηση, τον προβληµατισµό και τη συζήτηση των ιδεών και εµπειριών τους ίσως κατανοήσουν σε βάθος τη διαδικασία επίλυσης των 2

προβληµάτων ιστορικά και έτσι θα αποφύγουν τα συνήθη λάθη. Το εργαλείο αυτό δηµιουργήθηκε από το Εργαστήριο Μαθησιακής Τεχνολογίας και ιδακτικής Μηχανικής για να µπορέσει να παρέµβει διδακτικά στη διαχείριση του παραγόµενου από το µαθητή λάθους στα µαθηµατικά και να βελτιώσει τη διαδικασία της αξιολόγησής του. Έχει ήδη χρησιµοποιηθεί σε οµάδα εργασίας σε συνέδριο Ψυχοπαθολογίας και σε ένα πρόγραµµα επιµόρφωσης καθηγητών, µε πολύ ενθαρρυντικά αποτελέσµατα (Καλαβάσης κ.σ., 2002). Παράδειγµα χρήσης του εργαλείου, όπως έχει ήδη εφαρµοστεί περιγράφεται παρακάτω. Το χρησιµοποιούµενο παράδειγµα προέρχεται από τη Θεωρία Πιθανοτήτων και οι απαντήσεις είναι πραγµατικές λανθασµένες απαντήσεις µαθητών σε ερευνητικά τεστ. Οι λανθασµένες αντιλήψεις που αναφέρονται, δεν είναι αποµονωµένα λάθη ή αυθαίρετος συλλογισµός. Φαίνεται µάλλον ότι αποτελούν τµήµα ενός τρόπου σκέψης, ο οποίος είναι βαθιά ριζωµένος σε πολλούς µαθητές. Είναι αντιλήψεις που συναντάµε πολύ συχνά στις απαντήσεις των µαθητών και έχουν αποτελέσει θέµατα ερευνών διεθνώς. Είναι σηµαντικό σε αυτό το σηµείο να τονίσουµε ότι ο σκοπός του συγκεκριµένου εργαλείου δεν είναι να εξετάσει γνώσεις, αλλά να διαπραγµατευτεί θέµατα, να συζητήσει ιδέες και εµπειρίες. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ΧΡΗΣΗΣ ΤΟΥ ΕΡΓΑΛΕΙΟΥ Σε πρώτη φάση µοιράστηκε το ακόλουθο κείµενο: Σε µία έρευνα που έγινε σε παιδιά 10-17 ετών (Fischbein & Schnarch, 1997) δόθηκε η ερώτηση: Ερ.Α. Υποθέτουµε ότι κάποιος ρίχνει δύο ζάρια ταυτόχρονα. Ποιο από τα παρακάτω έχει µεγαλύτερη πιθανότητα να συµβεί; Να πάρουµε το ζευγάρι 5-6. Να πάρουµε το ζευγάρι 6-6. Ή και τα δύο έχουν την ίδια πιθανότητα; Απ.Α. Τα παιδιά απάντησαν λανθασµένα ότι η πιθανότητα είναι ίδια και στις δύο περιπτώσεις. Σε µία άλλη έρευνα που έγινε σε παιδιά 9-14 ετών (Fischbein et al. 1991) δόθηκε η ερώτηση: Ερ.Β. Όταν ρίχνουµε δύο ζάρια ταυτόχρονα, είναι πιο πιθανό να παρατηρήσουµε 5 µε το ένα ζάρι και 6 µε το άλλο ή 6 και µε τα δύο ζάρια; Ή η πιθανότητα είναι ίδια και στις δύο περιπτώσεις; 3

Απ.Β. Τα παιδιά απάντησαν λανθασµένα ότι η πιθανότητα είναι ίδια και στις δύο περιπτώσεις. Με άριστα το 10, τι βαθµό θα βάζατε σε καθεµία από τις παραπάνω απαντήσεις; Απάντηση Α Β Βαθµός Πού νοµίζετε ότι οφείλεται καθεµία από τις απαντήσεις; Α. Β. Με ποια διδακτική παρέµβαση θα βοηθούσατε το µαθητή στην κάθε περίπτωση; Α. Β. Σε δεύτερη φάση ζητήθηκε από τους επιµορφούµενους να απαντήσουν ατοµικά στις ερωτήσεις, στη συνέχεια να διαπραγµατευτούν τις απαντήσεις τους σε µικρές οµάδες και µετά ένας εκπρόσωπος από κάθε οµάδα παρουσίασε τα συµπεράσµατα κάθε οµάδας στην τάξη. Έγινε γενικευµένη ανταλλαγή απόψεων και βιώθηκε η επιστηµονική δραστηριότητα. Για τις παρεµβάσεις του ο διδάσκων είχε στη διάθεσή του το παρακάτω υλικό: Στάδιο Ζ -σχόλια Α. Μπορεί κάποιος να υποθέσει ότι τα παιδιά θεώρησαν τα ζευγάρια ως διατεταγµένα και τότε η σωστή απάντηση θα είναι ότι τα ζευγάρια (5,6) και (6,6) είναι ισοπίθανα. Αναλύοντας τις εξηγήσεις, γίνεται φανερό ότι δεν παρατηρήθηκε καµία διάταξη και ότι ο πολύ συχνός τύπος απάντησης "ισοπίθανο" περισσότερο αιτιολογήθηκε από την επίδραση της τύχης ή µε το να πάρουν χωριστά τα δύο στοιχεία 5 και 6. Μόνο µικρό ποσοστό των απαντήσεων δείχνει διαφορετικές τις πιθανότητες. Εδώ έχουµε να κάνουµε µε µια πολύ γνωστή παρανόηση. Τα δύο αποτελέσµατα (και το 6,6 και 5,6) θεωρούνται ισοπίθανα σε όλα τα επίπεδα ηλικιών από τα περισσότερα υποκείµενα χωρίς να υπονοούν µια δοσµένη διάταξη. Επίσης δεν υπάρχει βελτίωση µε τη διδασκαλία, αλλά αντίθετα υπάρχουν λιγότερες σωστές απαντήσεις στα µεγαλύτερα παιδιά µετά από συγκεκριµένη διδασκαλία παρά από τα µικρότερα παιδιά που δε διδάσκονται πιθανότητες. Μια πρώτη 4

εξήγηση είναι το γεγονός ότι δεν έχουν τα παιδιά φυσική διαίσθηση για τον υπολογισµό της πιθανότητας σύνθετων γεγονότων. Φαίνεται ότι µε φυσικό τρόπο οι διάφορες πιθανές διατάξεις ενός συνόλου στοιχειωδών αποτελεσµάτων δε µετριούνται χωριστά (για παράδειγµα 5-6 και 6-5) όταν ορίζουµε το µέγεθος του δείγµατος. Αναλύοντας τη φύση των παρανοήσεων βλέπουµε ότι σχεδόν όλες οι απαντήσεις δείχνουν ότι τα δύο αποτελέσµατα έχουν την ίδια πιθανότητα. Η ιδέα ότι η πιθανότητα του ζευγαριού 5-6 είναι διπλάσια από την πιθανότητα του ζευγαριού 6-6 µπορεί να ειδωθεί µόνο µε το να πάρουµε την αναπαράσταση του αντίστοιχου εύρους του δείγµατος. Η κύρια αιτιολόγηση από τα παιδιά είναι ότι και στις δύο περιπτώσεις έχουµε να κάνουµε µε τυχαία γεγονότα «η πιθανότητα είναι η ίδια γιατί κάποιος µπορεί να παρατηρήσει 6-6 και 6-5 ή κανένα από αυτά τα αποτελέσµατα» «κατά τη γνώµη µου η πιθανότητα είναι η ίδια γιατί είναι έκπληξη ποιον αριθµό θα παρατηρήσεις». Οι κύριες ιδέες που χρησιµοποιούνται για να αιτιολογήσουν τις πιθανότητες του να πάρεις 6-6 και 5-6 είναι (α) ότι και τα δύο γεγονότα είναι το αποτέλεσµα της τύχης και για αυτό το λόγο δεν υπάρχει λόγος να περιµένουµε το ένα περισσότερο από το άλλο και (β) η ιδέα ότι το 5 και 6 είναι ισοπίθανα και για αυτό κάθε γεγονός, που αναπαριστά ένα δυαδικό συνδυασµό τους έχει την ίδια πιθανότητα. Β. Γενικά: (α) Πολλά από τα υποκείµενα έχουν την ικανότητα να υπολογίσουν διαισθητικά το εύρος του δείγµατος που αντιστοιχεί σε ένα στοχαστικό πείραµα (β) Αυτή η διαισθητική ικανότητα βελτιώνεται µε την ηλικία (γ) αυτή η ικανότητα αυξάνεται µε τους γενικευµένους τύπους των ερωτήσεων (δ) το ποσοστό των σωστών υπολογισµών του εύρους του δείγµατος (όταν συγκρίνουµε πιθανότητες) είναι µεγαλύτερο αν το εύρος του δείγµατος είναι πλουσιότερο. Σύµφωνα µε το παραπάνω µοντέλο προτείνουµε και περιγράφουµε µια δραστηριότητα για µαθητές. ιδασκαλία της Θεωρίας Πιθανοτήτων µε Ιστορικά Πιθανολογικά Προβλήµατα Σύµφωνα µε εκείνους τους επιστήµονες που υποστηρίζουν ότι η ανάπτυξη της Θεωρίας Πιθανοτήτων έχει τις ρίζες της στα τυχερά παιχνίδια, η Θεωρία ξεκίνησε από κάποια προβλήµατα-παιχνίδια (ιστορικά προβλήµατα) που είχαν τεθεί την εποχή εκείνη και που στη διάρκεια των χρόνων οι µαθηµατικοί προσπάθησαν να λύσουν. Κάθε προσπάθεια λύσης φαινόταν σωστή µέχρι που µια επόµενη προσπάθεια έδινε µια ακριβέστερη προσέγγιση του θέµατος και τέλος δινόταν και η σωστή λύση όπως την 5

εννοούµε σήµερα. Πολλές φορές όµως που γινόταν προσπάθεια προσέγγισης και λύσης ενός προβλήµατος είχαµε και αλλαγή στην εκφώνηση σύµφωνα µε τα δεδοµένα του λύτη. Έτσι έχουµε ποικιλία εκφωνήσεων του ίδιου προβλήµατος, αλλά και ποικιλία διαφορετικών λύσεων. Ένα από αυτά τα προβλήµατα, που είναι και από τα πιο γνωστά ιστορικά προβλήµατα, είναι εκείνο που τέθηκε από το Chevalier de Mere (αυλικός του Louis XIV στη Γαλλία και επαγγελµατίας παίκτης τυχερών παιχνιδιών) (1607-1684) και αποτέλεσε αφορµή για την αλληλογραφία που αναπτύχθηκε µεταξύ Pascal και Fermat. Αυτό το πρόβληµα το οποίο θα µας απασχολήσει στην παρούσα εργασία, περιγράφεται παρακάτω µέσα από το Εργαλείο Αξιολόγησης Λαθών και Πρόληψης ιδακτικών Αποφάσεων. Θέµα Πρόβληµα Τι είναι πιθανότερο: να φέρουµε τουλάχιστον ένα "έξι" ρίχνοντας ένα ζάρι 4 φορές ή τουλάχιστον µία φορά "εξάρες" ρίχνοντας δύο ζάρια 24 φορές; Οι απαντήσεις που έχουν δοθεί ιστορικά από µαθηµατικούς είναι οι εξής: Α. 1. Με τους απλούς υπολογισµούς του ο De Mere εύρισκε ότι τα δύο ενδεχόµενα των προηγούµενων προβληµάτων έπρεπε να έχουν τις ίδιες πιθανότητες και συγκεκριµένα 2/3. 2. O Pascal διαπίστωσε ότι η πιθανότητα να φέρουµε τουλάχιστον ένα έξι σε 4 ρίψεις ζαριού είναι 0.518, ενώ η πιθανότητα να φέρουµε τουλάχιστον µια φορά 5-5 σε 24 ρίψεις ζαριών είναι 0.491. Β. Ο DeMere ή ο Pascal νοµίζεις ότι απάντησε σωστά; Εξήγησε την απάντησή σου... Γ. Πώς νοµίζεις ότι σκέφτηκε o DeMere και πώς ο Pascal και έδωσαν αυτές τις απαντήσεις; DeMere Pascal. 6

. Κάνε µία πρόταση για να διορθώσεις τον Pascal ή το Fermat.. Ε και Στ οµαδική δουλειά και παρουσίασή της στην τάξη. Ζ. Πραγµατικές ερµηνείες των απαντήσεων από τον καθηγητή και διδακτική του παρέµβαση. 1. Με τους απλούς υπολογισµούς του ο De Mere εύρισκε ότι τα δύο ενδεχόµενα των προηγούµενων προβληµάτων έπρεπε να έχουν τις ίδιες πιθανότητες και συγκεκριµένα: 4.1/6 = 2/3 το πρώτο ενδεχόµενο και 24.1/36 = 2/3 το δεύτερο Η εµπειρία όµως διέψευδε τους υπολογισµούς του και για αυτό ο De Mere έγραψε στον Pascal, παραπονούµενος ότι τα Μαθηµατικά οδηγούν σε λανθασµένα συµπεράσµατα. 2. O Pascal διαπίστωσε το σφάλµα του De Mere βρίσκοντας ότι η πιθανότητα να φέρουµε τουλάχιστον ένα έξι σε 4 ρίψεις ζαριού είναι 0.518, ενώ η πιθανότητα να φέρουµε τουλάχιστον µια φορά 5-5 σε 24 ρίψεις ζαριών είναι 0.491. Πιο συγκεκριµένα ο Pascal υπολόγισε την πιθανότητα του συµπληρωµατικού γεγονότος χάνει ο de Mere, για το πρώτο πρόβληµα. Αν ρίξουµε 4 φορές ένα ζάρι, το να µην έρθει κανένα 6, µπορεί να γίνει µε 5 4 τρόπους, ενώ το συνολικό πλήθος των δυνατοτήτων είναι 6 4 (διότι µιλάµε για 4-µεταθέσεις επαναλήψεις). Άρα η πιθανότητα να χάσει ο de Mere είναι : (5/6) 4 = 0.482 που είναι λίγο µικρότερο από το ½. Στο δεύτερο πρόβληµα υπολόγισε την πιθανότητα να κερδίσει ο αντίπαλος: Το σύνολο των ζευγαριών (µ,κ) που µπορούν να έρθουν σε µια ρίψη δύο ζαριών είναι 6.6=36 άρα οι 24 ρίψεις καθορίζουν σύνολο δυνατοτήτων περιπτώσεων µε πλήθος στοιχείων 36 24. Εξάλλου το σύνολο των ζευγαριών (µ,κ) που µπορούν να έρθουν σε µια ρίψη που δεν έφερε (5,5) είναι προφανώς 35. Άρα οι 24 ρίψεις καθορίζουν σύνολο ευνοϊκών περιπτώσεων, (δηλαδή δυσµενών για το de Mere) µε πλήθος στοιχείων 35 24. Άρα η πιθανότητα να χάσει ο de Mere είναι (35/36) 24 = 0.509 δηλαδή ελάχιστα παραπάνω από το ½. Συνεπώς το παιχνίδι αυτό είναι ασύµφορο για το De Mere (Παπασταυρίδης, Σ., 1985/86). Ο συλλογισµός του Pascal και του Fermat βασιζόταν σε µια εξαντλητική απαρίθµηση του συνόλου των πιθανοτήτων: Ρ(κερδ. στο παιχνίδι 1) = 1 - (5/6) 4 = 1-625/1296 = 671/1296 = 0,518 > 1/2 Ρ(κερδ. στο παιχνίδι 2) = 1-(35/36) 24 = 1-0,491<1/2 Άλλο πρόβληµα που µπορεί να χρησιµοποιηθεί µε το παραπάνω 7

εργαλείο µπορεί να είναι αυτό που έθεσε ο D Alembert (1717-1783): Οι δύο όψεις ενός νοµίσµατος χαρακτηρίζονται µε τα γράµµατα Κ (κεφαλή) και Γ (γράµµατα). Ρίχνουµε λοιπόν ένα νόµισµα τρεις φορές και ζητάµε την πιθανότητα να εµφανιστεί τουλάχιστον ένα Κ Ως απαντήσεις µπορούν να δοθούν: 1) 3/4 και 2) 7/8 Συµπεράσµατα Η ιστορία των µαθηµατικών µπορεί να διαφωτίσει τις διαδικασίες µάθησης και να βελτιώσει τη διδασκαλία των µαθηµατικών (1). Η χρήση του Εργαλείου Αξιολόγησης Λαθών και Πρόληψης ιδακτικών Αποφάσεων µπορεί να είναι ένας από τους τρόπους που µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε για να εισάγουµε τις ιστορικές πηγές (ιστορικά προβλήµατα µε τις αυθεντικές λύσεις τους: σωστές ή λανθασµένες) της Θεωρίας Πιθανοτήτων στην τάξη. Γιατί στη θεωρία αυτή υπάρχει ποικιλία αυθεντικών εκφωνήσεων και ποικιλία προτεινόµενων αυθεντικών λύσεων. Με αυτό τον τρόπο οι µαθητές θα ενταχθούν λειτουργικά σε µια πιο ενεργητική διδασκαλία µε το να τους παρουσιάσουµε τα ιστορικά προβλήµατα, την ποικιλία εκφωνήσεων του ίδιου προβλήµατος, αλλά και την ποικιλία τρόπων προσέγγισης και λύσης τους, πολλές φορές λανθασµένων. Οι µαθητές καλούνται να δουλέψουν αρχικά ατοµικά διαλέγοντας τη σωστή απάντηση, δικαιολογώντας την, υποθέτοντας που οφείλεται η καθεµία από τις δοσµένες απαντήσεις και κάνοντας πρόταση διόρθωσης του λάθους. Στη συνέχεια καλούνται να επεξεργαστούν τα σχόλιά τους πρώτα σε µικρές οµάδες και µετά µε το σύνολο της τάξης και τέλος έρχεται η «γνωστική σύγκρουση» µε την παρουσίαση, από τον καθηγητή, της πραγµατικής ερµηνείας των παρουσιαζόµενων απαντήσεων µε τη διδακτική παρέµβαση για την εµπέδωση της έννοιας. Στην εκτίµηση των πιθανοτήτων, ακόµα και έµπειροι στατιστικοί και πιθανολόγοι µπορεί να κάνουν λάθος. Ο de Mere έριξε ξαφνικά φως στο µεγάλο πρόβληµα της διδασκαλίας των µαθηµατικών. Ο de Mere ως πιστός µαθητής εφάρµοσε τα µαθηµατικά που ήξερε, αλλά τιµωρήθηκε. Ίσως να τα είχε καταφέρει καλύτερα αν δεν είχε διδαχτεί ποτέ µαθηµατικά. (Freudenthal, σελ. 585-586). Το βασικό, µαθηµατικά και διδακτικά σε αυτά τα προβλήµατα δεν είναι τα τυπικά µαθηµατικά που είναι απαραίτητα για να τα λύσουµε, αλλά η επανανακάλυψη και επανεφεύρεση των µαθηµατικών, που χρειάζεται για να φτάσουµε στη λύση τους. Γι αυτό λοιπόν είναι πολύ σηµαντικό να 8

παρουσιάζουµε τη σειρά των διαφορετικών λύσεων για το κάθε πρόβληµα ώστε ο µαθητής να µπορεί να ακολουθήσει νοερά την ποικιλία των λύσεων και των αντίστοιχων λαθών. Βέβαια όπως τονίζει ο Freudenthal, καµία µαθηµατική ιδέα δε δηµοσιεύτηκε µε τον τρόπο που ανακαλύφθηκε. Από τη στιγµή που λυθεί ένα πρόβληµα, αναπτύσσονται και χρησιµοποιούνται τεχνικές που φέρνουν τα πάνω κάτω στη διαδικασία επίλυσης και κάνουν τη ζωντανή επινόηση, µια παγερή οµορφιά (Freudenthal 1983, σελ. ix). Με αυτό τον τρόπο όµως, τα ερωτήµατα και τα προβλήµατα που οδήγησαν σε νέες µαθηµατικές γνώσεις αποκρύπτονται. Ίσως, η σωστή ενσωµάτωση µιας ιστορικής διάστασης στη διδασκαλία, µπορεί να είναι υποβοηθητική για την κατανόηση των συνθηκών και των δεδοµένων, µέσα από τα οποία αναδείχθηκε η νέα αυτή γνώση, άρα και για την αποτελεσµατικότερη εκµάθησή της (Tzanakis, Arcavi et al. 2000). Βιβλιογραφία: 1. Καίλα Μ., Καλαβάσης Φ. & Πολεµικός Ν. (επιµ. 2002). Μύθοι, Μαθηµατικά, Πολιτισµοί: Αποσιωπηµένες Σχέσεις στην Εκπαίδευση. Εκδόσεις Ατραπός. 2. Καλαβάσης, Φ. κ.σ. (2002). Το Λάθος και το Στίγµα: Αξιολόγηση Λαθών στα Μαθηµατικά και Πρόληψη Σχολικής Αποτυχίας στο Εκπαιδευτική, Οικογενειακή και Πολιτική Ψυχοπαθολογία Τόµος Γ Αποκλίσεις στο Χώρο της Εκπαίδευσης (επιµέλεια: Πολεµικός, Ν., Καϊλα, Μ. & Καλαβάσης Φ) Ατραπός. 3. Κουνιάς, Σ. (1978). Ιστορική Αναδροµή στις Πιθανότητες. Μαθηµατική Επιθεώρηση 10. 4. Λαγός, Γ. (2001). Το Ιστορικό της Θεωρίας των Πιθανοτήτων. Ευκλείδης Α Τ.3/31 5. Παπασταυρίδης, Σ. (1985/86). Πιθανότητα: Ιστορία, Θεωρία και Πράξη. Ευκλείδης Γ Τόµος ΙΘ, Τεύχος 10. 6. Πολεµικός, Ν., Καϊλα Μ. & Καλαβάσης Φ. (επιµ. 2002). Εκπαιδευτική, Οικογενειακή και Πολιτική Ψυχοπαθολογία Τόµος Γ Αποκλίσεις στο χώρο της εκπαίδευσης. Εκδόσεις Ατραπός. 7. Ball, S.S.R. (1960). A Short Account of the History of Mathematics Dover Publications, INC. New York 8. Bell, E.T. (1995). Οι Μαθηµατικοί. Τόµος ΙΙ Από το Ζήνωνα ως τον Cauchy. Μετάφραση Μανόλης Μαγειρόπουλος (Τίτλος πρωτοτύπου: Men of Mathematics). Πανεπιστηµιακές εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο. 9

9. Boole, G. (1958). An Investigation of The Laws of Thought on which are founded The Mathematical Theories of Logic and Probabilities Dover Publications, Inc., New York. 10. Burton, M. D. (1997). The History of Mathematics An Introduction. Third edition. The McGraw-Hill Companies Inc. 11. Eves, H. (1990). Μεγάλες στιγµές των Μαθηµατικών µετά το 1650 Μετάφραση: Μανώλης Κωνσταντινίδης Νίκος Λιλής Εκδόσεις: Τροχαλία Αθήνα. (Τίτλος πρωτοτύπου: Great moments in Mathematics-After 1650, 1983 by the Mathematical Association of America). 12. Freudenthal, H. (1973). Mathematics as an Educational Task, D. Reidel Publishing Company / Dordrecht Holland. 13. http://mathforum.org Famous Problems in the History of Mathematics 19/10/2001 14. Kline, M. Τα Μαθηµατικά στο υτικό Πολιτισµό Τόµος Β Μετάφραση: Σπύρος Μαρκέτος. Εκδόσεις Κώδικας. 15. Lightner, E. James (1991). A Brief Look at the History of Probability and Statistics. Mathematics Teacher Vol. 84, No 8. 16. Loria, G. Ιστορία των Μαθηµατικών Τόµος δεύτερος Ελληνική Μαθηµατική Εταιρεία. 17. Milton, S. J. (1989). Probability in Ancient Times; or, Shall I Go Down after the Philistines? Mathematics Teacher Vol. 82, No 3. 18. Stillwell, J. (1989). Mathematics and Its History. Springer-Verlag New York Inc. 19. Struik, J. Dirk (1987). Συνοπτική Ιστορία των Μαθηµατικών (Τίτλος πρωτοτύπου A Concise History of Mathematics) Μετάφραση: Άννα Φερεντίνου-Νικολακοπούλου Β Έκδοση αίδαλος 10